Universidade Federal Rural de Pernambuco
Disciplina: Introdução a Teoria da Computação Professor: Pablo Azevedo SampaioSemestre: 2017.2
Última alteração: 04/11/2017
Lista de Exercícios 1
(Observação: as listas não valem ponto ou nota. Elas servem para estudar apenas). 1) Considere o AFD D definido formalmente abaixo:
D = ({q1, q2, q3, q4}, {0, 1}, δ, q1, {q4}), onde δ é dada pela tabela:
0 1
q1 q2 q1
q2 q2 q3
q3 q4 q1
q4 q2 q3
a) Represente-o com um diagrama.
b) Mostre a computação da cadeia 0010 e diga se ela é aceita. c) Mostre a computação da cadeia 0101 e diga se ela é aceita.
2) Indique, para cada cadeia, se cada um dos AFNs abaixo a reconhecem.
Cadeias M1 aceita? M2 aceita? a aa aab ε ab abab aba abaa abaab
3) Considerando o alfabeto { a, b, 1, 2, @ } (á, bê, um, dois e arroba), defina
expres-sões regulares para as linguagens descritas abaixo:
a) Todas as cadeias que começam com a e terminam com b
b) Todas as cadeias formadas concatenando-se as cadeias ab e 12 em qualquer ordem e em qualquer quantidade
c) Todas as cadeias que começam com uma letra ou um símbolo de arroba, de-pois possuem zero ou mais ocorrências de letras ou números
d) Todas as cadeias que começam com qualquer cadeia formada de letras ou números, depois têm um símbolo arroba, depois têm outra cadeia formada de letras ou números
4) Encontre expressões regulares para descrever precisamente as seguintes linguagens no alfabeto {a, b}. (Dica: use o JFLAP com as ferramentas de conversão).
a) Todas as cadeias que têm pelo menos duas ocorrências de a. b) Todas as cadeias que têm pelo menos três ocorrências de b.
c) Todas as cadeias que têm pelo menos duas ocorrências de a e três ocorrên-cias de b (a intersecção das duas acima).
5) Mostre os detalhes da conversão da expressão (ab | aa)* para AFD (tal como feito em sala de aula).
6) Prove que as seguintes linguagens sobre o alfabeto { a, b, c} são regulares: a) Todas as cadeias que começam com abc
b) Todas as cadeias que têm abc como subcadeia c) Todas as cadeias que terminam com abc d) Todas as cadeias que não terminam com abc
e) Todas as cadeias que começam com a e terminam com c
7) Prove que as seguintes linguagens sobre o alfabeto { 0, 1 } são regulares: a) Todas as cadeias cuja quantidade total de símbolos 1s seja par.
b) Todas as cadeias cuja quantidade total de símbolos 1s seja um valor múltiplo de três.
c) Todas as cadeias contendo uma quantidade ímpar de 0s e par de 1s. d) Todas as cadeias que representam números binários pares.
e) Todas as cadeias em que o segundo símbolo é o complemento do primeiro, o quarto símbolo é o complemento do terceiro, o sexto o complemento do quinto, e assim sucessivamente (ou seja, com o símbolo da posição par como complemento do símbolo da posição ímpar).
9) Considerando o alfabeto { a, b, 1, 2, @ } (á, bê, um, dois e arroba), defina
expres-sões regulares para as linguagens descritas abaixo:
a) Todas as cadeias que começam com a e terminam com b b) Todas as cadeias que começam com zero ou mais letras a
c) Todas as cadeias formadas concatenando-se as cadeias ab e 12 em qualquer ordem e em qualquer quantidade
d) Todas as cadeias que começam com uma letra ou @, depois possuem zero ou mais ocorrências de letras ou números
e) Todas as cadeias que começam com qualquer cadeia formada de letras ou números, depois têm um símbolo arroba, depois têm outra cadeia formada de letras ou números
10)Desenhe AFNs que reconheçam as mesmas linguagens denotadas pelas expressões regulares abaixo: a) (ε∪ a)b b) aba ∪ bab c) a*b* d) a*∪b* e) a(bb)*a f) a*(a ∪ b) g) (aaa ∪ bb)*
11)Para cada uma das expressões da questão anterior, apresente duas cadeias que sejam membros da linguagem que ela representa e duas que não sejam membros da lin-guagem. Considere que o alfabeto é {a, b}.
12)Encontre um AFD que aceite (ab ∪ aa)*.
13)Responda os itens a seguir levando em consideração o AFN abaixo: a) Mostre uma computação que aceite a cadeia abbab.
b) Cite duas outras cadeias aceitas pelo autômato. c) Cite duas cadeias que o autômato rejeita.
15)Para cada cadeia dada, mostre uma computação que aceite a cadeia no AFN apre-sentado abaixo.
a) bb b) acc c) ccbb
16)Converta o AFN da questão anterior para um AFD.
17)Explique como converter um AFN qualquer para outro AFN que tenha um único estado de aceitação.
18)Construa AFDs para as linguagens abaixo, definidas sobre o alfabeto {a, b}. Mostre a representação gráfica e a representação formal de cada AFD.
a) Todas as cadeias que têm, pelo menos, três a’s b) Todas as cadeias que têm, pelo menos, dois b’s
19)Crie um autômato finito (AFD ou AFN) para reconhecer a união das duas lingua-gens descritas na questão anterior. (Dica: você pode usar as respostas daquela ques-tão para criar o novo autômato).
20)Crie um AFD para reconhecer a intersecção das duas linguagens descritas na ques-tão 18. (Dica: você pode usar as respostas daquela quesques-tão para criar um novo AFD).
21)Seja M um autômato de um dos tipos abaixo. Em quais circunstâncias será válida a afirmação: ε ∈ L(M)? Ou seja, qual deve ser a característica de um autômato M qualquer para que ele aceite a cadeia vazia? Responda para cada um dos seguintes casos:
a) Assumindo que M seja um AFD.
b) Assumindo que M seja um AFN sem transição ε. c) Assumindo que M seja um AFN qualquer.
22)Dado um AFD M = (Q, ΣΣΣΣ, δ, s, F) qualquer, que aceita certa linguagem L(M). Se for
definido um autômato M’ quase idêntico a M, porém usando como conjunto de es-tados de aceitação o complemento dos eses-tados de aceitação de M (ou seja, F’ = Q –
F), o que podemos dizer da linguagem L(M’)? Explique qual seria a relação entre as linguagens L(M’) e L(M).
23)Explique porque a conclusão (resposta) da questão anterior não seria a mesma se o autômato M fosse um AFN qualquer.
24)Os operadores de expressões regulares básicos vistos em sala de aula são suficien-tes para representar as linguagens regulares. Mostre que a adição dos operadores a-baixo não aumentaria o poder das expressões regulares:
a) Operador unário “?”: indica zero ou uma ocorrência de uma expressão dada (ou seja, a ocorrência é opcional).
Exemplo: 0(1?)0 representa a linguagem { 010, 00 }.
b) Operador unário “+”: indica uma ou mais repetições em seqüência da ex-pressão dada (portanto, não inclui necessariamente a cadeia vazia).
Exemplo: a(b+) representa a linguagem { ab, abb, abbb, ... }
25)Descreva o erro na seguinte “prova” de que 0*1* não é uma linguagem regular (tem que existir um erro, pois essa linguagem é regular):
26)Abaixo estão descritas informalmente várias linguagens sobre o alfabeto {a,b}. Pro-ve que cada uma delas não é regular aplicando o Lema do Bombeamento para
Linguagens Regulares e verificando que essa aplicação leva a um resultado falso.
Também pode ser necessário usar algumas das propriedades de fechamento das lin-guagens regulares.
a) A linguagem das cadeias na forma anbn-1 , para todo n > 0. (Exemplos de
ca-deias: a, aab e aaabb).
b) A linguagem das cadeias na forma akb2k , para todo k > 0. (Exemplos de
ca-deias: abb e aabbbb).
A prova é por contradição. Suponha que 0*1* seja regular e vamos usar o lema do bombeamento nela.
Seja p o comprimento de bombeamento (previsto pelo lema) para 0*1*. Pa-ra aplicar o lema, escolha a cadeia 0p1p, que obviamente faz parte da lin-guagem e tem tamanho maior que p.
Observe que a parte y a ser bombeada nessa cadeia deverá ter apenas 0’s (devido à condição 2 do lema). Logo, ao bombear tal parte, a cadeia terá mais 0’s do que 1’s, formando uma cadeia que não pertence à linguagem. Isso leva a uma contradição, pois todas as cadeias bombeadas deveriam fazer parte da linguagem. Portanto, concluímos que 0*1* não é regular.
c) A linguagem das cadeias ambn , para todo m ≠ n. (Exemplos de cadeias: abb, aaab abbb, e aabbbb).
d) A linguagem das cadeias que têm a mesma quantidade de as e bs. (Exemplos de cadeias: ab, ba, baba, aabbba e abbbaa).
e) A linguagem das cadeias na forma wwR, para qualquer subcadeias w do alfa-beto {a,b}. Quer dizer, a linguagem das cadeias que possuem uma metade como o reverso da outra metade. (Exemplos de cadeias: aa, abba, bbbb, a-abbaa e abaaba).
27)Considere a linguagem regular aceita pelo AFD dado a seguir.
a) Explique, para a linguagem aceita pelo AFD, qual seria um possível valor do parâmetro p, descrito pelo Lema do Bombeamento, que permitiria bombear a cadeia “aabab”.
b) Mostre como seria possível “bombear” a cadeia dada, de modo a gerar novas cadeias aceitas no autômato. Divida a cadeia nas partes x, y e z que satisfa-çam as condições descritas no Lema e, usando essa divisão, explique como seria feito o bombeamento.
“De onde vem, pois, a sabedoria? Onde está o jazigo da inteligência? Deus conhece o caminho para encontrá-la, é ele quem sabe o seu lugar, porque ele vê até os confins da terra, e enxerga tudo o que há debaixo do céu. Quando ele se ocupava em pesar os ventos, e em regular a medida das águas,
quando fixava as leis da chuva, e traçava uma rota aos relâmpagos, então a viu e a descreveu, penetrou-a e perscrutou-a.
Depois disse ao homem: O temor do Senhor, eis a sabedoria; fugir do mal, eis a inteligência.”
