Tópicos de Ensino de Matemática, Geometria II, vol. 7, 1990.

TÓPICOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA

1

-

Números Naturais

2

-

Geometria I

3

-

O Conceito de Fração

1\ -

Operações com Números Fracionários

5

· -

O Problema da Medida

6

-

Números Decimais

7

-

Geometria

11

8

-

Números Inteiros

-

Cálculo Literal

10

-

Equações de

12

Grau

11

-

Sistemas de Equações de

12

Grau

1

2

-

Proporcionalidade

I

,

-

Geometria 111

'11\ -

Áreas e Perímetros

'1 -

Números Irracionais

1

6

-

E

quações de 22

Grau

~

DELTA XIS

U X

EDITORA LTDA

Rua

:

Maria Luiza Missio Mingone, i84

1

3100

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Campinas - SP

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MATEMATICA

7 - Geometria"

Delta Xis Editora lida

ADAIR MENDES NACARATO ANTONIO MIGUEL

MANOEL AMARAL FUNCIA MARIA ÂNGELA MIORIM

Oesde 1982, um ~rupo de professores de Matemática de Campi-nas, insatisfeitos com os resul tados obtidos na sua prática pedagógi ca, vem se reunindo com o objetivo de elaborar projetos de ensino-a-= prendizagem que possam, aos poucos, aI terar a si tU3cão existente.

Esses projetos são aplicados em escolas das redes püblica e particular e avaliados periodicamente. A avaliação dos resultados ob tidos na prática levanta criticas e sugestões que impõem, frequente=-mente, aprofundamento teórico e reformulações dos projetos já produ-zidos, alêm da produção de novos projetos. Essa é a principal c arac-terística desse material: o fato de estar sendo continuamente refe i-to. Outra característica dele ê que, embora englobe o conteúdo de 50il a 8~ séries, é apresentado em fascículos, permitindo ao professor es colher o momento mais adequado para trabalhar 11m certo tema junto a seus alunos.

Contamos atualmente com 16 projetos qu(> compõem 0$ volumes' da série "Tópicos de Ensino de Hatemática". Ess('s fascíc'Jlos repre -sentam a mais recente versão do trabalho mas, certamente, não a ülti ma.

Um trabalho dessa natureza, só foi e C"ontinua sendo pOSSl vel, graças à participação contínua de professores que aplicam os projetos. Queremos registrar, portanto, o nosso agradecimento aos s~ guintes professores que, durante esses anos, têm contribuído na ela-boração e reformulação dos projetos, trazendo críticas e sugestões, participando de reuniões e encontros com o propôsrto de repensar e ~ profundar questões referentes ao ensino da Hatemática:

Ana Maria C.Coimbra, Ana Regina P.B.Angi, Aurora S. Santana, Beatriz V.B.de Carvalho, Carmem Lúcia B.Passos, Cláudia V.C.Higuel,Divina A. de Aquino, Eliza A.Mukai, Elizabeth A.Carrara, Gelson J.Jacobucci,He

loisa de Carvalho M.Oebiazzi, Jane H.da Silva Vidal, José Amaury AI=-ves, Hargali A.de Nadai, Haria Aparecida B.Pinheiro, Haria Clélia F. Jacobucci, Maria Lôcia Negri, Marília B.Pereira. ~larisa S.Pinheiro I Travaini, Harta

r.

de Almeida, Neusa B.Ferrnz, R(>g}na Celi Ayres, Ro naldo Nicolai, Rosana Fávero, Rosemeire H.R.Silva, Sandra T.Cardoso~ Suely M.Gimenis, Susy H.FadeI, Teresa Neide C.Guimarães, Vilma H. M. Silva, Yara P.P.Bueno e Zuleide G. Paulino.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

INTRODUÇÃO íNIJ ICE

...

-

...

..

.

.

01 • O conceito da circllnferênc ir! . • . . . OI ..

•

,

,

,

,

,

,

,

•

,

2 - E~feras, ~I1P:rfíci('s EsférÍc.1s, Cí!('ll!OS c'

Clrcunferenclas . . . ... o.. 05 3 P~sições de um pontn em r(>1 <1ç:i(\ ;, I1m;1 (' i rcunf('

-rencia . . . ... ... 07 I, Cordas e Diâmetros . . . ... ... ... ... ... .. . . 10 5

6

- Circunferências H<lxjm<1s Arcos de Circunferência

\2 15 7 - Os povos antigos, () céu (' <1 nH'd id:l d(' ,In'os . . . • 17

8 circunferência Concêntri('~s 23

9 - Como se usa o transferidor... 26 10 O navio perdido e os submtÍl tipl os d(l \~1 ;111 • • • • • • 27

1\ A medida do tempo 3\

12 - Adição e subtração de arcos.. . .... .. ... .. . . 35 13

14

Exprimindo a medida do tempo 110 ~i sll'I1FI df'cimal. O conceito do ângulo . . . .... . . ... .

38 40 15 - Tipos de ângulos... ... .. ... .... . . 45 16 Ângulos e Anjos . . . 46 17 Perspec t ivas e a rC'presen t<1<:~o P I ;111:1 dI' oh jp tos

não-planos . . . ... ... ... . . . . 18 Ãngulos suplementares . . . ... . . ... . . . ... . . 19 - Ãngulos opostos p010 vértÍcf' .. ... . . . 48 50 51

21 Condição de congruência dos ângulos al ternos 22 23 24 25 externos Pon to méd i o e med ia triz ... : . . . . ... . Hediatrizcs, Cordas c Tangentes . . . . Perpend i c ui a r i smo en t re segmen to e superf íc ie

plana . . . .. . . . Comprimento de 11111<1 circunferência . . . ... .

55 64 66 67 69 26 - Corno Eratósll'ncs mediu a Terra.......... . . 74

Anexo I 78

Anexo II 79

•

•

•

•

•

•

_•

•

_t t t t [lI INTRODUÇÁO

Dando continllid';lC!C'.10 E~llJdo Ih t:"pIlH'l rl:l, spr.1O estu

dados neste trabalho, tópicos n:·ff'ft'IlI{'S :1 ('~II·r:ls. slJpe

rfíci-es esféricas, círculos (' c i rC'unfl'rpll('j;JS, ;11 !O~; {' ;tllí',ulos

propriedades de rptas paralelAs ('orl;1<l:l~~ IHIl' t r:lllsvprs<1is.

Grande partE' do conLelído r~('(lnH~t rj!·tI !l11\' :HltJi sertl. d

e-senvolvido já era de conhC'cÍmC'nto dos pllVIIS d .. 1 1\nl igll1.dade. Esses conhecimC'ntos foram p rodI17.j'lll'; 1"(I!1l h:l,<;P ('Dl nc cessidades práticas que se> impuseralll il ('.':;~;(I~; IH1VOS. Essas

prrr-ticas levaram esses pOVOS .... l ohSe[V,'H:.10 I' I'~;I \Idfl do céll C', dc~

sa forma, eles puderam produzir E' :1Cllnlll 1:11' ("ol1llt'c;lIlcntos <1stro

nômicos.

A astronomia foi, portanto, :l prJ!11l'l r:l cif>ncia que surgiu na face da Terra já 1 igada à (;('(1Illt'l r i:l. Isso porque o

homem logo percebeu que grélnde pnrte dos cPllh('c ill1('[l tos adqu iri

dos na prática da agrimensura ou demiln',1(;i1o di' tt'rras podia

ser aplicada, com êxito, ('m cálculos ,1strollôn1Ít'(ls. Assim, a geometria, que inicialmente er" util iZ<1c!;l par:1 lllpdir as terras e coisas que estavam sobre FI terra,. P;lSStll1 I ;\tHhl'm <1 ser usada' para medir a propria Terra. Isto

é

,

p<1ra (';11('1110 <1(, distâncias

inacessíveis como, por exemplo,

°

('ompril11l'l1to <In circ!lnferên

-cia máxima da Terra, o dínmetro e () r;1 in d;1 Tprr:1., a distância

entre a Terra e a Lua, etc ...

conhecimentos haseados nessas experlcnclas de nossos antepass3!. dos. 1'-las isso não sl'r<l rei lo aqui de forma como eles fizeram e nem como os nH'smos Objl'l ivos.

o

objl't ivo Cl'lllr.1I deste estudo e fazer com que vace possa compreendet" como se pode efetuar o cálculo de algumas distâncias inac-cssÍv('is alrilvés do uso combinado de conceitos' e propriedades ~',l'()IIlL-ll-lens.

o

curva 1

o

o

o

curva 1 curva L curva 4 a ) Complete com as pal avr.1s: abprln·'ol1

r

!'(' !l .. ,d;l. A curva e A curva 2 e A curva 3 e A curva 4 e

b ) Por quantos pontos da slIperfícIC' d('SS,l rolll.1 <1(' papel a curva 1 passa ?

c ) Por quantos pontos da superfície d('SS;l foll';l d(' !),'l:pel :-J curva 4 passa ?

a elas e mCeil a Ji Sl~llcia desses pontos ao centro O de

ca-da curva. Complete as sentenças abaixo com as palavras: i-guais Oll difcrpl1leS.

As dístânc ias P!lconl rnuas na curva 5ao: As distâncias encontradas na curva 2 8ao: As distâncias {,Ilcontradas na curva 3 830: As distâncias l'llConlradas na curva 4 8ao:

1 - O CONCEITO DE CrRcuNFERllNCIA

Chamamos (k (' ircunferência toda curva plana e fechada formada por infinitos pontos que têm a mesma distância de um ponto fixo chamado cenlro. Observe novamente as curvas da 19: a tivídade e diga CJuais delas são circunferências.

2~ ATIVIDADE: Observando os objetos mostrados pelo professor,

assinale com um X qllais dos cortes seguintes produzem circunf~

rências ef em c~lda ('aso, faça um desenho da seção deixada pelo

corte em cada ohjVlO.

a ) (

b ) (

c ) (

) A seção dl' ixat!., por um corle paralelo a base de uma

supprfic il' (' i I í1lurica.

) A SP(;ao tkjxada por um corte não-paralelo a base de uma slIpt'rr íc i 1.> ci I Índrica.

) A seçao dpixaJa por um corte paralelo a base de uma

,( f

•

•

,

fi

•

_..

..

_..

.-..

•

•

#fi

,~

'"'

~

ti ) (

e ) (

f ) (

g ) (

superf Íc ie côn ie"

) A seçao deixad" por um corl f' 1l,~O-ll;lJ-:lI('lo a base dp

uma super[jcil' cônic.1

) A seçao deixadrt por um cnn f' fjll;lltplE'r d(' nm:1 slIPC"rfi

eie esférica.

) A seçao deix<1d .. pnr 11m ("or-tl' ([11:d'IIII'1" d" 11111:1 psfE'ra.

) A seçao deix<1dn por 11m corl<' Jl.Jl:III'\n :) hasl' cJ0

cilindro.

UIlI

2 - ESFERAS, SUPERFIClES ESfÉRICAS, CíRCUl.OS E CIRCUNfERÊNCIAS

A atividade anterior nos permitI' r:l:-,:('r ;1 distinção e~ tre uma esfera, uma superfície esf~ric.1, I !!lI I' ítT\11o e uma ci

r-cunferência. Uma esfera e uma superfÍci<, ('sf(~ri(":l tprn a mpsma' forma, além de serem, arnhns, objetos n:1o-pl;lJlPs. O qUE' RS dis-tingue, entretanto, e o fato de qUf' ,1 ('sf<','n {' 11m sôl ido e a superfície esférica uma sllpC'rfície, iSl(l (~. ;l periferia ou fronteira de 1Ílma esfera. J)psse modo, 11111 CO'"!t' (111:llquE'r de lima

06

esfera sempre gera superfícies e um corte qualquer sobre uma

superfície esféricCl sempre gera curvas. Dizemos que qualquer I superfície gerad.1 1"1('}0 corte de uma esfera se chama CÍRCULO e qualquer curva gC'rada ])f'lo corte de uma superfície esférica 1

se chama CIRCUNFERÊNCIA.

o

que disl inglle, portanto, uma circunferência de um

circulo ~ o fale) de que o circulo ~ l~a superfície plana e a circunferência li lima curva plana, isto

é,

a circunferência

é

a

periferia ou fronleira de um círculo.

3êJ ATIVIDADE: Em cada parenteses, coloque as letras E, S, C e F conforme o ohjeto cilada seja parecido com uma esfera, uma superfície esft-ri('a, um círculo ou uma circunferência, respec -tivamente.

a) ( ) bolinh.:l dl' ping-pong e) ( ) bola de futebol

b) ( ) _{bola d"} h _i I har f) ( ) planeta Terra

c) ( ) disco IOllg-play g) ( ) Lua

d) ( ) anel h) ( ) bolinha de gude

4' ATIVIDADE :

a) Ligue os pOlllus A, B (' C da circunferência ao centro O. He

-ça os segmentus de reta formados. O que você observa?

'~ b) Se você pegar um Outro ponto

,

'0

\

qualquer dessa circunferência'

)

.P e 1 i gar o seu centro, qual vai .0 ser a medida de segmento de re S _{ta formado} ? ,'8 c) Ligue, / ' agora os _{pontos P e R}

,

·R

•

f

..

•

•

,

,

•

,

:10 centro da C'ircl1nferrncia P n1('(,::1 os SC)',I1H'lltoS de reta for mados. As medidas d!'ss('s ~pglll{'ntos S;l(l 1ll,l l(II-('S, mC'llor<>s ou

iguais as anlerÍorC's ?

d) Ligue os pontos Q C' S ."lO ('pnt 1"0 da (' í 1 f 1,,111'1"'-;'1(' i:1 (' 1I1('ça os

sPPJllentos de retn form."ldos. /l..s nH'did,IS d!'·;~:{'"r.; sl'~~mPlltos sno maiores, menores ou if;\I;lis

ns

<lIll('rit'rl"~

3 - POSIÇÕES DE UH PONTO EH RELAÇJ\O fi UHfI C IRCUNFERENCIA

Todo segmento de feL."l fllI(, SC' (Ih! '-:111 I i}:;llldo 11111 ponto

qualquer da círcun(eft>tlcii1 ao 5('11 ("('li! r(l .'~(' r"!1:tlrI:l rélio da ('ir

cunferência.

Quantos ralOS pOSStl i um,l t" i.1T111l1 ('I \-'111" 1;1 .)

Dizemos ainda, 'lUP 11m ponlo 11('1"(\'111"1' :1 uma cÍrcunfe

-rencia , quando a distâncÍ:l. desse ponto ;Ul (""ll! I"n dess<1 CIrcun

-ferência for igual à mE'did3 do raio da l"irCll1lfl'rplwÍ<1.

Se essa distância for maior qlJ<.' ."1 llwdid<l do r<lia, en

-tao, esse ponto é exterior à circIIllfl'r(";nc i:l_ C;ISO ('ssa di

stân-cia seja menor que a mC'did:t do raio, ('nt;lo, (,1(' (. interior a

circunferência.

5'.' ATIVIDIIDE :

a) Utilizando um compasso, tracE' dl1:ls (" irClI11r('J";-;IW Í,lS quc s(>

interceptem em 2 pontos distintos A (' B. () r-., io df' lima de -las deve medir 2cm e o raio da ontr:l ?r)jJlnL

b) Marque, na StljH'd'lcie onde as circunferências foram traça -das, um ponto C q\ll' ('slPja no exterior de ambas as circunfe renClas.

c) Narque um pontu O que esteja situado, ao mesmo tempo, no in teriar da circunferência de raio 2cm e no exterior da outra.

d) Marque um pont() I~ (llIl ' esteja situado no interior da

circun-ferência de raio 2511111l e que, ao mesmo tempo, pertença

ã

Ou-tra circunferência.

e) Harque um ponto F que esteja situado no interior de ambas as circunfer~ll(·ias.

f) Harque um pontu C quP pertença apenas a circunferência raio 2S mm.

de

6" ATIVIDADE Ohsl'rvl' <1 circunferência de centro O,oa folha I seguinte.

a) Utilizando lllllil rC'gU<l, l race 8 segmentos de reta que tenham' uma extrem'idad<.> 110 ponto A e a outra num outro ponto qual

-/

·0

._--

--h) Trace um outro segmf"nto dC' rela qlH' tvnl1:, !I 111:1 (';.:tn~lTljdé1dp no ponto A, passe pelo cpntro di1 (' i IT11111 1'1 (-']1(' ín (l <1U{~ tE'nh<1

a outra extremidadC' n:1 circun[{'rpllCi:l, c) Dentre os 9 segmE'n tO!; flue voc'{" t r;1('(1I1. rpl:11

o maior comprimento?

.

,

~' o que pOSSUi

d) Seria possível traçar um outro SPgl1lPlltO dI' n'ta, ('or11 lIma das extremidades no ponto 1\ E' é1 O\ll'-;j 1111111 ponto qtl.1.1qllpr dA circunferência, que fosse maIor flll<' (I ~WI'.llt~'1l10 que' pn.ssa p~

lo centro da circunr('r~n('i<1 ?

e) Seria possível traçar tlm sE'gmf'nto de rvt:l , CI11ilS extremidA

-des fossem dois pontos diferentes da ('i n'lInferpncia, e que tivesse o mesmo comprimento de spgm('lllo fln(' p.1ssa pejo cen -tro da circunferênciél ? Em CflSO ilfirm:lt 1\'(1, dip,él t"'(l1.1lltos.

4 - CORDAS E DI ÃHI"I"ROS

Chamamos de corda de uma circunferência, todo segmen

-to de reta clljas pxtrl'mid;ldcs saa dois pontos distintos da cir

cunferência.

Chamamos dl' diâmetro de uma circunferência toda corda

que passa pelo I'l'lllro da circunferência.

a) Quantas cordas pOSSUI lima circunferência?

b) Qual e a mnior ('ordn de uma circunferência?

c) Quantos diâmetros possui lima circunferência?

7' ATIVIDADE Obscl"ve a circunferência seguinte e os pontos A B, C, O, E e F perlpnccnlcs a ela. c O, / ' 8

/

'O A E'

a) Qual e a ~cdi(la do raio da circunferência? (Em em).

1 J .1 J 1 J

b) Utilizando caneta <l7.ul, tracE' P 1l011H'ic' I \lIl:!s ;IS cordas da circunferência ql1e vocc pode' fnrmnl" C"()IH (':~:~('S pontos.

c) Utilizando caneta VPr111clh;l, t l " ; l ( ' ( ' I' 1l11l!l(' I " 11:1 círcllnferên -c ia, uma corda que nwca lem P 011 t r:l '111(' llH'(::l (WIl1.

d) É sempre posslvel tnH;nr Tlllm;'l ('lrl"lI11!" lc-J)c' :1 d;1(1.1, ('ordns f de qualquer comprimento ? Por <j1l1' ?

e) Quanto mede o di~mctro da circf1nr('n~llf· I.1

f) Que relação existe entre o compriIlH'll[!l <In r;l l(\ (' do diâme -tro dessa circunferêIlcia ?

g) Utilizando um compasso, trace V<lrl<l~; cír("lrnr{'r~ncias de t a l os diferentes, meça seus raios p di,11l1(·trllS I' , em seguida

verifique se a relação do item [lnt ('I" inr ('(l111 ín!l<l v,11 idil pa-ra essas circunferêllcias.

8'" ATIVIDADE: Efeluando cortes em superfícies esféricas colo -que V ou F nas afi nnaçties seguintes:

a) (

b) (

0 ) (

d) (

e) (

) As seções produzidas por qualquer corte em uma supe r-fície csferica S80 sempre circunferências com diâmetros de mesma I1ll'Jida.

) Dados '2 pontos qllaisquer de uma superfície esférica,ê sempre possível encontrar infinitas maneiras de cor tá-Ia de forma que cada um dos cortes passe por esses 2 pontos.

) Por dois pc)ntos distintos de uma superficie esfirica, que não sl'jam as extremidades de um diâmetro, dessa I superfícil', exisle sempre uma única maneira de co

rtã-la de rOOTlil que o corte passe pelos pontos considera

-dos e pelo centro da superficie esférica.

) As seçoes pruduz idas por' qualquer corte que passe pe -lo cenlro de lima superfície esférica são sempre Clr -cunfert-Ilc i.1S com diâmetros da mesma medida.

) Dentn' Lodos os ('ortes possíveis de tnna superfície es férica , aque les que produzem circunferências com o ma

ior diânwlro possível são os cortes que passam centro da supprflcl e esférica.

pelo

5 - CIRCUNFERÊNCiAS MÁXIMAS

Ao executar a atividade anterior, voce deve ter eon -cluído que todo corte que passe pelo centro de uma superfície' esférica produz scçoes que são circunferências que possuem _o

maior diâmetro possível. CircunfE'rêncl:ls <!f>SS(' t.ipo sao c hama-das de CIRCUNFERIlNCIAS MÁXIMAS de 11m" ""pNric;p psférica.

Nas viagens m.1r-ítmas, ae r('élS c' IHI'SIIHl tl:lS v i .. =!gens esp~ ciais, e muito importanlE' saber <l !o(":ll i7.:1(.!O ('X<1t<1 de um pon

-to sobre a superfície da TC'rra. Como voe;' S:lIH', n nosso plane-ta tem a forma aproxjmad<J de uma (~!=ir('r;l (' v iVI'III()S, Lodos, 50 -bre sua superfície, isto

é,

numa sl!J"H'rfí(· j(· (·~;r(,ri('t1. Daí, pa-ra facilitar a localizaçiio dE' pont()s sobrl' :1 slIpprfÍcie da Ter

ra, g~ôgrafos, cartógrafos e astrônomos, im:l?,itlilf.1m linhas s

o-bre a sua superfície: são as linhas im:lr,iniíri<ls ch;tmadas PARA-LELOS E MERIDIANOS. Os meridianos s,;o co,'l ('S sobre a superfí -cie da Terra que passam por dois pOIlLo~ t':-::l I"I'II\(1S (chamados

PO-LOS) de um diâmetro dn superfície tprn'st r('. Os ITH'ridianos sao portanto, circunferências m;Íximas sohn' <l sl'IlI'rfície terrf>stre.

Já

os paralelos, sãe determinados por ('ort('~ p;lr.1lclos uns aos outros sobre a superf íciE' terrestre. PPSSíl fonn:l , só existe um paralelo que passa pelo centro da superr;Clt· terrc:::tre. Este ' paralelo e uma circunferp.l1cia mâxim.1 p [('cpbe n nome de EQUA

-DOR. Os demais paralelos não são circunrprl'llcí:1S máximas sobre

a superfície terrestre. O Equador, por s('r lIma c ircunferência' máxima, divide a superfície terrestre ('!l1 dl!:lS partes chamadas' HEMISF€RIOS (metade de uma esfera): o h('m;sr(~r;(J Norte e o he -misfério Sul. O Brasil está situado TlO h('misrl-!-jn SII1 do Globo

terrestre.

9é}. ATIVIDADE: Marque, em uma superfícip ('sr("'ric,'l (utilize a superfície de uma bola de isopor), doi s pOl1tns A e B distintos, que nao sejam extremidades de um diiim('lrn dCSS:l slIperfície. Co

a) (

b) (

c) (

d) (

) Existem inf ini los caminhos diferentes sobre a superf..!

eie CSr~ri('il Il;lfil se sair do ponto A e chegar ao pon

-to B.

) Existem infinjtos caminhos diferentes sobre a superfi

eie esf~ric~ paril se sair de A e chegar a B, que sao

pedaços dp ('irCUllrer~ncias nia miximas dessa superfi

-eie.

Existem apenas dois caminhos diferentes sobre a supe.,E.

freie esf~rica para se sair de A e chegar a B, que são pedaços da c i n:unferência máxima que passa por A

e B.

) O menor eaminl)() possivel sobre a superfície esf~rica'

para se sair do ponto A e chegar ao ponto Besta

circunfer~11(·ia m~xima que passa por

A

e

B.

na

10é} ATIVIDADE: Uma formiga esta no ponto A da circunferência'

abaixo e quer cllPgnr ao ponto B da mes~a) passando apenas por pontos que pertC'lH;nm Li essa circunferência.

~

~

---a) Utilizando canetas azuis e ca

-netas vermelhas, trace os dif~

rentes caminhos que ela pode '

fazer para chegar ao ponto B.

b) Se a formiga optar pelo cami

nho azul, ela estar~ se movi

-mentando no mesmo sentido qlle

os ponteiros de um relógio?

I

•

•

•

_•

•

•

•

•

c) E se ela optar pelo caminho venn" l!Jn '!

6 - ARCOS E CIRCUNFERÊNCIAS

Ao fazer a ativid<1de n9 IO·'v()('(-: dl'vI' ! cr concluído que existem apenas dois C<1Ollnhos ross ív('i!~ 11;11":1 sp stlír do p0.,!2.

to A e chegar ao ponto B c!;1 circunfcrêllci.l , passando apenas

por pontos que pertençam a essa circunferpnc i:l.

Chamamos de ARCO DE CIRCUNfERÊNCIA " 'i1l,,1~,,~r caminho

feito sobre uma cÍrcuofprpt1cia, CJIIC' 1 ig!11' dois pont-ns qllais

quer dessa circunferência.

g claro que se marcássemos doi S pllrlt os 1\ f' B numa su

-perfície esférica, existiriam infinitos ;lrC()~~ dl' f"irC'unferên

-eia passando por A e B. Isto porque ('XislpT1l, como foi visto na 9{l atividade, infinitas circunferêl1l' ias (1101;1 máxim.1. e

infi-nitas não-máximas) que passam por esses dois pPlltoS.

Deste modo, como você notou Tl<l <l tivid;Hle anterior, se pegarmos dois pontos de uma circunfer{>"nci.1 , (\11'5 dpterminam

dois arcos nessa circunferência: o verrnf'lho I' () .qzul.

Observe também, que partindo dp 1111\ p(lllLo da circunfe -rência, pode-se chegar a outro caminhando ('m dois spntidos di-ferentes : horário ( no mesmo sent ido do mov itllPIl lo dos pon te

i-ros do relógio) e anti-horário ( contr<l o ~1'lll ido do movimento

dos ponteiros do relógio).

Para nomeannos arcos, devprnos tp!- () ('nidado de indi

-car a qual deles estamos nos referindo. Pnr:l isso, devemos adE.. tar um sentido de percurso n.q circtln[pr0Ilc j:l. Por convenção, o

~ sentido adotad9 é o anti-horário. Assim, quando escrevemos AB estamos querendo dizer que o arco ao qual nos referimos, ini

-cia-se no ponto

A

(> vai até o ponto

B

no sentido anti-horário.

Na circunferência da atividade anterior, o arco ÃB

é

o maior'

~

-arco e o arco Bi\ e o arco menor.

1 H' ATIVIDADE Obsprve novamente a circunferência da 7fJ. ativi dade.

"

-

"

a) O arco DE e igual ao arco ED ? Por que?

b) Nomeie todos os arcos formados pelos pontos A, B, C, D, E e

F nessa cirrllnrer~nc ia.

12,} ATIVIDADE Observe a figura abaixo:

B

;; ___...l _{a) Nomeie todos os raios da}

circunferência. A

b) Nomeie todas as cordas da o circunferência, que nao se

Jam d iâme tros.

G

cl

Nomeie todos os diâmetros'

s

C N da figura.

d) OH e um raio da circunfe

-rênc ia ? Por 'luZ; ?

e) PB

é

uma corda da circunferência? Por que? f) Nomeie 5 arcos da figura.

cor-e nem raios.

7 - OS POVOS ANTIGOS, O CÉU E A HF.IlIIlA IlE Meos

Você sabe, ev i d('n temenlC', qllP p:J 1':1 R1ed i r tlm segmento I

de reta utilizamos, g€'ralmente, \1TI1<1 r(~'í'.\]'"l i',r;H]1l:1dél em centÍme -tros. Mas como

é

que se constrói ('$5;1 ('St';l];1 11;1 f PAlia. ?

Como 1 centímetro é a cf'ntésim;l p:lrlp dp 1 metro, lS

-1m

to e, lcrn = 100 ' entao, precisamos pl'~~;n 11111 sP,~rn{'nto de reta' do tamanho de um metro e dividi-lo l'fi 100 parl('s iguais ou e

n-tão, dividi-lo em 10 partes iguais, l' lOIll;lll<!n 1101:1 dessas par

-tes, dividi-la novamente em 10 pnrlps q~ll;l IS.

Assim como os segmentos dp rpl:j dI' di r('r('ntes tama nhos podem ser medidos, podemos t~mbélJl 1JI('di!" :ln'os dos maIS di

versos tamanhos. É lógico que a r0gUí1 n;lo I~ (1 instrumento mais

aconselhável para se medir arcos, E'mhol-:1 pnd(~'ss('mos retificar'

o arco a ser medido, isto é, estic.;-lo {' l"oloc:í-Io sobre uma

regua, expressando seu comprimento f'ro em_

Entretanto,

é

mais comum ut i 117.:lrmtlS 11m outro instru-mento para medir arcos. Este instrlJlllC'lllo sp <.:11:1111<1 transff'ridor,

e nada mais

é

do que um círculo Oll sc'mÍ-cÍn-lllo graduado. Has

como e que

ê

feita essa escala no trallsfprídnr '!

De fonna semelhante à constrll(':lP d:1 rt-gtla, toma-se

u-ma circunferência de raio qualquer (> ;1 dividimlls ('In 360 partes iguais, isto

é

,

em 360 arcos iguais.

Mas por que 360 partes ? Es t ('

r

<1 t (l r ('m tlm" E'Xp 1 icaç.1o

histórica que passamos a expor.

utilizou os conhecimentos matemáticos.

Sabemos que a sobrevivência dos povos da antiguidade,

que viveram

h

á

milhares de anos antes do nascimento de Jesus '

Cristo, dependia du qlle se obtinha da terra, isto

é,

do plan

tio e da colheita. Entretanto, como a maior ou menor produção'

de alimentos, a ffipLhor época de plantar e colher, etc ... depeE,.

diam dos fenômenos ce'Jestes e climáticos (estações do ano,

se-cas, chuvas, enchentes dos rios, etc.) houve a necessidade de

estudar o movimento dos astros e de se confeccionar mapas ce

-lestes.

Para se IIsar o eeu como relógio ou calendário neceSSl ta-se de números. E medir a distância entre a Lua e as estre

las e o horizonte , lambém impl ica O emprego de numeroso Se se I

desejasse saber a que distância a Lua estava acima do ho

rizon-te, tinha-se que medir lima distância inacessivel, isto

é

,

que

nao pode ser feita diretamente. Solucionou-se esse impasse

em-pregando-se os seguintes métodos: esticava-se o braço e se cal

culava quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o ho

ri-zonte, ou segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo'

e se media a disr-?incia. Os braços deviam permanecer bem estica

dos pois, caso ('unlr~rio, a resposta nao seria fiel. A medida' feita era, portnnto, diferente da de um comprimento comum; e este foi o primeiro passo para se medir um arco.

Entretanto, não sabemos quando o homem começou a me dir arcos, mas certamente eram medidos na antiga Hesopotâmia e eram perfeitampntP conhecidos no segundo milênio antes de Cris

to.

A aparcnC13 v3ri~vel do ceu era algo que cativava'

-a mente e a imaginação do hompffi primitivo. () 1(llllO c magestoso

movimento do céu durantC' rl noitC', ('nndtl?:ílld(l :IS ('~trelas de um lado a outro do horizonte , ('ta um" V IS':l<l c::lr;1ordiniiria. Da mesma forma, o movimento d., Lua, qllt' 11:10 :ljH'I1:IS SP lc>vantava e

se punha, como as estreleIs, mas t;lItlhl'lll 1lI11d:lV;1 d{· fonuél , cres cendo de urna fina linha no princípio elo I1li~S, ntf~ Sl' tornar um

grande globo no céu, e depois mingllnr 01l! r;1 Vl'Z. 1\ Llla era tarn

1 bém um medidor de tempo quasE' idC'éll, pois Jl'V:IV;l ilpenas 29

2 dias para completar seu riclo de fnsps. Tndp'; os (,.11endários '

primitivos eram baseados na Lua.

Para os sacerdotes-astrônOO1ps dn :lnl i)~o Egi to, por e-xemplo, o ceu servia para a determin;1<;.1Cl d(l tl'mpn. E elps org.!

nlzaram um calendário bastante sat ifif.'1lt)l'i(, !' dl)s ma is

avança-dos dos tempos antigos. Desde logo, {)bs('n';lr:llll qUl' a inundação anual do rio Nilo coincidia com o <1p<1rpC inll'lltP, :lIltf'S da al

vo-rada, da estrela SIRIUS (conhecida retos I'p,ílw ins como Sotis) ,

a mais brilhante estrela do céu. E'J:1 <:lpar(', i;l Il('ssn ppoca de -pois de um longo periodo de invisibilid~d(', 0, 11() C~ll claro do

Egito, sua apariçio deve ter sido imprp~siotl:l'lll'. Esse nasci -mento de SIRIUS veio a se chama.r 110 In íc indnr do Ano", e o c

a-lendário civil foi a ele associado.

Cada ciclo de fases da Lua , ClIJ<1 d!!r;lçrlO pra de apro -ximadamente 29

+

dias, chamou- se de HÊS. J)('sl<1 forma , como

dois aparecimentos consecutivos da estrc1<1 sirius comportavam' aproximadamente 12 ciclos de fases da 1.na, entao, cada ano p02

5U ia aproximadamen te 12 me se s dando um t ol ;11 ;1 p rnx imado de 354 dias.

malS preciso, calculavam o ano com base nas estaçoes. De acor-do com este novo mptodo o ano compreendia o período entre dois

solstícios de venlo consecutivos. O câlculo provavelmente foi

feito usando-se uma haste vertical introduzida no solo e obser vando-se a extPI1sno vari:lvt'l da sombra projetada no solo pela haste ao meio-dia (te cad~ dia.

A medida (jlIC as cstaç~es passam, o sol sobe cada vez malS alto no ceu t' a sombra correspondente ao meio-dia vai

di-minuindo at~ qllC, 110 solsticio de verao, ela atinge sua exte n-sao mínima. Então, () Sol começa a descer outra vez e a sombra' ao meio-dia creSC0, ~lé aLingir o seu maior valor no solstício de inverno. Essp fCllômPIlo era bem conhecido por todas as c

ivi-lizaç~es. Ao elal)()l·~r psse novo calendirio, os administradores mantiveram as 3 est;lc~es qlle o costume egípcio havia estabele -cido há muito tempo: a inundação, a Emersão dos Campos e a Co-lheita. Mas os 4 m0ses em cada uma delas tinha, cada um, a du-ração de 30 di"s lolal izando 360 dias num ano ao qual foi soma do mais 5 dias como fator de correçao.

No início, dn mesma forma que os egipcios, os babilô -nios, pensavam qllC' o ano tinha 360 dias. Este fato confirmava' cut;iosamente o si stt'I!I:1 de' numeração por eles utilizado que, di ferentemente do nosso filie e decimal, utilizava a base 60 no re gistro dos mimpros. Daí sC'r ele chamado de sistema sexagesimal.

Para os hah i.lônios, a Terra possuia a forma de um GU-FA (barco de pesca) virado de ponta-cabeça. O Sol movia-se pe

-lo cêu durante o dia c, à noite., movia-se debaixo da terra des crevendo uma circunferência. Hoje sabemos que ocorre o contrá-rio: É a Terra quP glra ('m torno do Sol. Corno a duração do ano

era de 360 dias, dividir<lm a circlInf<'r;;lw in ('orrespondente él

trajet6ria do Sol em torne) da Terr~ rm 12 :11"('C1S iglJ<lis de 30

gesh cada. totalizando 360 unidades (1;'- IfI).

Como herança dos povos da ,1IlLi}~llid:HI(· continuamos ho -JE' em dia a dividir lima circunferPlll'j., ('111 \(11) pnrles igu.JÍs na

construção do instrumento npcE'ss~ri(1 .~l I1lI'didn dI' "rC(1s. Cada' arco assim obtido corresponde a um ar("1 di' 1'\ (le lél 1 grau).Em outras palavras, 1° = 3))0 de um;, Cir('llrÜt·t':'IH'ia de raio qual. quer. (Este texto e uma adaptação, p,lr,J

r

i!l~~ d id;íticos, de tre chos do livro "História Ilustrada da Cit"';'l!' i,r" - vo!.l - de

Collin Ronan).

lJ~

ATIVIDADE:

Responda:

a) Se você dividir uma circunferênci;, dt, r:lln rplillfJlIPT em 360

partes iguais, qua1 a medida de c;lfla 11111 cln~ ;lrCOS obtidos?

h) O que você deve fazer para ohtpr 11111 ;ll-(,P <1r' 1° ?

c) Se você dividir uma cí'rcunferênci.1 ('111 h 11,lI't('S ig1lais, qual

a medida de cada um dos arcos nbLic!clS ?

d) A circunferência abaixo foi dividid;l ~'m P, p:lrtcs 19ualS.

Complete as sentenças a seguir:

c

o . /

,--

-

-.0

o

) m (Ãi!) 8 ) m ,..., (AE) ~ 2 ) m (BC) 9 ) m (AV) r. ~ A 3 ) m (EF) 10) m (AG) ~ ,..., 4 ) m (HA) 1 1) m (AH) 5 ) m (Âc) 12) m (éG) 6 ) m (ÉG) 13) m ,-(EA) ~ (JlH) 7 ) m (AD) 14) m

e} Se voc~ dividir lima circllnfer~ncia em 60 partes iguais,qual a medida de cada Ulll dos a["cos obtidos ?

f) O que voce fari:l pa1"a obter um arco de 120 ? g} O que voc:e faria para obter tllU arco de 15° ?

h) Se voei qllis('sse ('unstruir um re16gio que marcasse apenas t

horas, em qtlantas partes voce teria que dividir tmla CIrc

un-ferência ? Quanto vai medir cada um dos arcos assim obtidos?

i) E se voce qUISL'SSP construir um relógio que marcasse tambêm

os minutos ?

14~ ATIVIDADE :

Num certo cam(l{,oltalo dt' tiro ao alvo, um atirador acertou seu

tiro no ponlo A, olll"ro ncertou seu tiro no ponto B e outro a

-certou seu tiro nu ponto C, corno mostra a circunferência ( ou alvo) .

Depois que os ln's compclidores atiraram, o juiz da competição

foi verificar qual dos tiros estava mais próximo do centro, is

to e, quem era () g<lOh,ldor da competição. Como ele não tinha ne

•

•

_t

J

t

•

•

•

21

----A O ·B

c

8 - CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS rtls 1\, I~ (' C ('stão, <1r<lrf'~ l{'lIlt'lll (' , :1 11l1'sma distânc.in til) ('\'111 r,) dn ;lIvo. Util i:":ll1dn :1pr>T1<lS um c om-p:ISSP. ('(lIlHl voc€' resolvI? -r i:, ;1 f!il('st:IO ?

Como você verifi.cou na é'ltiv id;ldl' ;Jnl!'rinr, para resol ver o problema você precisou traç<1r lrps {' i )"(,\JllfC'rências de raios diferentes e todas com centro no pnntn O. Dizemos que du

as ou mais circunferênci:1s são concêntricas qu,llldo elas poss

u-em o mesmo centro.

15' ATIVIDADE: Na figura se.gu~nte ,u"·m()s dtl;lS ci ITllnferênC'ias 1

concêntricas, uma com raio 2crn e rt Ollt r:1 COTU r,1 io Jcm, ambas 1 divididas em 4 partes iguais. Sem lIsar tr:lIlsfpridor, compl~te '

as sentenças seguintes: 1) m

,...

(AR) = 5) m ~ (CIl) ,--... 2) m (A' B') 6) m (C

n

'D') ~ 3) m (BC) = 7) m (ÍJÀ )

-"

_"

4) m (B' C' ) 8) m (D'I\')

-B

..-

-~

/

c

t-

_o \

\

,

----. / D' ~ D ~ ~ 9)AB+SC ~ ~ 10) m (AB) + m (BC) 11) 12) 13) 14) 15) r. ,---.. ~ A'B' + 8'(;' + (:'])' r.. " " m (A'B') + m (II'C') + m (C'D') r. r.. C'D' + 0'1\' r'"\ " m (C'D') + m (U'A') -" ,... ,... r-.

m (AB) + m (BC) +

li'

(CIl) + m (DA)

..

A

..-... r-... ~ n

16) m (A'a') + 'li (R'C') + m (C'D') + m (D'A')

16/1 ATIVIDADE O!JSl'I-Vl' ~l

r

j gura abaixo:

/ ' s

"\

Qual ra e ~ dos a reos da f i

g

.<:

o maior, o arco ~

/

_\

AS ou o arco RS ? . . - L- - - --p A R

t

I

•

n "

r-IH ATIVIDADE: Sabendo '1.,0 m (NN) = (,')"; lU (HS) ~ "50 e m(TP)

= 280°, complete as s(>ntC'llç'IS ;thé1ixo,sf'11I 1lS:tl r r;1llsfC'ridor.

~

.. I ' , \ N o~/ H I----'PCf-- - - ' f ( T I) 1lI Clt!) -r, 2) m (se) n 3) lJl (I'T) 4) 1lI

«(:s)

-"

5) m (sln -6) m

«:In

-7) m

o

íln

-8) In (I{ln -n 9) In (NI') -~ la) m (I'N) -11) m «(:11) 12) m

0«;)

-18ê} ATIVIDADE: Sabendo quP AB e HN san dois di:lml~tros da c

ir-cunferência e que m (MÀ) == 350, complC'tl.' :lS SI'llt(~nç;1S abaixo ,

sem utilizar transferidor. A 1) m (t\Il)

-"

2) m (IlA) -A

_"

'.

_,

_{3) m} UIN)

-" , M _{4) m ( Nf!)}

-"

A 5) NA + J\N =

"

n o 6) m (Ht\) + m (AN)

"

7) m (AN) -, A A R) AN + NI\

-"

~ 9) lJl (AN) + 111 (N Il) A lO) In (N Il )

-9 -

com

SE USA

o

TRANSFERIDOR

Vamos, a~()r<l, aprender a utilizar o transferidor na medida de arcos dl' circunferência. Pegue o seu transferidor e

51ga os passos nbaixo p:Ira medir o arco AB da circunferência I

seguinte:

19 passo: Com o <1l1xíl in de urna regua,

ligue os pontos A c B ao centro O da circunferência c prolongue esses seg-mentos nos sentidos de O para A e de

o

para B.

29 passo: Co1oque o transferidor 50 -bre a circunfer&n,'ia ~ direita de for ma que o centro do transferidor co

in-cida com o centro O da circunferência.

Ao mesmo tempo, faça coincidir a li

-nha que passa pelo ponto zero da escala do transferidor com o segmento

DA

prolongado. Nessa posição, o transferidor e a

cir-cunferência da folha de papel são duas circunferências

concên-'"'

tricas. A medida do arco AB deverá, portanto, ser igual ã medi.

da do arco que vai do ponto zero até o ponto da escala por

on-de passa o segmPllto OH prolongado.

A

Conclusão: m (AB)

=

A

Como vocc. poderia, sabendo a medida do arco AB e sem

r. utilizar o transrpridc)r, (~alcular a medida do arco BA ?

27 n ) m (PR) A 2 ) m (RS) A p 3 ) m (SQ)

"

I, ) m (QP) / A 5 ) m (PS) ) r-

)

,

)

6 m (PQ) R O r-7 ) m (QS)

"

.,

8 m (RQ)

"

9 ) m

,....

(RP) r-IO) m (SR)

20'1 ATIV IDADE Util iz:mdo 11m tr<1llsf'('ridClr. ('(llllp 1 p tr':

Q

_,

r- I 1 ) m (PQ)

.I

2) m (RP) A

,

,

\

A

)

3) m (QP)

)

r-, O 1,) m (RQ)

e

'

A

"

"

"-5) m (PQ) + m (QR) + m (RP)

....,.

/

"

10 - O NAVIO PERDIDO E OS SUBHúLTIPLOS DO CRAU

Existem arcos menores qUE' 1<' ?

Existem arcos maiores quE' 10° (' IIlf'110t('S (jur 110 ?

Para responder :1 essas qll€'st;-l('~, pod(>-se faze.r lima

comparação da circunferência gradu,'ld<1 í'nl ".'-;lIlS ('om a reta gra -duada em centímetros. É lógico q1.lC' ('xislpnJ s('~',nlt'l\tos de reta 1 menores que lem. Para ffif'dÍ-los, b;~st;l div idi nnos 1em em 10 pa.E.

-tes iguais, por exemplo, e obteremos lima outra unidade chamada

milímetro (nun) qllE' corrC'sponde à décima parte do centimetro

1

isto

é,

1 mm =

10

el1l.

Nas se as unidades lineares maIS comuns como O decÍme

tro, O centÍrntllro t' () mi I ím(~tro são obtidas através de suceSSl

vas divisões dL' St'gllll'lllos Pro 10 partes iguais, isto e, são uni

dades decimais, os suhnHílliplos mais usado do grau são

sexage-simais, isto c, s:lo oht idos dividindo-se, sucessivamente, ar

-cos cada vez ffiPtlOrcs PIn 60 partes iguais. Assim, se dividirmos um arco de 1° ('fi 60 partes iguais, obteremos 60 arcos minúsc

u-los, cada um nll'ojlldo 1 minuto (cujo símbolo

é

l ' ou lmin ). p~

deriamas dividir aillda, se assim fosse necessarlo, para medi

das cada vez mais \>rerisasJ um arco de 1 minuto em 60 partes i

guais e obteriamus 60 arcos ainda menores, cada um medindo

segundo (cujo símbolo é 1" Ou 15 ). PortantoJ temos as seguiE!..

tes correspondêllc i~lS: 1° 60mÍn 1 ' 60" ou 111 60 do grau. 1 - - do minuto. 60

Exempl ifil'ando, vamos considerar um arco cUJa medida'

seja de 20° 15' 30 II • 1 sso significa que esse arco

ê

maior que

200 e menor quC' 210. Para localizarmos de forma mais precisa

esse arco na circllnferência graduada, 'precisaríamos dividir o

arco de 10 compr('('ndido entre 20 0 e 210 em 60 partes iguais e

pegarmos 15 parles c dividirmos novamente uma dessas 15 partes

em 60 partes iguais e lH'garmos 3D partes.

Voc~ deve estar I,ensando: mas porque e necessirio

"

li

11

iJ

•

I

li

•

•

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•

•

•

•

•

•

•

•

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•

•

•

•

•

I

•

•

•

_t

•

•

•

_•

•

•

•

I'

29

obtendo-se arcos aind<l meTlores que, por SII:I v('z dpverão ser no

vamente subdivididos? Ê preciso (p](: voc(- ('o1l1JH'('('nda que o

ar-co de 10 só é pequeno nêls circun[pri!llcias (fll!' vo("(' lraça numa'

folha de papel. Se, entrf'Llnto, vocP ilT1:w,ill:II' circunferências'

sobre a sU'perfície da psfpril tcrrf'strf'~ 1'11111 di.1l1lptro

é

de a -proximadamente 12700 km, (~ ('laro (Pl<' 11111 :11'('(\ til' 1° nl1ma dCSS<lS

circunferências será bast::lnte grnndt>. Tf'r:í 11111 ('ornprimpnto apr~

ximado de 111 krn. A necessidadE" de slIbd iv i <;:ln do p,r.1.tI em mini-tos e segundos estâ ligado à o('cessíd;Hh' qlH' (t'm os homens de localizar com precisão, cidades, vilas~ nl(ltll :ll1h,lS, países, na -vios nos oceanos e muitas outras ('OIS;IS soh!"!' :1 superfície ter

restre.

Imagine um naVIO, que por :ll}~llln:l r'l;.·:;ltI, S(' perdeu em alto mar. Através de um rádio consC'gup IH'dir socorro a um pos

-to próximo da Marinha. Como Jocali7..'lr ( l n;Jv in ('m ,11to mar?

Você já sabe o que sao meridi;lIHlS {' 11:11';11<>105. A fig~

ra a seguir, mostra como a rede de moridial1ps (' paralelos so

-bre a superfície da esfera terrestre divid(' ,I Tt'rra em regiões

parecidas com gomos de laranja.

A

circunft"rl-I1Cla do Equador di:.

vide a esfera terrestre nos hemisférios Norl0 (' Sul, enquanto'

o meridiano de Greenwich o divide nos h('misr(~'rios Oriental ou

Leste e Ocidental ou Oeste. É claro quP 11;1 ri~~llríl seguinte

es-tão traçados apenas alguns paralelos (' nH'ridi:1Jlos. Geralmente,

costuma-se traçar um tota] de 90 p<lralplos. Il11l1H'rados de 00 a 900, para cada hemisfério, tomando-sp como Ii'f(·r(;ncia a linha

do Equador e 180 meridianos em cada h('misr(~ri(l , tomando-se

co-mo referência o meridiano de GreemvÍch. 1\ Latilude de um ponto

terrestre ao Equador. A Longitude é a distância em graus,de um ponto qualquer da supt>rfície terrestre ao meridiano de Green

-wich. Assim, se um navio eSlã situado no ponto A da superfície

terrestre (observe tI figura) ele sera localizado pelas

seguin-tes informações: 'lO" de lalitude sul e 600 de longitude leste. Complete você:

a) as coordenadas do ponto B~

b) as coordenadas do ponto C~

c) as coordenadas do ponto D~

d) as coordenadas do ponto E~

e) as coordenadas do ponlo p~

Pa rece q lIl' VOC(' en -controu d if icu I dadl's para de

-tenninar as coordenadas do ponto P. Por infl'1 icidadp) e exatamente

a

í

que se (,Ilcontra o nosso navio p,'rdi(111. P()de \oi! ISrÉli Clc.i :E ... tal

,.,

.. L"".Ui. ... 'O O.iiIlT"L "'Oll Tl

,

, .. ,srlr

OllE""" L 'UI. , '

--

-

,,~

ria acontecer, por exemplo, que o noSso navio se encontrasse I num ponto cuja lalitude estivesse compreendida entre 320 e 330

e longitude enlrl' 2"3 0 c 2LIO. Logo, para definir com precisão a

sua local ização spria llPcPss.1rio recorrer aos minutos e talvez até aos segundos.

21\' ATIVIDADE : j{pspooua :

a) Quantos minulos pxislem num arco de 1° ? b) Quan tos minulos existem num arco de

7°

? c) Quantos minutos existem num arco de 1000 _?

•

•

t

t

t

J

,

,

t

J

•

•

_»

•

_t

•

•

•

,

I I

•

I I I 11

d) Quantos minutos existem nllm arco _d" í'1(l I

,

c ₎ , _'I

e) Quantos segundos existem num arco d,' 1 ' '}

[) _{Quantos segundo}s existem num arco d (,

"

? g) Quantos segundos existem num arcü de' LI'

h) Quantos segundos existem oum éI rcn d{' 11' . 1 r

,

11 ?

i) Quantos segundos existC'ffi num a f('O dc' I"

.

,

j) Quantos segundos ex is tem num nrco (](' Hl" .,

I) Expresse em graus o compr imelllo dO' 1 :11'('(' dt, I,

:'

0

I •

,

m) Expresse em graus e min1lLos o compr il1l1'll' 41 dE' 11111 <l reo de 500' .

n) Expresse em graus e minutos o comp r i 1111'111 (I de' um <l reo de 350' .

'1 - A MEDIDA DO TEHPO

Desde a antiguidauC', o homem S('tl[ ill ;1 1WI'f'ssidadc de medir a duração do dia E' da noite. V;:Íri()~~ instrumentos foram'

criados para medir o tempo. Foi na H('sopnl.;mi:l, fl'gt.;O hoje pertencente ao Irã e ao traque, por vplt;l d(· 700 A.C., que su!. giu o relógio de sol. Esse relógio foi Ch:l1l1;1l10 d(l quadrante 80

lar ou gnomon pelos gregos.

Entretanto o relógio de spl <lpn>st'lll:I\!.'1 .11gllns incove

nientes:

1) A duração do dia varia no inverno p nll \lpr:10. No inverno os dias são mais curtos e no verão, m,'1is 1.)]1.I~tI~.

2) Não mede o tempo nos dias sem sol.

~I ,0<;10 Df. SOl OU 'IV."~."!I SOl."

o ,elO'Jio de sol If dividido em 12 partes Iguais. cOlfe~.

pond.mdo li 12 horas. Baseando-se no movimento apa.

rente do Sol e na 50mb,,, da flasle que o Sol PIo/ela na

pran.ha ou "mos/rador-. obtém-se li hora do fugar.

Díantt> dos incovenientes do relógio de sol, foram in-ventadas outras té('nieas para medir o tempo. Os gregos aperfei.

çoaram um relógio de água e deram-lhe o nome de clepsidra. Era um instrumento bem simples, formado por um recipiente de couro,

pedra, madeira 0\1 argila cozida. Esse recipiente, cheio de

á

gua, era colocado sohre outro recipiente que possuía em suas paredes marcas pspaçadas para indicar as horas. O primeiro

re-cipiente lançav<1 gotas ue água no segundo, enchendo-o pouco a

pouco. Desse modo, a :ígua alcançava as sucessivas marcas do se

gundo recipienLt» ind icando o passar do tempo.

EntrE'tanLo, o relógio de água não podia ser utilizado por povos do deSl'rto. A água , para esses povos, era preciosa , nao podiam gastá-la l'nchendo clepsidras. O seu mundo era de a-reia e, além disso, era muito incômodo transportá-las. Os fení cios, povo que viveu em terras do atual Líbano, já tinham des -coberto o segn.-,du de fabricar vidro, e os egípcios tiveram a

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de substituir a ag1J<l pela :lreia. Né1sCPI1, :1~~;lfIl~ ,1 idéia de me

-dir o tempo utilizando vidro e a re l.1. /\ ('SSr' lloVO aparelho, os romanos denominaram amplllhn, qUE" qUl'r ri iz(·r !ln-doo];] " , C'onhE?c i-do até

reia.

os dias aturtis rom o nonu? de <1l11plllllf't:l OI! relógio de a

RElOGro Df AGUA OU CLEI"SIO"" Df 1'100"-'> DI "'''1111'>

-, -A bóia I! ... t;j em contato com unia rod.J d""'.Jd.l A ,""drd,l

que a ãqua 50be no recipiente onde esM .1 ",,',1. ,. .. fI'I '"mbem sob~ e move a roda dco/3d:J :J qU:II. p'1t ~".1 W'1

move um ponteiro Admite se Que este '''/U'II<) d'"' ilOU.1

tenha sido desenvolvIdo em Alelttmd"" lod,m" ."1 "",'r

do Egitol

Na Idade t-Iédia, a queima dp v('I<1S indic,lva o passar do tempo. Alfinetes eram espetados nas vI'las, VIII alturas dife

-rentes, para medir o tempo à noitE'. Em lSR3, Cnlileu Galilei

o grande físico italiano, introduziu o p':lldnlo !l(1 relógio. Em 1675, o relógio ganhou o ponteiro dE' milHllo (' ('111 1690, John

que medir o tempo ('um lant<l precisão? Não foi por acaso que

essa necessidade de precisão tenha ocorrido nas últimas déca -das do século >0J11. É quP, para os antigos, o tempo nao poss

u-ía qualquer vRlor, isto ~, não se poderia tirar vantagens ou

lucros através de sua llll..'uida. Quando se vive uma boa vida e não

é

necessário compPlir com ninguém, a vida segue o seu

cur-so a passo de l'lrtaruga. t-ltlS nos finais do século XVII, e

ntre-tanto, as coisas tinham mudado. Alguns paises europeus, princi.

palmente a Inglaterra, passava por grandes transformações. A burguesia (os comerciantes da época), começou a reunir os ope

-rários, que até então trabalhavam isoladamente, em grupos de

cooperaçao. A prodlH;ão dos objetos deixou de ser uma série de atos individuai s para se converter numa série de atos coleti

-vos. Os operârios [oram reunidos em grandes fâbricas e a prod~

ção sofreu um poderosÍssimo aumento. Mas não foi só a produção

que aumentou. Com ela talllbém aumentaram os lucros dos patrões

.. . Era preciso agora medir o tempo com grande precisão ... os minutos e tambplIl os s{'gundos pois .•. "tempo

é

dinheiro".

Atualm~lll(', nós dividimos o tempo de um dia em 24 h

o-ras. Cada Il{)ra lt'm ()(l milllltos e cada minuto tem 60 segundos. Esse sistl'lWl s{'xagesimal, que está na base da divisão

do tempo,

é

uma 1H't",lIH;a dos povos antigos e como voce já deve ter notado, e a nlt'sm<:l divisão empregada na medição de arcos.

(Este> ll'}:lo, incluindo as ilustrações, e uma adapta çao, para fins diJ,1lÍcuS de trechos dos livros: "Geografia" vol. 1 de Helhcm AJas P "Educação e Luta de classes" de Anibal Ponce).

a) Em quantos minutos <1 !H'ssoa A ('XPCII!: I ; ! l;lIl'!:1 ?

b) Em quantos minutos c1 pf>ssoa B C'xP('nt:l :1 t:1!'I'f:1 ?

t c) Em quantos.segundos c<1da lima d<ls TH'SSll:I'; ," :I'('lIl:1 <1 télrC'fél ?

I

23" ATIVIDADE Três maqlllnas, traba!h;llldll 1'!Il rít!llo~ diferetl

-tes, executam um certo trahalho. A prinH'il:1 It'V<l 75 minutos p~

ra executá-lo; a segunda o faz em 100 míllU[IlS /' :1 lC'rceira le

-va 128 minutos para exerut<Í-la.

a) Quantas horas e quantos minutos S:I(l !lI" ("~~;,II'I(lS p<lra <l

pri-meira máquina executar,o trabéllho ?

b) E para a segunda máquinil execut<Í-lt 1 ','

c) E para a terceira má<luina executá- lo ':'

12 - ADlçAo E SUBTRAc;Ao DE ARCOS

A soma de dois arcos e sempre> IIlll :ln'o ('tlJ<1 medida e igual a soma das medidas dos dois pr1mPll·OS. N;l fip,llra a se

r> r> ~ ~

gu ir, se m (AB) _{20° e} fi (BC) = 29°, ('!lI ;10, /In + BC = AC e

"

r., m (AB) + m (BC) _{= 20°+} 29°= 49°.

"

Logo, fi (AC) = 1,9° ~ Se m (éD) = 39° 35' 27" E' 111 (DE) -= \'10 C)4' 49", en -tao, 1""\ r " \ " " r"'\ r'\ CD + DE = CE e fi (CD) + m (DE) + 33° 54' 49" .

Para efetuarmos pssn adiçito, Pl"ll('I,r!" n1(lS como mostra O

esquema, somando segundos com segundos, 111 i 11Illlls ('Oln minu tos

- ~ -~-~ - - -

-L

39° 35' 27 " + o ~-- -F

.c

33° 54 ' 49 "

°

)BA 72° 89 ' 76 " + +

,

1° 1 ' 60" ----~

-

---

-73° 90' 16 " 60'

-~

'.l

~

1

e graus com graus, respectivamente. Toda vez que as somas

par-ciais, excederem 60 unjdades, devemos extrair deles a maior quantidade possivf>l do submúl tiplo que estiver a sua esquerda,

quantidade essa, (Ille deve ser acrescentada ao total desse s

ub-múltiplo.

"

Logo, !TI (CE) 73" 30' 16" .

A subt ra~ão de arcos e feita de forma análoga; na fi

-gura aClma, ('omo 111

(él~)

900 e rn (CÔ) 39°35' 27" , então,

,..., 1""0 ~ A '" CF - CD

=

DF e In (CF) - m (CO)

=

900 - 390 35' 27" Com 900 _{890 60'} = 890 59' 60", então, 9()O - 3YO 3S' 27" = (89°59' 60" )-(390 35' 27"). 89" 59' 60" 50"

Ii

~

'

33"

~

UJ

i'\

" I\J.: C) Logo, fi (CF) - m (CD) = 500~' 33" J .t

,

i

•

•

•

_t J

I

J

,

t

J

•

•

•

•

t

•

17

É claro que tudo o que foi di to par:l ,I :ldjçào e sub -tração de arcos , vale t;unhprn pa.ra :l :ld i <:;ín (' suhl r.1ção de

uni-dades de tempo. 21,,, ATIVIDADE : Sabendo ~"(' m (K(;) 21' 12" , determine: 1 ) 2) o ₁₎ G I, ) 25" ATIVIDADE ~ - ~ r;qn lO I l' ;1 m (BC) 111

«'i

I

-m (101) 111 (IIK) -~ 111 (<:111

1) Uma pessoa foi ao centro da cidade ()[lt!(, mor;! para efetuar I

um pagamento. Ficou 35 minutos ~ ('Sp('r;l do (;11 i bus que o

le-vou ao centro, ficou 48 minutos n,' rj];1 do h:lIlco e levou

mais 37 minutos à espera do ônibus fl\l(' P 11'V(l\J dp vol ta. Sa

bendo que demorou mais 23 minutos p.11"n ]H'I"t'orrer os traje

-tos entre um local e outro, caleul f' f/U,111t:1S horas e quantos

minutos essa pessoa levou para ir <10 ('('lIt nl (' retornar a

sua casa.

2) Uma máquina foi planejada para f>Xf>CI1t.,r !IIU ('('rto trabalho I

em 2 horas. Começou a ftmcionar ns l/lh~Ol1lill. Às 15 horas e

10 minutos a máquina quebrou e p<lro1t de Illtw ioTl;1r. Depois 1

de consertada, a m,q(p",ina voltou., fl!ll\'iilll:!r ?ts 16h 25ml11 e

manteve-se em [uncÍonamC'nto o tpmpo 11('('I,~~~;:irio para comple

a) Depois de quanto tempo em funcionamento a máquina quebrou ?

b) Quanto tempo foi lll'cE:'ssário para se consertar a máquina ? c) Quanto lempo foi Ilpcl'ssário para a máquina completar o tra

-balho que aiuda n.·stavn ?

3 ) O salário n,cosal d" uma pessoa e NCz$ 4.800,00. Sabendo

que essa }H'SSO(\ trahalha 8 horas por dia, responda:

a ) Qual i o sal~ri() diário dessa pessoa?

b ) Quanto recebe essa pessoa por uma semana de trabalho ?

c ) Quanto recebe essa pessoa por hora de trabalho ?

4 ) Numa prova (h, Ilnta<,;ao, um competidor A fez o perCtlrSo em 1 min 485 Os competidores B e C o fizeram em, respectiva

-mente lmin 1~3s t' lmin 50s.

a ) Qual a di ferL'IH;a de tempo entre o vencedor da prova e o

terceiro CliISsifi("adu

?

b ) Qual a di ferL'lIt;a de tempo entre o vencedor da prova e o se

gundo classifil"ndl) ?

c ) Qual a difprl'llça de tempo entre o segundo e terceiro clas

-sif icado ?

\J - EXPRIMINDO A HEDlUA DO l1lliPO NO SISTEMA DECIMAL

É mui to ("Ollllllll as IH~ssoas ficarem confusas quando se a firma que dois acontecimentos, um com duração de 3h 30min e ou tro com duração de 3,30h nao tiveram, na verdade, a mesma dura cão. Em outras palavras, que 3h 30min ~ 3,30h. Porque isso a -contece ? Simplesmente porque a representação 3h 30min, indica

60) e a representação 3,30h indica que" medido do tempo foi

feita no sistema decimal (base 10). Como passar de um sistema'

para o outro ?

19 Exemplo: Exprimir 3,30h no sistema sl'x;lgesimal: 3,30h e o

mesmo que 3 centésimos de hora, isto

é

,

3,30h

=

3h+

30

100 da hora

horas + 30 3

3h +

10

da hora. Como em 1 hora há 60 minutos,

então, _em

₁₀

3 da hora havera -

W

3 de 60 minutos, isto e-, 18

mi-nutos.

Conclusão: 3,30h 3h 18min.

29 Exemplo: Exprimir 3h 30min no sistema decimal: 3h 30min

3h 30min

180min + 30min (pois Ih tem 60 minutos) 21Omin.

210~

300 3,5 00

(Oividindo 210 por 60 ('onel" iremos que em

210min "cabem" 3h e mais 5 décimos da hora)

Conclusão: 3h 30min 3,5h.

26'1 ATIVIDADE :

1 ) Exprima no sistema sexagesimal a duração de cada um dos

a-contecimentos aba ixo, dado no sistema decimal:

a ) Ac on t ec imen to A durou 5,25h.

b ) Acon tec imento B durou 1,18h.

c ) Acontecimento C durou 2,30h.

2 ) Exprima no sistema decimal a duração de cada um dos aconte

a) Acontecimento D durou Ih 45min. b) Acontecimento E ourou 2h 15min.

c) Acontecimento F durou 2h 30min 36seg.

14 - O'CONCEITO DE ÂNGULO Imagine duas velas a-cesas separadas uma da outra I

por uma distância qualquer co

-mo -mostra a figura ao lado. Um

observador si tuado no pon to O,

observa a extremidade A da cha ma de uma das velas e,em segui

da, a extremidade B da chama ' da outra vela. Podemos traçar' duas linhas retas imaginárias' para caracterizar essa observa

s

•

ção : a primeira partindo do ponto 0, situado no olho do obseE vador, e passnndo pelo ponto A, situado na extremidade da cha-ma de uma das velas; a segunda partindo também do ponto 0, no olho do observador, e passando pelo ponto B, situado na extre

-midade da chama da outra vela. Imaginemos ainda que essas li

-nhas possam ser prolongadas ilimitadamente. A figura assim for mada, isto

é,

o conjunto das semi-retas, ambas com origem no

ponto 0, recebe o nome de ANGULO. f: claro que, quanto mais a fastada uma da outra estiverem as velas, tanto maior seria a abertura entre as duas semi-retas. O ângulo sob o qual as duas velas são vi~tas pelo observador recebe o nome de AOB. As duas

semi-retas sao os LADOS DO ÃNGULO e a ORlGE"

cmlUM

das duas se roi-retas, isto e, o ponto situado no 01110 do observador, rece -be o nome de VÉRTICE DO ÃNGULO.

Imagine agora um ob-jeto girando no sentido anti-horário, em torno de um ponto fixo O. A figura ao lado mos-tra o ângulo formado, para um { observador situado no ponto O

(centro da circunferência),p~

lo mesmo objeto em duas posi-ções diferentes de sua trage-tória: quando o objeto passa' pelo ponto A e quando o

obje-o

A

/"

to passa pelo ponto B. Como saber se, nesse caso, o objeto sa-iu do ponto A e chegou ao ponto B percorrendo o arco AB ou se

saiu do ponto B e chegou ao ponto A percorrendo o arco BA ?

Embora o observador enxergue o objeto, nas duas posi

-çoes, sempre atraves do ângulo definido pelo arco menor (AB) , ficamos sem saber se o objeto percorreu i1 IlIvllOr ou a maior paE

te de sua trajetória. Logo, para distinguir uma situação da Ou tra, precisamos dizer que o ângulo definido pelo menor arco tem medida diferente do ângulo definido pelo maior arco. E co-mo esse ângulo define duas situações diferentes, daremos nomes diferentes a ele de acordo com a situac;;ão que apresenta.

O ângulo definido pelo menor arco (AB) será chamado ' AOB e o ângtÍlo definido pelo maior arco (BA) serã chamado BÔA. Observe que, para nomearmos 0$ ângulos, IItil izamos 3 letras

maiúsculas, sendo ~ue a letra que representa o vértice do ãng~

10 sempre está entre as outras duas e recebe um acento circu n-flexo. A ordem entre as outras duas letras e importante: a pri.

meira deve sempre ser um ponto qualquer do lado do ângulo que

passa pelo "ponto de partida" do objeto e a segunda, sempre um

ponto qualquer do lado do ângulo que passa pelo "ponto de che

-gada" do obj eto.

Todo ângulo tem lima medida. Um ângulo e tanto maior

quanto maior for a abertura entre os seus lados. Quanto mais

próximos estiverem um do autro os lados de um ângulo, tanto m.:: oor

é

sua medida. O instrumento utilizado para medir ângulos

é

o mesmo utilizado na medida de arcos: o transferidor. Isto po~

que a medida de um ângulo

é

sempre igual à medida do arco defi

nido pela abertura de seus dois lados.

É claro que os lados de um polígono ou de uma superfi

cie poligonal e as arestas de uma superfície poliédrica defi

-nem ângulos. Num polígono, o que nos interessa são os ângulos

in-ternos, isto

é

,

os ângulos

defi-nidos por arcos Que estão no in-terior da superfície poligonal

Observe que o triângulo ABC ao I lado pOSSU1 3 ~ngulos internos

"

.

1

Para nomeá-lo imagine que cada vértice do triângulo é o cen tro de uma circunferência, que deve sempre ser percorrida no

,

i

sentido anti-horário. J

O ângulo interno definido pelos lados AB e BC do tri-

-!i

ingulo e CBA:

,

~

Jl

t