Uma fundamentação para sinais e sistemas intervalares

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. U NIVERSIDADE F EDERAL DO R IO G RANDE DO N ORTE C ENTRO DE T ECNOLOGIA P ROGRAMA DE P ÓS -G RADUAÇÃO EM E NGENHARIA E LÉTRICA E C OMPUTAÇÃO. Uma Fundamentação para Sinais e Sistemas Intervalares. Fabiana T. Santana. Orientador: Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago Co-orientador: Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto. Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação da UFRN (área de concentração: Engenharia de Computação) como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências.. Natal, RN, dezembro de 2011.

(2) Uma Fundamentação para Sinais e Sistemas Intervalares. Fabiana T. Santana. Tese de Doutorado aprovada em 02 de dezembro de 2011 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros:. Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago (Orientador) . . . . . . . . DIMAP/UFRN. Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto (Co-Orientador) . . . . . . . . . . . . DCA/UFRN. Prof. Dr. Aarão Lyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNP. Profa . Dra . Ana Maria Guimarães Guerreiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DEB/UFRN. Profa . Dra . Renata Hax Sander Reiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UCPEL.

(3) Agradecimentos. A Deus por ter me possibilitado boas inspirações e saúde para realização deste trabalho. Ao meu orientador e ao meu co-orientador, professores Regivan e Adrião, pela confiança depositada em meu trabalho, pelo incentivo, pela disponibilidade, acessibilidade e acolhimento, além da valiosa orientação para o andamento e conclusão desse trabalho. Aos professores da banca, Renata Reiser, Aarão Lyra e Ana Maria, pelas valiosas contribuições e correções. Aos professores Benjamín, Ana Maria e Fágner, pelo auxilio e discussões valiosas que contribuiram para a realização desse trabalho. Aos meus amigos do Laboratório de Sistemas Inteligentes, Claudilene, Nátali, Cicília, Gláucia, Keylly, Daniel, André Freitas, Antony, Naian, João Paulo, Luis Paulo, Robinson, Mademerson, Carlos, pela troca de conhecimentos, ajuda e amizade. Aos meus amigos do IFRN pelo incentivo e apoio. Agradecimento especial a Claudilene por toda paciência e amizade ao assistir minhas apresentações das prévias da qualificação e da defesa. A Leonardo, professor do IFRN e aluno do PPGEEC, por sua valiosa ajuda nas implementação dos resultados da tese. Aos meus pais Angela e Artur, e aos meus irmãos Fernanda e Alex pelo incentivo e apoio em minhas decisões. Ao meu esposo Fágner pelo amor, carinho e paciência nos momentos difíceis. Aos professores e funcionários do DCA, em especial a Ana Maria, Heliana, Jorge, Luis Marcos, Ortiz, Viviane e Paulo Yvens pela disponibilidade. A Capes pelo auxilio financeiro..

(4) Resumo. Neste trabalho utiliza-se a matemática intervalar para estabelecer os conceitos intervalares das principais ferramentas utilizadas em processamento digital de sinais. Mais especificamente, foram desenvolvidos aqui as abordagens intervalares para sinais, sistemas, amostragem, quantização, codificação, transformada Z e transformada de Fourier. É feito um estudo de algumas aritméticas que lidam com números complexos sujeitos à imprecisões, tais como: aritmética complexa intervalar (ou retangular), aritmética complexa circular, aritmética setorial e aritmética intervalar polar. A partir daí, investiga-se algumas propriedades que serão relevantes para o desenvolvimento e aplicação no processamento de sinais discretos intervalares. Mostra-se que nos conjuntos IR e R(C), seja qual for a aritmética correta adotada, não se tem um corpo, isto é, os elementos desses conjuntos não se comportam como os números reais ou complexos com suas aritméticas clássicas e que isso irá requerer uma avaliação matemática dos conceitos necessários à teoria de sinais e a relação desses com as aritméticas intervalares. Também tanto é introduzido o conceito de amplitude intervalar complexa, como alternativa à definição clássica quanto utiliza-se a ordem de Kulisch-Miranker para números complexos afim de que se escreva números complexos intervalares na forma de intervalos, o que torna possível as operações através dos extremos. Essa relação é utilizada em propriedades de somas de intervalos de números complexos. O uso de sinais e sistemas intervalares foi motivado pela representação intervalar num sistema de ponto flutuante abstrato. Isto é, se um número x ∈ R não é representável em um sistema de ponto flutuante F, ele é mapeado para um intervalo [x, x], tal que x é o maior dos números menores que x representável em F e x é o menor dos números maiores que x representável em F. A representação intervalar é importante em processamento digital de sinais, pois a imprecisão em dados ocorre tanto no momento da medição de determinado sinal, quanto no momento de processá-los computacionalmente. A partir daí, define-se sinais e sistemas intervalares que assumem tanto valores reais quanto complexos. Para isso, utiliza-se o estudo feito a respeito das aritméticas complexas intervalares e mostram-se algumas propriedades dos sistemas intervalares, tais como: causalidade, estabilidade, invariância no tempo, homogeneidade, aditividade e linearidade. Além disso, foi definida a representação intervalar de funções.

(5) complexas. Tal função estende sistemas clássicos a sistemas intervalares preservando as principais propriedades. Um conceito muito importante no processamento digital de sinais é a quantização, uma vez que a maioria dos sinais é de natureza contínua e para processá-los é necessário convertê-los em sinais discretos. Aqui, este processo é descrito detalhadamente com o uso da matemática intervalar, onde se propõem, inicialmente, uma amostragem intervalar utilizando as idéias de representação no sistema de ponto flutuante. Posteriormente, são definidos níveis de quantização intervalares e, a partir daí, é descrito o processo para se obter o sinal quantizado intervalar e são definidos o erro de quantização intervalar e o sinal codificado intervalar. É mostrado que os níveis de quantização intervalares representam os níveis de quantização clássicos e o erro de quantização intervalar representa o e erro de quantização clássico. Uma estimativa para o erro de quantização intervalar é apresentada. Utilizando a aritmética retangular e as definições e propriedades de sinais e sistemas intervalares, é introduzida a transformada Z intervalar e são analisadas as condições de convergência e as principais propriedades. Em particular, quando a variável complexa z é unitária, define-se a transformada de Fourier intervalar para sinais discretos no tempo, além de suas propriedades. Por fim, foram apresentadas as implementações dos resultados que foram feitas no software Matlab. Palavras-chave: Matemática intervalar, Sinais e sistemas intervalares, amostragem intervalar, quantização intervalar, codificação intervalar , transformada Z intervalar, transformada de Fourier intervalar..

(6) Abstract. In this work we use Interval Mathematics to establish interval counterparts for the main tools used in digital signal processing. More specifically, the approach developed here is oriented to signals, systems, sampling, quantization, coding and Fourier transforms. A detailed study for some interval arithmetics which handle with complex numbers is provided; they are: complex interval arithmetic (or rectangular), circular complex arithmetic, and interval arithmetic for polar sectors. This lead us to investigate some properties that are relevant for the development of a theory of interval digital signal processing. It is shown that the sets IR and R(C) endowed with any correct arithmetic is not an algebraic field, meaning that those sets do not behave like real and complex numbers. An alternative to the notion of interval complex width is also provided and the KulischMiranker order is used in order to write complex numbers in the interval form enabling operations on endpoints. The use of interval signals and systems is possible thanks to the representation of complex values into floating point systems. That is, if a number x ∈ R is not representable in a floating point system F then it is mapped to an interval [x, x], such that x is the largest number in F which is smaller than x and x is the smallest one in F which is greater than x. This interval representation is the starting point for definitions like interval signals and systems which take real or complex values. It provides the extension for notions like: causality, stability, time invariance, homogeneity, additivity and linearity to interval systems. The process of quantization is extended to its interval counterpart. Thereafter the interval versions for: quantization levels, quantization error and encoded signal are provided. It is shown that the interval levels of quantization represent complex quantization levels and the classical quantization error ranges over the interval quantization error. An estimation for the interval quantization error and an interval version for Z -transform (and hence Fourier transform) is provided. Finally, the results of an Matlab implementation is given. Keywords: Interval mathematics, interval signals and systems, interval sampling, interval quantization, interval coding, interval Z -transform, interval Fourier transform..

(7) Sumário. Sumário. i. Lista de Fíguras. iii. Lista de Símbolos e Abreviaturas. v. 1. 1 4 5 7 8. Introdução 1.1 Motivação . . . . . . . . 1.2 Justificativa . . . . . . . 1.3 Objetivos . . . . . . . . 1.4 Organização do Trabalho. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. 10. 3. Matemática Intervalar 3.1 Intervalos de Extremos Reais e Aritmética de Moore . . . . . . . . . . 3.2 Aritmética Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Propriedades Imediatas da Aritmética Retangular . . . . . . . . 3.2.2 Relação entre Intervalos e Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Investigação de Algumas Propriedades da Aritmética Retangular 3.3 Números Complexos Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Números Polares Intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Intervalo Complexo Polar ou Setor . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Correspondência entre a Representação Retangular e Setor . . . 3.4.3 Representação Polar dos Números Complexos Intervalares . . . 3.5 Ordem de Kulisch-Miranker e Intervalo de Complexos . . . . . . . . . 3.6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 23 24 26 29 32 34 39 40 41 43 45 49 53. Fundamentação Intervalar para Sinais e Sistemas 4.1 Representação Intervalar no Sistema de Ponto Flutuante . . . . . . . . . . 4.2 Sinais Intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55 56 60. 4. i.

(8) 4.3 4.4 4.5. Sistemas Intervalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representação e Extensão de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62 63 70. 5. Princípios de Quantização Intervalar 5.1 Quantização Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72 74 98. 6. Uma Abordagem Intervalar para a Transformada Z e Transformada de Fourier para Sinais Discretos no Tempo 100 6.1 Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2 Convergência da Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.3 Casos Particulares da Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . 106 6.3.1 Inversa da Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.3.2 Propriedades da Transformada Z Intervalar . . . . . . . . . . . . 111 6.4 Transformada de Fourier para Sinais Intervalares Discretos no Tempo . . 115 6.4.1 Propriedades da Transformada de Fourier para Sinais Intervalares Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121. 7. Validação dos Resultados 7.1 Amostragem Clássica . . . 7.2 Amostragem Intervalar . . 7.3 Quantização Clássica . . . 7.4 Quantização Intervalar . . 7.5 Transformada Z Intervalar. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 122 122 124 124 126 127. 8. Conclusão. 130. 9. Apêndice. 134. Referências bibliográficas. 142.

(9) Lista de Figuras. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7. 2.8 2.9. 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5. √ Sinal contínuo no tempo dado por x(t) = (0.9)t {(1/2)cos(0.2πt)−( 3/2)sen(0.2πt)}. 11 √ Sinal discreto no tempo dado por x[n] = (0.9)n {(1/2)cos[0.2πn]−( 3/2)sen[0.2πn]}. 11 Sinal digital oriundo de um sinal discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Figura extraída de [Smith 1999]. Diagrama que representa sistemas discretos e contínuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Conversor analógico para digital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Conversor digital para analógico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Extraída de [Diniz, Silva e Netto 2004]. Etapas pelas quais o sinal analógico xa (t) passa para que se obtenha sua saída ya (t) de um sistema no processamento digital de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Extraída de [Trindade 2009]. Sinais intervalares discreto no tempo. . . . . 16 Extraída de [Trindade 2009]. Sinal intervalar discreto no tempo representados por X[n] = en e intervalar contínuo representado por X(t) = [0.5, 1]sen(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Imagem intervalar em tons de cinza da Lena. . . . . . . . . . . . . . . . 17 Matriz intervalar com as informações dos pixels do olho esquerdo da Lena. 17 Sinal sen(0.075πn) sujeito a ruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Extraída de [Lyra 2003]. Sinal contínuo intervalar de duas variáveis: 2 [1, 3]Ye(X/[1,3]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Extraída de [Lyra 2003]. Sinal contínuo intervalar dado por [π1/2 ×e−ω /4 , 3π1/2 × 2 e−ω /4 ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Extraída de [Lyra 2003]. Imagem digital intervalar Zelda.itv apresentando a imagem ínfima e suprema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Representação cartesiana do conjunto IR. Número Complexo Intervalar. . . . . . . Números complexos intervalares X e Y . . Número complexo circular ou disco. . . . Intervalo complexo polar ou setor. . . . .. iii. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 24 26 27 39 41.

(10) 3.6 3.7. Transformação de número complexo intervalar em setor. . . . . . . . . . Representação polar para número complexo intervalar. . . . . . . . . . .. 44 45. 4.1 4.2 4.3. Representação do armazenamento do ponto flutuante. . . . . . . . . . . . Sistema complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistema complexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57 63 65. 5.1. Figura extraída de [Proakis & Manolakis 1996]. Quantização do sinal x(n) = (0.9)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97. 6.1. Retirada de [Smith 1999]. As diversas transformadas de Fourier para diferentes tipos de sinais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116. 7.1. Amostras do sinal x[n] = (0.9)n {0.5cos(0.2πn)− 23 sen(0.2πn)} para qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√. . . . . . . 123 Amostras intervalares do sinal x[n] = (0.9)n {0.5cos(0.2πn)− 23 sen(0.2πn)} para e = 0.01 e qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 ampliação das amostras, para n = 8, 9, 10, do sinal x[n] = (0.9)n {0.5cos(0.2πn)− √ 3 2 sen(0.2πn)} para e = 0.01 e qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Representação da amostragem, da quantização e do erro de quantização para o caso pontual do sinal x[n] = (0.9)n , para n ≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0, para e = 0.01 e qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Representação dos extremos das amostras, da quantização das amostras e do erro de quantização do sinal x[n] = (0.9)n , para n ≥ 0 e x[n] = 0, para n < 0, considerando e = 0.01 e qtd=10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129. √. 7.2 7.3 7.4. 7.5.

(11) Lista de Simbolos e Abreviaturas. R: Conjunto dos números reais. N: Conjunto dos números naturais. Z: Conjunto dos números inteiros. C: Conjunto dos números complexos. IR: Conjunto dos intervalos reais. IR+ : Conjunto dos intervalos reais extremidades positivas. IR: Conjunto dos intervalos reais do tipo [a, b], com a ≤ b, a ≤ b, [a, +∞) , (−∞, b] e (−∞, +∞). R(C): Conjunto dos números complexos intervalares. I(C): Conjunto dos intervalos de números complexos. Z = hx, ri: Disco complexo com centro x e raio r. K(C): Conjunto dos Z = hx, ri. {[ρ], [θ]} = {z ∈ C : z = ρeiθ , ρ ∈ [ρ], θ ∈ [θ]}: Intervalo polar ou setor intervalar. S(C): Conjunto dos {[ρ], [θ]}. √ X p = {(ρ, θ)|ρ = a2 + b2 e tgθ = b/a, ∀a + ib ∈ X}: representação polar do número X = A + iB ∈ R(C). X p = ((ρ1 , θ1 ), (ρ2 , θ2 )): Número polar intervalar. Se X = A + iB = [a, a] + i[b, b], então q q 2 ρ1 = a2 + b2 , ρ2 = a2 + b e tgθ1 = b/a, tgθ2 = b/a. R(C) p : Conjunto dos X p . ⊕R , ⊗R , R , R : Operações da aritmética retangular. ⊕C , ⊗C , C , C : Operações da aritmética circular. ⊕S , ⊗S , S , S : Operações da aritmética setorial. ⊕P , ⊗P , P , : Operações da aritmética polar. [θ]: Intervalo [θ, θ]. dc : Distância entre números complexos. dM : Distância de Moore para intervalos reais. DM : Distância de Moore para números complexos intervalares. X ∗ = A − iB: Conjugado do número complexo intervalar A = A1 + iA2 . |x|: Norma clássica em C. v.

(12) |A|I : Norma em IR. |A|C : Norma em R(C). DSP: processamento digital de sinais. (X1 ∗ X2 )[n]: Soma de convolução dos sinais X1 e X2 , definida por ∑∞ k=−∞ X1 [n − k]X2 [k]. δ[n]: sinal impulso unitário que é igual a 1, se n = 0, e 0, caso contrário. Z ou X (z): transformada Z do sinal x[n] ∈ C. ZI ou XI (z): transformada Z intervalar do sinal X[n] ∈ R(C). ROC: região do plano-z para a qual a transformada Z tem solução. F: sistema de ponto flutuante. F: intervalos cujos extremos pertence a um sistema de ponto flutuante F. R : R → F função arredondamento que mapeia x ∈ R ao menor intervalo x, x que o contém e cujos extremos pertencem a F. R : R → F é definida por R(x) = x, onde x é o maior dos números representáveis em F menores que x. R : R → F é definida por R(x) = x, onde x é o menor dos números representáveis em F maiores que x. ε: menor número representável em um sistema de ponto flutuante F. bxc : R → Z: função piso definida por bxc = sup{z ∈ Z|z ≤ x}. dxe : R → Z: função topo definida por dxe = in f {z ∈ Z|z ≥ x}. RC : R×R → F×F: função arredondamento para o caso complexo, definida por RC (x, y) = (X,Y ), em que X = R(x) e Y = R(y). δ: precisão de algum instrumento de medição de sinais. fb(A+iB) = [u, u]+i[v, v]: função representação intervalar da função f , onde u = min{Re◦ f (a + ib)|a ∈ A e b ∈ B}, u = max{Re ◦ f (a + ib)|a ∈ A e b ∈ B}, v = min{Im ◦ f (a + ib)|a ∈ A e b ∈ B} e v = max{Im ◦ f (a + ib)|a ∈ A e b ∈ B}. I-ALU: unidade lógica de aritmética intervalar. L número de níveis de quantização. xmin : valor minimo que o sinal x pode assumir. xmax : valor máximo que o sinal x pode assumir. xmax − xmin ∆: passo de quantização definido por ∆ = . L−1 n j : níveis de quantização clássicos. N j : níveis de quantização intervalares. 0 n1 : extremo inferior de R(xmin ). 0 n2 : extremo superior de R(xmin ). d1 : extremo inferior de R(∆). d2 : extremo superior de R(∆)..

(13) N1 : conjunto dos níveis de quantização clássicos (ou pontuais). N2 : conjunto dos níveis de quantização intervalares. Z {X[n]} ou X (z): transformada Z clássica de x[n]. ZI {X[n]} ou XI (z): transformada Z intervalar X[n]. XI (eiω ): transformada de Fourier para o sinal discreto intervalar X[n]. qtd: quantidade de amostras. e: menor número decimal representável para uma precisão adotada no Matlab..

(14) Capítulo 1 Introdução. Alguns registros mostram que a partir de 1914 pesquisadores começaram a utilizar intervalos numéricos para representar medidas de distância e tempo. Mas foi na década de 50, através dos trabalhos de R.E. Moore, que essa teoria se consolidou. Moore contribuiu significativamente para a fundamentação da teoria intervalar, propondo uma aritmética e uma topologia para intervalos, dando origem a uma alternativa à computação pontual. A teoria intervalar consiste em trabalhar com dados numéricos na forma de intervalos com o objetivo de codificar os erros computacionais no próprio intervalo. Em outras palavras, um intervalo é uma representação de um número real dotado do erro dessa representação [Santiago 2006]. A matemática intervalar não faz nada diretamente para melhorar a precisão dos cálculos, mas para cada número, ela fornece um certificado de precisão ou de falta dela. O resultado de uma computação não intervalar é um simples número, um ponto sobre a reta real, que se encontra a alguma distância da resposta verdadeira. Por outro lado, a computação intervalar produz um par de números, um limite superior e limite inferior, que garantem conter a resposta exata [Hayes 2003]. Uma importante contribuição para a comunidade científica é a extensão intervalar proposta por Moore como um caminho para generalizar funções reais em termos de intervalos. Em [Santiago, Bedregal & Acióly 2006] temos um conceito alternativo, chamado “representação canônica intervalar”, que estabelece a melhor representação intervalar para uma função real, de tal maneira que a propriedade de corretude seja válida. Esse conceito formaliza a noção de corretude de funções intervalares e não está presente em todas as extensões intervalares, entretanto estabelece uma forma canônica de generalizar funções reais para funções intervalares, de tal maneira que a noção de continuidade nos números reais é preservada nos intervalos. O cálculo diferencial e integral de funções reais, bem como suas transformadas, é uma. 1.

(15) Capítulo 1. Introdução. área da matemática com inúmeras aplicações. A abordagem intervalar desses conceitos teria por objetivo proporcionar um maior controle do erro durante os processos computacionais que envolvem essa teoria. Dentre esses processos, encontram-se o processamento de sinais discretos que utiliza transformadas e alguns algoritmos recursivos para o estudo de sinais, ou seja, a existência de versões intervalares complexas dessas ferramentas dotaria o processamento de sinais discretos intervalares de um maior controle dos erros computacionais. No trabalho [Callander & Cowan 1992], ressalta-se a importância da aritmética intervalar em aplicações em processamento de sinais discretos intervalares. Lá é mostrado que os métodos intervalares são apropriados para lidar com os efeitos da precisão finita de erros presentes nas implementações de algoritmos. Os autores apresentam uma solução para a instabilidade numérica existente nos algoritmos recursivos, assegurando a precisão dos intervalos resultantes na computação dos algoritmos. Em comparações com algoritmos tradicionais, a nova proposta apresentou uma robustez significativa, prevenção de divergências e complexidade computacional equivalentes. Uma área que está em pleno desenvolvimento em engenharia elétrica, particularmente em processamento de sinais e controle, é o estudo dos sistemas biológicos, isto é, pesquisas que tentam entender a dinâmica complexa presente em modelos biológicos. Os autores no trabalho [Edmonson, Ocloo, Williams & Alexander 2007] exploram o uso da análise intervalar no desenvolvimento de algoritmos numéricos para otimização e validação de sistemas biológicos, mais especificamente algoritmos para filtragem adaptativa, alegando que a convergência para um mínimo global é garantida. Uma vez que as pesquisas com métodos analíticos tradicionais frequentemente apresentam falhas, devido à natureza complexa dos sistemas biológicos, surgiu a necessidade de integrar a essas pesquisas, métodos computacionais como a análise intervalar, a qual pode ser facilmente interpretada dentro desse contexto. O uso da análise intervalar nesse estudo contribui para a estimação e identificação de parâmetros e validação de modelos. Além da habilidade de localizar todos os conjuntos de soluções para equações não lineares, ela fornece limites confiáveis sobre eles. No trabalho citado acima, o intervalo X é definido por X = [a, b] tal que X = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} e as operações aritméticas básicas são definidas como X ∗ Y = {x ∗ y|x ∈ X, y ∈ Y } onde ∗ representa operações de adição, subtração, multiplicação e divisão. Note que, as operações aritméticas consideradas dessa maneira não estão bem definidas, pois, algumas operações podem gerar indeterminações e não retornar um intervalo. Por exemplo, considere o caso particular em que X = [2, 3], Y = [−1, 1] e ∗ é a operação divisão. Então, X ÷Y = {x ÷ y|x ∈ X, y ∈ Y } e para x ∈ X qualquer e y = 0 ∈ Y a operação x ÷ y 2.

(16) Capítulo 1. Introdução. nem está definida. Por isso, é importante uma análise detalhada das aritméticas intervalares que podem ser utilizadas nesses algoritmos, bem como uma investigação apropriada de suas propriedades. Existem muitas aplicações dentro do processamento digital de sinais (PDS) e controle que requererem do usuário a habilidade de entender como vários erros numéricos afetam o resultado. Para dar mais um exemplo de aplicações da análise intervalar em processamento de sinais discreto, destacamos [Edmonson, Gupte, Ocloo, Gianchandani, Alexander 2006], onde os autores representam a incerteza pela troca de valores não-intervalares por intervalos e desenvolvem uma plataforma em que operações aritméticas intervalares são desempenhadas com a mesma velocidade computacional que os atuais processadores de sinais. Apesar de sugerir um bom desempenho, a proposta é feita com o uso da aritmética usada no trabalho [Edmonson, Ocloo, Williams & Alexander 2007] que apresenta algumas falhas quanto à divisão. Outro exemplo de aplicação envolvendo a matemática intervalar e o processamento de sinais é o uso de métodos intervalares para estimar parâmetros de senóides, [Edmonson, Lee & Anderson 2000]. Os autores apresentaram nesse trabalho algoritmos que integram métodos intervalares para otimização global decompondo o problema em problemas menores. Não há dúvidas quanto à necessidade de desenvolver ferramentas que lidam com dados intervalares, uma vez que eles interpretam com mais confiabilidade dados incertos. As abordagens intervalares para números complexos foram motivadas pela análise de vários problemas no plano complexo que envolvia dados inexatos ou que requeriam alguma informação a respeito dos arredondamentos executados em sua resolução. Alefeld (1968) introduziu a representação retangular para números complexos sujeitos as imprecisões e uma aritmética que, sob certas condições, reduz-se a aritmética de Moore para intervalos reais. Em [Rokne & Lancaster 1971], os autores investigaram as propriedades relevantes da aritmética retangular observando que as operações de multiplicação e divisão introduzem certo grau de incerteza, isto é, não são operações ótimas. Isso acontece, pois a operação de multiplicação entre números complexos está sujeita a uma rotação, então, a operação definida aproxima um conjunto complicado de números complexos por um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados. Já a aritmética complexa circular aproxima um conjunto de números complexos por um disco. Seu uso se deu a partir da década de 70 nos trabalhos [Gargantini & Henrici 1971,1972] onde essa teoria é aplicada para determinação de raízes de polinômios. Esta aritmética satisfaz a propriedade da inclusão monotônica, isto é, para ∗ ∈ {+, −, ×, ÷} se Ak ⊆ Bk , para k = 1, 2, então, A1 ∗ A2 ⊆ B1 ∗ B2 . Em muitos problemas de engenharia, onde trabalha-se com modelos não lineares de 3.

(17) Capítulo 1. Introdução. valores complexos, a representação polar pode ser mais adequada. Para esses casos, encontra-se em [Candau, Raissi, Ramdani & Ibos 2005] a extensão da representação polar de números complexos para o caso intervalar e, mostra-se que ao multiplicar ou dividir dois intervalos complexos polares ainda teremos um intervalo polar. O mesmo não acontece com a adição ou subtração. Para esses casos, a operação de adição é definida a partir da soma de Minkowski e o conjunto resultante de números complexos é aproximado por um setor através de um algoritmo. Trabalhos mais recentes como [Lyra 2003] e [Trindade 2009] abordam a importância do uso de métodos intervalares em processamento de sinais discretos e processamento de imagens. Por exemplo, em [Lyra 2003] tem-se contribuições de abordagens matemática sob a ótica de intervalos reais, como: transformadas direta, inversa, contínua e discreta de Fourier, imagens digitais intervalares e seu processamento. Todos esses conceitos foram motivados pela necessidade de ferramentas mais adequadas para enriquecer a própria teoria e as aplicações. Em [Trindade 2009] utiliza-se sinais (X[n]) e sistemas (F(X[n]) = Y [n]) intervalares reais baseados na representação canônica intervalar, [Santiago, Bedregal & Acióly 2006], e mostra-se que ao estender sistemas usuais ao caso intervalar com o uso da função canônica intervalar algumas propriedades são preservadas.. 1.1. Motivação. A proposta de Moore motivou o desenvolvimento da análise intervalar, aritméticas alternativas, diferentes métricas, topologias e até diferentes noções de intervalos. As diferentes aritméticas intervalares bem como a extensão da noção de intervalos, como em [Kaucher 1980], visam resolver problemas existentes na utilização de intervalos como representação de números reais; seja buscando uma representação mais eficiente, como na análise intervalar modal [Prado 2006], seja para diminuir a incompatibilidade algébrica entre os números racionais e os intervalos racionais [Markov 1977, 1978]. Até aqui, não se tem uma taxonomia dessas propostas e a suas relações com a área de processamento de sinais discretos. Em [Bedregal & Santiago] os autores trabalham diferentes maneiras de medir distâncias entre intervalos estabelecendo uma relação entre elas. O conceito de distância para um conjunto A ⊆ R, definida pela função d : A × A → R, tal que, (a) d(a, a) = 0 ; (b) d(a, c) ≤ d(a, b)+d(b, c) e (c) d(a, b) = d(b, a) ⇒ a = b é estendida para o caso intervalar e formalizada pela noção de quasi-métrica, isto é, a distância entre os intervalos X = [x, x] e Y = [y, y] é dada por qi (X,Y ) = max{y−x, x −y, 0} . Essa quasi-métrica e sua conjugada 4.

(18) Capítulo 1. Introdução. qi (a, b) = qi (b, a) são as bases para a construção de topologias, candidatas a fundamentar o processamento de sinais discretos intervalares, isso porque as topologias de Moore e Scott, obtidas a partir dessa quasi-métrica, preservam a relação entre a continuidade da reta e a continuidade nessas topologias, via o conceito de representação canônica intervalar [Santiago, Bedregal & Acióly 1992] e [Santiago & Bedregal 2006]. Entretanto, a capacidade dessas topologias em dar suporte a essa teoria ainda não foi investigada. Vale notar que não se pode descartar as demais abordagens de intervalos que carecem de um tratamento topológico. Por exemplo, intervalos dotados da ordem de Kulisch-Miranker, intervalos modais, intervalos de Kaucher. Em resumo, é necessária uma investigação das propostas existentes para intervalos a fim de se encontrar uma topologia adequada para a construção de algoritmos intervalares eficientes e uma sólida conceituação para o processamento de sinais discretos intervalares. Para a fundamentação teórica do processamento de sinais discretos intervalares faremos uso dos conceitos introduzidos nos trabalhos [Lyra 2003] e [Trindade 2009], sob uma abordagem intervalar complexa, como os elementos básicos da teoria de números complexos, a identidade de Euler, a representação polar e suas implicações no processamento digital de sinais. Apesar do estudo já ter sido iniciado, ainda falta muito a ser investigado e definido. Daremos ênfase a este assunto uma vez que o processamento de sinais discretos, por lidar com variáveis complexas e envolver importantes aspectos de decomposição de funções em séries, também necessita de análise de convergências, as quais devem ser verificadas dentro da matemática intervalar levando em consideração as topologias investigadas. Além disso, os algoritmos de convergência para serem eficientes precisam apresentar complexidade computacional equivalentes aos usuais e não apresentar instabilidade. Iremos buscar esses atributos em uma sólida fundamentação teórica das aritméticas intervalares complexas.. 1.2. Justificativa. Os métodos intervalares vêem ganhando espaço e importância em diversas áreas da engenharia e computação, pois conseguem codificar os erros computacionais no próprio intervalo [Santiago 2006]. Existem muitas aplicações em processamento de sinais e controle que exigem do usuário certa experiência para analisar a influência dos erros numéricos nos resultados obtidos. Como a maior parte dos processadores digitais de sinais operam em tempo real são necessários processadores rápidos, porém isso pode vir acompanhado de instabilidade. Uma alternativa apontada nos trabalhos [Sunaga 1958], 5.

(19) Capítulo 1. Introdução. [Moore 1959, 1962, 1966, 1979] é o uso de intervalos na análise e processamento de dados discretos, isto é, a incerteza é representada pela troca de valores não-intervalares por intervalos. Além de codificar erros, a aritmética intervalar tem vários atributos atrativos, como a habilidade de localizar todos os conjuntos de soluções para equações não-lineares e oferecer limites confiáveis sobre essas soluções. Diversos autores têem desenvolvido trabalhos que aplicam a matemática intervalar em problemas de engenharia e computação, como [Callander & Cowan 1992], [Edmonson & Willian 2001], [Edmonson, Ocloo, Williams & Alexander 2007], [Edmonson, Lee & Anderson 2000], [Kahan 1968], [Kaucher 1980], [Lordelo 2004], [Lyra 2003], [Markov 1977, 1978], [Trindade 2008, 2009] e [Vaccaro 2001]. Todos esses trabalhos trazem contribuições para a comunidade acadêmica na linha de matemática intervalar e sugerem uma alternativa para a manipulação de dados numéricos e interpretação de resultados, como o uso de algoritmos intervalares. Em muitas aplicações em processamento de sinais discretos é comum o uso de dados numéricos complexos. Com isso, algumas teorias na área de matemática intervalar foram desenvolvidas para dar suporte a esses casos. Podemos citar os trabalhos [Alefeld & Herzberger 1983], [Boche 1966], [Candau, Raissi, Ramdani & Ibos 2005], [Gargantini & Henrici 1972], [Petkovic & Petkovic 1998] e [Rokne & Lancaster 1971] que deram uma fundamentação teórica para incercezas nos números complexos apresentando para isso três abordagens de aritméticas, que são a aritmética retangular, a circular intervalar e a aritmética nos intervalos complexos polares. Os trabalhos [Trindade 2009] e [Lyra 2003] apresentam alguns conceitos novos a respeito dessa teoria além de aplicá-los em imagens digitais intervalares e filtros intervalares. Os trabalhos citados acima, onde se aplica a aritmética intervalar e a aritmética intervalar complexa nas áreas de engenharia e computação tem apresentado resultados satisfatórios e proporcionam novas pesquisas nessa área, o que justifica nosso interesse em desenvolver ferramentas eficientes através de uma fundamentação teórica do processamento de sinais discretos intervalares. A imprecisão em dados no PDS é um fator que compromete o resultado das implementações e alguns autores tem buscado alternativas para controlar essa incerteza. Por exemplo, em [Ferrero, Gamba & Salicone 2004] e [Mendel 2000] os autores tentam controlar a incerteza através da lógica fuzzy. É destacado nesses trabalhos a dificuldade encontrada em se avaliar a incerteza de uma medição realizada por um instrumento em PDS. As fontes de incerteza estão na medição e na conversão-analógico-digital de tal forma que cada amostra de entrada é o resultado da medição com uma incerteza associada. Para ter controle sobre a incerteza os autores representam o resultado da medição e sua incerteza 6.

(20) Capítulo 1. Introdução. associada através de variáveis aleatórias fuzzy. O estudo das incertezas em PDS, seja através da matemática intervalar ou da lógica fuzzy, é importante e tem por objetivo fornecer mecanismos de avaliação dos erros. Uma alternativa futura é associar a lógica fuzzy com a análise intervalar que será feita neste trabalho, com o objetivo de desenvolver ferramentas eficientes para avaliar e controlar incertezas em PDS. Conclui-se esta justificativa com as colocações de [Markov & Okumura 1999] e [Alefeld & Mayer 2000], traduzidas na obra de [Vaccaro 2001]: “É um ponto de vista comum que a análise intervalar continuará a ocupar um lugar significante em matemática aplicada, especialmente na modelagem matemática e na computação científica. (...) Indubitavelmente o desenvolvimento da análise intervalar tornar-se-á para a história da Matemática e mais geralmente para a história da ciência”. ([Markov & Okumura 1999]). “A importância prática da análise intervalar depende substancialmente de sua realização em um computador. Combinando a aritmética de máquina existente com arredondamentos dirigidos é possível implementar uma aritmética intervalar de tal forma que todos os algoritmos intervalares mantenham suas propriedades de existência, unicidade e contenção de uma solução quando executados (...) Nos últimos 20 anos, tanto os componentes algoritmicos da aritmética intervalar como suas implementações em computadores (...) foram desenvolvidos. Hoje, o entendimento da teoria e o uso de linguagens de programação adequadas são ferramentas indispensáveis para uma computação científica avançada e confiável.” ([Alefeld & Mayer 2000]).. 1.3. Objetivos. Neste trabalho, pretende-se desenvolver, no contexto intervalar, as principais ferramentas do processamento digital de sinais que são: sinais, sistemas, amostragem, quantização, codificação, transformada Z e transformada de Fourier. Em síntese, os objetivos são: 1. Fazer um estudo detalhado de algumas aritméticas que lidam com números complexos sujeitos à incerteza, tais como a aritmética complexa intervalar (ou retangular), aritmética complexa circular e aritmética nos intervalos complexos polares. 2. Investigar as propriedades das aritméticas complexas intervalares que serão relevantes no desenvolvimento e aplicação do processamento de sinais discretos intervalares e contribuir com alguns resultados a respeito dessa teoria. 7.

(21) Capítulo 1. Introdução. 3. Definir a amostragem, a quantização e a codificação intervalar que são procedimentos extremamente necessários no processamento digital de sinais. 4. Definir sinais e sistemas intervalares complexos e estabelecer a noção de representação desses sinais e sistemas. 5. Mostrar que se Z = A + iB representa z = a + ib, então fb(A + iB) é a menor representação intervalar de f (z). Além disso, dado um sistema f a função fb preserva as propriedades de causalidade, estabilidade, invariância no tempo e linearidade. 6. Investigar as principais propriedades de sinais e sistemas intervalares complexos. 7. Estabelecer a fundamentação intervalar para a transformada Z de sinais intervalares complexos e definir a região de polos intervalares. Além disso, será feita uma análise detalhada das condições de convergência da transformada Z intervalar utilizando as noções de convergência de sequências intervalares introduzidas por Moore (1979). 8. Analisar o caso particular em que o sinal A[n] + iB[n] é tal que B[n] = [0, 0]. Será mostrado que nessas condições a definição da transformada Z intervalar ainda se desmembra em quatro partes levando em conta que z−n = a + ib, onde a = |z|−n cos(−nω), b = |z|−n sen(−nω) e as possíveis variações de sinais para a e b. 9. Mostrar que para o caso em que z−n = a+ib, onde a = |z|−n cos(−nω), b = |z|−n sen(−nω) é tal que a, b ≥ 0 e que A[n] + iB[n] = [a[n], a[n]] + i[0, 0] é mostrado que a transformada Z intervalar coincide com a definição clássica para o sinal x[n] = [a[n], a[n]]. 10. Analisar as principais propriedades da transformada Z intervalar, como linearidade, deslocamento no tempo, reversão no tempo, multiplicação por uma exponencial e convolução, para o caso particular em que z−n = a + ib, onde a = |z|−n cos(−nω), b = |z|−n sen(−nω) é tal que a, b ≥ 0. 11. Definir a transformada de Fourier para sinais intervalares complexos A[n] + i[0, 0] para o caso particular em que a variável complexa z tem norma unitária. Além disso, para o caso em que A[n] = [a[n], a[n]] será mostrado que a definição coincide com o caso clássico para o sinal x[n] = [a[n], a[n]]. 12. Mostrar as principais propriedades, como como linearidade, deslocamento no tempo, reversão no tempo, multiplicação por uma exponencial e convolução da transformada de Fourier para sinais intervalares discretos no tempo para o caso particular em que z−n = a+ib, onde a = |z|−n cos(−nω), b = |z|−n sen(−nω) é tal que a, b ≥ 0.. 1.4. Organização do Trabalho. O trabalho está dividido da seguinte maneira: 8.

(22) Capítulo 1. Introdução. • Capítulo 2 - “O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares”: Neste capítulo é apresentada uma pesquisa na literatura do uso de sinais intervalares para representar dados com incerteza. • Capítulo 3 - “Matemática Complexa Intervalar”: Neste capítulo são apresentadas três abordagens para número complexo intervalar, ressaltando as principais propriedades de cada uma delas, além de algumas contribuições em propriedades. • Capítulo 4 - “Fundamentação Intervalar para Sinais e Sistemas”: Inicia-se definindo a representação no sistema de ponto flutuante F e através da função arredondamento, denotada por R, os números x ∈ R que não são representáveis em R são mapeados para intervalos [x, x], tal que x, x ∈ F. Define-se sinais e sistemas intervalares complexos e mostra-se que um sinal intervalar complexo se escreve como combinação linear de impulsos deslocados, como no caso clássico. Além disso, define-se as principais classes de sistemas complexos intervalares e, para funções f ∈ C, define-se função a representação intervalar, denotada por fb. É mostrado que esta função é a menor representação de uma função clássica e, além disso, preserva as propriedades de causalidade, linearidade, invariância no tempo e linearidade. • Capítulo 5 - “Princípios de Quantização Intervalar”: Neste capítulo é desenvolvida a fundamentação necessária para se obter uma amostragem intervalar, quantização intervalar e codificação intervalar. Serão definidos os conceitos necessários e investigadas as principais propriedades. É mostrado alguns resultados sobre os níveis de quantização, definida uma estimativa para o erro de quantização intervalar, mostrado que os níveis de quantização intervalares representam os níveis de quantização clássico e que o erro de quantização intervalar também representa o erro de quantização clássico. • Capítulo 5 - “Uma Abordagem Intervalar para Transformada Z e Transformada de Fourier para Sinais Discretos no Tempo”: Neste capítulo é apresentada uma fundamentação matemática para a Transformada Z e de Fourier com a abordagem de intervalos complexos, analisadas as condições de convergência e apresentadas as principais propriedades. • Capítulo 7 - “Validação dos Resultados”: Neste capítulo é apresentado os códigos desenvolvidos no software Matlab para implementar a amostragem clássica, a amostragem intervalar, a quantização clássica, a quantização intervalar e a transformada Z intervalar para um caso particular.. 9.

(23) Capítulo 2 O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. O termo sinal geralmente é usado para caracterizar informações, estado ou comportamento de sistemas físicos e estabelecer uma comunicação entre pessoas ou entre pessoas e máquinas. Como definido em [Oppenheim 1989], um sinal pode ser representado de várias maneiras, por exemplo, um sinal de fala é representado matematicamente como uma função do tempo e uma imagem fotográfica é representada por uma função de duas variáveis. Além disso, os sinais podem ser contínuo no tempo ou discreto no tempo. Os sinais contínuos no tempo, também chamados sinais analógicos, são aqueles definidos ao longo de um tempo contínuo e podem assumir qualquer valor numérico, isto é, tem amplitude contínua. Os sinais analógicos geralmente são representados por variáveis contínuas do tipo x(t). Como exemplo temos o sinal contínuo no tempo x : R → R, tal que √ x(t) = (0.9)t [(1/2)cos(0.2πt) − ( 3/2)sen(0.2πt)], representado na Figura (2.1). Já os sinais discreto no tempo são definidos como uma seqüência numérica de domínio inteiro, onde cada valor da seqüência é chamado amostra. Um sinal discreto pode ser visto como uma amostra de um sinal com tempo uniformemente espaçado e sua amplitude pode ser considerada contínua. Geralmente se representa um sinal discreto por uma sequência do tipo x[n]. Como exemplo de sinal discreto temos a amostragem x : N → R do sinal dado anteriormente, tal que √ x[n] = (0.9)n {(1/2)cos[0.2πn] − ( 3/2)sen[0.2πn]}, está representado na Figura (2.2). Um sinal digital é um sinal discreto, cuja amplitude assume valores num conjunto dis10.

(24) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. Figura 2.1: Sinal contínuo no tempo dado por x(t) = (0.9)t {(1/2)cos(0.2πt) − √ ( 3/2)sen(0.2πt)}.. Figura 2.2: Sinal discreto no tempo dado por x[n] = (0.9)n {(1/2)cos[0.2πn] − √ ( 3/2)sen[0.2πn]}.. 11.

(25) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. creto. Normalmente esse tipo de sinal se origina da quantização de um sinal discreto com valores num conjunto contínuo. Um quantizador possui níveis de quantização correspondentes à quantidade de bits a ser utilizada. Para 3 bits tem-se 23 níveis de quantização. Na prática, para cada amostra, a amplitude do sinal é aproximada para o nível de quantização mais próximo, como ilustra a Figura (2.3). Segundo Oppenheim (1989), com a quantização do sinal há uma perda de informações e, a partir do sinal quantizado, se calcula o erro de quantização. Esse erro tende a diminuir à medida que se aumentam os níveis de quantização, porém, o custo computacional aumenta. Uma alternativa para esse problema, proposta aqui, é realizar uma quantização intervalar, que consiste em fixar níveis de quantização cuja natureza dos valores sejam intervalos fechados. Esses níveis de quantização intervalar representam os níveis de quantização pontuais e, consequentemente, o sinal digital é representado por um sinal intervalar garantindo maior controle de erros. Esta técnica, de certa forma, está por traz das aplicações feitas em [Edmonson et al 2006], onde se desenvolve uma unidade lógica intervalar, chamada I-ALU, para aplicações em processamento de sinais e controle.. Figura 2.3: Sinal digital oriundo de um sinal discreto. O processamento digital de sinais (PDS), cujas raízes se fundamentam em 1960 e 1970 com a viabilidade do primeiro computador digital, se caracteriza por usar um único tipo de dado, os sinais. Muitas vezes esses dados são captados de vibrações sísmicas, imagens, ondas de som, etc. Segundo Smith (1999), o PDS é a matemática, o algoritmo e o conjunto de técnicas usadas para manipular esses sinais depois de terem sido convertidos na forma digital. A variedade de aplicações são inúmeras, como: melhoramento visual de imagens, reconhecimento e geração de fala, compressão de dados para armazenamento e transmissão. Isso tem revolucionado muitas áreas das ciências e engenharia, como a espacial, medicina, comercial, telefonia, militar, industrial e científica. Um sistema pode ser representado matematicamente por uma transformação que mapeia um conjunto de sinais (sinais de entrada) em um outro conjunto de sinais (sinais de saída). Dependendo da natureza dos sinais a serem operados os sistemas podem ser caracterizados como sistemas analógicos ou contínuos no tempo, sistemas discretos no tempo, 12.

(26) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. sistemas digitais ou sistemas mistos que são compostos por diferentes tipos de sinais. Na Figura (2.4) é mostrado um diagrama que representa sistemas contínuos e discretos no tempo.. Figura 2.4: Figura extraída de [Smith 1999]. Diagrama que representa sistemas discretos e contínuos. Segundo [Diniz, Silva & Netto 2004], o PDS é a disciplina que estuda as regras que governam os sinais que são funções de variáveis discretas, assim como os sistemas usados para processá-los. Ela também lida com os aspectos envolvidos no processamento de sinais que são funções de variáveis contínuas utilizando técnicas digitais. Por outro lado, o processamento analógico de sinais estuda um sinal que varia continuamente com o tempo e que é passado por um sistema retornando um sinal, em geral, contínuo e pode ser representado por equações diferenciais. Com o PDS podemos processar sequências de números, que são sinais discretos no tempo, usando algum tipo de hardware digital. A estrutura do PDS é composta por: (i) um conversor analógico-digital (A/D), que transforma um sinal analógico, representado por xa (t), em um sinal digital, representado por xd [n]; (ii) o sistema digital, que é um operador F, desempenha a operação desejada no sinal digitalizado transformando o sinal digital de entrada xd [n] no sinal digital de saída yd [n], isto é, F(xd [n]) = yd [n]; (iii) e o conversor digital-analógico (D/A) que, por fim, transforma o sinal digital yd [n] em um sinal analógico ya (t). O conversor (A/D) é constituído por duas etapas. Primeiro, é feita a amostragem do sinal contínuo xa (t) para um sinal dicreto x[n] = x[nTs ], onde Ts é o período de amostragem. Depois, tem-se um quantizador que aproxima o sinal amostrado a um sinal digital, xd [n], com um número finito de possíveis valores. Esse sinal resultante passa por um sistema resultando em uma saída yd [n] = F(xd [n]). Da mesma forma, o conversor (D/A) também é 13.

(27) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. constituído de duas etapas, primeiro um gerador de trem de pulso transforma a sequência yd [n] em uma sequência de pulsos analógicos escalonados, representada por yba (t), e um interpolador, onde as altas freqüências de yba (t) são removidas por um filtro passa-baixa para produzir um sinal ya (t) suavizado, que representa a resposta ao sinal xa (t). As Figuras (2.5) e (2.6) são diagramas que representam os conversores A/D e D/A, respectivamente.. Figura 2.5: Conversor analógico para digital.. Figura 2.6: Conversor digital para analógico. Na Figura (2.7) temos um diagrama que representa as etapas sofridas por um sinal analógico xa (t) a fim de se obter sua saída analógica ya (t). Além disso, todos os gráficos à esquerda representam os sinais no domínio do tempo, e todos os gráficos à direita, suas transformadas de Fourier correspondentes. Em [Diniz, Silva & Netto 2004] é apresentado uma situação que sugere o quanto é importante e poderoso um dispositivo de PDS. Uma vez que uma seqüência de números esteja disponível para o hardware digital apropriado, pode-se efetuar o processamento desses dados. Por exemplo, dado um sinal no tempo contínuo x(t) é muito difícil obter o sinal cosh[ln(x(t)) + x2 (t) + cos3 (x(t))] y(t) = 5x2 (t) + ex(t) + sen(x(t)) em um hardware analógico. Por outro lado, convertendo o sinal contínuo x(t) em um sinal discreto x[n] as operações podem ser executadas em um computador digital retornando uma saída y[n] que, posteriormente, pode ser convertido, no sinal contínuo y(t). Entretanto, esse processo de representação e implementação dos sinais podem resultar em erros numéricos. 14.

(28) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. Figura 2.7: Extraída de [Diniz, Silva e Netto 2004]. Etapas pelas quais o sinal analógico xa (t) passa para que se obtenha sua saída ya (t) de um sistema no processamento digital de sinais.. 15.

(29) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. Segundo [Trindade 2009], um dos principais problemas encontrados no PDS é a representação da informação em hardware e/ou software. Isso acontece por várias razões, tais como limitações físicas, imprecisões e complexidade na representação da informação. As imprecisões podem estar presentes nos sinais ou podem ser geradas devido às limitações dos sensores, falha no modelo matemático usado para representar o sistema ou originados durante o processamento por arredondamentos e truncamentos. Uma alternativa apontada para esse problema é capturar a imprecisão do sinal em um intervalo; veja os gráficos ilustrativos mostrados nas Figuras (2.8) e (2.9). Na primeira figura temos dois sinais reais intervalares que assumem os valores 0 ou o intervalo [X, X]. Já a segunda figura representa a versão intervalar do sinal discreto X[n] = en e a imagem do sinal contínuo intervalar X(t) = [0.5, 1]sen(t).. Figura 2.8: Extraída de [Trindade 2009]. Sinais intervalares discreto no tempo.. Figura 2.9: Extraída de [Trindade 2009]. Sinal intervalar discreto no tempo representados por X[n] = en e intervalar contínuo representado por X(t) = [0.5, 1]sen(t). Em [Trindade 2009] introduz-se os conceitos iniciais de sinais e sistemas intervalares reais, além disso é proposta uma abordagem intervalar para a transformada Z de sinais intervalares e é estabelecida uma nova conceituação de regiões de convergência para sinais dessa natureza que são aplicadas em filtros intervalares. Segundo [Grigoletti, Dimuro, Barbosa & Reiser 2006], em aplicações de circuitos elétricos, a modelagem de eventos físicos através de técnicas computacionais possui uma grande limitação em termos da confiabilidade de parâmetros utilizados, uma vez que os 16.

(30) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. dados utilizados são obtidos por medições. Com isso, os erros surgem naturalmente, seja pela falha humana ou deficiência dos próprios instrumentos. Os autores também chamam a atenção para os erros numéricos que ocorrem ao se fazer representações numéricas em computadores digitais que, naturalmente, geram erros de truncamento ou arredondamento tanto na fase de modelagem como na implementação numérica. Uma solução apontada em vários trabalhos, como: [Edmonson 2001], [Lyra 2003], [Grigoletti, Dimuro, Barboza & Reiser 2006], [Trindade 2009] e [Cruz 2008], é a representação das informações, em particular sinais discretos e contínuos, na forma intervalar, com o objetivo de capturar a incerteza existente no processo de conversão ou gerada durante o processamento. Em [Cruz 2008] dados intervalares são utilizados para representar as incertezas existentes em tons de cinza de imagens. Naquele trabalho desenvolve-se uma morfologia para operar com imagens intervalares. Em [Lyra 2003] é apresenta a imagem intervalar da Lena, ilustrada na Figura (2.10), constituída da imagem ínfima e imagem suprema. Particularmente o canto do olho esquerdo é representado por uma matriz de pixels intervalares dada na Figura (2.11).. Figura 2.10: Imagem intervalar em tons de cinza da Lena.. Figura 2.11: Matriz intervalar com as informações dos pixels do olho esquerdo da Lena. Em [Grigoletti, Dimuro, Barbosa & Reiser 2005] os sinais elétricos são tratados de forma intervalar e é desenvolvida uma ferramenta computacional, utilizando as técnicas da Matemática Intervalar, chamada Free Interval Circuit Analyser (FINCA). Tal ferra17.

(31) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. menta possibilita uma análise mais confiável e imediata da influência dos erros dos dados de entrada nos valores das tensões nodais e das correntes resultantes. Em [Callander & Cowan 1992] foi apresentado uma solução para a instabilidade de algoritmos usando a aritmética intervalar. Neste trabalho, os dados são apresentados de forma intervalar, assim como as operações do algoritmo. Isso possibilita a análise de sinais com imprecisões, como o da Figura (2.12), que é um sinal com ruídos.. Figura 2.12: Sinal sen(0.075πn) sujeito a ruído. Em [Lyra 2003] utiliza-se sinais intervalares para representar incertezas em sinais, em particular trabalha-se com imagens intervalares. O processamento de imagens digitais é uma operação computacional que captura uma imagem real e a discretiza, espacialmente, em uma matriz de pixel. Nesse processo, os erros numéricos ocorrem com freqüência devido a fatores que influenciam na aquisição da imagem e durante o processamento. 2 O autor trabalhou com alguns sinais intervalares como F(X,Y ) = [1, 3] × Y × e(X/[1,3]) , 2 X,Y ∈ IR, apresentado na Figura (2.15), e F(x) = [1, 3] × e−x , x ∈ R. Neste trabalhos encontramos as primeiras definições de imagens intervalares digitais e seu processamento. No trabalho [Vaccaro 2001] é utilizado sinais intervalares, lá chamados de dados intervalares, e enfatiza a importância de se especificar uma semântica para garantir uma boa interpretação das soluções de equações envolvendo dados intervalares, além de desenvolver algoritmos intervalares para calcular potências positivas de intervalos e conseqüentemente, para solucionar sistemas intervalares. 18.

(32) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. Figura 2.13: Extraída de [Lyra 2003]. Sinal contínuo intervalar de duas variáveis: 2 [1, 3]Ye(X/[1,3]) .. Figura 2.14: Extraída de [Lyra 2003]. 2 2 e−ω /4 , 3π1/2 × e−ω /4 ].. Sinal contínuo intervalar dado por [π1/2 ×. Figura 2.15: Extraída de [Lyra 2003]. Imagem digital intervalar Zelda.itv apresentando a imagem ínfima e suprema.. 19.

(33) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. Em [Lordelo 2004,2005] também se tem o uso de sinais e sistemas intervalares, mais especificamente, o autor aborda o problema de projetar controladores robustos para sistemas lineares e invariantes no tempo, cujos parâmetros são intervalares e mostra que, quando as especificações para a alocação de pólos são representadas través de espectro de polinômios intervalares, o projeto do controlador pode ser feito e solucionado com o uso da matemática intervalar. Em [Buslowicz & Kaczorek 2004] considera-se o uso de sinais intervalares para representar imprecisões e analisa-se as condições necessárias e suficientes para estabilidade robusta de sistemas intervalares positivos discretos no tempo com atraso no tempo. Os autores mostram sistemas intervalares descritos por equações de tempo e espaço por h. xi+1 =. ∑ Ak xi−k , para Ak = [ak , ak ] ⊂ Rn×n + e k = 0, 1, · · · , h, k=0. onde Rn×n + é o conjunto das matrizes n × n, isto é, o sistema possui coeficientes intervalares matriciais. Existem muitas aplicações em PDS que exigem do usuário o conhecimento de como os erros numéricos afetam os resultados obtidos, por isso, em [Edmonson et al 2006] utiliza-se as seqüências X = [x, x] e y = [y, y], uma vez que no processamento de sinais existe uma grande necessidade de determinar soluções ótimas e minimizar funções custos e, em contrapartida, os intervalos apresentam uma grande habilidade em representar imprecisões e otimizar aproximações garantindo a convergência para um mínimo global. A aritmética utilizada para operar X e Y é dada por X op Y = {x op y|x ∈ X, y ∈ Y }, onde op ∈ {+, −, ×, /}. Com essas operações desenvolve-se a plataforma Interval Arithmetic Logic Unit (IAALU) para operar em PDS com sinais de natureza intervalar. Em [Edmonson, Lee & Anderson 2000] utiliza-se a matemática intervalar para se trabalhar com senóides sujeitas a ruído. Os métodos intervalares são utilizados para propor três algoritmos de otimização global para estimar os parâmetros das senóides. Para isso, os valores de entrada dos algoritmos são sinais cujos valores são intervalos fechados: X1 = [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}, mais especificamente são vetores do tipo [X1 , · · · , Xn ]T , onde cada X j é um intervalo fechado. Para implementar as operações o autor utiliza a biblioteca INTLIB, que é um toolbox do MATLAB. Os sinais intervalares também estão sendo usados em sistemas biológicos. Em [Edmonson et al 2007] propõem-se a modelagem de sistemas biológicos utilizando dados 20.

(34) Capítulo 2. O Estado da Arte no Processamento Digital de Sinais Intervalares. intervalares. A matemática intervalar possui vários atributos que atraem pesquisas nessa linha, alguns deles são a habilidade de representar as imprecisões e a possibilidade de oferecer limites confiáveis às soluções de sistemas. Outro caminho para controlar a incerteza existente em PDS é a lógica fuzzy. Em [Ferrero, Gamba & Salicone 2004] os autores relatam que avaliar a incerteza em resultados de medições realizadas por algum instrumento baseado em PDS é uma tarefa complexa e difícil e que os dados de entrada, na maioria das vezes, são resultados de medições associadas a incertezas. Um valor de incerteza deve estar associado ao resultado da medição. Esse valor pode ser obtido combinando os valores da incerteza associados a cada amostra de entrada. No entanto, quando os algoritmos processados pelo PDS são complexos, obter a incerteza pode ser bastante trabalhoso e requer um grande número de cálculos que torna inviável sua obtenção online. A capacidade de um instrumento baseado em PDS de estimar a incerteza online de uma medição, a partir da caracterização de seus dados de entrada, é bastante importante pois “alivia” os cálculos “pesados” e reduz o risco de erros na avaliação da incerteza. Para realizar essa tarefa os autores expressam o resultado da medição e da incerteza associada em termos de variáveis aleatórias fuzzy. Para os autores, esta abordagem permite estimar a incerteza de medição de uma forma mais eficaz que as abordagens probabilísticas clássicas. A determinação da incerteza do resultado de uma medição é atualmente obtido por meio de uma inferência estatística. Em [Mendel 2000] é proposto uma abordagem compatível com a clássica, porém baseada em ferramentas matemáticas diferentes. Esta abordagem é baseada na aplicação de variáveis fuzzy para para a determinação da incerteza, uma vez que elas são eficientes para descrever a possível distribuição dos resultados de uma medição de forma mais eficaz que o método estatístico. Uma alternativa futura seria associar a abordagem intervalar que será dada no presente trabalho com os estudos já feitos na área fuzzy com o objetivo de desenvolver mecanismos eficientes para avaliação das incertezas em PDS. Baseados nos trabalhos citados acima e na grande aplicabilidade e importância de se desenvolver métodos intervalares aplicados em PDS, aponta-se aqui algumas lacunas que motivam o desenvolvimento e fundamentação de conceitos necessários ao processamento digital de sinais: 1. Em trabalhos citados acima, apesar de se utilizar sinais e sistemas intervalares, não se tem modelos matemáticos para eles. Em [Trindade 2009] foi introduzida uma definição intuitiva para sinais intervalares. Porém, ainda carente de uma definição matemática formal. 21.