Análise do escoamento viscoso em uma bomba ejetora

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE MECÂNICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

BRUNO RAFAEL BECKER

ANÁLISE DO ESCOAMENTO VISCOSO EM UMA BOMBA

EJETORA

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

(TCC II)

CURITIBA 2015

BRUNO RAFAEL BECKER

ANÁLISE DO ESCOAMENTO VISCOSO EM UMA BOMBA

EJETORA

Proposta de Projeto de Pesquisa apresentada à disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso II do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, como requisito parcial para aprovação na disciplina.

Orientador: Prof. Dr. Rigoberto E. M. Morales Co-Orientador: M.Sc. Henrique S. Azevedo Co-Orientador: Eng. Michele Pedroso

CURITIBA 2015

TERMO DE APROVAÇÃO

Por meio deste termo, aprovamos a Proposta do Projeto de Pesquisa " ANÁLISE DO ESCOAMENTO VISCOSO EM UMA BOMBA EJETORA", realizado pelo aluno Bruno Rafael Becker, como requisito parcial para aprovação na disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso 2, do curso de Engenharia Mecânica da Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

Prof. Dr. RigobertoEleazar MelgarejoMorales DAMEC, UTFPR

Orientador

Prof. Dr. Moisés Alves Marcelino Neto DAMEC, UTFPR

Avaliador

Prof. Dr. Silvio Luiz de Mello Junqueira DAMEC, UTFPR

Avaliador

DEDICATÓRIA

AGRADECIMENTOS

Agradeço à Universidade Tecnológica Federal do Paraná pela enriquecedora oportunidade de concluir este curso de graduação, propiciando um inestimável aprendizado que espero utilizar e aprimorar para produzir novos conhecimentos.

Ao prof. Dr. Rigoberto Morales, por ter me acolhido de braços abertos e ter aceitado o desafio de um trabalho numérico.

Ao pesquisador Engº Henrique Stel Azevedo da UTFPR, pelas longas discussões e ensinamentos em DFC; e a Engª Michele Pedroso pelo incansável apoio nas simulações e discussões.

A todas as pessoas que, direta ou indiretamente, participaram deste trabalho e foram capazes de acrescentar sabedoria, motivação e alegria em minha vida, muito obrigada.

A toda a minha família e amigos que sempre demonstraram grande carinho e apreço.

RESUMO

Bombas ejetoras são consideradas como bombas auxiliares no transporte de fluidos e são projetadas para uma variedade de situações na indústria de petróleo e gás. Elas são usadas de maneira convencional na extração de petróleo e gás, bem como em aplicações mais complicadas, como poços com revestimento defeituoso ou frágil. Uma bomba ejetora não requer indução mecânica e, portanto, oferece alta confiabilidade. Ejetores são conhecidos por funcionar de forma simples e robusta, com mínimo desgaste e necessidade de manutenção. A grande vantagem do ejetor é que não existem partes móveis em sua composição, sendo por isso capaz de trabalhar em áreas remotas e em condições extremas. Com o intuito de entender a dinâmica do fluido em seu interior e o seu funcionamento, no presente trabalho estuda-se o comportamento do escoamento viscoso em uma bomba ejetora. Para a modelagem do escoamento, será utilizada uma abordagem matemática Euleriana em conjunto com equações constitutivas para trocas interfaciais de duas fases líquidas. Para a modelagem numérica, utiliza-se o Método dos Volumes Finitos baseado em Elementos com uma formulação completamente implícita. As equações discretizadas são resolvidas pelo programa de dinâmica dos fluidos computacional ANSYS-CFX 14.5. Foram realizados testes com malhas de duas e três dimensões e os resultados são validados com dados experimentais existentes na literatura aberta. A partir dos resultados numéricos, é analisada a influência do escoamento viscoso no desempenho do ejetor. Também são avaliados os principais parâmetros que ajudam no projeto de um ejetor, como por exemplo, vazões, alturas manométricas e pressões das fases viscosas em função da variável geométrica da razão de área entre bocal e garganta.

Palavras-chave: Ejetor, simulação, bomba ejetora, viscoso, método

ABSTRACT

Jet pumps are considered auxiliary pumps in the transportation of fluids and are designed for a variety of situations in the oil and gas industry. They are conventionally used in the oil and gas extraction, as well as more complex applications, such as wells with defective or brittle coating. A jet pump requires no mechanical induction and thus offers high reliability. Ejectors are known to work simply and robustly, with minimal wear and maintenance needs. The great advantage of the ejector is that there are no moving parts in their composition, thus being able to work in remote areas and under extreme conditions. In order to understand the fluid dynamics inside the jet pump and its operation, in this paper we study the viscous flow behavior. For the flow modeling, will be used an Eurelian mathematical approach together with constitutive equations for interfacial exchange for the liquid phases. For the numerical modeling was used the Finite-Volume Method based on elements with a fully implicit formulation. The discretized equations are solved by dynamic program computational fluid ANSYS CFX-14.5. The results will be validated with experimental data found in the open literature. From the numerical results will be analyzed the influence of viscous flow on the ejector performance. Also reviews of the key parameters that help in the design of an ejector, as mass flow, head pressure and pressure of the viscous phases as a function of the geometric variable nozzle-throat.

Keywords: Ejector, jet pump, computational simulation, viscous,

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1-1 - Típica configuração de uma bomba ejetora. ... 17 Figura 1-2 - Típica configuração de uma bomba ejetora. ... 17 Figura 1-3 - Representação Esquemática do sistema Mobo. ... 18 Figura 1-4 - Representação Esquemática da Bomba Ejetora acoplada ao

sistema Mobo. ... 18 Figura 2-1 - Representação da bomba ejetora utilizada por Sanger (Fonte:

Sanger, 1970). ... 24 Figura 2-2 - Resultados obtidos por Sanger (Fonte: Sanger, 1970). ... 24 Figura 2-3 - Bomba ejetora utilizada no experimento de Jiao (Fonte: Jiao,

1985). ... 26 Figura 3-1 - Volume de controle genérico contendo dois fluidos e uma interface

móvel separando-os. ... 30 Figura 3-2 - Interface entre dois fluidos (1 e 2) (Fonte: Nieckele e Carneiro,

2012). ... 31 Figura 4-1 – Volume de controle criado num vértice dos elementos finitos. .... 41 Figura 4-2 – (a) Malha no sistema de coordenadas original. (b) Malha no

sistema de coordenadas generalizadas (Maliska, 2004) ... 44 Figura 4-3 - Geometria utilizada para criação de malha. ... 45 Figura 4-4 - Domínio Fluido da bomba ejetora estudada por Sanger, 1970. .... 46 Figura 4-5 – Detalhe de refinamento da malha. ... 46 Figura 4-6 – Bomba ejetora tridimensional: vista lateral. ... 46 Figura 4-7 – Geometria Tridimensional: (a) entrada fluido motriz em vermelho e

entrada de fluido movido em azul: (b) Descarga do ejetor em verde. ... 47 Figura 4-8 – Planos de interesse para os perfis de velocidades. ... 49 Figura 4-9 – Perfil de velocidade na seção (1) – bocal convergente e sucção. 49 Figura 4-10 – Perfil de velocidade na seção (2) – garganta. ... 50 Figura 4-11 – Perfil de velocidade na seção (3) – difusor. ... 50

Figura 4-12 – Curvas de eficiência dos ejetores de Sanger (1970) ... 52

Figura 4-13 – Curvas da altura adimensional de bombeamento dos ejetores S1 e S2 ... 53

Figura 4-14 – Curvas de eficiência das malhas bidimensional (Geo2D) e tridimensional (Geo3D) ... 55

Figura 5-1 – Geometria base ... 56

Figura 5-2 – Condições de Contorno. ... 56

Figura 5-3 – Curvas de eficiência para fluido Água ... 59

Figura 5-4 – Curvas de eficiência para fluido Água10cp ... 59

Figura 5-5 – Curvas de eficiência para fluido Água100cp ... 60

Figura 5-6 – Curvas de altura adimensional de bombeamento para fluido Água ... 61

Figura 5-7 – Curvas de altura adimensional de bombeamento para fluido Água10cp ... 62

Figura 5-8 – Curvas de altura adimensional de bombeamento para fluido Água100cp ... 62

Figura 5-9 – Envelope operacional dos ejetores para o fluido Água ... 63

Figura 5-10 – Envelope operacional dos ejetores para o fluido Água10cp ... 63

Figura 5-11 – Envelope operacional dos ejetores para o fluido Água100cp .... 64

Figura 5-12 – Eficiência máxima em função da razão de área bocal-garganta.64 Figura 5-13 – Campo de velocidades de G02 em três condições operacionais. ... 65

Figura 5-14 – Campo de energia cinética turbulenta de G02 em três condições operacionais. ... 65

Figura 5-15 – Campo de velocidades de G02 em três viscosidades operacionais. ... 66

Figura 5-16 – Campo de energia cinética turbulenta de G02 em três viscosidades operacionais. ... 67

Figura 5-17 – Pressão ao longo da linha central da garganta G02 para fluido Água. ... 68 Figura 5-18 – Pressão ao longo da linha central da garganta G02 para fluido

Água10cp. ... 68 Figura 5-19 – Pressão ao longo da linha central da garganta G02 para fluido

Água100cp. ... 69 Figura 5-20 – Perfil de velocidade adimensional na entrada da garganta do

ejetor G02. ... 70 Figura 5-21 – Perfil de velocidade adimensional na saída da garganta do ejetor

LISTA DE TABELAS

Tabela 4-1 – Geometrias de estudo de Sanger (1970) ... 49

Tabela 4-2 – Geometrias de estudo de Sanger (1970) ... 51

Tabela 5-1 – Tabela de Viscosidades ... 57

Tabela 5-2 – Geometrias do estudo de caso ... 58

Tabela 5-3 – Geometrias do estudo de caso ... 65

LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E ACRÔNIMOS

CFD: Computational Fluid Dynamics

MVFbE: Método dos Volumes Finitos baseado em Elementos BCS: Bomba Centrífuga Submersa

TCC: Trabalho de Conclusão de Curso

COBEM: International Congress of Mechanical Engineering ASME: American Society of Mechanical Engineers

BP: British Petroleum

BHA: Bottom-hole Assembly

BHJ: Bombeamento Hidráulico a Jato DFC: Dinâmica dos Fluidos Computacional LJL: Liquid Jet Liquid

LJG: Liquid Jet Gas

LJGL: Liquid Jet Gas-Liquid MOBO: Módulo de Bombeio RMS: Root Mean Square

LISTA DE SÍMBOLOS

Descrição Unidade

k Energia cinética turbulenta 2

[m².s ]−

ε

Taxa de dissipação de energia turbulenta 3

[m².s ]− tg

V

Velocidade tangencial [m s/ ] z

V

Velocidade axial [m s/ ] z

V Velocidade média axial [m s/ ]

ρ _{Massa específica} 3

[ .kg m− ]

δ Espessura média de filme [ ]m

µ Viscosidade dinâmica -1 -1

[kg.m .s ]

L

Q Vazão volumétrica de líquido -1

[m³.s ]

ν

Viscosidade cinemática -1 [m².s ] g _{Aceleração da gravidade} -2 [m.s ] k

ρ

Massa específica da fase k 3

[ .kg m− ]

k

ψ

Variável genérica [ ]−

k

α

Fração volumétrica da fase k [1]

k

Γ Transferência de massa através da fase k -1

[kg.s ]

k

m& Vazão mássica na fase k -1

[kg.s ]

k

ρ Massa específica média no tempo de cada fase 3

[ .kg m− ]

ˆ_k

v Velocidade média da fase k [m s/ ]

MSk

S Fonte de massa na fase k -1

[kg.s ]

k

ik

M Quantidade de movimento na interface [ ]N

Mk S Fontes de impulso [ ]N T k τ Tensão turbulenta [Pa] t Tempo [ ]s t

µ

Viscosidade turbulenta -1 -1 [kg.m .s ] C_µ

,Cε1_,Cε2 Constantes de fechamento do modelo de turbulência [1]

ε

σ

k−ε

k

P Produção de turbulência -1 -1

[kg.m .s ]

V Volume de um volume de controle [ ³]m

i ip

A _{Área da face correspondente a um ponto de} integração [ ²]m t δ Intervalo de tempo [ ]s β _{Fator de mistura} [ ]− Operadores ∇- Operador Nabla

∂ - Operador diferencial parcial d - Operador diferencial

1 INTRODUÇÃO 16 1.1 Caracterização do Problema 20 1.2 Objetivos 21 1.3 Justificativa 21 1.4 Estrutura do documento 22 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 23 2.1 Tipos de ejetores 23 2.1.1 Ejetor Líquido-Líquido 23 2.1.2 Ejetor Líquido-Gás 25 3 MODELAGEM MATEMÁTICA 28

3.1 Modelo de Dois Fluidos Euleriano-Euleriano 28

3.1.1 Equações de conservação 29

3.1.2 Formulação do modelo de dois fluidos 30

3.1.3 Formulação Média 31

3.2 Modelo κ-ε 36

3.3 Modelo κ- ω 37

3.4 Modelo SST 38

4 MODELAGEM NUMÉRICA 40

4.1 Método dos Volumes Finitos baseado em Elementos (MVFbE) 40 4.1.1 Discretização da conservação da massa 42

4.1.2 Esquema Compressivo 42

4.1.3 Discretização do balanço da quantidade de movimento 43 4.1.4 Sistema de coordenadas generalizadas 44 4.2 Implementação do problema no ANSYS CFX 45

4.2.1 Teste de Y+ ₄₇

4.2.2 Teste de Malha 48

4.2.3 Convergência das Simulações 50

4.2.4 Validação do Modelo Fluido Computacional de LJL 51 4.2.5 Teste de Malha Tridimensional 54

5 ESTUDO DE CASO E RESULTADOS 56

6 CONCLUSÕES 71 6.1 Modelos de Turbulência 71 6.2 Dimensionamento de ejetores 72 6.3 Viscosidade 72 6.4 Trabalhos futuros 73 7 REFERÊNCIAS 74

1 INTRODUÇÃO

Métodos de elevação artificial estão presentes em aproximadamente 94% de todos os poços produtores de petróleo no mundo. A seleção, concepção e operação de sistemas de elevação artificial é uma grande responsabilidade dos engenheiros. O sistema de bombas centrífugas submersas é o método mais utilizado em produção on-shore.(Jiao, 1988).

Dentre as características fluidodinâmicas de poços de produção, pode-se citar: variações de pressão, temperatura e viscosidade, problemas de areia, parafina e gás, tipo de produção (desvio poço offshore, produção submarina) e eficiência. Essa ampla gama de atributos sugere a utilização de sistemas de elevação artificial para otimizar a produção. O uso de bombas ejetoras é uma dessas alternativas (Jiao, 1988).

Bombas ejetoras têm sido usadas na indústria do petróleo por mais de cinco décadas e trabalham em conjunto com as bombas centrífugas submersas. Estas bombas oferecem muitas vantagens, pois não possuem partes móveis, são robustas e tolerantes também a fluidos corrosivos. Manutenção e reparos são pouco frequentes e baratos. Bombas ejetoras são adequadas para poços profundos, poços inclinados, poços de produção submarina, poços com alta viscosidade, para alto teor de parafina, alto teor de areia e, particularmente, para poços com altas razões de gás-petróleo. A bomba ejetora é compacta e adaptável a todas as bombas centrífugas submersas, tem capacidade para grandes volumes e trabalha bem com gás livre (Jiao, 1988).

Uma configuração típica de bomba ejetora de elevação artificial é mostrada na Figura 1-1 e na Figura 1-2. O fluido motriz escoa a alta pressão para o bocal de alimentação, onde a energia potencial é convertida em velocidade. A alta velocidade e baixa pressão, devido ao princípio de Bernoulli, provoca a sucção do fluido movido para dentro da garganta. Em seguida, ocorre mistura turbulenta na garganta até que o fluido combinado entre no difusor. À medida que a velocidade da mistura vai diminuindo, sua pressão aumenta. Devido às perdas de carga produzidas, a pressão de saída do aparelho é sempre inferior à de entrada do fluido motriz.

Figura 1-1 - Típica configuração de uma bomba ejetora.

Figura 1-2 - Típica configuração de uma bomba ejetora.

Uma recente inovação nas operações de extração de petróleo é a utilização do Módulo de Bombeio (MOBO). O sistema MOBO, se constitui num poço dito “falso”, próximo da cabeça do poço realmente produtor, de profundidade da ordem de 100m. A representação esquemática do sistema MOBO é mostrada na Figura 1-3, onde se observa o conjunto bomba, protetor e motor envoltos por uma camisa referida na indústria por shroud. A função da shroud é garantir que o fluido passe através do anular shroud/motor com uma velocidade mínima antes de entrar pela sucção da bomba, de maneira a garantir o resfriamento do motor durante sua operação. Segundo Tosta da Silva (2010), o primeiro protótipo do MOBO foi instalado em um poço “falso” revestido no campo de Jubarte, em lâmina d’água de 1400m, com uma BCS de 30m de comprimento e com uma distância entre o poço produtor e o poço falso de 200m. Fluido de Sucção Descarga Fluido Motriz Câmara de sucção Bocal de alimentação Bocal de sucção Garganta

Difusor

Fluido de sucção

Fluido Motriz

Figura 1-3 - Representação Esquemática do sistema Mobo.

Figura 1-4 - Representação Esquemática da Bomba Ejetora acoplada ao sistema Mobo.

Uma recente inovação nas operações de extração de petróleo é a utilização do Módulo de Bombeio (MOBO). O sistema MOBO, se constitui num

poço dito “falso”, próximo da cabeça do poço realmente produtor, de profundidade da ordem de 100m. A representação esquemática do sistema MOBO é mostrada na Figura 1-3, onde se observa o conjunto bomba, protetor e motor envoltos por uma camisa referida na indústria por shroud. A função da shroud é garantir que o fluido passe através do anular shroud/motor com uma velocidade mínima antes de entrar pela sucção da bomba, de maneira a garantir o resfriamento do motor durante sua operação. Segundo Tosta da Silva (2010), o primeiro protótipo do MOBO foi instalado em um poço “falso” revestido no campo de Jubarte, em lâmina d’água de 1400m, com uma BCS de 30m de comprimento e com uma distância entre o poço produtor e o poço falso de 200m.

O MOBO recebe o fluido produzido, que deve passar pelo anular shroud/motor e atingir a sucção da BCS. Nesse processo o gás existente na mistura deve ser arrastado pelo líquido, impedindo que ocorra a segregação das frações gasosas que viriam a se acumularem no topo do sistema.

A utilização do MOBO propicia que a intervenção ocorra diretamente no poço falso, sem a necessidade de sonda, com a utilização de uma embarcação mais leve e num tempo bastante reduzido (tempo de espera da embarcação somado ao tempo de intervenção). Assim, a utilização do MOBO torna a manutenção do sistema mais rápida ao utilizar uma embarcação de menor custo, de maior disponibilidade (portanto menor tempo de espera) e podendo ainda manter o poço em operação (se igualmente equipado para GLC), o que propícia redução considerável de custos de intervenção quando comparada com a intervenção requerida em aplicações BCS.

A concepção MOBO, ao transferir a BCS para o leito marinho, coloca este sistema em condições operacionais menos favoráveis (no domínio da fluidodinâmica) quando comparadas às condições de fundo de poço. No leito marinho o fluido tem menor pressão, o que aumenta a quantidade de gás livre, como mostrado na Figura 1-4, da mistura e uma menor temperatura que faz aumentar a viscosidade do fluido. A presença de mais gás pode vir a limitar a aplicação deste sistema. Portanto, a inserção de uma bomba ejetora na saída da BCS pode resolver os problemas de gases da bomba centrífuga submersa.

Recentemente, com o desenvolvimento de técnicas avançadas, experimentais e numéricas, tornou-se possível extrair detalhes do escoamento viscoso dentro do ejetor. Acredita-se que, identificando-se os fenômenos físicos que governam o escoamento, seja possível desenvolver um algoritmo de projeto do ejetor que possa ser utilizado em diversos cenários.

1.1 Caracterização do Problema

O uso de ejetores é vantajoso na elevação artificial na produção de petróleo em áreas remotas (instalações submarinas), poços desviados, ou na produção de reservatórios com fluidos de características complexas, como altas viscosidades, componentes corrosivos, presença de areia e/ou parafina (Noronha,1995). Como se pode esperar, entretanto, o ejetor apresenta várias desvantagens em relação a outros processos de elevação artificial, estando alguns deles fundamentalmente relacionados com a dinâmica do escoamento em seu interior.

A geometria da bomba ejetora, por exemplo, impõe largas variações de pressão e velocidade dos fluidos ao longo do domínio, e a modelagem teórica desse fenômeno se torna muito complicada. Além disso, a bomba ejetora utiliza uma região de baixa pressão para succionar o fluido de produção, o que pode provocar cavitação. Esse fenômeno é, em geral, indesejado, uma vez que interfere na lubrificação e destrói a superfície do metal em contato com o fluido.

A eficiência de operação de um ejetor também é uma preocupação. De acordo com Cunningham (1957), apenas 30% da energia cedida pelo fluido motriz se transforma em ganho de energia dos fluidos transportados, o que torna o equipamento significativamente menos eficiente que outros métodos de elevação artificial. Ainda, o princípio de funcionamento de um ejetor não é trivial de um ponto de vista de mecânica dos fluidos. Em geral, mais de uma fase está presente, e a interação entre essas fases, que não é muito bem compreendida, está totalmente relacionada ao desempenho do equipamento.

Por isso, qualquer ferramenta que possa oferecer informações sobre a dinâmica do escoamento nesse dispositivo deve ajudar no entendimento do fenômeno, na obtenção de correlações e coeficientes de projeto e na melhoria do processo.

1.2 Objetivos

Em vista das motivações expostas, no presente trabalho tem-se por objetivo realizar um estudo numérico do escoamento viscoso em uma bomba ejetora. Pretende-se, de uma forma geral, gerar curvas de eficiência e altura manométrica do equipamento como função de suas características geométricas de projeto, que incluem a razão de área entre o bocal e a garganta. Os estudos serão conduzidos para o escoamento de água e fluido viscoso com propriedades físicas conhecidas.

As simulações numéricas serão realizadas através do programa de dinâmica dos fluidos computacional ANSYS-CFX. Em um primeiro momento, uma geometria específica da literatura (Sanger, 1970) para a qual existem dados experimentais, será reproduzida para fins de validação do modelo. Então, modificações geométricas serão propostas, de acordo com situações realistas de produção de petróleo.

A partir dos resultados numéricos obtidos nessas geometrias, serão extraídos parâmetros característicos do escoamento, como perfis de pressão e velocidade e altura de elevação da bomba ejetora que auxiliem na compreensão do funcionamento do equipamento e da influência dos parâmetros construtivos no escoamento dos fluidos motriz e movido.

1.3 Justificativa

Apesar de existirem inúmeros estudos de escoamentos em bombas na literatura, poucos são aqueles relacionados a simulações numéricas de fluidos viscosos. Muitos modelos, para a previsão do desempenho desses equipamentos, sugerem a utilização de equações similares às deduzidas para o bombeio de água, porém acrescidas de correções empíricas, que rigorosamente não apresentam nenhum suporte teórico (NORONHA, 1995). Ainda mais escassos são os estudos de escoamentos viscosos em bombas ejetoras, que são uma classe muito específica dentro da ampla área de elevação artificial. Além disso, a ferramenta de dinâmica dos fluidos computacional proporciona grande versatilidade para simulação de diversas condições operacionais, o que vai a favor dos objetivos propostos.

1.4 Estrutura do documento

O presente trabalho será estruturado em seis diferentes capítulos. No primeiro capítulo realiza-se a abordagem do problema em estudo, que apresenta ao leitor as características do processo de bombeamento, a justificativa do projeto e os objetivos traçados.

O capítulo dois apresenta as definições e conceitos fundamentais sobre bombas ejetoras, além dos principais trabalhos anteriores que possuam relação com o tema estudado.

Uma modelagem matemática é apresentada no terceiro capítulo. As equações governantes do problema são apresentadas.

O quarto capítulo apresenta o modelo numérico, bem como a malha do domínio estudado.

O capítulo cinco traz o estudo de caso e discussões abordadas.

O sexto capítulo mostra ao leitor as conclusões levantadas do trabalho, bem como sugestões para trabalhos futuros.

E o capítulo sete traz a listagem de todas as referências bibliográficas utilizadas para o desenvolvimento deste estudo.

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo, será feita uma revisão da literatura a respeito de alguns ejetores utilizados na indústria.

2.1 Tipos de ejetores

Os ejetores são comumente denominados de acordo com o tipo de fluido que utiliza em seu funcionamento. Por exemplo, no ejetor líquido-líquido (LJL) os fluidos motriz e de produção são líquidos. Já no ejetor líquido-gás (LJG), o fluido motriz é um líquido e o fluido de produção é um gás. O ejetor líquido gás-líquido (LJGL) emprega um fluido primário gás-líquido, e o canal de produção emprega uma mistura gás-líquido.

2.1.1 Ejetor Líquido-Líquido

Os ejetores LJL têm sido muito estudados e podem ser utilizados em poços, de preferência com abstinência de gases. É bem conhecido que a razão entre o diâmetro do bocal e o diâmetro da garganta, o comprimento da garganta e distância entre o bocal e a garganta são os principais parâmetros geométricos na modelagem de ejetores. Lima Neto (2011) fez experimentos para determinar a máxima elevação de ejetores de água com diferentes diâmetros nominais e razões de área de seção transversal entre bocal e garganta. Em seu estudo, correlações adimensionais são descritas para avaliar a elevação de sucção máxima para regiões de não cavitação e para prever futuras cavitações.

No estudo de Sanger (1970), diferentes geometrias com pequenas razões de área entre bocal e garganta foram avaliadas e pôde-se concluir que: bombas ejetoras com pequenas razões de área entre bocal e garganta são capazes de atingir uma eficiência relativamente alta, que uma garganta de comprimento 5,66 vezes maior que o seu próprio diâmetro demonstrou boa eficiência e que gargantas mais compridas que essa estariam sujeitas a perdas de cargas maiores devido à fricção dos fluidos com a parede.

A Figura 2-1 representa a bomba ejetora utilizada por Sanger e a Figura 2-2 demonstra um gráfico de resultados obtidos.

Figura 2-1 - Representação da bomba ejetora utilizada por Sanger (Fonte: Sanger, 1970).

Figura 2-2 - Resultados obtidos por Sanger (Fonte: Sanger, 1970).

10

Razão de Vazão Mássica M 0.05 0.10 Razão de pressão N 1 2 3 4 5 6 0.15 15 20 25 30 35 Eficiência % 1 2 3 4 5 6 0

Cunningham (1970) estudou o fenômeno de cavitação nos ejetores LJL. O modelo unidimensional de Cunningham (1995, 2008) não conseguiu prever o comportamento dos ejetores, pois as perdas de carga dentro dos dispositivos não foram capturados.

Um método de resolução geralmente utilizado em estudos de ejetores é utilizando-se do Computational Fluid Dynamics (CFD), devido ao seu baixo custo e boa confiabilidade quando comparado com dados experimentais. Yapici e Aldas (2013) estudaram numericamente seis ejetores de água com diferentes razões de área de seção transversal de bocal e garganta. Os resultados foram comparados com dados experimentais disponíveis na literatura e mostraram um desvio máximo de 10% para eficiência no ponto de operação ótimo. A maioria dos estudos numéricos considera um modelo tridimensional para o ejetor, o que resulta em tempo computacional elevado durante as simulações.

2.1.2 Ejetor Líquido-Gás

Ejetores LJG são também muito estudados devido à grande quantidade de gás presente em poços produtores de petróleo. Seus parâmetros geométricos mais importantes para modelagem são a razão de diâmetros entre bocal e garganta, comprimento da garganta e distância entre bocal e garganta.

Cunningham (1974) estudou a compressão de gás com um jato de líquido em uma bomba ejetora e considerou o sistema como isotérmico. O autor mostrou que, na mistura que ocorre na garganta, a quantidade de movimento do líquido motriz é transferida ao fluido movido principalmente para comprimir o gás, de forma contrária com o que ocorre com o bombeamento líquido, no qual a transferência de quantidade de movimento é utilizada principalmente para incrementar a energia cinética do fluido bombeado. O autor também afirma que a recuperação de pressão no difusor de LJG’s é significativamente diminuída em comparação com o bombeamento líquido, pois a parcela da energia do líquido é utilizada na realização de trabalho de compressão sobre as bolhas de gás dispersas contidas na mistura homogênea líquido-gás. Como resultados, o autor discute que as maiores eficiências são obtidas quando a mistura ocorre exatamente à montante da saída da garganta. Além disso, ele verificou que

essa eficiência cai ligeiramente quando o processo de mistura se estende até o difusor.

Petrie, Wilson e Smart (1984a 1984b) publicaram dois trabalhos onde sugerem uma abordagem teórica e equações de bombeamento de líquido-líquido adaptadas para o bombeamento multifásico e compressível. Para esse fim, propõe-se o tratamento da fase gasosa como se fosse líquida, substituindo-se o volume do gás à pressão de sucção por igual volume de líquido bombeado. Desse modo, a vazão volumétrica total de bombeio é determinada a partir da soma das vazões volumétricas das duas fases a pressão de sucção. Como resultado são apresentadas tabelas com características geométricas e coeficientes de dissipação de diversas partes das bombas de cada fabricante para produção de petróleo.

Jiao (1985) utilizou um protótipo de ejetor construído em plástico transparente com a finalidade de permitir a visualização do escoamento. O autor realizou um longo programa experimental de testes de bombeamento de mistura água/ar. Os testes foram realizados com diversas combinações de diâmetros de bocal e garganta, comprimentos de garganta e espaçamentos do bocal para levantar vários perfis longitudinais de pressão. Sua conclusão geral foi a de que quanto maior a vazão de gás, menor seria a recuperação de pressão, ocasionando em uma eficiência menor.

Figura 2-3 - Bomba ejetora utilizada no experimento de Jiao (Fonte: Jiao, 1985).

Jiao (1988) realizou novos experimentos, porém para ejetores industriais de altas pressões. Ele utilizou a mesma formulação teórica e análise estatística de seu estudo anterior, mas com duas diferenças básicas. No seu primeiro

trabalho, seu objetivo foi determinar o coeficiente de dissipação no bocal, através da variação de alguns parâmetros de fluxo e geométricos da bomba. No segundo, o coeficiente de dissipação no bocal foi considerado constante e o objetivo passou a ser a determinação do coeficiente de dissipação no conjunto garganta/difusor. Além disso, o parâmetro de vazão de gás em condições padrão foi substituído pela razão de vazão mássica entre o gás e o líquido em condições padrão, enquanto os outros parâmetros da correlação não foram alterados. Nesse trabalho foi determinado o valor para perdas de carga do bocal de alimentação e dependência deste valor deixou de ser da vazão volumétrica da fase gasosa e passou a ser do valor adimensional de razão entre ar e água.

Alhanati (1989) elaborou outro método para previsão de desempenho de bombas a jato no bombeamento de misturas bifásicas por ação de jatos líquidos. Sua abordagem é diferente das até então existentes por considerar com mais detalhe o processo de mistura entre fluidos motriz e movido no interior da garganta. Sua metodologia considera o espalhamento do jato do fluido motriz na garganta e, consequentemente, o processo gradual de mistura do fluido motriz e movido ao longo do equipamento. As misturas bifásicas são consideradas homogêneas e os principais parâmetros de escoamento através da bomba são calculados em cada secção transversal. O modelo foi validado com os dados experimentais levantados por Jiao (1985) através da comparação de perfis longitudinais de pressão. O autor afirma que o modelo foi capaz de prever corretamente os principais eventos relativos ao escoamento através da bomba, nos casos em que não ocorre recirculação junto à parede, escoamento supersônico ou cavitação no interior da garganta, fenômenos estes indesejáveis em ejetores.

Após a realização da revisão bibliográfica, percebe-se que existe falta de informações sobre detalhes do escoamento viscoso no interior da bomba ejetora, pois todos esses modelos necessitam previamente dos valores dos coeficientes de perda de energia. O presente trabalho é apresentado de forma a suprir a falta de um modelo numérico para a resolução do problema citado em relação à mecânica dos fluidos.

3 MODELAGEM MATEMÁTICA

Neste capítulo, de uma forma simples, será apresentada a modelagem matemática e numérica que se pretende utilizar para alcançar os objetivos propostos.

3.1 Modelo de Dois Fluidos Euleriano-Euleriano

O programa utilizado neste trabalho para resolver a modelagem numérica, ANSYS CFX, utiliza o modelo de dois fluidos Euleriano-Euleriano não-homogêneo para resolver as interações das fases no escoamento, modelo este que será detalhado nesta seção. Desenvolvida inicialmente por Delhaye (1968) e aprimorada por Ishii (1975), é a modelagem mais utilizada atualmente para a solução de escoamentos multifásicos.

O modelo de dois fluidos realiza uma média entre as fases do escoamento para eliminar as descontinuidades interfaciais, e tratar o escoamento como um meio contínuo e interpenetrante. Embora a designação de “dois fluidos” esteja presente no nome do modelo, a modelagem pode ser estendida para escoamentos multifásicos, com N fases.

A denominação Euleriano-Euleriano se dá pelas equações de conservação de cada fase (balanço da massa e balanço da quantidade de movimento) serem deduzidas para referenciais inerciais, que não acompanham as fases. Já a denominação de não-homogêneo é pela resolução de um campo de velocidades para cada fase envolvida no escoamento.

As leis válidas para escoamentos monofásicos são as mesmas leis que governam escoamentos multifásicos, entretanto as equações podem ser desenvolvidas para cada fase, individualmente, ou também para uma mistura delas. As dificuldades que se têm em trabalhar com escoamentos multifásicos são a descontinuidade das propriedades, determinar a posição da interface e o acréscimo de equações para a resolução. Ainda há a modelagem de uma interface móvel e deformável entre as fases da mistura. Além disso, é indispensável a consideração sobre os diversos padrões de escoamento como a diferença de velocidade entre as fases e a direção do escoamento (vertical,

horizontal, inclinado), dificultando ainda mais a resolução do problema (Nieckele e Carneiro, 2012).

Como já mostrado, há dificuldades em se trabalhar com escoamentos multifásicos, é então necessário realizar um processo de médias na formulação local instantânea (formulação utilizada para resolver escoamentos monofásicos) para tornar o escoamento contínuo, eliminando as descontinuidades.

3.1.1 Equações de conservação

O balanço da massa para o modelo de dois fluidos é dado pela equação (3.1):

(

)

ρ _ρ ∂ _{+ ∇ ⋅ = Γ} ∂k kuk k t (3.1) Onde

ρ

k: é a densidade de cada fase k.

k

u: é a velocidade de cada fase k.

Γk: é o termo fonte.

O balanço da quantidade de movimento para o modelo de dois fluidos é representado pela equação (3.2):

(

)

( )

(

)

ρ

_ρ

_{τ τ}

_ρ

∂ _{+ ∇ ⋅ = −∇ + ∇ ⋅ + + +} ∂ T k k k k k k k k k k u u u p g M t (3.2) Onde τT

k : representa a tensão turbulenta. k

τ

: é a tensão de cisalhamento devido à viscosidade.

k

p : é a pressão.

k

g

: é a gravidade.

k

M : é o termo fonte.

3.1.2 Formulação do modelo de dois fluidos

Para formular o modelo de dois fluidos considera-se, em princípio, um volume de controle qualquer, mostrado na Figura 3-1, contendo dois fluidos imiscíveis 1 e 2. Cada fluido possui uma velocidade u_k (onde k = 1 ou 2, dependendo da fase) e a interface I se move com velocidade V_I.

Figura 3-1 - Volume de controle genérico contendo dois fluidos e uma interface móvel separando-os.

As equações do balanço da massa e balanço da quantidade de movimento descrevem o escoamento de cada fase até a interface, porém não através dela. Para conseguir resolver através da interface é necessário reescrever as equações de conservação que consigam abordar as descontinuidades, transferência de fase e de quantidade de movimento, essas novas equações são conhecidas como “condições de salto” (Ofuchi, 2012).

Como os fluidos são considerados contínuos, deve-se estabelecer uma fronteira com espessura (δ ) para suavizar as mudanças de propriedades entre as fases e obter as equações na interface. A Figura 3-2 pode observar a pequena interface imaginária com espessura δ , onde

δ

1 e

δ

2 possuem

propriedades do fluido 1 e 2, respectivamente, e o vetor normal n aponta para fora de seu respectivo fluido.

I Fluido 1

Fluido 2

A1 A2

Figura 3-2 - Interface entre dois fluidos (1 e 2) (Fonte: Nieckele e Carneiro, 2012).

O balanço da massa através da interface é dado por:

ρ

_k(u_k −u_I)⋅ =n_k 0 (3.3)

onde u_I é o vetor velocidade da interface, u_k é o vetor velocidade de cada fluido e n_k é vetor unitário normal à interface.

O balanço da conservação da quantidade de movimento fica:

( )

ku uk k uI nk k nk s nk

ρ

− ⋅ − ⋅ =

τ

σκ

⋅ (3.4)

onde

σ

é a tensão superficial (adotada como constante),

κ

_s é o raio de curvatura da superfície e

τ

_k é a tensão de cisalhamento.

3.1.3 Formulação Média

O modelo de dois fluidos poderia ser formulado a partir das equações locais instantâneas apenas com alguns ajustes nas condições de contorno na interface, porém não é tão simples assim, pois as variáveis locais instantâneas tornam o problema com múltiplas condições de contorno, tornando inviável a solução desses problemas matemáticos (Ishii, 1984). Por isso há a

necessidade de se trabalhar em um campo macroscópico e aplica-se a formulação média nos balanços das equações.

Com a finalidade de se obter equações que não captam efeitos microscópicos, são então criadas equações que partem de tensões microscópicas, como pressão e tensões de Reynolds, assim se chegam à formulação de médias.

O conceito adotado na aplicação de médias em escoamentos bifásicos é semelhante ao aplicado em escoamentos turbulentos, onde o efeito das propriedades e das flutuações da velocidade é adicionado por meio de tensões de escoamento e termos fontes adicionais. Entretanto, em escoamentos multifásicos o processo de médias busca descrever o posicionamento médio ou a probabilidade de existência das fases envolvidas em um determinado ponto do escoamento, assim, as fases (mesmo as bolhas dispersas) são consideradas como meios contínuos e interpenetrantes, podendo ocupar, na média, o mesmo ponto no espaço. Em função do posicionamento médio das fases, são levantadas correlações e equações constitutivas, que na média, descrevem as trocas de massas, quantidade de movimento e energia entre as fases.

Para a formulação de médias pode-se tomar médias temporais, volumétricas e de amostragem, dependendo do padrão de escoamento, como podem ser vistas nas equações (3.5), (3.6) e (3.7), respectivamente. O símbolo

Φ , denota-se uma média para uma propriedade genérica Φ.

( )

+ − Φ =

∫

/2Φ / 2 1 , t T t T t dt T r (3.5)

( )

Φ = 1

∫

Φ , V t dV V r (3.6)

( )

− Φ =

∑

Φ 1 1 , N n t N r (3.7)

Onde r é o vetor posição relativo ao campo de escoamento.

Para facilitar o desenvolvimento algébrico na aplicação das médias às equações instantâneas, define-se uma função indicadora de fase X_k, com o uso do vetor posição r.

( )

= ∈ ∉  1, se r fase k , 0, se r fase k k X r t (3.8)

Drew (1983) demonstra que a derivada total dessa função indicadora de fase X_k é nula, ou seja,

0 k I k X u X t ∂ _{+ ⋅∇ =} ∂ (3.9)

onde u_I é a velocidade da interface.

Agora, aplicando a função indicadora de fase X_k nos balanços da conservação de massa e quantidade de movimento, tem-se:

Balanço da conservação de massa:

(

)

(

I

)

kI

ρ

ρ

ρ

∂ _{+ ∇ ⋅ = − ⋅∇ = Γ} ∂ Xk k Xk kuk k uk u Xk t (3.10)

onde Γ_kI é o fluxo de massa através da interface, utilizado na modelagem de escoamentos que possuem mudança de fase e cavitação.

(

)

(

I

)

kI ρ ρ ρ ρ ∂ _{+ ∇ ⋅ − ∇ ⋅ − =} ∂ = − − ⋅ ∇ = k k k k k k k k k k k k k k k k X u X u u X T gX t u u u T X M (3.11)

onde M_kI é o fluxo de quantidade de movimento através da interface, caracteriza as forças interfaciais envolvidas no escoamento como as forças de arrasto, forças de sustentação, força de lubrificação na parede, força de massa virtual e a força de dispersão turbulenta.

Através de um processo de aplicação de médias às condições de salto sobre a interface, conclui-se que, para escoamentos bifásicos, as trocas interfaciais são opostas, ou seja:

kI I I = Γ = ⇒ _{Γ = −Γ}

∑

2 _{1 2} 1 0 k (3.12) kI I I = Γ = ⇒ _{= −}

∑

2 1 2 1 0 i M M (3.13)

Para que seja possível a solução das variáveis de interesse das equações (3.10) e (3.11), é necessário eliminar as médias por meio da introdução de uma fração volumétrica da fase k , denominada

α

k, que representa o volume ocupado pela fase k em um ponto do escoamento, dividido por um volume de referência, e é tal que αk = Xk .

Com esse conceito, Drew (1983) propõe que a “média fásica” (ponderada por X_k ) de uma propriedade qualquer Φ, seja tal que:

α α Φ Φ Φ = k = k ⇒ _{Φ = Φ} k k k k X X X X (3.14)

e, de forma análoga, a média mássica da mesma propriedade genérica Φ é: k k k k X X

ρ

ρ

Φ Φ = (3.15)

Fazendo Φ =

ρ

_k, e substituindo na equação (3.14), pode-se determinar que: k k k k k k k k X X ρ _{ρ α ρ} α ρ Φ Φ = ⇒ _{Φ = Φ} % (3.16)

Com a determinação das equações (3.14) e (3.16), pode-se agora substituir nas equações de balanço de conservação de massa e quantidade de movimento, respectivamente, ou seja:

(

α ρ

)

(

α ρ

)

kI

∂ _{+ ∇ ⋅ = Γ}

∂ k k k kuˆk

t (3.17)

α

k: é a fração volumétrica.

ρk: é a densidade média no tempo de cada fase.

ˆ_k

u: é a velocidade média de cada fase ponderada pela massa.

Γk: é a transferência de massa entre as fases

(

α ρ

)

(

α ρ

)

( )

α

(

α τ τ

(

)

)

α ρ

kI ∂ _{+ ∇ ⋅ + ∇ − ∇ ⋅ + − =} ∂ ˆ ˆ ˆ T k kuk k ku uk k kpk k k k k kg M t (3.18)

onde M_kI são as forças interfaciais, M_kI =MD +ML+MLUB +MMV +MTD, em que D

lubrificação na parede, MMV é a força de massa virtual e MTD é a força de dispersão turbulenta. Neste trabalho foram desprezadas todas as forças que não sejam a força de arrasto (non-drag forces) uma vez que essas forças geralmente são menos significativas que a força de arrasto e possuem uma modelagem, na maioria dos casos, para escoamentos em canais abertos, por isso serão desprezadas.

As equações (3.17) e (3.18) são denominadas como equações gerais de transporte do Modelo de Dois Fluidos. Neste trabalho a abordagem será através do termo de fluxo de quantidade de movimento M_kI, pois não existe mudança de fase dos fluidos e serão desconsideradas as trocas térmicas e de espécies químicas.

3.2 Modelo

κ

_-

ε

Para se resolver a turbulência do escoamento em termos médios, duas novas equações são consideradas para o cálculo de duas propriedades turbulentas, k e

ε

, sendo:

I. k : energia cinética turbulenta definida como a variação das

flutuações da velocidade II.

ε

: dissipação turbulenta.

Introduzindo uma viscosidade turbulenta capaz de traduzir os efeitos médios das tensões turbulentas, tem-se:

ˆi ˆj T k k k t j i v v x x

τ

=

µ

∂ +∂  ∂ ∂   (3.19)

O modelo k−ε assume que a viscosidade turbulenta está ligada à

energia cinética da turbulência e à dissipação turbulenta através da relação: 2 t k C_µ µ ρ ε = (3.20)

Onde C_µ é uma constante.

Os valores de k e

ε

são obtidas diretamente das equações

( )

₍

_ˆ

₎

t k k k vk k P t ρ _{ρ µ} µ _ρε σ   ∂   + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ + − ∂    (3.21)

( )

₍

₎

₍

₎

1 2 ˆ t k v C P C t _ε k ε ε ρε _{ρ ε µ} µ _ε ε _ρε σ   ∂   + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ + − ∂    (3.22)

Onde C_ε1, C_ε2,

σ

_k,

σ

_ε são constantes.

k

P é a produção de turbulência devido a forças viscosas, o qual é modelado usando: ˆi ˆj ˆi k t j i j v v v P x x x

µ

∂ ∂ ∂ =  +  ∂ ∂ ∂   (3.23)

Para o problema em análise neste trabalho é considerado um modelo de turbulência homogêneo para as fases, sendo, portanto necessário resolver apenas um campo de turbulência, que é compartilhado pelos dois fluidos.

3.3 Modelo κ_- ω

O modelo k−

ω

, teve como primeiro pesquisador o soviético Komolgorov (1942) que propôs unificar as equações do modelo k−ε em apenas uma equação, no qual k é a energia cinética turbulenta e

ω

é a taxa de dissipação por unidade de volume e tempo, com

ω

~ k . Tal modelo se adequa melhor quanto mais se aproxima da parede, comparado ao modelo k−ε. O tensor turbulento se dá pela equação (3.24):

τ

=

µ

_∂∂ +∂_∂ −

δ ρ

 +

µ

∂_∂      ˆ ˆ 2 ˆ 3 i j k t k t j i ij k t k x x x v v v (3.24)

Neste modelo a viscosidade turbulenta (

µ

_t), é determinada pela equação (3.25):

µ ρ ω = t k (3.25)

Os valores de k e

ω

são obtidas das seguintes equações transporte:

( )

ρ

₍

_ρ

₎

_µ

µ

_{β ρ ω}

σ

  ∂   + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ + − ∂    ˆ t t k k k k k P k t v (3.26)

( )

₍

₎

ω

ρω

_{ρ ω}

_µ

µ

_ω

_α

ω

_βρω

σ

  ∂   + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ + ∇ + − ∂    2 ˆ t k P t v k (3.27)

onde

β

t, α, β,

σ

_k,

σ

_ω são constantes do modelo.

3.4 Modelo SST

Os modelos de turbulência apresentados anteriormente possuem diversas falhas quando aplicados em escoamentos com separação de camada limite, ou em escoamentos em que as linhas de correntes tenham curvaturas, ou ainda, em condições de corrente livre (Atila et al, 2006).

Sabendo disso, Menter (1994) combinou as os modelos k−

ω

e k−

ε

, e também considerou o transporte de tensões cisalhantes turbulentos. O modelo SST usa o k−

ω

nas regiões próximas as paredes e o modelo k−

ε

para regiões mais distantes das paredes. Uma ponderação é feita sobre essa distância da parede, como pode ser observado na equação :

(

)

onde F1 tem o valor de 0 na região após à camada limite e 1 na parede, e os

termos Φ1 e Φ2 são valores retirados dos modelos k−

ω

e k−

ε

,

respectivamente. A função F₁ é representada na equação 3.25:

( )

= 4 1 tanh arg F (3.29) κ ω ω

κ

µ

ρκ

β ω

ωρ

σ

    =  _ _       2 2 2 500 4

arg min max , ,

y y CD y (3.30) ω ω

κ ω

ρ

σ ω

−  _{∂ ∂}  =   ∂ ∂   10 2 1 max 2 _{j j} ,10 CD x x (3.31)

sabendo que y é a distância da parede,

β

_κ e

σ

_ω2 constantes.

Como se pode observar nos modelos apresentados, há uma enorme complexidade envolvida para se implementar, mostrando a grande dificuldade que se tem em trabalhar com escoamentos turbulentos.

No interior da bomba ejetora além da presença de um escoamento com regime turbulento ainda há a presença de mais de um fluido, necessitando a modelagem de interação entre essas duas fases, aumentando ainda mais a complexidade do presente trabalho. A interação entre as duas fases dos fluidos será tratada utilizando o modelo de dois fluidos Euleriano-Euleriano, apresentado no tópico 3.1.2.

4 MODELAGEM NUMÉRICA

O método numérico possui diversas vantagens:

• Problemas que possuem alta complexidade geométrica e de fenômenos físicos avançados, são resolvidos com menor dificuldade;

• Maior versatilidade em realizar simulações com diversas geometrias e condições impostas no escoamento, como vazão, viscosidade ou diferença de pressão, comparado a análises experimentais;

• Menor tempo necessário para realizar os mesmos testes no laboratório;

• Pode ser aplicado em tamanho real, sem a necessidade de análises em escala, diminuindo possíveis erros;

• Maior precisão dos resultados.

4.1 Método dos Volumes Finitos baseado em Elementos (MVFbE)

Para a resolução de problemas da mecânica dos fluidos, diversos métodos numéricos foram desenvolvidos durante os anos. Métodos de diferenças finitas e o de volumes finitos são muito utilizados. Para geometrias mais complexas, notou-se a versatilidade em usar o método dos Volumes Finitos baseado em Elementos (Sant’anna, 2010).

O método de volumes finitos baseado em elementos finitos (MVbEF) realiza o balanço de propriedades para o volume de controle da geometria em simulação numérica. O MVbEF é um método de volumes finitos semelhante ao modelo de elementos finitos na definição dos elementos e suas respectivas funções de forma para as interpolações no interior do elemento (Maliska, 2004).

Em torno de cada vértice dos elementos finitos da malha criam-se os volumes de controle. Um volume de controle poliédrico é indicado esquematicamente na Figura 4-1.

Figura 4-1 – Volume de controle criado num vértice dos elementos finitos.

Na Figura 4-1, as linhas sólidas definem os limites dos elementos finitos, e as linhas tracejadas os limites do volume de controle. Os círculos preenchidos representam os pontos de cálculo das variáveis do problema e as propriedades do fluido. Os pontos marcados como círculos não preenchidos são os pontos de integração (ip) localizados entre os volumes de controle adjacentes e avaliam os fluxos de superfície.

Cada volume de controle integra as equações de conservação. Utiliza-se o teorema de divergência de Gauss para a conversão das integrais de volume em integrais de superfície e a discretização no tempo é realizada de forma implícita.

Na sequencia o Volctrl representa o volume de um volume de controle, sc

é a superfície do volume de controle, ip são os pontos de integração do volume de controle, Ai_{ip é a área da face correspondente a um ponto de integração,}

svc é o centro do volume de controle,

δ

t é o intervalo de passo de tempo, e os sobrescritos

n

+

1

e n significam que a quantidade é avaliada no passo de tempo próximo e atual, respectivamente.

4.1.1 Discretização da conservação da massa

Considerando-se que não há transferência de massa entre as fases, a equação da continuidade apresentada no modelo de dois fluidos é simplificada para:

(

)

α ρ _{α ρ} ∂ _{+ ∇ ⋅ =} ∂k k k kˆk 0 t v (4.1)

A representação discreta é obtida fazendo a integração no volume de controle. 1 _ˆ 0 ctrl ctrl n i k k k k k ctrl i ctrl Vol n t Vol dtdVol dVol dt t _δ x α ρ α ρ + _{∂ ∂} + = ∂ ∂

∫ ∫

∫ ∫

v (4.2)

(

)

1

(

)

(

)

ˆ 0 ctrl n n _i k k _cvc k k _cvc ctrl k k k Vol t sc dVol ndS dt δ α ρ + α ρ  α ρ   ₋  _{+  ⋅  =}   _{ }

∫

∫ ∫

v r (4.3)

(

) (

1

)

(

)

1 ˆ n 0 n n _{i i} ctrl k k _cvc k k _cvc k k k _ip ip Vol _

α ρ

+ −

α ρ

_+

δ

t_

α ρ

A + _= 

∑

v  (4.4)

Um esquema de primeira ordem foi utilizado para discretizar o termo transiente. Por atuar como um meio de sub-relaxamento da solução atualizada de uma forma física, esse termo é usado para problemas não transientes.

4.1.2 Esquema Compressivo

Para obter maior resolução nos resultados numéricos para as interfaces, um esquema compressivo é utilizado por meio de uma “compressão da interface” (Zwart, 2008). Nesse método, a fração de volume de cada fase em cada ponto de integração, α_{k ip,} , é recalculado em termos de valores de vértices vizinhos e tem a forma:

(

)

, ,

k ip k up kcomp k R

α =α + ∇α ⋅ r (4.5)

onde α_{k up,} é o valor da fração de volume no vértice vizinho, r

R é o vetor do vértice vizinho para o ponto de integração e k_comp é o coeficiente que permite a

compressão da interface para valores maiores do que a unidade, k_comp >1 (ANSYS, 2010).

O esquema não depende de pequenos passos de tempo para obter sua compressibilidade e é igualmente aplicável ao estado estacionário e problemas transientes.

4.1.3 Discretização do balanço da quantidade de movimento

O balanço da quantidade de movimento apresentado no modelo de dois fluidos é reescrito na Eq. 4.6:

(

)

(

)

(

)

α ρ _{α ρ α α τ τ α ρ} ∂ _{+ ∇ ⋅ = −∇ + ∇ ⋅ + + +}   ∂ ˆ ˆ ˆ ˆ T k k k k k k k k k k k k k k k k v v v p g M t (4.6)

A discretização dessa equação é obtida fazendo-se a integração no volume de controle:

(

)

(

)

1 _{ˆ ˆ ˆ} ctrl ctrl ctrl ctrl ctrl ctrl n i i j k k k k k k k ctrl j ctrl Vol n t Vol i k k i ctrl k k ctrl t Vol t Vol ji jiT k k k ctrl k ctrl t Vol t Vol dtdVol dVol dt t x p dVol dt dVol dt x dVol dt dVol dt δ δ δ δ δ

α ρ

α ρ

α

α ρ

α

+ _{∂ ∂} + = ∂ ∂ ∂ = − + + ∂ + ∇ ⋅ + +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

v v v g τ τ _M (4.7)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ctrl n n i i i j k k k _cvc k k k _cvc ctrl k k k k Vol t sc n i i k k _ip ctrl k k ip t t ji jiT i k k k ctrl k t sc t dVol dS dt p A dt Vol dt dS dt Vol dt δ δ δ δ δ α ρ α ρ α ρ α α ρ α + +    ₋  _{+ ⋅ =}       _{ }     = −   + _{ } +       +  + ⋅  + _{ }  

∫

∫ ∫

∑

∫

∫

∫ ∫

∫

v v v v n g τ τ _{n M} r r (4.8)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

1 1 1 1 ˆi n ˆi n ˆ ˆi j j n ctrl k k k _cvc k k k _cvc k k k k _ip ip n i i k k _ip ctrl k k ip n ji jiT j i k k k ctrl k ip _ip Vol t A t p A t Vol t A t Vol α ρ α ρ δ α ρ δ α δ α ρ δ α δ + + + +    ₋ _{+ =}       _{ }     = −  + _{ }+       +  + + _{ }    

∑

∑

∑

v v v v g τ τ _M (4.9)

As equações discretizadas da continuidade e do balanço da quantidade de movimento, Eqs. 4.8 e 4.9, são aplicadas no sistema de coordenadas generalizadas da malha numérica.

4.1.4 Sistema de coordenadas generalizadas

A malha criada para o ejetor é irregular, mesmo tendo um arranjo estruturado, os elementos têm diferentes formas e tamanhos. Entretanto, o sistema de coordenadas original

(

x y z , pode ser transformado para um , ,

)

sistema de coordenadas generalizadas

(

ξ η γ, ,

)

, onde a geometria é tratada numericamente como regular (Maliska, 2004). A Figura 4-2 mostra, para duas dimensões, essa transformação de coordenadas.

Figura 4-2 – (a) Malha no sistema de coordenadas original. (b) Malha no sistema de coordenadas generalizadas (Maliska, 2004)

Na Figura 4-2, o plano da figura (a) representa o plano físico discretizado (geometria real do problema) e o plano da figura (b) representa o plano computacional transformado. Observa-se a mudança de posicionamento dos pontos 1, 2, 3 e 4 com a transposição das coordenadas.

As informações sobre a geometria física são fornecidas ao programa computacional através das métricas da transformação ξ ξ=

(

x y z, ,

)

,

(

, ,

)

sistema de coordenadas generalizadas podem ser encontradas em Maliska (2004).

As equações discretizadas da continuidade e da conservação da quantidade de movimento, Eqs. 4.8 e 4.9, são aplicadas em cada volume de controle do sistema de coordenadas generalizadas, onde as métricas de transformação são encargadas de fazer as devidas compensações para que, nas equações se tenha sempre os comprimentos reais da geometria física. Por último, o conjunto de equações para cada volume de controle gera um sistema algébrico de equações que podem ser resolvidas de maneira iterativa.

4.2 Implementação do problema no ANSYS CFX

A geometria é inicialmente preparada com modelagem da bomba ejetora em ambiente CAD. Utilizou-se o pacote Ansys WorkBench 2.0 Framework versão 14.5.7 para a construção da geometria. Na sequência, as geometrias são exportadas para o ICEM versão 14.5.7 para a elaboração da malha.

No presente trabalho, uma malha hexaédrica foi incorporada ao ejetor. A geometria utilizada para validação de resultados da literatura (Sanger 1970) é apresentada na Figura 4-3 e a geometria criada no Ansys WorkBench está representada na Figura 4-4.

Figura 4-4 - Domínio Fluido da bomba ejetora estudada por Sanger, 1970.

Percebe-se que foi necessário um refinamento de malha mais acentuado nas regiões próximas as paredes na direção radial e próximo as interfaces entre as partes constituintes do ejetor, como a região entre o bocal e a garganta, demonstrado na Figura 4-5, e a seção final da garganta e o início do difusor.

Figura 4-5 – Detalhe de refinamento da malha.

Para a utilização da malha 2D foram feitos testes de malha com uma malha 3D, representada a seguir na Figura 4-6.

Figura 4-6 – Bomba ejetora tridimensional: vista lateral.

Bocal de Entrada do Fluido de Sucção Bocal de entrada motriz Garganta Difusor