ALGEBRA COMPLETA.OK

(1)

Centro III

Curso de Engenharia de Automa¸c˜ao e Controle

Curso de Engenharia Sanit´aria e Ambiental

Curso de Engenharia da Computa¸c˜ao

Curso de Engenharia de Produ¸c˜ao

´

Algebra Linear

e

Geometria Anal’itica

por

Prof.Dr. Claus Haetinger – e-mail: [email protected] URL http://ensino.univates.br/˜chaet

e

Profa.Drnda. M. Madalena Dullius – e-mail: [email protected]

(2)

1 Introdu¸c˜ao 1

2 O Plano 5

3 O Espa¸co 19

4 Curvas Planas, Equa¸c˜oes Param´etricas e Coordenadas

Po-lares 27 5 Matrizes 58 5.1 Introdu¸cão . . . 58 5.2 Conceito . . . 58 5.3 Tipos Especiais . . . 61 5.3.1 Exemplos . . . 62 5.4 Opera¸cões . . . 63 5.4.1 Adi¸cão . . . 64 5.4.2 Subtra¸cão . . . 65

5.4.3 Multiplica¸c˜ao por um N´umero Real . . . 66

5.4.4 Multiplica¸c˜ao de Matrizes . . . 67

5.4.5 Transposi¸c˜ao . . . 74

5.5 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao e Problemas de Aplica¸c˜ao . . . 75

5.6 Respostas dos Principais Exerc´ıcios do Cap´ıtulo . . . 83

6 Sistemas Lineares 87 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 87

6.2 Conceitos . . . 88

6.3 Forma Escalonada . . . 90

6.3.1 Opera¸c˜oes Elementares . . . 91

6.3.2 Procedimento para a Redu¸c˜ao de uma Matriz `a Forma Escalonada . . . 92

6.4 Sistema Linear Escalonado . . . 93

6.4.1 Resolu¸c˜ao de um Sistema Linear Escalonado . . . 94

6.4.2 Escalonamento de um Sistema Linear . . . 94 i

(3)

6.4.3 Algoritmo que Reduz uma Matriz `a Forma Escalonada

Reduzida por Linhas . . . 95

6.5 Solu¸c˜oes de um Sistema Linear . . . 95

6.5.1 Exemplos . . . 97

7 Determinante e Matriz Inversa 104 7.1 Breve Relato Hist´orico . . . 104

7.2 Conceitos . . . 104

7.3 Determinante . . . 105

7.3.1 Desenvolvimento de Laplace . . . 108

7.4 Matriz Adjunta – Matriz Inversa . . . 109

7.5 Regra de Cramer . . . 111

7.6 M´etodo Pr´atico para Encontrar A−1 _{. . . 115}

8 Introdu¸cão às Transforma¸cões Lineares 118 9 Espa¸cos Vetoriais 131 9.1 Introdu¸cão . . . 131

9.2 Vetores no Plano e no Espa¸co . . . 131

9.2.1 Vetores no Plano . . . 132 9.2.2 Vetores no Espa¸co . . . 135 9.3 Espa¸cos Vetoriais . . . 136 9.3.1 Exemplos . . . 137 9.4 Subespa¸cos Vetoriais . . . 137 9.4.1 Exemplos . . . 138 9.4.2 Contra-Exemplos . . . 138 9.4.3 Propriedades . . . 140 9.4.4 Exemplos . . . 140 9.4.5 Exemplos . . . 141 9.5 Combina¸c˜ao Linear . . . 142 9.5.1 Exemplos . . . 142

9.6 Dependˆencia e Independˆencia Linear . . . 143

9.6.1 Exerc´ıcios . . . 143

9.7 Base de Um Espa¸co Vetorial . . . 143

9.7.1 Exemplos . . . 144

9.7.2 Exemplos . . . 145

9.8 Mudan¸ca de Base . . . 147

9.8.1 A Inversa da Matriz de Mudan¸ca de Base . . . 149

9.8.2 Exemplos . . . 149

(4)

10 Aprofundamento Sobre Transforma¸c˜oes Lineares 156

10.1 Introdu¸c˜ao . . . 156

10.2 Exemplos . . . 157

10.3 Transforma¸c˜oes do Plano no Plano . . . 158

10.3.1 Expans˜ao (ou Contra¸c˜ao) Uniforme . . . 158

10.3.2 Reflex˜ao em Torno do Eixo ~OX . . . 159

10.3.3 Reflex˜ao pela Origem . . . 159

10.3.4 Rota¸c˜ao de um ˆangulo θ . . . 160

10.3.5 Cisalhamento Horizontal . . . 161

10.3.6 Transla¸c˜ao . . . 161

10.4 Conceitos e Teoremas . . . 161

10.5 Transforma¸c˜oes Lineares e Matrizes . . . 164

10.6 Aplica¸cões à Óptica . . . 169

11 Desigualdades Lineares 174 12 Variedades Lineares, Conjuntos Convexos e Programa¸c˜ao Linear 180 12.1 Introdu¸c˜ao . . . 180

12.2 Aplica¸c˜oes . . . 181

12.3 T´opicos da Programa¸c˜ao Linear . . . 182

12.4 Metodologia de Resolu¸c˜ao . . . 182

12.5 Conjuntos Convexos . . . 182

12.5.1 Exemplos . . . 183

12.5.2 Caracteriza¸cão Geométrica dos Vértices . . . 188

12.6 Introdu¸cão à Programa¸cão Linear . . . 189

12.6.1 T´opicos sobre Produto Interno . . . 189

12.6.2 M´etodo Geom´etrico . . . 190

12.6.3 Teorema Fundamental da PL . . . 193

12.6.4 Conclus˜ao . . . 194

13 Curvas Cˆonicas 201 13.1 A Elipse . . . 201

13.1.1 Equa¸c˜ao Reduzida da Elipse com Centro na Origem e Focos sobre os Eixos Coordenados . . . 202

13.1.2 Equa¸c˜ao da Elipse Cujos Eixos s˜ao Paralelos aos Eixos Coordenados . . . 203

13.1.3 Posi¸c˜ao Relativa entre Reta e Elipse . . . 204

13.2 A Par´abola . . . 205

13.2.1 Equa¸cão Reduzida da Parábola com Vértice na Ori-gem e Foco sobre um dos Eixos Coordenados . . . 205

13.2.2 Equa¸cão Reduzida da Parábola Cujo Eixo de Simetria é Paralelo a um dos Eixos Coordenados . . . 207

13.2.3 Posi¸c˜ao Relativa entre Reta e Par´abola . . . 207

(5)

13.3.1 Equa¸c˜ao Reduzida da Hip´erbole com Centro na

Ori-gem e Focos sobre os Eixos . . . 209

13.3.2 Equa¸cão Reduzida da Hipérbole Cujos Eixos são Pa-ralelos aos Eixos Coordenados . . . 209

13.3.3 Posi¸c˜ao Relativa entre Reta e Hip´erbole . . . 210

13.4 Equa¸cões de Cônicas com Eixo(s) Não Paralelo(s) aos Eixos Coordenados . . . 210

13.4.1 Exemplos . . . 211

13.5 Aplica¸cão das Transla¸cões e Rota¸cões ao Estudo da Equa¸cão Geral do Segundo Grau a Duas Variáveis . . . 212

13.5.1 Exemplos . . . 214

13.6 A Equa¸cão Geral do Segundo Grau a Duas Variáveis e as Cônicas . . . 215

13.6.1 Exemplos . . . 215

A Artigos para Aprofundamento 217 A.1 Compara¸c˜ao dos Procedimentos para Resolver Sistemas Li-neares . . . 217

A.2 ´Algebra de Matrizes . . . 217

A.3 Correlación de Pares de Imagenes para Medición de Sólidos por Fenómenos Estereo . . . 217

A.4 Introdu¸c˜ao `a Pesquisa Operacional . . . 217

A.5 Modelos . . . 217

A.6 Espa¸cos Vetoriais – Introdu¸c˜ao: Quadrados M´agicos . . . 217

A.7 Compress˜ao de Imagem Digital . . . 217

A.8 Investiga¸cão: Azulejos, Reticulados e a Restri¸cão Crista-lográfica . . . 218

A.9 Investiga¸c˜ao: A Fatora¸c˜ao LU . . . 218

A.10 C´odigos Corretores de Erros . . . 218

A.11 Grafos e D´ıgrafos . . . 218

A.12 Investiga¸cão: Pivotamento Parcial e Contagem de Opera¸cões - Uma Introdu¸cão à Análise de Algoritmos . . . 218

A.13 An´alise de Redes . . . 218

A.14 Simulador de Circuitos . . . 218

A.15 Vetores de C´odigo e Aritm´etica Modular . . . 218

A.16 Diagonaliza¸cão de Formas Quadráticas: Se¸cões Cônicas . . . 218

A.17 A Rampa de Skate do Tempo M´ınimo . . . 218

A.18 Por Que as Antenas S˜ao Parab´olicas . . . 219

A.19 A Hip´erbole e os Telesc´opios . . . 219

A.20 A Sombra do Meu Abajur . . . 219

A.21 A Matem´atica do GPS . . . 219

A.22 Montando uma Dieta Alimentar com Sistemas Lineares . . . 219

A.23 Resumo Sobre Cˆonicas . . . 219

(6)

B Autovalores e Vetores Pr´oprios, Diagonaliza¸c˜ao de

Opera-dores Lineares 220

B.1 Introdu¸c˜ao . . . 220

B.2 Sistemas Lineares da Forma Ax = λx . . . 221

B.3 Autovalores e Autovetores . . . 222

B.4 Diagonaliza¸c˜ao . . . 226

B.4.1 Um Procedimento para Diagonalizar uma Matriz . . . 227

B.4.2 Multiplicidades Geom´etrica e Alg´ebrica . . . 229

B.5 Diagonaliza¸c˜ao Ortogonal . . . 231

B.5.1 Matrizes Ortogonais: Mudan¸ca de Bases . . . 231

B.5.2 Diagonaliza¸c˜ao de Matrizes Sim´etricas . . . 233

C Produto Escalar 235 C.1 ˆAngulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor . . . 237

C.2 Proje¸c˜ao de um Vetor . . . 238

D Processos Aleat´orios: Cadeias de Markov 239 D.1 Id´eia Intuitiva . . . 239

D.2 Conceito . . . 242

D.3 Previs˜oes a Longo Prazo . . . 243

D.3.1 Exemplos . . . 244

D.4 Previs˜oes em Gen´etica . . . 246

E Somat´orios 251 E.1 Exemplos . . . 251

E.2 Exerc´ıcios . . . 252

E.3 Algumas Propriedades . . . 253

E.4 Respostas dos Principais Exerc´ıcios . . . 254

F Tópicos sobre Retas e suas Equa¸cões 255 F.1 Introdu¸cão . . . 255

F.2 Coeficiente Angular . . . 257

F.3 Coeficiente Linear . . . 258

F.3.1 Um Caso `a Parte . . . 262

F.4 As Retas que Passam por um Ponto Dado . . . 268

F.5 Paralelismo de duas retas . . . 272

F.6 Intersec¸c˜ao de Duas Retas . . . 273

F.7 Perpendicularismo de duas Retas . . . 274

F.7.1 Proje¸c˜ao (Ortogonal) de um Ponto sobre uma Reta . . 275

F.8 Equa¸c˜ao Geral e Equa¸c˜ao Reduzida . . . 277

F.8.1 Equa¸c˜ao Geral da Reta . . . 277

F.8.2 Equa¸c˜ao Reduzida da Reta . . . 277

F.9 Distˆancia entre Ponto e Reta . . . 278

F.10 Respostas dos Principais Exerc´ıcios do Cap´ıtulo . . . 281

(7)

Introdu¸c˜

ao

I

niciamos este pol´ıgrafo apresentando alguns exemplos de algumas das inúmeras aplica¸cões da Álgebra Linear. É claro que neste curso não conseguiremos abordá-las todas. Contudo, o leitor interessando em mais detalhes sobre os mesmos pode consultar [1].

Exemplo 1.0.1 (Jogos de estrat´egia)

No jogo de roleta o jogador d´a seu lance com uma aposta e o cassino responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino ´e determinado a partir destes dois movimentos.

Estes são os ingredientes básicos de uma variedade de jogos que contêm elementos tanto de estratégia quanto de acaso. Os métodos matriciais podem ser usados para desenvolver estratégias otimizadas para os jogadores.

Exemplo 1.0.2 (Administra¸c˜ao de florestas)

O administrador de uma planta¸cão de árvores de Natal quer plantar e cortar as árvores de uma maneira tal que a configura¸cão da floresta per-mane¸ca inalterada de um ano para outro. O administrador também procura maximizar os rendimentos, que dependem do número e do tamanho das árvores cortadas.

T´ecnicas matriciais podem quantificar este problema e auxiliar o

admi-nistrador a escolher uma programa¸c˜ao sustent´avel de corte.

Exemplo 1.0.3 (Computa¸c˜ao gr´afica) Uma das aplica¸c˜oes mais

úteis da computa¸cão gráfica é a do simulador de vôo.

As matrizes fornecem uma maneira conveniente de lidar com a enorme quantidade de dados necessários para construir e animar os objetos tridi-mensionais usados por simuladores de vôo para representar um cenário em movimento.

(8)

Exemplo 1.0.4 (Redes el´etricas)

Circuitos elétricos que contenham somente resistências e geradores de energia podem ser analisados usando sistemas lineares derivados das leis básicas da teoria de circuitos.

Exemplo 1.0.5 (Distribui¸c˜ao de temperatura de equil´ıbrio)

Uma tarefa básica da ciência e da engenharia, que pode ser reduzida a resolver um sistema de equa¸cões lineares através de técnicas matriciais iterativas, é determinar a distribui¸cão de temperatura de objetos tais como a do a¸co saindo da fornalha.

Exemplo 1.0.6 (Cadeias de Markov)

Os registros meteorológicos de uma localidade espec´ıfica podem ser usados para estimar a probabilidade de que vá chover em um certo dia a partir da informa¸cão de que choveu ou não no dia anterior.

A teoria das cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever, com muita antecedˆencia, a probabilidade de um dia chuvoso na localidade.

Exemplo 1.0.7 (Gen´etica)

Os mandatários do Egito antigo recorriam a casamentos entre irmãos para manter a pureza da linhagem real. Este costume propagou e acentuou certos tra¸cos genéticos através de muitas gera¸cões.

A teoria das matrizes fornece um referencial matemático para examinar o problema geral da propaga¸cão de tra¸cos genéticos.

Exemplo 1.0.8 (Crescimento populacional por faixa et´aria)

A configura¸c˜ao populacional futura pode ser projetada aplicando ´algebra

matricial `as taxas, especificadas por faixas et´arias, de nascimento e

mor-talidade da popula¸cão. A evolu¸cão a longo prazo da popula¸cão depende das caracter´ısticas matemáticas de uma matriz de proje¸cão que contém os parâmetros demográficos da popula¸cão.

Exemplo 1.0.9 (Colheita de popula¸c˜oes animais)

A colheita sustentada de uma cria¸cão de animais requer o conhecimento da demografia da popula¸cão animal. Para maximizar o lucro de uma colheita periódica, podem ser comparadas diversas estratégias de colheita sustentada utilizando técnicas matriciais que descrevem a dinâmica do crescimento po-pulacional.

Exemplo 1.0.10 (Criptografia)

Durante a Segunda Guerra Mundial, os decodificadores norte-americanos e britânicos tiveram êxito em quebrar o código militar inimigo usando técnicas matemáticas e máquinas sofisticadas.

Hoje em dia, o principal impulso para o desenvolvimento de códigos seguros é dado pelas comunica¸cões confidenciais entre computadores e em telecomunica¸cões.

(9)

Exemplo 1.0.11 (Constru¸c˜ao de curvas e superf´ıcies por pontos especificados)

Em seu trabalho “Principia Mathematica” (Os Princ´ıpios Matemáticos da Filosofia Natural), I. Newton abordou o problema da constru¸cão de uma elipse por cinco pontos dados. Isto ilustraria como encontrar a órbita de um cometa ou de um planeta através da análise de cinco observa¸cões.

Ao inv´es de utilizarmos o procedimento geom´etrico de Newton, podemos utilizar os determinantes para resolver o problema analiticamente.

Exemplo 1.0.12 (Programa¸c˜ao linear geom´etrica)

Um problema usual tratado na área de programa¸cão linear é o da deter-mina¸cão de propor¸cões dos ingredientes em uma mistura com o objetivo de minimizar seu custo quando as propor¸cões variam dentro de certos limites. Um tempo enorme do uso de computadores na administra¸cão e na indústria é dedicado a problemas de programa¸cão linear.

Exemplo 1.0.13 (O problema da aloca¸c˜ao de tarefas)

Um problema importante na ind´ustria ´e o do deslocamento de pessoal e de recursos de uma maneira eficiente quanto ao custo.

Por exemplo, uma construtora pode querer escolher rotas para movimen-tar equipamento pesado de seus depósitos para os locais de constru¸cão de maneira a minimizar a distância total percorrida.

Exemplo 1.0.14 (Modelos econˆomicos de Leontief )

Num sistema econômico simplificado, uma mina de carvão, uma ferrovia e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da produ¸cão das outras para sua manuten¸cão e para suprir outros consumidores de seu produto.

Os modelos de produ¸cão de Leontief podem ser usados para determinar o n´ıvel de produ¸cão necessário às três indústrias para manter o sistema econômico.

Exemplo 1.0.15 (Interpola¸c˜ao “spline” c´ubica)

As fontes tipogr´aficas PostScriptTM e TrueTypeTM usadas em telas de monitores e por impressorar s˜ao definidas por curvas polinomiais por partes denominadas “splines”.

Os parâmetros que os determinam estão armazenados na memória do computador, um conjunto de parâmetros para cada um dos caracteres de uma particular fonte.

Exemplo 1.0.16 (Teoria de grafos)

A classifica¸cão social num grupo de animais é uma rela¸cão que pode ser descrita e analisada com a teoria de grafos.

Esta teoria também tem aplica¸cões a problemas tão distintos como a de-termina¸cão de rotas de companhias aéreas e a análise de padrões de vota¸cão.

Exemplo 1.0.17 (Tomografia computadorizada)

Um dos principais avan¸cos no diagnóstico médico é o desenvolvimento de métodos não invasivos para obter imagens de se¸cões transversais do corpo humano, como a tomografia computadorizada e a ressonância magnética.

(10)

Os m´etodos da ´Algebra Linear podem ser usados para reconstruir imagens a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada.

Exemplo 1.0.18 (Conjuntos fractais)

Conjuntos que podem ser repartidos em versões congruentes proporcio-nalmente reduzidas do conjunto original são denominadas fractais. Os frac-tais são atualmente aplicados à compacta¸cão de dados computacionais.

Os m´etodos da ´Algebra Linear podem ser usados para construir e classi-ficar fractais.

Exemplo 1.0.19 (Teoria do Caos)

Os “pixels” que constituem uma imagem matricial podem ser embara-lhados repetidamente de uma mesma maneira, na tentativa de torná-los aleatórios. Contudo, padrões indesejados podem continuar aparecendo no processo.

A aplica¸c˜ao matricial que descreve o processo de embaralhar ilustra tanto a ordem quanto a desordem que caracterizam estes processos ca´oticos.

Exemplo 1.0.20 (Um modelo de m´ınimos quadrados para a audi¸c˜ao humana)

O ouvido interno contém uma estrutura com milhares de receptores sen-soriais ciliares. Estes receptores, movidos pelas vibra¸cões do t´ımpano, res-pondem a freqüências diferentes de acordo com sua localiza¸cão e produzem impulsos elétricos que viajam até o cérebro através do nervo auditivo. Desta maneira, o ouvido interno age como um processador de sinais que decompõe uma onda sonora complexa em um espectro de freqüências distintas.

Exemplo 1.0.21 (Deforma¸c˜oes e morfismos)

Você já deve ter visto em programas de televisão ou clipes musicais ima-gens mostrando rapidamente o envelhecimento de uma mulher ao longo do tempo, ou a transforma¸cão de um rosto de mulher no de uma pantera, a previsão de como seria hoje o rosto de uma crian¸ca desaparecida há 15 anos atrás, etc.

Estes processos são feitos a partir de algumas poucas fotos. A idéia de continuidade, de evolu¸cão do processo, é feito através do computador. Este processo de deforma¸cão é chamado de morfismo, que se caracteriza por misturas de fotografias reais com fotografias modificadas pelo computador.

Tais técnicas de manipula¸cão de imagens têm encontrado aplica¸cões na indústria médica, cient´ıfica e de entretenimento.

CH

(11)

O Plano

R

efere-se ao Cap´ıtulo 2 de [30], p´aginas 16 a 39.

CH

AETINGER

(12)

O Espa¸co

R

efere-se ao Cap´ıtulo 4 de [30], p´aginas 90 a 103.

CH

AETINGER

(13)

Curvas Planas, Equa¸c˜

oes

Param´

etricas e Coordenadas

Polares

R

efere-se ao Cap´ıtulo 12 de Larson, R.E.; Hostetter, R.P. e Edwards, B.H. ([12]), p´aginas 743 a 801.

CH

AETINGER

(14)

Matrizes

5.1 Introdu¸c˜

ao

N

este cap´ıtulo, apresentamos os conceitos básicos sobre matrizes, os quais surgem de forma natural na resolu¸cão de problemas, porque “ordenam e simplificam” os mesmos, bem como fornecem novos métodos de resolu¸cão. Adotaremos a abordagem lógico-dedutiva, pois os alunos que, ao con-clu´ırem o Ensino Médio, pretendem se dedicar de forma especializada às Engenharias, à Qu´ımica Industrial, à Matemática ou à Informática, ingres-sando nestas áreas na universidade, deparam-se com freqüência com ra-cioc´ınios lógico-dedutivos e convêm terem visto algo neste sentido já desde o in´ıcio do curso.

5.2 Conceito

Exemplo 5.2.1 Uma ind´ustria tem quatro f´abricas A, B, C, D, cada

uma das quais produz três produtos 1, 2, 3. A tabela mostra a produ¸cão da indústria durante uma semana.

Fábrica A Fábrica B Fábrica C Fábrica D

Produto 1 560 360 380 0

Produto 2 340 450 420 80

Produto 3 280 270 210 380

Tabela 5.1: Produ¸cão da indústria por fábrica

Quantas unidades do produto 2 foram fabricadas pela f´abrica C?

(15)

Exemplo 5.2.2 Ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e

idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispˆo-los na tabela abaixo:

Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)

Pessoa 1 1,70 70 23

Pessoa 2 1,75 60 45

Pessoa 3 1,60 52 25

Pessoa 4 1,81 72 30

Tabela 5.2: Altura, peso e idade por pessoa

Ao abstrairmos os significados das linhas e das colunas, temos a matriz:     1, 70 70 23 1, 75 60 45 1, 60 52 25 1, 81 72 30    

Quando o número de variáveis e de observa¸cões é muito grande, esta dis-posi¸cão ordenada de dados é indispensável.

Defini¸c˜ao 5.2.3 Sejam 1 ≤ m, n ∈ N; chama-se matriz m × n (leia-se:

m por n) a uma tabela constitu´ıda por mn elementos, dispostos em m linhas

(horizontais) e n colunas (verticais).

Nota¸c˜ao: Seja Am×n e sejam i, j ∈ N tais que: 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n;

indicaremos com aij o elemento de A que ocupa a linha i e a coluna j; A

ser´a indicada por: _        a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn        

ou de forma mais sint´etica: A = (a_ij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Usaremos sempre letras mai´usculas para denotar matrizes.

Também são utilizadas outras nota¸cões para matriz, além de colchetes, como parênteses ou duas barras. Por exemplo:

µ 2 −1 0 4 ¶ e 2 −1 0 4

Observa¸c˜ao 5.2.4 Os elementos de uma matriz podem ser n´umeros

re-ais, números complexos, polinômios, fun¸cões, etc.; aqui, entretanto, traba-lharemos apenas com matrizes constitu´ıdas por números reais.

Defini¸c˜ao 5.2.5 Sejam as matrizes A = (a_ij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n e B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Dizemos que A

(16)

´e IGUAL a B, e indicamos com A = B, se aij = bij para 1 ≤ i ≤ m e

1 ≤ j ≤ n, ou seja, duas matrizes m × n s˜ao iguais se possuem os elementos

de mesma posi¸c˜ao iguais; se isto n˜ao acontecer, elas se dizem DIFERENTES e indicamos com A 6= B. Exemplo 5.2.6 1.   3 2_{4 7} 5 3   =   3 2_{4 7} 5 3   2. µ 2 4 8 −1 ¶ 6= µ 2 4 8 1 ¶ 3. ¡ 1 2 3 ¢6=¡ 3 2 1 ¢ 4. µ 32 1 log 1 2 22 ₅ ¶ = µ 9 sin 90o 0 2 4 5 ¶

Podemos também construir matrizes que possuam uma rela¸cão entre seus elementos, a partir de uma lei de forma¸cão:

Exemplo 5.2.7 Representar explicitamente a matriz A = (a_ij), com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2, tal que aij = 3i − 2j + 4. Resolu¸c˜ao • i = 1 e j = 1 ⇒ a11= 3 · 1 − 2 · 1 + 4 = 5; • i = 1 e j = 2 ⇒ a12= 3 · 1 − 2 · 2 + 4 = 3; • i = 2 e j = 1 ⇒ a21= 3 · 2 − 2 · 1 + 4 = 8; • i = 2 e j = 2 ⇒ a22= 3 · 2 − 2 · 2 + 4 = 6; • i = 3 e j = 1 ⇒ a₃₁= 3 · 3 − 2 · 1 + 4 = 11; • i = 3 e j = 2 ⇒ a32= 3 · 3 − 2 · 2 + 4 = 9. Logo: A =   5₈ 3₆ 11 9  . X

Exerc´ıcio 5.2.8 Representar explicitamente a matriz quadrada de

or-dem 2, cujo elemento gen´erico ´e: aij = 2i − 3j + 5.

Exemplo 5.2.9 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com

1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal que ½

aij = 1 para i 6= j aij = 0, para i = j.

(17)

O enunciado permite escrever: ½ a₁₂= a₁₃= a₂₁= a₂₃= a₃₁= a₃₂ = 1 a11= a22= a33 = 0 . Logo:   0 1 1_{1 0 1} 1 1 0  . X

Exerc´ıcio 5.2.10 Representar explicitamente a matriz A = (aij), com

1 ≤ i ≤ 4 e 1 ≤ j ≤ 4, tal que ½

aij = 0 para i 6= j a_ij = 1, para i = j. Exemplo 5.2.11

1. Matriz A = (aij)3×3, tal que aij = j2− i2 ⇒ matriz quadrada; 2. Matriz B = (bij)1×3, tal que bij = j − 2i ⇒ matriz linha; 3. Matriz C = (cij)4×1, tal que cij = 2i2− 3j ⇒ matriz coluna; 4. Matriz D = (d_ij)_1×2, tal que d_ij = 0 ⇒ matriz nula;

5. Matriz E = (eij)2×2, tal que e_ij =

½

0, se i 6= j

i + j, se i = j ⇒ matriz diagonal; 6. Matriz F = (fij)3×3, tal que

fij =

½

1, se i = j

0, se i 6= j ⇒ matriz identidade.

5.3 Tipos Especiais

Consideraremos agora alguns casos particulares de matrizes m × n: Defini¸c˜ao 5.3.1 Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é

igual ao n´umero de colunas (m = n). Nestes casos, costuma-se dizer que a matriz ´e de ordem n.

Defini¸c˜ao 5.3.2 Matriz Nula ´e aquela em que aij = 0, para todo i e j. ´E denotada por Om×n.

Defini¸c˜ao 5.3.3 Matriz-Coluna ´e aquela que possui uma ´unica coluna (n = 1).

Defini¸c˜ao 5.3.4 Matriz-Linha ´e aquela onde m = 1.

Defini¸c˜ao 5.3.5 Seja An×n uma matriz quadrada de ordem n; os ele-mentos a_ij, para os quais i = j (a₁₁, a₂₂, . . . , a_nn), s˜ao ditos elementos da diagonal principal da matriz. Por outro lado, os elementos para os quais

i + j = n + 1 (a1n, a2 n−1, . . . , an 1), formam a diagonal secund´aria da

(18)

Defini¸c˜ao 5.3.6 Matriz Diagonal ´e uma matriz quadrada (m = n)

onde aij = 0, para i 6= j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.

Defini¸c˜ao 5.3.7 Matriz Identidade ou Unidade ´e uma matriz qua-drada de ordem n em que aii = 1 e aij = 0, para i 6= j. ´E denotada por In. Muitas vezes, ela aparece escrita da seguinte forma: In = (δij), com

1 ≤ i, j ≤ n, onde:

δij =

½

1, quando i = j 0, quando i 6= j.

Defini¸c˜ao 5.3.8 Matriz Triangular Superior ´e uma matriz

qua-drada onde todos os elementos abaixo da diagonal s˜ao nulos, isto ´e, m = n e aij = 0, para i > j.

Defini¸c˜ao 5.3.9 Matriz Triangular Inferior ´e aquela em que m = n

e aij = 0, para i < j.

Defini¸cão 5.3.10 Matriz Sim´etrica é aquela onde m = n e aij = aji. Observe que isto equivale a dizer que a parte superior é uma reflexão axial da parte inferior, em rela¸cão à diagonal.

5.3.1 Exemplos

Exemplo 5.3.11 S˜ao exemplos de matrizes diagonais:

A =   1 0 0_{0 2 0} 0 0 3  , B = µ 1 0 0 1 ¶ , C =¡ 3 ¢, D =   0 0 0_{0 0 0} 0 0 0  . Exemplo 5.3.12   2 −1 0_{0 −1 4} 0 0 3   e µ a b 0 c ¶

s˜ao matrizes triangulares superiores. Exemplo 5.3.13     2 0 0 0 1 −1 0 0 1 2 2 0 1 0 5 4     e   5 0 0_{7 0 0} 2 1 3 

 s˜ao matrizes

tri-angulares inferiores. Exemplo 5.3.14     a b c d b e f g c f h i d g i k     e   4₃ 3 −1₂ ₀ −1 0 5   s˜ao matrizes sim´etricas.

(19)

5.4 Opera¸c˜

oes

Exerc´ıcio 5.4.1 Consideremos as tabelas de produ¸c˜ao de cal¸cados no

primeiro trimestre de 2001.

Janeiro F´abrica A F´abrica B Modelo 1 9667 307 Modelo 2 11545 7848 Modelo 3 0 3577

Fevereiro Fábrica A Fábrica B Modelo 1 2387 1265 Modelo 2 20178 5382 Modelo 3 0 1341 Mar¸co Fábrica A Fábrica B

Modelo 1 8234 1149 Modelo 2 13705 2971 Modelo 3 0 1804

Tabela 5.3: Produ¸c˜ao de cal¸cados no primeiro trimestre

1. Quantos cal¸cados de cada modelo cada f´abrica produziu nos meses de janeiro e fevereiro juntos?

2. Quantos cal¸cados de cada modelo cada fábrica produziu no trimestre? 3. Considerando que a previsão para a produ¸cão de abril será o dobro da

de fevereiro, determine a estimativa para abril.

4. De quantos pares a produ¸c˜ao (de cada modelo para cada f´abrica) au-mentou ou diminuiu no per´ıodo de janeiro para fevereiro?

Exemplo 5.4.2 Consideremos as tabelas que descrevem a produ¸c˜ao de

gr˜aos em dois anos consecutivos.

Ano 1 soja feijão arroz milho Região A 3000 200 400 600 Região B 700 350 700 100 Região C 1000 100 500 800

Ano 2 soja feijão arroz milho Região A 5000 50 200 0 Região B 2000 100 300 300 Região C 2000 100 600 600

Tabela 5.4: Produ¸c˜ao de gr˜aos (em milhares de toneladas) durante dois anos consecutivos

Se quisermos montar uma tabela que dê a produ¸cão por produto e por região nos dois anos conjuntamente, teremos que somar os elementos cor-respondentes das duas tabelas acima):

  3000 200 400 600_{700 350 700 100} 1000 100 500 800   +   5000_{2000 100 300 300}50 200 0 2000 100 600 600   =

(20)

  8000 250_{2700 450 1000}600 600₄₀₀ 3000 200 1100 1400   . Ou seja:

soja feijão arroz milho Região A 8000 250 600 600 Região B 2700 450 1000 400 Região C 3000 200 1100 1400

Tabela 5.5: Produ¸c˜ao total de gr˜aos (em milhares de toneladas) durante os dois anos

5.4.1 Adi¸c˜ao

Defini¸c˜ao 5.4.3 Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes , com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Chamamos de SOMA da matriz A com a matriz B à matriz C = (cij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que cij = aij+ bij, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, soma de duas matrizes m × n é a matriz que se obtém das matrizes dadas, somando-se os elementos de mesma posi¸cão. Para dizer que C é soma de A com B, indicá-la-emos com A + B.

Exemplo 5.4.4   1 −1₄ ₀ 2 5  +   _{−2 5}0 4 1 0  =   1 3_{2 5} 3 5  .

Observa¸c˜ao 5.4.5 S´o definimos soma de matrizes quando elas tˆem

en-tre si o mesmo número de linhas e também o mesmo número de colunas.

Observa¸c˜ao 5.4.6 Pela forma com que foi definida, a adi¸c˜ao de

ma-trizes tem as mesmas propriedades que a adi¸c˜ao de n´umeros reais.

Defini¸c˜ao 5.4.7 Seja a matriz A = (a_ij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Chamamos de matriz OPOSTA de A `a matriz B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e

1 ≤ j ≤ n tal que: bij = −aij, para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, matriz oposta de A é a matriz que se obtém de A trocando-se o sinal de cada um dos seus elementos. Para dizer que B é oposta de A, indicá-la-emos com −A. Exemplo 5.4.8 A = · 1 2 −1 0 −2 3 ¸ ⇒ −A = · −1 −2 1 0 2 −3 ¸ . X Propriedades

Propriedade 5.4.9 Dadas as matrizes A, B e C, todas m × n, temos:

(21)

ii. (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) iii. A + Om×n = Om×n+ A = A (elemento neutro)

iv. A + (−A) = (−A) + A = Om×n (elemento oposto)

prova: exerc´ıcio. P

5.4.2 Subtra¸c˜ao

Defini¸c˜ao 5.4.10 Sejam A e B duas matrizes m × n; chama-se

DIFERENÇ A entre A e B à soma de A com a oposta de B; a diferen¸ca entre A e B será indicada por A − B. Então, pela defini¸cão dada, temos: A − B = A + (−B). Exemplo 5.4.11   3 −1₄ ₂ 1 0  −   4_{2 −2}3 0 −1   =   3 −1₄ ₂ 1 0  +   −4 −3₋₂ ₂ 0 1   =   −1 −4₂ ₄ 1 1   X Exerc´ıcio 5.4.12 Sendo A = µ 8 7 2 3 ¶ , B = µ 0 −1 4 2 ¶ e C = µ 3 7 1 −2 ¶ , obtenha A + (B + C). Exerc´ıcio 5.4.13 Sendo A = µ −1 2 −1 0 ¶ , B = µ 3 2 4 1 ¶ e C = µ 5 2 1 3 ¶ , obtenha (A − B) − C. Exerc´ıcio 5.4.14 Sendo A = µ 1 2 2 −1 ¶ , B = µ 0 3 0 2 ¶ e C = µ −1 −1 −2 0 ¶ , obtenha A − (B − C). Exemplo 5.4.15 Sendo A = µ 1 2 2 −1 ¶ , B = µ 0 3 0 2 ¶ e C = µ −1 −1 −2 0 ¶ , obtenha A − B + C. Solu¸cão A − B + C = (A − B) + C = · 0 −2 0 −3 ¸ X Exemplo 5.4.16 Sendo A = µ 2 3 1 0 ¶ , B = µ −1 0 2 −3 ¶ e C = µ 0 3 1 −4 ¶

(22)

Resolu¸c˜ao

Vamos acrescentar pela esquerda, a ambos os membros da igualdade dada, a oposta de A; temos: −A + (A + X) = −A + (B + C), isto ´e, (−A + A) + X = −A + (B + C) ⇒ X = −A + (B + C). Portanto,

X = · −2 −3 −1 0 ¸ + · −1 0 2 −3 ¸ + · 0 3 1 −4 ¸ = · −3 0 2 −7 ¸ . X Exerc´ıcio 5.4.17 Sendo A = µ 12 −2 3 −5 ¶ , B = µ 7 2 1 8 ¶ e C = µ 0 3 5 7 ¶

, obtenha a matriz Y tal que (A + Y ) − C = A + B. 5.4.3 Multiplica¸c˜ao por um N´umero Real

Exemplo 5.4.18 (Baseado nos dados do exemplo 5.4.2) Existem

mui-tos incentivos para se incrementar a produ¸cão (condi¸cões climáticas fa-voráveis, etc.), de tal forma que a previsão para a safra do terceiro ano será o triplo da produ¸cão do primeiro. Assim, a matriz de estimativa de produ¸cão deste último será:

3 ·   3000 200 400 600_{700 350 700 100} 1000 100 500 800  =   9000_{2100 1050 2100}600 1200 1800₃₀₀ 3000 300 1500 2400  . X

Defini¸c˜ao 5.4.19 Sejam α ∈ R e A = (aij), com 1 ≤ i ≤ m e

1 ≤ j ≤ n. Chamaremos de produto do n´umero real α pela matriz

A `a matriz B = (bij), com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que: bij = α · aij para

1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, ou seja, o produto do n´umero real α pela matriz A ´e

a matriz que se obt´em de A multiplicando cada um dos seus elementos por α. Nota¸c˜ao αA Exemplo 5.4.20 A = · 1 2 0 3 −1 2 ¸ ⇒ −1 2 A = · −1₂ −1 0 −3₂ 1₂ −1 ¸ X Propriedades

Propriedade 5.4.21 Sejam os n´umeros reais α e β e as matrizes A e

B, ambas m × n. Temos: i. α(βA) = (αβ)A ii. (α + β)A = αA + βA iii. α(A + B) = αA + αB

iv. 1 · A = A v. (−1)A = −A

(23)

vi. 0 · A = Om×n vii. α · Om×n = Om×n

Convidamos vocˆe a demonstrar estas propriedades (em momentos de

extremo t´edio, ´e claro).

Exemplo 5.4.22 Sendo A = µ

2 6 5 −3

¶

, obtenha a matriz X tal que

3(X − 3A) = 5X − 13A. Resolu¸c˜ao 5X − 13A = 3(X − 3A) = 3X − 9A ⇒ 5X − 3X = −9A + 13A ⇒ 2X = 4A ⇒ X = 2A Portanto, X = 2 µ 2 6 5 −3 ¶ = µ 4 12 10 −6 ¶ . X Exerc´ıcio 5.4.23 Sendo A = µ 3 2 5 1 0 3 ¶ e B = µ 3 0 −1 2 4 2 ¶ , ob-tenha as matrizes X e Y tais que:

½

2X + Y = 4A + B

X − 2Y = −3A + 3B.

Exerc´ıcio 5.4.24 Refa¸ca o exerc´ıcio 5.4.1 usando a nota¸c˜ao matricial.

5.4.4 Multiplica¸c˜ao de Matrizes

Exerc´ıcio 5.4.25 Uma ind´ustria fabrica certo aparelho em 2 modelos P

e Q. Na montagem do aparelho P , são utilizados 6 transistores, 9 capacitores e 11 resistores; no modelo Q, são 4 transistores, 7 capacitores e 10 resistores. Uma indústria recebeu a seguinte encomenda para os meses de janeiro e fevereiro:

Janeiro: 8 aparelhos do modelo P e 12 aparelhos do modelo Q. Fevereiro: 10 aparelhos do modelo P e 6 do modelo Q.

Calcular a quantidade de transistores, capacitores e resistores necessários para atender às encomendas de cada mês.

Antes de definir a multiplica¸c˜ao entre matrizes, vejamos um exemplo do que pode ocorrer na pr´atica:

Exemplo 5.4.26 Suponhamos que a seguinte tabela forne¸ca as

quanti-dades das vitaminas A, B e C obtidas em cada unidade dos alimentos I e II.

(24)

A B C

Alimento I 4 3 0 Alimento II 5 0 1

Tabela 5.6: Quantidades de vitaminas por alimento

Se ingerirmos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, quanto consumiremos de cada tipo de vitamina?

Resolu¸c˜ao

Podemos representar o consumo dos alimentos I e II (nesta ordem) pela matriz “consumo”:

[5 2].

A opera¸c˜ao que vai nos fornecer a quantidade ingerida de cada vitamina ´e o “produto”: [5 2] · · 4 3 0 5 0 1 ¸ = = [ 5 · 4 + 2 · 5 5 · 3 + 2 · 0 5 · 0 + 2 · 1 ] = = [30 15 2] (5.1)

Isto é, serão ingeridas 30 unidades de vitamina A, 15 de B e 2 de C. X Outro problema que poderemos considerar em rela¸cão aos dados do exemplo 5.4.26 é o seguinte:

Exemplo 5.4.27 Se o custo dos alimentos depender somente do seu

conteúdo vitam´ınico e soubermos que os pre¸cos por unidade de vitamina A, B e C são, respectivamente, $1, 50u.m., $3, 00u.m. e $5, 00u.m., quanto pagar´ıamos pela por¸cão de alimentos indicada no exemplo 5.4.26?

Resolu¸c˜ao [30 15 2] ·   1, 50_{3, 00} 5, 00   = = [30(1, 50) + 15(3) + 2(5)] = = [100] (5.2)

Ou seja, pagar´ıamos $100, 00u.m.. X Observamos que nos “produtos” de matrizes efetuados em 5.1 e 5.2, cada um dos elementos da matriz-resultado é obtido a partir de uma linha da primeira e uma coluna da segunda. Além disso, com rela¸cão às ordens das matrizes envolvidas, temos:

Em 5.1: [ ]1×2· [ ]2×3= [ ]1×3

Em 5.2: [ ]1×3· [ ]3×1= [ ]1×1.

O exemplo acima esbo¸ca uma defini¸cão de multiplica¸cão de matrizes A e B, quando A é uma matriz-linha. Esta idéia pode ser generalizada:

(25)

Defini¸c˜ao 5.4.28 Sejam as matrizes A = (a_ik), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ p

e B = (bkj), 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ j ≤ n. Chamamos de PRODUTO da matriz A pela matriz B `a matriz C = (cij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n tal que:

cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj = p X k=1 aikbkj, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.

Para dizer que a matriz C ´e o produto de A por B, indic´a-la-emos com

AB.

Observa¸c˜ao 5.4.29 S´o tem sentido definirmos o produto AB de duas

matrizes quando o node colunas de A for igual ao no de linhas de B; al´em disso, o produto AB possui o no de linhas de A e o no de colunas de B; esquematicamente, temos:

A_m×p· B_p×n

| {z }= Cm × n| {z }

Exemplo 5.4.30 Determinar o produto   1 2_{3 4} 0 5   | {z } A · 7 1 2 4 ¸ | {z } B . Resolu¸c˜ao

Como a matriz A é uma matriz 3 × 2 e B é 2 × 2, o no de colunas de A é igual ao no de linhas de B e , então, o produto AB está definido e é uma matriz 3 × 2.

O elemento c₁₁, que pertence à 1a linha e à 1a coluna de AB, é calcu-lado multiplicando-se ordenadamente os elementos da 1a linha de A pelos elementos da 1acoluna de B, e somando-se os produtos assim obtidos

(pro-cure perceber que isto ´e verdade a partir da defini¸c˜ao de c_ij, quando i = 1 e j = 1); portanto:   1 2_{3 4} 0 5   · · 7 1 2 4 ¸ =   1 · 7 + 2 · 2 · · ·_{· · ·} _{· · ·} · · · · · ·  

O elemento c12, que pertence à 1a linha e à 2a coluna de AB, é

calcu-lado multiplicando-se ordenadamente os elementos da 1a linha de A pelos elementos da 2a coluna de B, e somando-se os produtos assim obtidos; portanto: _  1 2_{3 4} 0 5   · · 7 1 2 4 ¸ =   · · · 1 · 1 + 2 · 4_{· · ·} _{· · ·} · · · · · ·  

(26)

  1 2_{3 4} 0 5   · · 7 1 2 4 ¸ =   _{3 · 7 + 4 · 2 · · ·}· · · · · · · · · · · ·   . . .Logo, AB =   1 · 7 + 2 · 2 1 · 1 + 2 · 4_{3 · 7 + 4 · 2 3 · 1 + 4 · 4} 0 · 7 + 5 · 2 0 · 1 + 5 · 4   =   11_{29 19}9 10 20   . X Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.4.31 Determine o produto   2_{0 −1 2}0 1 4 1 3   ·   1 −1₂ ₁ 3 0  .

Exerc´ıcio 5.4.32 Determine o produto ¡ 1 −2 4 ¢·



 3 −2₁ ₄ 2 1

 .

Exerc´ıcio 5.4.33 Obtenha o produto µ 1 −5 3 0 1 3 ¶ ·   3 1_{2 3} 1 2  .

Exerc´ıcio 5.4.34 Obtenha o produto µ 2 2 3 3 ¶ · µ 1 2 3 −1 2 1 2 0 ¶ .

Exerc´ıcio 5.4.35 Obtenha o produto µ 2 −3 3 −2 ¶ · µ 2 −3 3 −2 ¶ .

Exerc´ıcio 5.4.36 Obtenha o produto   1 2 3_{4 5 6} 7 8 9   ·   1₀ 0₁ −2 3  .

Exerc´ıcio 5.4.37 Obtenha o produto   _{−3 1 4}6 0 1 2 2 1   ·   1 0 0_{0 1 0} 0 0 1  .

Exemplo 5.4.38 Obter AB e BA, caso existam: A =   1₃ 2₄ 1 −2   e B = µ 1 1 1 2 1 2 ¶ . Solu¸c˜ao AB =   1₃ 2₄ 1 −2   · µ 1 1 1 2 1 2 ¶ =   ₁₁5 3₇ 5₁₁ −3 −1 −3  . BA = µ 1 1 1 2 1 2 ¶ ·   1₃ 2₄ 1 −2   = µ 5 4 7 4 ¶ . X

(27)

Exemplo 5.4.39 Obter AB e BA, caso existam: A = µ 1 −2 3 −1 ¶ e B = µ −1 1 −1 0 ¶ . Solu¸c˜ao AB = µ 1 −2 3 −1 ¶ · µ −1 1 −1 0 ¶ = µ 1 1 −2 3 ¶ . BA = µ −1 1 −1 0 ¶ · µ 1 −2 3 −1 ¶ = µ 2 1 −1 2 ¶ . X

Exemplo 5.4.40 Obter AB e BA, caso existam: A = µ 1 2 1 2 ¶ e B = µ 1 1 1 2 0 2 ¶ . Solu¸c˜ao AB = µ 1 2 1 2 ¶ · µ 1 1 1 2 0 2 ¶ = µ 5 1 5 5 1 5 ¶ .

BA n˜ao existe, pois o no de colunas de B ´e diferente do no de linhas

de A. X

Exemplo 5.4.41 Obter AB e BA, caso existam: A =   1 5 7_{2 3 1} 0 5 2   e B = µ 3 2 1 8 ¶ . Solu¸c˜ao

AB não existe, pois o número de colunas de A é diferente do n´umero de linhas de B.

BA não existe, pois o número de colunas de B é diferente do n´umero de

linhas de A. X

Exemplo 5.4.42 Obter AB e BA, caso existam: A = µ 2 3 4 5 ¶ e B = µ 5 3 4 8 ¶ . Solu¸c˜ao AB = µ 2 3 4 5 ¶ · µ 5 3 4 8 ¶ = µ 22 30 40 52 ¶ . BA = µ 5 3 4 8 ¶ · µ 2 3 4 5 ¶ = µ 22 30 40 52 ¶ . X

(28)

Exemplo 5.4.43 Obter AB e BA, caso existam: A =     −1 −2 −3 −4     e B =¡ 1 2 3 4 ¢. Solu¸c˜ao AB =     −1 −2 −3 −4 −2 −4 −6 −8 −3 −6 −9 −12 −4 −8 −12 −16    , BA = (−30) X

Exemplo 5.4.44 Obter AB e BA, caso existam: A = µ 5 1 10 2 ¶ e B = µ 3 −2 −15 10 ¶ . Solu¸c˜ao AB = µ 0 0 0 0 ¶ = O2×2, BA = µ −5 −1 25 5 ¶ . X Observa¸c˜ao 5.4.45

1. Num produto de matrizes A e B, a ordem em que aparecem os fatores ´e importante: pode acontecer que

(a) 6 ∃AB e 6 ∃BA (ver 5.4.41) (b) ∃AB e 6 ∃BA (ver 5.4.40) (c) 6 ∃AB e ∃BA

(d) ∃AB, ∃BA, mas s˜ao matrizes de dimens˜oes diferentes (ver

5.4.43)

(e) ∃AB, ∃BA, de mesmas dimens˜oes, mas AB 6= BA (ver 5.4.44) (f) ∃AB, ∃BA, e AB = BA (ver 5.4.42).

2. O produto de duas matrizes n˜ao-nulas pode resultar numa matriz nula

(ver 5.4.44). Propriedades

Propriedade 5.4.46 Quaisquer que sejam as matrizes A(m × n), B e

C (convenientes) e qualquer que seja o n´umero real α, tem-se: i. (AB)C = A(BC) (associativa)

ii. C(A + B) = CA + CB (distributiva `a esquerda) iii. (A + B)C = AC + BC (distributiva `a direita)

(29)

v. (αA)B = A(αB) = α(AB) vi. A · On×p = Om×p e Op×m· A = Op×n. prova: i. Sejam: • A = (aij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n; • B = (bjk), 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ k ≤ p; • C = (ckl), 1 ≤ k ≤ p e 1 ≤ l ≤ q; • AB = (d_ik), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ k ≤ p; • BC = (e_jl), 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ l ≤ q; • AB(C) = (fil), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ l ≤ q; • A(BC) = (gil), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ l ≤ q. Teremos: f_il = Pp_k=1d_ik· c_kl = = Pp_k=1(Pn_j=1aij· bjk· ckl) = = Pp_k=1(Pn_j=1aij· bjk· ckl) = = Pn_j=1(Pp_k=1a_ij· b_jk· c_kl) = = Pn_j=1aij · ( P_p k=1bjk· ckl) = = Pn_j=1aij · ejl= = gil

As demais ficam para momentos de solid˜ao! Exerc´ıcios

Exerc´ıcio 5.4.47 Dadas as matrizes A = µ 1 2 −3 4 ¶ , B = µ 1 5 2 3 ¶ e C = µ 2 −1 0 4 ¶

, calcule: A(BC), (AB)C, (A + B)C, e AC + BC.

Exerc´ıcio 5.4.48 Dadas as matrizes A = µ 1 2 −1 3 ¶ e B = µ 1 −1 1 0 ¶ , calcule: (A + B)2_{, e A}2_{+ 2(AB) + B}2_.

Dica: Use que (A + B)2 = (A + B)(A + B).

Observa¸c˜ao 5.4.49 Note que, no exemplo 5.4.48, temos que (A + B)2 6= A2+ 2(AB) + B2.

Exerc´ıcio 5.4.50 (Desafio) Sejam A e B duas matrizes quadradas

de ordem n. Qual é a condi¸cão necessária e suficiente para que tenhamos a igualdade (A + B)2 _{= A}2_{+ 2(AB) + B}2_?

(30)

Exerc´ıcio 5.4.51 ´E v´alida a igualdade (A + B)(A − B) = A2 _{− B}2 quando A = µ 2 3 5 4 ¶ e B = µ 1 2 −1 −2 ¶ ?

Defini¸c˜ao 5.4.52 Seja A uma matriz quadrada de ordem qualquer.

De-finimos a n-´esima POT ˆENCIA de A do seguinte modo: A1 = A

An_{= A · A}n−1_{, onde n ´e um inteiro ≥ 2.}

Exerc´ıcio 5.4.53 Assumindo a defini¸c˜ao 5.4.52, determine A3_{, sendo} A = µ 1 −1 1 0 ¶ . 5.4.5 Transposi¸c˜ao

Defini¸c˜ao 5.4.54 Considere uma matriz A, m × n; chama-se matriz

TRANSPOSTA de A, e se indica com At_{, `a matriz n × m que se obt´em da} matriz A trocando, ordenadamente, as suas linhas pelas suas colunas.

Exemplo 5.4.55 1. A = µ 2 3 4 5 7 1 ¶ ⇒ At₌   2 5_{3 7} 4 1   2. B = µ 1 3 5 2 ¶ ⇒ Bt= µ 1 5 3 2 ¶ 3. C =     3 1 0 5     ⇒ Ct= ¡ 3 1 0 5 ¢ Observa¸c˜ao 5.4.56 i. node linhas de A = no de colunas de At ii. node colunas de A = node linhas de At

iii. o elemento que, em A, ocupa a linha i e a coluna j, em At _{ocupa a} linha j e a coluna i.

Propriedade 5.4.57 Quaisquer que sejam as matrizes A e B, ambas

m × n, a matriz C, n × p, e o n´umero real α, temos: i. (At)t= A

ii. (A + B)t_{= A}t_{+ B}t iii. (αA)t_{= αA}t

(31)

Observa¸c˜ao 5.4.58 A = (aij), 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n ⇒ At = (aji), 1 ≤ j ≤ n e 1 ≤ i ≤ m. Exerc´ıcio 5.4.59 Sendo A = µ 2 1 3 1 ¶ e B = µ 2 5 2 −6 ¶ , calcule: ABt, BAt, (AB)t, AtBt, BtAt, e BA. Exerc´ıcio 5.4.60 Sendo A = µ −2 3 −1 1 0 2 ¶ , obtenha A · At.

Observa¸c˜ao 5.4.61 Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é

igual à sua transposta, isto é, se, e somente se, A = At _{(ver defini¸cão}

5.3.10).

5.5 Exerc´ıcios

de

Fixa¸c˜

ao

e

Problemas

de

Aplica¸c˜

ao

Exerc´ıcio 5.5.1 Escrever a matriz A = (aij) nos seguintes casos: (a) i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2};

(b) A ´e do tipo 3 × 2, com aij = 5 para i 6= j e aij = 3 para i = j; (c) A ´e de 3aordem, com aij = 1 para i = j e aij = 0 para i 6= j;

(d) A ´e uma matriz do tipo 2 × 3, com aij = 4 para i > j, aij = 5 para i < j e aij = 8 para i = j.

Exerc´ıcio 5.5.2 Determinar os valores de x, y, z e v para que as

ma-trizes sejam iguais.

µ 2x 8 36 v − 4_v ¶ = µ 10 y − 2 z2 3 ¶ .

Exerc´ıcio 5.5.3 Determinar os valores de x e y para que as matrizes

sejam iguais. µ 3x 2x + 3y −20 1_y ¶ = µ 14 + x 21 x2_{− 9x 3} ¶ .

Exerc´ıcio 5.5.4 Dadas as seguintes matrizes A= µ 3, 5 √8 1 4 −7 ¶ e B= µ 2, 4 √2 3 5 −2 ¶ , calcular: (a) A + B; (b) A − B;

(c) Determinar o triplo da matriz A=

µ 4 −3 1 2 1, 4 ¶ ; (d) Dadas as matrizes: A= µ 3 5 −2 4 ¶ e b= µ −1 −3 6 7 ¶ , determinar X, tal que X = 2A − 4B.

Observa¸c˜ao: A matriz X, assim obtida, ´e uma combina¸c˜ao linear de A e

(32)

Exerc´ıcio 5.5.5 Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminar

insetos daninhos. No entanto, parte do pesticida é absorvida pela planta. Os pesticidas são absorvidos por herb´ıvoros quando eles comem as plantas que foram pulverizadas. Suponha que temos três pesticidas e quatro plantas, e a quantidade de pesticida (em miligramas) que foi absorvido por cada planta está representado na tabela abaixo:

Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4

2 3 4 3

3 2 2 5

4 1 6 4

Tabela 5.7: Quantidade de pesticida absorvido por planta

Suponha agora que temos três herb´ıvoros e o número de plantas que cada herb´ıvoro come por mês está representado na tabela seguinte:

Herb´ıvoro 1 Herb´ıvoro 2 Herb´ıvoro 3

20 12 8

28 15 15

30 12 10

40 16 20

Tabela 5.8: Quantidade de plantas ingeridas por herb´ıvoro

Determinar a quantidade de cada tipo de pesticida absorvido por cada herb´ıvoro.

Exerc´ıcio 5.5.6 Durante a campanha eleitoral, o prefeito eleito

prome-teu a constru¸cão de casas populares. (Promeprome-teu, tem que cumprir!) O povo sugeriu a constru¸cão de dois tipos de casas: média e grande. As casas do tipo média têm 5 portas, 6 janelas e 6 caixas de luz. As casas do tipo grande têm 8 portas, 9 janelas e 10 caixas de luz. Numa primeira etapa deverão ser constru´ıdas 500 casas do tipo média e 200 do tipo grande; numa segunda etapa, 600 do tipo média e 400 do tipo grande. Quanto de cada material será necessário em cada etapa?

Exerc´ıcio 5.5.7 Uma ind´ustria automobil´ıstica produz X e Y nas

versões standard, luxo e superluxo. Pe¸cas A, B e C são utilizadas na mon-tagem desses carros. Para um certo plano de monmon-tagem, é dada a seguinte informa¸cão:

(33)

Carro X Carro Y

Pe¸ca A 4 3

Pe¸ca B 3 5

Pe¸ca C 6 2

Standard Luxo Superluxo

Carro X 2 4 3

Carro Y 3 2 5

Tabela 5.9: Plano de montagem de autom´oveis

Quantas pe¸cas de cada modelo, cada vers˜ao vai precisar?

Exerc´ıcio 5.5.8 Imagine um laborat´orio que fabrica, dentre outros, os

remédios A, B, C. Para a produ¸cão de uma unidade do remédio A são necessários 3g do ingrediente x, 7g do ingrediente y e 10g do ingrediente z. Com rela¸cão ao remédio B são necessários 2g de x, 4g de y e 5g de z. E para o remédio C precisamos de 5g de x, 1g de y e 6g de z. Admitamos que o consumo dos três remédios, nos meses de agosto e setembro seja:

Agosto: 80 unidades de A, 100 de B e 150 de C; Setembro: 50 unidades de A, 120 de B e 90 de C.

Determine a quantidade de cada ingrediente necess´aria em cada mˆes.

Exerc´ıcio 5.5.9 Uma pequena loja de roupas organizou seu estoque de

camisetas em duas prateleiras de acordo com os modelos A e B. Em janeiro o estoque foi distribu´ıdos do seguinte modo:

Prateleira A: 13 camisetas P , 15 camisetas M e 27 camisetas G; Prateleira B: 18 camisetas P , 19 camisetas M e 24 camisetas G. O pre¸co das camisetas era o mesmo para os dois modelos e est´a repre-sentado na tabela abaixo:

Tamanho Pre¸co (em R$)

P 13, 50

M 15, 50

G 16, 50

Tabela 5.10: Pre¸co das camisetas por tamanho

Qual o valor total que a loja possu´ıa em camisetas?

Exerc´ıcio 5.5.10 Consideremos uma companhia que fabrica carros dos

tipos A, B e C em duas fábricas F1 e F2, e cuja produ¸cão mensal está representada na tabela abaixo:

A B C

F₁ 40 10 36

F2 15 60 20

(34)

O carro tipo A usa 50 parafusos para a sua montagem, o carro tipo B usa 80 parafusos e o carro tipo C usa 70 parafusos. Calcular o total de parafusos que cada f´abrica usa mensalmente.

Exerc´ıcio 5.5.11 Jo˜ao, Paulo e Pedro v˜ao construir, cada um, um

brinquedo composto por 3 tipos de pe¸cas. O brinquedo pode ser montado com quantas pe¸cas quisermos. Os meninos fizeram as seguintes escolhas do n´umero de pe¸cas:

Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

Jo˜ao 4 2 3

Paulo 3 4 2

Pedro 2 3 4

Tabela 5.12: N´umero de pe¸cas por brinquedo e por usu´ario

Duas lojas vendem as pe¸cas pelos seguintes pre¸cos (em reais):

Loja 1 Loja 2 Tipo 1 3, 00 2, 50 Tipo 2 6, 00 7, 00 Tipo 3 5, 00 4, 50

Tabela 5.13: Pre¸cos dos brinquedos por loja

Descubra o pre¸co que cada um pagaria na Loja 1 e na Loja 2.

Exerc´ıcio 5.5.12 Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Para

a produ¸c˜ao desses doces s˜ao utilizados os ingredientes X, Y , Z, conforme indica a tabela:

A B X 5 8 Y 3 2 Z 4 7

Tabela 5.14: Produ¸c˜ao de doces

Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B, por dia. Determine a quantidade de ingredientes X, Y , Z utilizados por dia.

Exerc´ıcio 5.5.13 Um empres´ario oferece mensalmente alimentos a dois

orfanatos. Para o orfanato 1 s˜ao doados 25Kg de arroz, 20Kg de feij˜ao,

30Kg de carne e 32 Kg de batata. Para o orfanato 2 s˜ao doados 28Kg de

arroz, 24Kg de feijão, 35Kg de carne e 38Kg de batata. O empresário faz a cota¸cão de pre¸cos em dois mercados. Veja a cota¸cão atual, em reais:

(35)

Produto (1Kg) Mercado 1 (R$) Mercado 2 (R$)

Arroz 1,00 1,00

Feij˜ao 1,50 1,20

Carne 6,00 7,00

Batata 0,80 0,60

Tabela 5.15: Cota¸c˜ao de pre¸cos dos alimentos

Determine o gasto mensal desse empres´ario, por orfanato, supondo que todos os produtos sejam adquiridos no mesmo estabelecimento e que este represente a melhor op¸c˜ao de compra.

Exerc´ıcio 5.5.14 Uma ind´ustria produz dois tipos de produtos, P e Q,

em duas fábricas X e Y . Ao fazer estes produtos, são gerados os poluentes dióxido de enxofre, óxido n´ıtrico e part´ıculas. As quantidades de poluentes gerados são dadas (em quilos) pela tabela abaixo:

Di´oxido de enxofre Oxido n´ıtrico´ Part´ıculas

Produto P 300 100 150

Produto Q 200 250 400

Tabela 5.16: Quantidade de poluentes em quilos

Leis e regulamentos federais e estaduais exigem que estes poluentes sejam eliminados. O custo diário de remover cada quilo de poluente é dado pela tabela seguinte: Fábrica X Fábrica Y Dióxido de enxofre 8 12 ´ Oxido n´ıtrico 7 9 Part´ıculas 15 10

Tabela 5.17: Pre¸co para remover cada quilo de poluente

Que informa¸c˜oes os coeficientes do produto das matrizes acima fornecem ao fabricante? Calcule-os.

Exerc´ıcio 5.5.15 Um projeto de pesquisa sobre dietas consiste em

adul-tos e crian¸cas de ambos os sexos. A composi¸c˜ao dos participantes no projeto ´e dada pela tabela a seguir:

(36)

Adultos Crian¸cas Masculino 80 120

Feminino 100 200

Tabela 5.18: Participantes do projeto por faixa et´aria e sexo

O número de gramas diários de prote´ınas, gorduras e carboidratos con-sumidos por cada crian¸ca e adulto é dado pela tabela abaixo:

Prote´ınas Gorduras Carboidratos

Adultos 20 20 20

Crian¸cas 10 20 30

Tabela 5.19: Quantidade di´aria de nutrientes consumidos

1. Quantos gramas de prote´ınas s˜ao consumidos diariamente pelos ho-mens no projeto?

2. Quantos gramas de gordura s˜ao consumidos diariamente pelas mulhe-res no projeto?

Exerc´ıcio 5.5.16 Um fabricante de m´oveis produz cadeiras e mesas,

cada uma das quais deve passar por um processo de montagem e por um processo de acabamento. Os tempos exigidos por estes processos s˜ao dados (em horas) pela tabela abaixo:

Montagem Acabamento

Cadeira 2 2

Mesa 3 4

Tabela 5.20: Tempo de fabrica¸c˜ao de m´oveis

O fabricante tem uma fábrica em São Paulo e outra em Santa Catarina. Os pre¸cos por hora de cada um dos processos são dados pela tabela a seguir:

(37)

S˜ao Paulo Santa Catarina

Montagem 9 10

Acabamento 10 12

Tabela 5.21: Pre¸co por hora dos est´agios de fabrica¸c˜ao

O que os coeficientes do produto das matrizes acima representam para o fabricante? Calcule-os.

Exerc´ıcio 5.5.17 Uma ind´ustria fabrica trˆes modelos diferentes de

te-levisores. A tabela mostra o n´umero de teclas e alto-falantes usados em cada aparelho A, B e C.

Componentes Aparelho A Aparelho B Aparelho C

Teclas 10 12 15

Alto-falantes 2 2 4

Tabela 5.22: Quantidade teclas e alto-falantes por televisor

A tabela seguinte mostra a estimativa de produ¸cão da fábrica os próximos dois meses.

Modelo Mˆes 1 Mˆes 2 A 800 2000 B 1000 1500 C 500 1000

Tabela 5.23: Estimativa de produ¸c˜ao de televisores para dois meses

Quantas teclas e quantos alto-falantes serão necessários para a produ¸cão dos dois meses?

Exerc´ıcio 5.5.18 Uma ind´ustria de cal¸cados est´a pretendendo

introdu-zir três novos modelos de sapatos em sua produ¸cão. Para isso, vai utilizar dois tipos de acessórios, conforme especificado na tabela abaixo:

(38)

Acess´orio Modelo A Modelo B Modelo C

X 3 5 2

Y 8 10 5

Tabela 5.24: Quantidade de acess´orios utilizados na fabrica¸c˜ao de cal¸cados

A produ¸cão dos três tipos de cal¸cados deve seguir a tabela abaixo nos meses de teste da aceita¸cão dos novos modelos no mercado:

Modelo Mês 1 Mês 2 Mês3 A 1000 1200 2000 B 1200 1500 2000 C 2000 2000 2500

Tabela 5.25: Produ¸c˜ao de cal¸cados no per´ıodo de aceita¸c˜ao de novos modelos

Quantos acessórios X e quantos Y serão utilizados nessa produ¸cão ex-perimental?

Exerc´ıcio 5.5.19 Um fast food de sandu´ıches naturais vende dois

ti-pos de sandu´ıches, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, rosbife, salada) nas seguintes quantidades (em gramas) por sandu´ıche:

Sandu´ıche A Sandu´ıche B

queijo 18 10

salada 26 33

rosbife 23 12

atum 0 16

Tabela 5.26: Quantidade em gramas de cada ingrediente por sandu´ıche

Durante um almo¸co foram vendidos 6 sandu´ıches do tipo A e 10 sandu´ıches do tipo B. Qual foi a quantidade necess´aria de cada ingrediente para a prepara¸c˜ao desses 16 sandu´ıches? Represente na forma de produto de matrizes.

Exerc´ıcio 5.5.20 (Desafio) Uma rede de comunica¸c˜ao tem cinco

lo-cais com transmissores de potências distintas. Estabelecemos que aij = 1, na matriz abaixo, significa que a esta¸cão i pode transmitir diretamente para a esta¸cão j, aij = 0 significa que a transmissão da esta¸cão i não alcan¸ca a esta¸cão j. Observe que a diagonal principal é nula significando que uma esta¸cão não transmite diretamente para si mesma.

A =       0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0      

(39)

Qual seria o significado da matriz A2_{= A · A?} Seja A2 = [cij]. Calculemos o elemento

c42= 5

X

k=1

a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.

Note que a única parcela não nula veio de a43· a32= 1 · 1. Isto significa que a esta¸cão 4 transmite para a esta¸cão 2 através de uma retransmissão pela esta¸cão 3, embora não exista uma transmissão direta de 4 para 2.

1. Calcule A2

2. Qual o significado de c13= 2?

3. Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirma¸cão: “A matriz A2 _{representa o número de} caminhos dispon´ıveis para se ir de uma esta¸cão a outra com uma única retransmissão”.

4. Qual o significado das matrizes A + A2_{, A}3 _{e A + A}2_{+ A}3_? 5. Se A fosse sim´etrica, o que significaria?

5.6 Respostas

dos

Principais

Exerc´ıcios

do

Cap´ıtulo

5.2.8 µ 4 1 6 3 ¶ 5.2.10     1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1     = I4 5.4.1 1.   12054_{31723 13230}1572 0 4918   2.   20288_{45428 16201}2721 0 6722   3.   _{40356 10764}4774 2530 0 2682   4.   −7280₈₆₃₃ ₋₂₄₆₆958 0 −2236   5.4.12 µ 11 13 7 3 ¶ 5.4.13 µ −9 −2 −6 −4 ¶ 5.4.14 µ 0 −2 0 −3 ¶ 5.4.17 Y = B + C = µ 7 5 6 15 ¶

(40)

5.4.23 X = A + B = µ 6 2 4 3 4 5 ¶ , Y = 2A − B = µ 3 4 11 0 −4 4 ¶ 5.4.25 Janeiro Fevereiro Transistores 96 84 Capacitores 156 132 Resistores 208 170 5.4.31   5₄ −2₋₁ 15 −3   5.4.32 ¡ 9 −6 ¢ 5.4.33 µ −4 −8 5 9 ¶ 5.4.34 µ 6 6 10 −2 9 9 15 −3 ¶ 5.4.35 µ −5 0 0 −5 ¶ = −5I2 5.4.36   −5₋₈ 11₂₃ −11 35   5.4.37   _{−3 1 4}6 0 1 2 2 1   5.4.47 A(BC) = (AB)C = µ 10 39 10 −17 ¶ , (A + B)C = AC + BC = µ 4 26 −2 29 ¶ 5.4.51 N˜ao, pois AB 6= BA 5.4.53 µ −1 0 0 −1 ¶ = −I2 5.4.59 ABt ₌ µ 9 −2 11 0 ¶ , BAt ₌ µ 9 11 −2 0 ¶ , (AB)t ₌ µ 6 8 4 9 ¶ , AtBt= µ 19 −14 7 −4 ¶ , BtAt= (AB)t, BA = µ 19 7 −14 −4 ¶ 5.4.60 µ 14 −4 −4 5 ¶

(41)

5.5.1 (a) A=   a_a11₂₁ a_a12₂₂ a31 a32  ; (b) A=   3 5_{5 3} 5 5  ; (c) I3 =   1 0 0_{0 1 0} 0 0 1  ; (d) A= µ 8 5 5 4 8 5 ¶ 5.5.2 x = 5, y = 10, z = ±6, v₁= 4, v₂= −1 5.5.3 Imposs´ıvel 5.5.4 (a) A+B= µ 5, 9 3√2 17 20 −9 ¶ ; (b) A-B= µ 1, 1 √2 −₂₀7 −5 ¶ ; (c) 3A= µ 12 −9 3 2 4, 2 ¶ ; (d) X= µ 10 22 −28 −20 ¶ 5.5.5   364 165 161_{376 170 174} 448 199 187   5.5.6   4100 6200_{4800 7200} 5000 7600   5.5.7   17 22 27_{21 22 34} 18 28 28   5.5.8   1190₁₁₁₀ 840₉₂₀ 2200 1640   5.5.9 R$1787, 00 5.5.10 · 5320 6950 ¸ 5.5.11   39 37, 5_{43 44, 5} 44 44   5.5.12   410₁₉₀ 340   5.5.13 · 260, 60 278, 20 304, 40 324, 60 ¸ 5.5.14 · 5350 6000 9350 8650 ¸

Os coeficientes fornecem o custo di´ario para remover o total de poluentes de cada produto em cada f´abrica.

(42)

5.5.16 ·

38 44 67 78

¸

Os coeficientes fornecem o custo de fabrica¸c˜ao de uma mesa e de uma cadeira numa mesma f´abrica.

5.5.17 · 27500 53000 5600 11000 ¸ 5.5.18

Mês 1 Mês 2 Mês 3 Acessório X 13000 15100 21000 Acessório Y 30000 34600 48500 5.5.19     208 486 258 160     CH AETINGER

(43)

Sistemas Lineares

6.1 Introdu¸c˜

ao

N

a natureza, as coisas estão em constante transforma¸cão, e o Ho-mem precisa dominar estes processos de mudan¸ca para sobreviver e melho-rar sua existência. Uma das maneiras mais elementares de descri¸cão destas transforma¸cões é a de procurar nestas o que permanece constante durante a mudan¸ca.

Exemplo 6.1.1 Sabemos que reagindo hidrogˆenio (H2) com oxigˆenio

(O2), produz-se ´agua (H2O). Mas, quanto de H2 e de O2 precisamos?

Solu¸c˜ao

Esta mudan¸ca pode ser descrita do seguinte modo esquem´atico:

xH₂+ yO₂−→ zH₂O.

O que permanece constante nesta mudan¸ca? Os átomos não são

modifi-cados, portanto devemos ter o mesmo número de átomos de cada elemento no in´ıcio e no final da rea¸cão. Logo, as incógnitas x, y e z devem satisfazer:

½

2x − 2z = 0 2y − z = 0

Descobrindo quais os valores das inc´ognitas acima que satisfazem si-multaneamente as equa¸c˜oes, teremos aprendido um pouco mais sobre o comportamento da natureza (bonito isto. . . ).

Em muitos casos, como neste exemplo, o problema nos leva a um sistema de equa¸cões lineares. Como você já possui alguma experiência na resolu¸cão deste tipo de sistema, não tiraremos o seu prazer em resolvê-lo. X