Aplica¸c˜ao
Exerc´ıcio 5.5.1 Escrever a matriz A = (aij) nos seguintes casos: (a) i ∈ {1, 2, 3} e j ∈ {1, 2};
(b) A ´e do tipo 3 × 2, com aij = 5 para i 6= j e aij = 3 para i = j; (c) A ´e de 3aordem, com aij = 1 para i = j e aij = 0 para i 6= j;
(d) A ´e uma matriz do tipo 2 × 3, com aij = 4 para i > j, aij = 5 para i < j e aij = 8 para i = j.
Exerc´ıcio 5.5.2 Determinar os valores de x, y, z e v para que as ma-
trizes sejam iguais.
µ 2x 8 36 v − 4v ¶ = µ 10 y − 2 z2 3 ¶ .
Exerc´ıcio 5.5.3 Determinar os valores de x e y para que as matrizes
sejam iguais. µ 3x 2x + 3y −20 1y ¶ = µ 14 + x 21 x2− 9x 3 ¶ .
Exerc´ıcio 5.5.4 Dadas as seguintes matrizes A= µ 3, 5 √8 1 4 −7 ¶ e B= µ 2, 4 √2 3 5 −2 ¶ , calcular: (a) A + B; (b) A − B;
(c) Determinar o triplo da matriz A=
µ 4 −3 1 2 1, 4 ¶ ; (d) Dadas as matrizes: A= µ 3 5 −2 4 ¶ e b= µ −1 −3 6 7 ¶ , determinar X, tal que X = 2A − 4B.
Observa¸c˜ao: A matriz X, assim obtida, ´e uma combina¸c˜ao linear de A e
Exerc´ıcio 5.5.5 Pulverizam-se pesticidas sobre plantas para eliminar
insetos daninhos. No entanto, parte do pesticida ´e absorvida pela planta. Os pesticidas s˜ao absorvidos por herb´ıvoros quando eles comem as plantas que foram pulverizadas. Suponha que temos trˆes pesticidas e quatro plantas, e a quantidade de pesticida (em miligramas) que foi absorvido por cada planta est´a representado na tabela abaixo:
Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4
2 3 4 3
3 2 2 5
4 1 6 4
Tabela 5.7: Quantidade de pesticida absorvido por planta
Suponha agora que temos trˆes herb´ıvoros e o n´umero de plantas que cada herb´ıvoro come por mˆes est´a representado na tabela seguinte:
Herb´ıvoro 1 Herb´ıvoro 2 Herb´ıvoro 3
20 12 8
28 15 15
30 12 10
40 16 20
Tabela 5.8: Quantidade de plantas ingeridas por herb´ıvoro
Determinar a quantidade de cada tipo de pesticida absorvido por cada herb´ıvoro.
Exerc´ıcio 5.5.6 Durante a campanha eleitoral, o prefeito eleito prome-
teu a constru¸c˜ao de casas populares. (Prometeu, tem que cumprir!) O povo sugeriu a constru¸c˜ao de dois tipos de casas: m´edia e grande. As casas do tipo m´edia tˆem 5 portas, 6 janelas e 6 caixas de luz. As casas do tipo grande tˆem 8 portas, 9 janelas e 10 caixas de luz. Numa primeira etapa dever˜ao ser constru´ıdas 500 casas do tipo m´edia e 200 do tipo grande; numa segunda etapa, 600 do tipo m´edia e 400 do tipo grande. Quanto de cada material ser´a necess´ario em cada etapa?
Exerc´ıcio 5.5.7 Uma ind´ustria automobil´ıstica produz X e Y nas
vers˜oes standard, luxo e superluxo. Pe¸cas A, B e C s˜ao utilizadas na mon- tagem desses carros. Para um certo plano de montagem, ´e dada a seguinte informa¸c˜ao:
Carro X Carro Y
Pe¸ca A 4 3
Pe¸ca B 3 5
Pe¸ca C 6 2
Standard Luxo Superluxo
Carro X 2 4 3
Carro Y 3 2 5
Tabela 5.9: Plano de montagem de autom´oveis
Quantas pe¸cas de cada modelo, cada vers˜ao vai precisar?
Exerc´ıcio 5.5.8 Imagine um laborat´orio que fabrica, dentre outros, os
rem´edios A, B, C. Para a produ¸c˜ao de uma unidade do rem´edio A s˜ao necess´arios 3g do ingrediente x, 7g do ingrediente y e 10g do ingrediente z. Com rela¸c˜ao ao rem´edio B s˜ao necess´arios 2g de x, 4g de y e 5g de z. E para o rem´edio C precisamos de 5g de x, 1g de y e 6g de z. Admitamos que o consumo dos trˆes rem´edios, nos meses de agosto e setembro seja:
Agosto: 80 unidades de A, 100 de B e 150 de C; Setembro: 50 unidades de A, 120 de B e 90 de C.
Determine a quantidade de cada ingrediente necess´aria em cada mˆes.
Exerc´ıcio 5.5.9 Uma pequena loja de roupas organizou seu estoque de
camisetas em duas prateleiras de acordo com os modelos A e B. Em janeiro o estoque foi distribu´ıdos do seguinte modo:
Prateleira A: 13 camisetas P , 15 camisetas M e 27 camisetas G; Prateleira B: 18 camisetas P , 19 camisetas M e 24 camisetas G. O pre¸co das camisetas era o mesmo para os dois modelos e est´a repre- sentado na tabela abaixo:
Tamanho Pre¸co (em R$)
P 13, 50
M 15, 50
G 16, 50
Tabela 5.10: Pre¸co das camisetas por tamanho
Qual o valor total que a loja possu´ıa em camisetas?
Exerc´ıcio 5.5.10 Consideremos uma companhia que fabrica carros dos
tipos A, B e C em duas f´abricas F1 e F2, e cuja produ¸c˜ao mensal est´a representada na tabela abaixo:
A B C
F1 40 10 36
F2 15 60 20
O carro tipo A usa 50 parafusos para a sua montagem, o carro tipo B usa 80 parafusos e o carro tipo C usa 70 parafusos. Calcular o total de parafusos que cada f´abrica usa mensalmente.
Exerc´ıcio 5.5.11 Jo˜ao, Paulo e Pedro v˜ao construir, cada um, um
brinquedo composto por 3 tipos de pe¸cas. O brinquedo pode ser montado com quantas pe¸cas quisermos. Os meninos fizeram as seguintes escolhas do n´umero de pe¸cas:
Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3
Jo˜ao 4 2 3
Paulo 3 4 2
Pedro 2 3 4
Tabela 5.12: N´umero de pe¸cas por brinquedo e por usu´ario
Duas lojas vendem as pe¸cas pelos seguintes pre¸cos (em reais):
Loja 1 Loja 2 Tipo 1 3, 00 2, 50 Tipo 2 6, 00 7, 00 Tipo 3 5, 00 4, 50
Tabela 5.13: Pre¸cos dos brinquedos por loja
Descubra o pre¸co que cada um pagaria na Loja 1 e na Loja 2.
Exerc´ıcio 5.5.12 Uma doceira produz dois tipos de doces, A e B. Para
a produ¸c˜ao desses doces s˜ao utilizados os ingredientes X, Y , Z, conforme indica a tabela:
A B X 5 8 Y 3 2 Z 4 7
Tabela 5.14: Produ¸c˜ao de doces
Suponha que sejam fabricados 50 doces do tipo A e 20 doces do tipo B, por dia. Determine a quantidade de ingredientes X, Y , Z utilizados por dia.
Exerc´ıcio 5.5.13 Um empres´ario oferece mensalmente alimentos a dois
orfanatos. Para o orfanato 1 s˜ao doados 25Kg de arroz, 20Kg de feij˜ao,
30Kg de carne e 32 Kg de batata. Para o orfanato 2 s˜ao doados 28Kg de
arroz, 24Kg de feij˜ao, 35Kg de carne e 38Kg de batata. O empres´ario faz a cota¸c˜ao de pre¸cos em dois mercados. Veja a cota¸c˜ao atual, em reais:
Produto (1Kg) Mercado 1 (R$) Mercado 2 (R$)
Arroz 1,00 1,00
Feij˜ao 1,50 1,20
Carne 6,00 7,00
Batata 0,80 0,60
Tabela 5.15: Cota¸c˜ao de pre¸cos dos alimentos
Determine o gasto mensal desse empres´ario, por orfanato, supondo que todos os produtos sejam adquiridos no mesmo estabelecimento e que este represente a melhor op¸c˜ao de compra.
Exerc´ıcio 5.5.14 Uma ind´ustria produz dois tipos de produtos, P e Q,
em duas f´abricas X e Y . Ao fazer estes produtos, s˜ao gerados os poluentes di´oxido de enxofre, ´oxido n´ıtrico e part´ıculas. As quantidades de poluentes gerados s˜ao dadas (em quilos) pela tabela abaixo:
Di´oxido de enxofre Oxido n´ıtrico´ Part´ıculas
Produto P 300 100 150
Produto Q 200 250 400
Tabela 5.16: Quantidade de poluentes em quilos
Leis e regulamentos federais e estaduais exigem que estes poluentes sejam eliminados. O custo di´ario de remover cada quilo de poluente ´e dado pela tabela seguinte: F´abrica X F´abrica Y Di´oxido de enxofre 8 12 ´ Oxido n´ıtrico 7 9 Part´ıculas 15 10
Tabela 5.17: Pre¸co para remover cada quilo de poluente
Que informa¸c˜oes os coeficientes do produto das matrizes acima fornecem ao fabricante? Calcule-os.
Exerc´ıcio 5.5.15 Um projeto de pesquisa sobre dietas consiste em adul-
tos e crian¸cas de ambos os sexos. A composi¸c˜ao dos participantes no projeto ´e dada pela tabela a seguir:
Adultos Crian¸cas Masculino 80 120
Feminino 100 200
Tabela 5.18: Participantes do projeto por faixa et´aria e sexo
O n´umero de gramas di´arios de prote´ınas, gorduras e carboidratos con- sumidos por cada crian¸ca e adulto ´e dado pela tabela abaixo:
Prote´ınas Gorduras Carboidratos
Adultos 20 20 20
Crian¸cas 10 20 30
Tabela 5.19: Quantidade di´aria de nutrientes consumidos
1. Quantos gramas de prote´ınas s˜ao consumidos diariamente pelos ho- mens no projeto?
2. Quantos gramas de gordura s˜ao consumidos diariamente pelas mulhe- res no projeto?
Exerc´ıcio 5.5.16 Um fabricante de m´oveis produz cadeiras e mesas,
cada uma das quais deve passar por um processo de montagem e por um processo de acabamento. Os tempos exigidos por estes processos s˜ao dados (em horas) pela tabela abaixo:
Montagem Acabamento
Cadeira 2 2
Mesa 3 4
Tabela 5.20: Tempo de fabrica¸c˜ao de m´oveis
O fabricante tem uma f´abrica em S˜ao Paulo e outra em Santa Catarina. Os pre¸cos por hora de cada um dos processos s˜ao dados pela tabela a seguir:
S˜ao Paulo Santa Catarina
Montagem 9 10
Acabamento 10 12
Tabela 5.21: Pre¸co por hora dos est´agios de fabrica¸c˜ao
O que os coeficientes do produto das matrizes acima representam para o fabricante? Calcule-os.
Exerc´ıcio 5.5.17 Uma ind´ustria fabrica trˆes modelos diferentes de te-
levisores. A tabela mostra o n´umero de teclas e alto-falantes usados em cada aparelho A, B e C.
Componentes Aparelho A Aparelho B Aparelho C
Teclas 10 12 15
Alto-falantes 2 2 4
Tabela 5.22: Quantidade teclas e alto-falantes por televisor
A tabela seguinte mostra a estimativa de produ¸c˜ao da f´abrica os pr´oximos dois meses.
Modelo Mˆes 1 Mˆes 2 A 800 2000 B 1000 1500 C 500 1000
Tabela 5.23: Estimativa de produ¸c˜ao de televisores para dois meses
Quantas teclas e quantos alto-falantes ser˜ao necess´arios para a produ¸c˜ao dos dois meses?
Exerc´ıcio 5.5.18 Uma ind´ustria de cal¸cados est´a pretendendo introdu-
zir trˆes novos modelos de sapatos em sua produ¸c˜ao. Para isso, vai utilizar dois tipos de acess´orios, conforme especificado na tabela abaixo:
Acess´orio Modelo A Modelo B Modelo C
X 3 5 2
Y 8 10 5
Tabela 5.24: Quantidade de acess´orios utilizados na fabrica¸c˜ao de cal¸cados
A produ¸c˜ao dos trˆes tipos de cal¸cados deve seguir a tabela abaixo nos meses de teste da aceita¸c˜ao dos novos modelos no mercado:
Modelo Mˆes 1 Mˆes 2 Mˆes3 A 1000 1200 2000 B 1200 1500 2000 C 2000 2000 2500
Tabela 5.25: Produ¸c˜ao de cal¸cados no per´ıodo de aceita¸c˜ao de novos modelos
Quantos acess´orios X e quantos Y ser˜ao utilizados nessa produ¸c˜ao ex- perimental?
Exerc´ıcio 5.5.19 Um fast food de sandu´ıches naturais vende dois ti-
pos de sandu´ıches, A e B, utilizando os ingredientes (queijo, atum, rosbife, salada) nas seguintes quantidades (em gramas) por sandu´ıche:
Sandu´ıche A Sandu´ıche B
queijo 18 10
salada 26 33
rosbife 23 12
atum 0 16
Tabela 5.26: Quantidade em gramas de cada ingrediente por sandu´ıche
Durante um almo¸co foram vendidos 6 sandu´ıches do tipo A e 10 sandu´ıches do tipo B. Qual foi a quantidade necess´aria de cada ingrediente para a prepara¸c˜ao desses 16 sandu´ıches? Represente na forma de produto de matrizes.
Exerc´ıcio 5.5.20 (Desafio) Uma rede de comunica¸c˜ao tem cinco lo-
cais com transmissores de potˆencias distintas. Estabelecemos que aij = 1, na matriz abaixo, significa que a esta¸c˜ao i pode transmitir diretamente para a esta¸c˜ao j, aij = 0 significa que a transmiss˜ao da esta¸c˜ao i n˜ao alcan¸ca a esta¸c˜ao j. Observe que a diagonal principal ´e nula significando que uma esta¸c˜ao n˜ao transmite diretamente para si mesma.
A = 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0
Qual seria o significado da matriz A2= A · A? Seja A2 = [cij]. Calculemos o elemento
c42= 5
X
k=1
a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.
Note que a ´unica parcela n˜ao nula veio de a43· a32= 1 · 1. Isto significa que a esta¸c˜ao 4 transmite para a esta¸c˜ao 2 atrav´es de uma retransmiss˜ao pela esta¸c˜ao 3, embora n˜ao exista uma transmiss˜ao direta de 4 para 2.
1. Calcule A2
2. Qual o significado de c13= 2?
3. Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a afirma¸c˜ao: “A matriz A2 representa o n´umero de caminhos dispon´ıveis para se ir de uma esta¸c˜ao a outra com uma ´unica retransmiss˜ao”.
4. Qual o significado das matrizes A + A2, A3 e A + A2+ A3? 5. Se A fosse sim´etrica, o que significaria?