As no¸c˜oes abordadas a seguir caracterizam regi˜oes convexas especiais. O conceito de variedade linear de um espa¸co vetorial ´e algo que abrange seus subespa¸cos e as transla¸c˜oes destes.
Defini¸c˜ao 12.5.1 Um subconjunto A de um e.v. V ´e uma variedade linear de V se existe um subespa¸co W de V e um vetor v0 de V, tal que:
A = {v ∈ V; v = v0+ w para w ∈ W}. Nota¸c˜ao: A = v0+ W
Observa¸c˜ao 12.5.2 Se v06= 0, ent˜ao A n˜ao ´e um subespa¸co.
Defini¸c˜ao 12.5.3 Definimos dimens˜ao de A, e denotamos dimA, a
dimens˜ao de W.
12.5.1 Exemplos
Exemplo 12.5.4 Uma reta (passando pela origem ou n˜ao) ´e uma vari-
edade linear de dimens˜ao 1 no R2.
- 6 µ q - A W v0 w ∈ W v ∈ A
Figura 12.1: Variedade linear
Exemplo 12.5.5 Um ponto do plano ´e uma variedade linear de di-
mens˜ao zero. X
Exemplo 12.5.6 Todo subespa¸co ´e, em particular, uma variedade li-
near (v0 = 0). X
Exemplo 12.5.7 Se um sistema de equa¸c˜oes lineares ´e poss´ıvel, seu
conjunto-solu¸c˜ao ´e uma variedade linear de dimens˜ao igual ao grau de liber- dade do sistema (verifique!).
Vamos agora apresentar um problema que nos guiar´a nos itens a seguir. Exemplo 12.5.8 Suponhamos que um agricultor queira adubar a sua
planta¸c˜ao e disponha de dois tipos de adubo. O primeiro cont´em 3g de f´osforo (P), 1g de nitrogˆenio (N) e 8g de pot´assio (K), e custa $10, 00u.m./kg. O segundo tipo cont´em 2g de f´osforo, 3g de nitrogˆenio e 2g de pot´assio, e custa $8, 00u.m./kg. Sabemos que 1 quilograma de adubo d´a para 10m2 de terra, e que o solo em que est˜ao suas planta¸c˜oes necessita de pelo menos
3g de f´osforo, 1, 5g de nitrogˆenio e 4g de pot´assio a cada 10m2. Quanto o agricultor deve comprar de cada adubo, para cada 10m2 de terra, de modo a conseguir ter o m´ınimo custo?
Resolu¸c˜ao
Tipo A Tipo B Necessidades m´ınimas (x) (y) de adubo P 3 2 3 N 1 3 1, 5 K 8 2 4 Custo Custo 10u.m. 8u.m.
Tabela 12.1: Quantidades de nutrientes por tipo de adubo
Sejam x e y as quantidades de kg de adubo dos tipos A e B, respectiva- mente. Obviamente, x e y n˜ao podem assumir qualquer valor, uma vez que devemos ter x ≥ 0 e y ≥ 0. Ademais, x kg do tipo A fornece 3x g de P , enquanto que y kg do tipo B fornece 2y g de P . Ent˜ao, se usarmos x kg de A e y kg de B, estaremos adicionando 3x + 2y gramas e, pela exigˆencia m´ınima do solo, devemos ter 3x + 2y ≥ 3.
Analogamente, para o nitrogˆenio e o pot´assio deveremos ter x + 3y ≥ 1, 5 e 8x + 2y ≥ 4. Ent˜ao os valores de x e y devem satisfazer simultaneamente:
x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 2y ≥ 3, x + 3y ≥ 1, 5, 8x + 2y ≥ 4.
Fa¸camos o gr´afico das quantidades x (como abscissa) e y (como orde- nada): - 6 w y w x P1 P2 P3 P4
(Obtemos P1(0, 2), P2 ¡1 5,65 ¢ , P3 ¡6 7,143 ¢ , P4 ¡3 2, 0 ¢
.) Isto ´e, para que os valores de x e y satisfa¸cam simultaneamente todas as desigualdades, o ponto (x, y) deve estar na regi˜ao hachurada da figura 12.5.1.
Al´em disso, queremos que o custo dado pela fun¸c˜ao
f (x, y) = 10x + 8y
seja m´ınimo, isto ´e, estamos procurando na regi˜ao hachurada qual ´e o ponto (x, y) no qual f (x, y) tem o menor valor. Temos C = 10x + 8y, ou seja,
y = −5
4x −C8. Isto d´a uma fam´ılia de retas. Tra¸camos ent˜ao retas paralelas
e vemos qual a que intersecciona algum v´ertice ideal. O ponto ideal ´e P3.
Substitu´ımos em f e calculamos C = 14414.
Para resolver isto, precisamos estudar um pouco mais as propriedades de conjuntos como a regi˜ao hachurada acima, e das fun¸c˜oes do tipo f (x, y). Neste n´ıvel, vamos apenas testar os v´ertices na fun¸c˜ao objetivo para verificar qual ´e o ideal.
Defini¸c˜ao 12.5.9 Sejam A e B dois pontos do Rn. O segmento de extremos A e B ´e o conjunto AB de pontos Rn, dado por:
AB = {(1 − t)A + tB; 0 ≤ t ≤ 1}.
Observa¸c˜ao 12.5.10 Em rela¸c˜ao `a defini¸c˜ao 12.5.9, temos:
R Para t = 0 corresponde o ponto A; R Para t = 1 corresponde o ponto B;
R Para qualquer ponto P do segmento AB, existe t1 ∈ R tal que
0 ≤ t1≤ 1 e P = (1 − t1)A + t1B.
Exemplo 12.5.11 Sejam A = (1, 2) e B = (3, −1) em R2. Dado o ponto P = (7
3, 0) sobre o segmento, podemos escrever
(7 3, 0) = (1 − 2 3)(1, 2) + 2 3(3, −1),
ou seja, ∃t = 23 tal que 0 ≤ t ≤ 1, de modo que P = (1 − t)A + tB. Por outro lado, se tomarmos t1, tal que 0 ≤ t1 ≤ 1, por exemplo t1 = 12, e fizermos
P1= (1 − t1)A + t1B = (2, −1),
verificamos (fa¸ca isto!) facilmente que P1 est´a sobre o segmento AB. X
Defini¸c˜ao 12.5.12 Um subconjunto S do Rn ´e chamado convexo se para quaisquer dois pontos A e B de S o segmento AB est´a inteiramente contido em S.
A figura seguinte exemplifica um caso particular de conjunto convexo e de conjunto n˜ao convexo.
- 6 ~ ´e convexo 6 -
n˜ao ´e convexo
Figura 12.3: Conjuntos convexos e n˜ao convexos
Teorema 12.5.13 A intersec¸c˜ao de conjuntos convexos ´e um conjunto
convexo.
prova: Sejam S1 e S2 dois conjuntos convexos. Precisamos mostrar que se A e B s˜ao dois pontos quaisquer de S1∩ S2, ent˜ao AB ⊂ S1∩ S2. Mas,
se A, B ∈ S1∩ S2, ent˜ao A, B ∈ S1 e como S1 ´e convexo, AB ⊂ S1. Analo-
gamente, mostra-se que AB ⊂ S2. Como AB est´a contido simultaneamente em S1 e em S2, segue que AB ⊂ S1∩ S2. Portanto S1∩ S2 ´e convexo.
Defini¸c˜ao 12.5.14 Uma regi˜ao poliedral convexa fechada em Rn ´e uma intersec¸c˜ao de uma quantidade finita de semi-espa¸cos fechados 1 do
Rn.
Observa¸c˜ao 12.5.15 Toda regi˜ao poliedral convexa ´e um conjunto con-
vexo. u
Defini¸c˜ao 12.5.16 Um conjunto A ⊂ Rn ´e dito limitado se existi- rem constantes ki, i = 1, . . . , n tais que, se (x1, . . . , xn) ∈ A ent˜ao xi ≤ ki, i = 1, . . . , n.
1N˜ao entraremos em detalhes sobre semi-espa¸cos fechados, nem tampouco hiperplanos.
Apenas vale lembrar um resultado que diz que um semi-espa¸co fechado ´e convexo. O aluno interessado pode pesquisar em [4] ou [13].
- 6
6
-
´e limitada
´e n˜ao limitada
Figura 12.4: Conjuntos limitados e n˜ao limitados
Observa¸c˜ao 12.5.17
R Numa regi˜ao poliedral convexa, procuramos pontos especiais – os
v´ertices. Na regi˜ao poliedral convexa do exemplo 12.5.8, eles s˜ao
os pontos (verifique na figura 12.5.1!)
P1= (0, 2), P2 = (15,65), P3 = (67,143 ), e P4= (32, 0). R Note que estes pontos s˜ao dados por intersec¸c˜ao de duas retas que
definem os semi-espa¸cos. Assim, o ponto P2 ´e dado pela solu¸c˜ao do
sistema ½
3x + 2y − 3 = 0 8x + 2y − 4 = 0.
R Note, por´em, que o ponto (0,32) que ´e solu¸c˜ao do sistema ½
3x + 2y − 3 = 0
x = 0 n˜ao pertence `a regi˜ao hachurada.
Este coment´ario nos leva a:
Defini¸c˜ao 12.5.18 Dada uma regi˜ao poliedral convexa fechada do Rn (determinada por um sistema de inequa¸c˜oes lineares), os v´ertices dessa
regi˜ao s˜ao os pontos da regi˜ao que satisfazem um dos poss´ıveis sistemas de n equa¸c˜oes lineares independentes, obtidas substituindo-se as desigualdades por igualdades.
Observa¸c˜ao 12.5.19 Depois de resolver um sistema, a fim de verifi-
car se o ponto est´a na regi˜ao, testamos para ver se ele satisfaz todas as desigualdades.
12.5.2 Caracteriza¸c˜ao Geom´etrica dos V´ertices
Os v´ertices definidos “algebricamente”em 12.5.18 s˜ao os pontos extre- mos da regi˜ao poliedral convexa. Isto significa que eles s˜ao os pontos da regi˜ao que n˜ao est˜ao contidos no “interior”de nenhum segmento contido na regi˜ao. Formalmente:
Proposi¸c˜ao 12.5.20 P ´e v´ertice de uma regi˜ao poliedral convexa R se,
e somente se, P est´a num segmento AB ⊂ R ent˜ao P = A ou P = B.
prova: exerc´ıcio (ver [4]).
Exemplo 12.5.21 A regi˜ao hachurada do exemplo 12.5.8 ´e descrita pe-
las desigualdades x ≥ 0 y ≥ 0 3x + 2y ≥ 3 x + 3y ≥ 1, 5 8x + 2y ≥ 4.
Ao substituirmos por igualdades a tomarmos os sistemas de duas equa¸c˜oes (por serem duas vari´aveis), obtemos 10 = C5,2= 2!3!5! sistemas. Dentre estes, determinaremos os v´ertices, verificando quais satisfazem os sistemas de inequa¸c˜oes que definem a regi˜ao. Neste caso, teremos apenas os pontos P1, P2, P3 e P4 nestas condi¸c˜oes (Verifique!). X
Exemplo 12.5.22 Consideremos a regi˜ao poliedral convexa fechada de R3, dada pelo sistema de inequa¸c˜oes lineares:
x + y + z ≤ 3 y − z ≤ 2 x − 2y ≤ 1 x ≥ 0.
Ent˜ao os poss´ıveis v´ertices s˜ao dados pelos sistemas de trˆes equa¸c˜oes (por serem trˆes vari´aveis)
x + y + z = 3 y − z = 2 x − 2y = 1
⇒ (3, 1, −1) (est´a na regi˜ao, pois satisfaz todas
as inequa¸c˜oes ) y − z = 2 x − 2y = 1 x = 0 ⇒ (0,−12 ,−52 ) (est´a na regi˜ao) x + y + z = 3 y − z = 2 x = 0 ⇒ (0,5 2,12) (est´a na regi˜ao) x + y + z = 3 x − 2y = 1 x = 0 ⇒ (0,−12 ,72) (est´a na regi˜ao).