trabalhoEnergia 2018Ia

1) A ação de uma força resultante aplicado sobre um corpo para movimentar-lo de um lugar para outro(trajetória).

Trabalho e energia

Trabalho (W) – Força constante

2) Energia transferida para ou de um objeto por meio de uma força atuando no objeto.

0

F

F

F

F

_R



₁



₂



₃



A força resultante,

O trabalho sempre está associado a uma força que atua sobre o corpo e ao deslocamento que ela provoca.

Pode ser definido como:

Intuitivamente podemos afirmar que:

2

j

F

i

F

F



_x

ˆ



_y

ˆ

: Força constante : vetor deslocamento

r

F_y = F sen θ: perpendicular ao deslocamento

,

i

d

r





ˆ

Da figura temos duas componentes da força:

F_x = F cos θ: direção ao deslocamento

r

Observação: Se o trabalho depende da força, então deveria depender

como ela é aplicada sobre o corpo, •Trabalho (W) - Força constante

d

.

F

W





 F_y: não consegue mover o corpo sobre a trajetória, então não realiza trabalho.

 F_x: consegue deslocar o corpo e é denominada de força efetiva Que componente da força realiza trabalho através da trajetória ?

Podemos escrever vetorialmente como: Portanto:

W = F_x d ==> W = (F cos θ ) d

: vetor força

: vetor deslocamento

r



O trabalho é feito sobre a trajetória

Trabalho (W)

• O produto escalar indica que o trabalho é uma grandeza escalar. • O trabalho por uma força perpendicular ao deslocamento é nulo. • O deslocamento se da sobre uma trajetória (caminho já definido). Observações:

d

.

F

W





W = F cos θ . d Trabalho (W)

k

F

j

F

i

F

F



_x

ˆ



_y

ˆ



_z

ˆ

d



d

_x

i

ˆ



d

_y

ˆ

j



d

_z

k

ˆ



z z y y x x

d

F

d

F

d

F

d

F

W



.

ˆ







Em geral: 0 ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ 1 ˆ . ˆ ˆ . ˆ ˆ . ˆ       k i j k j i k k j j i i e Sabendo que



cos . .b b a ab a   Então: Se







F

_R

0

o corpo é deslocado,

d





0

F

* W > 0:

-π/2<θ<π/2: existe uma componente na direção e sentido ao deslocamento.

F

* W < 0:

π/2<θ<3π/2: existe uma componente na direção e sentido oposto ao deslocamento.

 Se W ≠ 0, então:

Situações para diferentes valores de W (superfície sem atrito, F = cte): Plano xy



cos .d F d F W    •Trabalho (W)

As unidades no sistema

J

1

s

m

kg

:

W

N

1

s

m

kg

:

F

2 2 2





•Trabalho (W)

Exemplo:

Durante uma tempestade, um caixote desliza pelo piso escorregadio de um estacionamento, sofrendo um deslocamento d=(-3,0m)î ao ser empurrado pelo vento com uma força F = (2,0 N) î + (-6,0N)j.

Qual é o trabalho realizado pelo vento sobre o caixote?

Exemplo:

Durante uma tempestade, um caixote desliza pelo piso escorregadio de um estacionamento, sofrendo um deslocamento d=(-3,0m)î ao ser empurrado pelo vento com uma força F = (2,0 N) î + (-6,0N)j.

Qual é o trabalho realizado pelo vento sobre o caixote?

Solução: d F W     ) ˆ 3 ( ) ˆ 6 ˆ 2 ( Ni N j mi d F W        º 4 , 108 6 , 71 180 6 , 71 2 6 tan    o    o  J W  6 J W 6 (1) d F d F d F

W  cos  cos(180)  cos

m N W  6,32 cos108,4º3 Método 1 Método 2 Determinando θ, F e d: (2) ) ˆ 3 ˆ 6 ˆ 2Ni N j e d mi F     Então: Substituindo em (1) Portanto: Substituindo em (2) Portanto: 3 32 , 6 ) 6 ( 22 2      d N F





n i i R

W

W

a) a soma dos trabalhos produzidos por cada uma das forças aplicadas individualmente, .

W_R = W₁ + W₂ + W₃

Nesta situação o trabalho total, W_R, pode ser encontrado de duas maneiras:

em geral para n forças que atuam sobre um corpo:

Trabalho realizado por um conjunto de forças

i



F

F

F



d

d

F

d

F

d

F

W



₁

.





₂

.





₃

.





₁



₂



3

.



3 2 1 F F F F_R   

d

F

W

_R



_R





















n 1 i i n 3 2 1 R

F

F

F

...

F

F

F

W

R

F

R

d



.



b) Calculando a força resultante

A força resultante:

Em geral n forcas atuam sobre um corpo;

onde :

at

F

: força de atrito,

F

: força aplicada (constante) Exemplo:

1) Soma dos trabalhos individuais (superfície com atrito)

Trabalho

realizado

por um conjunto de forças

W = W_P + W_N + W_F +W_Fat

Trabalho

realizado

por um conjunto de forças

Isto é:

 W_P = P . d cos270 = 0

 W_N = N . d cos 90 = 0

 W_Fy = F_y..d cos 90 = 0

• Para as forças perpendiculares ao movimento,

j

F

e

P

W = W_P + W_N + W_Fy +W_Fat + W_Fx = 0 + 0 - F_at d + F d = (F_x - F_atx )d



F



d d F r F W_F   _{} x F cos cos .      ) 0 (   F d W W_{F x} O trabalho total: Então:

d

.

F

W



_Rx

Trabalho

realizado

por um conjunto de forças

o Trabalho feito pela força F : WF







cos cos .r F d F d F W_at  _at   _at  _at ) 0 ( ) 1 (     F d F d W W_{at atx atx} Então:

o Trabalho feito pela força F :at WFat



iˆ

F

e

F

_{at x}

• Para as forcas em direção do deslocamento,

d

F

W



.

Interpretação geométrica: sabemos que

W= F_x (x-x_o)



x

x



i

d





₀

ˆ

se e

F



cte

Trabalho realizado por uma Força constante em relação ao deslocamento no eixo x. Caso 1 Então :

jˆ

F

iˆ

F

F





_x



_y iˆ ) x x )( jˆ F iˆ F ( W  _x  _y  _o Sabemos que:

0

ˆ

.

ˆ

ˆ

.

ˆ

1

ˆ

.

ˆ

ˆ

.

ˆ

_i

_

_j

_j

_

_e

_i

_j

_

_j

_i

_

i

Da figura o trabalho W é igual à área compreendida entre a curva F(x) e o eixo x.

i

x

F

x

F



(

)



(

)

ˆ

Considerar que a força:

•atua na direção do eixo x: î •vária com a posição x.

Trabalho executado por uma força variável

i

x

x

r

i

(

)



_i

ˆ

r

f

(

x

)



x

_f

i

ˆ

O corpo se desloca: Geometricamente o trabalho W é igual à área compreendida entre a curva

F(x) e o eixo x,

W

Cálculo da área

dividir a área sob a curva em faixas estreitas de largura

Δx o suficiente para considerar a força F(x) ≈ cte nesse intervalo.

Por tanto, o trabalho é

Forca constante

Da figura, consideramos F_j,med como o valor médio de F(x).

Trabalho total aproximado pela força enquanto a partícula se move de x_i a x_f é:





     f i j med , j j F . x W W

Esta aproximação pode ser melhorada fazendo: Δx0, isto é



     f i j med j x F x W _, 0 lim

Este limite é a definição da integral da

função de F(x) entre os limites x_i e x_f

_



xf

xi

F

(

x

)

dx

W

Se conhecermos a função F(x) podemos substituí-la na equação

quando Δx0:

substituímos

Δx

por

dx

e

∑

por

∫

Portanto: somando todas áreas dos retângulos

Algumas Integrais úteis

















2 1 2 3 ) 3 / ( ) 6 / ( cos ) ( 4 81 0 3 4 1 3 ) ( 3 3 1 4 1 0 ) ( 0 cos cos cos cos ) : 1 ( 1 1 1 6 / 3 / 6 / 3 / 4 4 3 0 1 3 3 0 3 3 0 3 4 1 1 0 4 1 0 4 1 0 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1                                              



















           sen sen x sen b dx x b cte b k para a a x a dx x a dx x a cte a k e n para b b x b dx x b dx x b cte b k e n para e e k e k dx e k x x x k dx x sen k x sen x sen x sen k dx x k cte k e n n x n x k n x k dx x k x x x x x x x x x x x x x x x x n n x x n x x n

Ponto de verificação

A figura mostra quatro gráficos (traçados na mesma escala) da componente F_x de uma força variável em função da posição x de uma partícula sobre a qual a força atua. Ordene os gráficos de acordo com o trabalho realizado pela força sobre a partícula de x=0 a x=x₁, do mais positivo para o mais negativo.

Trabalho realizado por uma força gravitacional

j

g

m

F

_g





ˆ

Considerações:

A partícula se encontra sob a ação da gravidade, então é a única força que nela atua

o deslocamento é em direção vertical subindo

j

dy

r

d



ˆ

logo o trabalho executado pela força gravitacional entre yo e y, será:

















y y y y y y g

d

r

m

g

j

dy

j

mg

dy

F

W

0 0 0

)

ˆ

)(

ˆ

(





W = -m g (y-yo) = - m g d da figura: (y - yo)>0

W < 0

Partícula descendo

A partícula se encontra sob a ação da gravidade, então:

j

g

m

F

g





ˆ

Analise da figura:

o deslocamento é em direção vertical subindo, então:

j

dy

r







     0 0( ˆ)( ˆ) 0 y y y y y y g dr m g j dy j m g dy F W   W = m g (y₀ – y) = m g d W > 0 da figura: (y₀ - y)>0

O sistema está composto por um bloco de massa m e uma mola. (F_at=0),

Trabalho realizado por uma mola

Analise quando se aplica uma força externa:

(a) a mola está num estado relaxado, então não exerce força sobre bloco.

O bloco se desloca da posição de equilíbrio a mola exerce uma força restauradora sobre ele para retornar à posição de equilíbrio:

(b) Se o deslocamento é para a direita (+) do eixo x, a força restauradora aponta para o sentido negativo desse eixo.

(c) Se o deslocamento é para a esquerda (-) do eixo x, a força restauradora aponta para o sentido positivo desse eixo.

Considerando este analise, a equação em geral que descreve a força da mola, em geral, será:

)

Hooke

de

Lei

(

s

k

F

)

r

r

(

k

F

0













Força da Mola:

• É uma força restauradora e é proporcional ao deslocamento do bloco em relação à sua posição de equilíbrio.

• Esta força é tipo elástica.

k > 0: constante elástica da mola

: vetor posição final : vetor posição inicial

: vetor deslocamento 0 0

r

r

s

r

r















Cálculo do trabalho para o corpo deslocando-se na parte positiva: i x s i x x i x i x s  _f ˆ _i ˆ  ( _f  _i)ˆ    ˆ Da figura i x k s k F      ( ) ˆ

o trabalho realizado pela mola será



  f i x x s d F W  

Temos duas situações, afastando ou se aproximando do ponto de equilíbrio a) Se afastando do ponto de equilíbrio

Sistema massa – mola (movendo se livremente-1D)

f i

r

r

s











x  xf  xi

i

x

d

s

d





ˆ

: vetor deslocamento i x r e i x r_i  _i ˆ _f  _f ˆ Então: e Da figura ?

Cálculo do trabalho para o corpo deslocando-se na parte positiva:

logo, o trabalho realizado pela mola será

) ( 2 2 . ˆ ). ˆ ( 2 2 2 i f xf xi x x x x x x x x k W x k dx x k i dx i x k s d F W f i f i f i              



 





Sistema massa – mola (movendo se livremente-1D)

Como: x_f > x_i  (x x ) 0 2

k

Portanto:

W < 0: se x_i < x_f (o bloco desloca-se para a direita) W > 0: se x_i > x_f (o bloco desloca-se para a esquerda) W = 0: se x_i = x_f (o bloco não foi deslocado)

b) Se aproximando do ponto de equilíbrio Da figura

)

ˆ

(

x

i

k

F









logo, o trabalho realizado pela mola será

)

(

2

2

.

)

ˆ

).(

ˆ

(

2 2 2 f i x x x x x x

x

x

k

x

k

dx

x

k

i

dx

i

x

k

W

i f i f i f



















Como: x_i > x_f  _{( ) 0} 2 2 2    k x_i x_f W

iˆ

x

d

s

d

iˆ

x

iˆ

x

iˆ

x

s

_{f i}



















x=distância

No cotidiano

Quem tem maior energia pode realizar maior trabalho.

Na Física

A energia é uma propriedade física do sistema (corpo) que quantifica o seu estado (repouso ou movimento).

Propriedades

• Grandeza escalar

• Transformação de uma na outra (ex: potencial cinética; magnética elétrica)

• Devido a suas diversas formas esta grandeza física é utilizada como uma relação de equivalência.

•Energia cinética, K •Energia potencial, U

Tipos de energia a estudar

•É a energia associada a seu estado de movimento de um corpo cuja massa é m. Esta é descrita como:

2

2

1

v

m

K



Daqui podemos observar que para m = cte, temos:

•Quanto mais rapidamente se movimenta um corpo, maior será sua energia cinética.

•Quanto o corpo se encontra em repouso sua energia cinética será nula. •A energia cinética é sempre positiva.

Como a força é constante então a aceleração também é constante

Relação entre trabalho e energia cinética

Estado de um corpo no tempo

t_o : x_o , v_o t : x, v

então da segunda lei de Newton temos

m

F

a

a

m

F

_x



_x



_x



x

O trabalho é a energia transferida para ou de um corpo por meio de uma força atuando no objeto(variação da energia cinética).

2 v 2 v ) x x ( a ) x x ( a 2 v v 2 0 2 0 x 0 x 2 0 2        d . F ) x x ( a m 2 v m 2 v m x 0 x 2 o 2    

K

W





Das equações de cinemática para um corpo com aceleração constante, temos:

multiplicando por m temos:

F

o termo da esquerda é a variação da energia cinética: oK: energia cinética em t, x,

oK_o: energia cinética em t_o, x₀.

o termo da direita é o trabalho realizado pela força, , para deslocar o corpo uma distancia d

Então, da equação anterior temos:

Teorema da energia cinética

Portanto, temos que:

Ponto de verificação

Uma partícula se move ao longo de um eixo x. A energia cinética da partícula aumenta, diminui ou permanece a mesma se a velocidade da partícula mudar (a) de -3 m/s para -2 m/s e (b) de -2 m/s para 2 m/s? (c) Em cada situação, o trabalho realizado sobre a partícula é positivo, negativo ou nulo?

Durante uma tempestade, um caixote desliza pelo piso escorregadio de um estacionamento, sofrendo um deslocamento d=(-3,0m)î ao ser empurrado pelo vento com uma força F = (2,0 N) î +(-6,0N)^j.

(a) Qual é o trabalho realizado pelo vento sobre o caixote?

(b) Se o caixote tem uma energia cinética de 10 J no inicio do deslocamento

• W = ΔK, O trabalho realizado por uma resultante de forças é igual à variação da sua energia cinética.

• W= F_R.d, O trabalho é a energia transferida para um corpo por meio

de uma força resultante, atuando sobre um corpo.

W = 0;  ∆ K = 0; O corpo não ganhou nem perdeu energia W > 0;  ∆ K > 0; (ganho energia)

W < 0;  ∆ K < 0; (perdeu energia)

Interpretação da relação W em função de ΔK

Portanto, se uma força executou um trabalho W sobre um corpo, ele variou a sua energia desse corpo em uma quantidade W.

Casos desde o ponto de vista de transferência de energia:

K

W





A energia potencial é a energia que pode ser associada à configuração ou arranjo (estado) de um sistema de objetos que interagem (Força) entre eles.

• Na figura cada posição (ex: (a) 0, y₁,y₂,...) do corpo corresponde a um estado. • Se a configuração do sistema ou a posição do corpo se altera a energia potencial do sistema também pode ser alterada.

Energia Potencial

Sistema Terra – corpo _{Sistema Mola-corpo}

(a)

Energia potencial gravitacional, associada ao

estado de separação entre os objetos que se atraem uns a outros por meio da força gravitacional.

Exemplo de tipos de energia potencial

Energia potencial elástica, associada ao

estado de compressão ou alongamento de um objeto elástico (semelhante a uma mola).

Observação. A energia potencial está sempre associada a uma força.

Neste caso para comprimir ou alongar uma mola se realiza um trabalho para modificar as posições da mola.

Relação entre trabalho e energia potencial

g

F

1) Analise para uma Força gravitacional

• o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o corpo é negativo, Análise dos seguinte sistemas

subida

• Isto significa que a força gravitacional retira energia da energia cinética do corpo (v₀ > v).

• Se não existe força de atrito, podemos concluir que a energia potencial gravitacional (∆U) deveria ganhar esta energia na mesma quantidade que retirou da energia cinética do corpo, então temos que ∆U = -W_Fg.

0 0       K K W como W_{Fg Fg}

• Existe uma transferência de energia desde a energia potencial gravitacional para o corpo em forma de energia cinética.

• A diminuição da energia potencial gravitacional deveria ser na mesma quantidade que entregou para o corpo aumentar a sua energia cinética, isto é:

Descida .

A energia cinética do corpo aumenta devido à ação da força gravitacional, isto indica que houve perda de energia potencial;

∆U = -W

∆U = -W.

Relação entre trabalho e energia potencial

• o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o corpo é positivo,

0

0















K

K

W

como

W

_{Fg Fg} Conclusão:

W r U r U W r U r U r U         ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0      então: Da relação

podemos encontrar o potencial em qualquer ponto, o qual é definida em relação a um referencial.

W

)

r

(

U









r

) (r

U  _{Energia potencial na posição}

A energia potencial e todos os outros valores serão medidos em relação a este referencial.

) (r₀

U  _{Energia potencial na posição}

_r

_{0 (referencial)}

A energia potencial de um corpo representa a capacidade dele produzir energia cinética ou, de maneira mais genérica, transformar essa energia num outro tipo de energia.

Portanto: _{  }



xf

xi F(x)dx

U

Teste

Uma partícula se move ao longo de um eixo x de x = 0 para x₁ enquanto uma força conservativa, orientada ao longo do eixo x, atua sobre a partícula. A figura mostra três situações nas quais a força varia com x. A força possui a mesma intensidade máxima nas três situações. Ordene as situações de acordo com a variação de energia potencial associada ao movimento da partícula, começando pela mais positiva.

1) Executa um trabalho nulo quando se considera um percurso fechado.

W = 0 (A: →1→ B:→2→A)

Forças conservativas

Características

Exemplo:

No sistema massa - mola, quando a massa retorna a um dado ponto, ela tem a mesma energia cinética da passagem anterior, com a mesma capacidade de produzir trabalho, portanto o trabalho realizado pela mola foi nulo, neste percurso fechado.

Por exemplo

Vamos considerar uma força conservativa que atua sobre uma partícula ao longo de um percurso fechado, indo do ponto A até o ponto B pelo caminho 1 da figura, e voltando de B para A pelo caminho 2 . Temos então que:

2) O trabalho realizado por uma força conservativa para ir desde um ponto A até o ponto B independe do percurso.

ou seja

Como a força é conservativa, se vai e volta pelo mesmo caminho 2, temos

e finalmente

Portanto, o trabalho será o mesmo caso se utilize o percurso 1 ou 2, em geral para qualquer outro percurso.

Quando as mudanças de forma de energia acontecem sem perdas, isto indica que existe uma

conservação de energia

e que as forças envolvidas no processo são conservativas.

O trabalho resultante executado pela força resultante é:

W_R = ∆K = K_f - K_i

Para um sistema de forças conservativas:

∆U = -W_R  ∆U = - ∆K  ∆(U + K) = 0

como E = K+ U  ∆E =0

A variação de energia mecânica é nula para um sistema de forças conservativas.

Exemplo: O sistema massa - mola é um sistema conservativo, onde a força que a mola exerce é variável.

Energia mecânica

A energia mecânica está definida como

E = K + U

A potência é taxa com a qual uma força transfere energia de uma forma para outra. A potência mede a capacidade de um sistema produzir (ou absorver) energia num intervalo de tempo.

Potência

Nos dá a medida da energia ΔE transferida num certo intervalo de tempo Δt.

t E P_med    Potência média dt dE P_med  Potência instantânea

Horse Power: HP <> ft.lb / s (pé libra por segundo) 1 HP= 746 W

Sistema Internacional: watt: W <> J/s.

Sistema britânico:

Exemplo

Um caixote de 230 kg esta pendurado na extremidade de uma corda de 12 m de comprimento. Ele é empurrado com uma força horizontal variável F até deslocá-lo de 4 m horizontalmente. Calcular:

a) a força quando o caixote se encontra na posição final b) o trabalho executado pela força F

c) o trabalho do peso do caixote d) o trabalho total

Posição inicial: 1 ==> F = 0 Posição final: 2 ==> F ≠ 0

a) Cálculo da força quando o caixote se encontra na posição final

P

T

F

F

_R











Força Resultante 1 2

como o sistema se encontra em equilíbrio, no ponto 2:

0



R

F

0

cos

0

















P

T

Fy

sen

T

F

Fx





(1) (2)



tan

P

F



De (1) e (2) Então:

b) o trabalho do peso do caixote





ds

Ld

L

s























f f f o

ds

sen

P

ds

P

s

d

P

W

     





0 0

)

90

cos(







    











0

cos

)

(

0 0

PL

W

d

sen

PL

Ld

sen

P

W

f f















) 1 (cos   PL



W

s

d



O vetor deslocamento é

tangente ao arco de circunferência

Da figura , o deslocamento s do corpo é: (ou ver figura: arco=ânguloxraio)









f f o

ds

F

s

d

F

W

_F    



0

cos





c) o trabalho pela corda

d) o trabalho pela força F



    W W W F ds W_{R F P T} R 









 











0 0

)

(

cos

)

tan

(

P

Ld

PL

sen

d

W

_F

)

1

(cos

cos

0











PL





PL



W

_F

0

90

cos

0











f f o

ds

T

s

d

T

W

_T    





e) Trabalho total

0







f

s

d

F

W

_{R R} 





ou

W

_R



W

_P



W

_T



W

_F





PL

(cos





1

)



0



PL

(cos





1

)



0

0     F T P FR   mas

Kiko: Ponto A, justo quando a bola se decola da mola, quando a mola comprime x₁ = 1,10cm

Duas crianças brincam de acertar, com uma bolinha lançada por um revolver de brinquedo situado na mesa, uma caixinha colocada no chão a 2,20 m da borda da mesa, ver figura. Kiko comprime a mola de 1,10 cm, mas a bolinha cai a 27,0 cm antes da caixa. De quanto deve a mola ser comprimida pela Biba para atingir o alvo?

Problema 8-34

Biva: Ponto C, justo quando a bola se decola da mola, quando a mola comprime x₂ = x

Ponto B justo quando a bola deixa o revolver e inicia o movimento parabólico

Kiko: Ponto A, justo quando a bola se decola da mola, quando a mola comprime x₁ = 1,10cm

O alcance da bolinha na horizontal vai depender da velocidade inicial no ponto B para cada jogador. Estas velocidades.dependem da deformação da mola. Temos:

v_BK : velocidade no ponto para o Kiko (velocidade inicial-horizontal) v_BB : velocidade no ponto para o Biva (velocidade inicial-horizontal)

Solução 8-34

Biva: Ponto C, justo quando a bola se decola da mola, quando a mola comprime x₂ = x

Ponto B justo quando a bola deixa o revolver e inicia o movimento parabólico

Analisando a conservação de energia para ambos, entre o ponto A e ponto B

E_AK = E_BK U_AK + K_AK = U_BK + K_BK E_CB = E_DB U_CB + K_CB = U_BB + K_BB 2 0 0 2 2 2 BK K mv x k _{  } 2 0 0 2 2 2 BB B mv x k _{  } (1) (2) 2 2 mv x k  k x2  mv2 Kiko Biva

2 1 1 1 2 1 0 0 h gt e t v d  _BK    Problema 8-34 d₁ = 2,20 - 0,27 = 1,93m Sabemos que: 2 2 2 2 1 0 0 h gt e t v D _BB    D = 2,20m (5) (4)

A partícula a partir do ponto B tem movimento parabólico:

BK BB K B BB BK B K v v x x v v x x    2₂ 2 2

Temos que determinar v_1B e v_2B para determinar x₂ dividindo (1) por (2), temos:

Kiko _Biva (3) 1 1 t d v_BK  2 t D v_BB  Substituindo:' (4) e (5) em (3): m x_B 0,0125 93 , 1 20 , 2 011 , 0    1 1 1 1 d D x t d t D x x_{B K}  _K              Portanto

como caem da mesma altura, então temos que : t₁ = t₂

Então: 2 0 0 0 0 2 1 t a t v y y e t v x x   _x   _y 