ASL eq estados

(1)

An´

alise no Espa¸co de Estados

Disciplina: An´alise de Sistemas Lineares

Prof. Rodrigo Gusm˜ao Cavalcante

[email protected] [email protected]

Departamento de Engenharia El´etrica Instituto Federal da Bahia

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1 Introdu¸c˜ao

2 Descri¸c˜ao interna: descri¸c˜ao em espa¸co de estado

3 Procedimento sistemático para a determina¸cão das equa¸cões de estado

4 Descri¸c˜ao matricial das equa¸c˜oes de estado

5 Equa¸cões de estado a partir da fun¸cão de transferência

6 Solu¸c˜ao de equa¸c˜oes de estado pela transformada de Laplace

7 Solu¸c˜ao no dom´ınio do tempo de equa¸c˜oes de estado

8 Transforma¸c˜ao linear do vetor de estado

9 Controlabilidade e observabilidade

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1 Introdu¸c˜ao

3 Procedimento sistemático para a determina¸cão das equa¸cões de estado 4 Descri¸cão matricial das equa¸cões de estado

5 Equa¸cões de estado a partir da fun¸cão de transferência 6 Solu¸cão de equa¸cões de estado pela transformada de Laplace 7 Solu¸cão no dom´ınio do tempo de equa¸cões de estado

8 Transforma¸c˜ao linear do vetor de estado 9 Controlabilidade e observabilidade

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em alguns casos e precisamos de uma forma sistem´atica de obter a

descri¸c˜ao internado sistema.

A an´alise por espa¸co de estados atende essa necessidade.

Nesse método, inicialmente selecionamos um conjunto de variáveis chave, chamadas de variáveis de estado do sistema.

Cada poss´ıvel sinal ou vari´avel no sistema em qualquer instante t pode ser descrito em termos das vari´aveis de estado e das entradas naquele instante.

A descri¸c˜ao do sistema usando vari´aveis de estado consiste de: 1 _{Um conjunto de equa¸c˜}_{oes relacionando as vari´}_{aveis de estado (}_q₎

com as entradas do sistema (x) (aequa¸c˜ao de estado).

2 Um conjunto de equa¸c˜oes relacionando as sa´ıdas do sistema (y) com

as vari´aveis de estados (q) e as entradas do sistema (x) (aequa¸c˜ao de sa´ıda).

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Introdu¸c˜

ao

Se as entradas forem conhecidas somente para t > t0, ainda

as-sim podemos determinar a(s) sa´ıda(s) do sistema para qualquer

t > t0, desde que conhe¸camos certas condi¸c˜oes iniciais do sistema

para t = t0.

Essas condi¸c˜oes iniciais s˜ao coletivamente chamadas deestado inicial

do sistema.

As vari´aveis de estado q1(t), q2(t), . . ., qn(t) s˜ao a menor

quan-tidade poss´ıvel de vari´aveis do sistema tal que seus valores iniciais no instante t0 s˜ao suficientes para determinar o comportamento do

sistema para todo tempo t ≥ t0 quando a(s) entrada(s) do sistema

for(em) conhecida(s) para t ≥ t0.

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(7)

Descri¸c˜

ao interna: descri¸c˜

ao em espa¸co de estado

A descri¸cão em espa¸co de estado de um sistema linear é uma des-cri¸cão interna de um sistema.

Nesta abordagem, devemos identificar certas vari´aveis chave, cha-madas devari´aveis de estado.

Essas variáveis possuem a propriedade de que todo sinal poss´ıvel no sistema pode ser expresso como a combina¸cão linear destas variáveis de estado. 1 Ω v1(t) v2(t) 5 Ω vL(t) q2(t) 2 Ω 1F i1(t) iC(t) i2(t) i3(t) q1(t) x(t) v3(t) 2H

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bina¸cão linear das tensões independentes dos capacitores e das cor-rentes dos indutores, as quais são, por sua vez, variáveis de estado do circuito.

Por exemplo, se q1 = 10, q2 = 1 e a entrada x = 20 em algum instante, as demais tens˜oes e correntes no mesmo instante ser˜ao:

i1 = (x − q1)/1 = 20 − 10 = 10 A v1 = x − q1= 20 − 10 = 10 V v2 = q1 = 10 V i2 = q1/2 = 5 A iC = i1− i2− q2 = 10 − 5 − 1 = 4 A i3 = q2 = 1 A v3 = 5 q2 = 5 V vL = q1− v3= 10 − 5 = 5 V

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Descri¸c˜

ao interna: descri¸c˜

ao em espa¸co de estado

Exemplo 1

Considere novamente o circuito anterior com q1 e q2 como vari´aveis de estado e escreva as suas equa¸c˜oes de estado.

Resposta:

˙q1 = −1.5q1− q2+ x

˙q2 = 0.5q1− 2.5q2

Este é um conjunto de duas equa¸cões diferenciais simultâneas de primeira ordem. Este conjunto de equa¸cões é conhecido comoequa¸cões de estado. Na descri¸cão entrada-sa´ıda, um sistema de ordem N é descrito por uma equa¸cão de ordem N .

Na técnica de variáveis de estado, o mesmo sistema é descrito por N equa¸cões de estado simultâneas de primeira ordem. (Assumindo que o sistema é controlável e observável. Se não for o caso, a equa¸cão de descri¸cão de entrada-sa´ıda terá uma ordem menor do que o número

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Técnicas de espa¸co de estado são úteis não somente devido à ha-bilidade de fornecer a descri¸cão interna do sistema, mas por várias outras razões, incluindo as seguintes:

1 _Equa¸_c˜_{oes de um sistema fornecem um modelo matem´}_{atico de grande}

generalidade que pode descrever sistemaslinearesen˜ao lineares; siste-masvarianteseinvariantesno tempo; sistemasSISOeMIMO.

2 _A_nota¸_c˜_{ao matricial}_{compacta e as poderosas t´}_{ecnicas de}_´_{algebra linear}

facilitam em muito manipula¸c˜oes complexas.

3 _Equa¸_c˜_{oes de estado resultam em uma f´}_{acil situa¸}_c˜_{ao para a}_simula¸_c˜_ao em computadoresdigitais de sistemas.

4 _{Para sistemas de segunda ordem (N} = 2), um m´etodo gr´afico chamado

deanálise no plano de fasepode ser utilizado nas equa¸cões de estado, sejam elas lineares ou não.

Os benef´ıcios reais da abordagem de espa¸co de estado, entretanto, s˜ao mais ´obvios para sistemas muito complexos ou de alta ordem.

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1 Introdu¸c˜ao

3 Procedimento sistemático para a determina¸cão das equa¸cões de estado

4 Descri¸c˜ao matricial das equa¸c˜oes de estado

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Um procedimento sistemático para a determina¸cão da descri¸cão por espa¸co de estados de sistemas lineares invariantes no tempo, deve seguir os seguintes passos:

1 Escolha todas as tens˜oes independentes de capacitores e correntes

independentes de indutores como vari´aveis de estado.

2 _{Escolha um conjunto de correntes de malha. Expresse as vari´}_aveis

de estado e suas derivadas primeiras em termos destas correntes de malha.

3 _{Escreva as equa¸}_c˜_{oes de tens˜}_{ao de malha e elimine todas as vari´}_aveis

que não sejam as variáveis de estado das equa¸cões obtidas nos passos 2 e 3.

Existe um procedimento alternativo para determinar as equa¸cões de estado através da substitui¸cão de cada capacitor por uma fonte de tensão igual à tensão do capacitor e cada indutor por uma fonte de corrente de corrente igual à corrente do indutor.

(13)

Procedimento sistem´

atico para a determina¸c˜

ao das

equa¸c˜

oes de estado

Exemplo 2

Determine as equa¸cões de estado do circuito abaixo. Considere que a sa´ıda do sistema é a tensão v4 na resistência.

2 Ω q2 i1 i2 i4 x(t) 1H i3 1 2Ω 1 5F 1 3Ω q1 v4 v2 v1 v3

(14)

Exerc´ıcio 1

Investigue a natureza das equa¸c˜oes de estado e a quest˜ao da controlabilidade e da observabilidade para o circuito abaixo. Resposta: ˙q = −0.5q e y(t) = 0.4x (t).

2 Ω 2 Ω y(t) 2 Ω 2 Ω x/10 x(t) 3 Ω e b a d d x/5 x/10 x/10 x/10

(15)

Procedimento sistem´

atico para a determina¸c˜

ao das

equa¸c˜

oes de estado

Exemplo 3

Determine as equa¸cões de estado do circuito abaixo usando o método sistemático descrito anteriormente.

q2 1 2 Ω 2F q1 2 Ω x(t) 1H 2 Ω 2 Ω i1 i2 i3

(16)

Exerc´ıcio 2

Escreva as equa¸cões de estado para o circuito RLC série mostrado na figura abaixo utilizando a corrente do indutor q1(t) e a tensão do capacitor q2(t) como variáreis de estado. Expresse cada tensão e corrente deste circuito como a combina¸cão linear de q1, q2e x . x(t) 0.5F q1(t) 1H q2(t) 3 Ω Resposta: ˙q1 = −3q1− q2+ x ˙q2 = 2q1

(17)

1 Introdu¸c˜ao

(18)

Para sistemas cont´ınuos no tempo, as equa¸c˜oes de estado s˜ao N

equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem com N vari´aveis de estado

q1(t),q2(t),. . .,qn(t)na forma

˙qi = gi(q1, q2, . . . , qN, x1, x2, . . . , xj) i = 1, 2, . . . , N

na qual x1, x2, . . . , xj s˜ao asj entradas do sistema.

Para um sistema linear, essas equa¸c˜oes se reduzem a uma forma linear mais simples

˙qi = ai 1q1+ ai 2q2+ · · · + aiNqN + bi 1x1+ bi 2x2+ · · · + bijxj i = 1, . . . , N

Se existirem k sa´ıdasy1, y2, . . . , yk as k equa¸c˜oes de sa´ıda estar˜ao

na forma

ym = cm1q1+ · · · + cmNqN + dm1x1+ · · · + dmjxj m = 1, 2, . . . , k

(19)

Descri¸c˜

ao matricial das equa¸c˜

oes de estado

As N equa¸cões de estado simultâneas de primeira ordem também são chamadas de equa¸cões forma normal. Essas equa¸cões podem ser reescritas, mais convenientemente, na forma matricial:

     ˙q1 ˙q2 . . . ˙qN      | {z } ˙ q =      a11 a12 · · · a1N a21 a22 · · · a2N . . . ... · · · ... aN 1 aN 2 · · · aNN      | {z } A      q1 q2 . . . qN      | {z } q +      b11 b12 · · · b1j b21 b22 · · · b2j . . . ... · · · ... bN 1 bN 2 · · · bNj      | {z } B      x1 x2 . . . xj      | {z } x      y1 y2 . . . yN      | {z } y =      c11 c12 · · · c1N c21 c22 · · · c2N . . . ... · · · ... cN 1 cN 2 · · · cNN      | {z } C      q1 q2 . . . qN      | {z } q +      d11 d12 · · · d1j d21 d22 · · · d2j . . . ... · · · ... dN 1 dN 2 · · · dNj      | {z } D      x1 x2 . . . xj      | {z } x

(20)

q,yexs˜ao chamados de vetor de estado, vetor de sa´ıda e vetor de entrada, respectivamente.

Aequa¸c˜ao de estado´e dada por ˙q = Aq + Bx

Aequa¸c˜ao de sa´ıda´e dada por y= Cq + Dx

(21)

1 Introdu¸c˜ao

5 Equa¸cões de estado a partir da fun¸cão de transferência

6 Solu¸cão de equa¸cões de estado pela transformada de Laplace 7 Solu¸cão no dom´ınio do tempo de equa¸cões de estado

(22)

E relativamente simples determinar as equa¸cões de estado de um sistema especificado por sua fun¸cão de transferência, desde que o sistema seja controlável e observável (não existem cancelamentos de pólos/zeros na fun¸cão de transferência).

Considere a fun¸cão de transferência de ordem N, genérica,

H(s) = b0s

N _{+ b}

1sN −1+ · · · + bN −1s+ bN

sN _{+ a}

1sN −1+ · · · + aN −1s+ aN

Neste caso, a equa¸c˜ao de estado na forma matricial ´e dada por:

       ˙q1 ˙q2 . . . ˙qN −1 ˙qN        =        0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 · · · 0 0 . . . ... ... · · · ... ... 0 0 0 · · · 0 1

−aN −aN −1 −aN −2 · · · −a2 −a1               q1 q2 . . . qN −1 qN        +        0 0 . . . 0 1        x

(23)

Equa¸c˜

oes de estado a partir da fun¸c˜

ao de transferˆ

encia

A equa¸c˜ao de sa´ıda na forma matricial ´e dada por:

y= _ˆ bN ˆbN −1 · · · ˆb1        q1 q2 .. . qN −1 qN        + b0x onde ˆbi = bi− b0ai. Exemplo 4

Determine a descri¸cão no espa¸co de estados do sistema especificado pela fun¸cão de transferência

H(s) = 2s + 10 s3_{+ 8s}2_{+ 19s + 12}

(24)

5 Equa¸cões de estado a partir da fun¸cão de transferência 6 Solu¸cão de equa¸cões de estado pela transformada de Laplace

7 Solu¸cão no dom´ınio do tempo de equa¸cões de estado 8 Transforma¸cão linear do vetor de estado

(25)

Solu¸c˜

ao de equa¸c˜

oes de estado pela transformada de

Laplace

As equa¸cões de estado de um sistema linear são N equa¸cões dife-renciais simultâneas de primeira ordem.

´

E relativamente mais f´acil trabalhar no dom´ınio da frequˆencia do que no dom´ınio do tempo.

Além disso, é mais conveniente obtermos uma solu¸cão utilizando diretamente a nota¸cão matricial.

Neste caso, a equa¸c˜ao de estados ´e dada por

Q(s) = (sI − A)−1[q(0) + BX(s)] = Φ(s)[q(0) + BX(s)]

(26)

Portanto,

q(t) = L−1[Φ(s)]q(0)

| {z }

componente de entrada nula

+ L−1[Φ(s)]BX(s)

| {z }

componente de estado nulo

Exemplo 5

Obtenha o vetor de estado q(t) para o sistema cuja equa¸cão de estado é dada por ˙q = Aq + Bx com A= −12 2/3 −36 −1 B= 1/3 1 x(t) = u(t) e condi¸cões iniciais q1(0) = 2 e q2(0) = 1.

(27)

Solu¸c˜

ao de equa¸c˜

oes de estado pela transformada de

Laplace

Usando a transformada de Laplace e equa¸cão de estados apresentada anteriormente, então a equa¸cão de sa´ıda é dada por

Y(s) = CΦ(s)q(0)

| {z }

resposta de entrada nula

+ [CΦ(s)B + D]X(s)

| {z }

resposta de estado nulo

A matriz fun¸cão de transferência H(s) do sistema, que relaciona a resposta de estado nulo (q(0) = 0) e a entrada X(s)é dada por

H(s) = CΦ(s)B + D

A matrizH(s)é uma matrizk × j (k é o número de sa´ıdas e j é o número de entradas).

Oij -ésimoelemento de Hij(s)deH(s)é a fun¸cão de transferência

(28)

Exemplo 6

Determine a matriz fun¸cão de transferência do sistema com a seguinte equa¸cão de estado ˙q1 ˙q2 = 0 1 −2 −3 q1 q2 + 1 0 1 1 x1 x2 e equa¸cão de sa´ıda   y1 y2 y3  =   1 0 1 1 0 2   q1 q2 +   0 0 1 0 0 1   x1 x2

(29)

1 Introdu¸c˜ao

(30)

vetorial

˙q = Aq + Bx

possui a seguinte solu¸c˜ao no dom´ınio do tempo

q(t) = eAt_{q(0) +} t Z

0

eA(t −τ )Bx(τ ) d τ

triz é definida por uma série infinita idêntica à utilizada na defini¸cão da exponencial de um esc

A exponencial de uma maalar. eAt = I + At +A 2_t2 2! + A3t3 3! + · · · + Antn n! + · · ·

O cálculo de eAt pela defini¸cão, infelizmente, é uma série infinita e seu cálculo é muito trabalho. Entretanto, existem vários métodos eficientes para a determina¸cão deeAt.

(31)

Solu¸c˜

ao no dom´ınio do tempo de equa¸c˜

oes de estado

Determinando eAt - M´etodo 1 eAt = β0I+ β1A+ β2A2+ · · · + βN −1AN −1 na qual      β0 β1 .. . βN −1      =      1 λ1 λ21 · · · λN −11 1 λ2 λ22 · · · λ N −1 2 .. . ... ... . .. ... 1 λN λ2N · · · λN −1N      −1     eλ1t eλ2t .. . eλNt     

(32)

Determinando eAt _{- M´}_{etodo 2}

Também pode-se determinar eAt comparando as solu¸cões da equa¸cão de estado no dom´ınio do tempo e na frequência.

eAt = L−1[Φ(s)] = L−1[(sI − A)−1]

Exemplo 7

Utilize o m´etodo do dom´ınio do tempo para obter novamente a solu¸c˜ao do problema do Exemplo 5.

(33)

Solu¸c˜

ao no dom´ınio do tempo de equa¸c˜

oes de estado

A equa¸c˜ao de sa´ıda ´e dada por

y(t) = C[eAtq(0) + eAtB ∗ x(t)] + DX(t)

y(t) = CΦ(t)q(0)

| {z }

resposta de entrada nula

+ [CΦ(t)B + Dδ(t)] ∗ x(t)

| {z }

resposta de estado nulo

A matriz h(t)´e uma matriz k × j chamada matriz de resposta ao impulso

h(t) = CΦ(t)B + Dδ(t)

O ij -´esimo elemento deh(t)representa a resposta de estado nuloyi

quando a entrada é xj(t) = δ(t) e quando todas as outras entradas (e todas as condi¸cões iniciais) são zero.

Exemplo 8

Para o sistema descrito no problema do Exemplo 6 determine eAt = L−1[Φ(s)].

(34)

8 Transforma¸c˜ao linear do vetor de estado

(35)

Transforma¸c˜

ao linear do vetor de estado

O estado de um sistema pode ser especificado de diversas formas e estamos particularmente interessados em um tipo linear de rela¸c˜ao. Sejam q1, q2, . . . , qN e w1, w2, . . . , wN dois conjuntos diferentes de

variáveis de estado especificando o mesmo sistema. Esses conjuntos são relacionados pelo seguinte sistema de equa¸cões linear

     w1 w2 .. . wN      | {z } w =      p11 p12 · · · p1N p21 p22 · · · p2N .. . ... · · · ... pN 1 pN 2 · · · pNN      | {z } P      q1 q2 .. . qN      | {z } q

Definindo o vetorwe a matrizPcomo mostrados acima, podemos escrever

(36)

exista. Isto é equivalente a dizer quePé uma matriz não singular. Logo, a equa¸cão de estado se torna

˙

w = PAP−1w+ PBx = Awˆ + ˆBx

Exemplo 9

As equa¸cões de estado de um certo sistema são dadas por ˙q1 ˙q2 = 0 1 −2 −3 q1 q2 + 1 2 x(t) Obtenha as equa¸cões de estado para esse sistema quando

w1 w2 = 1 1 1 −1 q1 q2

(37)

Transforma¸c˜

ao linear do vetor de estado

Invariˆancia dos autovalores

Sabe-se que os pólos de todas as poss´ıveis fun¸cões de transferência de um sistema são os autovalores da matriz A.

Se transformarmos o vetor de estado q para w, as vari´aveis

w1, w2, . . . , wN ser˜ao as combina¸c˜oes lineares de q1, q2, . . . , qN e,

portanto, podem ser consideradas como as sa´ıdas.

Portanto, os autovalores da matriz Apermanecem inalterados para a transforma¸cão linear das variáveis, e os autovalores da matrizAe da matriz Aˆ sãoidênticos.

Este resultado pode ser provado como mostrado a seguir.

P(sI − A)P−1= PsIP−1− PAP−1= sPIP−1− Â= sI − Â |sI − Â|= |P||sI − A||P−1| = |sI − A| ,

(38)

Diagonaliza¸c˜ao da matriz A

Por diversas razões (controlabilidade e observabilidade), é desejável tornamos Adiagonal.

Em geral, Anão é diagonal, mas podemos aplicar uma transforma-¸cão linear nas variáveis de estado de tal forma que a matriz resultante

ˆ

A seja diagonal.

Pode-se mostrar que para qualquer matrizAdiagonal os elementos dessa matriz s˜aoλ1, λ2, . . . , λN (os autovalores) da matriz.

Λ =        λ1 0 0 · · · 0 0 λ2 0 · · · 0 0 0 λ3 · · · 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 . . . λN       

(39)

Transforma¸c˜

ao linear do vetor de estado

Diagonaliza¸c˜ao da matriz A - continua¸c˜ao

Assuma queλ1, λ2, . . . , λN, os autovalores deA s˜ao distintos (sem

ra´ızes repetidas).

Vamos transformar o vetor de estadoqem um novo vetor de estado

z, usando a transforma¸c˜ao

z= Pq ⇒ ˙z = PAP−1z+ PBx

Procura-se uma transforma¸c˜ao tal quePAP−1 seja a matriz diago-nal Λ, ou seja,

˙z = Λz + ˆBx

Logo,

Λ = PAP−1 ⇒ ΛP = PA

Exemplo 10

(40)

(41)

Controlabilidade e observabilidade

Considere a seguinte descri¸c˜ao de espa¸co de estado diagonalizada de um sistema

˙z = Λz + ˆBx

e

Y= ˆCz+ Dx

Suponha que todos os N autovalores λ1, λ2, . . . , λN s˜ao distintos.

En-tão, as equa¸cões de estado são da forma

˙zm = λmzm + ˆbm1x1+ ˆbm2x2+ · · · + ˆbmjxj m = 1, 2, . . . , N

Se ˆbm1, ˆbm2, . . . , ˆbmj (a m-´esima linha da matriz Bˆ) s˜ao iguais a zero,

ent˜ao

˙zm = λmzm

e a variávelzm énão controlávelporquezm não será acoplada a nenhuma

(42)

Caso ao menos um elemento da m-ésima linha de B for diferente de zero, zm estará acoplado ao menos com uma entrada e, portanto, será

control´avel.

Um sistema com um estado diagonalizado ´e completamentecontrol´avel

se a matriz ˆB não possuir uma linha de elementos iguais a zero. As equa¸cões de sa´ıda são da forma

yi = ˆci 1z1+ ˆci 2z2+ · · · + ˆciNzN + j

X

m=1

dimxm i = 1, 2, . . . , k

Se ˆcim = 0, então o estado zm não irá aparecer na expressão deyi.

Como todos os estados são desacoplados devido à natureza diagonali-zada das equa¸cões, o estadozm não pode ser observadodiretamente ou

indiretamente na sa´ıdayi.

(43)

Controlabilidade e observabilidade

Se ˆc1m, ˆc2m, . . . , ˆcxm (a m-´esima coluna da matrizCˆ) for diferente de

zero, zm ´e observ´avel a menos em uma sa´ıda.

Um sistema com equa¸cões diagonalizadas é completamente observávelse e somente se a matriz ˆC não possuir uma coluna de elementos nulos.

Exemplo 11

Investigue a controlabilidade e observabilidade do sistema, representado pelas seguintes equa¸c˜oes:

˙q1 = q1+ x ˙q2 = q1− q2 e

(44)

Exemplo 12

Investigue a controlabilidade e observabilidade do sistema, representado pelas seguintes equa¸c˜oes:

˙q1 = −q1+ x ˙q2 = −2q1+ q2+ x e

y = q2