Soluções exatas para arranjos periódicos de bolhas na célula de hele-shaw

Texto

(1)i. U. N. I. D. E. P. V. P. R. E. R. A. S. R. O. T. G. I. D. A. R. A. D. M. A. E. E. M. F. N. A. T. D. E. D. O. E. E. D. P. R. E. Ó. A. F. S. . L. Í. G. S. R. D. I. C. A. E. P. A. E. –. D. U. R. C. A. N. C. Ç. A. E. Ã. M. B. U. C. O. N. O. E. M. F. Í. S. I. C. A. . . p. A. n. t. ô. D. i. e. a. n. c. a. E. r. o. f. .. P. r. o. f. .. B. P. r. o. f. .. A. x. G. i. r. m. v. u. n. a. o. a. n. d. o. r. i. n. é. n. i. a. L. d. o. G. e. r. N. a. c. o. p. a. l. h. r. e. d. b. a. s. i. a. C. n. e. e. d. b. t. o. r. t. í. e. r. e. M. a. s. n. ç. i. a. á. ã. c. a. d. d. ã. c. o. a. l. ç. r. o. p. r. e. o. o. P. e. s. D. P. d. i. o. e. r. t. í. n. t. e. e. r. t. a. s. a. (. I. r. M. c. o. n. n. e. P. i. A. c. r. e. o. l. d. o. s. a. (. C. O. u. r. n. i. e. h. n. t. a. a. (. d. o. D. r. F. . U. . F. U. e. s. ). E. ). ). R. e. c. A. i. f. g. e. o. . s. P. t. o. E. . ,. B. 2. 0. r. 0. a. 8. s. t. c. i. l. l. r. o. o. t. i. P. n. o. E. P. S. o. e. M. P. F. a. a. m. c. e. r. a. a. u. d. i. d. t. b. o. e. a. r. m. l. r. n. p. a. u. e. :. V. o. s. F. o. B. s. i. m. F. P. n. o. r. e. g. r. a. e. o. e. a. o. d. m. v. p. m. m. F. a. F. a. í. r. í. s. t. s. i. d. c. e. e. d. d. i. c. P. a. a. o. .. s. ó. a. s. =. U. r. e. G. r. n. q. u. i. i. a. v. s. d. e. i. r. t. o. u. s. a. i. s. d. p. ç. ã. a. d. a. o. e. r. a.

(2) ii. S. i. l. v. a. ,. A. S. b. P. o. l. e. h. r. n. o. l. a. e. i. r. a. i. r. n. i. a. n. I. 1. C. é. l. u. s. l. d. 3. 2. r. e. e. t. i. c. l. i. n. e. i. l. C. e. c. r. D. .. a. i. o. 2. g. t. r. 2. a. d. e. µ. r. S. r. h. u. l. t. i. d. d. c. a. a. o. n. j. o. s. w. r. T. ). µ. a. ê. p. /. ,. i. .. t. 2. d. s. í. U. ,. n. o. .. .. ). i. p. u. I. o. s. a. .. .. e. A. í. e. f. a. a. l. O. F. w. r. a. 2. 0. e. A. 0. n. 8. r. t. i. ô. ó. d. n. i. i. c. o. o. s. d. M. á. r. e. c. i. o. .. .. s. a. i. r. e. :. i. s. a. (. e. .. f. h. f. e. N. e. H. f. m. d. S. i. l. E. r. a. e. c. i. (. a. µ. D. e. e. p. d. C. g. P. s. a. o. o. o. a. :. ã. i. t. R. C. b. â. H. l. s. ç. .. c. a. u. a. a. r. x. µ. h. o. b. l. .. l. c. i. á. é. a. e. u. M. e. o. u. M. a. v. f. b. .. l. 5. s. c. l. 7. m. o. s. c. i. 6. i. e. a. S. ,. n. õ. n. D. e. ô. ç. s. x. P. t. u. u. 2. l. c. e. .. o. n. i. 0. 0. v. e. r. 8. s. i. d. a. d. e. F. e. d. e. r. a. l. d. e. .. .. i. D. n. â. m. i. c. a. d. e. i. .. F. Q. 2. 0. 0. 8. µ. 0. 4. 9. n. t. e. r. f. a. c. e. s. .. 3. ..

(3) iii.

(4) Dedico este trabalho ` a minha fam´ılia e ` a todos aqueles que considero como sendo parte da mesma..

(5) AGRADECIMENTOS. Agrade¸co à Deus, à minha fam´ılia pelo carinho e apoio, ao meu orientador pela paciência e pelo conhecimento transmitido a mim, e aos meus amigos. Agrade¸co ao CNPq pelo apoio financeiro.. v.

(6) RESUMO. Nesta disserta¸cão apresentamos o cálculo de solu¸cões exatas para o problema do movimento de arranjos duplamente periódicos de bolhas em uma célula de Hele-Shaw, quando os efeitos de tensão superficial são desprezados. As solu¸cões obtidas descrevem um conjunto de bolhas que se movem com velocidade constante na dire¸cão do eixo x. No referencial que se move com as bolhas, os centróides das mesmas estão localizados ao longo das arestas de um reticulado retangular com célula unitária de largura 2a e comprimento 2L, podendo haver um n´ umero arbitrário N de bolhas por célula unitária. As solu¸cões descritas neste trabalho representam a fam´ılia mais geral de solu¸cões estacionárias para bolhas na célula de Hele-Shaw conhecida até o momento, sendo que todas as solu¸cões exatas obtidas anteriormente, para uma ou mais bolhas, são casos particulares da solu¸cão geral apresentada aqui. Essa solu¸cão é obtida através do uso de transforma¸cões conformes, calculando-se a transforma¸cão apropriada que mapeia o semi-plano superior do plano complexo auxiliar ζ no dom´ınio ocupado pelo fluido no plano f´ısico (plano z), representando a célula unitária. Em sua versão mais geral, as solu¸cões são válidas para uma célula de Hele-Shaw infinita, isto é, sem fronteiras, mas de particular interesse são os casos especiais em que temos um conjunto periódico de bolhas movendo-se ao longo de um canal. Nesse caso, obtém-se uma expressão anal´ıtica para a velocidade das bolhas em fun¸cão da fra¸cão de volume ocupada pelas mesmas. Palavras-chave Palavras-chave: Mecânica dos fluidos; Dinâmica de interfaces; Célula de Hele-Shaw.. vi.

(7) ABSTRACT. In this thesis exact solutions for the problem of multiple bubbles in a Hele-Shaw cell are presented for the case when surface tension effects are neglected. The solutions reported here describe a doubly-periodic array of bubbles that move with constant velocity in the x direction. In a reference frame that moves with the bubbles, the bubble centroids are located in a rectangular grid whose unit cell has width 2a and length 2L, and there can be any number N of bubbles per unit cell. The solutions described in the present work represent the most general family of solutions for the steady motion of bubbles in a Hele-Shaw cell in the sense that all previously known solutions for steady bubbles are particular cases of our generic solution. The solution is obtained via conformal mapping techniques, where we compute the appropriate mapping function from the upper halfplane of the auxiliary ζ plane onto the physical domain occupied by the fluid in the unit cell (the z plane). In its most general form, the solution is valid for an infinite Hele-Shaw cell, but of particular interest are the cases where we have a periodic array of bubbles in a Hele-Shaw channel. An analytical expression for the bubble velocity as a function of the volume fraction occupied by the bubbles is also obtained. Keywords Keywords: Fluid mechanics; Interface dynamics; Hele-Shaw cell.. vii.

(8) ´ SUMARIO. Cap´ıtulo 1—Introdu¸c˜ ao. 1. 1.1. Dinâmica de interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Dinâmica de interfaces em uma célula de Hele-Shaw . . . . . . . . . . . .. 3. Cap´ıtulo 2—Dinˆ amica de uma bolha em uma c´ elula de Hele-Shaw. 6. 2.1. Escoamento de Hele-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.2. Problema de uma bolha em uma célula de Hele-Shaw . . . . . . . . . . .. 9. 2.2.1. Equa¸cões de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2.2. O problema rotacionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.2.3. Formula¸cão via transforma¸cões conformes. . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.2.4. Solu¸cão geral: Bolha de Taylor-Saffman . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 2.2.5. Caso especial da solu¸cão (U = 2V ) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. Cap´ıtulo 3—M´ ultiplas bolhas em uma c´ elula de Hele-Shaw. 28. 3.1. Solu¸cões periódicas no canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.2. Solu¸cões periódicas: Formula¸cão geral do problema . . . . . . . . . . . .. 31. 3.2.1. Configura¸cão geométrica das solu¸cões . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.2.2. Formula¸cão matemática do problema . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.2.3. O problema rotacionado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.2.4. Formula¸cão via transforma¸cões conformes. . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.2.5. Caso especial (U=2V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.2.6. Fra¸cão de ocupa¸cão da célula como fun¸cão da velocidade das bolhas 42. 3.2.7. Solu¸cões gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. Solu¸cões periódicas em um canal de Hele-Shaw . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.3. viii.

(9) ix. ´ SUMARIO. 3.4. Solu¸cões em uma célula infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. Cap´ıtulo 4—Conclus˜ oes e perspectivas. 62. Apˆ endice A—Transforma¸c˜ ao de Schwarz-Christoffel. 63. Referˆ encias Bibliogr´ aficas. 65.

(10) LISTA DE FIGURAS. 1.1. Forma¸cão de um dedo viscoso em uma célula de Hele-Shaw . . . . . . . .. 2. 1.2. Célula de Hele-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2.1. Perfil parabólico do campo de velocidade do escoamento . . . . . . . . .. 8. 2.2. Bolha simétrica em uma célula de Hele-Shaw com a geometria do canal .. 9. 2.3. Escoamento no referencial que se move com a bolha. . . . . . . . . . . . .. 13. 2.4. (a) Dom´ınio simplesmente conexo no plano z; (b)Dom´ınio correspondente no plano W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.5. Problema (a) no referencial do laboratório, e (b) no referencial que se move com a bolha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.6. 2.8 2.9. 16. Escoamento rotacionado: (a) Mudan¸ca na dire¸cão da velocidade e (b) escoamento resultante no referencial da bolha. . . . . . . . . . . . . . . .. 2.7. 15. 18. Problema rotacionado (a) no referencial do laboratório e (b) no referencial da bolha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. (a) Dom´ınio simplesmente conexo no plano z; (b) Dom´ınio simplesmente ˜.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . conexo no plano W. 20. Geometria do escoamento: (a) no plano z, (b) no plano W , (c) no plano ˜ e (d) na metade superior do plano ζ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . W. 21. 2.10 Representa¸cões do (a) escoamento uniforme no plano W e (b) escoamento devido à fonte e ao sumidouro no plano ζ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Solu¸cões periódicas no canal: (a) fileira de bolhas, (b) célula unitária e (c) célula unitária reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2. 23. 29. Solu¸cões periódicas no canal: (a) colunas de bolhas, (b) célula unitária e (c) célula unitária reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. x. 30.

(11) LISTA DE FIGURAS 3.3. xi. Solu¸cões periódicas de bolhas: (a) arranjos de bolhas, (b) célula unitária e (c) célula unitária reduzida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.4. Célula unitária reduzida do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.5. Problema no referencial das bolhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.6. Dom´ınio simplesmente conexo do escoamento no plano W . . . . . . . . .. 36. 3.7. Problema rotacionado no referencial das bolhas. . . . . . . . . . . . . . . ˜ . . . . . . . . . . . . . . Dom´ınio do escoamento rotacionado no plano W ˜ Dom´ınio do escoamento (a) no plano z, (b) no plano W , (c) no plano W. 37. 3.8 3.9. 37. e (d) no plano ζ. Na figura (d), por economia de espa¸co, identificamos apenas algumas bolhas de canto e bolhas de lado. . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.10 Gráfico ΓU x U para Γ2 = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.11 Comportamento de ΓU para (a) Γ2 = 0.49 e (b) Γ2 = 0.02 . . . . . . . . . ˜ 3.12 Dom´ınios do escoamento (a) no plano z, (b) no plano W , (c) no plano W. 45. e (d) no plano ζ. Novamente, apenas alguns intervalos foram colocados na figura (d) por motivo de espa¸co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 2 3 3.13 Solu¸cão de Burgess e Tanveer, com ν−1 = ν02 = −ν−1 = −ν03 = −δ = −0.8. e ν12 = −ν22 = −η = −0.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 2 3.14 Fileira com n´ umero par de bolhas por célula unitária, com ν−1 = ν02 = 3 = −ν03 = −δ = −0.9, ν12 = −0.87, ν22 = −0.2, ν32 = −0.17 e ν42 = 0.5. −ν−1. 55. 2 3 3.15 Fileira com n´ umero ´ımpar de bolhas por célula unitária, com ν−1 = −ν−1 =. −ν03 = δ − 0.9, ν02 = −0.6, ν12 = −0.56, ν22 = −.02, ν32 = −0.17 e ν42 = 0.5.. 56. 3.16 Colunas com n´ umero par de bolhas por célula unitária . . . . . . . . . .. 57. 3.17 Colunas com n´ umero ´ımpar de bolhas por célula unitária . . . . . . . . .. 58. 3.18 Bolhas em zig-zag, com ν11 = −0.9, ν21 = −0.4, ν13 = 0.2, ν23 = 0.6 e 2 3 ν−1 = ν02 = −ν−1 = −ν03 = −δ = −0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 3 2 3.19 Solu¸cões mistas, com ν12 = −ν−1 = −ν03 = δ = −0.8, ν21 = −0.5, ν−1 =. −0.48, ν02 = −0.1, ν12 = −0.08, ν21 = 0.3, ν32 = 0.32 e ν42 = 0.6. . . . . . . .. 59. 3.20 Solu¸cões mistas, com ν11 = −0.97, ν21 = −0.7, ν31 = −0.68, ν41 = −ν42 = 2 −η = −0.3, ν−1 = ν02 = δ1 = −0.25, ν12 = −0.2, ν22 = −0.1, ν32 = −0.08, 3 ν−1 = ν03 = δ2 = 0.34, ν13 = 0.37, ν23 = 0.5, ν33 = 0.53 e ν43 = 0.9. . . . . . .. 60.

(12) xii. LISTA DE FIGURAS 3.21 Solu¸cão para célula de Hele-Shaw infinita, com ν11 = −0.9, ν21 = −0.6, 2 3 ν−1 = ν02 = δ1 = −0.5, ν12 = −0.4, ν22 = −0.2, ν−1 = ν03 = δ2 = 0.15,. ν13 = 0, ν23 = 0.3, ν14 = 1.2 e ν24 = 1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 1 3.22 Solu¸cão para célula de Hele-Shaw infinita, com ν−1 = −1.1, ν11 = −0.9, 2 3 ν21 = −ν23 = −η1 = −0.6, ν−1 = −ν13 = −η2 = −0.5, ν02 = −0.3, ν−1 = 0.1, 4 ν03 = 0.2 e ν−1 = 0.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. A.1 (a) Região poligonal no plano z; (b) Dom´ınio correspondente no plano ζ.. 63.

(13) CAPÍTULO 1. ˜ INTRODUC ¸ AO. 1.1. ˆ DINAMICA DE INTERFACES. Nas u ´ ltimas décadas, problemas relacionados à dinâmica de interfaces têm atra´ıdo considerável aten¸cão uma vez que esse tipo de problema encontra aplica¸cões em diversos campos da ciência e da engenharia, em particular, ciência dos materiais, crescimento de cristais, metalurgia, combustão e f´ısica dos fluidos. Como exemplos de problemas de dinâmica de interfaces podemos citar: forma¸cão de dedos viscosos em uma célula de Hele-Shaw quando empurramos um l´ıquido mais viscoso com aux´ılio de um menos viscoso, forma¸cão e crescimento de cristais com formas dendr´ıticas quando inserimos um n´ ucleo sólido em um l´ıquido super-resfriado, propaga¸cão de chamas em tubos, etc (ver [1]). Nestes exemplos, pode-se observar experimentalmente que certas caracter´ısticas, tais como formas e velocidades bem definidas das interfaces ou velocidade de crescimento bem definida, podem ser manipuladas a partir da varia¸cão de certos parâmetros de controle. Tomemos como exemplo a forma¸cão de dedos viscosos. Quando um fluido viscoso (digamos óleo) confinado em uma célula de Hele-Shaw (dispositivo que consiste de duas placas paralelas muito próximas uma da outra) é empurrado por ar injetado em uma das extremidades da célula [figura 1.1], observa-se que a interface planar ar-óleo que se forma é instável. Devido a isso, o ar empurra o óleo de modo a formar vários “dedos”, dos quais apenas um se desenvolverá mais que os outros e avan¸cará com velocidade constante e forma bem definida ao longo da célula. Tanto esta quanto as outras observa¸cões experimentais citadas acima fazem parte de uma mesma classe de fenômenos, a qual denominamos propaga¸cão de interfaces, e cujas questões básicas são: o problema da morfologia das interfaces (interface planares ou curvadas, formas não estacionárias, etc) como fun¸cões de parâmetros de controle e o problema de velocidades de propaga¸cão ou crescimento em fun¸cão dos mesmos parâmetros de controle. Podemos considerar a propaga¸cão de interfaces como um sistema dinâmico uma vez 1.

(14) ˆ 1.1 DINAMICA DE INTERFACES. 2. Ar Óleo. Figura 1.1 Forma¸c˜ ao de um dedo viscoso em uma célula de Hele-Shaw. que a movimenta¸cão de uma interface corresponde a um problema de fronteira livre, onde devemos determinar a solu¸cão para uma fun¸cão escalar (pressão, temperatura, etc) ou um campo vetorial (por exemplo, o campo de velocidade de um fluido), satisfazendo uma equa¸cão diferencial (equa¸cão de Navier-Stokes, de Euler, da difusão, etc) com condi¸cões de contorno na interface. Retornemos ao exemplo de forma¸caõ de dedos viscosos: Nesse caso, temos como objetivo determinar a forma da interface do dedo. Uma vez que o dedo avan¸ca no fluido devido a um gradiente de pressão, o campo escalar a ser considerado poderá ser a pressão p do óleo, a qual satisfaz, como mostraremos adiante, à equa¸cão de Laplace ∇2 p = 0.. (1.1). As condi¸cões de contorno a serem satisfeitas na interface do dedo viscoso serão: a condi¸cão de contorno cinemática que diz que a componente normal da veloci-. dade do fluido na interface é igual a velocidade de propaga¸cão da interface naquela dire¸cão; a condi¸cão de contorno dinâmica que dá a pressão do fluido na interface, a qual é. dada por par − p = τ κ,. (1.2). onde p, par são, respectivamente, as pressões do fluido viscoso na interface e do ar dentro do dedo viscoso, τ é a tensão superficial entre os fluidos e κ é a curvatura da interface em um dado ponto da mesma. Além disso, devemos satisfazer às condi¸cões de contorno nas laterais da célula de HeleShaw. Solu¸cões para este problema foram primeiramente obtidas por Saffman e Taylor [2] e publicadas em 1958. Neste trabalho, os autores obtiveram solu¸cões exatas quando a.

(15) ˆ ´ 1.2 DINAMICA DE INTERFACES EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 3. tensão superficial foi desprezada, e estudaram os efeitos de tensão superficial não-nula na interface dos dedos. Problemas de propaga¸cão de interfaces entre fluidos viscosos na célula de Hele-Shaw são de grande interesse uma vez que eles possuem analogias matemáticas com outros importantes problemas, tais como o crescimento de cristais dendr´ıticos e solidifica¸cão direcionada. Na próxima se¸cão faremos um breve histórico do que já foi produzido em rela¸cão a problemas em sistemas de Hele-Shaw. 1.2. ˆ ´ DINAMICA DE INTERFACES EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. Um dos trabalhos mais influentes em Dinâmica de Fluidos foi escrito pelo inglês Henry Selby Hele-Shaw (1854-1941) [3] no final do século XIX. Nesse trabalho ele descreve sua famosa célula, a qual seria utilizada, 50 anos depois, em diversas investiga¸cões cient´ıficas. A célula de Hele-Shaw, como mencionado anteriormente, consiste de duas placas planas paralelas de vidro separadas por uma pequena distância b entre elas (figura 1.2). Esse L. W b. Figura 1.2 Célula de Hele-Shaw. dispositivo é utilizado no estudo de escoamentos de fluidos viscosos confinados em geometrias quase bidimensionais. Uma situa¸cão muito importante ocorre quando o escoamento é quase-estacionário (baixos n´ umeros de Reynolds), pois a equa¸cão de Navier-Stokes reduz-se a uma rela¸cão linear entre a velocidade e o gradiente de pressão, similar à Lei de Darcy para escoamento de fluidos viscosos em meios porosos. Nessa situa¸cão e em face da condi¸cão de incompressibilidade, o campo de pressão do escoamento obedece à equa¸cão de Laplace. Além disso, vários mecanismos de escoamento, tais como a tensão superficial e for¸cas externas (suçcão ou inje¸cão), podem ser considerados no problema. O estudo do movimento de interfaces em células de Hele-Shaw vem atraindo consideravelmente a aten¸cão de pesquisadores nas u ´ ltimas décadas. Além de proporcionar.

(16) ˆ ´ 1.2 DINAMICA DE INTERFACES EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 4. analogias matemáticas com outros importantes problemas de propaga¸cão de interfaces discutidos na se¸cão anterior, estes problemas são relativamente fáceis de serem investigados experimentalmente e matematicamente. Por isso, a célula de Hele-Shaw tornou-se o “laboratório” de vários estudos sobre dinâmica de interfaces entre fluidos viscosos. Do ponto de vista teórico, o problema de propaga¸cão de interfaces em células de HeleShaw é particularmente tratável quando desprezamos a tensão superficial entre os fluidos. Nesse caso, muitas solu¸cões exatas para escoamentos estacionários ou dependentes do tempo foram desenvolvidas. Como vimos, em 1958, Saffman e Taylor obtiveram a solu¸cão estacionária para um dedo viscoso. Em seguida, os mesmos autores obtiveram solu¸cões para uma bolha simétrica e para um dedo assimétrico [4] em 1959. Solu¸cões para uma bolha foram mais tarde extendidas por S. Tanveer [5] em 1987 para incluir bolhas nãosimétricas. Solu¸cões exatas para uma fileira periódica de bolhas foram desenvolvidas por Burgess e Tanveer [6] em 1991. Solu¸cões exatas para dedos não-simétricos em uma célula inclinada em rela¸cão ao eixo longitudinal da mesma foram obtidas por Brener, Levine e Tu [7] em 1991. Uma propriedade de invariância por rota¸cão para escoamentos estacionários foi descoberta por Tian e Vasconcelos [8] em 1993. Esta propriedade foi usada por Vasconcelos para obter muitas novas solu¸cões, tais como solu¸cões periódicas para m´ ultiplas de bolhas por célula unitária [9] (as quais são o ponto de partida para esta disserta¸cão), solu¸cões para m´ ultiplos dedos viscosos [10, 11], para dedos com um n´ umero arbitrário de bolhas em seus topos [12], além de solu¸cões exatas em termos de integrais el´ıpticas para duas bolhas e para um dedo com uma bolha em seu topo [13], e solu¸cões mais gerais para um n´ umero arbitrário de bolhas na célula [14]. Solu¸cões dependentes do tempo foram desenvolvidas por Saffman [4] em 1959 e desde então muitas solu¸cões na forma dos então chamados “pólos dinâmicos” foram desenvolvidas. Muitas dessas solu¸cões dependentes do tempo e com tensão superficial nula desenvolvem uma c´ uspide após um tempo finito. Recentemente, Dawson e Mineev-Weinstein [15] e Baker, Siegel e Tanveer [16] estudaram solu¸cões que permanecem regulares para todo o tempo e aproximam-se, assintoticamente, das solu¸cões para m´ ultiplos dedos citadas acima. Solu¸cões auto-similares para dedos viscosos em células com geometria de cantos foram obtidas por M. Ben Amar [17,18] em 1991. Outras solu¸co˜es exatas dependentes do tempo para escoamentos em uma célula de Hele-Shaw infinita na presen¸ca de obstáculos.

(17) ˆ ´ 1.2 DINAMICA DE INTERFACES EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 5. foram obtidas recentemente por Cummings [19] em 1999, Richardson [20] em 2001 e Vasconcelos [21] em 2007, e foram também estudadas numericamente por Bogoyavlenskiy e Cotts [22]. Para problemas com tensão superficial não-nula, torna-se mais dif´ıcil obter solu¸cões exatas para o problema. Há uma solu¸cão não-trivial devido a Vasconcelos e Kadanoff [23] publicada em 1991. Devido a esta dificuldade, os efeitos de pequenas quantidades de tensão superficial têm sido intensamente estudados em conexão com o chamado problema de sele¸cão, o qual refere-se ao fato de que solu¸cões exatas quando tomamos a tensão superficial nula são degeneradas no sentido de que parâmetros f´ısicos da solu¸cão não determinam a velocidade da interface. Este problema foi primeiramente notado por Saffman e Taylor [2] em 1958, onde eles perceberam que dedos viscosos com largura relativa igual a 0.5 são obtidos para tensão superficial zero. No entanto, este problema passou a ser entendido teoricamente devido a Kessler, Koplik e Levine [24], Pelcé [1] e Tanveer [25]. Nesta disserta¸cão estamos interessados em obter solu¸co˜es exatas para arranjos periódicos estacionários de bolhas em uma célula de Hele-Shaw quando desprezamos a tensão superficial entre os fluidos. As solu¸cões serão obtidas via técnicas de mapeamento conforme e com o aux´ılio do teorema de invariância por rota¸cão para escoamentos de Hele-Shaw estacionários [8]. Esta disserta¸cão está organizada da seguinte maneira: no próximo cap´ıtulo, faremos uma introdu¸cão ao problema de bolhas em uma célula de Hele-Shaw, onde consideraremos o caso de uma u ´ nica bolha na ausência de tensão superficial. No cap´ıtulo 3, que representa a parte central desta disserta¸cão, desenvolveremos uma formula¸cão bastante geral para o problema de arranjos periódicos de bolhas em uma célula de Hele-Shaw, tanto para células sem fronteiras como para células com geometria de canal. Essas solu¸cões representam a fam´ılia mais geral de solu¸cões periódicas conhecidas até o momento. No cap´ıtulo 4 apresentaremos nossas conclusões e algumas perspectivas de poss´ıveis extensões desse trabalho..

(18) CAPÍTULO 2. ˆ ´ DINAMICA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 2.1. ESCOAMENTO DE HELE-SHAW. Nessa se¸cão, obteremos a equa¸cão de movimento que descreve esse escoamento a partir da equa¸cão de Navier-Stokes para fluidos newtonianos incompress´ıveis. Considere o escoamento de um fluido viscoso em uma célula de Hele-Shaw. Colocando a célula de HeleShaw na horizontal (plano xy) de modo que os efeitos da gravidade sejam desprez´ıveis, a equa¸cão de Navier-Stokes torna-se ρ(. ∂~v ~ v ) = −∇p ~ + µ∇2~v, + ~v · ∇~ ∂t. ~ · ~v = 0, com ∇. (2.1). onde p é a pressão, ρ é a densidade, ~v é a velocidade e µ é a viscosidade do fluido. Considerando que o escoamento é estacionário e paralelo a`s placas, ou seja, ∂~v =0 , ∂t. vz = 0,. reduzimos a equa¸cão (2.1) a ∂ ∂p ∂ + vy )vx = − + µ∇2 vx ∂x ∂y ∂x ∂ ∂ ∂p ρ(vx + vy )vy = − + µ∇2 vy ∂x ∂y ∂y ∂p 0= . ∂z. ρ(vx. (2.2) (2.3) (2.4). Se o fluido viscoso escoa muito lentamente (ou seja, escoamento a baix´ıssimo n´ umero de Reynolds), podemos desprezar os termos inerciais em compara¸cão com os termos. 6.

(19) 7. 2.1 ESCOAMENTO DE HELE-SHAW. viscosos nas equa¸cões (2.2) e (2.3), ou seja, podemos fazer ∂ ∂ + vy )vx ≪ µ∇2 vx ∂x ∂y ∂ ∂ ρ(vx + vy )vy ≪ µ∇2 vy . ∂x ∂y ρ(vx. Com isso, obtemos as seguintes equa¸cões ∂p + µ∇2 vx ∂x ∂p 0=− + µ∇2 vy , ∂y 0=−. (2.5) (2.6). as quais representam um escoamento de Stokes em 2 dimensões. Agora, se a distância b entre as placas for muito pequena, vide figura 1.2, as derivadas de vx e vy com respeito a x e y são desprez´ıveis em compara¸cão com suas derivadas em rela¸cão a z. Logo, ∇2 ≈. ∂2 , ∂z 2. (2.7). e as equa¸cões (2.5) e (2.6) reduzem-se a ∂ 2 vx ∂p =µ 2 ∂x ∂z ∂p ∂ 2 vy =µ 2. ∂y ∂z. (2.8) (2.9). O escoamento deve satisfazer também a condi¸cão de não-deslizamento nas placas: vx |z=0,b = vy |z=0,b = 0.. (2.10). Da equa¸cão (2.4) observa-se que a pressão independe de z, e portanto (2.8) e (2.9) implicam que vx e vy devem ser polinômios de, no máximo, grau 2 em z. Resolvendo as equa¸cões (2.8) e (2.9), e aplicando as condi¸cões de contorno (2.10), obtemos vx =. 1 ∂p 2 (z − bz) 2µ ∂x. vy =. 1 ∂p 2 (z − bz). 2µ ∂y. (2.11). Como vemos, a velocidade do fluido possui um perfil parabólico, o chamado perfil de Poiseuille, como mostra a figura 2.1. Para tornar o problema bidimensional, devemos tomar o valor médio das componentes da velocidade ao longo da dire¸cão z transversal às placas. Sejam, então, v¯x e v¯y os valores.

(20) 8. 2.1 ESCOAMENTO DE HELE-SHAW. z z=b. x. z=0. Figura 2.1 Perfil parabólico do campo de velocidade do escoamento. médios de vx e vy ao longo da dire¸cão transversal da célula de Hele-Shaw. Como resultado, obtemos 1 v¯x = b. Z. 0. b. b2 ∂p vx dz = − 12µ ∂x. 1 v¯y = b. Z. 0. b. vy dz = −. b2 ∂p , 12µ ∂y. (2.12). onde usamos (2.11). Somando vetorialmente as componentes da velocidade média, obtemos a seguinte expressão v¯ = −. b2 ~ ∇p. 12µ. (2.13). A equa¸cão (2.13) é conhecida como equa¸cão de Hele-Shaw e é similar à lei de Darcy, que descreve escoamentos através de meios porosos. Observemos que v¯ e p dependem apenas de x e y, portanto devemos considerar (2.13) uma equa¸cão puramente bidimensional. Ela descreve um escoamento potencial em duas dimensões, onde o potencial de velocidade é proporcional à pressão, ou seja ~ v¯ = ∇φ,. (2.14). onde o potencial de velocidade φ é dado por φ=−. b2 p(x, y). 12µ. (2.15). ~ · ~v = 0, temos que potencial de velocidade é uma Da condi¸cão de incompressibilidade, ∇ fun¸cão harmônica, ou seja, ∇2 φ = 0.. (2.16). Além disso, o potencial φ deve satisfazer as condi¸cões de contorno espec´ıficas do problema em questão..

(21) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 9. Nesta disserta¸cão, estamos interessados no problema do movimento de m´ ultiplas bolhas em uma célula de Hele-Shaw, particularmente em uma célula com geometria de canal. Nesse caso temos condi¸cões de contorno a serem satisfeitas tanto nas paredes laterais do canal quanto na superf´ıcie livre da bolha. Para introduzir fisica e matematicamente o problema de bolhas na célula de Hele-Shaw, vamos considerar na próxima se¸cão o caso mais simples de uma u ´ nica bolha em um canal de Hele-Shaw, considerado inicialmente por Saffman e Taylor [4] em 1959. O caso de m´ ultiplas bolhas, tema central dessa disserta¸cão, será discutido no próximo cap´ıtulo. ´ PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 2.2 2.2.1. Equa¸c˜ oes de movimento. Consideremos o problema de uma bolha movendo-se com velocidade constante U = U xˆ em uma célula de Hele-Shaw retangular de largura 2a. A célula está colocada na horizontal (plano xy) de modo que a gravidade não realiza trabalho sobre o fluido viscoso contido nela. As laterais do canal estão em y = ±a. O fluido viscoso que envolve a bolha se move na dire¸cão x e, muito longe da bolha, escoa com velocidade constante V = V xˆ, com V < U. A bolha se move ao longo da linha central do canal e é simétrica em rela¸cão à mesma (figura 2.2). Desprezaremos tanto os efeitos de tensão superficial quanto os efeitos tridimensionais devido às camadas de fluido entre a bolha e as placas, e o escoamento será quase-estacionário. y y=a. D. U. V x. C y=-a Figura 2.2 Bolha simétrica em uma célula de Hele-Shaw com a geometria do canal. De acordo com a equa¸cão (2.14), a velocidade ~v(x, y, t) do fluido na célula de Hele-.

(22) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 10. Shaw será dada por ~ ~v = ∇φ em D,. (2.17). onde o potencial de velocidade φ(x, y, t) é dependente do tempo devido à perturba¸cão causada no fluido pela movimenta¸cão da bolha no canal. Denotemos a interface da bolha por C e a região ocupada pelo fluido viscoso (exterior à bolha) por D. Para definir completamente o problema, especificaremos a seguir as condi¸cões de contorno a serem satisfeitas por φ em C , em y = ±a e em |x| → ∞: A pressão p na superf´ıcie da bolha é dada por p0 (x, y, t) − p(x, y, t) = τ κ(x, y, t) em C , onde p0 é a pressão dentro da bolha, τ é a tensão superficial e κ é a curvatura da bolha. Desprezando os efeitos de tensão superficial (τ = 0), temos que p = p0 . Considerando a viscosidade do fluido (digamos ar) dentro da bolha como desprez´ıvel, temos que a pressão p0 dentro da bolha será constante. Logo, temos que a pressão do fluido viscoso p é constante ao longo da superf´ıcie da bolha e igual a p0 . Por simplicidade, fa¸camos p0 = 0. Logo, obtemos p(x, y, t) = 0 em C. =⇒. φ(x, y, t) = 0 em C .. (2.18). Por outro lado, a bolha é uma superf´ıcie material. Portanto, o campo de velocidade ~v do fluido viscoso deve satisfazer à condi¸cão de contorno cinemática: ~v · n ˆ =U ·n ˆ em C , onde n ˆ é o vetor normal exterior à superf´ıcie e U = U xˆ é a velocidade da bolha. Essa condi¸cão pode ser escrita como ∂φ =U ·n ˆ em C . ∂n. (2.19). Temos ainda que a componente normal da velocidade do fluido é nula nas laterais do.

(23) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 11. canal. Logo, vy =. ∂φ = 0 em y = ±a. ∂y. (2.20). Por fim, consideramos que longe da bolha o escoamento é uniforme. Logo, o potencial será dado por (2.21). φ(x, y, t) ≈ V x quando |x| → ∞.. As equa¸cões (2.16),(2.18)–(2.21) especificam completamente o problema de uma bolha movendo-se com velocidade constante em um canal de Hele-Shaw. Uma vez definido o problema, passa a ser conveniente trabalharmos no referencial em que a bolha está em repouso. A vantagem de se fazer isso é que o escoamento no referencial da bolha é estacionário. As coordenadas do novo referencial são dadas por ′. (2.22). φ = φ − Ux .. (2.23). ′. x = x − Ut e y = y, e o novo potencial de velocidade será ′. ′. Em particular, as velocidades transformam-se, é claro, segundo uma transforma¸cão de Galileu: ′. ∂φ = vx − U, vx′ = ∂x′ ′ ∂φ ′ vy = ′ = vy . ∂y. (2.24) (2.25) ′. No referencial que se move com a bolha, o comportamento do potencial φ no infinito será ′. ′. φ ≈ (V − U)x. ′. quando |x | → ∞,. (2.26). como podemos verificar facilmente de (2.21) e (2.23). Como no referencial das bolhas o escoamento é estacionário, é conveniente introduzir ′. ′. ′. a fun¸cão de corrente ψ (x , y ) definida por ′. ∂ψ ′ ′ = −vy ∂x. ′. e. ∂ψ ′ ′ = vx . ∂y. (2.27). Comparando as equa¸cões (2.24) e (2.25) com (2.27) vê-se imediatamente que a fun¸cão de.

(24) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW ′. 12. ′. corrente ψ e o potencial φ são fun¸cões harmonicamente conjugadas, isto é, satisfazem às condi¸cões de Cauchy-Riemann: ′. ′. ′. ∂ψ ∂φ ′ = ∂x ∂y ′. ′. ∂φ ∂ψ . ′ = − ∂y ∂x′. e. Vamos agora determinar as condi¸cões de contorno a serem satisfeitas pela fun¸cão de ′. corrente ψ : Como. ′. ∂φ ∂y ′. = 0 em y = ±a, vide (2.20), segue que ′. ′. ′. ∂ψ ∂φ ′ em y = ±a, ′ = − ′ = 0 ∂y ∂x ′. (2.28). ′. que implica que ψ é constante em y = ±a. Logo, as laterais do canal são linhas de corrente. Por outro lado, sabemos da mecânica dos fluidos que a diferen¸ca de intensidade entre duas linhas de corrente é igual ao fluxo de fluido (vazão) entre elas, ou seja Z a ′ ′ ′ ′ ′ ′ ψ (y = a) − ψ (y = −a) = vx dy . −a. Uma vez que a vazão de fluido é constante ao longo do canal, usaremos o fato de que ′. vx ≈ V − U longe da bolha. Portanto, obtemos Z a ′ ′ ′ ′ ′ ψ (y = a) − ψ (y = −a) = (V − U)dy = 2a(V − U). −a. Aproveitando a simetria do problema, fa¸camos então a seguinte escolha ′. ′. ψ (y = ±a) = ∓a(U − V ),. (2.29). donde segue ainda que ′. ′. ψ (y = 0) = 0.. (2.30). Alternativamente, as condi¸cões de contorno (2.29) e (2.30) poderiam ter sido obtidas mais facilmente se observarmos que no infinito a fun¸cão de corrente deve satisfazer à condi¸cão ′. ′. ψ ≈ (V − U)y ,. ′. |x | −→ ∞.. (2.31). Assim, fazendo y = ±a seguem imediatamente as rela¸cões (2.29). ′. Como a bolha é obviamente fixa no seu referencial, segue que a sua interface também é.

(25) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 13. uma linha de corrente. Em particular, a bolha faz parte da linha de corrente que coincide com o eixo do canal y = 0. Da condi¸cão (2.30) segue então que ′. (2.32). ′. ψ = 0 em C .. Observe que no novo referencial, a bolha está parada e o fluido escoa no sentido contrário ao do escoamento original, isto é, da direita para a esquerda, com velocidade no infinito (ou seja, muito longe da bolha) igual a U − V , como mostrado na figura 2.3. De y y=a. U-V. D. x. C y=-a Figura 2.3 Escoamento no referencial que se move com a bolha.. acordo com as equa¸cões (2.18) e (2.23), segue ainda que na superf´ıcie da bolha o potencial ′. φ deve satisfazer a seguinte condi¸cão de contorno: ′. ′. φ = −Ux. (2.33). em C .. Em resumo, temos que o problema formulado acima consiste em obter as fun¸cões ′. ′. harmônicas conjugadas φ e ψ satisfazendo às seguintes condi¸cões de contorno: φ (x , y ) = −Ux. e ψ (x , y ) = 0 em C. (2.34). ′. ′. (2.35). ′. ′. ′. ′. ′. ′. ′. ψ = ∓a(U − V ) em y = ±a ′. ′. φ ≈ (V − U)x. ′. e ψ ≈ (V − U)y. ′. ′. quando |x | → ∞.. (2.36). Daqui por diante trabalharemos apenas no referencial que se move com a bolha e vamos eliminar a nota¸cão linha. O problema de escoamentos potenciais em duas dimensões pode ser também formulado em termos do potencial complexo W (z) = φ + iψ, onde z = x + iy e as fun¸cões φ e.

(26) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 14. ψ, como mencionado anteriormente, são harmônicas conjugadas. O potencial complexo W (z) deve ser uma fun¸cão anal´ıtica em D e satisfazer às condi¸cões de contorno apropriadas. Reescrevendo a seguir as condi¸cões de contorno (2.34)–(2.36) na forma do potencial complexo, obtemos W = −Ux. em. Im W = ∓a(U − V ) W ≈ (V − U)z. em. quando. (2.37). C y = ±a. (2.38). |x| → ∞,. (2.39). onde Im (Re) denota a parte imaginária (real) da fun¸cão. Em particular, notamos para uso posterior que as componentes de velocidade vx e vy do escoamento podem ser obtidas a partir da derivada de W (z): vx − ivy =. dW (z) , dz. (2.40). como pode ser facilmente verificado. O lado esquerdo da expressão anterior é conhecido como velocidade complexa e será denotado por v(z) = vx − ivy .. (2.41). Podemos interpretar W (z) como sendo uma transforma¸cão conforme da região ocupada pelo fluido viscoso no plano z para um dom´ınio correspondente no plano W . A simetria da bolha ajuda a reduzir a região do fluido no plano z a um dom´ınio simplesmente conexo, o qual corresponde à metade superior do canal ocupada pelo fluido. Como efeito, o dom´ınio correspondente no plano W também é simplesmente conexo. Os respectivos dom´ınios nos planos z e W são mostrados na figura 2.4. Para encontrarmos uma expressão para curva C representando a bolha, precisaremos de um importante resultado o qual discutiremos a seguir. 2.2.2. O problema rotacionado. Nesta se¸cão, demonstraremos o princ´ıpio de invariância sob rota¸cão para interfaces de bolhas em escoamentos estacionários de Hele-Shaw descoberto originalmente por Tian e Vasconcelos em [8]. Adotaremos, contudo, o ponto de vista utilizado por Vasconcelos.

(27) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. y A. y. y=-a(U-V). y=a. y=0. F. E. x C. B. D. 15. y=0. x. x. D. C. F. E. f B. A. y=-a(U-V). (a). (b). Figura 2.4 (a) Dom´ınio simplesmente conexo no plano z; (b)Dom´ınio correspondente no plano W.. em [14]. Consideremos o problema de uma bolha movendo-se com velocidade U = U xˆ em uma célula de Hele-Shaw infinita (ou seja, sem fronteiras), sendo a velocidade do fluido no infinito dada por V = V xˆ; figura 2.5(a). Como anteriormente, denotemos por C a interface da bolha e D a região do fluido exterior a C . Seja W (z) = φ + iψ o potencial complexo do escoamento no referencial que se move com a bolha; figura 2.5(b). Como não há fronteiras, as condi¸cões de contorno para W (z) dadas em (2.37)–(2.39) reduzem-se a W = −Ux em C W ≈ (V − U)z. quando |z| → ∞.. (2.42) (2.43). Será conveniente reformular o problema acima em termos da fun¸cão de Schwarz [26] de C . Para tanto, vamos inicialmente definir a fun¸cão de Schwarz de uma curva. Seja C uma curva dada pela fun¸cão F (x, y) = 0. A fun¸cão de Schwarz de C , denotada por S(z), é obtida resolvendo a equa¸cão F(. z + z¯ z − z¯ , ) = 0, 2 2i. para z¯ em fun¸cão de z, ou seja, z¯ = S(z)..

(28) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. y. 16 y. D. D. V. U-V. U x. C. (a). C. x. (b). Figura 2.5 Problema (a) no referencial do laboratório, e (b) no referencial que se move com a bolha.. A equa¸cão (2.42) pode agora ser reescrita em termos da fun¸cão de Schwarz. Fazendo x = (z + z¯)/2 = [z + S(z)]/2 em (2.42), obtemos. U W (z) = − [z + S(z)] em C . 2. (2.44). Mas, por continua¸cão anal´ıtica, (2.44) também é válida em D. Logo, temos que o potencial complexo W (z) é dado por U W (z) = − [z + S(z)] em D. 2. (2.45). Consideremos agora o problema em que a velocidade da bolha gira de um ângulo α ˜ ψ˜ ˜ (z) = φ+i enquanto a bolha permanece inalterada, como mostra a figura 2.6(a). Seja W o potencial complexo para esse problema, o qual chamaremos de problema rotacionado. Como a velocidade da bolha nesse caso é dada por U = U cos α xˆ + U sin α yˆ, segue que a ˜ (z) sobre C (no referencial que se move com a bolha) passa condi¸cão de contorno para W a ser escrita como ˜ = −Ux cos α − Uy sin α em C . W Reescrevendo (2.46) em termos da fun¸cão de Schwarz, temos que z + S(z) z − S(z) ˜ W (z) = −U cos α + sin α em C , 2 2i. (2.46). (2.47).

(29) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 17. a qual torna-se ˜ (z) = − U ze−iα + S(z)eiα W 2. em C .. ˜ (z) = − U ze−iα + S(z)eiα W 2. em D.. (2.48). Novamente, por continua¸cão anal´ıtica, (2.48) é válida em D. Logo,. Agora, usando (2.45) para eliminar S(z) em (2.49), temos que 2 U −iα iα ˜ − W (z) − z W (z) = − ze +e 2 U. (2.49). (2.50). e obtemos como expressão final ˜ (z) = eiα W (z) + iUz sin α, W. para z ∈ D,. (2.51). ˜ (z) é calculado no referencial da bolha. A equa¸cão (2.51) é claramente anal´ıtica em onde W D, uma vez que por hipótese W também o é. Logo, a interface C é solu¸cão do problema rotacionado. No referencial da bolha, a velocidade complexa do fluido v˜(z) = v˜x − i˜ vy será dada por v˜(z) =. ˜ (z) dW = eiα v(z) + iU sin α para z ∈ D, dz. (2.52). onde v(z) = vx − ivy é a velocidade complexa do fluido no problema não rotacionado. A velocidade do fluido no infinito para o problema rotacionado será portanto V˜ (z) ≈ eiα (V − U) + iU sin α,. (2.53). onde usamos a condi¸cão de contorno (2.43). Apesar de o problema ser formulado em uma célula de Hele-Shaw infinita, a equa¸cão (2.51) permanece válida para outros dom´ınios, desde que as solu¸cões nesses casos possam ser estendidas para a célula de Hele-Shaw infinita. Por exemplo, as solu¸cões no canal retangular podem ser estendidas para a célula infinita através de sucessivas reflexões em torno das laterais do canal. Neste trabalho, daremos ênfase ao caso especial em que α = π/2. Nesse caso, a equa¸cão (2.51) torna-se ˜ (z) = i[W (z) + Uz], W. (2.54).

(30) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. y. 18 y. ~. V. D D. U a. C x. C. x. (a). (b). Figura 2.6 Escoamento rotacionado: (a) Mudan¸ca na dire¸cão da velocidade e (b) escoamento resultante no referencial da bolha.. e a velocidade complexa V˜ (z) do fluido no infinito no referencial da bolha, será V˜ (z) ≈ i(V − U) + iU = iV,. |z| → ∞,. e suas componentes serão v˜x − i˜ vy = iV =⇒. v˜x = 0 e v˜y = −V,. ou seja, no referencial da bolha, o fluido escoa de cima para baixo, na dire¸cão y, com velocidade V , longe da bolha. Por outro lado, no referencial do laboratório a bolha se move com velocidade U de baixo para cima na dire¸cão y, enquanto que, longe da mesma, o fluido se move com velocidade dada por V˜ = U − V na dire¸cão y, também de baixo para cima. Consideremos o caso de uma bolha no canal mostrado na figura 2.3. Ao rotacionar a velocidade da bolha de 90◦ (mantendo a bolha fixa), geramos o problema ilustrado na figura 2.7(a). De acordo com a equa¸cão (2.54) e as condi¸cões de contorno (2.37)–(2.39), ˜ (z) do problema rotacionado nesse caso está sujeito às seguintes condi¸cões o potencial W de contorno ˜ = ∓aV Re W ˜ = −Uy W ˜ → iV z W. em y = ±a em C. quando. |x| → ∞.. (2.55) (2.56) (2.57).

(31) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. y. y. y=a. D. 19. y=a. U-V. U. V. D x. x. C. C. y=-a. y=-a (a). (b). Figura 2.7 Problema rotacionado (a) no referencial do laboratório e (b) no referencial da bolha.. No referencial do laboratório [figura 2.7(a)], a bolha se move com velocidade U, de baixo para cima, na dire¸cão y, e a velocidade do fluido viscoso no infinito é igual a U − V na dire¸cão y, no mesmo sentido que o da bolha. Já no referencial da bolha [figura 2.7(b)], o fluido passa a escoar de cima para baixo, com velocidade V longe da bolha. A condi¸cão (2.55) mostra que as laterais do canal agora são equipotenciais do escoamento no referencial da bolha. Além disso, note que, por constru¸cão, a região ocupada pelo fluido viscoso no problema rotacionado permanece a mesma. Usando as condi¸cões de contorno (2.55)–(2.57) e as simetrias do problema, obtemos os ˜ , os quais são mostrados na figura respectivos dom´ınios do escoamento nos planos z e W 2.8. Reescrevendo agora a equa¸cão (2.54) na forma 1 ˜ (z)], z = − [W (z) + iW U. (2.58). ˜ (z) para resolver o problema no plano z. Solu¸cões notamos que basta encontrar W (z) e W ˜ serão desenvolvidas na próxima subse¸cão. para W e W 2.2.3. Formula¸c˜ ao via transforma¸c˜ oes conformes. Apresentaremos agora uma formula¸cão matemática baseada em técnicas de mapeamento conforme, a qual ajudará a construir solu¸cões para o nosso problema. Faremos uso da transforma¸cão de Schwarz-Christoffel, onde o interior de uma região poligonal (podendo.

(32) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. ~ y. G. y A. 20. F. ~. f=-aV. y=a. G. ~. ~. f=-aV. E D. D X. B. y=0. C. ~ f=0 E. f=0. C. ~ f. x F. A. (a). B. (b). Figura 2.8 (a) Dom´ınio simplesmente conexo no plano z; (b) Dom´ınio simplesmente conexo ˜. no plano W. essa ser degenerada) será mapeado na metade superior de um plano complexo auxiliar ζ. Suponha que z = z(ζ) seja o mapeamento conforme da metade superior (incluindo o eixo real) de um plano ζ para o dom´ınio do fluido no plano z. O eixo real de ζ é mapeado sobre as fronteiras da região do fluido no plano z, como é mostrado nas figuras 2.9(a) e 2.9(d). A imagem de C sobre o eixo real de ζ é dada pelo intervalo I , o qual é definido por I ≡ (ν1 , ν2 ),. (2.59). onde ν1 e ν2 são parâmetros livres. Também definimos o parâmetro γ, com γ ∈ I , tal que ζ = γ é a imagem do ponto mais extremo da bolha na dire¸cão transversal ao canal, indicado pelo ponto D na figura 2.9(a). Diferentemente dos parâmetros ν1 e ν2 , γ não é um parâmetro livre, mas é determinado pelas condi¸cões de contorno, como veremos adiante. Faremos a escolha de parâmetros de maneira tal que: -1 < ν1 < γ < ν2 < 1. ˜ (z(ζ)) os respectivos mapeamentos da Sejam agora Φ(ζ) = W (z(ζ)) e Σ(ζ) = W metade superior (incluindo o eixo real) do plano ζ sobre os dom´ınios do fluido nos planos ˜ . O eixo real de ζ também é mapeado sobre as fronteiras das regiões do fluido nos W eW ˜ ; ver figuras 2.9(b), 2.9(c) e 2.9(d). planos W e W Segue da equa¸cão (2.58) que z(ζ) pode ser escrita como 1 z(ζ) = − [Φ(ζ) + iΣ(ζ)]. U. (2.60).

(33) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 21. y. y A. y=a. y=0. G. x. F. E. x. D. f. x. B. C. D. G B. E. C. A. F x. y=-a(U-V). (a). (b) ~. y G. F. Im z. ~. ~. f=-aV. D. E C. f=0 ~. f A B. x. -1 A. C. x n1. D. x g. E. x n2. F G. Re z. x. 1. B. (c). (d). ˜ e (d) Figura 2.9 Geometria do escoamento: (a) no plano z, (b) no plano W , (c) no plano W na metade superior do plano ζ..

(34) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 22. Das condi¸cões de contorno (2.37) e (2.56), vemos que as partes imaginárias de Σ(ζ) e Φ(ζ) são nulas na superf´ıcie da bolha, e a equa¸cão (2.60) dá origem às seguintes equa¸cões paramétricas para a interface da bolha: 1 x(s) = − Re Φ(s) U 1 y(s) = − Re Σ(s), U. (2.61) (2.62). onde s ∈ I . Como já foi dito, nosso problema resume-se a encontrar as fun¸cões Φ(ζ) e Σ(ζ). A solu¸cão exata do problema será constru´ıda na próxima subse¸cão. 2.2.4. Solu¸c˜ ao geral: Bolha de Taylor-Saffman. Nesta subse¸cão, apresentaremos as solu¸cões para os mapeamentos Φ(ζ) e Σ(ζ) usando o método de transforma¸cões conformes, mais especificamente a transforma¸cão de SchwarzChristoffel. Depois, com aux´ılio das equa¸cões (2.61) e (2.62), determinaremos a expressão para a interface da bolha. Para encontrar Φ(ζ), vamos proceder de uma maneira mais simples e intuitiva: usemos o fato de que a figura 2.9(b) pode representar um canal com escoamento uniforme no plano W [figura 2.10(a)], cuja vazão é igual a a(U − V ), o qual, no plano ζ [figura 2.9(d)], será transformado em um escoamento devido a uma fonte de intensidade a(U − V ) localizada em ζ = 1 e a um sumidouro de intensidade −a(U − V ) em ζ = −1 [figura 2.10(b)]; ver [27]. Logo, Φ(ζ) deverá ser a soma dos potenciais da fonte e do sumidouro. Por outro lado, sabemos que o potencial de uma fonte (sumidouro) de intensidade [ou seja, vazão] Q > 0 (Q < 0) que injeta (suga) fluido uniformemente para todos os lados (ou seja, por um ângulo de 2π) e está localizada em ζ0 , é dado por w(ζ) =. Q ln (ζ − ζ0 ). 2π. No entanto, a fonte no plano ζ injeta fluido por um ângulo de π e o sumidouro suga fluido por ângulo de π, e portanto os potenciais desses sumidouro e fonte passam a ser dados por w(ζ) =. Q ln (ζ − ζ0 ). π.

(35) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 23. Logo, o potencial Φ(ζ) devido a fonte de vazão Q = a(U − V ) em ζ0 = 1 e ao sumidouro de vazão Q = −a(U − V ) em ζ0 = −1 será dado por ζ −1 a , Φ(ζ) = (U − V ) ln π ζ +1. (2.63). o qual ainda pode ser escrito como Φ(ζ) = −. 2a (U − V ) tanh−1 ζ. π. (2.64). Na equa¸cão (2.64), supomos que Φ(0) = 0; caso contrário, deveremos acrescentar à solu¸cão uma constante aditiva real adequada. O mesmo resultado acima pode ser obtido usando a técnica mostrada a seguir. y F. E. x. D. x. C. B. x. f Im z. A. A. G. x -1. (a). B. x. C. x. x. D. E. F. xG 1. Re z. (b). Figura 2.10 Representa¸c˜ oes do (a) escoamento uniforme no plano W e (b) escoamento devido a` fonte e ao sumidouro no plano ζ.. Usaremos agora a transforma¸cão de Schwarz-Christoffel [28] para encontrar Σ(ζ). A partir das figuras 2.9(c) e 2.9(d), e com o aux´ılio da equa¸caõ A.2 (ver Apêndice A), identificamos: ζ1 = −1 e α1 = 0; ζ2 = ν1 e α2 = π/2; ζ3 = γ e α3 = 2π; ζ4 = ν2 e α4 = π/2; ζ5 = 1 e α5 = 0. Com isso, obtemos Σ(ζ) = K. Z. ζ ζ0. ′. ζ −γ. ′. p dζ , (ζ − 1) (ζ ′ − ν1 )(ζ ′ − ν2 ) ′2. (2.65). onde o ponto ζ0 será escolhido de forma que Σ(ζ0 ) = 0. A constante K é determinada pelas condi¸cões de contorno para Σ(ζ). O teorema de mapeamento de Riemann garante que temos 3 graus de liberdade reais para serem usados no problema, dos quais já usamos.

(36) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 24. ˜ = ±∞. Com auxilio do terceiro grau de liberdade 2, a saber ζ = ±1 são mapeados em W poder´ıamos fixar um dos ν’s ou fazer −ν1 = ν2 = ν. No momento, prosseguiremos por enquanto sem fazer uso desse u ´ ltimo grau de liberdade. Desse modo, nosso problema passa a ter ν1 e ν2 como parâmetros livres, embora apenas um deles seja realmente independente (consideraremos U, V e a fixos). Esse parâmetro independente está fisicamente relacionado com a área da bolha. Dados ν1 e ν2 , poderemos determinar γ e K a partir de condi¸cões de contorno do problema. Para determinar γ, devemos satisfazer a seguinte condi¸cão: (2.66). Σ(ν1 ) = Σ(ν2 ),. como podemos ver na figura 2.9(c), uma vez que a bolha é simétrica em rela¸cão ao eixo central do canal. Em vista disso, e da equacão (2.65), obtemos a seguinte expressão I1 + γI0 = 0 onde Ik =. Z. ν2. ν1. =⇒. γ=−. ζk (1 − ζ 2 )|(ζ − ν1 )(ζ − ν2 )|1/2. I1 I0. (2.67). dζ,. k = 0, 1.. (2.68). Agora, calcularemos a constante K usando o fato de que a parte real de Σ(ζ) salta de −aV quando passamos por ζ = 1 de F para G; ver figuras 2.9(c) e 2.9(d). Assim, da equa¸cão (2.65) podemos escrever que. Usando agora que. K(1 − γ) lim −aV = p 2 (1 − ν1 )(1 − ν2 ) δ→0+ lim+. δ→0. Z. 1+δ. 1−δ. obtemos K=−. i2aV. Z. 1+δ. 1−δ. dζ . (1 − ζ). dζ = −iπ (1 − ζ). p. (1 − ν1 )(1 − ν2 ) . π(1 − γ). (2.69). (2.70). (2.71). Determinamos assim todas as constantes do problema, de modo que dado os parâmetros ν1 e ν2 podemos, em princ´ıpio, usar (2.61), (2.62), (2.64) e (2.65) para obter a forma da bolha. Esse procedimento será repetido para o caso de m´ ultiplas bolhas no próximo cap´ıtulo. No caso do problema de uma bolha acima, podemos usar o terceiro grau de liberdade.

(37) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 25. permitido pelo teorema de Riemann para conseguir uma solu¸cão fechada (anal´ıtica) para o problema. Usando o terceiro grau de liberdade fa¸camos −ν1 = ν2 = ν, uma vez que, pela simetria do problema, a bolha também é simétrica em rela¸cão a um eixo perpendicular ao eixo central do canal. Com isso, temos que γ = 0. Logo, a equa¸cão (2.65) pode ser integrada exatamente e nos dá 2aV tan−1 Σ(ζ) = − π. r. ν2 − ζ 2 , 1 − ν2. (2.72). onde fizemos ζ0 = −ν em (2.65). Das equa¸cões (2.61), (2.62), (2.64) e (2.72), obtemos as seguintes equa¸cões paramétricas para a interface C da bolha 2a (U − V ) tanh−1 s π U r ν 2 − s2 2aV −1 tan , y(s) = πU 1 − ν2 x(s) =. (2.73) (2.74). onde s ∈ I . Eliminando o parâmetro s em (2.73) e (2.74), obtemos a expressão r πUy 2a (U − V ) tanh−1 ν 2 − (1 − ν 2 ) tan2 [ ]. x= π U 2aV. (2.75). De (2.74), temos por simetria que y(0) = λ. =⇒. ν = sin. πUλ 2aV. (2.76). onde λ é a meia-largura máxima da bolha. Substituindo a nova expressão para ν em (2.75), obtemos 2a (U − V ) x= tanh−1 π U. r. sin2 (. πUλ πUλ πUy ) − cos2 ( ) tan2 ( ). 2aV 2aV 2aV. (2.77). A equa¸cão (2.77) é a conhecida fórmula obtida por Saffman e Taylor [4] em 1959 para uma bolha em uma célula de Hele-Shaw. Podemos ainda, após algumas manipula¸cões, reduzi-la a uma forma mais compacta: πU y 2a (U − V ) −1 cos ( 2aV ) . cosh x= λ π U cos ( πU ) 2aV. (2.78).

(38) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 26. Apenas em casos simples, como de uma bolha ou um dedo viscoso, consegue-se uma solu¸cão fechada para o problema. Em casos mais gerais, como no caso de m´ ultiplas bolhas no qual temos interesse, a solu¸cão fica dada em termos de integrais, como veremos no próximo cap´ıtulo. 2.2.5. Caso especial da solu¸c˜ ao (U = 2V ). As solu¸cões (2.64) e (2.65) apresentam uma interessante propriedade de escala que será mostrada a seguir. Denotemos por ΦU e ΣU os respectivos potenciais Φ e Σ para um dado valor de U. Então, a partir das equa¸cões (2.64) e (2.72) obtemos as seguintes rela¸cões: U − 1 Φ2 (2.79) ΦU = V ΣU = Σ2 ,. (2.80). onde Φ2 e Σ2 representam as solu¸cões para U = 2V . Vemos assim que as solu¸cões com U = 2V podem ser reescaladas para gerar solu¸cões com qualquer U > V . Usando estas propriedades, podemos reescrever a equa¸cão (2.60) da seguinte forma 1 U ( − 1)Φ2 + iΣ2 . zU (ζ) = − U V Segue das equa¸cões (2.61), (2.62), (2.79)e (2.80) que U −V xU (s) = − Re Φ2 (s) UV 1 yU (s) = − Re Σ2 (s). U. (2.81). (2.82) (2.83). Por outro lado, para U = 2V , segue de (2.82) e (2.83) que 1 Re Φ2 (s) 2V 1 y2 (s) = − Re Σ2 (s). 2V x2 (s) = −. (2.84) (2.85).

(39) ´ 2.2 PROBLEMA DE UMA BOLHA EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. 27. Combinando as equa¸cões (2.82),(2.83),(2.84) e (2.85), obtemos as seguintes rela¸cões: V xU = 2 1 − x2 (s) (2.86) U 2V yU = y2 (s), (2.87) U as quais ainda podem ser escritas como xU (s) = (1 + ρ)x2 (s). (2.88). yU (s) = (1 − ρ)y2 (s),. (2.89). para s em I , e ρ definido por ρ=1−. 2V . U. (2.90). Portanto, para V < U < 2V ocorre uma redu¸cão no comprimento da bolha ao longo do eixo x e um aumento da largura da bolha ao longo de y. Para U > 2V ocorre o contrário. Esta propriedade foi notada primeiramente por Millar [29] em 1992 no contexto da solu¸cão de Taylor e Saffman [2] para uma bolha simétrica no canal. Mais tarde, em 1994, Vasconcelos [9] mostrou que esta propriedade continua valendo para o caso de várias bolhas no canal em uma célula de Hele-Shaw. Essa propriedade continua essencialmente válida ainda no caso de arranjos periódicos de bolhas, o qual será discutido no próximo cap´ıtulo..

(40) CAPÍTULO 3. ´ ´ MULTIPLAS BOLHAS EM UMA CELULA DE HELE-SHAW. Neste cap´ıtulo, apresentaremos um problema mais geral que aquele mostrado no cap´ıtulo anterior, onde consideraremos arranjos periódicos de bolhas movendo-se com velocidade constante em uma célula de Hele-Shaw. O problema é formulado considerando a tensão superficial desprez´ıvel e as outras considera¸cões simplificadoras utilizadas no cap´ıtulo anterior. Além disso, as solu¸cões são válidas, em geral, para uma célula de Hele-Shaw infinita. Na próxima se¸cão, a t´ıtulo de introdu¸cão, vamos discutir qualitativamente as solu¸cões obtidas por Vasconcelos [9] para o caso de arranjos periódicos de bolhas em um canal. No restante do cap´ıtulo, apresentaremos a solu¸cão mais geral para o problema. 3.1. ˜ ´ SOLUC ¸ OES PERIODICAS NO CANAL. Primeiramente, considere o caso de uma fileira periódica de bolhas movendo-se com velocidade U constante ao longo de uma célula de Hele-Shaw com geometria retangular [6,9], como mostrado na figura 3.1(a). A fileira de bolhas é formada por um grupo de N bolhas simétricas em rela¸cão ao centro do canal (eixo x) e contidas em uma célula unitária de largura 2a que se repete a cada per´ıodo 2L ao longo do canal ; vide figura 3.1(b). Além disso, o arranjo é simétrico em rela¸cão ao eixo transversal (eixo y) da célula unitária. O escoamento do fluido viscoso no exterior das bolhas é caracterizado pela velocidade média V com que o fluido atravessa o canal na dire¸cão x. No referencial das bolhas, a velocidade média do fluido na dire¸cão x é, portanto, V − U. Logo, podemos escrever Z a 1 vx dy = V − U. (3.1) 2a −a Note que na ausência de bolhas, ter´ıamos um escoamento uniforme com velocidade V −U ao longo do canal. Nessa formula¸cão, usaremos novamente o fato de que U < V . Na figura 3.1(b) vemos que, devido à simetria do problema, podemos reduzir a célula 28.

(41) ˜ ´ 3.1 SOLUC ¸ OES PERIODICAS NO CANAL. 29. y. a. x. -a 2L. (a). y. y. a. U. U. U. 2a. U x. x 2L. (b). L. (c). Figura 3.1 Solu¸c˜ oes periódicas no canal: (a) fileira de bolhas, (b) célula unitária e (c) célula unitária reduzida..

(42) ˜ ´ 3.1 SOLUC ¸ OES PERIODICAS NO CANAL. 30. unitária a apenas um quarto da mesma [por exemplo, o quarto superior direito, como mostrado na figura 3.1(c)], de modo que o novo dom´ınio seja simplesmente conexo. Como vimos no cap´ıtulo anterior, isso será importante para o tratamento anal´ıtico do problema. Após encontrar a solu¸cão no dom´ınio reduzido, a solu¸caõ para a célula unitária poderá ser obtida refletindo-se a solu¸cão encontrada em rela¸cão aos eixos x e y. Da mesma forma, a solu¸cão para todo o canal poderá ser obtida através de sucessivas reflexões da célula unitária em rela¸cão às suas equipotenciais (x = ±nL, n = 1, 3, 5, ...). Além disso, podemos expandir essas solu¸cões para uma célula infinita simplesmente fazendo sucessivas reflexões do canal em torno das linhas de corrente y = ±na. Um outro problema poss´ıvel da mesma abordagem é o caso em que colunas de bolhas simétricas em rela¸cão a eixos paralelos ao eixo y movem-se ao longo de um canal de largura a, com velocidade constante U, como mostrado na figura 3.2(a). As colunas de bolhas se repetem a cada per´ıodo 2L na dire¸cão x. A célula unitária do problema é mostrada na figura 3.2(b). Da própria figura 3.2(b), vemos que, tal como no caso anterior, é poss´ıvel reduzir o dom´ınio do fluido a um dom´ınio simplesmente conexo [figura 3.2(c)]. Solu¸cões exatas para as duas situa¸cões mostradas nas figuras 3.1 e 3.2 foram obtidas por Vasconcelos [9].. a. y. U. y U. a a U. x. 2L. 2L. (a). (b). x. 0. L (c). Figura 3.2 Solu¸c˜ oes periódicas no canal: (a) colunas de bolhas, (b) célula unitária e (c) célula unitária reduzida.. Os dois casos discutidos acima nos levam a uma formula¸cão mais geral do problema,.

(43) ˜ ´ ˜ GERAL DO PROBLEMA 3.2 SOLUC ¸ OES PERIODICAS: FORMULAC ¸ AO. 31. a qual será desenvolvida na próxima se¸cão. Como veremos adiante, as duas situa¸cões discutidas qualitativamente nesta se¸cão são apenas casos particulares da solu¸cão mais geral que apresentaremos a seguir. ˜ ´ ˜ GERAL DO PROBLEMA SOLUC ¸ OES PERIODICAS: FORMULAC ¸ AO. 3.2 3.2.1. Configura¸c˜ ao geom´ etrica das solu¸c˜ oes. Considere um arranjo duplamente periódico de bolhas em uma célula de Hele-Shaw infinita, como mostrado na figura 3.3(a). As bolhas movem-se com velocidade U constante na dire¸cão x, ao passo que consideramos que a velocidade média do fluido viscoso é V = V xˆ. Como mencionado, as solu¸cões são duplamente periódicas, com per´ıodo 2L na dire¸cão x e per´ıodo 2a na dire¸cão y. Além disso, consideremos que as bolhas possuem um dos dois tipos de simetria citados na se¸cão anterior: simetria em rela¸cão a eixos longitudinais (eixos paralelos ao eixo x) ou a eixos tranversais (eixos paralelos ao eixo y). A célula unitária do problema é mostrada na figura 3.3(b), e esta, em fun¸cão da simetria do problema, pode ser reduzida a um quarto da mesma; vide figura 3.3(c). Vamos nos referir a esse dom´ınio [figura 3.3(c)] como célula unitária reduzida. Vamos supor que, não contando as bolhas de canto, ou seja, as bolhas cujos centróides estão posicionados nos vértices da célula unitária reduzida, haja n1 bolhas no lado esquerdo, n2 bolhas no lado de baixo, n3 bolhas no lado direito e n4 bolhas no lado de cima da célula unitária reduzida; vide figura 3.3(c). Note que, por hipótese, as bolhas dos lados de cima e de baixo são simétricas em rela¸cão a y = a e y = 0, respectivamente, enquanto que as bolhas dos lados esquerdo e direito possuem simetria de reflexão em rela¸cão aos respectivos eixos x = 0 e x = L. Por sua vez, as bolhas de canto, em compara¸cão às bolhas ao longo dos lados da célula unitária reduzida, são especiais pelo fato de possu´ırem os dois tipos de simetria. Em outras palavras, as bolhas de canto são simétricas por reflexão em torno dos seus centróides. Para ajudar na contagem das bolhas de canto, é conveniente introduzir variáveis indicadoras χj (j =1,...,4.), onde χj =1 se houver bolha no j-ésimo canto e χj =0 caso contrário. Além disso, enumeraremos as bolhas de canto no sentido anti-horário partindo da bolha de canto superior esquerda. Logo, o n´ umero.

(44) ˜ ´ ˜ GERAL DO PROBLEMA 3.2 SOLUC ¸ OES PERIODICAS: FORMULAC ¸ AO. 32. 2a. 2L. (a) a. y U U U. U. U. U. 2a. U U. U. 2L. (b). U. U. U. 0. U. U. x L. (c). Figura 3.3 Solu¸c˜ oes periódicas de bolhas: (a) arranjos de bolhas, (b) célula unitária e (c) célula unitária reduzida..

(45) ˜ ´ ˜ GERAL DO PROBLEMA 3.2 SOLUC ¸ OES PERIODICAS: FORMULAC ¸ AO. 33. total N de bolhas na célula reduzida será dado por N = Ne + Nc ,. (3.2). onde Ne é o n´ umero total de bolhas nos lados da célula unitária reduzida, Ne =. 4 X. ni ,. (3.3). i=1. ao passo que Nc é o n´ umero total de bolhas nos cantos, Nc =. 4 X. χi .. (3.4). i=1. Agora partiremos para a formula¸cão matemática do problema, onde definiremos as condi¸cões de contorno a serem satisfeitas pelo potencial complexo W (z) no referencial que se move com as bolhas, uma vez que as solu¸cões encontradas nesse referencial são estacionárias. 3.2.2. Formula¸c˜ ao matem´ atica do problema. Considere a célula unitária reduzida mostrada na figura 3.4. Denotemos por D o dom´ınio do fluido exterior às bolhas e por Cji , com i = 1,...,4 e j = 0,...,ni , a interface da j-ésima bolha que está localizada no i-ésimo lado da região, onde j = 0 representa bolha de canto. Então, seguindo a regra de enumera¸cão utilizada para bolhas de canto, enumeremos todas as bolhas no sentido anti-horário, partindo da bolha de canto superior esquerda, como mostra a figura abaixo. Ao longo deste cap´ıtulo, vamos seguir a conven¸cão de que o superscrito i designa a aresta (ou canto) ao passo que o subscrito j enumera as bolhas em um dado lado. No referencial que se move com as bolhas, onde o escoamento é estacionário, o potencial complexo W (z) = φ + iψ deve ser anal´ıtico em D e satisfazer condi¸cões de contorno apropriadas, como discutido a seguir. Como os lados superior y = a e inferior y = 0 da célula reduzida são obviamente linhas de corrente do escoamento, tem-se que Z ψ(y = a) − ψ(y = 0) =. a. vx dy = −a(U − V ) 0.