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Estudo numérico da convecção natural
em uma placa plana vertical via
fluidodinâmica computacional
William Denner Pires Fonseca1;Lourival Matos de Sousa Filho2; Genilson Vieira Martins3;
1 Mestrando em Engenharia Mecânica; Faculdade de Engenharia Mecânica; Universidade Estadual de Campinas; Departamento de Energia; E-mail: fonsecawdp@gmail.com;
2 Professor do Curso de Engenharia Mecânica; Laboratório de Modelagem e Simulação Numérica; Universidade Estadual do Maranhão; E-mail: filholouri@gmail.com;
3 Professor do Curso de Física; Departamento de Ensino; Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão - Campus Grajaú; E-mail: gvmartins@gmail.com;
RESUMO
Este artigo apresenta uma investigação numérica da transferência de calor por convecção natural no interior à camada limite laminar térmica e hidrodinâmica de uma placa plana vertical isotérmica e engastada. As equações de governo foram discretizadas pelo Método dos Volumes Finitos através do software ANSYS/FluentTM. Inicialmente, o trabalho visa comparar o resultado obtido na simulação numérica para diferentes refinos de malha com o modelo analítico disponível na literatura. Posteriormente, busca-se verificar como as condições de contorno e a espessura da placa influenciam no escoamento, na troca de calor e nos parametros adimensionais característicos para este tipo de escoamento. Os dados numéricos foram comparados com o modelo analítico disponível na literatura e apresentaram uma boa anuência no que diz respeito às variações nas condições de con-torno. Observou-se que estas influenciam no campo de velocidade e, por conseguinte, na transferência de calor.
Palavras-chave: Placa isotérmica vertical. Convecção natural. Método dos volumes finitos.
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Numerical study of natural convection
in a vertical flat plate vertical via
computational fluidodynamics
ABSTRACT
This paper presents a numerical investigation of heat transfer through natural convec-tion inside the thermal and hydrodynamic laminar boundary layer of an isothermal and crimped vertical flat plate. The equations that governs the process are discretized by the Finite Volume Method through the ANSYS/FluentTM software. Initially the paper aims to compare the results obtained in the numerical simulation for different mesh refining with the analytical model available in the literature. Afterwards, it is sought to verify how the boundary conditions and plate thickness influence at the flow, at the heat exchange and in the characteristic dimensionless parameters for this type of flow. The numerical data were compared with the analytical model available in the literature and showed good consent, regarding the variations in the boundary conditions, it was noticed that these conditions influence in the field of velocity and therefore in the transfer of heat.
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1 INTRODUÇÃO
Muitas aplicações comuns da transferência de calor envolvem, como seu principal me-canismo, a convecção. Dentre essas aplica-ções, destaca-se a transferência de calor em serpentinas de refrigeração, no resfriamen-to de equipamenresfriamen-tos eletrônicos, em cole-tores de energia solar e no isolamento de cabines de aeronaves.
Segundo Machado e Alves (2014), a con-vecção envolve dois mecanismos de trans-ferência de energia, quais sejam a difusão ou condução, sendo esta definida, de acor-do com Peterson e Ortega (1990), como a transferência de energia devido ao movi-mento molecular aleatório do fluido, e a advecção, que é a transferência de energia devido ao movimento global do fluido. A convecção está relacionada à transferên-cia de energia por calor entre uma superfí-cie e um fluido em movimento sobre ela na presença de um gradiente de temperatura. De acordo com a natureza do escoamento, a convecção pode ser classificada por con-vecção forçada ou concon-vecção natural. Na convecção forçada, o escoamento é prove-niente de meios externos como, por exem-plo, um ventilador, um soprador ou uma bomba (OOSTHUIZEN; NAYLOR, 1999). Já a convecção natural ocorre quando uma força de corpo atua sobre um fluido no qual existem gradientes de densidade cau-sados por variações da temperatura no flui-do na presença de um campo gravitacional (BERGMAN et al. 2015).
De acordo com Güths (1998), um problema que pode ser modelado a partir da definição de convecção natural é a transferência de calor em uma placa livre isotérmica vertical. Esta possui inúmeras aplicações na engenha-ria, entretanto, faz-se necessária uma boa co-leção de correlações matemáticas confiáveis e prontas para fornecer dados relevantes para projetos, como o coeficiente de transferência de calor (DIAS; MILANEZ, 2004).
Machado (2013) comenta, em seu trabalho, que problemas envolvendo convecção livre são difíceis de serem resolvidos analitica-mente, pois são exigidas muitas simplifica-ções, por tratar-se de problemas com forte acoplamento entre os campos de velocida-de e temperatura, onvelocida-de estes são velocida-descritos, matematicamente, por equações diferen-ciais não lineares, logo a obtenção de re-sultados confiáveis se tornou cada vez mais trabalhosa e demorada, para alguns casos, ela é impossível.
Neste contexto, o presente trabalho ana-lisa numericamente a transferência de ca-lor por convecção natural à camada limite laminar térmica e hidrodinâmica de uma placa plana vertical isotérmica e engastada. As equações governantes são discretizadas pelo Método dos Volumes Finitos e resolvi-das iterativamente, os resultados são com-parados, quando possível, com a solução analítica exposta por Ostrach (1952).
O trabalho ainda busca proporcionar um embasamento teórico-numérico para a am-pliação dos estudos voltados para a área de transferência de calor por convecção natu-ral em placas planas isotérmicas.
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2 MODELAGEM
MATEMÁTICA
Para a solução de qualquer problema real de engenharia, é necessário modelar os fenô-menos físicos presentes através da adoção de hipóteses simplificadoras e de equações matemáticas que expressem corretamente a física envolvida. As hipóteses devem ser tais que possibilitem a formulação de um problema matemático que seja bem posto e que possua soluções coerentes.
Baseado nisso, a presente seção abordará o modelamento matemático do problema de escoamento externo e da transferência de calor em uma placa plana isotérmica, sob efeito de convecção natural.
Considerando uma placa plana imersa em um fluido extenso quiescente e, com a tem-peratura na superfície maior que a tempe-ratura do meio, o fluido próximo a placa é menos denso do que o fluido dela afastado. Devido às forças de empuxo, uma camada limite se desenvolve na direção vertical e o fluido aquecido ascende na mesma direção. A figura (1) ilustra o esquema da situação descrita, onde pode ser verificado o desen-volvimento das camadas limite de veloci-dade e de temperatura.
Figura 1: Ilustração do desenvolvimento das
camadas limite de velocidade e temperatura:
Fonte: Bergman et al., (2015, p. 381).
O processo de transferência de calor por convecção, independentemente de sua na-tureza, pode ser expresso matematicamen-te pela lei do resfriamento de Newton.
QCONV = hAs (Ts -T∞) (1)
Sendo que, QCONV [W] é a taxa de transferên-cia de calor por convecção, h [W/(m².K)] é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A [m²] a aérea de transferência de calor, Ts [K] a temperatura da superfície e T∞ [K] a temperatura do fluido suficiente-mente longe da superfície.
Considerando o caso clássico do desen-volvimento da camada limite laminar so-bre uma placa plana vertical isotérmica, as equações da continuidade, de Navier-S-tokes e da Energia, em regime permanente, podem ser expressas na forma vetorial, res-pectivamente, por:
Sendo que, ρ [kg/m²] é a massa específica do fluido, [m/s] a velocidade, [N] a for-ça, P [N/m²] é o campo de pressão, μ [(N.s)/ m²] é a viscosidade dinâmica do fluido, k [W/(m.K)] é a condutividade térmica do fluido, T [K] é o campo de temperatura e Θ é a dissipação viscosa.
Por serem equações diferenciais parciais, aco-pladas e com considerável complexidade, al-gumas hipóteses e simplificações podem ser consideradas na formulação deste problema.
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Para o desenvolvimento do modelo mate-mático são admitidas as seguintes hipóteses: Escoamento na camada-limite laminar; Fluido Newtoniano;
Força da gravidade atuando na direção y e no sentido negativo;
Fluido considerado como incompressível; Ausência do termo-fonte na Equação da Energia; Aproximação de Boussinesq;
Dissipação viscosa desprezível.
Desta forma, as equações que regem o fenô-meno físico da convecção natural na cama-da limite laminar de uma placa plana verti-cal isotérmica, em coordenadas cartesianas, são expressas por:
Onde, u é a componente da velocidade na direção x, v a componente da velocidade na direção y, g [m/s²] a aceleração da gravidade, ν [m²/s] a viscosidade cinemática do fluido, α [m²/s] a difusividade térmica do fluido e β o coeficiente de expansão volumétrica tér-mica, sendo este expresso pela equação (8).
Segundo Çengel e Ghajar (2012), as equa-ções que governam a convecção livre podem
ser adimensionalizadas pela divisão de to-das as variáveis dependentes e independen-tes por quantidades constanindependen-tes adequadas. Dentro dos grupos adimensionais, deve-se destacar, para a convecção livre o número de Grashof, o número de Nusselt pontual e médio e o número de Rayleigh. Estes para-metros são expressos, respectivamente, pe-las as equações (9), (10), (11) e (12), sendo de extrema relevância para analises de pro-blemas envolvendo convecção natural, pois descrevem o regime de escoamento, como no caso do número de Grashof, e a relação entre o termo de flutuação e a viscosidade, caso do número de Rayleigh.
3 MODELAGEM NUMÉRICA
A tarefa de um método numérico é resolver uma ou mais equações diferenciais, substi-tuindo as derivadas existentes na equação por expressões algébricas que envolvem a função incógnita. Com o método numéri-co adotado, volumes finitos, serão feitas as simulações do problema já mencionado. Como apresentado em Patankar (1980), Ma-liska (2004) e Vesteeg e Malalasekera (1995) o procedimento para se obter as equações discretizadas no método dos volumes fini-tos consiste primeiramente na divisão do domínio do problema em volumes finitos, formando assim, uma malha computacio-nal. Posteriormente, efetua-se a integração38
em um volume elementar da equação di-ferencial de cada uma das variáveis depen-dentes envolvidas. Assim, a conservação das propriedades envolvidas fica satisfeita em cada volume elementar da malha e, consequentemente, em todo o domínio de solução. Deste procedimento deriva um sistema de equações algébricas para cada variável do modelo. A partir da resolução do sistema de equações algébricas lineares, obtém-se, finalmente, a distribuição da pro-priedade do domínio do problema.
Gonçalves (2007) comenta que o processo de discretização torna-se mais conveniente se todas as equações governantes possuí-rem uma forma comum, isto é, a forma da equação geral de transporte.
Desta forma, as equações (5), (6) e (7) po-dem ser escritas para um campo escalar Φ como uma equação geral de transporte na forma tensorial ou na forma divergente, es-tas são expressas pelas equações (13) e (14).
Onde os termos do lado direito são deno-minados, respectivamente, por difusivos e fonte, no qual Γ é o coeficiente de difusão numérica e o termo do lado esquerdo é de-nominado como convectivo.
As equações discretizadas da variável depen-dente Φ são obtidas integrando a equação governante sobre cada um dos volumes de controle do domínio. Portanto, a equação (14) dá origem a uma nova equação para
cada vértice da malha, ou seja, tendo como ponto de partida a equação (14) e integran-do-a em um volume de controle, temos:
Como resultado desta integração, temos a equação geral de discretização, onde esta é expressa, segundo Patankar (1980), por: APΦP = AN ΦN + ASΦS + AE ΦE + AW ΦW + SΦ (16)
Sendo que, P é o ponto central da malha computacional e os sub-índices N, S, E e W indicam a localização dos pontos discretos, como ilustrado na figura (2).
Figura 2: Ilustração da malha computacional:
Fonte: Gonçalves (2007).
A Equação (16), na sua forma linear, deve ser solucionada para todo o domínio com-putacional. Assim, deseja-se resolver um sistema de equações discretizadas. Este sis-tema, de acordo com Maliska (2004), pode ser expresso na sua forma matricial pela equação (17).
[A].[Φ] = [S] (17)
Onde [A] é a matriz dos coeficientes e [Φ] é a matriz das incógnitas. Os métodos para so-lucionar tais problemas numéricos são base-ados em diretos e iterativos. Para este artigo,
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optou-se pelo método iterativo, devido a ra-pidez que ocorre o processo de convergência. No que se refere ao acoplamento pressão-ve-locidade presente nas equações governan-tes, os métodos de solução de tais problemas são divididos em acoplados e segregados. Para a solução deste problema, optou-se por um método de natureza segregada, mais precisamente o SIMPLE (Semi Implicit Linked
Equations), onde este consiste em criar uma
equação para a pressão, que permita que o processo iterativo avance, até o momento em que todas as equações de conservação envolvidas sejam satisfeitas. A figura (3) mostra o fluxograma com os procedimentos realizados pelo método SIMPLE.
Figura 3: Fluxograma do método SIMPLE:
Fonte: Adaptado de Vesteeg e Malalasekera (1995).
4 METODOLOGIA
O escoamento externo sobre a placa plana isotérmica é resolvido por meio do software comercial CFD (Computational Fluid Dy-namics) ANSYS/FluentTM, o acoplamento pressão-velocidade presentes na equação da quantidade de movimento foi resolvido ite-rativamente pelo algoritmo SIMPLE e os ter-mos advectivos foram tratados pelo método UPWIND de 2ª ordem. Foi adotado, ainda, um fator de convergência de 10-3 para as
va-riáveis pressão, velocidade e continuidade e fatores de relaxação de 0,3 e 0,7 para a pres-são e momentum, respectivamente.
Em um primeiro momento, foi realiza-da uma análise do refinamento realiza-da malha computacional, visando garantir resultados numéricos confiáveis. Para esta análise, si-mulou-se três graus de refino, mantendo--se constantes as dimensões do domínio que são da ordem de 1m x 1m. A figura (4) apresenta os resultados para os diferentes refinos da malha. Verifica-se que, para uma malha grosseira, ocorre um distanciamen-to do resultado analítico exposdistanciamen-to por Os-trach (1952). A malha muito refinada é a que mais se aproxima dos resultados analí-ticos, no entanto, necessita de uma maior capacidade computacional, por isso uma malha estruturada, com refinamento inter-mediário no qual os volumes de controle variam de 300000 com tamanho de 230 µm para a região dentro da camada limite até 1850000 com tamanho de 2 cm para regiões distantes da placa, foi a escolhida para a simulação.
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Figura 4: Nusselt para diferentes refinos de
malha:
Fonte: Autor.
A figura (5) explana a forma básica utiliza-da para a análise numérica do problema. Foram consideradas as seguintes condições de contorno: pressão prescrita de 1 atm e temperatura prescrita de 25ºC nas superfí-cies superior, lateral direita e inferior; pare-de adiabática e condição pare-de não escorrega-mento nas partes acima e abaixo da placa engastada; parede com temperatura pres-crita de 45°C e aderência na placa.
Foi adotado, ainda, espessura de 1 mm no domínio computacional para simular mo-delagem bidimensional. O fluido quiescen-te escolhido foi ar seco com quiescen-temperatura de 25°C à pressão atmosférica, sendo a força gravitacional o potencial motriz. O número de Rayleigh e o número de Reynolds, sendo expressos pela equação 15 foram, respecti-vamente, da ordem 106 e 375, caracterizan-do o escoamento como sencaracterizan-do laminar.
Posteriormente, foram variadas as condi-ções de contorno e a espessura da placa,
para verificar como estas situações influen-ciam no seu escoamento. As condições de contorno, comparadas para estas situações foram: Pressão prescrita e simetria.
Figura 5: Modelo do problema:
Fonte: Autor.
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Com base na metodologia apresentada ante-riormente, nesta etapa do trabalho serão apre-sentados e discutidos os resultados obtidos. A partir das figuras (6) e (7), nota-se que o modelo numérico adotado obteve uma boa anuência quando comparado ao modelo analítico, mesmo com uma pequena discre-pância no número de Nusselt entre os dois modelos. Pode-se afirmar que a solução nu-mérica para o problema da convecção livre em placas planas engastadas é satisfatória. A figura (6) expõe que número de Nusselt médio, possui uma relação linear crescente com sua altura na placa plana. Quanto ao coeficiente de transferência de calor por con-vecção, nota-se, a partir da figura (7) uma concordância entre os valores e o decaimen-to do coeficiente em relação à altura da placa.41
Analisando os dados obtidos, pode-se afir-mar que para uma placa plana isotérmica com as condições de contorno citadas an-teriormente, o número de Nusselt é dire-tamente proporcional à altura da placa, e esta, por sua vez, é inversamente propor-cional ao coeficiente de transferência de calor por convecção, o que resulta em uma relação do tipo: Nu/h=y.
Figura 6: Variação do número de Nusselt
médio em relação à altura da placa:
Fonte: Autor.
Figura 7: Variação do coeficiente
convecti-vo em relação à altura da placa:
Fonte: Autor.
Visando analisar como as condições de contorno influenciam no escoamento e nos parametros adimensionais, modificou--se, nas superfícies abertas, a atmosfera a
condição de pressão prescrita para a condi-ção de simetria.
É notório, a partir da figura (8), que ocorre uma pequena variação no coeficiente analí-tico de troca de calor por convecção, quan-do comparaquan-do a condição de simetria. As figuras (9) e (10) mostram que tal variação é consequência da modificação nos campos de velocidades.
Figura 8: Variação do número de Nusselt
para diferentes condições de contorno:
Fonte: Autor.
Figura 9: Campo de velocidade para
condi-ção de pressão prescrita:
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Figura 10: Campo de velocidade para
con-dição de simetria:
Fonte: Autor.
No que diz respeito à espessura da placa, fo-ram simulados três situações distintas, com espessuras de 1mm, 2.5mm e 5mm. Para tais simulações, foi adotada a condição de pressão prescrita para os ambientes expos-tos a atmosfera. As condições iniciais foram mantidas das simulações anteriores.
A figura (11) mostra que a espessura da pla-ca quase não influencia no número de Nus-selt. Isto nos permite concluir que o mode-lo bidimensional apresentado por Ostrach (1952) é satisfatório.
Figura 11: Variação do número de Nusselt
para diferentes espessuras:
Fonte: Autor.
5 CONCLUSÃO
Neste trabalho, foi estudado, numericamen-te, o escoamento e as características térmicas da convecção natural no interior à camada limite laminar térmica e hidrodinâmica de uma placa plana vertical isotérmica e engas-tada, onde buscou-se variar a espessura da placa e as condições de contorno, com o tuito de verificar como estes parametros in-fluenciam no escoamento e na troca de calor. A partir dos resultados apresentados na se-ção anterior, chega-se a algumas conclusões: os resultados numéricos mostraram uma concordância satisfatória, apresentando er-ros mínimos quando comparados ao mode-lo analítico; tais resultados indicam que a interpretação e a modelagem escolhida para descrever o fenômeno físico apresentado por Ostrach (1952) foi elaborada corretamente. Observa-se, também, que a variação das con-dições de contorno influencia diretamente na mensuração dos coeficientes adimensio-nais característicos desse tipo de escoamen-to. Quanto à espessura da placa, conclui-se que esta não influencia no campo de veloci-dade e, consequentemente, o coeficiente de convecção não sofre grandes alterações.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a coordenação do Laboratório de Modelagem e Simulação Numérica da UEMA, MSiLAB, por disponibilizarem sua estrutura para a presente pesquisa e a Fundação de Am-paro à Pesquisa e ao Desenvolvimento Cien-tífico do Estado do Maranhão, FAPEMA, pela concessão de bolsa de iniciação científica.
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