ILHA SOLTEIRA. Paper CRE05-MF24

ILHA SOLTEIRA

XII Congresso Nacional de Estudantes de Engenharia Mecânica - 22 a 26 de agosto de 2005 - Ilha Solteira - SP Paper CRE05-MF24

DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO COEFICIENTE DE ARRASTO PARA O ESCOAMENTO AO REDOR DE ESFERAS UTILIZANDO O MÉTODO DE INTEGRAÇÃO DA

PRESSÃO E O BALANÇO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO Carlos R. Ilário da Silva e Edson D. R. Vieira

UNESP, Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia Mecânica Av. Brasil, 56, Bairro Centro, Caixa Postal 31, CEP 15385-000, Ilha Solteira, SP

E-mail para correspondência: carlos@dem.feis.unesp.br Introdução

A determinação das forças aerodinâmicas e hidrodinâmicas atuando em corpos rígidos submetidos a um escoamento tem sido alvo de estudo de diversos pesquisadores durante várias décadas. Tal preocupação surge em várias áreas da engenharia que envolve escoamentos, como, por exemplo, na indústria aeronáutica, a qual torna-se um fator fundamental para o projeto de aeronaves.

Atualmente, a busca pela otimização de vários sistemas tem sido o foco de vários pesquisadores, como é o caso do controle de escoamentos para a diminuição de vibrações em determinadas estruturas. Ainda segundo Gad-el-Hak (2000), o controle de escoamentos ao redor de diferentes corpos com propósitos de diminuição de arrasto, aumento da sustentação e supressão de ruídos é um tópico vital na área de dinâmica dos fluidos. Para tanto, torna-se necessário, à priori, o desenvolvimento de técnicas para a medição destas forças.

Neste sentido, o presente trabalho utiliza duas diferentes metodologias para a determinação experimental do coeficiente de arrasto para o escoamento ao redor de uma esfera. O escoamento ao redor desta geometria é um típico exemplo de escoamento ao redor de corpos rombudos que apresenta diversas aplicações na engenharia. Além disso, de acordo com Mittal (1999), o conhecimento do comportamento da esteira gerada pelo escoamento ao redor de uma esfera assume um papel de grande importância neste ramo, pois em determinados tipos de escoamentos, pequenas partículas podem ser modeladas como sendo esféricas. Um exemplo desta aplicabilidade pode ser encontrado no trabalho de Couto et al. (2004), onde se apresenta uma metodologia alternativa para a determinação dos parâmetros do escoamento ao redor de frutos de café, modelando-os como sendo esféricos.

Nos dias atuais, é possível encontrar na literatura uma vasta quantidade de trabalhos teóricos, experimentais e mais recentemente numéricos, que tratam os parâmetros do escoamento ao redor de uma esfera. Achenbach (1972) mostra a existência de 4 regiões de escoamentos para números de Reynolds em torno do crítico (Re≈3,7х105_{) e explica suas peculiaridades. Para a região subcrítica (Re≤2х10}5_{), o}

descolamento da camada limite laminar ocorre por volta de 80º em relação ao ponto de estagnação, ainda para a mesma região, segundo Schlichting (1979), o coeficiente de arrasto (CD) é aproximadamente

constante (CD≈0,5) independentemente do número de Reynolds. Na região crítica (2х105 < Re ≤ 3,7х105),

CD sofre um rápido decréscimo (crise do arrasto) para 0,07. Para número de Reynolds maiores que o

Reynolds crítico, observa-se que o CD aumenta discretamente através da região supercrítica. O

comportamento do coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds, segundo Schlichting (1979), é mostrado na Fig. (1). O fenômeno da crise do arrasto no escoamento ao redor de esferas apresenta aplicações muito interessantes. No passado, este fenômeno era utilizado como um parâmetro na determinação do nível de turbulência em um dado escoamento. Ainda hoje, os níveis de turbulência na seção de testes de túneis aerodinâmicos podem ser determinados através das propriedades apresentadas pelo escoamento ao redor desta geometria.

Existem outros trabalhos que classificam os regimes de escoamento em função do número de Reynolds, como é o caso de Lauchle & Jones (1998). Entretanto, ainda existe muita divergência entre os pesquisadores no que se refere a obtenção de dados conflitantes, como explanado por Ilário et al. (2005a).

Figura 1 – Coeficiente de arrasto de esfera em função do número de Reynolds. Representação do Problema

Quando um corpo se desloca no interior de um fluido em repouso, ou equivalentemente, quando um fluido escoa em torno de um corpo sólido, há uma interação entre o corpo e o fluido. Esta interação pode ser descrita por forças e momentos que atuam na interface fluido-corpo oriundos do escoamento. Segundo Fox & McDonald (2001), a superfície do corpo imerso em um fluido em movimento, fica submetida a uma força dinâmica, resultante de forças de pressão (normal à superfície) e de cisalhamento (tangente à superfície). Tensões cisalhantes devido à viscosidade e gradientes de velocidade na superfície do corpo causam forças tangenciais à superfície enquanto variações nas intensidades de pressão ao longo da superfície, devido aos efeitos dinâmicos, resultam em forças normais à superfície do corpo. A componente da força total exercida pelo fluido no sólido, na direção longitudinal do escoamento é denominada arrasto.

A força de arrasto atuante em um corpo é, portanto, composta de duas parcelas: uma devida ao arrasto viscoso e a outra ao arrasto de pressão. A contribuição relativa de cada uma varia com o regime do escoamento e com as condições da superfície do corpo. O arrasto de pressão depende, basicamente, da forma do corpo. O arrasto viscoso não depende significativamente da forma do corpo; entretanto, é influenciado pelas características da superfície, de acordo com Dong et al. (2001).

Procedimento Experimental

Os ensaios foram realizados em um túnel aerodinâmico do tipo soprador, capaz de produzir um perfil de velocidades uniforme em sua seção de testes (200х200х500 mm) de até 30 m/s. As pressões foram obtidas através de um manômetro diferencial de coluna inclinada. O líquido manométrico utilizado foi o álcool isoamílico, também conhecido como isopentanol, o qual possui uma densidade de 853,0kg/m3 para a temperatura de 28º C. A Fig. (2) mostra os equipamentos utilizados. Maiores detalhes da instrumentação utilizada podem ser obtidos no trabalho de Ilário et al. (2005b).

A esfera utilizada nos ensaios é de material plástico de 35,5 mm de diâmetro (±50 μm de tolerância de raio, desvio de esfericidade menor que 50 μm e rugosidade superficial menor que 15 μm). A razão de bloqueio é menor que 2,5%.

O coeficiente de arrasto para o escoamento uniforme e incompressível ao redor de uma esfera foi obtido utilizando duas diferentes metodologias: aplicação do balanço da quantidade de movimento e integração da distribuição de pressão na superfície da geometria. Adicionalmente, um dos objetivos deste trabalho foi de verificar experimentalmente a possibilidade de controle do escoamento visando à diminuição do coeficiente de arrasto para o escoamento ao redor de uma esfera rígida. Atualmente, existem pesquisas sendo realizadas sobre a textura das tintas e resinas que são utilizadas na pintura da fuselagem dos aviões, no intuito de se obter um decréscimo do arrasto. No presente trabalho, a influência da rugosidade superficial da esfera foi avaliada objetivando o retardo do descolamento da camada limite. Esferas com diferentes rugosidades artificiais foram produzidas e ensaiadas e os resultados comparados com as esferas lisas.

Determinação do Coeficiente de Arrasto pela metodologia da quantidade de movimento

A metodologia matemática utilizada na determinação experimental do coeficiente de arrasto baseia-se na aplicação do balanço da quantidade de movimento na forma integral para um volume de controle inercial, fixo no espaço. De acordo com Anderson Jr. (1988), esta metodologia foi extensivamente utilizada desde a década de 30 pela antiga NACA (National Advisory Commitee for Aeronautics), atual NASA (National Aeronautics and Space Administration), para a obtenção da sustentação e arrasto característicos de seus perfis bidimensionais quatro dígitos. Torna-se importante ressaltar que essa metodologia, ainda hoje, é extensamente aplicada na determinação do arrasto de corpos bidimensionais. No presente trabalho, a metodologia é estendida para uma aplicação tridimensional, como o caso do escoamento ao redor de esferas.

O problema representado pelo escoamento incompressível em regime permanente ao redor de uma esfera, pode ser esquematicamente ilustrado pela Fig. (3).

Figura 3 – Volume de Controle.

O volume de controle adotado engloba a esfera, permitindo assim, a determinação das forças atuantes no volume de controle. A Eq. (1) estabelece que a força resultante atuando no volume de controle é a soma das forças de superfície e de campo ou ainda que, a força resultante atuando sobre um volume de controle não submetido à aceleração, é igual à soma da taxa de variação da quantidade de movimento no interior do volume de controle com o fluxo líquido de quantidade de movimento através da superfície de controle.

A d v v d v t F SC VC r . ⋅ + ∀ ∂ ∂ =

∫

∫

Onde, Fr (força atuante no volume de controle), vr (velocidade do escoamento), ρ (densidade do fluido),

A

dr= dAn.ˆ

(

vetor unitário normal a

,

é o elemento infinitesimal de área)

Pode-se demonstrar que para um escoamento incompressível, em regime permanente e desprezando-se as forças de campo, a força resultante do fluxo líquido de quantidade de movimento é equivalente a força de arrasto (FD), dada pela Eq. (2).

A

d

v

v

F

⋅

=

ρ

∫

Apesar da geometria relativamente simples de uma esfera, a resolução da Eq. (2) ficaria demasiadamente complexa se uma transformação de coordenadas esféricas fosse aplicada. Contudo, o presente trabalho propõe uma metodologia alternativa para a obtenção do coeficiente de arrasto, utilizando apenas coordenadas cartesianas, através da integração de sólidos de revolução.

Para tanto, os perfis de velocidade à jusante e à montante da esfera foram obtidos experimentalmente utilizando um tubo de Pitot, de 3mm de diâmetro externo construído dentro do presente esforço de trabalho. O posicionamento do sensor de pressão foi controlado por um mecanismo posicionador de sondas, o qual fornece o posicionamento da sonda com uma exatidão de ±0,05mm. O tubo de Pitot foi adequadamente posicionado na esteira gerada pelo escoamento em torno da esfera, como mostrado na Fig. (4), captando a velocidade média local do fluido em movimento. A esfera foi rigidamente posicionada no centro da seção de testes com auxílio de um mastro de alumínio.

Figura 4 - Tubo Pitot posicionado na esteira gerada pela esfera.

Os perfis de velocidade na entrada do volume de controle são uniformes, entretanto, na saída do volume de controle são distorcidos, devido à presença do corpo. Em outras palavras, em um escoamento uniforme em torno de uma esfera verifica-se, um déficit de quantidade de movimento, devido ao surgimento da força de arrasto.

O volume de controle (VC) admitido nos cálculos foi adequadamente selecionado, de forma que seus contornos horizontais fossem adjacentes às linhas de corrente do escoamento. Como não há fluxo de massa através de linhas de correntes, conseqüentemente não existe fluxo de quantidade de movimento, torna-se plausível admitir uma relação entre o déficit de quantidade de movimento, observado na saída do volume de controle, com a força que está sendo exercida sobre ele.

Esta relação pode ser obtida através do volume dos sólidos de revolução gerados através da rotação dos perfis de velocidade. A diferença entre o volume de entrada e o volume de saída corresponde ao módulo da força de arrasto, como mostrada pela Eq. (3). A direção da força de arrasto é contrária à direção do escoamento. Mais detalhes podem ser encontrados em Ilário et al. (2005a).

( )

(

)

(

( )

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

Δ

−

Δ

=

∑

∑

x

F

x

x

y

F

y

y

F

2

πρ

(3)

Onde xi (posição do tubo de Pitot, no interior da seção de testes, na entrada do VC), F(xi) (velocidade

local do fluido na entrada do VC), Δx (variação da posição do Pitot na entrada do VC), yi (posição do tubo

de Pitot, no interior da seção de testes, na saída do VC), F(yi) (velocidade local do fluido na entrada do VC) e

Δy (variação da posição do Pitot na saída do VC). As unidades das variáveis são todas dadas no Sistema Internacional (SI).

De posse da força de arrasto, o coeficiente de arrasto (CD) pode ser obtido através da Eq. (4).

2 2 1 AU F CD D

ρ

A (área frontal projetada), U (velocidade do escoamento sem perturbação).

Como já frisado anteriormente, o coeficiente de arrasto de um corpo submetido a um escoamento é dado pela soma de duas componentes: arrasto de pressão e o arrasto viscoso. O arrasto de pressão pode ser obtido pela integração da distribuição de pressão na superfície do corpo e o arrasto viscoso pode ser avaliado através da integração da tensão viscosa atuante ao longo da parede do corpo. Porém, para corpos rombudos que produzem esteiras relativamente grandes o arrasto de pressão é predominante. Portanto, no escoamento ao redor de uma esfera, a determinação do arrasto de pressão é suficiente para a avaliação do coeficiente de arrasto.

De acordo com Jeon et al. (2004), o coeficiente de arrasto para o escoamento ao redor de esferas pode ser obtido através da integração do coeficiente de pressão (CP) ao longo da superfície da esfera, como

mostrado na Eq. (5).

θ

θ

∫

As distribuições de pressão na superfície da esfera foram medidas através de uma tomada de pressão, feita em sua parede, de 0,5mm de diâmetro externo. Utilizando-se de um goniômetro, obtiveram-se as pressões em toda a extensão da superfície do corpo. Os resultados são apresentados na forma do coeficiente de pressão, definido pela Eq. (6).

2 2 1 ∞ ∞ − = U P P C_p

ρ

onde P (pressão na superfície da esfera), P∞ (pressão de referência), ρ (densidade do fluido em movimento) e

U∞ (velocidade do escoamento livre).

A verificação do controle passivo de rugosidade adotado para retardar o delocamento o escoamento ao redor da esfera, foi feita através da análise do coeficiente de arrasto da esfera rugosa em relação à lisa. A rugosidade superficial da esfera foi artificialmente controlada, visando uma maior misturação do fluido no interior da camada limite, aumentando assim, a energia cinética e, por fim, evitando o seu descolamento prematuro. A Fig (5) apresenta a instrumentação utilizada para a captação da pressão na superfície da esfera, particularmente da esfera rugosa.

Figura 5 – Instrumentação utilizada para a captação de pressão. Resultados

Foram realizados diversos ensaios, com diferentes parâmetros de escoamento, para a obtenção das distribuições de pressão na superfície das esferas lisa e rugosa. A Fig.6 mostra em comparação alguns dos resultados obtidos, juntamente com o os valores do escoamento potencial. Através do conhecimento do comportamento da pressão na superfície da esfera, foi possível calcular o coeficiente de arrasto a partir de sua integração. Tomada de pressão Encaixe do Goniômetro Saída para o manômetro _{Adaptação à} seção de testes Esfera rugosa

0 45 90 135 180 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 Co ef ic ie n te de Pr es s ão ( CP ) Ângulo Reynolds 30000 Esfera Lisa Esfera Rugosa Escoamento Potencial 0 45 90 135 180 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 Co efic ien te de Pre ssã o ( CP ) Ângulo Reynolds 44000 Esfera Lisa Esfera Rugosa Escoamento Potencial

(a)

(b)

(c)

Figura 6 – Distribuição de pressão na superfície de esferas lisas e rugosas e para o escoamento potencial. (a) Reynolds 30 000, (b) Reynolds 44 0000, (c) Reynolds 52 000.

Para a aplicação do balanço da quantidade de movimento, foram obtidos vários perfis de

velocidade na esteira, produzida pelo escoamento ao redor da esfera, em diferentes posições a

jusante da geometria (2, 3, 4 e 5 vezes o diâmetro do corpo). A Fig.(7) mostra os resultados obtidos

para dois diferentes parâmetros.

0 1 2 3 4 5 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 4D 3D 2D V e lo ci dade R e la ti va V /V o Posição Relativa 2*x/D 0 1 2 3 4 5 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 V e lo ci d ade R e la ti va V /V o Posição Relativa 2*x/D 5D 4D 3D 2D (a) (b)

Figura 7 – Perfis de velocidade obtidos em diferentes posições na esteira gerada pelo escoamento ao redor da esfera. (a) Reynolds 36800, (b) Reynolds 55000.

Através da aplicação da extensão da metodologia do balanço da quantidade de movimento para escoamentos tridimensionais, proposto por este trabalho, verifica-se uma dependência do valor do

coeficiente de arrasto em função da posição onde o perfil de velocidade foi captado. A Fig.(8) mostra os resultados obtidos. 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Coef ici ent e d e a rr a st o (C D )

Distância do Pitot em relação à jusante da esfera (2*x/D) Re = 20000

Re = 36800 Re = 46000 Re = 55000

Figura 8 – Coeficiente de arrasto em função da posição da aplicação da metodologia do balanço da quantidade de movimento, utilizando-se sólidos de revolução.

A comparação entre os resultados obtidos para a esfera lisa, através da aplicação das duas metodologias apresentadas, juntamente com os resultados disponíveis na literatura ,é mostrado na Fig.(9).

20000 30000 40000 50000 0,0 0,5 1,0 Coefici ente de Arrasto (C D ) Reynolds Integração da Pressão

Balanço da Quantidade de Movimento Schlichting (1979)

Figura 9 – Comparação dos resultados obtidos para o coeficiente de arrasto utilizando as duas metodologias apresentadas e o disponível na literatura.

Os resultados obtidos pela utilização do controle passivo do escoamento, através da modificação artificial da rugosidade da superfície da esfera, no intuito da diminuição do coeficiente de arrasto, são apresentados na Fig. (10).

25000 37500 50000 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 Co ef ic ien te d e Arrast o (C D ) Reynolds Esfera Lisa Esfera Rugosa

Figura 10 – Coeficiente de Arrasto para as esferas lisa e rugosa em função do número de Reynolds. Conclusões

No presente trabalho, o coeficiente de arrasto para o escoamento ao redor de esferas foi experimentalmente determinado, para número de Reynolds entre 20 000 e 55 000, por duas diferentes metodologias: integração da distribuição de pressão na superfície do corpo e pelo balanço da quantidade de movimento. A utilização do balanço da quantidade de movimento é bastante utilizada na obtenção dos parâmetros do escoamento ao redor de corpos aerodinâmicos. Assim, este trabalho apresenta uma extensão da metodologia para corpos rombudos.

Na resolução da equação do balanço da quantidade de movimento, propõe-se a utilização de coordenadas cartesianas, através da integração dos sólidos de revolução gerados pelos perfis de velocidade, o que pode facilitar sobremaneira a obtenção do coeficiente de arrasto (CD).

Os resultados obtidos pela metodologia do balanço da quantidade de movimento mostram uma dependência do CD em função da posição à jusante a esfera, onde fora coletado os perfis de velocidade.

Como se trata de um escoamento tridimensional, este resultado deve-se a pressão estática, que apresenta uma grande variação à jusante do corpo, e, portanto, para a aplicação desta metodologia, seria necessário considerar os perfis de pressão nos cálculos. A solução encontrada neste trabalho foi a de aplicar a metodologia para um ponto ótimo na esteira gerada pela esfera. Nesta posição, a variação da pressão estática é praticamente desprezível, o que proporciona a obtenção de dados bastante satisfatórios.

Os resultados obtidos para o CD, através da integração da distribuição da pressão na superfície da esfera

e da extensão da metodologia do balanço da quantidade de movimento, proposto por este trabalho, mostram-se bastante satisfatórios, quando comparados com os dados da literatura.

O controle passivo do escoamento, através da modificação artificial da rugosidade da esfera, mostrou que para Reynolds moderados, na faixa de 20 000 até aproximadamente 50 000, não ocorre nenhuma alteração perceptível com o ângulo de descolamento da camada limite, ocorrendo próximo a 90º. Entretanto, para valores de Reynolds mais elevados, da ordem de 55 000, o arrasto da esfera rugosa é evidentemente menor que o arrasto da esfera lisa, em decorrência do retardo do descolamento da camada limite, o qual ocorre em torno de 110º. A ocorrência de um arrasto menor para esfera rugosa deve-se à geração de turbulência na camada limite, ocasionando um aumento da quantidade de movimento, que implica em uma forte resistência ao descolamento.

Finalmente, os perfis de velocidade na esteira da esfera, as distribuições de pressão na superfície do corpo e os resultados obtidos para o coeficiente de arrasto constituem uma valiosa informação experimental para a validação de novos códigos computacionais de dinâmica dos fluidos.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro da FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) e a CAPES/PROCAD pelo financiamento à construção do túnel aerodinâmico utilizado nos presentes ensaios experimentais.

Referências Bibliográficas

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