7.0 Estruturas planas aporticadas:
Pórticos são estruturas reticuladas, formadas por barras em direção qualquer e conexões rígidas. Estruturas reticulada - é aquela formada por barras que tem uma dimensão preponderante em
relação às outras duas.
Conexão rígida - é uma região de ligação entre duas ou mais barras, trocando força e momento fletor.
Observação: Rótula é uma conexão não rígida. Tipos de pórtico (ou quadro):
Bi-apoiado: Tri-articulado:
Atirantado ou Composto: escorado:
8kNm F 1 2 ,8 HF = 9,6 4kN/m A 4m 2m VA = 18,4 VF = 18,4 C D 3m 2m 2m 9,6 16kN B E ! sen = 0,6 cos = 0,8 Com barras curvas:
Exercício: 7.1 Bi-apoiado: a) Reações: " # $ % & % ' ( ) ) * % + kN V V F F F y 4 , 18 0 00 , 6 4 8 , 12 4 , 18 0 " # $ % & % ( ( ) ( ) ( ' ) ( * % + kN V V M A A F 4 , 18 0 00 , 1 00 , 6 4 00 , 4 8 , 12 00 , 1 6 , 9 8 00 , 4 0 " # $ % & % ) * % + kN H H F F F x 6 , 9 0 6 , 9 0
F C D B E A (-) -9,6 -18,4 (-) (-) (-) -18,4 -5,6 F C D B E A -9,6 (+) (-) 9,6 (+) (+) (-) -10,4 5,6 8,0 x b) DEN(kN): c) DEC(kN): , pela esquerda ou 4 , 18 6 , 9 6 , 5 8 , 12 4 , 18 4 , 18 ) % ) % ) % ' ) % ) % F Cd Bd A N N N N 0 , 8 4 , 18 4 , 10 4 , 10 00 , 4 4 6 , 5 6 , 5 8 , 12 4 , 18 6 , 9 % ' ) % ) % ( ) % % ) % ) % Dd De Cd Bd Q Q Q Q m x QF 40 , 1 4 6 , 5 6 , 9 % % %
E F C D B A -8 (-) (-) (-) (-) -27,2 -36,8 (-) -27,2 -8 -28,8 Mmáx 8 28,8 C S2 S3 D S4 S1 S5 , pela esquerda , pela direita , pela esquerda , pela esquerda , pela direita d) DMF(kNm): Observações: 1) 8 8 00 , 4 4 2 % ( 2 8 00 , 2 4 2 % ( 28 , 23 2 , 27 2 40 , 1 40 , 1 4 40 , 1 6 , 5 8 , 28 00 , 3 6 , 9 0 8 , 36 00 , 3 6 , 9 00 , 1 00 , 2 4 8 , 36 2 , 27 00 , 2 00 , 4 4 00 , 4 6 , 5 2 , 27 00 , 2 6 , 9 8 8 ) % ) ( ( ) ( % ) % ( ) % % -" -# $ ) % ( ) ( ( ) % ) % ) ( ( ) ( % % % ) % ( ) ) % ) % máx Db F De Dd C Cd Ce A M M M M M M M M M
-27,2 -27,2 -36,8 -8 -28,8 10kNm F HF = 8 6kN/m A 4m 2m VA = 20,75 VF = 3,25 C D 1,50m 2,50m 2,50m B E ! sen = 0,6 cos = 0,8 1,50m 8kN 2m ; ; 2) 7.2 Bi-apoiado: kN Q kN Q S S 6 , 5 6 , 9 2 1 % ) % kN N kN N S S 6 , 9 6 , 5 2 1 ) % ) % " # $ ) % ) % kNm M kNm M S S 2 , 27 2 , 27 2 1 -" -# $ ) % ) % ) % kNm M kNm M kNm M S S S 8 , 28 8 8 , 36 5 4 3
Em um nó com duas barras perpendiculares entre si, o esforço cortante de uma é igual ao esforço normal da outra!
O somatório de momentos em um nó é igual a zero!
-3,25 F F A C D E B (-) -20,75 (-) -1,95 4,45 (+) A C D E B (-) -2,6 -7,4 (-) F 8 3,25 E ! 8 ! ! (+) 20,75 x , pela direita a) Reações: b) DEN(kN): c) DEC(kN): " # $ % & % ' ( ) * % + kN V V F F F y 25 , 3 0 00 , 4 6 75 , 20 0 " # $ % & % ( ) ( ( ) ) ( * % + kN V V M A A F 75 , 20 0 50 , 1 8 00 , 6 00 , 4 6 10 00 , 8 0 kN H Fx %0* F %8 + kN N kN N Ee F 95 , 1 cos 8 45 , 4 45 , 4 sen 25 , 3 cos 8 ) % . ) % % . ) . % m x 3,4583 6 75 , 20 % %
F A C D E B (-) -10 18,5 (+) 25 -10 25 Mmáx , pela direita , pela direita , pela direita , pela direita d) DMF(kNm): 6 , 2 sen 8 4 , 7 4 , 7 sen 8 cos 25 , 3 25 , 3 00 , 4 6 75 , 20 75 , 20 ) % . ' ) % ) % . ) . ) % ) % ( ) % % Ee F De Cd Q Q Q Q 88 , 25 2 4583 , 3 6 4583 , 3 75 , 20 10 2 % ( ) ( ' ) % máx M 25 50 , 1 8 00 , 3 8 00 , 4 25 , 3 5 , 18 00 , 2 25 , 3 5 , 1 8 0 25 00 , 2 00 , 4 6 00 , 4 75 , 20 10 % ( ) ( ' ( % % ( ' ( % % % ( ( ) ( ' ) % Dd E F De M M M M
B HA= 0 D A VA= 8,5 2,25t/m 4,00 ! sen = 0,6 cos = 0,8 2t/m 2t/m 9t 4t 4t B C 2,00 2,00 VD= 8,5 (-) (+) ! 8,5-4 = 4,5 4,5.sen = 2,7 4,5.cos = 3,6 ! 2,7 D A C -2,7 8,5-4 = 4,5 4,5.sen = 2,7 4,5.cos = 3,6 7.3 Barra inclinadas: Solução: DEN(tf): 0 0* % % +Fx HA " # $ % & % ( ) ( ' ( ' ( * % + tf V V M D D A 5 , 8 0 00 , 8 00 , 7 4 00 , 4 9 00 , 1 4 0 " # $ % & % ' ) ) ) * % + tf V V F A A y 5 , 8 0 5 , 8 4 9 4 0
(+) 8,5 D A C B (+) (-) (-) -8,5 4,5 -4,5 3,6 -3,6 (+) D A C B 1 (+) (+) 1 13 13 13 13 Mmáx normal à direção x x = 2,00 DEC(tf): DMF(tfm): Cd Be M M %8,5(2)4(1,00%13% -" -# $ % ' % ( ' % . ' % % ( ) ( ' % . ) . ' % % ( ( ) ' ( ) ' ( % 5 , 17 5 , 4 13 8 00 , 4 25 , 2 13 8 13 5 , 17 2 00 , 2 25 , 2 00 , 2 5 , 4 13 2 5 , 17 2 00 , 2 00 , 2 25 , 2 ) 00 , 2 00 , 1 ( 4 ) 00 , 2 00 , 2 ( 5 , 8 2 2 2 2 l q M ou x q x Q M M ou M máx i i máx máx
7.4 Quadro engastado e livre: Solução: DEN(tf): MA = 1 HA = 1 VA = 8 3t 1t/m 1t 1t C A B D E F 2,00 -7 1,00 2,00 2,00 tf H Fx %0* A %1 + " # $ % & % ( ) ( ' ( ) ( ' * % + tfm M M M A A A 1 0 00 , 2 4 00 , 2 1 00 , 1 1 00 , 2 3 0 " # $ % & % ) ( ) ) * % + tf V V F A A y 8 0 1 00 , 4 1 3 0 C A B D E F (-) -1 -8 (-) (-) 3,00
DEC(tf): DMF(tfm): C A B D E F (-) 1 -1 (+) (-) -3 (+) 4 C A B D E F (-) -1 -3 (-) (-) -8 -6 (-) (-) -2 -1 2 8 00 , 4 1 2 % ( tfm M tfm M De Bd 2 00 , 2 1 00 , 1 1 00 , 4 1 1 2 00 , 1 1 00 , 2 1 1 ) % ( ' ( ' ( ) ) % ) % ( ' ( ) ) %
VB = 4 VA = 4 HA = 0 4tm VB VA A B 4,00m 2,00m 2,00m 2t/m 4tm C D E F HA A B C D E F N = 2 N = 2 7.5 Quadro atirantado ou escorado:
Como a barra CD está descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em todas as suas seções, M = Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração a barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora).
Nada se alterará, então, sob o ponto de vista estático, se rompermos a barra CD, substituindo-a por um par de esforços normais N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ABEF.
(pelas forças da direita) 0 0* % % +Fx HA " # $ % & % ( ( ) ( * % + tf V V M A A B 4 0 00 , 2 00 , 4 2 00 , 4 0 " # $ % & % ( ) ' * % + tf V V F B B y 4 0 00 , 4 2 4 0 0 % F M " # $ % & % ) ( , tf N N 2 0 4 00 , 2
-4 A B -2 C D E F (-) (+) 2 (-) (-) -4 -4 A B C D F (+) E (-) (-) (+) 4 -2 2 DEN(tf): DEC(tf):
VB = P/2 A B C D F E (-) (-) -4 -4 -4 -4 VA = P/2 A B P /! /! C DMF(tfm): 7.6 Barra curva: 4 8 00 , 4 2 2 % ( -" -# $ . % . % . % . % ) . % . ) . % / / / / / / cos 2 cos sen 2 sen ) cos 1 ( 2 ) cos ( P V N P V Q R P R R V M A S A S A S
A /! /! B C (+) A /! /! B C (+) (-) A /! /! B C (-) (-) DMF: DEC: DEN: ) cos 1 ( 2 ) / . R P ) cos 1 ( 2 ) / . R P 2 R P Mmáx . % / sen 2. P / sen 2. )P 2 P 2 P ) / cos 2. )P cos/ 2. )P 2 P ) 2 P )
VB = P/2 VA = P/2 A B P /! C M VB = 8 VA = 4 A B C D 2t/m 3t 5t 6,00 HA = 2t 4,00 3,00
Observação: Marcando os valores dos momentos a partir de uma reta horizontal, o diagrama será retilíneno, conforme figura a seguir, pois os momentos fletores crescem linearmente segundo o valor de AM = R . (1-cos /). Exercício: ) cos 1 ( 2 2 ) / . % .AM P R P 2 R P Mmáx % .
4 4 A B C D -8 -8 -20 -20 (-) (-) (-) 15-9 = 6 C D 2t/m 5 2+3 = 5 8 20 DMF(tfm):
Observação: Barra CD isoladamente
= " # $ % & % ) ' * % + t H H F A A x 2 0 5 3 0 " # $ % & % ( ( ) ( ' ( * % + tf V V M A A B 4 0 00 , 3 00 , 6 2 00 , 4 3 00 , 6 0 " # $ % & % ' ( ) * % + tf V V F B B y 8 0 00 , 6 2 4 0
4 4 C D 2t/m 5 8 20 D 5 C C D 8 20 D C 5x3 = 15 8 20 15-9 = 6 + Diagramas: + =
Resumindo: Para o traçado do diagrama de momentos fletores na barra curva CD, a partir de uma reta horizontal CD, marcamos a partir da linha de fechamento o diagrama de viga biapoiada mais o diagrama devido apenas às forças horizontais.
tfm 9 8 00 , 6 2( 2 %
HC = 3 HC = 3 G HG = 3 HD = 0 D A B C E F 1t/m 3t 2t 4 ,0 0 2 ,0 0 2 ,0 0 8,00 5,00 3,00 VA = 4,75 VD = 6,5 VG = 6,75 G HG = 3 HD = 0 D A B C E F 3t 2t 1t/m 1t/m C VC = 3,25 VC = 3,25 1 2 7.7 Quadro composto: Decomposição:
1 2 : : DEN(tf): (-) -3 (-) -3 -4,75 (-) -6,75 -6,5 -4,75
(pelas forças da esquerda) " # $ % & % ) * % + t H H F C C x 3 0 3 0 " # $ % & % ( ( ) ( ) ( * % + tf V V M A A C 75 , 4 0 00 , 4 00 , 8 1 00 , 2 3 00 , 8 0 " # $ % & % ' ) * % + tf V V F C C y 25 , 3 0 8 75 , 4 0 " # $ % & % ) * % + t H H F G G x 3 0 3 0 " # $ % & % ( ) ( ) ( ) ( ' ( * % + tf V V M D D G 5 , 6 0 00 , 4 8 00 , 3 2 00 , 8 25 , 3 00 , 4 3 00 , 8 0 " # $ % & % ' ) ) ) * % + tf V V F G G y 75 , 6 0 2 8 25 , 3 5 , 6 0 0 % C M " # $ % & % ( * 0 0 00 , 4 D D H H (-) (-) (-) -3,25 (-)
DEC(tf): DMF(tf): -6 (-) -6 -12 -6 -18 -18 (-) 8 -12 -12 8 (+) (-) (+) (-) 3 (+) -3,25 -3 (-) (+) -4,75 -3 (-) -4,75 (-) -3,25 -2 (-) -6 (-) (+) (-) -6 (-)
D I 2tm B A 1t 2,00m 1t 1t 2tm C G H E F 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 2tm 1t 1t 1t 2tm H HF = 1t HG = 2t HG = 2t HC = 2t HC = 2t HA = 3t VA = 2t VD = 2t 7.8 Quadro composto: Decomposição: 2 % N 2 % N
-1 2 2 4 6 6 2 2 (+) (-) (+) 2 (+) 3 (+) 2 (+) (-) -2 DMF(tfm): DEN(tf): 2
B A HA = 3 2,00m HB = 3 VA = 6 VB = 10 2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 3 ,0 0 m 3 ,0 0 m 4t 2t 2t 1t/m 6tm 6tm C D E F H G J ! sen = 0,6 cos = 0,8 2 2 6 3 7.9 Quadro triarticulado: Solução:
(pelas forças da esquerda)
" # $ % & % ) * % + tf H H F B B x 3 0 3 0 " # $ % & % ( ' ( ) ( ) ( ) ( * % + tf V V M A A B 6 0 00 , 2 2 00 , 2 4 00 , 4 8 00 , 6 2 00 , 8 0 " # $ % & % ' ) ) ) ) * % + tf V V F B B y 10 0 2 4 8 2 6 0 0 % G M " # $ % & % ' ( ( ) ( ) ( ) ( * tf H H A A 3 0 6 00 , 2 00 , 4 1 00 , 2 2 00 , 6 00 , 4 6
B A -3 C D E F H G J (-) (-) -6 (-) -10 (-) -2,4 -3,6 -4,8 (-) (-) -6 -6 ! 0! (pela esquerda)! DEN(tf): Cálculos: ou: 6 8 , 0 3 6 , 0 6 cos sen ) ( %) ( ) ( %) ( ) % A A Cd V H N
1
2
-" -# $ ) % ( ) ( ) ) % ) % ( ' ) % ( ( ' ) % 8 , 4 cos 3 sen 2 6 8 , 4 6 , 0 2 6 sen 2 1 6 Je Je N ou N1
2
-" -# $ ) % ( ' ( ) ( ) ) % ) % ( ' ) % 6 . 3 sen 2 cos 3 sen 2 6 6 , 3 sen 2 8 , 4 Jd Jd N ou N1
2
-" -# $ ) % ( ) ( ) ) ) % ) % ( ) % 4 . 2 cos 3 sen 4 2 6 4 , 2 cos 3 Ge Ge N ou N 3 ) % Gd N 4 , 2 cos 3 %) )B A C D E F H G J (-) -4 (-) -4 (-) -1,8 -0,2 (-) -3 3 3 (+) (+) 1,4 (+) 2 DEC(tf): Cálculos: 3 sen 3 cos 6( ) ( % % Cd Q
1
2
1
2
" # $ ) % ( ) ( ) ) % % ( ) ( ) % 2 , 0 sen 3 cos 2 2 6 4 , 1 sen 3 cos 2 6 Jd Je Q Q1
2
1
2
" # $ % ' ' ) % ) % ( ) ( ) ) % 0 4 2 6 8 , 1 sen 3 cos 4 2 6 Gd Ge Q Q -" -# $ ) % ) ) % ) % ' ' ) % 4 8 2 6 4 2 4 10 Fe Fe Q ou Q 00 , 4 1 10' ( )H -10 B A C D E F G J -8 -3,5 (-) -9 -9 (-) 4 -14 -0,5 -0,5 -6 -6 2 (-) -4 (-) (-) -1 -9 (-) (-) , (pela direita) , (pela direita) , (pela esquerda) , (pela esquerda) , (pela esquerda) M = DMF(tfm): Cálculos: 1 3 3 2 4( ) ( %) % Ec M 10 6 3 2 4( ) ( %) % Fb M 6 2 4 2 2 6 3 4 6( ) ( ) ( ) ( %) % Gd M 14 2 4 6) ( %) ) % Fe M 5 , 3 2 00 , 2 1 5 , 4 3 2 6 2 ) % ( ) ( ) ( % J M 4 4 00 , 2 00 , 2 2 8 00 , 4 1 8 2 2 % ( ( ' ( % . . ' . % l l P a b q M
