EQUAÇÃO DOS MEIOS POROSOS COM PERTURBAÇÕES MARGINAIS VIA GRUPOS DE RENORMALIZAÇÃO.

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

INSTITUTO DE CIˆENCIAS EXATAS

Departamento de Matem´atica

Disserta¸c˜ao de Mestrado

AN ´

ALISE ASSINT ´

OTICA DE SOLUC

¸ ˜

OES DA

EQUAC

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AO DOS MEIOS POROSOS COM

PERTURBAC

¸ ˜

OES MARGINAIS VIA

GRUPOS DE RENORMALIZAC

¸ ˜

AO.

Alexandre Celestino Leite Almeida

Orientador:

Gast˜

ao de Almeida Braga

(2)

Dedico este trabalho

à minha querida mãe Sara, pelo apoio e dedica¸cão,

(3)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus, por uma vida cheia de oportunidades e por me permitir compreender algumas coisas;

à minha fam´ılia, em especial à minha mãe, por sua dedica¸cão e apoio; à minha namorada Petrusca, pelo amor, paciência, apoio e dedica¸cão;

ao meu orientador, o professor Gast˜ao, por sua grande capacidade e dedica¸c˜ao em tentar me transmitir um pouco de sabedoria e por seu “perfeccionismo”, que apesar das noites mal dormi-das, me levou a concluir este trabalho;

aos colegas Leonardo T. Rolla e Jussara Moreira, pela paciência, pelas explica¸cões e por terem escrito suas teses com tamanha competência, sem as quais este trabalho não seria poss´ıvel; aos colegas e professores do departamento de matemática da UFMG;

à banca examinadora deste trabalho, Márcio Murad (LNCC) e Grey Ercole (UFMG), por terem a paciência em ler este trabalho, pelas sugestões, pelos elogios e em especial, é claro, por terem aprovado esta disserta¸cão;

ao professor Frederico Furtado (University of Wyoming), pelas cr´ıticas e sugest˜oes; `a CAPES, pelo apoio financeiro.

“Se enxerguei mais longe ´e porque me apoiei em ombros de gigantes.”

(4)

Resumo

Neste trabalho, estaremos interessados em estudar problemas de valor inicial (PVI) do tipo: ½

ut = (up)xx + λuaubxucxx, (x, t) ∈ R × (1, ∞)

u(x, 1) = f (x),

onde o dado inicial f (x) é uma fun¸cão suave (decaindo rapidamente para zero), λ ∈ R, p ≥ 1 e a, b, c ≥ 0. O nosso objetivo é estudar o comportamento assintótico da solu¸cão u(x, t) do PVI acima, para tempos longos. O nosso estudo é numérico e utiliza a técnica do Grupo de Renormaliza¸cão. Apresentaremos o Grupo de Renormaliza¸cão Numérico padrão, bem como duas varia¸cões do mesmo. Dentre estas, apresentaremos uma versão

em que o expoente cr´ıtico β, tal como α, é calculado numericamente ao invés de calculado por uma rela¸cão de escala (como feito no NRG padrão). Essa versão proposta para o NRG é capaz de verificar corre¸cões logar´ıtmicas ao decaimento e ao espalhamento da solu¸cão do PVI (assim como NRG padrão também o é), sendo esta a contribui¸cão deste trabalho.

(5)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 7

1.1 Comportamento Assint´otico e Escalas M´ultiplas . . . 8

1.2 Origens do Grupo de Renormaliza¸c˜ao . . . 8

1.3 Mudan¸ca de Escalas e Equa¸c˜oes Diferenciais . . . 9

1.4 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Anal´ıtico . . . 11

1.5 Resultados Anal´ıticos Recentes . . . 12

1.6 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Num´erico . . . 13

1.7 Os Resultados deste Trabalho . . . 14

2 Propriedades Anal´ıticas do Grupo de Renormaliza¸cão Linear 16 2.1 Solu¸cão Fundamental, Existência e Unicidade para a Equa¸cão do Calor . . . 17

2.2 Limites Assint´oticos e Grupos de Renormaliza¸c˜ao . . . 23

2.2.1 Comportamento Assint´otico de Solu¸c˜oes Reescalonadas . . . 23

2.2.2 Solu¸c˜oes Invariantes Para a Equa¸c˜ao do Calor . . . 24

2.2.3 O Grupo de Renormaliza¸c˜ao Linear . . . 25

2.2.4 Obten¸c˜ao do Comportamento assint´otico via RG . . . 30

3 O Grupo de Renormaliza¸cão Numérico 32 3.1 O NRG padrão . . . 33

3.1.1 Preliminares . . . 33

3.1.2 O Algoritmo . . . 36

3.2 Corre¸c˜oes Logar´ıtmicas em An . . . 37

3.3 C´alculo de βn dinˆamico . . . 41

4 Resultados Numéricos 46 4.1 Valida¸cão do NRG para a Equa¸cão do Calor . . . 48

4.1.1 NRG Padr˜ao para a Equa¸c˜ao do Calor Linear . . . 48

4.1.2 NRG com βn Dinˆamico para a Equa¸c˜ao do Calor Linear . . . 49

4.1.3 A Equa¸cão do Calor Não Linear com Perturba¸cão Marginal . . . 52

4.2 Valida¸c˜ao do NRG para a Equa¸c˜ao dos Meios Porosos . . . 55

(6)

6 Apˆendices 63

6.1 A transformada de Fourier . . . 63

6.2 Teoremas e Defini¸c˜oes Usados neste Trabalho . . . 66

6.3 Solu¸c˜oes Num´ericas para EDP’s . . . 68

6.3.1 Crit´erios de Estabilidade . . . 70

(7)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

Neste trabalho, estaremos interessados em estudar problemas de valor inicial (PVI) do tipo: ½

ut = (up)xx + λuaubxucxx, (x, t) ∈ R × (1, ∞)

u(x, 1) = f (x), (1.1)

onde o dado inicial f (x) ´e uma fun¸c˜ao suave (decaindo rapidamente para zero), λ ∈ R, p ≥ 1 e

a, b, c ≥ 0. Observe que a equa¸cão acima se reduz à equa¸cão do calor (ou de difusão) se p = 1

(ela será linear se λ = 0; será não-linear se λ 6= 0 e a, ou b, ou c 6= 1). Se p > 1 e λ = 0, obtemos a equa¸cão dos meios porosos (EMP); se λ 6= 0, obtemos a equa¸cão dos meios porosos não-linear (EMPN).

Denotaremos por u = u(x, t) a solu¸cão do PVI 1.1 e assumiremos a sua existência (para t ≥ 1). O nosso objetivo, nesta disserta¸cão, é estudar o comportamento assintótico da solu¸cão u(x, t) do PVI 1.1, para tempos longos. O nosso estudo é numérico e utiliza a técnica do Grupo de

Renormaliza¸cão. Ficará claro, neste trabalho, que o estudo do comportamento assintótico de

solu¸cões de EDP’s é um assunto atual de pesquisa e que o Grupo de Renormaliza¸cão é uma poderosa ferramenta nestes estudos. Para que o leitor possa compreender os resultados desta tese, nós explicaremos, nesta Introdu¸cão, mesmo que heuristicamente, a rela¸cão entre comporta-mento assintótico e problemas em escalas múltiplas (veja Se¸cão 1.1) e entre problemas em escalas múltiplas e equa¸cões diferenciais parciais (veja Se¸cão 1.3). Um breve histórico sobre as origens do Grupo de Renormaliza¸cão será feito na Se¸cão 1.2. A transforma¸cão do Grupo de

(8)

Renormal-e num´Renormal-ericos, quRenormal-e nos sRenormal-erão útRenormal-eis postRenormal-eriormRenormal-entRenormal-e. O Grupo dRenormal-e RRenormal-enormaliza¸cão num´Renormal-erico sRenormal-erá apresentado na Se¸cão 1.6. Finalmente, na Se¸cão 1.7 descrevemos qual é a contribui¸cão desta tese. Como referências para este cap´ıtulo, citamos [1, 2, 3, 4, 5].

1.1 Comportamento Assint´

otico e Escalas M´

ultiplas

Fixados p e f (x) no PVI 1.1, estamos interessados em determinar, analiticamente ou heuristi-camente (através de experimentos numéricos), quais são as condi¸cões nos expoentes a, b, c e no parâmetro λ tais que a solu¸cão u(x, t) do PVI se comporte como :

u(x, t) ∼ A

tαφ(B

x

tβ) quando t → ∞. (1.2)

Em outras palavras, gostar´ıamos de determinar expoentes α e β, chamados de expoentes cr´ıticos, uma fun¸cão φ(x), chamada de fun¸cão de perfil, e fatores A e B, chamados de pré-fatores, tais que

tα_u(tβ_{x, t) → Aφ(Bx)} _{quando t → ∞.} _(1.3)

Quando for este o caso, diremos que u(x, t) ´e assintoticamente invariante por mudan¸ca de escalas. De fato, conclu´ımos de (1.2) que, para tempos suficientemente longos,

u(x, t) ∼ Lαu(Lβx, Lt), (1.4)

seja qual for L > 0. Em particular, quando L > 1, o limite t → ∞ pode ser reinterpretado em termos de mudan¸ca de escalas: fazendo t = t0 e substituindo L por Ln em (1.4), o limite

para tempos longos se reduz a um problema de escalas m´ultiplas, desde que escolhamos t0 À 1

de forma que a região assintótica tenha sido atingida. Isto é, o limite (1.4) se reduz a iterar a mudan¸ca de escalas por n vezes, com n → ∞. ´E exatamente esta interpreta¸cão que nos permite conectar o limite assintótico com o Grupo de Renormaliza¸cão.

1.2 Origens do Grupo de Renormaliza¸c˜

ao

A técnica do Grupo de Renormaliza¸cão surgiu no fim dos anos 50 e foi desenvolvida por dois f´ısicos teóricos, Gellmann e Low [6], que estudavam problemas em Teoria Quântica de Campos. A idéia

(9)

central era que um certo sistema f´ısico era (quase) invariante por mudan¸ca de escalas. Explorando esta idéia e adotando um ponto de vista perturbativo, eles obtiveram bons resultados, mas pouco sucesso. Chamaremos este ponto de vista de Grupo de Renormaliza¸cão Perturbativo. Nos anos 70, Kenneth Wilson [7] adotou as idéias do Grupo de Renormaliza¸cão, agora de um ponto de vista de sistemas dinâmicos, para estudar teorias cr´ıticas da Mecânica Estat´ıstica do Equil´ıbrio, desta vez com muito mais êxito que Gellmann e Low. Wilson introduziu um operador, atuando sobre o espa¸co das energias, que implementava a mudan¸ca de escalas. Iterando este operador um número muito grande de vezes ele observou, sob certas condi¸cões, a convergência das iteradas (e, portanto, convergência para um ponto fixo do operador). A taxa de convergência das iteradas estava associada aos expoentes cr´ıticos da Mecânica Estat´ıstica. Um ponto fixo e os expoentes cr´ıticos associados determinavam o que Wilson chamou de classe de universalidade: energias distintas estariam na mesma classe de universalidade desde que, assintoticamente, tivessem o mesmo comportamento.

Já no final dos anos 80, utilizando idéias semelhantes às de Gellmann e Low, N. Goldenfeld, Y. Oono e colaboradores (veja [2] e referências lá citadas) desenvolveram o método do Grupo de Renormaliza¸cão para equa¸cões diferenciais. No in´ıcio dos anos 90, J. Bricmont, A. Kupiainen e G. Lin [8], seguindo racioc´ınio similar ao adotado por Wilson, implementaram uma versão do Grupo de Renormaliza¸cão a qual permitia fazer uma análise rigorosa do comportamento assintótico de PVI’s, e que chamaremos de Grupo de Renormaliza¸cão Rigoroso (RRG). Em 1995, Chen e Goldenfeld [9] implementaram a primeira versão do Grupo de Renormaliza¸cão Numérico (NRG). Desde então outras versões do NRG surgiram ( veja em [10, 11, 12, 13, 14, 15]). Apresentaremos, nesta tese, mais uma versão do NRG, a ser explicada na Se¸cão 3.3.

1.3 Mudan¸ca de Escalas e Equa¸c˜

oes Diferenciais

Seja u(x, t) uma solu¸cão de EMPN. Queremos, formalmente, determinar qual é o efeito de uma mudan¸ca de escalas sobre essa equa¸cão. Em particular, vamos argumentar que exigir invariância

(10)

De fato, motivados por (1.4), n´os definimos

v(x, t) ≡ Lαu(Lβx, Lt), (1.5)

e usamos a Regra da Cadeia para verificar que v(x, t) satisfaz a seguinte equa¸c˜ao :

vt = Lα(1−p)−2β+1(vp)xx+ λL(1−a−b−c)α−(b+2c)β+1vavxbvxxc . (1.6)

As equa¸cões (1.5) e (1.6) são o ponto de partida para a defini¸cão do Grupo de Renormaliza¸cão. Contudo, antes disto, vamos mostrar que é poss´ıvel determinar, através de uma análise dimen-sional, expoentes cr´ıticos para o PVI 1.1. Analisemos então o que ocorre para a EMP (isto é, fazendo λ = 0 em (1.1)). Dado p ≥ 1 e exigindo que α e β satisfa¸cam a rela¸cão α(1−p)−2β+1 = 0, obtemos de (1.6):

vt= (vp)xx,

e conclu´ımos que tanto u(x, t) quanto v(x, t) satisfazem à mesma equa¸cão (dizemos que a EMP é invariante por mudan¸ca de escalas). Reciprocamente, exigir que a EMP seja invariante pela mudan¸ca de escalas (1.5) implica que α e β são tais que α(1 − p) − 2β + 1 = 0.

Contudo, se estamos interessados na solu¸cão de um PVI então os expoentes cr´ıticos não podem ser tão arbitrários quanto a rela¸cão α(1 − p) − 2β + 1 = 0 parece indicar. De fato, integrando (sobre a reta real) os dois lados da EMP (e supondo existência e integrabilidade de u, ut, ux e

uxx e que ut e ux → 0 quando x → ±∞), obtemos a lei de conserva¸c˜ao:

Z R u(x, t)dx = Z R u(x, 0)dx = Z R f (x)dx.

A mudan¸ca de escalas (1.5), pressupondo a invariância da solu¸cão pela mudan¸ca de escalas (ou seja, v = u), juntamente com a conserva¸cão de massa, fornece α = β. Juntamente com a invariância da equa¸cão, conclu´ımos que

α = 1

(11)

1.4 O Grupo de Renormaliza¸c˜

ao Anal´ıtico

Agora estamos em condi¸cões, mesmo que formalmente, de introduzir o operador do Grupo de Renormaliza¸cão (RG) para a EMPN. Fazendo a escolha (1.7) de α e β, definimos um operador (na escala L) atuando sobre o espa¸co dos dados iniciais da seguinte maneira: dada a condi¸cão inicial f (x), a evolua no tempo, usando a EMPN, do tempo inicial ao tempo final L > 1; com a solu¸cão no tempo L, rescalone a variável x por Lβ _{e a solu¸cão u por L}α_:

(RLf )(x) ≡ Lαu(Lβx, L). (1.8)

Esta defini¸cão é motivada pela Equa¸cão 1.5, com α e β dados por (1.7). Observe que v(x, 1) =

(RLf )(x). Como v(x, t) satisfaz a Equa¸cão 1.6, ela será solu¸cão de um PVI cujo dado inicial

´e (RLf )(x). Iteramos ent˜ao este procedimento aplicando o operador RG tantas vezes quantas

forem necessárias até que se atinja a região assintótica. Heuristicamente, este procedimento é suficiente para determinar o limite assintótico. De fato, supondo que valha (1.4):

RL(RnLf )(x) = (Rn+1L f )(x) = L(n+1)αu(L(n+1)βx, Ln+1) ≈ Lnαu(Lnβx, Ln) = (RnLf )(x) (1.9)

Conclu´ımos que (Rn

Lf )(x) é “quase”um ponto fixo de RL. Chamemos essa fun¸cão de φ(x). Então,

de (1.9), conclu´ımos que ∀p = 1, 2, 3...: (Rp_Lφ)(x) = L(n+p)α_u(L(n+p)β_{x, L}n+p_{) ≈ φ(x),} ou equivalentemente: u(x, Ln+p_{) ≈} 1 L(n+p)αφ ³ _x L(n+p)β ´ . (1.10)

Observe que a equa¸cão anterior é equivalente à Equa¸cão 1.2, para tempos longos da forma

t = Ln+p_{, desde que interpretemos a fun¸c˜ao perfil como ponto fixo do Grupo de Renormaliza¸c˜ao.}

Se fizermos n itera¸cões do procedimento acima então a equa¸cão que descreverá a evolu¸cão tempo-ral será a Equa¸cão 1.6 com L substitu´ıdo por Ln_{. Na Se¸cão 2.2.3 do Cap´ıtulo 2 estabeleceremos}

matematicamente o operador RG para a equa¸c˜ao de difus˜ao (p = 1 e λ = 0) e algumas de suas propriedades. Em particular, vamos determinar os pontos fixos que nos interessam, e

(12)

rigorosa-(vide Teorema 2.8) e o Lema da Contra¸cão rigorosa-(vide Teorema 2.9). Como veremos no Cap´ıtulo 3, a motiva¸cão do RG numérico vem da descri¸cão acima.

Esperamos que o processo iterativo descrito acima convirja ao se atingir a região assintótica e, se assim o for, podemos, formalmente, classificar o termo não-linear que multiplica o fator de λ em (1.1). Reescrevendo a Equa¸cão 1.6 com L substitu´ıdo por Ln_{, obtemos:}

vt= (vp)xx+ λLn{(1−a−2b−3c)α+1}vavxbvcxx.

Dizemos que o termo não linear é relevante se (1 − a − 2b − 3c)α + 1 > 0; marginal se (1 − a − 2b − 3c)α + 1 = 0 e irrelevante se (1 − a − 2b − 3c)α + 1 < 0. Em particular, se b = c = 0 então va _{será marginal se}

a = p + 2.

1.5 Resultados Anal´ıticos Recentes

A análise formal da se¸cão anterior foi tornada rigorosa, no caso p = 1, após a publica¸cão de Bricmont, Kupiainen e Lin [8] onde se prova que o PVI 1.1, com p = 1 e com dado inicial “pequeno”, possui uma única solu¸cão global tal que

1. perturba¸c˜ao irrelevante: se a + 2b + 3c − 3 > 0 ent˜ao, quando t → ∞,

t1/2_u(t1/2_{x, t) → φ(x),} _(1.11)

onde φ(x) = _√1 4πe

−x2

4 (vide Teorema 1 de [8]) ;

2. perturba¸c˜ao marginal: se a = 3, b = 0 = c e λ < 0 ent˜ao, quando t → ∞,

(t log t)1/2_u(t1/2_{x, t) → φ(x),} _(1.12)

(vide Teorema 2 de [8]). Observe o surgimento da corre¸cão logar´ıtmica no decaimento da solu¸cão, o que não ocorre em (1.11).

Quando p > 1 e λ = 0, sabe-se que EMP tem solu¸cões auto-similares (vide [16]). Y. Qi e X. Liu [17] provaram recentemente, usando argumentos que não envolvem o Grupo de Renormaliza¸cão, que :

(13)

3. perturba¸c˜ao marginal: se a = p + 2, b = c = 0 e λ < 0 ent˜ao, quando t → ∞, (t log t)p+11 u(t 1 p+1(log(t)) 1−p 2(p+1)x, t) → G(x), (1.13)

(veja Teorema 6.13, onde tamb´em fornecemos a fun¸c˜ao G(x)).

Observe que neste caso, diferentemente de (1.11) e (1.12), surgem corre¸c˜oes logar´ıtmicas, tanto para o decaimento quanto para o espalhamento da solu¸c˜ao.

1.6 O Grupo de Renormaliza¸c˜

ao Num´

erico

Nem sempre é poss´ıvel determinar os expoentes cr´ıticos usando a análise dimensional da Se¸cão 1.3. E mesmo que o seja, esse argumento formal não é suficiente para determinar a fun¸cão perfil. O Grupo de Renormaliza¸cão Numérico (NRG) é um algoritmo que, explorando as idéias das Se¸cões 1.3 e 1.4, fornece numericamente toda a informa¸cão necessária para a descri¸cão assintótica da solu¸cão do PVI 1.1. Descreveremos esse algoritmo no Cap´ıtulo 3. Adiantamos, contudo, que todos os parâmetros que descrevem o comportamento assintótico (expoentes, pré-fatores e fun¸cão perfil) são computados numericamente. Verifica-se também, numericamente, a estabilidade e convergência do algoritmo. Na versão do NRG apresentada em [11, 12, 13, 15], o expoente α é determinado numericamente enquanto que o expoente β é obtido substituindo-se o valor de α, computado numericamente, na rela¸cão de escala apropriada. Em particular, no caso da equa¸cão de difusão, β é fixado como sendo o canônico sempre que as perturba¸cões forem marginais ou irrelevantes. Essa versão do NRG fornece todos os resultados advocados nos Teoremas 1 e 2 de [8]. A mesma versão também pode ser usada para estabelecer conjecturas, ponto de vista adotado em [13] para o estudo equa¸cões difusivas com coeficientes periódicos. Corre¸cões logar´ıtmicas ao decaimento, como as da Equa¸cão 1.12, podem ser incorporadas ao NRG e isto está feito em [14].

(14)

1.7 Os Resultados deste Trabalho

Dentre outras coisas, apresentaremos neste trabalho um nova versão no NRG (vide Se¸cão 3.3), capaz de detectar corre¸cões logar´ıtmicas tanto no decaimento quanto no espalhamento da solu¸cão do PVI. Ressaltamos que as versões atuais do NRG [14, 13] também são capazes de detectar corre¸cões logar´ıtmicas ao decaimento ou espalhamento da solu¸cão do PVI. Contudo, a versão que apresentamos neste trabalho difere das demais pois os expoentes cr´ıticos são computados numericamente (diferentemente do NRG atual, onde uma rela¸cão de escala é usada para computar o expoente β, dado o expoente α).

Os experimentos numéricos com esta nova versão são apresentados no Cap´ıtulo 4 e foram real-izados sob hipóteses de teoremas que garantem o comportamento assintótico das solu¸cões; na Se¸cão 4.1.2 validamos o método para a equa¸cão do calor linear verificando a teoria apresentada na Se¸cão 2.2.1; na Se¸cão 4.2 validaremos o método para a EMPN com perturba¸cões marginais, respeitando as hipóteses do Teorema 6.13, e verificando numericamente as corre¸cões logar´ıtmicas garantidas pelo mesmo.

Dividimos este trabalho da seguinte maneira: no Cap´ıtulo 2, estudamos a equa¸cão do calor lin-ear. Provamos a existência e unicidade do PVI associado a equa¸cão e damos uma argumenta¸cão sobre o comportamento assintótico da solu¸cão. Definiremos o operador RG para o caso linear e estudaremos algumas de suas propriedades, seus pontos fixos e, finalmente, reobteremos o comportamento assintótico da solu¸cão da equa¸cão do calor via Grupos de Renormaliza¸cão. No Cap´ıtulo 3 apresentamos o NRG padrão bem como duas varia¸cões do mesmo. Dentre estas, destacamos a apresentada na Se¸cão 3.3, que nos permitirá obter o comportamento assintótico (1.13) acima, sendo esta a contribui¸cão deste trabalho. No Cap´ıtulo 4, mostraremos resulta-dos numéricos que validam as versões do NRG apresentadas no Cap´ıtulo 3 sob as hipóteses de teoremas conhecidos. Afim de que este trabalho viesse a ser o mais auto-contido poss´ıvel, in-clu´ımos um apêndice contendo 3 tópicos: o primeiro, sobre a transformada de Fourier, onde mostramos algumas idéias básicas; o segundo tópico, que contém teoremas e defini¸cões usados neste trabalho; e por fim, o terceiro tópico, onde explicamos como resolver numericamente as EDP’s deste trabalho, possibilitando ao leitor, caso queira, implementar as diversas versões do

(15)

(16)

Cap´ıtulo 2

Propriedades Anal´ıticas do Grupo de

Renormaliza¸c˜

ao Linear

Neste cap´ıtulo, faremos uma an´alise rigorosa do operador RL, definido em (1.8), supondo que

λ = 0 e p = 1. Sob estas condi¸cões o PVI 1.1 é linear. A análise linear é o primeiro passo

para que possamos entender o RG não-linear. Mostraremos que, se tomarmos α = β = 1/2 (como sugerido pela análise dimensional, com p = 1, da Se¸cão 1.3) então todas as propriedades desejáveis do RG valem para o RG linear. Em particular, como ressaltado no Cap´ıtulo 1, vamos mostrar que, se α = β = 1/2 então a seqüência das iteradas do operador RL (veja comentário

após a Equa¸cão 1.8) converge para um ponto fixo de RL e que esse ponto fixo é a fun¸cão perfil

φ(.), veja Equa¸cão 1.2 e comentários após a Equa¸cão 1.4.

Usaremos a Transformada de Fourier para analisar o operador RL. Uma breve revis˜ao e alguns

fatos relevantes sobre a Transformada de Fourier podem ser encontrados no Apêndice 6.1. Na Se¸cão 2.1 nós exibiremos a solu¸cão fundamental da equa¸cão do calor e enunciaremos algumas de suas propriedades. A solu¸cão fundamental nos permite provar os teoremas de existência e unicidade (para todo t > 0)), como também nos fornece uma representa¸cão integral, para o PVI

½

ut = uxx, (x, t) ∈ R × (0, ∞)

u(x, 0) = f (x), f ∈ C(R) ∩ L∞_(R). (2.1)

A partir dessa representa¸cão integral (vide Equa¸cão 2.6), na Se¸cão 2.2.1 nós verificaremos que o limite (1.3) está bem definido (e é não-nulo), desde que tomemos α = β = 1/2 (confirmando o que já era esperado pela análise dimensional). Determinaremos também a fun¸cão perfil. Na

(17)

Se¸cão 2.2.3 nós usaremos a fórmula (2.6) para obter uma representa¸cão integral para o operador

RL (vide Equa¸cão 2.13). Usando esta representa¸cão nós determinaremos seus autovalores e

autovetores (em particular, determinaremos os pontos fixos que nos interessam). Ainda na Se¸cão 2.2.3 mostraremos a propriedade de semigrupo e o Lema da Contra¸cão. De posse destes dois últimos resultados, na Se¸cão 2.2.4 nós reobteremos os resultados da Se¸cão 2.2.1 pela aplica¸cão sucessiva do RG. As Se¸cões 2.1 e 2.2 deste cap´ıtulo estão estão baseadas em [18, 19] e [4, 20, 3], respectivamente.

2.1 Solu¸c˜

ao Fundamental, Existˆ

encia e Unicidade para a

Equa¸c˜

ao do Calor

Nesta se¸cão, apresentaremos um teorema que garanta a existência de uma solu¸cão u(x, t) ∈

C∞_{(R × (0, ∞)) para o PVI 2.1, desde que o dado inicial f (·) seja uma fun¸c˜ao cont´ınua e}

limitada. Apresentaremos também, como consequência do Princ´ıpio do Máximo (vide Teorema 6.13), a unicidade da solu¸cão.

Definimos ent˜ao a fun¸c˜ao φ : R × (0, ∞) → R como:

φ(x, t) = √1

4πte

−x2

4t. (2.2)

φ(x, t) é chamada de solu¸cão fundamental da equa¸cão do calor e a mesma possui as seguintes

propriedades: 1. φ(x, t) > 0 ∀x ∈ R, t > 0; 2. φ(x, t) ∈ C∞_{(R × (0, ∞));} 3. φt= φxx, t > 0, x ∈ R; 4. R_Rφ(x − y, t)dy = 1, t > 0, x ∈ R; 5. lim +φ(x, t) = 0, x 6= 0;

(18)

6. lim t→0+φ(0, t) = +∞; 7. lim x→+∞φ(x, t) = 0, t > 0; 8. lim t→+∞φ(x, t) = 0;

9. dados δ > 0 e a derivada parcial de ordem m + n, ∂m

t ∂xnφ(x, t), m, n = 0, 1, 2, 3..., existe

uma constante positiva Mm+n,δ tal que

|∂m

t ∂xnφ(x, t)| ≤ Mm+n,δe

−x2

8δ ∀(x, t) ∈ R × [δ, ∞).

Exceto pelas propriedades 4 e 9, que provaremos a seguir, todas as outras s˜ao facilmente dedut´ıveis da defini¸c˜ao de φ(x, t).

Propriedade 4: Pelo teorema de mudan¸ca de vari´aveis (vide [21]), com z = (y − x)/√4t,

obtemos: _Z R φ(x − y, t)dy = √1 4πt Z R e−(x−y)24t dy = √1 π Z R e−z2dz = 1,

onde a ´ultima integral acima ´e igual a 1 pois R_Re−x2

dx =√π.

Propriedade 9: Podemos verificar que a (m + n)-´esima derivada partial ∂m

t ∂xnφ(x, t) é da forma p ³ x √ t ´ e− ³ x 2√t ´2 , onde p ³ x √ t ´ é um polinômio em _√x

t, cujos coeficientes podem depender de

√ t.

Portanto, para determinar uma cota para ∂m

t ∂xnφ(x, t), basta determinar uma cota para fun¸c˜oes

da forma _µ x √ t ¶_r e− ³ x 2√t ´2 r = 1, 2, 3, ... Mas _¯ ¯ ¯ ¯ µ x √ t ¶_r e− ³ x 2√t ´2¯¯ ¯ ¯ = µ |x| √ t ¶_r e−12 ³ x 2√t ´2 e−12 ³ x 2√t ´2 ≤ Ar,δe− x2 8δ, onde Ar,δ = sup ²∈R (2²)r_e−²2 2 , e lembrando que t ≥ δ.

Estamos agora em condi¸cões de provar que o PVI 2.1 tem pelo menos uma solu¸cão. Iremos assumir que o dado inicial é uma fun¸cão cont´ınua e limitada em R embora esta não seja uma condi¸cão necessária1_.

(19)

Teorema 2.1 (Existência) Seja f (x) uma fun¸cão cont´ınua e limitada em R e seja u(x, t) definida em R × (0, ∞) por: u(x, t) = Z R φ(x − y, t)f (y)dy. (2.3) Então: 1. u ∈ C∞_{(R × (0, ∞));} 2. ut= uxx, t > 0; 3. lim (x,t)→(x0,0+) u(x, t) = f (x0).

Em particular, o PVI 2.1 possui pelo menos uma solu¸c˜ao u(x, t) (dada por 2.3).

Dem.: O Teorema é uma conseqüência das propriedades da fun¸cão φ(x, t) enunciadas no in´ıcio desta se¸cão. Observamos inicialmente que a integral em (2.3) faz sentido, definindo uma fun¸cão de x e t. De fato, pela hipótese em f e pela defini¸cão de φ, o produto φ(x − y, t)f (y) é uma fun¸cão cont´ınua em x, y e t, com t > 0. Além disto, como f é limitada então existe M > 0 tal que |φ(x − y, t)f (y)| ≤ Mφ(x − y, t), onde usamos a propriedade 1 de φ. Usando agora a propriedade 4 conclu´ımos que u(x, t), dada pela integral (2.3), está bem definida.

A prova dos itens 1 e 2 do Teorema segue diretamente das propriedades 2, 3 e 9 de φ. De fato, segue da propriedade 9 que |∂m

t ∂xnφ(x − y, t)| ´e limitada por um m´ultiplo de e−

(x−y)2

8δ , ∀x, y ∈ R

e t ≥ δ, e, portanto, as hipóteses do Teorema 6.11 são satisfeitas, pois e−(x−y)2_8δ _{é uniformemente}

integr´avel em x. Isto nos permite concluir que podemos derivar sob o sinal de integra¸c˜ao em (2.3) para concluir que u ∈ C∞_{(R × (0, ∞)) e que u}

t = uxx, t > 0. Para provar o item 3, usaremos

as propriedades 4, 5 e 6 como explicamos a seguir. Formalmente, a raz˜ao para obtermos o valor limite f (x0) ´e a seguinte: ao passarmos o limite do item 3 para dentro da integral (2.3) que

define u, a solu¸cão fundamental φ(x − y, t) se aproximará da fun¸cão Delta de Dirac δ(x0− y),

concentrando toda a integra¸cão no ponto x0. Como o integrando será δ(x0 − y)f (y) então o

(20)

Da continuidade de f segue que, dado ² > 0, ∃ δ > 0 tal que

|y − x0| < δ ⇒ |f (y) − f (x0)| < ².

Usando a propriedade 4, obtemos:

u(x, t) − f (x0) =

Z

R

φ(x − y, t)(f (y) − f (x0))dy,

o que nos leva `a seguinte desigualdade, ∀δ > 0:

Como |f (y) − f (x0)| ≤ ² no intervalo de integra¸c˜ao de I2 e como

Z _x₀_+δ x0−δ φ(x − y, t)dy < Z R φ(x − y, t)dy = 1,

obtemos que I2 ≤ ². Resta mostrar, ent˜ao, que lim (x,t)→(x0,0+)

I1 = 0 = lim (x,t)→(x0,0+)

I3. Mostraremos

o primeiro limite pois o segundo segue de forma similar.

Usaremos o Teorema da Convergˆencia Dominada de Lesbesgue (veja o Teorema 6.12) para provar que I1, como fun¸c˜ao de x e t, tende a zero quando x se aproxima de x0 e t se aproxima de 0.

Sejam {xn} e {tn} seqüências de números reais tais que xn → x0, xn ∈ (x0 − δ/2, x0 + δ/2) e

tn→ 0, com 0 < tn ≤ 1. Definimos: φn(y) = ½ φ(xn− y, tn)|f (y) − f (x0)| para y < x0− δ 0 para y ≥ x0− δ. Definimos ainda G(y) = √ 4M π(x0− δ₂ − y)2 .

Observe que G(y) ∈ L1_{(−∞, x}

0 − δ). Al´em disto, notemos que |φn(y)| ≤ G(y) para todo n e

para todo y ∈ (−∞, x0− δ), uma vez que

φn(y) = 1 √ 4πtn e−(xn−y)24tn |f (y) − f (x₀)| ≤ 2M √ 4tn √ π(xn− y)2 (xn− y)2 4tn e−(xn−y)24tn ≤ √ 4M π(x0 −δ₂ − y)2 ,

(21)

• tn ≤ 1;

• |xn− y| ≥ |x0−δ₂ − y|, pois y ∈ (−∞, x0− δ) e xn ∈ (x0− δ/2, x0+ δ/2);

• ²e−² _{≤ e}−1 _{< 1, com ² > 0.}

Do item 2, acima, da positividade de φ e da defini¸c˜ao de φn, segue que

0 ≤ φn(y) ≤ 2Mφ(xn− y, tn) ≤ 2Mφ(δ/2, tn).

Como, pela propriedade 5 de φ, temos que φ(δ/2, tn) → 0 quando n → ∞, concluimos tamb´em

que φn(y) → 0 quando n → ∞. Podemos, ent˜ao, aplicar o Teorema da convergˆencia

Domi-nada para concluir que R_Rφn(y)dy → 0 quando n → ∞. Como as seqüências {xn} e {tn} são

arbitr´arias, conclu´ımos que lim (x,t)→(x0,0+) I1 = lim (x,t)→(x0,0+) Z _x₀_−δ −∞ φ(x − y, t)|f (y) − f (x0)|dy = 0.

Observa¸c˜ao: Se, nas hipóteses to Teorema 2.1, assumirmos que o dado inicial f é integrável (ao invés de cont´ınuo e limitado), então os ´ıtens 1 e 2 do Teorema continuam válidos e o item 3 é válido nos pontos de continuidade de f . Como toda fun¸cão integrável é aproximada (no sentido L1_{(R)) por fun¸cões limitadas, então a prova fornecida acima se aplica, pois o seu único}

ingrediente importante ´e o Teorema da Convergˆencia Dominada.

Provaremos, a seguir, que o PVI 2.1 tem uma única solu¸cão u(x, t), x ∈ R e t > 0. Em particular, sob as hipóteses do Teorema 2.1 (dado inicial cont´ınuo e limitado) a (única) solu¸cão do PVI é dada pela integral (2.3). A unicidade de solu¸cões (Corolário 2.4) segue como corolário do Teorema 2.3 que, por sua vez, segue como corolário do Teorema 2.2 (cuja prova será omitida). Este último teorema é uma versão do Princ´ıpio do Máximo (vide Teorema 6.13) para dom´ınios não-limitados. A seguir, denotaremos por C2

1 ao conjunto das fun¸c˜oes de duas vari´aveis u(x, t) que sejam de

(22)

Teorema 2.2 Seja u ∈ C2

1(R × (0, T )) ∩ C(R × [0, T ]) solu¸c˜ao do PVI:

½

ut− uxx = 0 em R × (0, T )

u(x, 0) = g para x ∈ R

e suponha que existam constantes a, A > 0 tais que

u(x, t) ≤ Aeax2 para (x, t) ∈ R × (0, T ). (2.4) Ent˜ao, sup R×[0,T ] u = sup R g.

Sob as hipóteses deste último teorema, somos capazes de demonstrar a unicidade da solu¸cão.

Teorema 2.3 Sejam f ∈ C(R × [0, T ]) e g ∈ C(R) fun¸c˜oes dadas. Ent˜ao o PVI

½

ut− uxx = f em R × (0, T )

u(x, 0) = g para x ∈ R (2.5)

possui, no m´aximo, uma solu¸c˜ao u(x, t) tal que

• u(x, t) ∈ C2

1(R × (0, T ]) ∩ C(R × [0, T ]);

• |u(x, t)| ≤ Aeax2

, com (x, t) ∈ R × [0, T ] e constantes A, a > 0.

Dem.: O teorema é um corolário do Teorema 2.2. Suponha que u e v sejam solu¸cões do PVI 2.5 satisfazendo às condi¸cões de crescimento |u(x, t)| ≤ Aeax2

e |v(x, t)| ≤ Bebx2

, para constantes

A, B, a, b > 0. Definimos, ent˜ao, w ≡ u − v, e verificamos que w satisfaz:

½

wt− wxx = 0 em R × (0, T )

w(x, 0) = 0 para x ∈ R

e

|w(x, t)| ≤ 2 max{A, B}emax{a,b}x2

.

Lembrando que inf w(x, t) = sup(−w(x, t)), observando que −ω(x, t) satisfaz o PVI acima e tomando g = 0 no Teorema 2.2, obtemos:

0 = sup R×[0,T ] w(x, t) = sup R×[0,T ] (−w(x, t)) = inf R×[0,T ]w(x, t).

(23)

Corolário 2.4 (Unicidade) Sob as hipóteses do Teorema 2.1, o PVI 2.1 possui uma única

solu¸cão u(x, t) dentro da classe das solu¸cões que não crescem mais rapidamente que A exp(ax2_),

para A, a > 0.

Dem.: Vemos que o PVI 2.1 ´e um caso particular do PVI 2.5, com f = 0 e g ∈ C(R)TL∞_(R).

Portanto, pelo Teorema 2.3, o mesmo tem no máximo uma solu¸cão de crescimento exponencial. Já sabemos que o PVI 2.1 possui pelo menos uma solu¸cão u(x, t), dada pela integral (2.3). Então, para concluirmos a unicidade só nos falta mostrar que esta solu¸cão não cresce mais rapidamente que a exponencial de x2_{. Da representa¸cão integral de u(x, t) e da defini¸cão de φ(x, t) conclu´ımos}

que essa solu¸c˜ao satisfaz a

|u(x, t)| ≤ Aeax2

,

com A = sup_x∈R|f (x)| e a = 0, e isto termina a prova do corol´ario.

2.2 Limites Assint´

oticos e Grupos de Renormaliza¸c˜

ao

Nesta se¸cão vamos mostrar que, para o PVI 2.1, a defini¸cão (1.8) do operador RG faz sentido, com α = β = 1/2. Com esta escolha de expoentes cr´ıticos, vamos também mostrar que o limite (1.3) está bem definido, com A = ˆf (0) (A é a Transformada de Fourier2 _{do dado inicial calculada}

na origem), B = 1 e φ sendo a distribui¸cão gaussiana. Veremos que a representa¸cão integral (2.3) é essencial para estabelecer analiticamente as propriedades do RG obtidas nas se¸cões 2.2.1, 2.2.2 e 2.2.3.

2.2.1 Comportamento Assint´

otico de Solu¸c˜

oes Reescalonadas

Vamos inicialmente obter o limite (1.3) de forma anal´ıtica para, posteriormente, comparar o resultado com o que será obtido na Se¸cão 2.2.4, onde utilizaremos o RG para obter o mesmo comportamento assintótico. Pelo Corolário 2.4 da se¸cão anterior, se o dado inicial f for cont´ınuo

(24)

e limitado então a solu¸cão do PVI 2.1 é unicamente dada por u(x, t) = √1 4πt Z R e−(x−y)24t f (y)dy, (2.6)

para todo t > 0. Se reescalonarmos a vari´avel espacial e a solu¸c˜ao por t1/2_{, obtemos}

t1/2_u(t1/2_{x, t) =} _√1 4π Z R e−(t1/2x−y)24t f (y)dy = √1 4π Z R e−(x−y/ √ t)2 4 f (y)dy.

Utilizando agora do Teorema da Convergˆencia Dominada (vide Teorema 6.12 ), tomamos o limite com t → ∞: lim t→∞t 1/2_u(t1/2_{x, t) =} _√1 4πe −x2₄ Z R f (y)dy = √1 4πe −x2₄ _{f (0).}ˆ _(2.7)

Analisando o limite (2.7) nós conclu´ımos que os expoentes cr´ıticos α e β são iguais a 1/2, os prefatores são B = 1 e A = ˆf (0) e a fun¸cão perfil φ(x) é igual a _√1

4πe

−x2₄ _{, que ´e a distribui¸c˜ao}

gaussiana de média zero e desvio padrão √2. Observe que os valores dos expoentes cr´ıticos coincidem com aqueles determinados na Se¸cão 1.3 por análise dimensional.

2.2.2 Solu¸c˜

oes Invariantes Para a Equa¸c˜

ao do Calor

Nesta se¸cão vamos conectar a distribui¸cão gaussiana, obtida na se¸cão anterior, com a solu¸cão fundamental da equa¸cão do calor e com solu¸cões invariantes por mudan¸ca de escala. Como veremos posteriormente, esta conexão nos será útil quando analisarmos o ponto fixo do operador RG. Considere novamente o PVI 2.1 e seja u(x, t) a sua solu¸cão. Seja L um número real positivo (posteriormente escolheremos L > 1) e defina v(x, t) pelo seguinte reescalonamento de u:

v(x, t) =√Lu(√Lx, Lt),

onde estamos usando os valores de α e β determinados na Se¸cão 1.3, com p = 1. Se u(x, t) for solu¸cão invariante por mudan¸ca de escalas então

u(x, t) = L12u(L

1

2x, Lt). (2.8)

Se fizermos formalmente L = t−1 _{em (2.8) obteremos que}

u(x, t) = √1

tu(

x √

(25)

o que nos induz a supor que as solu¸c˜oes invariantes s˜ao da forma u(x, t) = √1 tφ µ x √ t ¶ . (2.9)

Determinemos, agora, condi¸cões em φ para que u da forma (2.9) seja solu¸cão da equa¸cão do calor (2.1). Substituindo (2.9) em (2.1) e definindo y ≡ xt−1/2_{, obtemos a seguinte EDO para φ}

φ00₊ 1

2yφ

0₊ 1

2φ = 0.

Observando que o lado esquerdo desta equa¸c˜ao ´e igual a µ

φ0+yφ

2 ¶₀

,

podemos, através de duas integra¸cões consecutivas, obter a sua solu¸cão geral. Em particular, essa equa¸cão admite solu¸cões da forma φ(y) = Ce−y2₄ _{. Se escolhermos C > 0 de forma que φ}

tenha norma L1 _{igual a 1, obtemos}

φ(y) = √1

4πe

−y2₄ _.

Observe que reobtemos, acima, a distribui¸cão gaussiana e que a mesma, quando substitu´ıda em (2.9), nos dá uma solu¸cão invariante por mudan¸ca de escalas

u(x, t) = √1

4πte

−x2 4t .

Essa solu¸cão coincide com a solu¸cão fundamental da equa¸cão do calor. Como veremos, este fato está ligado ao ponto fixo do operador RG.

2.2.3 O Grupo de Renormaliza¸c˜

ao Linear

Nesta se¸cão definiremos o operador RG para a Equa¸cão do Calor e veremos algumas de suas propriedades. Sem perda de generalidade, faremos uma transla¸cão do nosso problema no tempo e passaremos a trabalhar com dados iniciais em t = 1. Além disto, assumiremos que o dado inicial é cont´ınuo e de suporte compacto (para que a sua Transformada de Fourier fa¸ca sentido). Em outras palavras, trabalharemos com o PVI

½

(26)

cuja solu¸c˜ao ´e u(x, t) = p 1 4π(t − 1) Z R e−(x−y)24(t−1)f (y)dy. (2.11)

Motivados por (2.8) definimos o operador RG para a Equa¸c˜ao do Calor. Dado L > 1, fazemos o seguinte:

1. integramos a equa¸cão do calor, evoluindo o dado inicial f (x) = u(x, 1) do tempo t = 1 ao tempo t = L, obtendo assim u(x, L). Observe que u(x, L) está bem definido pois já sabemos, da se¸cão anterior, que a solu¸cão do PVI em questão existe para todo t > 0;

2. reescalonamos, ent˜ao, a vari´avel espacial por L12, obtendo, assim, u(L 1

2x, L);

3. por fim, reescalonamos a solu¸c˜ao u por L12 obtendo L12u(L12x, L). Essa fun¸c˜ao de x assim

definida ´e a imagem do dado inicial do PVI 2.10 pela transforma¸c˜ao definida pelas regras acima.

Denotamos o operador RG por RL. Os trˆes passos descritos acima podem ser resumidos pela

identidade RLf (x) = L 1 2u(L 1 2x, L). (2.12)

RL tem uma representa¸c˜ao integral que se origina de (2.11)

RLf (x) = √ L p 4π(L − 1) Z R e−( √ Lx−y)2 4(L−1) f (y)dy. (2.13)

Então o operador RG é representado por uma integral de convolu¸cão e, por causa disto, podemos usar a Transformada de Fourier para analisar a sua a¸cão sobre os dados iniciais, como o seguinte lema mostra. Lema 2.5 Se f ∈ Co(R) e se L > 1 então d RLf (ω) = e −ω2 L (L−1)f (ˆ √ω L). (2.14)

(27)

Dem.: Notemos inicialmente que: d RLf (ω) = L1/2u(L\1/2x, L)(ω) = Z R e−iωx_L1/2_u(L1/2_{x, L)dx =} Z R

e−iL1/2ω xu(y, L)dy = ˆu( ω

L1/2, L). Ent˜ao: d RLf (ω) = ˆu( ω L1/2, L). (2.15)

Basta então tomar a Transformada de Fourier da solu¸cão u(x, t) como fun¸cão de x, no tempo

t = L, para provar o lema. Como a solu¸cão u é dada pela integral de convolu¸cão (2.11), podemos

reescrevˆe-la como:

u(x, t) = [φ(·, t − 1) ∗ f (·)](x).

Aplicando o Teorema da Convolu¸c˜ao (vide Teorema 6.8) `a identidade acima, obtemos que ˆ

u(ω, t) = ˆφ(ω, t − 1) ˆf (ω). Substituindo esta informa¸c˜ao em (2.15) e usando que ˆφ(ω, t) = e−ω2_t

, conclu´ımos que d RLf (ω) = e −ω2 L (L−1)f (ˆ √ω L)

e o lema est´a provado.

Antes de continuar com a nossa an´alise, observamos que o operador RG atua linearmente sobre o espa¸co dos dados iniciais. De fato, da representa¸c˜ao integral (2.13) podemos facilmente verificar que

RL(af + bg) = aRLf + bRLg.

Al´em disto, usando a identidade (2.14), podemos determinar os seus autovalores e autovetores, como as duas proposi¸c˜oes a seguir nos mostram.

Proposi¸c˜ao 2.6 A distribui¸c˜ao Gaussiana φ(x) = _√1

4πe

−x2

4 ´e ponto fixo do operador R_L.

Dem.: Usando que ˆφ(ω) = e−ω2

e usando a identidade (2.14), obtemos d RLφ(ω) = e −ω2 L (L−1)e −ω2 L = e−ω2 = ˆφ(ω).

(28)

Tomando a transformada inversa na ´ultima igualdade n´os obtemos que RLφ = φ e o teorema

est´a provado.

De maneira an´aloga podemos provar que

Proposi¸cão 2.7 Para n = 1, 2, · · ·, seja φn(x) a fun¸cão cuja Transformada de Fourier é igual a

ωn_exp(−ω2_{). Ent˜ao φ}

n(x) ´e autovetor do operador RL com autovalor L−n/2.

Observa¸c˜ao: Lembramos que as fun¸c˜oes de Hermite formam uma base para L2_{(R) e que elas s˜ao}

geradas tomando-se derivadas de todas as ordens da distribui¸cão Gaussiana. Como multiplica¸cão no espa¸co ω é equivalente a deriva¸cão no espa¸co x, conclu´ımos que combina¸cões lineares dos

φn(x) geram as fun¸c˜oes de Hermite e, por conseguinte, formam uma base para o espa¸co dos

dados iniciais.

Teorema 2.8 (Propriedade de Semigrupo) Dados L1 > 1 e L2 > 1, temos que

RL1·L2 = RL1 ◦ RL2.

Dem.: Dado f ∈ C0(R), basta ver que:

RL1L2f = L

1/2

1 L1/22 u(L1/21 L21/2x, L1L2) = RL1(L

1/2

2 u(L1/22 x, L2)) = RL1 ◦ RL2f.

Observa¸c˜ao: Segue do Teorema 2.8 que Rn

L = RL ◦ RL ◦ ... ◦ RL = RLn. A propriedade de

semi-grupo será usada na próxima se¸cão para o estudo assintótico via RG.

Para dar prosseguimento ao nosso estudo temos que caracterizar mais claramente o que chamamos de “espa¸co dos dados iniciais”. Essa caracteriza¸cão é necessária pois RLf deverá estar no mesmo

espa¸co em que estiver f j´a que desejamos que RLf seja um dado inicial se f o for. Considere o

seguinte conjunto de fun¸c˜oes

(29)

onde ||.||B4 ´e definido como ||f ||B4 = sup ω∈R h (1 + ω4_{)(| ˆ}_{f (ω)| + | ˆ}_f0 (ω)|) i .

Pode-se mostrar que || · ||B4 ´e uma norma e que B4 munido desta norma ´e um espa¸co de Banach

(para detalhes veja [20]). O próximo teorema nos permitirá obter o comportamento assintótico de solu¸cões reescalonadas via aplica¸cões sucessivas do operador RG.

Teorema 2.9 (Lema da Contra¸c˜ao) Se f ∈ B4 e se ˆf (0) = 0 ent˜ao existe uma constante

C = C(L) > 0 tal que:

||RLf ||B4 ≤

C

L1/2||f ||B4, ∀L > 1 (2.16)

com C(L)_L1/2 → 0 quando L → ∞.

Dem.: Pelo Lema 2.5 temos que: d RLf (ω) = e− ω2 L(L−1)f (ˆ ω L1/2) e d RLf 0 (ω) = −2ω L (L − 1)e −ω2_L(L−1)_{f (}ˆ ω L1/2) + L −1/2_e−ω2_L(L−1)_fˆ0 ( ω L1/2). Logo | dRLf (ω)| + | dRLf 0 (ω)| ≤ (| ˆf (ω/L1/2)| + |2ω ˆf (ω/L1/2)| + |L−1/2fˆ0(ω/L1/2)|)e−ω2L(L−1). (2.17) De (1 + ω4_{) ≥ 1 e da defini¸c˜ao de ||.||} B4 conclu´ımos que ||f ||B4 ≥ sup ω∈R(| ˆf (ω)| + | ˆf 0 (ω)|). Observemos que sup

ω∈R

(| ˆf (ω)| + | ˆf0(ω)|) ≥ sup

ω∈R

| ˆf0(ω)| = sup

ω∈R

| ˆf0(ω/L1/2_{)|, e conclu´ımos ent˜ao que}

| ˆf0(ω/L1/2)| ≤ ||f ||B4. (2.18) Escrevendo ˆf (ω/L12) = ˆf (0) + R ω L1/2 0 fˆ 0

(t)dt, lembrando que ˆf (0) = 0 ficamos com as

desigual-dades: | ˆf (ω/L1)| ≤ | ˆf (0)|+ ¯ ¯ ¯ ¯ Z ω L1/2 _ˆ f0(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯≤ Z ¯¯_¯ ω L1/2 ¯ ¯ ¯ | ˆf0(t)|dt ≤ Z ¯¯_¯ ω L1/2 ¯ ¯ ¯ ||f || dt = ¯ ¯ ¯ ω ¯ ¯ ¯ _. _(2.19)

(30)

Substituindo 2.18 e 2.19 em 2.17 obtemos a desigualdade: (1 + ω4)(| dRLf (ω)| + | dRLf 0 (ω)|) ≤ L−12(1 + ω4)(|ω| + |2ω2| + 1)e−ω2L(L−1)||f ||_B 4 Aplicando sup ω∈R

nos dois lados da desigualdade acima obtemos

||RLf ||B4 ≤

C

L1/2||f ||B4,

onde C = C(L) = sup

ω∈R

(1+ω4_)(|ω|+|2ω2_|+1)e−ω2_L(L−1) _{< ∞. Note tamb´em que} C(L)

L1/2 → 0 quando

L → ∞.

Observa¸c˜ao: O fato de C(L)_L1/2 → 0 quando L → ∞ nos garante que existe L suficientemente

grande tal que C(L)_L1/2 < 1, o que implica que RL é uma contra¸cão no espa¸co das fun¸cões de média

zero. Caso quis´essemos demonstrar o teorema acima sem exigir que C(L)_L1/2 → 0 quando L → ∞, a

hipótese ˆf (0) = 0 não seria necessária, bastando para isso notar que | ˆf (ω/L1/2_{)| ≤ ||f ||}

B4. Desta

observa¸c˜ao segue a demonstra¸c˜ao do

Lema 2.10 Se f ∈ B4 ent˜ao RLf ∈ B4.

Observa¸c˜ao: Observamos que φn, n = 0, 1, 2, 3, ..., definido na Proposi¸cão 2.7, é também um

elemento de B4.

2.2.4 Obten¸c˜

ao do Comportamento assint´

otico via RG

Nesta se¸cão nós iremos reobeter o limite (2.7) usando a técnica do Grupo de Renormaliza¸cão. Lan¸caremos mão dos resultados e propriedades do operador RG obtidos nas se¸cões anteriores. O limite (2.7) será tomado via seqüências da forma tn= Ln, com L > 1 convenientemente escolhido.

O argumento pode ser estendido para seqüências arbitrárias, veja [8, 3]. Observe que o resultado do próximo teorema não só diz sobre a existência e valor do limite como também fornece a taxa de convergência para o valor limite.

(31)

Teorema 2.11 (Convergência) Se f ∈ B4 e L > 1 é tal que C/L1/2 < 1, onde C é a constante do Teorema 2.9, então: ||Ln/2_u(Ln/2_{·, L}n_{) − ˆ}_{f (0)φ(·)||} B4 ≤ (e −m₎n_||g|| B4, (2.20) onde m = − ln( C L1/2), g(·) = f (·) − ˆf (0)φ(·) e φ = √1_4πe− x2

4 . Em particular, segue que

Rn Lf B4 −→ n→∞ ˆ f (0)φ. (2.21)

Dem.: Observamos inicialmente que Ln/2_u(Ln/2_{·, L}n_{) = R}

Lnf (·). Pelo Teorema 2.8 (Propriedade

de Semigrupo), RLnf = R_Lnf . Definamos ent˜ao f₀ = f e, para todo n = 1, 2, · · ·, f_n = Rn_Lf₀.

Notemos primeiramente que fn+1 = RLfn e lembremos que RLφ = φ. Definimos gn= fn− ˆf (0)φ

e observamos que gn ∈ B4 pois sabemos que B4 ´e um espa¸co vetorial, sabemos pelo Lema

2.10 que fn ∈ B4 e sabemos do par´agrafo ap´os o Lema 2.10 que φ ∈ B4. Pela linearidade de

RL, RLgn = RLfn − RL( ˆf (0)φ) = fn+1 − ˆf (0)φ = gn+1. Al´em disso, ˆgn(0) = R Rgn(x)dx = R Rfn(x)dx − ˆf (0) R

Rφ(x)dx = ˆfn(0) − ˆf (0). Pelo Teorema 2.8 (Propriedade de Semigrupo), pela

defini¸c˜ao de fn e pela identidade (2.14) n´os conclu´ımos que ˆfn(0) = ˆf (0) e portanto ˆgn(0) = 0.

Podemos, ent˜ao, usar o Teorema 2.9 (Lema da Contra¸c˜ao) para concluir que

||gn+1||B4 = ||RLgn||B4 ≤ C L1/2||gn||B4 ≤ ( C L1/2) 2_||g n−1||B4· · · ≤ ( C L1/2) n+1_||g|| B4.

Se escolhermos L > 1 tal que C/L1/2 _{< 1 ent˜ao}

||fn− ˆf (0)φ||B4 = ||gn||B4 ≤ (

C

L1/2)

n_||g||

B4

e o teorema est´a provado.

Observa¸cão: Observemos que (2.20) é a versão rigorosa da Equa¸cão 1.10 do Cap´ıtulo 1.

(32)

irrele-Cap´ıtulo 3

O Grupo de Renormaliza¸c˜

ao Num´

erico

Neste cap´ıtulo, descreveremos o algoritmo para a implementa¸cão numérica do Grupo de Renor-maliza¸cão, como proposto em [10, 11, 12, 13, 14, 15], a que chamaremos de NRG padrão. Também apresentaremos duas modifica¸cões desse algoritmo, modifica¸cões essas que são efetivas na captura de corre¸cões logar´ıtmicas (vide itens 2 e 3 da Se¸cão 1.5), tanto no decaimento quanto no espal-hamento da solu¸cão de PVI’s com perturba¸cões marginais. Uma das modifica¸cões citadas acima foi implementada em [14] e ela incorpora informa¸cões do NRG padrão, as usando de maneira inteligente para concluir sobre corre¸cões logar´ıtmicas ao decaimento. A outra modifica¸cão repre-senta a contribui¸cão deste trabalho ao desenvolvimento do assunto e ela permite concluir sobre corre¸cões logar´ıtmicas, tanto no decaimento quanto no espalhamento da solu¸cão.

Nem sempre é poss´ıvel conhecer a priori os expoentes cr´ıticos. A análise dimensional da Se¸cão 1.3 pode não dar a resposta correta, ocorrendo o surgimento dos expoentes anômalos (como na equa¸cão de Barenblatt, por exemplo). Neste caso, não é poss´ıvel implementar o RG do ponto de vista anal´ıtico, pois o mesmo pressupõe o conhecimento dos expoentes α e β (vide Equa¸cão 1.10). O método que apresentaremos a seguir, embora numérico, evita tal problema calculando os expoentes cr´ıticos dinamicamente. O método foi desenvolvido de forma a caracterizar o regime assintótico, isto é, ele nos fornece a fun¸cão perfil, expoentes cr´ıticos e prefatores. Ressaltamos que estas informa¸cões são conhecidas analiticamente somente em alguns casos (para a equa¸cão do calor, veja o cap´ıtulo anterior). Isso faz do NRG uma ferramenta valiosa do ponto de vista de verificar a validade de teoremas sob hipóteses mais fracas ou de induzir a levantar conjecturas,

(33)

para que, a posteriori, de forma anal´ıtica, possamos demonstr´a-las.

Este cap´ıtulo está dividido da seguinte forma: na Se¸cão 3.1 definiremos o NRG padrão; na Se¸cão 3.2 definiremos uma modifica¸cão do NRG padrão utilizada para problemas cujo regime assintótico ocorre corre¸cão logar´ıtmica no prefator A (veja Equa¸cão 1.3 e item 2 da Se¸cão 1.5); por fim, na Se¸cão 3.3 desenvolveremos uma nova modifica¸cão no NRG padrão, capaz de capturar corre¸cões logar´ıtmicas tanto no prefator A quanto no prefator B (veja Equa¸cão 1.3 e item 3 da Se¸cão 1.5).

3.1 O NRG padr˜

ao

3.1.1 Preliminares

Consideremos o PVI 1.1, que reescrevemos abaixo substituindo λ por −λ ½

ut = (up)xx −λuaubxucxx

u(x, 1) = f (x). (3.1)

Vamos assumir que esse PVI possui uma única solu¸cão global u = u(x, t) (no Cap´ıtulo 2 nós provamos esta afirma¸cão no caso da equa¸cão do calor (p = 1 e λ = 0); para p = 1 e λ 6= 0, veja [8]; para o caso p > 1 e λ = 0, veja [16]; para p > 1, a = p + 2, b = c = 0 e λ 6= 0, veja [17]). Dadas as seqüências numéricas {αn} e {βn}, definimos as seqüências de fun¸cões (fn)n≥0 e

(un)n≥0, recursivamente, da seguinte maneira:

• u0 = u e f0 = f , onde u é a solu¸cão do PVI 3.1 e f é o dado inicial;

• para n ≥ 1 e L > 1, defina un pela seguinte mudan¸ca de escalas:

un(x, t) = Lαnun−1(Lβnx, Lt);

• para n ≥ 1, definimos tamb´em:

fn(x) = un(x, 1). (3.2)

Observe que, como u0 satisfaz ao PVI 3.1, un, n ≥ 1, satisfar´a ao seguinte PVI

½

(34)

Mais do que isto, como un(x, 1) = Lαnun−1(Lβnx, L), s´o nos interessa olhar para o PVI 3.3 com

t ∈ [1, L]. Como veremos posteriormente, este fato nos permitir´a resolver numericamente PVI´s

definidos sempre dentro da mesma faixa de tempo 1 ≤ t ≤ L.

Podemos reescrever fn e un, n ≥ 1, em termos de f0 e u0, como a seguir

un(x, t) = Lα1+...+αnu0(Lβ1+...+βnx, Lnt), fn(x) = Lα1+...+αnu0(Lβ1+...+βnx, Ln). (3.4) Reescrevendo (3.4) como: u0(x, Ln) = Lnαn−(α1+...+αn) Lnαn fn µ Lnβn−(β1+...+βn)x Lnβn ¶ ,

somos levados a definir prefatores An e Bn

An = Lnαn−(α1+...+αn) , Bn = Lnβn−(β1+...+βn), (3.5) de forma que u0(x, Ln) = An Lnαnfn µ Bnx Lnβn ¶ .

Observe a similaridade entre a identidade acima e a Equa¸c˜ao 1.2. Agora, se no limite n → ∞, ocorrer que αn → α, βn → β esperamos que An → A, Bn → B, e fn → φ (onde A e B s˜ao os

prefatores, α e β os expoentes cr´ıticos e φ o ponto fixo do operador RL), então é razoável esperar

que :

Anfn(Bnx) = Lnαnu(Lnβnx, Ln) ∼ Lnαu(Lnβx, Ln) → Aφ(Bx) quando n → ∞, (3.6)

onde ∼ significa o comportamento para n À 1. ´E exatamente esta última rela¸cão que nos permitirá estudar numericamente o regime assintótico de u.

Para cada n = 1, 2, 3, ... definimos αn e βn de forma que os reescalonamentos pelos fatores Lαn

e Lβn anulem o decaimento e espalhamento, respectivamente, da solu¸c˜ao u

n do PVI 3.3. Neste

trabalho estamos particularmente interessados em estudar como perturba¸cões marginais (veja Se¸cão 1.4) afetam o comportamento da solu¸cão do PVI 3.1, para tempos longos. A condi¸cão

(35)

de marginalidade é equivalente à condi¸cão de invariância da equa¸cão pela mudan¸ca de escalas e, quando imposta ao PVI 3.3, nos leva a

½

αn(1 − p) − 2βn+ 1 = 0

(1 − a − b − c)αn− (b + 2c)βn+ 1 = 0. (3.7)

Portanto, se αn e βn convergem, respectivamente, para α e β, ent˜ao estes coeficientes satisfar˜ao

o sistema algébrico (3.7). Em particular, se fizermos a = p + 2 e b = c = 0 então os expoentes cr´ıticos α e β deverão convergir para o valor 1/(p + 1), que coincide com os expoentes cr´ıticos apresentados na Se¸cão 1.3.

Chamamos a aten¸cão para o seguinte fato: no NRG padrão, após calcularmos numericamente

αn, usamos uma das duas rela¸c˜oes de escala (3.7) para obter βn. A rela¸c˜ao de escala a ser usada

depende do problema em quest˜ao (se queremos estudar perturba¸c˜oes irrelevantes ou marginais do termo (up₎

xx ou se queremos ver o termo (up)xx como perturba¸c˜ao irrelevante dos termos n˜ao

lineares). No nosso caso, dever´ıamos usar a primeira rela¸cão (mesmo porque, seria imposs´ıvel usar a segunda rela¸cão para determinar β, quando b = c = 0). Esta escolha para o cálculo de

βn corresponde a manter uma parte da equa¸c˜ao invariante pela mudan¸ca de escalas e esta ´e uma

das suposi¸cões a versão do NRG padrão usual).

No que se segue, e ainda no caso em que a = p + 2, b = c = 0, βn ser´a mantido est´atico no seu

valor anal´ıtico determinado pela an´alise dimensional, ou seja,

βn≡ 1

p + 1. (3.8)

Estritamente falando, esta escolha de βnnão corresponde à escolha feita pelo NRG padrão, sendo

contudo o seu valor limite (caso haja a convergˆencia do NRG). A escolha (3.8) leva a Bn ≡ 1

para todo n (vide Equa¸c˜ao 3.5).

Já o cálculo de αn é feito de forma a fixar fn(0) = f (0) ∀ n, ou seja, fn(0) = un(0, 1) =

Lαn_u

n−1(0, L) = f (0), de onde conclu´ımos que, nestas condi¸cões, o cálculo de αn é feito por

αn= logL µ f (0) un−1(0, L) ¶ . (3.9)

(36)

anteriormente nesta se¸c˜ao para se obter (3.6), ou seja:

fn(x) −→

n→∞kφ(x). (3.10)

Para determinar k, basta observar que f (0) = fn(0) −→

n→∞kφ(0), fornecendo que

k = f (0)

φ(0). (3.11)

Quanto à convergência da sequência {An}, conforme (3.6)

Anfn(Bnx) −→ n→∞Aφ(Bx). Como fn(x) −→ n→∞kφ(x), conclu´ımos que An −→ n→∞ 1 kA. (3.12)

Onde A e B s˜ao os prefatores, α e β os expoentes cr´ıticos e φ o ponto fixo do operador RL(valores

anal´ıticos). As rela¸cões (3.10), (3.11) e (3.12) serão úteis nas análises gráficas do próximo cap´ıtulo.

3.1.2 O Algoritmo

Motivados pela defini¸cão do operador RG para a equa¸cão do calor (Equa¸cão 2.12), e a partir da se¸cão anterior, podemos construir os passos iterativos do NRG. No passo 3 do algoritmo abaixo consideramos o problema em que b = c = 0. Para n = 1, 2, 3, ..., o algoritmo consiste, então, de:

1. evolua o dado inicial fn−1 do tempo t = 1 ao tempo t = L (vide Se¸c˜ao 6.3 para explica¸c˜oes

de como implementar esta evolu¸c˜ao numericamente), obtendo, assim, un−1(x, L);

2. calcule os expoentes αn e βn conforme equa¸c˜oes (3.9) e (3.8), respectivamente;

3. defina fn(x) = Lαnun−1(Lβnx, L);

4. calcule os prefatores An e Bn conforme Equa¸c˜ao 3.5;

(37)

6. caso não se atinja o critério de parada volte para o passo 1, levando em considera¸cão o novo PVI definido no passo 5 acima. Caso contrário, pare.

No passo 3, a mudan¸ca de escalas na variável espacial é feita modificando-se o tamanho da malha, ou seja, trabalha-se com um novo ∆x dado por ∆x = L−βn_{∆x. O critério de parada usado no}

passo 6 pode depender do problema em si. Por exemplo, pode-se usar como crit´erio de parada a condi¸c˜ao ||fn− fn−1||1 < ²||fn−1− fn−2||1, para algum ² < 1 escolhido (note que satisfazer tal

condi¸cão implica que fné uma sequência de Cauchy, logo convergente). O mesmo vale para αn e

βn. Usa-se também, no lugar da norma L1(R), a norma do sup. É usual também a combina¸cão

de mais de um crit´erio.

O algoritmo acima é o NRG padrão e de modifica¸cões no mesmo surgem outras versões. Ele foi criado, como podemos notar nas se¸cões anteriores, pensando no estudo da equa¸cão do calor. Porém, no estudo de problemas com regime assintótico onde aparecem, por exemplo, corre¸cões logar´ıtmicas nos prefatores, este algoritmo não é capaz de obter que o limite assintótico é um múltiplo (não nulo) do ponto fixo.

3.2 Corre¸c˜

oes Logar´ıtmicas em A

_n

Como veremos nesta se¸cão, não é preciso ir muito longe para sentirmos a necessidade de fazer-mos pequenas modifica¸cões no NRG padrão. Comecefazer-mos com a Equa¸cão do Calor não-linear, com uma pertuba¸cão marginal da forma u3_{. A t´ıtulo de observa¸cão, caso a perturba¸cão fosse}

irrelevante, o NRG padrão seria o ideal. Contudo, com a adi¸cão de perturba¸cões marginais, não podemos prever de antemão, mesmo que formalmente, qual será o seu efeito sobre o compor-tamento assintótico já que a sua contribui¸cão poderá ser tanto na dire¸cão irrelevante quanto relevante.

Considere, ent˜ao, o problema ½

(38)

Sabe-se (vide item 2 da Se¸cão 1.5) que a forma assintótica da solu¸cão do PVI acima é: u(x, t) ∼ A (t log(t))12φ( x √ t) , quando t → ∞, (3.14)

onde φ é a Gaussiana e A é igual a p2π√3, independentemente do dado inicial (neste sentido, A é universal). Notemos que o NRG padrão, caso aplicado a este problema, seria incapaz de retornar que seu ponto fixo é um múltiplo não nulo da Gaussiana uma vez que, como espera-se que a seqüência {An} convirja para o pré-fator de φ, isto é, An ∼ √_{log L}A n para n → ∞, então

An −→

n→∞0 6= A.

Este problema é contornado, no RG padrão, olhando para o comportamento do gráfico log(n) × log(An), uma vez que corre¸cões logar´ıtmicas podem ser detectadas observando-se que, para n

suficientemente grande, se An ∼ _(log(LAn₎₎α (de forma similar faz-se para Bn), segue ent˜ao que

log(An) ∼ log µ A (log(L))α ¶ − α log(n).

Tal rela¸c˜ao implica que o curva do gr´afico de log(n) × log(An), para n suficientemente grande,

comporta-se como uma reta de inclina¸c˜ao −α e passa pelo ponto (0, log(A/(log L)α_{)). Afirmamos}

que corre¸cões logar´ıtmicas são de dif´ıcil deteçcão, uma vez que evoluir na escala logar´ıtmica, a partir de certos valores, se torna impraticável usando métodos tradicionais (por exemplo, usar apenas o método de diferen¸cas finitas). Contudo, o NRG demonstra tal capacidade, mostrando ser um poderosa ferramenta.

A forma assintótica (3.14) será explorada na modifica¸cão do NRG padrão que faremos a seguir e que foi primeiro apresentada em [14]. Observe que, com a escolha de t = Ln_{, obtemos log t =}

n log L e é desta rela¸cão entre n e log t de onde surge a idéia de como eliminar a corre¸cão

logar´ıtmica do c´alculo do prefator An. De (3.14) segue que

u(0, Ln₎ u(0, Ln+1₎ ∼ µ n + 1 n L ¶_1/2 , quando n → ∞, (3.15)

e esta é a base para as modifica¸cões que faremos. Assim, apresentamos uma modifica¸cão do NRG padrão, determinado por:

(39)

Dada uma sequência numérica {θn},definimos uma sequência de fun¸cões un como: u0(x, t) = u(x, t), u1(x, t) = Lθ1u(L 1 2x, Lt), un(x, t) = µ n n − 1 ¶_θ_n L12u_n−1(L 1 2x, Lt), para n ≥ 2.

Definimos tamb´em f0(x) = f (x) e, para n ≥ 1 :

fn(x) = un(x, 1).

Note da defini¸c˜ao acima, que un e fn, para n ≥ 2, podem ser dadas recursivamente por

un(x, t) = Lθ1+ n−1 2 n Y k=2 µ k k − 1 ¶_θ_k u0(L n 2x, Lnt), e fn(x) = Lθ1+ n−1 2 n Y k=2 µ k k − 1 ¶_θ_k u0(L n 2x, Ln).

A sequência {θn} é definida como no NRG padrão, fixando fn(0) = f (0) para todo n ≥ 1

e calculando θn de forma que:

Lθ1 ₌ f (0) u(0, L) µ n n − 1 ¶_θ_n L12 = fn(0) un−1(0, L) = fn−1(0) un−1(0, L) = u(0, Ln−1) u(0, Ln₎ , para n ≥ 2.

Esperamos, ent˜ao, que θn → 1₂ quando n → ∞, uma vez que segue da Equa¸c˜ao 3.15 que u(0,Ln−1₎ u(0,Ln₎ ∼ ¡ _n n−1L ¢1 2 _{quando n → ∞.}

2. Reescalonamento dos PVI’s

Da regra da cadeia segue que un satisfaz (un)t = (un)xx− λnu3n, onde:

λ1 = L2( 1 2−θ1)λ, λn = L2( 1 2−θ1)λ n Y k=2 µ k k − 1 ¶_−2θ_k = µ n n − 1 ¶_−2θ_n λn−1, para n ≥ 2. 3. C´alculo do prefator