Operadores integrais gerados por núcleos em multi-escalas

(1)

Operadores integrais gerados por

n´

ucleos em multiescalas

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(3)

SERVI ¸CO DE P ´OS-GRADUA ¸C ˜AO DO ICMC-USP

Data de Dep´osito: 20 de fevereiro de 2009

Assinatura:

Operadores integrais gerados por n´

ucleos em multiescalas

Tha´ıs Jord˜ao

Orientador: Prof. Dr. Valdir Antonio Menegatto

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computa¸cão - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

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(5)

Agradecimentos

Agrade¸co a todas as pessoas que contribu´ıram, de alguma forma, para minha

for-ma¸cão profissional e pessoal, até este momento. Dentre elas, meus familiares e amizades que fiz durante o mestrado. Principalmente, meus pais, Luiz Roberto Jordão e Maria Cristina Franco Jordão, meu companheiro e amigo, Fernando Consolaro, meu

orienta-dor, Valdir Antonio Menegatto e seu orientando Jos´e Claudinei Ferreira, pelas dicas pertinentes. Obrigada!

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Resumo

Neste trabalho, inicialmente, apresentamos uma classe de n´ u-cleos positivos definidos, os núcleos de Mercer. As fun¸cões nesta classe se enquadram na representa¸cão de núcleos dada pelo co-nhecido Teorema de Mercer. Exploramos algumas de suas pro-priedades convenientes para o contexto do trabalho e constru´ımos seu espa¸co nativo.

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Abstract

We study Mercer like kernels, a very special class of positive definite kernels possessing the description given by many results labeled as Mercer’s Theorem. We explore some of their properties which are needed in the development of this work and construct their native space.

(10)

(11)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao xiii

1 Preliminares 1

1.1 N´ucleos de reprodu¸c˜ao . . . 1

2 N´ucleos de Mercer 7 2.1 N´ucleos de Mercer . . . 7

2.2 O espa¸co nativo de um n´ucleo de Mercer . . . 9

3 N´ucleos em Multiescalas 15 3.1 Preliminares . . . 15

3.2 N´ucleos em multiescalas . . . 17

3.3 N´ucleos em finitas multiescalas . . . 19

3.4 Interpola¸c˜ao no espa¸co nativo . . . 22

4 O operador integral gerado por um n´ucleo em multiescalas 27 4.1 Resultado b´asico sobre operadores integrais . . . 28

4.2 O operador integral gerado porφl . . . 29

4.3 Uma base para o espa¸co nativo Nφl . . . 36

4.4 Outras propriedades do operador integral Tl . . . 39

Referˆencias Bibliogr´aficas 41

´_{Indice Remissivo} ₄₃

(12)

(13)

Introdu¸

c˜

ao

Núcleos positivos definidos têm sua origem na teoria das equa¸cões integrais. Lá, em sua forma mais importante, os operadores integrais positivos são gerados por núcleos deste tipo, quase sempre cont´ınuos. A referência [2] descreve a teoria básica dos núcleos positivos definidos e suas propriedades mais importantes enquanto que [1], apesar de focar nos núcleos de reprodu¸cão, faz uma boa introdu¸cão histórica sobre os núcleos positivos definidos.

A teoria dos núcleos positivos definidos caminha lado a lado com aquela dos núcleos de reprodu¸cão e seus espa¸cos nativos. Algumas liga¸cões diretas entre os conceitos podem ser observadas em [14].

De forma geral, nosso trabalho trata dos espa¸cos nativos associados a núcleos posi-tivos definidos. Inicialmente, exploramos a rela¸cão do espa¸co nativo com a imagem do operador integral gerado pelo núcleo, no caso em que este se enquadra na descri¸cão dada pelas várias versões do Teorema de Mercer ([4, 13, 15]). No entanto, o tema cen-tral do trabalho refere-se aos operadores integrais gerados por núcleos que, além de positivos definidos, ainda podem ser constru´ıdos a partir de uma única fun¸cão dada, empregando-se multiescalas para alcan¸car a descri¸cão dada pelo Teorema de Mercer.

No primeiro cap´ıtulo, fazemos uma breve descri¸cão dos núcleos positivos definidos, exemplificando. Em seguida, introduzimos o espa¸co nativo associado a um núcleo po-sitivo definido, extraindo propriedades básicas de relevância para o desenvolvimento das demais se¸cões do trabalho.

No cap´ıtulo seguinte, tratamos dos n´ucleos de Mercer e analisamos cuidadosamente o espa¸co nativo associado.

No Cap´ıtulo 3, introduzimos os núcleos em multiescalas como originalmente definidos em [10]. Tais núcleos têm a representa¸cão descrita por Mercer, porém as fun¸cões en-volvidas são definidas a partir de uma única fun¸cão pré-fixada, via transla¸cões e

(14)

xiv Introdu¸c˜ao

lata¸cões de seu suporte. Após apresentar as peculiaridades dos núcleos em multiescalas, descrevemos o espa¸co nativo associado.

No último cap´ıtulo do trabalho exploramos, inicialmente, propriedades adicionais dos núcleos em multiescalas. Estas por sua vez, são utilizadas na dedu¸cão de várias pro-priedades do operador integral correspondente, principalmente aquelas envolvendo os seguintes aspectos: limita¸cão, compacidade, autovalores e autofun¸cões e positividade. Investigamos ainda algumas propriedades independentes que envolvem o espa¸co nativo do núcleo em multiescalas, principalmente as que têm alguma relevância na análise es-pectral fina de operadores integrais. A referência [4] trata deste mesmo assunto quando se tem um núcleo cujo dom´ınio é compacto, enquanto que [5, 15] trabalham num con-texto mais geral.

(15)

Cap´ıtulo

1

Preliminares

Neste cap´ıtulo abordamos algumas propriedades dos núcleos positivos definidos. Em particular, exploramos o conceito de núcleo de reprodu¸cão e algumas de suas pro-priedades que são necessárias para o desenvolvimento do trabalho. As referências bási-cas para os resultados deste cap´ıtulo são [1] e [2].

1.1 N´

ucleos de reprodu¸

c˜

ao

Em geral, a palavra núcleo refere-se a uma fun¸cão ψ : Ω×Ω →C_{, onde Ω é um}

subconjunto n˜ao vazio. Neste trabalho, estaremos interessados em n´ucleos sobre Rn_,

ou seja, no caso em que Ω ´e um subconjunto de Rn_.

Dizemos que um n´ucleo ψ ´e positivo definido quando para todo n ∈ N_{, todo}

subconjunto {x1, x2, . . . , xn} de Ω e todo subconjunto {c1, c2, . . . , cn} de C, vale a

de-sigualdade

n X i,j=1

cicjψ(xi, xj)≥0.

Um núcleo positivo definidoψ éestritamente positivo definido quando a desigual-dade acima for estrita, sempre que os pontosx1, x2, . . . , xn são distintos e pelo menos

um dos escalaresc1, c2, . . . , cn é não nulo. Núcleos positivos definidos são

automatica-mente hermitianos[2, p. 68], ou seja,

ψ(x, y) = ψ(y, x), x, y ∈Ω.

(16)

2 Cap´ıtulo 1 — Preliminares

A seguir, apresentamos exemplos de núcleos que se encaixam nas categorias des-critas acima. Em todos eles, Ω é um subconjunto não vazio de Rn_.

Exemplo 1.1.1. Sejaf : Ω→C_{uma fun¸c˜ao. Considere}_ϕ _{: Ω}_×_Ω_→C_{o n´}_{ucleo dado}

por

ϕ(x, y) =f(x)f(y), x, y ∈Ω.

Sen∈N_,_{_x₁_{, x}₂_{, . . . , x}_n_}_{´e um subconjunto de Ω e}_c₁_{, c}₂_{, . . . , c}_n_{s˜ao n´}_{umeros complexos}

ent˜ao

n X i,j=1

cicjϕ(xi, xj) = n X i,j=1

cicjf(xi)f(xj) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X i=1

cif(xi) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ≥0.

Em particular, ϕ ´e positivo definido.

Exemplo 1.1.2. Seja ψ : Ω×Ω→C _{dado por}

ψ(x, y) =

½

1, x=y 0, x6=y

Se n ∈ N_, _{_{x1, x2}_{, . . . , x}_n_} _{´e um subconjunto de Ω e} _{c1, c2, . . . , c}_n _{s˜ao n´}_umeros

com-plexos, ent˜ao

n X i,j=1

cicjψ(xi, xj) = n X

i=1

cici = n X

i=1

|ci|2.

Logo, ψ é positivo definido. Se além disso, pelo menos um dos cj’s é não nulo, então a

soma acima é positiva. Desta forma, o núcleo é estritamente positivo definido.

A teoria dos n´ucleos positivos definidos e afins caminha lado a lado com a teoria dos espa¸cos de Hilbert. Estabelecemos esta conex˜ao a seguir.

Sejam Ω um subconjunto de Rn _{e (}_H_,_h·_,_·i_{) um espa¸co de Hilbert formado por}

fun¸cões complexas com dom´ınio Ω. Um núcleo ψ : Ω×Ω→ C_{é chamado} _n´_{ucleo de}

reprodu¸cão deH quando as condi¸cões abaixo estão satisfeitas: (i) ψ(x,·)∈ H,x∈Ω;

(ii) hf, ψ(x,·)i=f(x),f ∈ H, x∈Ω.

Seψé o núcleo de reprodu¸cão de um espa¸co de HilbertH, diremos queHé umespa¸co nativo do núcleo ψ.

A existência e unicidade dos espa¸cos nativos são discutidas no teorema a seguir. A existência é garantida através de um processo de completamento de um espa¸co vetorial constru´ıdo a partir do próprio núcleo. Logo, o processo é construtivo, e a unicidade deste espa¸co segue da unicidade do completamento.

Teorema 1.1.3. Se ψ : Ω×Ω → C _{´e um n´}_{ucleo positivo definido, ent˜ao valem as}

(17)

1.1 N´ucleos de reprodu¸c˜ao 3

(i) Existe um ´unico espa¸co nativo H de ψ;

(ii) Se a fun¸cão x ∈ Ω → ψ(x,·) ∈ H é cont´ınua, então H somente contém fun¸cões cont´ınuas.

Demonstra¸c˜ao: Sejaψ : Ω×Ω→C _{positivo definido e considere o espa¸co vetorial}

Hψ = span{ψ(x,·) : x∈Ω}.

Sef =Pn_i₌₁αiψ(xi,·) e g =Pm_j₌₁βjψ(yj,·), definimos

hf, giψ := n X i=1 m X j=1

αiβjψ(xi, yj).

A aplica¸cão h·,·iψ : Hψ × Hψ → C acima está bem definida e é bilinear. Além disso,

comoψ ´e hermitiano,

hg, fiψ = m X j=1 n X i=1

βjαiψ(yj, xi) = m X j=1 n X i=1

βjαiψ(xi, yj) = hf, giψ.

Ainda,

hf, fiψ = n X i=1 n X j=1

αiαjψ(xi, xj)≥0.

Logo, a f´ormula

kfk2_ψ =hf, fiψ, f ∈ Hψ

define uma seminorma em Hψ. Se hf, fiψ = 0 ent˜ao, pela desigualdade de

Cauchy-Schwarz, temos

|f(x)|=

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X i=1

αiψ(xi, x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

=|hf, ψ(x,·)iψ| ≤ kfkψkψ(x,·)kψ = 0, x∈Ω.

Logo,f = 0 e a aplica¸cãoh·,·iψ define então um produto interno em Hψ. É claro que o núcleo ψ satisfaz as propriedades de núcleo de reprodu¸cão em Hψ. Como o espa¸co Hψ

não é necessariamente de Hilbert, temos que considerar o seu completamento H com rela¸cão à norma induzida pelo produto interno. Quanto à unicidade, vamos assumir queψ seja o núcleo de reprodu¸cão de outro espa¸co de Hilbert (H1,h·,·i). Pela primeira propriedade da defini¸cão de núcleo de reprodu¸cão, obtemosHψ ⊂ H1 ehf, gi=hf, giψ, f, g∈ Hψ. Logo,H ⊂ H1. Se H 6=H1, sendo H completo, podemos achar uma fun¸cão g não nula no complemento ortogonal deH. Pela propriedade de reprodu¸cão do núcleo concluimos que

(18)

4 Cap´ıtulo 1 — Preliminares

uma contradi¸cão. Portanto, H1 = H. A última afirmacão do teorema segue da pro-priedade de reprodu¸cão e da desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Resultados mais finos, mas ainda relacionados ao teorema anterior, podem ser en-contrados em [14].

Para o pr´oximo resultado deste cap´ıtulo faremos uso do conceito descrito a seguir. SejaW um subconjunto n˜ao vazio de um espa¸co vetorial normado (V,k·k). Um elemento w de W tem norma minimal quandokwk<kvk, v ∈W \ {w}.

O lema abaixo registra uma importante propriedade das matrizespositivas definidas, matrizes cujas formas quadráticas associadas são sempre positivas quando não-nulas. Uma prova do lema pode ser encontrada em [7, p. 398].

Lema 1.1.4. Sejam ψ : Ω×Ω → C _{um n´}_{ucleo e} _{_x₁_{, x}₂_{, . . . , x}_n_} _{um subconjunto de}

Ω. Se a matriz (ψ(xi, xj))1≤i,j≤né positiva definida, então seu determinante é positivo.

Voltando ao contexto dos espa¸cos nativos, temos o seguinte resultado.

Teorema 1.1.5. Seja(H,h·,·i)um espa¸co de Hilbert de fun¸c˜oes complexas com dom´ınio

Ω. Considere um subconjunto {x1, x2, . . . , xn} de Ω e um subconjunto {y1, y2, . . . , yn}

de C_{. Se}_ψ _{é um n´}_{ucleo de reprodu¸cão de}_H _{que é estritamente positivo definido, então}

o conjunto

S ={f ∈ H:f(xi) =yi, i= 1,2, . . . , n}

cont´em um ´unico elemento de norma minimal.

Demonstra¸cão: Assuma que ψ é um núcleo de reprodu¸cão de H bem como estrita-mente positivo definido. Seja F = span{ψ(xi,·) : i = 1,2, . . . , n}. Como a matriz dos

coeficientes do sistema linear

n X

i=1

αiψ(xi, xj) =yj, 1≤j ≤n,

tem determinate positivo, ent˜aoF∩Spossui um ´unico elemento, o qual pode ser escrito na forma

s=

n X

i=1

βiψ(xi,·).

Mostremos agora que este elemento deS tem norma minimal. Seja F⊥ o complemento ortogonal deF emH. Como o subespa¸coF ´e fechado pois tem dimens˜ao finita, podemos escrever

f =pF(f) +pF⊥(f), f ∈ H,

onde pF e pF⊥ s˜ao as proje¸c˜oes def sobre os espa¸cos F e F⊥, respectivamente. Sendo

ψ um n´ucleo de reprodu¸c˜ao de H, temos

(19)

1.1 N´ucleos de reprodu¸c˜ao 5

Logo, sef ∈S, ent˜ao a igualdade acima toma a forma

yi =f(xi) =pF(f)(xi), i= 1,2, . . . , n,

implicando que pF(f) ∈ S. Desta forma, se f ∈ S, podemos concluir que pF(f) = s.

Portanto, sef ∈S\ {s} , ent˜ao p_F⊥(f)6= 0 e

kfk2 ₌_k_p

F(f)k2+kpF⊥(f)k2 >kp_F(f)k2 =ksk2.

(20)

(21)

Cap´ıtulo

2

N´

ucleos de Mercer

2.1 N´

ucleos de Mercer

Nesta se¸cão analisaremos núcleos que se encaixam na descri¸cão fornecida pelo Teo-rema de Mercer em suas formas mais conhecidas. A formaliza¸cão mais elementar deste resultado pode ser ratificada em [13], enquanto que uma versão bem mais geral, já direcionada para a análise espectral de operadores integrais, pode ser encontrada em [5].

Estabeleceremos algumas propriedades importantes dentro de um contexto que se situa entre os dois descritos no parágrafo anterior. Para tanto, a partir de agora, I representará um conjunto enumerável de ´ındices e Ω um subconjunto não vazio deRn_.

Fixadas uma sequência{λk}k∈I de números reais positivos e uma sequência{ϕk}k∈I

de fun¸c˜oes complexas com dom´ınio Ω, diremos que ambas satisfazem a condi¸c˜ao de somabilidadequando

X k∈I

λk|ϕk(x)|2 <∞, x∈Ω.

Esta condi¸cão será essencial para a obten¸cão de vários resultados neste trabalho. Uma justificativa para a conveniência desta condi¸cão é apresentada abaixo.

Lema 2.1.1. Se {λk}k∈I e {ϕk}k∈I satisfazem a condi¸c˜ao de somabilidade ent˜ao a

fun¸c˜aoψ : Ω×Ω→C _{dada por}

ψ(x, y) =X

k∈I

λkϕk(x)ϕk(y), x, y ∈Ω, (2.1)

est´a bem definida.

(22)

8 Cap´ıtulo 2 — N´ucleos de Mercer

Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar que P

k∈Iλkϕk(x)ϕk(y) < ∞, x, y ∈ Ω. Para tanto

usaremos a estrutura do espa¸co ℓ2(I) usual ([16]). A condi¸cão de somabilidade implica que as sequências{λ1_k/2ϕk(x)}k∈I e{λ1_k/2ϕk(y)}k∈I são elementos deℓ2(I). Aplicando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz no contexto de ℓ2(I), obtemos

X k∈I

λkϕk(x)ϕk(y)≤ Ã

X k∈I

λk|ϕk(x)|2

!1/2Ã X

k∈I

λk|ϕk(y)|2 !1/2

.

Agora, a condi¸cão de somabilidade nos leva à conclusão almejada.

Qualquer núcleo que se encaixe na descri¸cão do lema anterior é dito ser umnúcleo de Mercer definido por {λk}k∈I e {ϕk}k∈I. Quando o contexto permitir, diremos

simplesmente núcleo de Mercer, sem fazer men¸cão às sequências envolvidas na defini¸cão do núcleo.

A fim de registrarmos algumas propriedades dos núcleos de Mercer, relembramos o conceito de separabilidade para uma fam´ılia de fun¸cões. O conceito é comum no contexto de resultados relativos ao Teorema da Aproxima¸cão de Weierstrass.

Seja F uma fam´ılia de fun¸c˜oes complexas com dom´ınio contendo o conjunto Ω. Dizemos que F separa pontos de Ω se dado um subconjunto finito {x1, x2, . . . , xn}

de Ω, existem fun¸c˜oes f1, f2, . . . , fn em F satisfazendo fi(xj) =δij,i, j = 1,2, . . . , n.

Desta forma, temos o seguinte resultado.

Teorema 2.1.2. Seja ψ um núcleo de Mercer definido pelas sequências {λk}k∈I e {ϕk}k∈I. Valem as afirma¸cões:

(i) ψ ´e positivo definido;

(ii) Se o espa¸co span{ϕk : k ∈ I} separa pontos, ent˜ao ψ ´e estritamente positivo

definido.

Demonstra¸cão: Sen é um inteiro positivo, {x1, x2, . . . , xn} é um subconjnto de Ω e {c1, c2, . . . , cn}é um subconjunto de C_{, então}

n X i=1 n X j=1

cicjψ(xi, xj) = n X i=1 n X j=1 cicj

X k∈I

λkϕk(xi)ϕk(xj)

= X k∈I λk Ã _n X i=1

ciϕk(xi) ! Ã _n

X j=1

cjϕk(xj) !

Como λk >0,k ∈I, temos n X i=1 n X j=1

cicjψ(xi, xj) = X k∈I λk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X i=1

(23)

2.2 O espa¸co nativo de um n´ucleo de Mercer 9

fato que justifica (i). Para provar (ii), assumimos que span{ϕk:k ∈I} separa pontos.

Seψ não é estritamente positivo definido então existem um inteiro positivon, um sub-conjunto{x1, x2, . . . , xn}de Ω e um subconjunto{c1, c2. . . , cn}deCcomPni=1|ci|>0

satisfazendo n X i=1 n X j=1

cicjψ(xi, xj) = 0.

Combinando-se com a informa¸c˜ao contida em (i), concluimos que

0 = n X i=1 n X j=1

cicjψ(xi, xj) = X k∈I λk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n X i=1

ciϕk(xi) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 , ou seja, n X i=1

ciϕk(xi) = 0, k ∈I.

Segue que

n X

i=1

cif(xi) = 0, f ∈span{ϕk :k ∈I}. (2.2)

Se o conjunto span{ϕk: k∈ I} separa pontos, podemos escolher fun¸c˜oes f1, f2, . . . , fn

do mesmo tais quefi(xj) = δij,i, j = 1,2, . . . , n. Aplicando (2.2) deduzimos que

cj = n X

i=1

cifj(xi) = 0, 1≤j ≤n.

Assim, c1 =c2 =· · ·=cn = 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

2.2 O espa¸

co nativo de um n´

ucleo de Mercer

Nesta se¸cão descreveremos um método para construir o espa¸co nativo de um núcleo de Mercer. Logo, em toda a se¸cão,{λk}k∈I e {ϕk}k∈I serão sequências que satisfazem

a condi¸c˜ao de somabilidade, descrita anteriormente.

Sendo os núcleos de Mercer positivos definidos, resultados do cap´ıtulo anterior implicam que tais núcleos têm um único espa¸co nativo.

Na descri¸c˜ao que pretendemos apresentar utilizaremos espa¸cos complexos do tipo ℓ2 com pesos{λk}k∈I. O espa¸co

ℓp₂(I) =

(

{ck}k∈I : X

k∈I

λ−_k1|ck|2 <∞ )

torna-se um espa¸co de Hilbert quando utilizamos o produto interno

hc, diℓp2 :=

X k∈I

(24)

entre dois elementos c := {ck}k∈I e d := {dk}k∈I. A norma correspondente ser´a

de-notada por k · kℓp2. Observamos que o uso do ´ındice p na nota¸c˜ao anterior refere-se `a

palavra peso, nada mais.

O primeiro resultado da se¸cão refere-se à aplica¸cão natural entre o espa¸coℓp₂(I) e o espa¸co das fun¸cões complexas com dom´ınio Ω.

Lema 2.2.1. A f´ormula

L(c) =X

k∈I

ckϕk, c={ck}k∈I ∈ℓp2(I),

define uma transforma¸cão linear entre ℓp₂(I) e o espa¸co das fun¸cões complexas com dom´ınio Ω. O núcleo desta transforma¸cão é um subespa¸co vetorial fechado de ℓp₂(I).

Demonstra¸c˜ao: Fixados c= {ck}k∈I em ℓ2p e x em Ω, considere a ={λkϕk(x)}k∈I e

b ={ck}k∈I. Como a eb s˜ao elementos de ℓp₂, L(c)(x) = X

k∈I

ckϕk(x) =ha, biℓp2.

Isto mostra que Lestá bem definida. Como a linearidade de Lé facilmente verificada, vamos justificar apenas a afirma¸cão referente ao fechamento do núcleo kerL da trans-forma¸cão. Seja {cn}n∈N uma sequência de elementos de kerL convergindo para um elemento cde ℓp₂(I). Então

|L(c)(x)|=|L(c)(x)−L(cn)(x)|=|L(c−cn))(x)|, x∈Ω. Escrevendo c={ck}k∈I, cn ={cnk}k∈I e usando a defini¸c˜ao de L, obtemos

|L(c)(x)| =

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X k∈I

(ck−cnk)ϕk(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ X k∈I

|ck−cnk||ϕk(x)|

= X

k∈I ³

λ1_k/2

´−1

|ck−cnk|λ

1/2

k |ϕk(x)|.

Empregando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz deduzimos que

|L(c)(x)| ≤ Ã

X k∈I

λ−_k1|ck−cnk|2

!1/2Ã X

k∈I

λk|ϕk(x)|2 !1/2

= kc−cnk_ℓp

2

Ã X

k∈I

λk|ϕk(x)|2 !1/2

.

(25)

Observa¸cão 2.2.2. Em um espa¸co de Hilbert, se S é um subespa¸co e S é o seu fecho no espa¸co, então vale a fórmula (S⊥₎⊥ ₌ _S _{([17, p. 31]). Voltando ao contexto do}

resultado anterior, temos

(kerL)⊥_{= (((ker}_L)⊥₎⊥₎⊥ _{= ker}_L⊥ _{= (ker}_L)⊥_,

fato que tamb´em pode ser deduzido usando um resultado geral de An´alise Funcional ([16, p. 39]).

No que segue, por razões de simplifica¸cão da nota¸cão, vamos denotar kerL pela letra N. Lembrando que cada elemento c de ℓp₂(I) pode ser decomposto na forma c = pN(c) +pN⊥(c), o efeito da aplica¸cão L sobre c reduzir-se-á à a¸cão de L sobre

pN⊥(c). Em outras palavras, L(c) =L(p_N⊥(c)). Desta forma, podemos observar que os

elementos da imagem de L, podem não ter representa¸cão única. Por exemplo, se c é um elemento de ℓp₂(I) tal quepN(c)6= 0, então c6=pN⊥(c). Mas,L(c) = L(p_N⊥(c)), ou

seja, o elementoL(c) pode ser representado por ambas as somas

X k∈I

ckϕk e

X k∈I

(pN⊥(c))_kϕ_k.

Apesar disto, podemos introduzir um produto interno no subespa¸co

Im(L) :=

( X

k∈I

ckϕk : X

k∈I

λ−_k1|ck|2 <∞ )

,

atrav´es da f´ormula

hL(c), L(d)iL:=hpN⊥(c), p_N⊥(d)i_ℓp

2 c, d∈ℓ

p

2(I). (2.3) Se L(c) = L(d), ent˜ao L(pN⊥(c)) = L(p_N⊥(d)) e, consequentemente, a diferen¸ca

pN⊥(c)−p_N⊥(d) ´e um elemento deN. Desta forma,p_N⊥(c)−p_N⊥(d)∈ N ∩ N⊥={0}.

Isto mostra que o produto interno est´a, de fato, bem definido. Lema 2.2.3. O espa¸co (Im(L),h·,·iL) ´e um espa¸co de Hilbert.

Demonstra¸c˜ao: Seja{L(cn₎_}

n∈N uma sequˆencia de Cauchy em Im(L). Como

kpN⊥(cn)−p_N⊥(cm)k_ℓp

2 =kL(c

n₎₋_L(cm₎_kL_, _{m, n}_≥_1,

podemos observar que a sequência {pN⊥(cn)}_n∈N é de Cauchy emN⊥. Sendo N⊥ um subespa¸co fechado de ℓp₂(I), ele é completo. Logo, {pN⊥(cn)}n∈N converge em N⊥, digamos, para um elementoc∈ N⊥_{. Pelo fato de que} _p

N⊥(c) = c, obtemos

kL(cn)−L(c)kL =kpN⊥(cn)−ck_lp

(26)

Logo, a sequˆencia {L(cn₎_}

n∈N é convergente e seu limite é L(c). Isto mostra que o espa¸co (Im(L),h·,·iL) é completo.

Finalmente, estamos em condi¸cões de apresentar uma descri¸cão para o espa¸co nativo de um núcleo de Mercer.

Teorema 2.2.4. Se ψ é um núcleo de Mercer definido por {λk}k∈I e {ϕk}k∈I então

(Im(L),h·,·iL) ´e seu espa¸co nativo.

Demonstra¸cão: Para verificar a primeira condi¸cão da defini¸cão de núcleo de repro-du¸cão, fixemos x∈Ω. A condi¸cão de somabilidade implica que

X k∈I

λ−_k1|λkϕk(x)|2 = X

k∈I

λk|ϕk(x)|2 <∞.

Logo, b := {λkϕk(x)}k∈I é um elemento de l2p(I) e ψ(x,·) = L(b) ∈ Im(L). Para a verifica¸cão da segunda condi¸cão da defini¸cão de núcleo de reprodu¸cão, fixemosx∈Ω e f ∈Im(L). Sejambcomo definido acima ec:={ck}k∈I ∈ℓp2(I) de modo quef =L(c). Note inicialmente que, se a:={ak}k∈I ∈ N então

hb, aiℓp2 =

X k∈I

λ−_k1λkϕk(x)ak =L(a)(x) = 0.

Segue queb ∈ N⊥ _{e, consequentemente,}_p

N⊥(b) = b. Logo, pela f´ormula (2.3) podemos

escrever

hf, ψ(x,)iL=hL(c), L(b)iL=hpN⊥(c), p_N⊥(b)i_ℓp

2 =hpN⊥(c), biℓ

p

2.

Para completarmos a demonstra¸c˜ao, ´e suficiente comprovarmos quef(x) =hpN⊥(c), bi_ℓp

2.

Para tanto, escrevendo, pN⊥(c) := {(p_N⊥(c))_k}k∈I, temos hpN⊥(c), bi_ℓp

2 =

X k∈I

λ−_k1(pN⊥(c))_kλ_kϕ_k(x) =

X k∈I

(pN⊥(c))_kϕ_k(x).

Por outro lado,

X k∈I

(pN⊥(c))_kϕ_k(x) =L(p_N⊥(c))(x) = L(c)(x) =f(x).

Isto demonstra o teorema.

Teorema 2.2.5. Nas condi¸c˜oes do teorema anterior, a norma de um elemento f do espa¸co nativo (Im(L),h·,·iL) pode ser calculada pela f´ormula

kfk2

L= min (

X k∈I

λ−_k1|ck|2 :{ck}k∈I ∈l2p, f =

X k∈I

ckϕk )

(27)

Demonstra¸c˜ao: Se f = L(c) onde c = {ck}k∈I, usando o fato de pN⊥ ser uma

proje¸c˜ao, temos

kfk2_L=hpN⊥(c), p_N⊥(c)i_ℓp

2 =kpN⊥(c)k

2

ℓp2 ≤ kck

2

ℓp2 =

X k∈I

λ−_k1|ck|2.

No entanto, sed=pN⊥(c) ent˜ao L(d) = L(c) =f. Consequentemente,

kfk2_L=kpN⊥(c)k2_ℓp

2 =kdk

2

ℓp2 =

X k∈I

λ−_k1kdkk2.

A f´ormula segue.

Levando-se em conta as nota¸cões e resultados desta se¸cão temos a seguinte adap-ta¸cão do Teorema 1.1.5.

Teorema 2.2.6. Seja ψ um n´ucleo de Mercer definido por {λk}k∈I e {ϕk}k∈I. Se ψ ´e

estritamente positivo definido ent˜ao dados {x1, x2, . . . , xn} ⊂Ω e {y1, y2, . . . , yn} ⊂C,

existec em ℓp₂(I) de modo que L(c) satisfaz as seguintes propriedades:

(i) L(c)(xi) =yi, i= 1,2, . . . , n;

(28)

(29)

Cap´ıtulo

3

N´

ucleos em Multiescalas

Neste cap´ıtulo, consideraremos núcleos de Mercer constru´ıdos através de uma única fun¸cão utilizando multiescalas, finitas ou infinitas. O termo multiescala refere-se ao processo de modifica¸cão de uma fun¸cão através de uma dilata¸cão da variável (mul-tiplica¸cão por uma constante conveniente) seguida de uma transla¸cão (soma de uma constante conveniente). Em nosso contexto, uma dilata¸cão corresponderá a fun¸cão da forma x 7→ 2j_x, _x _∈ _Rd_{, para algum inteiro} _{j, enquanto que a transla¸cão será uma}

aplica¸c˜ao da formax7→x−k, x∈Rd_{, para algum multi-´ındice} _k _com _d_componentes.

As referˆencias [10, 11, 12] trazem mais informa¸c˜oes sobre o assunto.

Nos cap´ıtulos seguintes, analisaremos algumas propriedades do núcleo a ser consi-derado. Também trataremos de seu espa¸co nativo, como feito anteriormente para um núcleo de Mercer arbitrário.

3.1 Preliminares

Nesta se¸cão, desenvolveremos um método de constru¸cão de núcleos de Mercer onde todas as fun¸cões da fam´ılia são definidas a partir de uma única fun¸cão geradora, possuindo caracter´ısticas adicionais para garantir a validade de algumas propriedades importantes. A constru¸cão em si é similar àquela utilizada na teoria dos wavelets [8, 18]. Como tal teoria já está bem estruturada, a terminologia que adotaremos não difere em quase nada da clássica, mesmo que nosso trabalho não tenha qualquer rela¸cão direta com os wavelets.

(30)

16 Cap´ıtulo 3 — N´ucleos em Multiescalas

Seϕ :Rd _→C_{é uma fun¸cão qualquer,} _j _{é um inteiro e} _k _{é um multi-´ındice de}Zd_,

escreveremos ϕj,k para denotar a fun¸c˜ao ϕj,k :Rd→C dada por

ϕj,k(x) =ϕ(2jx−k), x∈Rd.

Fixado l ∈ Z_{, o lema abaixo descreve uma propriedade b´asica que a fam´ılia de}

fun¸c˜oes

{ϕj,k :j ≥l, k∈Zd},

possui, quando ϕ tem suporte compacto. Faremos uso do conjunto de ´ındices definido por Il:={j ∈Z:j ≥l} ×Zd. Al´em disso, em Rd, utilizaremos a norma do m´aximo

kxk∞:= max{|xi|: 1≤i≤d}, x= (x1, x2, . . . , xd)∈Rd.

Lema 3.1.1. Sejaϕ :Rd _→C_{uma fun¸c˜ao de suporte compacto satisfazendo a seguinte}

condi¸c˜ao adicional: se x ∈ Rd_{, existe} _k_x _∈ Zd _{tal que} _ϕ(x₋ _k_x₎ ₆_{= 0}_{. Se} _Ω _{´e um}

subconjunto n˜ao vazio de Rd _{ent˜ao o espa¸co}

F =span{ϕj,k : (j, k)∈Il}

separa pontos de Ω.

Demonstra¸c˜ao: Sejam Ω um subconjunto de Rd _e _{_{x1, x2, . . . , x}_n_} _{um conjunto de}

pontos de Ω. Como ϕ tem suporte compacto, suppϕ est´a contido em alguma bola fechada centrada na origem de Rd _{e de raio minimal. Seja} _r _{o raio desta bola. Se}

k2j_x₋_k_k

∞> r, ent˜ao ϕj,k(x) = 0, (j, k)∈Il, x ∈Ω. Desta forma, fixados o inteiro j

e x ∈ Ω, a cardinalidade do conjunto {k ∈ Zd _:_ϕ_j,k_(x) ₆_{= 0}_}_{´e no m´aximo (2[r] + 1)}d_.

Podemos escolher um inteiro positivo m≥l tal que

21−mr <min{kxi−xjk∞ :i6=j}.

Por outro lado, devido `a condi¸c˜ao que ϕ satisfaz, existem multi-´ındices k1, k2, . . . , kn

de Zd _{tais que}

ϕm,ki(xi) = ϕ(2

m_x

i−ki)6= 0, i= 1,2, . . . , n.

Em particular,

k2mxi−kik ≤r, i= 1,2, . . . n.

Utilizando esta informa¸c˜ao, deduzimos que

k2mxi−kjk∞≥2mkxi−xjk∞− k2mxj−kjk∞>2m(21−mr)−r =r, i6=j,

e, por conseguinte,

ϕm,kj(xi) = ϕ(2

m_x

i−kj) = 0, i6=j.

Agora, é fácil ver que as fun¸cões fi = (ϕm,ki(xi))

−1_ϕ

m,ki, i= 1,2, . . . , n,

(31)

3.2 N´ucleos em multiescalas 17

3.2 N´

ucleos em multiescalas

Nesta se¸c˜ao, introduzimos os n´ucleos constru´ıdos em multiescalas. Utilizaremos uma ´

unica fun¸c˜aoϕ de suporte compacto e limitada.

Fixado um inteiro l e uma sequência {λj : j ≥ l} de números reais positivos que é

som´avel, ou seja, P∞_j₌_lλj <∞, a fun¸c˜ao φl :Rd×Rd→C dada por

φl(x, y) = ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

ϕj,k(x)ϕj,k(y) (3.1)

´e chamada n´ucleo em multiescalas associado a ϕ.

O teorema abaixo justifica a positividade estrita definida da restri¸c˜ao do n´ucleo φl

a qualquer subconjunto n˜ao vazio Ω×Ω de Rd_×Rd_.

Teorema 3.2.1. Seja ϕ : Rd _→ C _{uma fun¸c˜ao de suporte compacto e limitada. Se} _Ω

é um subconjunto não vazio de Rd_{, então a restri¸cão de} _φ_l _a _Ω_×_Ω _{é um n´}_{ucleo de}

Mercer. Além disso, se ϕ satisfaz a condi¸cão adicional do Lema 3.1.1, então o núcleo é estritamente positivo definido.

Demonstra¸cão: Basta verificarmos que φl: Ω×Ω→C, dado por (3.1), é um núcleo

de Mercer. De fato, isso feito, o Lema 3.1.1 implica que a fam´ılia span{ϕj,k : (j, k)∈Il}

separa pontos de Ω, enquanto que o Teorema 2.1.2 mostra que o n´ucleoφl´e estritamente

positivo definido. Como visto na prova do lema anterior, exister >0 tal que ϕj,k(x) =

ϕ(2j_x₋_{k) = 0 quando} _k₂j_x₋_k_k∞ _{> r} _{e, fixado} _x _∈ _{Ω, a cardinalidade do conjunto} {k∈Zd_:_ϕ_j,k_(x)₆_{= 0}_}_{´e no m´aximo (2[r] + 1)}d_{. Consequentemente, dado} _x_∈_{Ω temos}

X

(j,k)∈Il

λj|ϕj,k(x)|2 ≤ ∞ X

j=l

λj(sup{|ϕ(y)|:y∈Ω})2 



X

{k:ϕj,k(x)6=0}

1   ≤ Ã _∞ X j=l

λj !

(sup{|ϕ(y)|:y∈Ω})2(2[r] + 1)d<∞,

já que ϕ é limitada. Isto mostra que a sequência de números reais {λj}∞j=l e a

se-quência de fun¸cões {ϕj,k}(j,k)∈Il satisfazem a condi¸cão de somabilidade. Isto completa

a demonstra¸c˜ao.

A constru¸cão do espa¸co nativo desenvolvida no Cap´ıtulo 2 pode ser recuperada no presente contexto. Assumindo que Ω está fixado e o conjunto de ´ındices éIl, o espa¸co

dom´ınio da aplica¸c˜ao linear L´e

ℓp₂(Il) :=  



{cj,k}(j,k)∈Il :

X

(j,k)∈Il

λ−_j1|cj,k|2 <∞  

(32)

cujo produto interno entre dois elementosc:={cj,k}(j,k)∈Il ed:={dj,k}(j,k)∈Il deℓ

p

2(Il)

´e dado por

hc, dilp2 =

X

(j,k)∈Il

λ−_j1cj,kdj,k.,

A fun¸cão L é dada pela fórmula L(c) = X

(j,k)∈Il

cj,kϕj,k, c={cj,k} ∈ℓp2(Il),

e tem como contradom´ınio o espa¸co das fun¸cões complexas definidas em Ω. Como antes, o núcleo N de L, bem como seu ortogonal N⊥_{, são subespa¸cos fechados de} _ℓp

2(Il). A

imagem de L pode ser descrita por

Im(L) =

 

 X

(j,k)∈Il

cj,kϕj,k : X

(j,k)∈Il

λ−_j1|cj,k|2 <∞  



.

Seus elementos podem não ter representa¸cão única mas dependem somente da proje¸cão sobre o subespa¸co N⊥_{. Definindo}

hL(a), L(b)iL =hpN⊥(a), p_N⊥(b)i_ℓp

2, a, b∈ℓ

p

2(Il),

o espa¸co (Im(L),h·,·iL) é de Hilbert e é o espa¸co nativo da restri¸cão do núcleo em

multiescalas φl a Ω×Ω. Finalmente, a norma deste espa¸co ´e dada por

kfk2_L = min

 

 X

(j,k)∈Il

λ−_j1|cj,k|2 :{cj,k}(j,k)∈Il ∈ℓ

p

2(Il) , f = X

(j,k)∈Il

cj,kϕj,k  



.

Desta forma, temos o seguinte resultado que fornece uma descri¸c˜ao para o espa¸co nativo de um n´ucleo em multiescalas bem como para sua norma.

Teorema 3.2.2. O espa¸co nativo do n´ucleo em multiescalas φl ´e o espa¸co vetorial

normado (Nφl,k · kφl) onde

Nφl :=

( _∞ X

j=l

fj :fj = X

k∈Zd

cj_kϕj,k , ∞ X

j=l

λ−_j1 X

k∈Zd

|cj_k|2 _<_∞

)

e

kfk2

φl := min

( _∞ X

j=l

λ−_j1 X

k∈Zd

|cj_k|2 _:_f ₌

∞ X

j=l

fj , fj = X

k∈Zd

cj_kϕj,k )

.

(33)

3.3 N´ucleos em finitas multiescalas 19

3.3 N´

ucleos em finitas multiescalas

Nesta se¸c˜ao, re-analisaremos os resultados anteriores em um contexto um pouco mais especial. Para tanto, primeiramente introduziremos alguns conceitos adicionais.

Uma fun¸cãoϕ :Rd_→_C_{é dita} _refin´_avel_{quando existe uma sequência} _{_η

k}k∈Zd de

n´umeros reais tal que

ϕ= X

k∈Zd

ηkϕ1,k. (3.2)

A sequência{ηk}k∈Zdé usualmente chamada demáscara de refinamentodeϕ, enquanto

que (3.2) é dita ser a equa¸cão de refinamento de ϕ. Quando a sequência {ηk}k∈Zd

possui apenas um número finito de elementos não nulos, diremos que ϕ tem máscara de refinamento finita.

O lema abaixo revela que exigir que uma fun¸cão ϕ satisfa¸ca todos os conceitos introduzidos no cap´ıtulo anterior e, ainda, ser refinável e com máscara de refinamento finita, não é exigir demais.

Lema 3.3.1. Existem fun¸c˜oes ϕ : R _→ C _{de suporte compacto, limitadas, refin´aveis,}

com m´ascara de refinamento finita e satisfazendo a condi¸c˜ao adicional do Lema 3.1.1.

Demonstra¸c˜ao: Considereϕ :R_→C_{dada por}

ϕ(x) =

½

1, x∈(0,1] 0, x6∈(0,1]. Um c´alculo simples revela que

ϕ(x) =ϕ(2x) +ϕ(2x−1) =ϕ1,0(x) +ϕ1,1(x), x∈R.

Logo,ϕ =P

k∈Zdη_kϕ₁_,k, onde η_k= 0, k ∈Z− {0,1}eη₀ =η₁ = 1. Segue queϕ ´e uma

fun¸cão refinável e com máscara de refinamento finita. Para verificarmos queϕ satisfaz a condi¸cão adicional procedemos da seguinte forma: se x ∈ Z_{, tomando} _k_x ₌ _x₋₁

temos que ϕ(x−kx) = ϕ(x−(x−1)) = ϕ(1) = 1 6= 0. Se x 6∈ Z e x ∈ (0,1), ent˜ao

kx = 0 satisfaz o desejado. No caso restante, basta tomarmos kx = [x]−1, onde [x] ´e

o menor inteiro maior ou igual ax. De fato, temos que x−kx =x−([x]−1)∈ (0,1)

eϕ(x−kx) = 1 6= 0.

A partir de agora, utilizaremos uma fun¸c˜ao ϕ:Rd_→C_{de suporte compacto,}

limi-tada, refinável e satisfazendo a condi¸cão adicional do Lema 3.1.1. Fixados números in-teiros l e m, com l ≤ m, e números reais positivos λl, λl+1, . . . , λm, o núcleo

ψm :Rd×Rd→C dado por

ψm(x, y) = m X

j=l

λj X

k∈Zd

ϕj,k(x)ϕj,k(y), x, y ∈Rd, (3.3)

(34)

Teorema 3.3.2. Todo núcleo em finitas multiescalas é um núcleo de Mercer.

Demonstra¸c˜ao: Isto segue do Teorema 3.2.1.

O teorema abaixo faz uso do número r, definido anteriormente, tal que o suporte da fun¸cão ϕ está contido na bola aberta de Rd_{, centrada na origem e raio} _r.

Teorema 3.3.3. Seja ψm um n´ucleo em finitas multiescalas associado a ϕ. Se um

subconjunto {x1, x2, . . . , xn} de Rd _satisfaz

min{kxi−xjk∞:i6=j}>21−mr

ent˜ao a matriz (ψm(xi, xj))1≤i,j≤n ´e positiva definida.

Demonstra¸c˜ao: Considere um subconjunto{x1, x2, . . . , xn}deRdcomo no enunciado

do teorema. Uma análise minuciosa da demonstra¸cão do Lema 3.1.1 mostra que os argumentos lá utilizados podem ser ajustados de modo a provar que o conjunto

span{ϕj,k :j =l, l+ 1, . . . , m;k∈Zd}

separa pontos de Rd_{. Agora, atrav´es dos argumentos da segunda metade da prova do}

Teorema 2.1.2, conclu´ımos que a matriz (ψm(xi, xj))1≤i,j≤n ´e positiva definida.

Todos os resultados enunciados até este ponto para os núcleos em multiescalas, valem para os núcleos em finitas multiescalas. Em particular, os elementos da imagem da aplica¸cão linear L, dada nos cap´ıtulos anteriores, podem não ter uma única repre-senta¸cão e dependem somente da proje¸cão sobre o subespa¸co N⊥_{, onde} _N _{é o n´}_ucleo

da aplica¸c˜ao linear L. Reescrevendo,

Im(L) =

 

 X

(j,k)∈Jl

cj,kϕj,k : X

(j,k)∈Jl

λ−_j1|cj,k|2 <∞  



,

onde Jl :={j ∈Z:l ≤j ≤m} ×Zd. Neste espa¸co definimos o produto interno

hL(a), L(b)iL=hpN⊥(a), p_N⊥(b)i_ℓp

2

onde a e b s˜ao elementos de ℓp₂(Jl). Desta forma, como j´a comentado, o espa¸co nativo

do n´ucleo ψm ´e o espa¸co de Hilbert (Im(L),h·,·iL).

Agora, para cadaj ∈Z_{, consideramos o espa¸co vetorial}

Vj := (

X

k∈Zd

ckϕj,k :ck ∈C, X

k∈Zd

|ck|2 <∞ )

(35)

3.3 N´ucleos em finitas multiescalas 21

Sendo ϕ refin´avel e com m´ascara de refinamento finita, existem {l1, l2, . . . , ln} em Zd

tais queϕ =Pn_i₌₁ηliϕ1,li. Logo,

ϕj,k(x) = n X

i=1

ηliϕ(2

j+1_x₋_2k₋_l

i) = n X

i=1

ηliϕj+1,2k+li(x), (j, k)∈Jl, x∈R

d_.

Se f ∈ Vj ent˜ao existe {ck}k∈Zd com P

k∈Zd|ck|2 < ∞ tal que f =

P

k∈Zdckϕj,k e,

consequentemente,

f = X

k∈Zd

ck Ã _n

X i=1

ηliϕj+1,2k+li

!

=

n X

i=1 ηli

Ã X

k∈Zd

ckϕj+1,2k+li

!

=

n X

i=1 ηlifi,

onde fi :=Pk∈Zdckϕj+1,2k+li, i= 1,2, . . . , n. Como fi ∈ Vj+1,i= 1,2, . . . , n, devemos

ter quef ∈Vj+1. Assim, Vj ´e um subespa¸co de Vj+1.

Ainda, a express˜ao

kfjk2Vj :=

X

k∈Zd

|ck|2, fj = X

k∈Zd

ckϕj,k ∈Vj, (3.4)

define a normak · kVj em Vj.

Com as considera¸cões acima, estamos prontos para demonstrar o seguinte resultado. Teorema 3.3.4. O espa¸co nativo do núcleo ψm definido em (3.3)é Vm e a expressão

kfk2

Vm = min

( _m X

j=l

λ−_j1kfjkV2j :fj ∈Vj, f =

m X

j=l

fj )

define uma norma neste espa¸co.

Demonstra¸cão: Já sabemos queIm(L) é o espa¸co nativo do núcleoψm. Desta forma,

mostraremos que Im(L) =Vm. Para isto, considere um elemento f =P(j,k)∈Jlcj,kϕj,k

deIm(L). Podemos escrever

f = X (j,k)∈Jl

cj,kϕj,k = m X

j=l X

k∈Zd

cj,kϕj,k = m X

j=l

fj,

onde

fj = X

k∈Zd

cj,kϕj,k, j =l, l+ 1, . . . , m.

O c´alculo

λ−_j1 X

k∈Zd

|cj,k|2 = X

k∈Zd

λ−_j1|cj,k|2 ≤ m X

j=l X

k∈Zd

λ−_j1|cj,k|2

= X

(j,k)∈Jl

(36)

revela que fj ∈Vj,j =l, l+ 1, . . . , m. Desta forma,

f =

m X

j=l

fj ∈Vl+Vl+1+· · ·+Vm.

Como Vj ⊂ Vj+1, j ∈ Z, conclu´ımos que f ∈ Vm. Portanto, Im(L) ⊂ Vm.

Reci-procamente, seja g = P

k∈Zdckϕm,k ∈ Vm. Defina e := {ej,k}(j,k)∈Jl, onde ej,k = 0,

j =l, l+ 1, . . . , m−1, k ∈Zd _e_e_m,k ₌_c_k_,_k _∈Zd_{. Ent˜ao}

g =

m X

j=l X

k∈Zd

ej,kϕm,k = X

(j,k)∈Jl

ej,kϕj,k.

Al´em disso,

X

(j,k)∈Jl

λ−_j1|ej,k|2 = m X

j=l

λ−_j1 X

k∈Zd

|ej,k|2 =λ−m1 X

k∈Zd

|em,k|2 =λ−m1 X

k∈Zd

|ck|2 <∞,

mostrando que e ∈ ℓp₂. Portanto, g = L(e) ∈ Im(L), nos permitindo concluir que Vm ⊂Im(L). Finalmente, como os conjuntos

 

 X

(j,k)∈Jl

λ−_j1|cj,k|2 ;{cj,k}(j,k)∈Jl ∈l

p

2 , f =

X

(j,k)∈Jl

cj,kϕj,k    e ( _m X

j=l

λ−_j1 X

k∈Zd

kfjk2Vj ;fj ∈Vj , f =

m X

j=l

fj )

s˜ao iguais, a formula¸c˜ao alternativa para a norma do espa¸co nativo descrita no enun-ciado do teorema, segue.

3.4 Interpola¸

c˜

ao no espa¸

co nativo

Nesta se¸cão, pretendemos explorar propriedades interpolatórias do espa¸co nativo de um núcleo em finitas multiescalas. Consideraremos o núcleo como definido em (3.3) e subconjuntos {x1, x2, . . . , xn}de Rd satisfazendo

min{kxi−xjk∞:i6=j}>21−mr,

onde m e r são como nas se¸cões anteriores. Neste caso, como já visto anteriormente, a matriz (ψm(xi, xj))1≤i,j≤n tem determinante positivo, por ser uma matriz positiva

(37)

3.4 Interpola¸c˜ao no espa¸co nativo 23

Dado um conjunto {y1, y2, . . . , yn} de escalares, existe uma ´unica fun¸c˜ao da forma

s =

n X

i=1

βiψm(xi,·), β1, β2, . . . , βn∈C,

que satisfaz as condi¸c˜oes de interpola¸c˜ao,s(xj) =yj, j = 1,2, . . . , n. De fato, os

coefi-cientes são obtidos através da resolu¸cão do sistema linear den equa¸cões e n incógnitas

n X

i=1

αiψm(xi, xj) =yj, j = 1,2, . . . , n.

Note que

s=

n X

i=1

βiψm(xi,·) = n X i=1 βi m X

j=l

λj X

k∈Zd

ϕj,k(xi)ϕj,k

=

m X

j=l X

k∈Zd

λj n X

i=1

βiϕj,k(xi)ϕj,k

=

m X

j=l X

k∈Zd

cj_kϕj,k,

onde

cj_k=λj n X

i=1

βiϕj,k(xi), (j, k)∈Jl. (3.5)

Definindo

sj := X

k∈Zd

cj_kϕj,k, j =l, l+ 1, . . . , m

podemos ainda escrever

s=

m X

j=l

sj.

Voltando à defini¸cão do espa¸co Vj, torna-se razoável pensar que sj é um elemento de

Vj, j =l, l+ 1, . . . , m. Para ratificarmos isto, basta verificarmos que X

k∈Zd

|cj_k|2 _<_∞_.

Mas,

X

k∈Zd

|cj_k|2 = X

k∈Zd

cj_kcj_k = X

k∈Zd

λ2_j

Ã _n X

i=1

βiϕj,k(xi) ! Ã _n

X i=1

βiϕj,k(xi) !

= X

k∈Zd

λ2_j

n X i,p=1

βiβpϕj,k(xi)ϕj,k(xp)

= λj n X i,p=1

βiβp X

k∈Zd

(38)

ou seja,

X

k∈Zd

|cj_k|2 ≤λj n X i,p=1

βiβpφm(xi, xp)<∞.

Na prova do teorema abaixo faremos uso da igualdadeVm =Vl+Vl+1+· · ·+Vm.

Teorema 3.4.1. Nas condi¸c˜oes delineadas acima, o interpolante s ´e um elemento de norma minimal do conjunto

Sl = ( _m

X j=l

fj ∈Vm:fj ∈Vj , Ã _m

X j=l

fj !

(xi) = yi , 1≤i≤n )

.

Além disso, se Pm_j₌_lfj é um elemento de Sl\ {s}, então

m X

j=l

λ−_j1ksjk2_V_j <

m X

j=l

λ−_j1kfjk2_V_j.

Demonstra¸cão: A primeira afirma¸cão do teorema segue diretamente do Teorema 1.1.5 e de sua prova. De fato, a constru¸cão de s descrita acima coincide com aquela do elemento minimalS descrito na prova do Teorema 1.1.5. Quanto à segunda afirma¸cão, se f =Pm_j₌_lfj ∈Sl\ {s}, então já sabemos que kskVm <kfkVm. Logo,

m X

j=l

λ−_j1ksjk2Vj =ksk

2

Vm <kfk

2

Vm ≤

m X

j=l

λ−_j1kfjk2_V_j,

o que completa a prova do teorema.

As fun¸cões sl, sl+1, . . . , sm que compõem a descri¸cão final de s foram escritas como

combina¸cões lineares deϕj,k,k ∈Zd. O próximo resultado descreve uma rela¸cão entre os

coeficientes destas combina¸c˜oes lineares, para diferentes valores dej, via os coeficientes da equa¸c˜ao de refinamento

ϕ= X

k∈Zd

ηkϕ1,k.

Teorema 3.4.2. Vale a f´ormula

cj_p =λjλ−j+11

X

k∈Zd

ηk−2pcjk+1, j =l, l+ 1, . . . , m−1, p∈Zd.

Demonstra¸cão: Fixados j ep como no enunciado ei∈ {1,2, . . . , n}, a fórmula (3.5) nos dá

cj_p =λj n X

i=1

(39)

3.4 Interpola¸c˜ao no espa¸co nativo 25

Por outro lado, usando a equa¸c˜ao de refinamento, obtemos ϕj,p(xi) = ϕ(2jxi−p) =

X

k∈Zd

ηkϕ1,k(2jxi−p)

= X

k∈Zd

ηkϕ(2j+1xi−2p−k)

= X

k∈Zd

ηkϕj+1,2p+k(xi)

= X

k∈Zd

ηk−2pϕj+1,k(xi).

Logo,

cj_p =λj X

k∈Zd

ηk−2p n X

i=1

βiϕj+1,k(xi).

Mas, lembrando (3.5) novamente, concluimos que cj_p =λj

X

k∈Zd

ηk−2pλ−j+11 c

j+1

k =λjλ−j+11

X

k∈Zd

ηk−2pcjk+1,

como desejado.

Por ser uma soma contável e não necessariamente finita, o interpolantes pode nos trazer algumas dificuldades no caso de tentarmos aplicar os resultados acima. Logo, para finalizar este cap´ıtulo faremos uma breve discussão deduzindo que, de fato, s pode ser escrito como uma soma finita. O s´ımbolo # representará a cardinalidade do conjunto que aparecer seguido do mesmo.

Para cadaj em {l, l+ 1, . . . , m}, o conjunto M(j) :={k ∈Zd_:_cj

k 6= 0}

tem no máximoC n elementos, onde né o números de pontos da interpola¸cão e C é a constante dada por

C := max©

#{k∈Zd_:_ϕ(x₋_k)₆_{= 0}_}_:_x_∈Rdª

.

De fato, seMj(i) :={k ∈Zd _:_ϕ_j,k_(x_i₎ ₆_{= 0}_}_, _i _{= 1,}_{2, . . . , n, e} _k _∈_M_{(j) ent˜ao} _cj

k 6= 0.

Logo, existe pelo menos um ´ındiceital queϕj,k(xi)6= 0. Consequentemente,k ∈Mj(i).

Segue que M(j) ⊂ ∪n

i=1Mj(i). Como #Mj(i) ≤ C devemos ter #M(j) ≤ C n. Isto tudo revela que o número de coeficientes necessários na representa¸cão de

s=

m X

j=l X

k∈Zd

cj_kϕj,k

(40)

(41)

Cap´ıtulo

4

O operador integral gerado por um

n´

ucleo em multiescalas

Neste cap´ıtulo analisaremos algumas propriedades dos operadores integrais gerados por n´ucleos em multiescalas da forma

φl(x, y) = ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

ϕj,k(x)ϕj,k(y), x, y ∈Rd, l ∈Z.

Hipóteses básicas que assumiremos aqui são as seguintes: ϕ : Rd _→ C _{é cont´ınua de}

suporte compacto, a fam´ılia {ϕj,k}(j,k)∈Il forma um conjunto ortonormal de L

2₍_Rd_{) e}

o conjunto de n´umeros reais positivos {λj : j ≥ l} satisfaz P∞j=lλj < ∞. Lembramos

queIl ={j ∈Z:j ≥l} ×Zd.

O lema abaixo mostra que as hipóteses listadas acima não são conflitantes.

Lema 4.0.3. Existem fun¸c˜oes φ:R_→R _{cont´ınuas, de suporte compacto e tais que a}

fam´ılia {φj,k}(j,k)∈Z_×Z forma uma base ortonormal de L2(R).

Demonstra¸c˜ao: Considere a fun¸c˜ao

ψ(x) =

 



x, x∈[0,1] 2−x, x ∈(1,2] 0, x6∈[0,2].

A fun¸c˜aoφ(x) =ψ(2x)−2−1_ψ(2x₋₁₎₋₂1_ψ(2x_{+1) satisfaz as exigˆencias do enunciado} do lema ([8, p. 7]).

(42)

28 Cap´ıtulo 4 — O operador integral gerado por um n´ucleo em multiescalas

4.1 Resultado b´

asico sobre operadores integrais

Esta se¸cão tem por finalidade apresentar um resultado básico da Análise Funcional relativo a operadores integrais gerados por núcleos. Tal resultado será utilizado no estabelecimento do contexto no qual pretendemos analisar os resultados subseqüentes. Seja (X,M, µ) um espa¸co de medida e ψ : X ×X → C _{uma fun¸cão mensurável.}

Para cada f ∈L2(X, µ) associamos a fun¸c˜aoT(f) :X →C _{dada por}

T(f)(y) =

Z

X

ψ(x, y)f(x)dµ(x), y ∈X.

Claramente, a aplica¸cão f 7→ T(f) define uma transforma¸cão linear de L2(X, µ) no espa¸co das fun¸cões complexas com dom´ınio X. Pretendemos considerar neste cap´ıtulo a transforma¸cãoT acima no caso em queX =Rd_,_µ_{é a medida de Lebesgue usual e}_ψ

é o núcleo em multiescalasφl. Neste caso espec´ıfico, o ponto principal de nossa análise

consistir´a em demonstrar queT ´e na verdade um operador linear sobreL2(Rd_{), ou seja,}

T(f)∈L2(Rd_), _f _∈_L2₍Rd_).

Sempre que T for um operador linear, ressaltaremos o n´ucleo gerador ψ do operador, dizendo que T ´e o operador integral gerado por ψ.

Uma condi¸cão suficiente para que T seja de fato um operador integral é que o núcleo seja um elemento deL2(X×X, µ×µ), uma condi¸cão não muito simples de ser ratificada.

Assim sendo, o resultado desta se¸cão descreve condi¸cões suficientes para que um núcleo gere um operador integral sobre L2(X, µ).

Teorema 4.1.1. Seja (X,M, µ) um espa¸co de medida e ψ :X×X →C _{uma fun¸c˜ao}

mensur´avel. Se existir M >0 tal que

Z

X

|ψ(x, y)|dµ(y)≤M, x∈X

e

Z

X

|ψ(x, y)|dµ(x)≤M, y∈X,

então a transforma¸cão T define um operador integral sobre L2_{(X, µ)}_{. O n´}_umero _M _é

um limitante superior para a norma do operador.

Demonstra¸cão: Assuma a existência de M satisfazendo as desigualdades do enun-ciado. Temos que ratificar que a imagem de T é um subconjunto de L2(X, µ). Seja f ∈L2(X, µ). Claramente temos que

|T(f)(y)|=

¯ ¯ ¯ ¯ Z

X

ψ(x, y)f(x)dµ(x)

¯ ¯ ¯ ¯

≤ Z

X

(43)

4.2 O operador integral gerado por φl 29

Usando a desigualdade de H¨older obtemos

|T(f)(y)| ≤ µZ

X

|ψ(x, y)|dµ(x)

¶12 µZ

X

|ψ(x, y)||f(x)|2_dµ(x)

¶12

, y∈X,

enquanto que nossa hip´otese implica

|T(f)(y)| ≤M12

µZ

X

|ψ(x, y)||f(x)|2_dµ(x)

¶12

, y∈X.

Segue que

Z

X

|T(f)(y)|2dµ(y)≤M

Z

X µZ

X

|ψ(x, y)||f(x)|2dµ(x)

¶

dµ(y).

Agora, aplicando o Teorema de Fubini,

Z

X µZ

X

|ψ(x, y)||f(x)|2dµ(x)

¶

dµ(y) =

Z

X

|f(x)|2 µZ

X

|ψ(x, y)|dµ(y)

¶ dµ(x) e, consequentemente, Z X µZ X

|ψ(x, y)||f(x)|2dµ(x)

¶

dµ(y)≤ Z

X

|f(x)|2M dµ(x) = M

Z

X

|f(x)|2dµ(x).

Portanto,

Z

X

|T(f)(y)|2_dµ(y)_≤_M2

Z

X

|f(x)|2_dµ(x).

Assim, T(f) ∈ L2(X, µ) e kT(f)kL2

(X,µ) ≤ MkfkL2

(X,µ). Isto finaliza a prova do teo-rema.

4.2 O operador integral gerado por

φ

_l

No que segue, utilizaremos as nota¸c˜oes h·,·i2 para o produto interno em L2(Rd) e

k · k2 para a norma no mesmo espa¸co.

Inicialmente, analisaremos a continuidade do n´ucleo em multiescalas. Isto, por sua vez, j´a garante automaticamente a sua mensurabilidade.

Faremos uso do conceito topol´ogico descrito a seguir. Dizemos que uma fam´ılia de subconjuntos de Rd _´e _{localmente finita} _{se, para todo ponto} _x _de Rd _{existir uma}

vizinhan¸ca aberta Ux de x interceptando apenas um n´umero finito de elementos da

fam´ılia. Denotaremos o suporte de uma fun¸c˜aof por suppf.

(44)

Demonstra¸c˜ao: Observe que se suppϕ⊂[−r, r]d_{para algum}_{r >}_{0 e}_k _{= (k}

1, k2, . . . , kd),

ent˜ao suppϕj,k ´e um subconjunto do paralelep´ıpedo d-dimensional d

Y i=1

[2−j(ki−r),2−j(ki+r)].

Fixe j ≥ l e x = (x1, x2, . . . , xd) ∈ Rd. Para i = 1,2, . . . , n, existe ki ∈ Z tal que

2−j_(r ₋_k

i) < xi < 2−j(r+ki). Al´em disso, existe uma vizinhan¸ca aberta Vxi de xi,

inteiramente contida em (2−j_(r₋_k

i),2−j(r +ki)), i = 1,2, . . . , n. ´E claro que Vx =

V1

x ×Vx2× · · · ×Vxd ´e uma vizinhan¸ca aberta dex. Para cada coordenada xi do ponto

x, a vizinhan¸ca V_xi intercepta apenas um n´umero finito de intervalos fechados da forma [2−j_(r₋_k),₂−j_(r₊_k)], _k _∈ _Z_{. Em particular,} _V

x s´o intercepta um n´umero finito de

elementos da fam´ılia {suppϕj,k}k∈Zd.

Teorema 4.2.2. O n´ucleo em multiescalas φl ´e cont´ınuo.

Demonstra¸c˜ao: Fixemosj ≥l e escrevamos fj(x, y) =

X

k∈Zd

ϕj,k(x)ϕj,k(y), x, y ∈Rd.

Seja (x0, y0) ∈ Rd×Rd, o lema anterior garante a existˆencia de vizinhan¸cas abertas Ux0 e Uy0 de x0 e y0, respectivamente, que interceptam apenas um n´umero finito de

elementos da fam´ılia {suppϕj,k}k∈Zd. Desta forma, U_x0 ×Uy0 intercepta um n´umero

finito de elementos da fam´ılia {supp (ϕj,k⊗ϕj,k)}k∈Zd, j ≥l, onde

(ϕj,k⊗ϕj,k)(x, y) = ϕj,k(x)ϕj,k(y), x, y ∈Rd.

Se supp (ϕj,ki ⊗ϕj,ki), i= 1,2, . . . , n, s˜ao estes elementos, ent˜ao

fj(x, y) = n X

i=1

ϕj,ki(x)ϕj,ki(y), (x, y)∈Ux0 ×Uy0.

Comoϕ ´e cont´ınua,fj ´e cont´ınua em (x0, y0). Para concluir a prova, devemos observar

que um procedimento similar `aquele utilizado na prova do Lema 3.1.1 revela que, dado x∈Rd_e_j _≥_{l, o conjunto}_{_k _∈Zd_:_ϕ_j,k_(x)₆_{= 0}_}_{tem no m´aximo (2[r] + 1)}d_elementos,

para algumrsuficientemente grande. Logo, seC é um limitante para a fun¸cãoϕ, então obtemos a desigualdade

|λjfj(x, y)| ≤λj X

k∈Zd

|ϕj,k(x)||ϕj,k(y)| ≤λjC2(2[r] + 1)d, j ≥l, x, y ∈Rd.

Como C2_{(2[r] + 1)}dP∞

j=lλj <∞, o M-Teste de Weierstrass ([3, p. 29]) implica que a

s´erie P∞_j₌_lλjfj converge uniformemente. A continuidade deφl segue.

(45)

Lema 4.2.3.Sejam(X,M, µ)e(Y,N, ν)espa¸cos de medidaσ-finitos tais queL2_{(X, µ)}

e L2(Y, ν) são espa¸cos separáveis. Se {ψm}m∈N e {φn}n∈N são bases ortonormais de L2(X, µ)e L2(Y, ν), respectivamente, então {ψ_m⊗φn}m,n∈Né uma base ortonormal de L2_(X_×_{Y, µ}_×_ν)_.

Demonstra¸c˜ao: [17, p. 41].

Lema 4.2.4. Sejam {en}n∈N uma sequˆencia ortonomal em um espa¸co de Hilbert H

e {λn}n∈N sequência de números complexos. Então, P∞_i₌_iλ_ne_n converge em H se, e

somente se, P∞_i₌₁|λn|2 <∞.

Demonstra¸c˜ao: [16, p. 34].

Teorema 4.2.5. O núcleo em multiescalas φl não é um elemento de L2(Rd×Rd).

Demonstra¸cão: Como {ϕj,k}(j,k)∈Il é uma sequência ortonormal de L

2₍_Rd_{), o Lema}

4.2.3 mostra que a fam´ılia de fun¸cões {ϕj,k⊗ϕj,k}(j,k)∈Il é uma sequência ortonormal

em L2(Rd_×Rd_{). Como a s´erie}

∞ X

j=l X

k∈Zd

λ2_j

´e claramente divergente, o resultado segue do lema anterior.

Para o pr´oximo resultado, observamos que a convergˆencia de P∞_j₌_lλj justifica a

convergˆencia de P∞_j₌_l2−jdλj.

Lema 4.2.6. Existe um n´umero real positivo M tal que

Z

Rd

|φl(x, y)|dµ(y)≤M, x∈Rd,

e _Z

Rd

|φl(x, y)|dµ(x)≤M, y∈Rd.

Demonstra¸cão: Justificaremos a primeira desigualdade apenas, já que a justificativa da segunda é análoga. Fixado x∈Rd_{, temos}

|φl(x, y)|= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

ϕj,k(x)ϕj,k(y) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

|ϕj,k(x)||ϕj,k(y)|, y∈Rd.

Sendo a sequência das somas parciais da série majorante acima uma sequência crescente de fun¸cões não negativas, o Teorema da Convergência Monótona ([6, p. 50]) é aplicável. Logo,

Z

Rd

|φl(x, y)|dµ(y)≤ ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

|ϕj,k(x)| Z

Rd

(46)

Como observado na prova do Lema 4.2.1, temos

suppϕj,k ⊂ d Y i=1

[2−j(ki−r),2−j(ki+r)],

para algum r >0, ondek = (k1, k2, . . . , kd). Segue que

µ(suppϕj,k)≤(2−j+1r)d,

e, consequentemente,

Z

Rd

|ϕj,k(y)|dµ(y)≤C(2−j+1r)d,

onde C ´e um limitante da fun¸c˜ao ϕ. Desta forma, temos

Z

Rd

|φl(x, y)|dµ(y)≤ ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

|ϕj,k(x)|C(2−j+1r)d.

Como a cardinalidade do conjunto {k ∈ Zd_{, ϕ}_j,k_(x) ₆_{= 0}_} _{n˜ao ultrapassa (2[r] + 1)}d_,

obtemos

Z

Rd

|φl(x, y)|dµ(y) ≤ ∞ X

j=l

λjC2(2[r] + 1)d(2−j+1r)d

= C2(2r)d_{(2[r] + 1)}d ∞ X

j=l

2−jdλj :=M.

Isto conclui a prova.

Teorema 4.2.7. A f´ormula

Tl(f) := Z

Rd

φl(x,·)f(x)dµ(x)

define um operador linear limitado sobre L2₍_Rd₎_.

Demonstra¸c˜ao: A mensurabilidade de φl segue do Teorema 4.2.2. O resto segue do

lema anterior e do Teorema 4.1.1.

Os resultados que completam a se¸cão nos darão informa¸cões a respeito da imagem do operador integral Tl gerado por φl. Abaixo temos um resultado clássico sobre troca

entre os s´ımbolos de integra¸c˜ao e soma infinitas ([6, p. 55]).

Lema 4.2.8. Seja (X,M, µ) um espa¸co de medida. Se {fn}n∈N ´e uma sequˆencia de L1(X, µ)satisfazendoP

n∈N

R

X|fn|dµ <∞, ent˜ao P

n∈Nfnconverge quase sempre para

uma fun¸c˜ao em L1(X, µ). Al´em disso, vale a igualdade

Z

X X n∈N

fndµ= X n∈N

Z

X

(47)

O resultado a seguir fornece uma descri¸c˜ao alternativa para a atua¸c˜ao do operador integral sobre um elemento deL2(R_).

Lema 4.2.9. Se f ∈L2₍_Rd₎ _ent˜ao,

Tl(f)(y) = ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

µZ

Rd

ϕj,k(x)f(x)dµ(x) ¶

ϕj,k(y), y∈Rd

Demonstra¸c˜ao: Segundo o lema anterior, basta verificarmos que

Sy := ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

|ϕj,k(y)| Z

Rd

|ϕj,k(x)||f(x)|dµ(x)<∞, y ∈Rd.

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos imediatamente que

Sy ≤ ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

|ϕj,k(y)|kϕj,kk2kfk2

=

∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

|ϕj,k(y)|kfk2, y∈Rd

pois,kϕj,kk2 = 1, (j, k)∈Il. Se C ´e um limitante para ϕ, ent˜ao

Sy ≤ ∞ X

j=l

λj X

k∈Zd

|ϕj,k(y)|kfk2

≤ ∞ X

j=l

λjC(2[r] + 1)dkfk2

= C(2[r] + 1)dkfk2

∞ X

j=l

λj

Como a ´ultima soma ´e finita, o resultado segue.

De acordo com o Teorema 3.2.2, o espa¸co nativo do n´ucleo φl ´e o espa¸co normado

(Nφl,k · kφl) onde

Nφl =

( _∞ X

j=l

fj :fj = X

k∈Zd

cj_kϕj,k, ∞ X

j=l

λ−_j1 X

k∈Zd

|cj_k|2 <∞ )

,

e

kfk2

φl := min

( _∞ X

j=l

λ−_j1 X

k∈Zd

|cj_k|2 _:_f

j = X

k∈Zd

cj_kϕj,k, f = ∞ X

j=l

fj )

(48)

Além disso, a norma descrita acima é induzida pelo produto interno, que deno-taremos por h·,·iφl, o qual é calculado via a fórmula dada em (2.3), como pode ser

verificado no Cap´ıtulo 2. Também, devemos lembrar da a¸cão da aplica¸cão linear L sobre um elemento de ℓp₂(Il),

L(a) =

∞ X

j=l X

k∈Zd

aj,kϕj,k, a={aj,k}(j,k)∈Il ∈ℓ

p

2(Il),

e que N representa o n´ucleo da mesma. Desta forma, temos o seguinte resultado. Lema 4.2.10. A fun¸c˜ao h:Rd_→_N_φ

l, dada por

h(x) = φl(x,·), x∈Rd

´e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, observamos que se ax = {λjϕj,k(x)}(j,k)∈Il, x ∈ R

d_,

ent˜ao L(ax) = φl(x,·). Agora, dadob={bj,k}(j,k)∈Il ∈ N, temos

hb, axiℓp2 =

∞ X

j=l X

k∈Zd

bj,kϕj,k(x) =L(b)(x) = 0,

implicando que ax ∈ N⊥,x∈Rd. Consequentemente

hφl(x,·), φl(y,·)iφl =hL(ax), L(ay)iφl =hax, ayiℓp2, x, y ∈

Rd_.

Com estes c´alculos podemos deduzir que, se x, x0 ∈Rd ent˜ao,

kφl(x,·)−φl(x0,·)k2φl = kL(ax)−L(ax0)k

2

φl

= hL(ax−ax0), L(ax−ax0)iφ_l

= hax−ax0, ax−ax0iℓp₂

=

∞ X

j=l X

k∈Zd

λj|ϕj,k(x)−ϕj,k(x0)|2.

A partir de agora, nos empenharemos em mostrar que esta ´ultima soma tende a zero quando x→x0. Para cada j ≥l, seja gj :Rd →Ca fun¸c˜ao dada por

gj(x) = X

k∈Zd

|ϕj,k(x)−ϕj,k(x0)|2, x∈Rd.

Pelo fato da fam´ılia{suppϕj,k}k∈Zd ser localmente finita, existe uma vizinhan¸ca V_x₀ de

x0 tal que, se x∈Vx0 então,|ϕj,k(x)−ϕj,k(x0)| 6= 0, para no máximo um número finito