4. Propriedades Geométricas da Seção Transversal

TRANSVERSAL

4. Propriedades Geométricas da Seção Transversal

4.1. Introdução

O presente trabalho é desenvolvido paralelamente ao desenvolvimento de um programa de computador para cálculo de pilares solicitados à fle xão obliqua composta. Esse programa está sendo desenvolvido para seção transversal constante ao longo do comprimento do pilar, mas qualquer.

A seção transversal pode ser definida como retangular, em “L” ou genérica. Neste último caso, ela será descrita por até quatro poligonais, sendo que cada poligonal será definida pelos seus vértices numerados seqüencialmente no sentido horário. A poligonal que representar uma região vazada da seção, deve ser numerada no sentido anti-horário. Os vértices da seção serão caracterizados pelas suas coordenadas no sistema global (X’,Y’).

4.2. Seção Retangular

A seção retangular pode ter seus dados fornecidos simplificadamente por:

h

= dimensão da seção paralela ao eixo X (base) h

= dimensão da seção paralela ao eixo Y (altura)

Os vértices e lados não numerados internamente pelo programa conforme é indicado na figura 4.1.

4.3. Seção em “L”

As seções em “L” podem ser descritas simplificadamente pelas dimensões de seus lados, conforme é indicado na figura 4.1, onde:

h

= comprimento da aba paralela ao eixo X (base) h

= comprimento da aba paralela ao eixo Y (altura) b

= espessura, na direção X’, da aba paralela ao eixo Y’

b

= espessura, na direção Y’, da aba paralela ao eixo X’

Figura 4.1 – Seção retangular e em “L”. Numeração dos vértices e dos lados

4.4. Seção genérica

As poligonais em geral são descritas pelas coordenadas (x’,y’) dos seus vértices. A numeração dos lados é feita internamente pelo programa, sendo que o lado “i” é o lado entre os vértices “i” e “i+1”. A figura 4.2 ilustra o caso geral de uma seção descrita por duas poligonais, onde a poligonal 2, numerada no sentido anti-horário, representa uma região vazada. A cada poligonal será atribuído um material (índice do material = IM).

Figura 4.2 - Seção genérica. Numeração dos vértices e dos lados X’

Y’

O’=1 X’

Y’

2 3

4 1

2

3

4 hx

hy

hx

hy

bx

by

O’=1

2 3

4 5

6 1

2

3 4

6

5

X’

Y’

1

4 3

2

6 5

7 3 4

1

2 1

6 5 4 3

2

7 2 4 3

1

material 2

barra da armadura vértices lados

material 1

O’

poligonal 2 poligonal 1

4.5. Armadura

4.5.1. Introdução

A armadura da seção será descrita por barras associadas aos vértices e barras associadas aos lados de uma poligonal. A cada poligonal será atribuída uma armadura constituída por um conjunto de barras. As barras serão locadas pelo programa sempre ao lado direito da linha da poligonal, a uma distância igual a “c + 0,5.F”, onde c é o cobrimento e F o diâmetro da barra. Dessa forma nas regiões vazadas as barras da armadura estarão locadas no interior da seção e não na região vazada. As barras associadas a cada lado da poligonal serão todas da mesma bitola, mas a cada lado da poligonal se pode atribuir uma bitola diferente. Pode-se atribuir uma bitola diferente ou não para cada vértice da poligonal.

4.5.2. Barras associadas aos vértices da poligonal

As coordenadas dos vértices de uma poligonal são dadas por:

Vértice i = (x’

; y’

) Vértice j = (x’

; y’

) onde j é o vértice seguinte ao vértice i.

Se i+1 > número de vértices da poligonal então j = 1

se não j = i + 1

A equação da reta paralela ao lado i, que passa pelos centros das barras associadas aos vértices da poligonal é:

y’ = m

.x’ + b

(4.1)

com

' '

' '

i j

i j

i x x

y m y

−

= −

(4.2)

α φ cos

. 5 , ' 0

.

' − − +

= c

x m y

b_{i i i i}

(4.3)

a = arc tg m

(4.4)

A barra associada ao vértice i está no cruzamento das retas paralelas aos lados i e (i-1) da poligonal, assim

y’

= m

.x’

+ b

= m

.x’

+ b

(4.5) donde resulta:

i i

i i bvi

m m

b x b

−

= −

−

− 1

' 1

(4.6)

y’

= m

.x’

+ b

(4.7)

onde

x’

= abscissa da barra associada ao vértice i y’

= ordenada da barra associada ao vértice i

Figura 4.3 – Localização da barra associada ao vértice i.

4.6. Barras associadas aos lados da poligonal A cada lado da poligonal estarão associadas N

barras.

Cada barra k, associada ao lado i, terá suas coordenadas dadas por:

1 ' . '

' ' _,

+ + −

=

bli bvi bvj bvi

k

bli N

x k x

x

x

(4.8)

1 ' . '

' ' _,

+ + −

=

bli bvi bvj bvi

k

bli N

y k y

y

y

(4.9)

j

i i Y’

X’

Reta paralela ao lado i Barra associada ao vértice i

α a φ cos

. 5 , +0 c

bi

O’

mi.xi’

xj’ xi’

c+0,5.φ

onde:

k = índice da barra

N

= número de barras associadas ao lado i.

4.7. Propriedades geométricas da seção

4.7.1. Representação da seção transversal

A seção transversal é definida em relação ao sistema de eixos (X’,Y’). Internamente o programa faz uma translação de eixos para o sistema (X, Y), paralelo ao anterior mas com origem no centro de gravidade da seção.

Figura 4.4 – Definição dos eixos baricentrais de coordenadas para uma seção genérica.

vLN

O

a

V (com origem no C.G.)

?

CG a

X’

Y’

U//LN Y

ES

LN

x’CG

Z (com origem na L.N.)

CG = Centro de Gravidade da seção

ES = Eixo de Solicitação (traço do plano de atuação do momento no plano da seção) y’CG

X

4.7.2. Área da seção transversal

Na figura 4.5 está destacado um lado genérico de uma poligonal, onde, i é o vértice inicial do lado i e j é o vértice final (o lado tem o mesmo índice do vértice inicial).

Cada lado de cada poligonal é associado a um trapézio conforme a figura 4.5, e a área da seção é calculada pelas expressões:

' 2 .

'

' x y

A_i xⁱ+ ^j ∆

=

(4.10)

∑ ∑



 



= ^np 

p nl

l

Ai

n A

1 1

.

(4.11)

∑ ∑ ∑ ∑

= = = = 



 

 +

− +

= ^np

p nl

l

nl

i

Nbl

k k sbli sbvi

s i

h n A n A A

A

1 1 1 1

). ,

1 (

.

(4.12)

onde:

?x’ = x’

–x’

?y’ = y’

–y’

A

= Área do trapézio associado ao lado i;

A = Área da seção;

A

= Área da seção homogeneizada;

p = índice relativo às poligonais que constituem a seção;

c p

E

n= E

módulo de deformação relativo da poligonal p;

c s

s E

n = E

módulo de deformação relativo da armadura;

E

= módulo de deformação do material correspondente à poligonal p;

E

= módulo de deformação da armadura;

E

= módulo de deformação do concreto ;

n

= número de poligonais que constituem a seção;

n

= número de lados da poligonal p;

N

= número de barras associadas ao lado i da poligonal p;

A

= área da barra associada ao vértice i da poligonal p;

A

= área da barra k associada ao lado i da poligonal p;

Figura 4.5 – Definição de um trapézio associado a um dos lados de uma poligonal para o cálculo das propriedades geométricas da seção.

4.7.3. Momentos estáticos em relação aos eixos X’ e Y’

Os momentos estáticos da seção são calculados pelo programa computacional considerando também um trapézio associado a cada lado de cada poligonal conforme a figura 4.5, e são calculados pelas expressões:

∑ ∑



 



 + ∆

= ^np

p nl

i

gi j

i

x x x y y

n S

1 1

' . '. '

2 '

. '

(4.13)

com o centro de gravidade do trapézio dado por

( )

(

)

' 2 y

x x

x y x

y

j i

j i j

gi

∆ +

+ +

=

(4.14)

∑ ∑



 



 



 



 + ∆

∆

∆ +

∆

= ^np

p nl

i

i i

y n x y x y x x

S

1 1

2

' '

3 ' 1 '.

'.

. 5 , 0 ' . ' . 5 , 0

.

(4.15)

x’j

x’i ?x’

j

X’

Y’

i i

?y’

y’j

y’i

Ai

Para a seção considerada homogeneizada se desconta a área de concreto ocupada pela armadura e majora-se a área da armadura pela relação, n

, entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, assim

∑∑ ∑

= = = 

 



 +

= ^np

p nl

i

k blip Nbli

k

k sblip bvip

sbvip

xs A y A y

S

1 1

, 1

, . '

.

'

(4.16)

∑∑ ∑

= = = 

 



 +

= ^np

p nl

i

Nbli

k

k blip k sblip bvip

sbvip

ys A x A x

S

1 1 1

, , . ' '

.

'

(4.17)

xs s

x

xh S n S

S^' = ' +( −1). '

(4.18)

ys s

y

yh S n S

S^' = ' +( −1). '

(4.19)

onde:

S’

= momento estático da seção de concreto em relação ao eixo x S’

= momento estático da seção de concreto em relação ao eixo y S’

= momento estático da armadura

S’

= momento estático da armadura

S’

= momento estático da seção homogeneizada em relação ao eixo x S’

= momento estático da seção homogeneizada em relação ao eixo y 4.8. Centro de gravidade da seção

Para a seção de concreto:

A x_cg S'^y

' =

A y_cg S'^x

' =

(4.20)

Para a seção homogeneizada:

h yh

cgh A

x S'

' =

h xh

cgh A

y S'

' =

(4.21)

Para a seção considerada constituída exclusivamente pelas barras da armadura:

s ys

cgs A

x S'

' =

s xs

cgs A

y S'

' =

(4.22)

Nota: Como esses três centros não coincidem, a escolha de se considerar a seção bruta de concreto sem levar em conta as barras da armadura (como normalmente se faz) na determinação do centro de gravidade, leva a momentos fletores resistentes diferentes dos que se obtém considerando a seção homogeneizada. Ainda, quando se considera a peça trabalhando totalmente tracionada (domínio 1 de deformações), com toda armadura em escoamento (tensões todas iguais a fyd), mas com alguma curvatura, só se obterá momentos nulos quando se estiver considerando como centro de gravidade da seção, aquele determinado exclusivamente pelas barras da armadura.

4.9. Translação de eixos

A translação do sistema de eixos (X’, Y’) para os eixos baricentrais (X, Y) paralelos aos primeiros se faz considerando que:

x’ = x’

+ x e y’ = y’

+ y (4.23) portanto:

x = x’ – x’

e y = y’ – y’

(4.24) 4.10. Rotação de eixos de (X , Y) para (U ,V)

Seja a o ângulo de rotação, positivo no sentido horário, . As relações entre as coordenadas nos dois sistemas são:

x = u.cos a + v.sen a (4.25)

y = -u.sen a + v.cos a (4.26)

donde resultam as coordenadas para o novo sistema de eixos (U,V).

u = x.cos a - y.sen a (4.27)

v = x.sen a + y cos a (4.28)

Figura 4.4 – Ilustração da rotação de eixos.

4.11. Consideração do sistema (U , Z)

Para a consideração das deformações e tensões é interessante considerar para as ordenadas, as distâncias a partir da linha neutra (LN). Assim, o eixo das abscissas continuará a ser chamado de U, porém para as ordenadas se fará uma translação de eixos tal que:

z = v - v

(4.29)

onde v

é a ordenada da linha neutra no sistema (U , V).

Com isso, as deformações serão linearmente proporcionais às ordenadas z (distâncias da linha neutra).

O1

v.sen a

vLN U = LN O

a u

Z (com origem em O1)

U // LN X P

Y

x

v y v.cos a

u.sen a

u.cos a

V (com origem em O)

a positivo no sentido horário a