MAT0147 - C´alculo Diferencial e Integral II para Economia Lista 5 - 2014
1. Ache e esboce o dom´ınio das fun¸c˜oes:
(a) f(x, y) = 1
px2 +y2 −1 (b) f(x, y) = arctg y
x (c)f(x, y) = √x−y (d)f(x, y) = ln(xy2−x3) (e) f(x, y) = x
yx (f)f(x, y) = tg(x−y) (g) f(x, y) = ln(16−4x2 −y2)
2. Esboce uma fam´ılia de curvas de n´ıvel de:
(a) f(x, y) = x+y
x−y (b) f(x, y) = x−p 1−y2 (c) f(x, y) = x2
x2−y2 (d) f(x, y) = 2xy2 x2 +y4
3. Seja P(L, K) =bLαK1−α a fun¸c˜ao produ¸c˜ao de Cobb-Douglas.
(a) Mostre que a produ¸c˜ao dobrar´a se as quantidades de trabalho (L) e de capital investido (K) forem dobrados.
(b) No caso em que b = 1,01 e α = 0,75, desenhe as curvas de n´ıvel nos n´ıveis c= 100 ec= 200.
4. Considere F(x, y) = 10x2−2y
x2+y2 . Determine o dom´ınio de F e esboce as curvas de n´ıvel nos n´ıveis c= 0, c= 1 e c= 10.
5. Esboce os gr´aficos de:
(a) f(x, y) = 1−x−y (b) f(x, y) = x
x2+ 1 (c) f(x, y) =p
x2+ 9y2 (d) f(x, y) = 4x2+y2 (e) f(x, y) = y2−x2 (f) f(x, y) =y2+ 1 (g) f(x, y) = y2+x (h) f(x, y) = e√
x2+y2 (i)f(x, y) = 1 4x2+ 9y2 (j)f(x, y) =x2+y2+ 2y+ 3 (k) f(x, y) = ln(9x2+y2) (l) f(x, y) = 2−p4
x2+ 4y2 (m) f(x, y) = p
x2+y2 −9 6. Seja f(x, y) = 2x2+ 4y2
x2+y2+ 1.
(a) Esboce as curvas de n´ıvel de f nos n´ıveis c= 1, c= 2 ec= 3.
(b) Encontre uma fun¸c˜ao γ deriv´avel, definida em um intervalo, cuja imagem seja a curva de n´ıvel de f no n´ıvel c= 1.
(c) Determine o vetor tangente `a curvaγ, que vocˆe encontrou no item anterior, no ponto (−1,0).
(d) Seja Γ : [0,2π]→R3 dada por Γ(t) = (sent,cost, z(t)). Sabendo que a imagem da curva est´a contida no gr´afico de f, encontre o vetor tangente `a trajet´oria de Γ em Γ(π3).
7. Sejam γ(t) = (2−cost,sec2t+ 3), t∈[0,π2[ ef(x, y) = ((x−2)2(y−3))32 + 1.
Esboce a imagem de γ e mostre que a imagem de γ est´a contida em uma curva de n´ıvel def indicando qual ´e o n´ıvel.
8. Mostre que para todos os valores da constante c, a curva x2−y2 =c est´a contida em uma curva de n´ıvel da fun¸c˜aof(x, y) = ex2e−y2+x4−2x2y2+y4.
Respostas
1.
(a) Df ={(x, y)∈R2 | x2+y2 >1} (b) Df ={(x, y)∈R2 | x6= 0}
(c) Df ={(x, y)∈R2 | y≤x} (d) Df ={(x, y)∈R2 | x(y−x)(y+x)>0} (e) Df ={(x, y)∈R2 | y >0} (f) Df ={(x, y)∈R2 |y 6=x+ 1+2k2 π, k∈Z}
(g) Df ={(x, y)∈R2 | 4x2+y2 <16} 6. (b) γ : [0,2π]→R2, γ(t) = (cost,√1
3sent) (c) (0,−√13)
(d) (√23,12,√23) 7. No n´ıvel 2.