MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAC GOIÁS

ALEXANDRE COSTA SANTOS ALESSANDRO MIGUEL MANSO DEUSAIR WELLINGTON PEREIRA

KLÉCIO HOLANDA DE SOUSA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Atividade disciplina Matemática financeira, apresentada ao curso de gestão da tecnologia da informação, da Faculdade de Tecnologia Senac ministrado pelo professor Niuza Adriane da Silva.

Goiânia 2017

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Sumário

1. INTRODUÇÃO ... 3

2. PRINCIPAIS FORMAS DE AMORTIZAÇÕES DE LONGO PRAZO ... 3

3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ... 5

4. SISTEMA PRICE (SISTEMA FRANCÊS) ... 7

4.1 Sistema price – período de carência ... 9

5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA) ... 10

6. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) ... 12

7. REFERÊNCIAS ... 13

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3 1. INTRODUÇÃO

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos.

2. PRINCIPAIS FORMAS DE AMORTIZAÇÕES DE LONGO PRAZO

O SAC - Sistema de Amortização Constante - nos Financiamentos Imobiliários

Amortizar significa abater uma obrigação em partes, em outras palavras, a amortização compreende obrigações cumpridas em tratos sucessivos.

Nos sistemas de amortização, em regra, cada prestação é formada pela soma de uma fração do capital com os juros do período.

No sistema de amortização misto (SAM), a prestação e juros correspondentes ao período são calculados pela média aritmética do valor das parcelas e dos juros do mesmo período pelos sistemas de amortização constante e francês; no sistema

americano, durante o prazo convencionado, são pagos apenas juros periódicos, restando o capital integral para pagamento no final; o sistema alemão é semelhante ao sistema francês com juros pagos no início e não no final do período etc.

A par desses sistemas, no Brasil são utilizados, basicamente, o sistema francês ou tabela

“price” e o “Sistema de Amortizações Constante” (SAC).

Sendo assim, a tabela price envolve a cobrança de juros capitalizados de forma composta, o que afronta o disposto no art. 4º, do Decreto n. 22.626/33. Demais disso, esse sistema infringe o princípio da transparência em razão da necessidade de fórmula paramétrica para obtenção do valor das parcelas, o que é vedado pelo art. 52, do Código de Defesa do Consumidor.

A própria análise das obras do Dr. Richard Price nos leva à conclusão da capitalização composta de juros nesse sistema, o que o torna ilegal se a capitalização não respeitar a periodicidade anual.

De fato, na obra Observations on Reversionary Payments (Londres, T. Cadell, in the Strand, M.DCC.LXXI), o Dr. Richar Price define um plano de amortização da dívida

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4 pública do Reino Unido, fundamentada em juros capitalizados de forma composta, o que originou a atual tabela Price.

De outro lado, utilizado cada vez com mais frequência, substituindo gradativamente a tabela price nos financiamentos imobiliários, surge o SAC (“Sistema de Amortização Constante”).

O “Sistema de Amortização Constante”, bastante simples, não envolve os labirínticos cálculos e digressões matemáticas requeridos para a compreensão do sistema francês.

Com efeito, as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes (no “sistema francês” as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta).

O SAC consiste no plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão aritmética, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e outra parcela de capital (ou amortização).

Os valores das prestações são facilmente calculados. A parcela de capital é obtida dividindo-se o valor do empréstimo (ou financiamento) pelo número de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é obtido pela multiplicação da taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior (José Dutra Vieira Sobrinho.

Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1997, p. 230).

Sendo assim, o “Sistema de Amortização Constante” não importa na capitalização composta de juros e, sob tal aspecto, não afronta o art. 4º, do Decreto n. 22.626/33.

As amortizações correspondem exatamente a uma parcela do capital em razão do prazo.

Conseguintemente, não resta capital excedente para contagem de juros, como ocorre na tabela price.

Para comprovar essa afirmação, corrobora a inferência que se extrai da comparação do valor total dos juros cobrados pelo “Sistema e Amortização Constante” com o valor total dos juros cobrados em cada parcela pela sistemática de apuração do montante (valor futuro) com juros capitalizados de forma simples, cujos resultados são idênticos.

Com supedâneo nesse dispositivo, quando os juros ajustados forem pagos por

antecipação, o cálculo deve ser feito de modo que a importância desses juros não exceda a que produziria a importância líquida da operação no prazo convencionado.

No “Sistema de Amortização Constante” a importância líquida da operação não ultrapassa esse limite. Portanto, não há afronta ao Decreto n. 22.626/33.

Ultrapassada essa barreira, surge outra dificuldade para afrontar a afirmação inicial de que não há juros capitalizados de forma composta no “Sistema de Amortização

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5 Constante”, consistente na apuração de cada parcela – capital inicial - pela fórmula de obtenção do valor atual de acordo com os juros capitalizados de forma simples aplicada a cada parcela desse sistema.

Entrementes, no “Sistema de Amortização Constante” são pagos juros idênticos àqueles devidos pelo cálculo de juros capitalizados de forma simples sobre cada parcela de capital, de tal sorte que há respeito ao disposto no art. 6º, do Decreto n. 22.626/33.

O que a lei exige é que o valor total de juros pagos seja idêntico àquele apurado com a aplicação de juros capitalizados de forma simples às parcelas de capital.

Isso ocorre no “Sistema de Amortização Constante”.

Em consonância com o acatado, seja sob a ótica da inexistência de capitalização composta de juros, seja sob o prisma de antecipação de juros com resultado idêntico quanto aos valores cobrados pelo cálculo de juros simples, não há ilegalidade no

“Sistema de Amortização Constante” (SAC).

Tampouco, o “Sistema de Amortização Constante” afronta a boa-fé e o princípio da transparência exigido pelo Código de Defesa do Consumidor.

Com efeito, o valor das prestações é constante, de simples apuração, bastando, para tanto, dividir o capital pelo prazo, inexistindo, assim, fórmulas paramétricas complexas para sua apuração. Os juros contratados incidem sobre o capital amortizado.

Certo é que, se houver amortização extraordinária, o valor total pago pelo sujeito passivo da obrigação será menor, o que não impede a prestação da informação nos termos da contratação original.

3. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)

No sistema de amortização constante (SAC) a parcela de amortização da dívida é calculada tomando por base o total da dívida (saldo devedor), dividido pelo prazo do financiamento, como um percentual fixo da dívida, desta forma, é considerado um sistema linear. No SAC a prestação inicial é um pouco maior que na Tabela PRICE, pois o valor que é pago da dívida (amortização) é maior, assim, se liquidará uma parcela mais significativa da dívida desde o início do financiamento e se pagará menos juros ao longo do contrato. À medida que a dívida começa a ser amortizada, a parcela dos juros e consequentemente a prestação como um todo tende a decrescer, uma vez que o próprio saldo devedor se reduz. Com isso, no SAC, o saldo devedor e a sua prestação tendem a decrescer de forma constante desde o início do financiamento e não deixam resíduos,

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6 desta forma, o devedor estará menos exposto em caso de aumento do indexador do contrato (a TR, TJLP ou INCC) durante o financiamento. Este sistema é bastante

utilizado pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), no Programa Minha Casa Minha Vida. Também pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários,

empréstimos através de entidades governamentais, ou seja, recursos repassados pelo BNDES e BRDE. Caso dos financiamentos de investimentos, Pronaf Agropecuário e outros. Para explicitar melhor, tomaremos um exemplo padrão para todos os sistemas, exceto no Método Hamburguês.

O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.

Sistema de Amortização Constante (SAC)

n Juros Amortização Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00

2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00

3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00

4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00

5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0

Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00

Por exemplo, o crédito Aporte Caixa, que nada mais é do que um empréstimo pelo sistema SAC, e que pode ser utilizado para qualquer necessidade. Tem o limite do crédito concedido conforme a capacidade de pagamento do interessado, com juros de 1,91667% a.m. mais o Taxa Referencial de Juros (TR) e o prazo para saldar a dívida é de 120 meses. O SAC é um financiamento com prestações decrescentes, ou seja, no início as prestações são maiores e vão decrescendo constantemente. Quando se contrai o empréstimo por este sistema, deve-se ter renda maior no início ou então ter uma sobra para poder bancar maior valor no início do empréstimo, sendo que quanto mais para o

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7 final, mais fácil ficará para pagar as prestações, sabendo que elas serão menores com o passar do tempo. Ainda sobre o sistema SAC, podemos citar um grande exemplo de empréstimo que está sendo muito utilizado pelos agricultores da nossa região. Este programa chamado de Mais Alimento, com recursos do BNDES, e que tem prazo de três anos de carência para ser iniciado o pagamento, sendo 10 anos o limite máximo de quitação de dívida contraída, podendo ser financiado até cem mil reais, com

determinada taxa de juros. Deste modo estaremos a partir de agora, demonstrando empréstimos com período de carência para o início do pagamento, com exemplo padrão para os sistemas, SAC, SACRE e PRICE.

Com certeza este é o Sistema estudado que menos acarreta pagamento de juros, pelo simples fato de as prestações iniciais serem mais altas, diminuindo assim rapidamente o saldo devedor. Portanto sempre que o devedor tiver uma reserva em dinheiro, é salutar optar por instituições e empréstimos calculados pelo Sistema SAC, desta forma, se poderá quitar já no início uma parte da dívida diminuindo assim a quantidade de juros a ser pago.

4. SISTEMA PRICE (SISTEMA FRANCÊS)

“A denominação do Sistema de Amortização Francês vem do fato de ter sido utilizado primeiramente na França, no século XIX. ” (SAMANEZ,2002, pág.208). Ao contrário do sistema SAC onde a amortização é igual, na Tabela PRICE, todas as prestações são iguais, periódicas e sucessivas. Este sistema seria ideal se não existisse no

financiamento imobiliário a figura do indexador da prestação (índices: TR, TJLP, INCC, CUB, IGPM, etc.). Para um financiamento de igual valor, a prestação da Tabela PRICE é sempre menor que a prestação no sistema SAC ou SACRE. Assim, no

mecanismo de cálculo da Tabela PRICE, a parcela que serve para amortizar a dívida é mais baixa (menor) no início do financiamento e cresce ao longo do contrato. Na Tabela PRICE, as prestações podem aumentar durante todo o prazo de financiamento. Nesse sistema, se estará mais exposto a um aumento nos indexadores provocados por um aumento da inflação e não temos nenhuma garantia e nem poderemos adivinhar o que ocorrerá daqui a vinte anos, mesmo com a pretensa estabilidade. Apesar deste risco de aumento nos indexadores também existir nos demais mecanismos de amortização, ele é mais atenuado no sistema SAC ou SACRE já que o saldo devedor decresce mais

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8 rapidamente. Exatamente por isso, as instituições que adotam a Tabela PRICE nos seus financiamentos imobiliários tendem a aceitar um percentual menor de

comprometimento da renda do que o aceito no SAC ou SACRE Todas as prestações (pagamentos) são iguais.

Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Cálculo: O cálculo da prestação P é o produto do valor financiado VF=300.000,00 pelo coeficiente PMT dado pela fórmula

PMT =

i.(1+i)n

(1+i)n–1 Onde:

PMT= Valor Inicial;

I= é a taxa ao período;

N= é o número de períodos.

Para esta tabela, o cálculo fornece:

P = PMT × VF = 67.388,13

Sistema Price (ou Sistema Francês)

0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87

2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21

3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40

4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28

5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0

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9 Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65

Para um determinado período, os juros são calculados sobre o saldo devedor do

empréstimo ao início deste mesmo período. A diferença entre o valor da prestação e os juros respectivos, dá origem ao valor da amortização, sendo que o saldo devedor é igual ao saldo devedor do período anterior menos a amortização do respectivo período. Este financiamento é ideal para pagamento de veículos e crediário em geral, onde o prazo é curto e a prestação é fixa, mas, pode ser inadequado para financiamentos em longo prazo que contenham um indexador que na hipótese de acelerar poderá deixar resíduo a ser renegociado no final do contrato. Isto é o que o Financista Dr. Eduardo Fortuna, chamou em seu livro Best Seller, Mercado Financeiro Produtos e Serviços, de

“Pagamento do Castelo do Conde Drácula”. Este sistema é o mais utilizado pelas instituições financeiras nas suas linhas de crédito. Prova disso é a infinidade de empréstimos praticados na Tabela PRICE. Um exemplo é o Financiamento Estudantil (FIES), específico para alunos de curso superior. Podemos citar também a enorme quantidade de empréstimos consignados, destinados aos aposentados, pensionistas e funcionários de empresas públicas ou privadas. Neste caso o desconto é feito direto na folha de pagamento do devedor.

4.1 Sistema price – período de carência

Sistema Price (ou Sistema Francês)

0 0 0 0 100.000,00

1 10.000,00 0 0 110.000,00

2 11.000,00 0 0 121.000,00

3 12.100,00 0 0 133.100,00

4 13.310,00 14.029,75 27.339,75 119.070,25

5 11.907,03 15.432,73 27.339,75 103.637,53

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6 10.363,75 16.976,00 27.339,75 86.661,53

7 8.666,15 18.673,60 27.339,75 67.987,93

8 8.666,15 20.540,96 27.339,75 47.446,97

9 4.744,70 22.595,05 27.339,75 24.851,92

10 2.485,19 24.854,56 27.339,75 -2,64

Totais 91.375,61 133.102,64 191.378,25

Notamos que as prestações são sempre iguais neste sistema. É claro que devemos ter em mente que pode acontecer de os indexadores de contratos aumentarem e forçar um novo cálculo, mas estamos considerando todos os financiamentos sem levar em conta estes fatores e as taxas cobradas pelos bancos e instituições financeiras ou comerciais.

Percebemos um valor maior de juros pago neste sistema do que no SAC e SACRE, justamente por conta das primeiras parcelas serem maiores nos sistemas do capítulo um e dois, diminuindo mais rapidamente o saldo devedor.

5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA)

Na visão de Zentgraf (2007, p. 364), nesse sistema “o mutuário paga periodicamente apenas os juros do financiamento e devolve o capital emprestado de uma só vez no final do prazo contratado. Essa é a razão de muitos autores o classificarem como Sistema de Juros Constantes”. Na versão mais comum do sistema americano, conforme Araújo (1993, p. 202), os juros são pagos periodicamente e as amortizações de uma única vez no último período. Há casos em que os juros não são pagos periodicamente e, assim, o saldo devedor deve ser capitalizado. Da mesma forma, Assaf Neto (2001, p. 357) escreve que o sistema americano estipula que “a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez. Não se prevê, de acordo com esta característica básica do SAA, amortizações intermediárias durante o período de empréstimo.

Os juros costumam ser pagos periodicamente”. Mathias e Gomes (2002, p. 321) definem o sistema americano de forma semelhante; entretanto, dão o nome de carência

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11 ao prazo em que se pagam somente os juros. Veras (1991, p. 193) assegura que “por esse sistema, é indiferente que o regime de juros seja simples ou 62 composto; pois como os juros são pagos periodicamente, o saldo devedor é sempre o mesmo, o que não muda o valor básico para o cálculo dos juros” [sic]. Para Casarotto Filho e Kopittke (1996, p. 76), quem toma empréstimo nesse sistema deve normalmente formar um fundo para amortizar o principal; se a taxa do fundo for igual à taxa do empréstimo, tudo se passará como no sistema francês, pois o desembolso total será igual à prestação desse sistema. Da mesma forma, Kuhnen (2006, p. 189) observa que é comum ser constituído um fundo de amortização, com o objetivo de gerar um saldo no final do período equivalente ao valor a pagar no empréstimo, evitando-se o grande desembolso em uma única parcela. Classificando a criação desse fundo como habitual, Mathias e Gomes (2002, p. 322) observam que “o chamado sinking fund, que muitas vezes é confundido com o ‘sistema americano’, é um fundo de amortização constituído pelo mutuário para pagar o principal devido. Com tal providência, o mutuário procura evitar o problema de liquidez que surgiria devido a um grande desembolso de uma só vez”.

Segundo os autores (2002, p. 323), nas operações financeiras normais, via de regra, a taxa de juros da aplicação é menor que a taxa de juros cobrada pelo empréstimo.

SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA)

0 0 0 0 100.000,00

1 14.017,50 0 14.017,50 100.000,00

2 14.017,50 0 14.017,50 100.000,00

3 14.017,50 0 14.017,50 100.000,00

4 14.017,50 0 14.017,50 100.000,00

5 14.017,50 0 14.017,50 100.000,00

6 14.017,50 100.000,00 14.017,50 100.000,00

Totais 84.105,50 100.000,00 184.105,00 0

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12 6. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)

Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).

Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.

Cálculo:

PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

n PSAC PPrice PSAM

1 72.000,00 67.388,13 69.694,06

2 69.600,00 67.388,13 68.494,07

3 67.200,00 67.388,13 67.294,07

4 64.800,00 67.388,13 66.094,07

5 62.400,00 67.388,13 64.894,07

Sistema de Amortização Misto (SAM)

0 0 0 0 300.000,00

1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94

2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11

3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20

4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14

5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0

Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94

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13 7. REFERÊNCIAS

A ENCICLOPÉDIA LIVRE, WIKIPÉDIA. Sistema de Amortização. Disponível em:

Acesso em: 20 de jul. de 2009.

A ENCICLOPÉDIA LIVRE, WIKIPÉDIA. Sistema de Amortização. Disponível em:

Acesso em: 20 de jul. de 2009.

BOYER, C. História da matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 2002.

CAVALHEIRO, Luiz A.F. Elementos de Matemática Financeira. Rio de Janeiro, Editora FGV, 11a ed., 1989.

FURTADO, DAIANI.Sistema de Amortização. Disponível em: Acesso em: 21 de jul.

de 2009.

MEIRELLES,MARCOS. Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos.

Disponível em:< h ttp://www.fadepe.com.br/restrito/conteudo / 2_adm_matem_finan_sac_saf_saa.doc.> Acesso em: 21 set. De 2009.

SAMANEZ,Carlos Patricio.Matemática Financeira: Aplicações à análise de investimentos. São Paulo, Pearson Education do Brasil, ed 3, 2002.

http://www.scavone.adv.br/o-sac-sistema-de-amortizacao-constante-nos- financiamentos-imobiliarios.html

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/financeira/amortiza/amortiza.htm