5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

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Revisão: Virginia - Diagramação: Fabio - 01/02/2013

Unidade II

Na unidade I, estudamos as aplicações básicas em Matemática Financeira; agora, vamos aplicar os conceitos já estudados nos modelos de amortização.

5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do valor principal e encargos financeiros.

5.1 Sistema Financeiro da Habitação (SFH)

Criado em 1964, com o objetivo de viabilizar a concessão de financiamentos de longo prazo para aquisição da casa própria, o Sistema Financeiro da Habitação é composto por um complexo conjunto de leis e regras próprias que definem as condições da concessão do financiamento em cada época.

A concessão de um financiamento habitacional inicia-se com a procura, pelos interessados, de um agente financeiro. Os recursos para esse empréstimo podem ser oriundos das contas vinculadas do FGTS, Fundo de Garantia do Tempo de Serviço, do SBPE, Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo e demais fundos ou mesmo recursos próprios do agente financeiro.

A hipoteca do imóvel é a garantia do financiamento. Na vigência desse sistema (SFH), foram criados planos e formas de reajuste de prestações, com benefícios aos tomadores, causando o descasamento entre saldo e prestação, o que gerou um grande déficit a ser coberto pelo FCVS, Fundo de Compensação de Variações Salariais.

Há várias maneiras de amortizar uma dívida. É imprescindível, em cada operação, que as partes estabeleçam contrato para esclarecimento das formas, taxas e afins para o acerto da antecipação do montante e quitação da dívida.

Uma característica fundamental dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior.

Para cada sistema de amortização, é construída uma planilha financeira que relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.

São consideradas também, no SFH, modalidades de pagamento com e sem carência.

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Observação

Na carência, não há pagamento do valor principal, sendo pagos somente os juros, que podem eventualmente ser capitalizados durante esse período.

Os sistemas de amortização mais usados no mercado são:

• Sistema de Amortização Constante – SAC;

• Sistema de Amortização Francês (Price) – SAF;

• Sistema de Amortização Misto – SAM;

• Sistema de Amortização Americano – SAA;

• Sistema de Amortização Crescente – Sacre;

• Sistema de Amortização Variável (parcelas intermediárias).

Saiba mais

Você pode aprofundar o seu conhecimento sobre o SFH, Sistema Financeiro Habitacional, consultando o site do Banco Central: <http://

www.bcb.gov.br/?SFH>.

5.2 Definições básicas

Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam da forma pela qual o valor principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor. Antes de estudá-los, é importante definirmos os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos.

Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo para o devedor e retorno para o credor. Eles podem ser prefixados ou pós-fixados. O que distingue essas duas modalidades é a correção (indexação) da dívida em função de uma expectativa (prefixação) ou verificação posterior (pós-fixação) do comportamento de determinado indexador.

Nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos encargos financeiros em juros e correção monetária (ou variação cambial, no caso de a dívida ser expressa em moeda estrangeira) que vier a se verificar no futuro; nas prefixadas, estipula-se uma taxa única, a qual incorpora evidentemente uma

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expectativa inflacionária para todo o horizonte de tempo. Dessa forma, para uma operação pós-fixada, a taxa de juros contratada é aquela definida como real, isto é, situada acima do índice de inflação verificado no período.

Além do encargo real da taxa de juros, as operações pós-fixadas preveem também a correção monetária (ou variação cambial) do saldo devedor da dívida, o que representa normalmente a recuperação da perda de valor do capital emprestado e ainda não restituído, situação gerada pela desvalorização perante a inflação.

Nas operações prefixadas, os encargos financeiros são medidos por uma única taxa, que engloba os juros exigidos pelo emprestador e a expectativa inflacionária (correção monetária) para o período em vigência. Segundo Rovina (2009, pp. 24-25), alguns termos são muito importantes dentro do estudo da capitalização. São eles:

Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado período (data). É representada pela variável A.

Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos, sendo composto de uma parcela de capital chamada amortização e uma parcela de juros. É representada por PMT (abreviatura de payment, que significa pagamento), nomenclatura aqui utilizada em função de ser a representação mais comum na maioria das calculadoras financeiras.

Matematicamente, podemos agora descrever:

Prestação = Amortização + Juros.

PMT = A + INT

Carência: significa a postergação só do valor principal, excluídos os juros. Os encargos financeiros podem, dependendo das condições contratuais, ser pagos ou não durante essa etapa. No primeiro caso, eles são capitalizados e pagos junto à primeira parcela de amortização do valor principal ou distribuídos por várias datas pactuadas de pagamento. Contudo, é mais comum o segundo caso: serem pagos no período de carência.

Exemplo: ao tomar um empréstimo por 4 anos, a ser restituído em prestações trimestrais, o primeiro pagamento ocorrerá normalmente 3 meses (um trimestre) após a liberação dos recursos, vencendo os demais ao final de cada um dos trimestres subsequentes. Pode ocorrer um deferimento (carência) quanto ao pagamento da primeira prestação, iniciando 9 meses após o recebimento do capital emprestado. Nesse caso, diz-se que a carência corresponde a 2 trimestres, ou seja, ao prazo verificado entre a data convencional de início de pagamento (final do primeiro trimestre) e a do final do 9º mês.

Vejamos, por fim, as características dos sistemas de financiamento habitacional:

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• são basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do valor principal e encargos financeiros (juros da operação);

• utilizam exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior;

• obedecem certa padronização, tanto nos desembolsos quanto nos reembolsos;

• podem ter ou não carência; quando têm, normalmente são pagos os juros.

Temos ainda os conceitos de saldo devedor. Este é o elemento principal da dívida em um momento em que se tem deduzido o valor pago ao credor a título de amortização e de carência (que é uma diferenciação da data convencional do início dos pagamentos).

5.3 Sistema de Amortização Constante (SAC)

O Sistema de Amortização Constante tem como característica básica as amortizações sempre iguais do valor principal, em todo o prazo da operação. O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital (quantia emprestada) pelo número de prestações.

Nessa modalidade, os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos.

Em consequência do comportamento da amortização e dos juros, as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética.

Lembrete

Para o cálculo da amortização no SAC, é importante lembrar que:

• o capital da operação é dividido pelo número de parcelas;

• os juros incidem sempre sobre o saldo devedor.

Para sua melhor compreensão, exploremos agora um exemplo. Trata-se de empréstimo de R$

100.000,00, concedido dentro de um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações semestrais. Desconsidere a existência de um prazo de carência. Foram considerados juros de 7% a.s.

Devemos desenvolver uma planilha que mostre o desenrolar das prestações e dos juros.

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Tabela 6

Período Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 100.000,00

1 95.000,00 5.000,00 7000,00 12.000,00

2 90.000,00 5.000,00 6650,00 11.650,00

3 85.000,00 5.000,00 6300,00 11.300,00

4 80.000,00 5.000,00 5950,00 10.950,00

5 75.000,00 5.000,00 5600,00 10.600,00

6 70.000,00 5.000,00 5250,00 10.250,00

7 65.000,00 5.000,00 4900,00 9.900,00

8 60.000,00 5.000,00 4550,00 9.550,00

9 55.000,00 5.000,00 4200,00 9.200,00

10 50.000,00 5.000,00 3850,00 8.850,00

11 45.000,00 5.000,00 3500,00 8.500,00

12 40.000,00 5.000,00 3150,00 8.150,00

13 35.000,00 5.000,00 2800,00 7.800,00

14 30.000,00 5.000,00 2450,00 7.450,00

15 25.000,00 5.000,00 2100,00 7.100,00

16 20.000,00 5.000,00 1750,00 6.750,00

17 15.000,00 5.000,00 1400,00 6.400,00

18 10.000,00 5.000,00 1050,00 6.050,00

19 5.000,00 5.000,00 700,00 5.700,00

20 - 5.000,00 350,00 5.350,00

Total 100.000,00 73.500,00 173.500,00

O SAC determina que a restituição do valor principal (capital emprestado) seja efetuada em parcelas iguais. Assim, o valor de cada amortização devida semestralmente é calculado pela simples divisão do valor principal pelo número fixado de prestações, ou seja:

Amortização = valor do empréstimo / número de prestações

Amortização = 100 000 00

20 5 000 00

. ,

= Amortização = 5.000,00 ao semestre

Observação

Note que, no período 0 (zero), não há amortização, pois é o momento em que ocorre o empréstimo.

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Os pagamentos desses valores determinam decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos, ocasionando reduções nos valores semestrais dos juros e das prestações, como observamos na tabela.

Nesse exemplo, o cálculo de juros foi realizado como é mais comum nessas operações de crédito de médio e longo prazos: com a taxa equivalente composta. Assim, para uma taxa equivalente nominal de 30% ao ano, conforme a taxa equivalente semestral, os juros atingem 7% a.s. Vejamos.

Taxa equivalente semestral de 14,49% a.a. = 1 0 1449+ , – 1 = 1,07 – 1 = 0,07. Como é taxa devemos multiplicar por 100, resultando em 7% a.s.

Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior, apresentam valores aritmeticamente decrescentes, conforme são apurados na penúltima coluna da tabela exemplificada anteriormente. Ao final do primeiro semestre, os encargos financeiros correspondem a: 7% x 100.000,00 = R$ 7.000,00; ao final do segundo semestre: 7% x 95.000 = R$ 6.650,00; ao final do terceiro semestre: 7% x 90.000 = R$ 6.300,00; e assim por diante.

Lembrete

Para calcular os juros, considera-se sempre o saldo devedor do período anterior. Por exemplo, se desejamos calcular os juros do período 1, consideramos saldo devedor do período zero, se juros do período 2, consideramos saldo devedor do período 1.

Soma-se, em cada período, o valor da prestação semestral do financiamento. Assim, para o primeiro semestre, a prestação atinge: R$ 5.000,00 + R$ 7.000,00 = R$ 12.000,00; para o segundo semestre: R$

5.000,00 + R$ 6.650,00 = R$ 11.650,00. O mesmo processo foi realizado até o último período.

Pode ser observado, uma vez mais, que a diminuição de R$ 350,00 no valor dos juros em cada período é explicada pelo fato de as amortizações (fixas) reduzirem semestralmente o saldo devedor da dívida (base de cálculo dos juros) em R$ 5.000,00.

5.4 Expressões de cálculo do SAC

São desenvolvidas, a seguir, as expressões genéricas de cálculo de cada parcela da planilha do sistema de amortização constante.

Amortização (Amort): os valores são sempre iguais e obtidos por:

Amort PV

= n

PV = principal (valor do financiamento) n = número de prestações.

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Logo, PV

n Amort ₁= Amort ₂ = Amort ₃ … Amort _n PV

n Amort ₁+ Amort ₂ + Amort ₃ +… + Amort _n

Saldo devedor (SD): é decrescente em PA (progressão aritmética) pelo valor constante da amortização. Logo, a redução periódica do SD equivale a subtrair, do seu valor anterior, a amortização (PV/n) do período atual:

SD PV

= n

Juros (J): pela redução constante do saldo devedor, os juros diminuem linearmente ao longo do tempo, comportando-se como uma PA decrescente.

A expressão de cálculo dos juros é então esta:

J PV

n n t i

1= ⋅ − + ⋅( 1)

Prestação (PMT): é a soma da amortização com juros e encargos administrativos que deve ser analisada em cada situação de empréstimo com a instituição financeira.

PMT = Amort + J (não consideraremos encargos administrativos nesse modelo).

Algebricamente, a prestação é, portanto, assim expressa:

PMT PV

n n t i

= ⋅ + − + ⋅

[

¹ ⁽ ¹⁾

]

Vejamos um exemplo de cálculo de prestação no sistema SAC.

Um capital de R$ 100.000,00 financiado em 5 anos, com taxa de juros de 30% ao ano terá, pelo SAC, a prestação do 5º semestre de que valor?

Legenda:

PV = 100.000

n = 5 anos = 10 semestres

i = 30% ao ano. Transformando-a em taxa semestral: 1 0 30+ . –1 = 1,140175 – 1 = 0,140175 x 100 = 14,0175% a.s.

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Fórmula:

PMT PV

n n t i

= ⋅ + − + ⋅

[

¹ ⁽ ¹⁾

]

Substituindo:

PMT₅ 100 000

10 1 10 5 1 0 140175

= ^. ⋅ +

[

⁽ − + ⋅^{) ,}

]

PMT PMT

5

10 000 1 6 0 140175 18 410 50

= ⋅ + ⋅

[ ]

=

. ,

Vejamos a representação do cálculo na tabela em seguida:

Tabela 7

0 100.000,00

1 90.000,00 10.000,00 14017,5 24.017,50

2 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75

3 70.000,00 10.000,00 11214 21.214,00

4 60.000,00 10.000,00 9812,25 19.812,25

5 50.000,00 10.000,00 8410,5 18.410,50

6 40.000,00 10.000,00 7008,75 17.008,75

7 30.000,00 10.000,00 5607 15.607,00

8 20.000,00 10.000,00 4205,25 14.205,25

9 10.000,00 10.000,00 2803,5 12.803,50

10 - 10.000,00 1401,75 11.401,75

Total 100.000,00 77.096,25 177.096,25

Lembrete

Veja que podemos obter os valores das prestações do SAC, de qualquer período, pela fórmula a seguir ou pela tabela apontada.

PMT PV

n n t i

= ⋅ + − + ⋅

[

¹ ⁽ ¹⁾

]

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5.5 SAC com carência

A ilustração desenvolvida na tabela anterior não previu existência de prazo de carência para a amortização do empréstimo. Ao supor uma carência de dois anos (contada a partir do final do primeiro semestre), por exemplo, três situações podem ocorrer:

a) os juros são pagos durante a carência;

b) os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização;

c) os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor, gerando um fluxo de amortizações de maior valor.

Lembrete

Carência é o prazo concedido nas operações de financiamento em que o credor não paga ou não amortiza o valor principal da dívida contraída.

Vejamos, em seguida, um caso em que a tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada.

Exemplo 1. Ao final dos 4 primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros, atinge R$ 14.017,50, ou seja, 14,0175% x R$ 100.000,00. A partir do 5º semestre, tendo sido encerrada a carência de 2 anos, inicia-se a amortização do valor principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, desse momento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente:

Tabela 8 – SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros

Período/semestre Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 100.000,00

1 100.000,00 14.017,50 14.017,50

2 100.000,00 14.017,50 14.017,50

3 100.000,00 14.017,50 14.017,50

4 100.000,00 14.017,50 14.017,50

5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50

6 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75

7 70.000,00 10.000,00 11214 21.214,00

8 60.000,00 10.000,00 9812,25 19.812,25

9 50.000,00 10.000,00 8410,5 18.410,50

10 40.000,00 10.000,00 7008,75 17.008,75

11 30.000,00 10.000,00 5607 15.607,00

12 20.000,00 10.000,00 4205,25 14.205,25

13 10.000,00 10.000,00 2803,5 12.803,50

14 - 10.000,00 1401,75 11.401,75

Total 100.000,00 133.166,25 233.166,25

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Vejamos agora como fica a tabela, com relação ao mesmo exemplo, para o caso de carência e capitalização de juros.

Tabela 9 – SAC com carência (2 anos) e capitalização dos juros

0 100.000,00

1 114.017,50 -

2 129.999,90 -

3 148.222,64 -

4 168.999,75 -

5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51

6 135.199,80 16.899,97 21320,5857 38.220,56

7 118.299,82 16.899,97 18951,63174 35.851,61

8 101.399,85 16.899,97 16582,67777 33.482,65

9 84.499,87 16.899,97 14213,7238 31.113,70

10 67.599,90 16.899,97 11844,76984 28.744,74

11 50.699,92 16.899,97 9475,815868 26.375,79

12 33.799,95 16.899,97 7106,861901 24.006,84

13 16.899,97 16.899,97 4737,907934 21.637,88

14 - 16.899,97 2368,953967 19.268,93

Total 168.999,75 130.292,47 299.292,22

A tabela ilustra o plano de amortização da dívida na hipótese de os juros não serem pagos durante a carência. Nesse caso, os encargos são capitalizados segundo o critério de juros compostos e devidos integralmente quando do vencimento da primeira parcela de amortização.

Quando uma loja de móveis ou outra qualquer faz financiamento de um produto, e o pagamento inicia-se após 3 ou 4 meses, aplica-se o mesmo conceito aqui estudado. Vejamos isso com o exemplo a seguir.

Exemplo 2. Um banco concede um financiamento de R$ 660.000,00 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo SAC. A operação é realizada com uma carência de 3 meses, sendo pagos somente os juros nesse período.

Considerando uma taxa efetiva de juros de 2,5% ao mês, elabore a planilha de desembolsos desse financiamento.

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Tabela 10

0 660.000,00

1 660.000,00 16.500,00 16.500,00

2 660.000,00 16.500,00 16.500,00

3 660.000,00 16.500,00 16.500,00

4 577.500,00 82.500,00 16.500,00 99.000,00

5 495.000,00 82.500,00 14.437,50 96.937,50

6 412.500,00 82.500,00 12.375,00 94.875,00

7 330.000,00 82.500,00 10.312,50 92.812,50

8 247.500,00 82.500,00 8.250,00 90.750,00

9 165.000,00 82.500,00 6.187,50 88.687,50

10 82.500,00 82.500,00 4.125,00 86.625,00

11 - 82.500,00 2.062,50 84.562,50

Total 660.000,00 123.750,00 783.750,00

Observe, no período 1, que o valor pago como prestação é apenas aquele equivalente aos juros: R$ 16.500,00. Note ainda que a amortização só começa a acontecer depois do prazo de carência, ou seja, no 4º mês. Lembre que: Amort PV

= n ; no caso: 660.000/8 = 82.500, ou seja:

valor do emprestimo numero de parcelas

´

´ . Portanto, a prestação de cada período equivale à soma: juros + amortização.

Exemplo 3. Um banco concede um financiamento de R$ 100.000,00 para ser liquidado em 10 anos, mediante SAC.

Considerando uma taxa efetiva de juros de 25% a.a., elabore a planilha de desembolsos desse financiamento.

Observação

Ignora-se a carência quando não mencionada no problema. Nesse caso, a amortização já começa então no 1º mês.

Lembremos da fórmula: amortização = valor do emprestimo numero de parcelas

´

´ Temos então = 100 000

10 000. 10 000 00

. = . ,

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Tabela 11

0 100.000,00

1 90.000,00 10.000,00 25.000,00 35.000,00

2 80.000,00 10.000,00 22.500,00 32.500,00

3 70.000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,00

4 60.000,00 10.000,00 17.500,00 27.500,00

5 50.000,00 10.000,00 15.000,00 25.000,00

6 40.000,00 10.000,00 12.500,00 22.500,00

7 30.000,00 10.000,00 10.000,00 20.000,00

8 20.000,00 10.000,00 7.500,00 17.500,00

9 10.000,00 10.000,00 5.000,00 15.000,00

10 - 10.000,00 2.500,00 12.500,00

Total 100.000,00 137.500,00 237500

6 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS

O Sistema de Amortização Francês (SAF), desenvolvido originalmente pelo inglês Richard Price, assumiu essa denominação pelo seu uso amplamente generalizado na França no século passado.

Amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil, estipula que as prestações sejam iguais, periódicas e sucessivas. Equivalem, em outras palavras, ao modelo de fluxos de caixa. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes, e as parcelas de amortização assumem valores crescentes.

No SAF, os juros decrescem, e as amortizações crescem ao longo do tempo. A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação. É importante, então, que o aluno veja as principais diferenças entre o SAC e o SAF, pois os valores pagos ao final do período de cada um deles são diferentes.

Para exemplificar, a planilha financeira do SAC é mais bem elaborada partindo-se da última coluna para a primeira, isto é, calculam-se inicialmente as prestações e, posteriormente, para cada período, os juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor.

Da mesma forma em que ocorre com o SAC, o SAF pode ser realizado com ou sem carência, capitalizando ou não os juros durante a carência.

Exemplo 1 - SAF sem carência. Consideremos a mesma situação de exemplos já citados:

financiamento de R$ 100.000,00, com prazo de pagamento de 10 semestres, com taxas de 14,01755% ao semestre.

(13)

Tabela 12

0 100.000,00

1 94.833,06 R$5.166,94 14.017,50 R$19.184,44

2 88.941,84 R$5.891,22 13.293,22 R$19.184,44

3 82.224,83 R$6.717,02 12.467,42 R$19.184,44

4 74.566,25 R$7.658,57 11.525,87 R$19.184,44

5 65.834,14 R$8.732,12 10.452,32 R$19.184,44

6 55.878,00 R$9.956,14 9.228,30 R$19.184,44

7 44.526,26 R$11.351,74 7.832,70 R$19.184,44

8 31.583,28 R$12.942,97 6.241,47 R$19.184,44

9 16.826,03 R$14.757,25 4.427,19 R$19.184,44

10 0,18 R$16.825,85 2.358,59 R$19.184,44

R$99.999,82 91.844,58 R$191.844,40

As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de valor presente:

PV = PMT x FPV (i,n) PV = valor presente

PMT = valor da prestação periódica, igual e sucessiva FPV = fator de valor presente, sendo:

FPV i

i

= − +1 1( )⁻n

Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação, tem-se:

100 000 00 1 1140175

0 140175

100 000 1 0 269

10

. , ( , )

,

. ( ,

= ⋅ −

−

PMT

PMT 3330

0 140175

100 000 0 73067

0 140175

100 000 5 2125

) ,

. ,

,

. ,

= ⋅

= ⋅ PMT

PMT 555

100 000

5 212555 19 184 44

PMT= . = semestre

, . , /

(14)

Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos períodos. Assim, para o primeiro semestre, têm-se:

• Juros (calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior): 14,0175% x 100.000,00 = R$

14.017,50.

• Amortização (obtida pela diferença entre o valor da prestação e dos juros acumulados para o período): R$19.184,40 – R$ 14.017,50 = R$5.166,90.

• Saldo devedor (saldo anterior no momento zero – parcela de amortização do semestre):

R$100.000,00 – R$ 5.166,90 = R$94.833,10.

Para o segundo semestre, os cálculos são os seguintes:

• Juros: 14,0175% x R$94.833,70 = R$13.293,20.

• Amortização: R$ 19.184,40 – R$ 13.293,20 = R$ 5.891,20.

• Saldo devedor: R$ 94.833,10 – R$ 5.891,20 = R$ 88.941,90, e assim por diante.

6.1 Expressões de cálculo do SAF

No SAF, as prestações são constantes, os juros, decrescentes e as amortizações, exponencialmente crescentes ao longo do tempo. As expressões básicas de cálculo desses valores são desenvolvidas a seguir.

Amortização (Amort): é obtida pela diferença entre o valor da prestação e os juros:

Amort = PMT – J

A amortização do primeiro período é assim expressa:

Amort₁ = PMT – J₁, o que equivale a:

Amort₁ = PMT – (PV x i).

Como o seu crescimento é exponencial no tempo, o valor da amortização num momento t qualquer é calculado desta forma:

Amort1 = Amort1 x (1 + i)^t-1

Por exemplo, o valor da amortização no 4º semestre atinge:

Amort4 = 5.166,90 x (1 + 0,140175)^4–1 Amort4 = 7.658,60 (valores arredondados)

(15)

Prestação (PMT): conforme demonstrado, o valor da prestação é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelo padronizado para fluxos de caixa:

PMT PV

FPV i n

= ⋅ 1 ( , ) Onde:

FPV i n i

i

n

( , )= − +1 1( )⁻

Vale salientar que os cálculos das prestações foram realizados em exemplos anteriores.

Saldo devedor (SD): para cada período, é calculado pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do período. Logo, para uma dada taxa de juros, o saldo devedor de qualquer período é assim apurado:

SD_t = PMT x FPV (i, n–t)

SD PMT i

i

= ⋅ − +1 1( )^{− −}⁽n t⁾

Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre do financiamento atinge:

SD

= ⋅ − +

= ⋅

19 184 44 1 1 0 140175− −

0 140175

19 184 44 0 4

10 6

. , ( , )

,

. , ,

( )

008283 0 140175 19 184 44 2 912667 55 877 88

,

. , ,

. , SD

SD

= ⋅

=

Cumpre observar que, nas planilhas, o resultado pode ocorrer com pequenas diferenças nos centavos. No nosso caso não consideramos arredondamentos, pois as tabelas foram desenvolvidas no Excel.

Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de cada período imediatamente anterior). A expressão de cálculo de juros pode ser ilustrada desta forma:

(16)

J₁ = SD₀ x i = PV x i

J₂ = SD₁ x i = (PV – Amort) x i

J₃ = SD₂ x I = (PV – Amort1 – Amort2 ) x i E assim, sucessivamente.

6.2 SAF com carência

De modo idêntico aos demais sistemas, no SAF, podem-se verificar períodos de carência, nos quais, ainda, os encargos financeiros podem ser pagos ou capitalizados.

A seguir, ilustramos a situação em que os juros são pagos durante a carência e capitalizados para resgate posterior (juntamente às prestações).

Exemplo 1 – SAF com carência (2 anos) e pagamentos dos juros.

Tabela 13

0 100.000,00

1 100.000,00 14.017,50 14.017,50

2 100.000,00 14.017,50 14.017,50

3 100.000,00 14.017,50 14.017,50

4 100.000,00 14.017,50 14.017,50

5 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40

6 88.941,93 5.891,17 13.293,23 19.184,40

7 82.224,96 6.716,96 12.467,44 19.184,40

8 74.566,45 7.658,52 11.525,88 19.184,40

9 65.834,40 8.732,05 10.452,35 19.184,40

10 55.878,34 9.956,06 9.228,34 19.184,40

11 44.526,68 11.351,65 7.832,75 19.184,40

12 31.583,81 12.942,87 6.241,53 19.184,40

13 16.826,67 14.757,14 4.427,26 19.184,40

14 0,95 16.825,72 2.358,68 19.184,40

Total 99.999,05 147.914,95 247.914,00

Observação

O cálculo da prestação no 5º período foi realizado com a fórmula vista anteriormente:

(17)

86

PMT PV

FPV i n

Onde FPV i n i

i

n

= ⋅

= − + 1

1 1 ( , )

: ( , ) ( )

O sistema francês com carência e pagamento dos juros no período segue basicamente o mesmo esquema anterior (SAF sem carência), diferenciando-se unicamente quanto às prestações dos 4 primeiros semestres (carência). Nesses períodos, são previstos somente pagamentos de R$ 14.017,50 referentes aos juros do valor principal não amortizado (14,0175% x R$ 100.000,00).

Observação

Para os demais semestres, o raciocínio é idêntico ao formulado anteriormente, apurando-se prestações com valores constantes, juros decrescentes e amortizações crescentes.

No quadro SAF com carência, está prevista a capitalização dos juros durante o período de carência de 4 semestres. Somando esse montante ao saldo devedor, tem-se um novo valor ao final do 4º semestre:

de R$169.000,00, o qual serve de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir do 5º semestre, ou seja:

saldo devedor (4º semestre) serve de base para o cálculo das prestações após o período de carência (5º semestre):

R$ 100.000,00 x (1,140175)⁴ = R$ 169.000,00

Prestação (PMT) semestral a ser paga a partir do 5º semestre será:

PV PMT i

i

= ⋅ − +1 1( )⁻n

169 000 1 1 0 140175

0 140175

169 000 1 11401

10

. ( , )

,

. ( ,

= ⋅ − +

= ⋅ −

−

PMT

PMT 775

0 140175

169 000 1 0 269330

0 140175 169 000

) 10

,

. ( , )

, .

−

= ⋅ −

= PMT PMT⋅⋅

= ⋅

= =

0 730669 0 140175

169 000 5 212548

169 000 , ,

. ,

. PMT

PMT 332 42176. ,

(18)

MATEMÁTICA FINANCEIRA

169 000 1 11401

. =PMT⋅ −( , 775 0 140175

169 000 1 0 269330

0 140175 169 000

) 10

,

. ( , )

, .

−

= ⋅ −

= PMT PMT⋅⋅

= ⋅

= =

0 730669 0 140175

169 000 5 212548

, ,

. ,

PMT

PMT 332 42176. ,

AO SEMESTRE

O preenchimento da planilha financeira a partir do final do período de carência é análogo ao proposto anteriormente. Os valores 169.000 e 198,999,75 são os mesmos, foram arredondados para facilitar.

Vejamos:

Tabela 14

0 100.000,00

1 114.017,50 14.017,50

2 129.999,90 15.982,40

3 148.222,64 18.222,74

4 168.999,75 20.777,11

5 160.267,62 8.732,13 23.689,54 32421,67

6 150.311,46 9.956,16 22.465,51 32421,67

7 138.959,70 11.351,76 21.069,91 32421,67

8 126.016,71 12.942,99 19.478,68 32421,67

9 111.259,43 14.757,28 17.664,39 32.421,67

10 94.433,55 16.825,88 15.595,79 32.421,67

11 75.249,10 19.184,45 13.237,22 32.421,67

12 53.375,47 21.873,63 10.548,04 32.421,67

13 28.435,71 24.939,76 7.481,91 32.421,67

14 0,02 28.435,69 3.985,98 32.421,67

Total 168.999,73 155.216,97 324.216,70

Exemplo 2. Um equipamento no valor de R$ 1.200.000,00 será financiado por um banco pelo prazo de 6 anos. A taxa de juros contratada é de 15% ao ano, e as amortizações anuais são efetuadas pelo SAF, Sistema de Amortização Francês.

O banco concede uma carência de 2 anos para o início dos pagamentos, sendo os juros cobrados nesse intervalo. Vamos preencher a tabela:

(19)

Tabela 15

0 1.200.000,00

1 1.200.000,00 180.000,00 180.000,00

2 1.200.000,00 180.000,00 180.000,00

3 1.062.915,72 137.084,28 180.000,00 317.084,28

4 905.268,80 157.646,92 159.437,36 317.084,28

5 723.974,84 181.293,96 135.790,32 317.084,28

6 515.486,78 208.488,05 108.596,23 317.084,28

7 275.725,52 239.761,26 77.323,02 317.084,28

8 0,07 275.725,45 41.358,83 317.084,28

Total 1.062.505,75 2.262.505,68

Recomendamos ao aluno refazer essas planilhas para treinar o aprendizado, pois o raciocínio matemático se desenvolve com a prática; devemos utilizar os três meios de absorção: audição, visão e sentimento ao aproximarmos os assuntos do nosso dia a dia.

7 TABELA PRICE

O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do SAF, Sistema de Amortização Francês.

Compreendamos como funciona o Sistema Price com exemplo em seguida, em que consideramos a taxa equivalente semestral de 14,0175 % para o cálculo dos juros (assim como aconteceu nos exemplos usados para o SAC).

Exemplo 1 - Sistema Price sem carência:

Tabela 16

0 100.000,00

1 97.752,91 2.247,09 5.000,00 7247,09

2 95.393,47 2.359,44 4.887,65 7247,09

3 92.916,05 2.477,42 4.769,67 7247,09

4 90.314,76 2.601,29 4.645,80 7247,09

5 87.583,41 2.731,35 4.515,74 7247,09

6 84.715,49 2.867,92 4.379,17 7247,09

7 81.704,17 3.011,32 4.235,77 7247,09

8 78.542,29 3.161,88 4.085,21 7247,09

9 75.222,32 3.319,98 3.927,11 7247,09

10 71.736,34 3.485,97 3.761,12 7247,09

(20)

89 Revisão: Virginia - Diagramação: Fabio - 01/02/2013

11 68.076,07 3.660,27 3.586,82 7247,09

12 64.232,78 3.843,29 3.403,80 7247,09

13 60.197,33 4.035,45 3.211,64 7247,09

14 55.960,11 4.237,22 3.009,87 7247,09

15 51.511,03 4.449,08 2.798,01 7247,09

16 46.839,49 4.671,54 2.575,55 7247,09

17 41.934,37 4.905,12 2.341,97 7247,09

18 36.784,00 5.150,37 2.096,72 7247,09

19 31.376,11 5.407,89 1.839,20 7247,09

20 25.697,83 5.678,28 1.568,81 7247,09

21 19.735,63 5.962,20 1.284,89 7247,09

22 13.475,32 6.260,31 986,78 7247,09

23 6.901,99 6.573,32 673,77 7247,09

24 0,00 6.901,99 345,10 7247,09

100.000,00 73.930,16 173930,16

Exemplo 2

Empréstimo: R$ 100.000,00 Prazo: 10 anos

Taxa: 25% a.a.

Usando a fórmula usada para séries de pagamentos iguais com termos postecipados:

Observação

O termo postecipado significa que o primeiro pagamento será realizado no período seguinte.

PMT = PV / FRC (i, n) ∴ PMT = 100.000,00 x 0,28007 = R$ 28.007,00 Em que:

FRC i n i

i

n

( , ) ( )

( , )

, ,

= − +

− +

−

1 1 1 1 0 25

0 25 1 0 107374

0 25 0 892625

10

00 25 3 5705 100 000

28 007 28

, ,

. . ,

=

= =

PMT

(21)

Unidade II

( , )

, ,

− +

−

1 1 0 25 0 25 1 0 107374

0 25 0 892625

00 25 3 5705 100 000

5 5705 28 007 28

, ,

.

, . ,

=

= =

PMT

Tabela 17

0 100.000,00

1 96.992,74 3.007,26 25.000,00 28.007,26

2 93.233,67 3.759,07 24.248,19 28.007,26

3 88.534,83 4.698,84 23.308,42 28.007,26

4 82.661,28 5.873,55 22.133,71 28.007,26

5 75.319,34 7.341,94 20.665,32 28.007,26

6 66.141,91 9.177,42 18.829,83 28.007,26

7 54.670,13 11.471,78 16.535,48 28.007,26

8 40.330,41 14.339,73 13.667,53 28.007,26

9 22.405,75 17.924,66 10.082,60 28.007,26

10 -0,07 22.405,82 5.601,44 28.007,26

Total 100.000,07 180.072,51 280072,58

Como o crescimento da amortização é exponencial, o valor dela, em um determinado momento t, é calculado da seguinte forma:

Amort_t = Amort₁ x (1 + i)^{t – 1}

Logo, Amort₆ = 3.007, 00 x (1,25)⁵ = 3.007,00 x 3,05176 = 9.176,64

Esse cálculo realizado pode ser desenvolvido para encontrar qualquer período.

7.1 Sistema de amortização misto

O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Trata-se simplesmente de uma mescla do Sistema de Amortização Francês (SAF) e do Sistema de Amortização Constante (SAC), por meio de uma média aritmética. Por ser uma mescla entre dois sistemas, recebeu a denominação de sistema misto. Para cada um dos valores do seu plano de pagamentos, devem-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC e dividir o resultado por dois. Ao se adotar o SAM para o empréstimo contraído, têm-se, para o primeiro período (semestre), os seguintes valores:

(22)

Tabela 18 – SAC

0 100.000,00

1 90.000,00 10.000,00 14017,5 24.017,50

2 80.000,00 10.000,00 12615,75 22.615,75

Tabela 19 – SAF

0 100.000,00

1 94.833,06 R$5.166,94 14.017,50 R$19.184,44

2 88.941,84 R$5.891,22 13.293,22 R$19.184,44

PMT Juros

SAM

= + =

= +

24 017 50 19 184 44

2 21 600 97

14 017 50 14

. , . ,

. ,

. , .. ,

. ,

. . ,

. , 017 50

2 14 017 50

10 000 5 166 90

2 7 583 45

=

= + =

Amort SD

SAM

SAM== 90 000 94 833 10+ =

2 92 416 55

. . ,

. ,

Para os demais semestres, segue-se o mesmo raciocínio, conforme a tabela:

Tabela 20

0 100.000,00

1 92.416,53 R$7.583,47 R$14.017,50 R$21.600,97

2 84.470,92 R$7.945,61 R$12.954,49 R$20.900,10

3 76.112,41 R$8.358,51 R$11.840,71 R$20.199,22

4 67.283,13 R$8.829,29 R$10.669,06 R$19.498,35

5 57.917,07 R$9.366,06 R$9.431,41 R$18.797,47

6 47.939,00 R$9.978,07 R$8.118,53 R$18.096,60

7 37.263,13 R$10.675,87 R$6.719,85 R$17.395,72

8 25.791,64 R$11.471,49 R$5.223,36 R$16.694,85

9 13.413,01 R$12.378,63 R$3.615,34 R$15.993,97

10 0,09 R$13.412,93 R$1.880,17 R$15.293,10

R$99.999,91 84.470,41 R$184.470,33

(23)

7.2 Comparações entre SAC, SAF e SAM

Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização é desenvolvida na tabela a seguir.

Tabela 21 – Comparação entre SAC, SAF E SAM

SAC SAF

Sado

devedor Amortização Juros Prestação Sado

devedor Amortização Juros Prestação

0 100.000,00 100.000,00

1 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50 94.833,06 5.166,94 14.017,50 19.184,44 2 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75 88.941,84 5.891,22 13.293,22 19.184,44 3 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 82.224,83 6.717,02 12.467,42 19.184,44 4 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25 74.566,25 7.658,57 11.525,87 19.184,44 5 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 65.834,14 8.732,12 10.452,32 19.184,44 6 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75 55.878,00 9.956,14 9.228,30 19.184,44 7 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 44.526,26 11.351,74 7.832,70 19.184,44 8 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25 31.583,28 12.942,97 6.241,47 19.184,44 9 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 16.826,03 14.757,25 4.427,19 19.184,44

10 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75 0,18 16.825,85 2.358,59 19.184,44

Total 100.000,00 77.096,25 177.096,25 99.999,82 91.844,58 191.844,40

Compare os valores com a tabela do sistema amortização mistos, que fizemos na tabela anterior.

7.3 Gráfico de comparação entre SAC, SAF e SAM

0 1 2 3 4

4,45 PMT ($)

24.017,50 21.601,00 19.184,40

SACPeríodo (n) SAM SAF

5 6 7 8 9 10

Figura 12

O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais para as prestações. Calculando-se analiticamente esse ponto de interseção, verifica-se que as prestações se igualam por volta da 4ª

(24)

prestação. No SAF, as prestações tornam-se maiores que as determinadas pelos demais sistemas de amortização.

Ponto de igualdade das prestações

PMT cons te

PMT PV

n n t i

PMT

SAF

SAC

=

= ⋅ + − + ⋅

[ ]

=

19 184 44

1 1

. , ( tan )

( )

1100 000

10. 1 10 1 0 140175

( ) ,

⋅ +

[

− + ⋅^t

]

Igualando PMT_SAC e PMT_SAF

100 000

10 1 10 1 0 140175 19 184 44 10 000 1 1 40175

. ( ) , . ,

. ,

⋅ + [ − + ⋅ ] ⁼

⋅ + −

t

00 140175 0 140175 19 184 44 10 000 14 017 50 0 140175

, , . ,

. . , ,

[ ⋅ + ] ⁼

+ − ⋅

t tt t

t

+ =

=

= =

1 40175 19 184 44 1 40175 6 234 81

6 234 81 1 40175

. , . ,

. ,

. , 44 45 ,

8 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO

O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado seja efetuada ao final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. De acordo com essa característica básica do SAA, não estão previstas amortizações intermediárias durante o período de empréstimo. Os juros costumam ser pagos periodicamente.

Exemplo 1

Tabela 22

0 100.000,00

1 100.000,00 14.017,50 14.017,50

2 100.000,00 14.017,50 14.017,50

3 100.000,00 14.017,50 14.017,50

4 100.000,00 14.017,50 14.017,50

5 100.000,00 14.017,50 14.017,50

6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50

Total 100.000,00 84.105,00 184.105,00

(25)

94

O exercício a seguir foi baseado em Boggiss (2003), Lapponi (1995) e Puccini (1983). Trata-se de um exercício-padrão, com redação muito próxima ao que geralmente se observa em treinamentos e testes de Matemática Financeira no Brasil.

Exemplo 2. Um financiamento para capital de giro no valor de R$ 2.000.000,00 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada é de 10% a.s., sendo adotado o Sistema Americano de Amortização para essa dívida, e os juros pagos semestralmente durante a carência.

Calcular o valor de cada prestação mensal.

Admita que a taxa de aplicação seja de 4% ao semestre. Calcular os depósitos semestrais que a empresa deve efetuar nesse fundo, de maneira que possa acumular, ao final do prazo de financiamento, um montante igual ao desembolso da amortização exigido.

Tabela 23

0 2.000.000,00

1 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00

2 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00

3 2.000.000,00 200.000,00 200.000,00

4 - 2.000.000,00 200.000,00 2.200.000,00

Total 2.000.000,00 800.000,00 2.800.000,00

Para ampliar o exemplo, vamos imaginar que, para facilitar o cumprimento da dívida de R$ 2.800.000,00 no final do período 4, a empresa decida fazer aplicações mensais para que tenha a quantia no final do período. Assim sendo, quanto deveria aplicar mensalmente?

O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no fundo de amortização é de R$ 470.980,00, isto é:

FV = 2.000.000,00

1 0

PMT PMT PMT PMT

2 3 4

Figura 13

PV PMT FPV i n

PV PMT i

i

PMT PV i

i PMT

n

= ⋅

= ⋅ + −

= ⋅

+ −

=

( , ) ( )

( ) . .

1 1

2 000 0000 0 04 1 04⁴ 1

⋅ −

=

, ( , )

(26)

i

PMT PV i

i PMT

= ⋅ n

+ −

=

( )

. .

1 1

2 000 0000 0 04 1 04 1 470 980 00

⋅ 4

−

=

, ( , ) . ,

PMT

8.1 Sinking fund ou fundo de amortização

Dentro do Sistema de Amortização Americano, costuma-se utilizar um dispositivo denominado sinking fund, ou fundo de amortização, cujo propósito é estocar poupanças periodicamente durante a vigência do empréstimo para, ao final do empréstimo, o montante do fundo igualar-se ao valor da dívida.

Lembrete

Lembre-se de que a preocupação em formar um fundo desse tipo é a de evitar que o mutuário tenha de desembolsar uma quantia muito grande de dinheiro de uma vez só.

Representando matematicamente, se considerarmos:

• a taxa de juros: i

• o período: n

• o montante igual ao principal: S

• o depósito do período: R

• o fato de valor presente em séries uniformes postecipadas (valor da tabela): K, surge a seguinte fórmula:

R = S / k

Por exemplo, se considerarmos um empréstimo de R$100.000,00 com uma taxa de juros de 12% ao ano e um prazo de 4 anos, é possível criarmos um fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 10% ao ano.

Se:

S = R$100.000,00

(27)

k: a constante para uma taxa de 10% e um período de 4 anos (4,641) R: o valor do depósito anual,

temos:

R = S/k

R = 100.000/4, 641 R = 21.547,08

É possível, dessa forma, obtermos a seguinte planilha:

Tabela 24

Anos Saldo devedor Depósito Juros

0 - - -

1 21.547,08 21.547,08 -

2 45.248,87 21.547,08 2.154,71

3 71.320,84 21.547,08 4.524,89

4 100.000,00 21.547,08 7.132,08

Total - 86.188,32 13.811,68

8.2 Sistema de Amortização Crescente (Sacre)

O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica Federal. Nele utiliza-se a metodologia de amortização constante (SAC anual), mas sem adicionar o valor da TR (Taxa Referencial).

Dessa forma, o Sacre proporciona uma amortização variável. Apesar do nome, amortização

“crescente”, ele pode resultar amortizações decrescentes, caso a TR esteja com valor baixo.

A intenção desse sistema misto é proporcionar maior amortização do valor emprestado, reduzindo ao mesmo tempo a parcela de juros sobre o saldo devedor. Comparando-o com a Tabela Price, descobre- se que a sua prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto na Tabela Price, 25%.

O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de um momento, as prestações começam a diminuir.

Para os cálculos do sistema Sacre, de acordo com a ABC (d.o.)¹, que utilizou dados do SFH, temos os seguintes conceitos:

1 ABC (ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE CONSUMIDORES). Cartilha SFH. Disponível em: <http://www.ongabc.org.br/

cartilha_shf.doc>. Acesso em: 01 dez. 2011.

5 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS

Unidade II

[

]

[

]

[

]

[ ]

[

]

[ ]

[

]

100 000

10 1 10 1 0 140175 19 184 44 10 000 1 1 40175

. ( ) , . ,

. ,

⋅ + [ − + ⋅ ] =

⋅ + −

t

00 140175 0 140175 19 184 44 10 000 14 017 50 0 140175

, , . ,

. . , ,

[ ⋅ + ] =

+ − ⋅

t tt t

t

+ =

=

= =

1 40175 19 184 44 1 40175 6 234 81

6 234 81 1 40175

. , . ,

. , . ,

. ,

. , 44 45 ,

⋅ + [ − + ⋅ ] ⁼

[ ⋅ + ] ⁼