O espectro de corpo negro e a cat´astrofe do ultra-violeta

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O espectro de corpo

negro e a cat´ astrofe do ultra-violeta

Marcelo Pires, Universidade Federal do ABC

O^t´^{ermica ´}^{que ´}^{e a radia¸}^{e a emiss˜}ao de ondas eletromagn´^c˜^{ao t´}êrmica? ^{A radia¸}eticas^c˜âo por um corpo como resultado da agita¸cão térmica dos átomos que compõe o corpo a uma temperature finita. Para uma temperature diferente de zero, todos os corpos emitem tal radia¸cão ao seu redor e também absorve a radia¸cão que esteja em volta dele. Não vemos os objetos irradiarem pois, em geral, muitas das radia¸cões são emitidas com frequências fora do intervalo de frequências do vis´ıvel. Como exemplo, a radia¸cão das paredes da sala estão na faixa do infra-vermelho.

Todos os corpos emitem um espectro cont´ınuo de radia¸c˜ao praticamente independente da composi¸c˜ao do corpo e fortemente dependente da temperatura do corpo.

Quando uma radia¸cão atinge um corpo qualquer, parte dessa radia¸cão é absorvida pelo corpo e parte

é refletida por ele. Um corpo que absorve toda a radia¸cão que seja incidida nele chamamos decorpo negro. Independente de sua composi¸cão, todo o

corpo negro a uma determinada temperatura, emite um mesmo espectro de radia¸cão térmica. Como exemplos de corpos negros podemos citar: um objeto pequeno pintado de cor preta ou uma cavidade com uma abertura umito pequena de tal forma que a radia¸cão que adentra a cavidade não sai.

Para obter o espectro de radia¸c˜ao de um corpo negro, definimos a radiˆancia espectral, R(ν, T).

O significado f´ısico da radiância é dado pelo valor R(ν, T)dν. Essa fun¸cão é a energia por unidade de tempo (a potência irradiada) emitida pelo corpo num intervalo de frequência, [ν, ν+dν], por unidade de

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area da superf´ıcie do corpo na temperatura T. Na figura abaixo, mostra a primeira medida da radia¸c˜ao espectral feita por Lummer e Pringsheim em 1899.

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Assim, a energia total emitida por unidade de tempo e por unidade de área é definida como radiância total,RT(T),

R_T(T) = Z ∞

0

R(ν, T)dν.

Um corpo real não tem essa propriedade, parte da radia¸cão absorvida pelo corpo se perde mesmo ele estando em equil´ıbrio térmico. Chamamos de emissividade, , a razão entre a radiância emitida pela radiância incidida no corpo. Em geral a emissividade depende da frequência. No corpo negro esse parâmetro é igual à 1.

Em 1879, Stefan mostrou, empiricamente que a radiˆancia total de um corpo negro dependia da temperatura a quarta potˆencia,

R_T(T) =σT⁴.

onde σ = 5,67×10⁻⁸W/s.m²K⁴, ´e uma constante universal chamada de constante de Stefan-Boltzman.

Na Austria, Wien observou, empiricamente, a lei de deslocamento do ponto m´aximo da radiancia espectral em fun¸c˜ao da temperatura,

ν_max ∝T.

Assim, não é somente a quantidade de radia¸cão térmica que irá crescer com a temperatura, mas também a cor de um corpo incandescente mudará do vermelho para o branco azulado. Hoje sabemos da constante de proporcionalidade de lei de Wien, portanto podemos escrevê-la como:

λmaxT = 2,898×10⁻³mK, ondeλ´e o comprimento da radia¸c˜ao.

Com o uso da lei de Wien, podemos estimar a temperatura das estrelas.

Wien propôs, também, uma fórmula que ajus- tasse os dados de Lummer and Pringsheim. Em sua fórmula emp´ırica,

RT(λ) = b·λ⁻⁵ e^a/λT −1,

ondeaebsão parâmetros fenomenológicos não tendo conexão alguma com a teoria microscópica.

Teoria cl ássica da radiaç ão de cavidade

Para obter uma descri¸cão microscópica da radia¸cão de corpo negro, faremos um programa que envolve o conhecimento de três áreas do conhecimento:

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1. Teoria eletromagnética: faremos o uso das ondas eletromagnéticas obtidas teóricamente por Maxwell e experimentalmente por Hertz.

2. Cálculo diferencial: o conhecimento de coor- denadas esféricas e parâmetros correlacionados como o elemento de volume ou o elemento de superf´ıcie já era conhecido na época.

3. Teorema da equiparti¸cão de energia: na época onde essa demonstra¸cão foi desenvolvida, os cientistas estavam encantados com o valor da contribui¸cão da termodinâmica e mecânica estat´ıstica proposta por Boltzmann, Gibbs e Maxwell.

Assim, para iniciar uma tentativa de descrever a radia¸cão de corpo negro por fenômenos microscópicos, supomos a cavidade como sendo um exemplo de corpo negro e calculamos, usando a f´ısica clássica, a densidade de energiaρT(ν) dentro da cavidade. Essa quantidade é definida como a energia contida numa unidade de volume da cavidade a uma tempratera T num intervalo de frequência [ν, ν+dν], e tem uma rela¸cão com a radiância espectral dada por:

R_T(ν) = c 4ρ_T(ν),

onde c= 3×10⁸m/s é a velocidade de propaga¸cão da luz no vácuo.

Lembrando que a luz é, classicamente, uma onda eletromagnética propagando no vácuo de acordo com a equa¸cão de onda para os seus campos elétricos e magnéticos:

(_∂2E~

∂t² =c∇²E~

∂²B~

∂t² =c∇²B~ , (1)

onde E~ é o campo elétrico eB~ é o campo magnético.

A forma mais simples para essas ondas é a forma harmônica. Para a propaga¸cão na dire¸cãoz, a solu¸cão da equa¸cão de onda é dada por:

(E(~~ r, t) =E0cos(2πx/λ±2πνt)ˆx

B~(~r, t) =B₀cos(2πx/λ±2πνt)ˆy . (2)

Na cavidade, as paredes são consideradas reflec- tores perfeitos, ou seja, são constituidos de metal onde os elétrons livres se movimentam na presen¸ca de qualquer campo de maneira tal a produzir um campo contrário anulando quaisquer campos na superf´ıcie.

Com o objetivo de facilitar o entendimento e sem perder a generalidade do assunto, vamos considerar uma cavidade c´ubica de lado a.

Na dire¸cão x, dentro da cavidade podemos ter uma onda eletromagnética especial. Como essa onda tem que satisfazer as condi¸cões de contorno,E(x~ = 0, t) = E(x~ = a, t = 0), temos como solu¸cão uma onda estacionária,

E(x, t) =~ E₀sin(2πx/λ) sin(2πνt)ˆz, (3) onde λ = 2a/n e ν = nc/2a com n = 1,2, . . . o

´ındice dos modos poss´ıveis da onda eletromagn´etica dentro da cavidade.

Dado um intervalo de frequência, [ν, ν+dν], é fácil verificar que a densidade de modos, é dada por:

N(ν)dν= 2adν c ,

onde consideramos que há duas polariza¸cões poss´ıveis para uma mesma dire¸cão. Analisando a questão em três dimensões, podemos determinar a densidade de estados contido numa casca esférica do espa¸co de frequência que representa um intervalo de raio, [ν, ν+dν].

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Nesse espa¸co, vemos que a densidade de modos ´e:

N(ν)dν = 4ν²dν c³ a³.

Para proceder com o programa proposto de descri¸cão microscópica da radia¸cão emitida pelo corpo negro, é necessário contabilizar a energia de cada modo de vibra¸cão dentro da cavidade. Esse modo de vibra¸cão é gerado pela movimenta¸cão térmica das part´ıculas que compões a cavidade. Uma deter- mina¸cão clássica dessa energia e sua rela¸cão com a temperatura pode ser fornecida pela teoria cinética dos gases aplicado a essas part´ıculas.

Sabemos da f´ısica estat´ıstica que o movimento caótico das part´ıculas constituintes de um gás a temperatura T, tem como distribui¸cão de energia a rela¸cão de Maxwell-Boltzmann,

p(E) =const.e^−E/k^B^T,

onde E ´e a energia da part´ıcula, kB = 1,38× 10⁻²³m²kg/s²K ´e a constante de Boltzmann.

Um colorário importante da lei de Mazwell- Boltzmann diz respeito aos graus de liberdade do sistema. Conhecido como teorema da equiparti¸cão da energia, temos que: Em um sistema em equil´ıbrio termodinâmico, a média da energia corre- pondendo a cada grau de liberdade ék_BT /2. Como as part´ıculas que produzem a radia¸cão estão confi- nadas de tal modo que tem seu movimento limitado a um movimento harmônico, e sabendo que esse movimento harmônico é conduzido por 2 graus de liberdade (1 referente à dire¸cão espacial e 1 referente

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a velocidade), temos que a energia média necessária para produzir uma radia¸cão de frequênciaν dentro da cavidade é,

E=kBT.

Conhecido a densidade de estados no intervalo de frequência [ν, ν+dν], e a rela¸cão da temperatura do corpo negro e energia média, temos que a radiância

´

e dada por:

R_T(ν)dν = 4ν

c k_BT dν,

ou seja,

R_T(λ)dλ= 8π

λ⁴k_BT dν.

Essa expressão é conhecida como fórmula de Rayleigh- Jeans. Ela, de fato, não descreve a radiância espectral obtida no laboratório pois essa fórmula apresenta um comportamento divergente para quando o comprimento de onda for pequeno. Esse fato é conhecido como a catástrofe do ultra-violeta da teoria clássica.

Além do mais, não é poss´ıvel determinar a radiância total do corpo negro, muito menos obter uma rela¸cão entre essa radiância total e a temperatura do corpo.

Havia, na época, uma suspeita de que a teoria de Maxwell nã ofuncionava para comprimentos de onda curtos. Mas os defensores dessa descri¸cão estavam equivocados.

Teoria qu ântica da radiaç ão de corpo negro

Em 1900, Max Planck assumiu que os modos de radia¸c˜ao dentro da cavidade consistiam de pacotes discretos com energia sendo,

E=nhν=n~ω, ~= h 2π,

onde h = 6,62 ×10⁻³⁴m²kg/s ´e a constante de Planck.

Dessa forma, não haveria, dentro da cavidade uma radia¸cão cuja energia fosse 0,25hν. A radia¸cão teria valores discretos de energia. A probabilidade de encontrar a radia¸cão com energia quantizadaE para um corpo negro na temperaturaT obedece a lei de Maxwell-Boltzmann e é dado por:

p(E) =const.e^−nhν/k^B^T.

Como esperamos que a soma de todas a poss´ıveis situa¸c˜oes seja igual `a 1,P∞

n=1p(E) = 1, temos,

p(E) = e^−nhν/k^B^T P∞

n=1e^−nhν/k^B^T,

e com isso o valor m´edio da energia ´e dado por:

E¯ = P∞

n=1nhνe^−nhν/k^B^T P∞

n=1e^−nhν/k^B^T .

A express˜ao para a m´edia da energia pode ser reescrita como,

E¯ = hν e^−hν/k^B^T −1,

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e, dessa forma, temos a radiˆancia espectral como, RT(ν) = 4ν²

c³

hν e^−hν/k^B^T −1, correspondendo a f´ormula de Wien.

Um dos resultados mais precisos da f´ısica, essa distribui¸cão pode ser confrontada com os dados experi- mentais do COBE. (Cosmic Background Explorer).¹. Esse experimento capta, via satélite, a radia¸cão cósmica de fundo. Segundo a teoria do BigBang, houve uma época em que havia um plasma que con- stituia todo o Universo. A medida que o Universo se expandiu, esse plasma foi esfriando. Em nossa época

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e poss´ıvel captar esses fótons observando a radia¸cão de micro-ondas do espa¸co vazio. Essa radia¸cão espectral apresenta uma caracter´ıstica de ser um corpo negro cuja temperatura seja de 2,7K. Os dados ex- perimentais obtidos pelo COBE ajusta perfeitamente a distribui¸cão proposta por Planck.

Integrando a radiância espectral em todas as frequências, vemos um comportamento de T⁴ da radiância total,

R_T = k_B⁴π² 15~³c³T⁴,

Exerc´ıcios

1. Obtenha os parˆametros a e b da f´ormula de Wien em termos da constante de Planck e de Boltzmann e a velocidade da luz.

1O Cosmic Background Explorer (COBE ou Explorador do Fundo Cósmico), também chamado de Explorer 66, foi o primeiro satélite constru´ıdo dedicado à cosmologia. Seu objetivo era investigar a radia¸cão cósmica de fundo do universo e fornecer medidas que pudessem ajudar na com- preensão do cosmos. Foi lan¸cado em 1989.

A radia¸cão cósmica de fundo é um ru´ıdo cosmológico que pode ser compreendido como um ”fóssil” de uma

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epoca em que o universo era muito novo. Ele é prove- niente da separa¸cão da intera¸cão entre a radia¸cão e matéria (época chamada de recombina¸cão). Nenhum dado cosmólogico registra informa¸cões de um estado tão novo do universo, sendo assim, fica claro a importância dos dados obtidos pelo COBE. Transcrito do wikipedia:

http://pt.wikipedia.org/wiki/COBE

2. A superf´ıcie do Sol pode ser aproximada como a de um corpo negro na temperatura TS, e o Sol a uma esfera de raio R_S. Em um lugar da superf´ıcie da Terra, cuja a vertical forma um ânguloθ com a dire¸cão em que se observa a esfera sol´ıstica, é considerada uma pequena

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areaσ. Seja da distˆancia Terra-Sol. Obtenha express˜oes aproximadas para:

a) as quantidadades de energia de radia¸cão solardE e E que chegam, por unidade de tempo, emσ em um pequeno intervalo de frequência dν em torno deν e com quaisquer frequência, respectivamente;

b) os números de fótons, N e dN que, proce- dentes do Sol, chegam a σ por unidade de tempo com quaisquer frequências e em um pequeno intervalo de comprimentos de ondadλem torno de λ;

c) determine o valor m´aximo do compimento de ondaλparadN/dλ e interprete o resultado.

3. Um satélite artificial pequeno e de forma esférica de raior, descreve uma órbita circular ao redor da Terra. A distância do satélite até a superf´ıcie da Terra é muito menor que o raio da Terra.

Obtenha uma fórmula aproximada para a energia total,Erec, que o satélite recebe do Sol por unidade de tempo (desprezando a quantidade de energia que o satélite deveria receber se a Terra estivesse entre o satélite e o Sol). O satélite, cuja temperature absolutaT vai aumentando a medida que recebe energia do Sol, se converte, a sua meneira, em um emissor de radia¸cão no espa¸co. Assumindo o satélite como um corpo negro a temperaturaT. Suponha que a radia¸cão recebida por ele é reemitida por sua superf´ıcie, encontre sua temperatura.