ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

(1)

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III TERCEIRA ETAPA LETIVA / 2011

PROVA DE MATEMÁTICA II – 1ª SÉRIE – TARDE COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: 2110/2112/2114 ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 1,0)

Sabendo que cossec x = 4 e que x é um ângulo do 1° quadrante, encontre cosx e tgx.

Solução. O arco é do 1º quadrante. O seno e o cosseno são positivos. Logo, a cotangente também é positiva. Aplicando as relações, temos:

15 15 15 . 15 15 1 15 1 15 . 4 4 1 4 15 4 1 x cos tgx senx ) iii

4 15 16 x 15 16 cos

x 15 16 cos

1 1 x cos 1 x 4 cos

1 1 x cos x sen ) ii

4 senx 1 senx 4

1 4

x sec cos

senx x 1

sec )i cos

2 2

2 2 2

2

















 



 



 











 

 





.

Solução. Aplicação da Lei dos cossenos.

Encontre o valor da expressão E =

4 tg29

1020 cos 1230

sen









.

Solução. Encontrando as primeiras determinações e simplificando, temos:

1

. m 14 196 x

60 136 x

2 . 1 120 100 36 x

º 120 cos ) 10 )(

6 ( 2 10 6 x

2 2

2 2 2











 

 













(2)

1 1 1 1

2 1 2 1

4 tg 5

300 cos 150 sen 4

tg 29

1020 cos 1230 E sen

4 5 4 24 4 29

º 300 º 360 2 º 1020

º 150 º 360 3 º 1230



 

 



 





 



 



 





 

 















.

Calcule x nos triángulos abaixo:

a)

Solução. Observe que o triângulo não é retângulo. Aplicando a lei dos cossenos em relação ao ângulo de 60º, temos:

7 2 28 x , Logo . 28 24 2 52

.1 48 16 36 x

60 cos ) 4 ).(

6 .(

2 ) 4 ( ) 6 ( x

2

2 2 2





















.

b)

Solução. Observe que o triângulo não é retângulo, B = 60º e C = 45º. Aplicando a lei dos senos em relação aos lados c e b (opostos aos ângulos C e B), temos:

     

 

² ³ ³

) 2 (

3 ) 2 ( 2 x 3

2 3 2 .

3 2

2 . x 45 sen

2 3 60 sen

x senC

2 3 senB

x    

















 .

QUESTÃO BÔNUS

Demonstre a identidade trigonométrica abaixo:

2

(3)

x sec cos . 2 senx =

x cos + +1 x cos + 1

senx

Solução. Igualando os denominadores e aplicando as relações trigonométricas, temos:

 

     

   

 

senx ²^.^cos^sec^x

. 1 senx 2

2 x cos 1 senx

x cos 1 2 x cos 1 senx

x cos 2 y 2

x cos 1 senx

x cos 2 1 1 x

cos 1 senx

x cos x cos 2 1 x sen x

cos 1 . senx

x cos 1 x sen senx

x cos 1 x cos 1 y senx

2 2 2

2





 



 

 

 



 



 



 



 

 

 

.

3