ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III TERCEIRA ETAPA LETIVA / 2011

PROVA DE MATEMÁTICA II – 1ª SÉRIE – MANHÃ COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 1,0)

Sabendo que sec x = 3 e que x é um ângulo do 1° quadrante, encontre senx e cotgx.

Solução. O arco é do 1º quadrante. O seno e o cosseno são positivos. Logo, a cotangente também é positiva. Aplicando as relações, temos:

4 2 2 . 2 2 2

1 2 2

1 2 2 . 3 3 1 3

2 2

3 1 senx

x gx cos cot ) iii

3 2 2 9 senx 8 9

x 8 9 sen 1 1 x sen 3 1

x 1 sen 1 x cos x sen ) ii

3 x 1 cos x 3

cos 1 3

x sec

x cos x 1 )i sec

2 2

2 2

2 2





























 



 



 













 

 







.

QUESTÃO 2 (Valor: 1,0)

Resolva as equações abaixo:

a) cos x =

2 2

Solução: Encontrando os arcos correspondentes, temos:

 



 

   



 









 













 

 



 

  



 



 





 ,k2 Zk

4 xou 7 4 k2 x/IR x S 4 k2 k2 7 2 4 4 k2 x ou

4 k2 x 2

xcos 2

^.

b) 2.sen²x – 7.senx + 3 = 0, 0 < x < 2.

Solução: Fazendo a substituição de ^senxy e resolvendo a equação do 2º grau, vem:

1

 



 





 







 



 

 

 





 









2 1 4 2 4

5 y 7

el incompatív 1

4 3 5 y 7 4

25 7 4

24 49 7 )2(

2 )3)(

2(4 )7 ( y 7 0 3 y7 y2

2 2 1

2 .

Considerando o intervalo 0< x < 2π, temos:

 













 



 

  



 





6 5 x 6

ou x 6 2

senx 1

^.







 

 6

,5

S 6 .

QUESTÃO 3 (Valor: 0,5)

Encontre o valor da expressão E =

4 tg21

1380 cos 870 sen









.

Solução. Encontrando as primeiras determinações e simplificando, temos:

1 1 1 1

2 1 2 1

4 tg 5

300 cos 150 sen 4

tg 21 1380 cos 870 E sen

4 5 4 16 4 21

º 300 º 360 3 º 1380

º 150 º 360 2 º 870



 

 



 





 



 



 





 

 















.

QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)

Calcule x nos triângulos abaixo:

a)

2

Solução. Observe que o triângulo não é retângulo. Aplicando a lei dos cossenos em relação ao ângulo de 60º, temos:

7 49 x , Logo . 49 40 2 89

.1 80 64 25 x

60 cos ) 8 ).(

5 .(

2 ) 8 ( ) 5 ( x

2

2 2 2

























.

b)

Solução. Observe que o triângulo não é retângulo, B = 60º e C = 45º. Aplicando a lei dos senos em relação aos lados c e b (opostos aos ângulos C e B), temos:

     

 

^{3 2 2}

) 2 (

2 ) 2 ( 3 x 2

3 2 2 .

2 2

3 . x 45 sen

x 60

sen 3 2 senC

x senB

3

2    

















 .

QUESTÃO BÔNUS

Demonstre a identidade trigonométrica abaixo:

x sec . 2 x = cos

senx + +1 senx + 1

x cos

Solução. Igualando os denominadores e aplicando as relações trigonométricas no 1º membro, temos:

 

     

   

 

cosx ^2.secx

. 1 x 2 cos

2 senx 1 . x cos

senx 1 2 senx 1 . x cos

senx 2 y 2

senx 1 . x cos

senx 2 1 1 senx

1 . x cos

x sen senx 2 1 x cos senx

1 . x cos

senx 1 x cos x

cos senxx 1

senx 1

x

cos ^{2 2 2 2}





 



 

 

 



 





 







 





 

 

 .

3