Movimento em uma dimensão

Movimento em uma dimensão

1. Movimento e Repouso de um móvel

O conceito de movimento ou repouso de um determinado móvel é relativo a um sistema de referência adotado. Podemos usar a plataforma de embarque do metrô de São Paulo como um sistema de referência adotando um eixo x fixo na plataforma para visualizar o movimento do vagão do metrô.

Todos os objetos no interior do metrô estão em movimento com o vagão, os passageiros, as poltronas, o ar, mesmo um inseto voando dentro do vagão, etc.

A trajetória é a linha geométrica seguida pelo móvel que depende da escolha do sistema de referência. Como exemplo podemos mostrar que um avião em movimento derruba um pacote, o pacote descreve uma trajetória retilínea para o piloto do avião, entretanto para um observador fixo na Terra o pacote segue uma trajetória parabólica.

Um móvel é considerado um ponto material quando seu formato é desprezado perante as dimensões da distância percorrida pelo móvel.

2 Orientação de uma trajetória e sua origem Um ponto material move-se numa trajetória reta num eixo x, com posições, x, dadas em metros em função do tempo t, em segundos.

O deslocamento, x, do ponto material é dado por x = x x_o, onde x é a posição final, em t, e xo é a posição inicial, em t = 0.

3. Velocidade

Velocidade Média (

v

)  é a taxa da variação da posição, x, no intervalo de tempo, t.

t v x



 

Velocidade Instantânea (v) é o limite da velocidade média,

v

, ou da taxa do espaço percorrido x pelo intervalo de tempo, t, a qual é calculada para intervalos de tempo, t, cada vez menores.

t v x

t



 





lim

0

dt v  dx



Exemplo

Um móvel percorre uma estrada com a equação horária de

x   t  8 t  t

²

 6

e com velocidade,

v   t  8 2 t

Vamos calcular a velocidade média para intervalos de tempo cada vez mais pequenos,

   

5 , 5 3 , 0

75 , 1 5

, 0

2 5

,

2   

 x x

^o

v

^m/s

   

752 , 25 3 , 0

938 , 0 25

, 0

2 25

,

2   

 x x

^o

v

^m/s

   

872 , 125 3 , 0

484 , 0 125

, 0

2 125

,

2   

 x x

^o

v

^m/s

   

960 , 025 3 , 0

099 , 0 025

, 0

2 025

,

2   

 x x

^o

v

^m/s

   

9875 , 0125 3 , 0

049 , 0 0125

, 0

2 0125

,

2   

 x x

^o

v

^m/s



v   2  4

^m/s

Percebemos que os resultados das velocidades médias tendem para o valor da velocidade instantânea de v(2) = 4 m/s para o instante t=2s considerado para intervalos de tempo cada vez menores.

4. Movimento Uniforme - MU

É um movimento com velocidade, v, constante.

cte t v

v x  



  v

t x

x

_o

 

  0

vt x x 

_o





5. Aceleração

Aceleração Média (

a

)  é a taxa da variação da velocidade, v, no intervalo de tempo, t.

t a v



 

Aceleração Instantânea (a) é o limite da aceleração média,

a

, para a qual a taxa é calculada para intervalos de tempo, t, cada vez menores.

t a v

t



 





lim

0

dt a  dv



6. Movimento Uniformemente Variado - MUV É um movimento com aceleração, a, constante.

cte t a

a v  



  a

t v v

_o





  0

at v v 

_o





Equação Horária do MUV  a área sob a reta do gráfico da velocidade, até o instante t, representa numericamente o espaço percorrido, t.

Área=

 

2 t v v_o



2 2 v t at

²

x 

^o







2

2 t t a v x

x

_{o o}





 



 







Equação de Torricelli

Se o tempo da equação da velocidade for substituido na equação horária podemos obter a equação de Torricelli, independente do tempo.

x a v

v

²



_o²

 2 

Nota :

O movimento uniformemente variado apresenta duas características peculiares e importantes. A velocidade média entre dois instantes considerados é igual a média das velocidades instantâneas nestes dois instantes, que ainda por sinal é igual a velocidade instantânea num instante da média dos instantes considerados.

 

_m

m

v v v t

t

v x  

 

 

2

2 1

onde

2

2

1

t

t

_m

 t 

é a média aritméticas dos instantes considerados.

9. Queda Livre de corpos

Se lançarmos um ponto material para cima, ou para baixo, no vácuo, verificamos que ele sofrerá uma desaceleração ou aceleração devido à atração da gravidade g da Terra. A aceleração g é independente da massa ou da forma do objeto.

A aceleração da gravidade na latitude de 45^o, ao nível do mar, é

g = 9,8 m/s

²

Se orientarmos o eixo y para cima adotamos a aceleração igual a = g, caso contrário a = +g.

2

2 t t g v y

y

_{o o}





 



 



 gt v v 

_o



y g v

v

²



_o²

 2 

10. Interpretação Cinemática da Derivação

A derivação é representada pela reta tangente à curva, no instante t considerado. A derivada é escrita pela definição como

      x

dt d dt dx t

t x t t v x

t

 







 





lim

0

Vamos aplicar esta definição para várias funções simples,

a) Função constante x = k

   

0



 







 





t k k t

t x t t x t x

0 0 lim

0 

t

v

v  0

b) Função x = t

   

1







 







 





t t t t t

t x t t x t x

1 1 lim0 

t

v

 v  1  t

⁰

 1 t

^11

c) Função

x  t

²

     

t t t t t

t x t t x t x







 







 



 ^{2 2}

t t t

t t t t

t  











 ²2 ^{2 2} 2



t t



t

v limt 2 2

0  



 v  2 t  2 t

^21

b) Função

x  t

³

     

_







 







 





t t t t t

t x t t x t

x ^{3 3}

t t t t t

t t t t t t

t^{3 2 2 3 3} _{2 2}

3 3 3

3    















 



^{2 2}



²

03 3 3

lim t t t t t v

t    



 v  3t

²

Para a derivação de uma função polinomial de grau n podemos concluir que,

  ^t

ⁿ

^{ nt}

^n1

dt

d

Podemos obter a equações da velocidade v(t) e aceleração a(t), a partir da equação horária x(t), efetuando as derivações sucessivas.

  x dt

v  d

  v dt a  d

11. Interpretação Cinemática da Integração

A operação de integração é uma função inversa da operação de derivação que permite o cálculo da área sob a curva da função considerada. Vamos calcular numericamente a área debaixo da curva da velocidade de função v(t)=t², entre o intervalo de tempo de t=2s e t = 4s.

vamos dividir este período considerado em intervalo de 1 segundo, t=1s. E depois, as áreas são recalculadas com intervalos cada vez menores de 0,5s, 1,25s, e assim por diante. Entretanto o cálculo da área compostos de retângulos de largura cada vez menores não cobrem os pontos triangulares que não são contabilizados. Esta somatória aproximada dos retângulos constituem uma somatória discreta.

n n

i

a

i

a a a a

A  

1



1



2



3

  

A integração é uma operação inversa da derivação e representa o cálculo da área sob a curva do gráfico. O processo inverso, isto é, a equações da velocidade v(t) e a horária x(t), são obtidas da equação da aceleração a(t), efetuando as operações de integração de a(t).

Entretanto, a somatório exata é obtida efetuando a somatória de áreas de um número infinito, n, de retângulos de tamanhos de bases tendendo a zero, t0,

  

 ^{ }

 





t

to n

i

n

a

i

t t adt

t 0 1

lim

Portanto no limite de intervalos de tempo cada vez mais pequenos, as áreas dos retângulos de tiras de áreas muito finas e de grande quantidade, tende ao infinito e permite varrer a área debaixo da curva.

A operação de integração de uma função polinomial permite efetuar o cálculo exato da área a partir da função inversa da derivação,

  ^cte

n dt t t

n

n



 

^



¹

₁

onde n  1.

A técnica de integração é literalmente realizada executando de forma invertida as operações de derivação realizadas da mesma função. Assim, primeiramente, soma-se uma unidade ao expoente da função e, logo em seguida, a potência obtida é dividida pelo resultado desta soma, exatamente nesta ordem.

A aceleração é a operação de derivação da velocidade, portanto, a velocidade é a operação de integração da aceleração que podemos escrever,

 ^ 



 dv adt

dt a dv

dt

a

v ^ 

Com o mesmo raciocínio, a posição x é a operação de integração da velocidade v obtida anteriormente,

 ^ 



 dx vdt

dt v dx

dt v x ^ 

Voltando ao nosso cálculo da área debaixo da curva de forma exata fica,

Ábaco

Exercícios Propostos

P01

. Determinar a velocidade média nas seguintes situações.

Na olimpíada do Rio de Janeiro em 2016 Usain Bolt foi o recordista mundial dos 100 metros que concluiu a prova efetuando 41 passadas com um tempo de 9,63 segundos na olimpíada de Londres em 2012.

E o Wayde Van Niekerk, da África do Sul, concluiu a prova de 400m, com um tempo de 43,03 segundos quebrando um recorde mundial americanos que perduraram durante 17 anos.

Um piscar de olhos dura, em média, 100 ms. Que distância um Mig 25 Foxbat voará, durante um piscar de olhos do piloto, se a velocidade média do avião é de 3395 km/h.

Resp 10,384 m/s, 9,296 m/s e 94,3 m

P02

. O limite de velocidade na Rod Anhanguera foi alterado de 80 km/h para 100 km/h. Qual o tempo economizado por um motorista, nos 400 km entre São Paulo e a cidade de Batatais, dirigindo à velocidade limite

?

Resp 1 h

P03

. Duas cidades, A e B distam 1000m uma da outra.

Um móvel partiu da cidade A no sentido da cidade B com velocidade de 30 m/s e outro partiu de B no sentido de A com velocidade de 20 m/s. Sabendo-se que partiram simultaneamente, quanto tempo os móveis levaram para se encontrar ? A que distância da cidade A foi o encontro

?

P04

^{. Do vértice de um ângulo reto partem}

simultaneamente dois móveis animados de movimento uniforme, percorrendo os lados desse ângulo com velocidade respectivamente de 8 m/s e 12 m/s.

Determinar :

a) a distância que os separa após 0,5 min;

b) depois de quanto tempo haverá entre eles uma distância de 400 m.

Resp 432,6 m , 27,7 s.

P05

. Um avião parte de uma cidade A rumo a outra B com velocidade constante e igual a 250 km/h. Na metade do percurso é obrigado a diminuir a velocidade para 200 km/h e chega à B com um atraso de 15 min. Usando a definição de velocidade média calcular

a) o tempo empregado na viagem b) e a distância entre as duas cidades.

Resp 500 km e 2h15 min

P06

. Três móveis percorrem com movimento uniforme a mesma reta com velocidades respectivamente 4 m/s, 1 m/s e 6 m/s. Num dado instante os três móveis encontram-se a 2 m, 6 m e 18 m além de um mesmo ponto P do qual todos se afastam. Calcular a que distância de P encontra-se o primeiro móvel no instante em que atinge uma posição equidistante dos outros dois.

Resp 82 m.

P07

. É dada uma equação horária de um movimento retilíneo uniformemente variado,

x(t) = 8tt

²

6

Determinar:

a) a aceleração do movimento:

b) a equação da velocidade;

c) a velocidade instantânea no instante t = 2s;

d) o instante em que o móvel pára;

e) esboçar o gráfico da equação horária entre 0 até 8s;

f) as velocidades médias entre 2s e 9s g) os instantes que o móvel passa pela origem.

Resp a) 2 m ∕ s², b) v = 82t, c) 4m ∕ s, d) 4s, e) no final do capítulo, f) 3 m ∕ s, g) 0,84s e 7,16s

P08

. Um móvel A percorre uma reta com um movimento uniformemente variado de acordo com a equação horária junto com um segundo móvel B descrito por uma equação horária .

xA(t) = t²6t+8 xB(t) = t + 4 Determinar :

a) os instantes e as posições de encontro dos dois móveis;

b) a distância entre os dois móveis quando o móvel A passa

pela segunda vez pela origem.

Resp a) 0,63s em 4,63m e 6,37s em 10,37m; b) 8m.

P09

. Um carro a 97 km/h é freado e para em 43m.

Determinar

a) a desaceleração do carro e comparar em unidades de g = 9,8ms².

b) o tempo de frenagem e comparar com o tempo de reflexo do homem de 0,4 s.

Resp a) 8,44 m/s², 0,86 g b) 3,19 s c) 7,98

P10

. O cano de um fuzil tem 90cm de comprimento e dispara uma bala que, ao abandonar o cano possui uma velocidade de 600 m/s. Supondo constante a aceleração comunicada ao projétil pela explosão da pólvora, enquanto a bala percorre o cano, calcular essa aceleração e o tempo que leva a bala para percorrer o cano.

Resp 2 x 10⁵ m/s², 3 x 10^3 s

P11

. Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração constante a = 2,2 m/s². No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5 m/s, ultrapassa o automóvel.

Determinar:

a) as equações horárias do carro e do caminhão;

b) a que distância, após o sinal, o carro ultrapassará o caminhão;

c) a velocidade do carro nesse instante.

Resp 82 m , 19 m/s

P12

. Um carro parte de repouso e se move com uma aceleração constante percorrendo uma distância entre dois pontos separados de 60,0 m, em 6,0 s. Quando passa pelo segundo ponto, sua velocidade é de 15,0 m/s.

Determinar:

a) a velocidade no primeiro ponto;

b) a aceleração;

c) a distância do primeiro ponto em relação ao ponto quando o carro estava em repouso.

Resp 5,00 m/s , 1,67 m/s² , 7,50 m

P13

. Um corpo parte do repouso de uma posição no eixo x com movimento retilíneo uniformemente variado de aceleração igual a 4m/s². Atinge um ponto A com velocidade 20 m/s e um ponto B com velocidade 32 m/s.

Calcular :

a) o tempo gasto para percorrer a distância . b) o valor desta distância.

Resp 3s e 78 m.

P14

. Um móvel parte do repouso com aceleração constante. Depois de certo tempo, nota-se que ele percorre 10 m em 1s, e no segundo seguinte 20 m.

Determinar:

a) o instante antes do 1º segundo;

b) a aceleração do movimento;

a) a distância percorrida pelo móvel antes do primeiro segundo.

Resp 0,5 s, 10m/s² e 1,25 m

P15

. De um ponto situado a 105 m acima do solo é lançado, verticalmente no sentido ascendente, uma pedra com velocidade igual a 20 m/s. Adote g = 9,8 m/s2.

Determine :

a) a equação horária do movimento;

b) a equação da velocidade;

c) a duração da subida;

d) a altura máxima atingida pela pedra em relação ao solo;

e) o instante que que a pedra toca o solo;

f) a velocidade da pedra ao atingir o solo.

Resp a)y = 105 + 20t 4,9t², b) vy= 20  9,8t, c) 2,04 s d) 125,41m e) 7,1 s e f)-49,58 m/s

P16

. Certa cabine de um elevador percorre uma distância total de 187 m dentro do poço de prédio. Sua velocidade máxima é de 304 m/min. A aceleração na saída e a desaceleração na chegada têm módulos iguais a 1,2m/s². Determinar :

a) a distância percorrida, a partir do repouso, acelerando até a velocidade máxima;

b) o tempo que leva, a partir do repouso, para fazer todo o percurso sem parar.

c) a equação horária do MUV na partida;

d) a equação horária do MU no trecho com velocidade constante;

e) a equação horária do MUV na chegada.

a) 10,7 m, b) 41,1s c) y1= 0,6.t²; d) y2 = 10,74 + 5,07.t d) y3 = 838 + 54,41.t 0,6.t²

P17

. Com que velocidade uma bola deve ser lançada verticalmente para cima, de forma a alcançar a altura máxima de 50m ? Determine o tempo que ela ficará no ar.

Resp 32 m/s , 6,4 s

P18

. Um modelo de foguete é lançado verticalmente e sobe com uma aceleração constante de 4,00 m/s², por 6,00 s. Seu combustível então acaba e ele passa a mover- se com uma partícula em queda livre. Determinar : a) a altura máxima atingida pelo foguete;

b) o tempo total decorrido desde o lançamento até sua queda na Terra.

Resp 101,4 m , 12,9 s

P19

. Obter as funções da velocidade e da aceleração efetuando as operações de derivação:

a) x = t ⁵+3t ²+20 b) x = (1/3)t ³ + 2t ² c) x = 100t ³ d) x = 10t ⁴20t ²2 e) x = t ⁶ + 5t ³ Resp

a) v = 5t ⁴+6t  a = 20t ³+ 6;

b) v = t ²+4t  a = 2t + 4;

c) v = 300t ²  a = 600 t;

d) v = 40t ³ 40t  a = 120t ² 40;

e) v = 6t ⁵+15t²  a = 30t ⁴+ 30t.

P20

. A posição de uma partícula é dada por x = 20t  5t³, com x em metros e t em segundos. Determinar:

a) o instante que a velocidade da partícula é nula;

b) o instante em que a aceleração é nula.

Resp a) v = 20  15t² , 2 /3 s b) t =0

P21

. Se a posição de um objeto é dada por x = 2,0 t³, com x em metros e t em segundos, calcule

a) a velocidade média e a aceleração média entre t = 1,0 s e t = 2,0 s.

b) as velocidades e as acelerações instantâneas em t = 2,0 s.

Resp a) v = 6t² , = 14 m/s a = 12t , = 18 m/s² b) 24 m/s , 24 m/s²

P22

. A posição de uma partícula, se movendo no eixo x, se relaciona com o tempo pela equação x = 3t² t³, onde x está em metros e t, em segundos. Determinar : a) o instante que a partícula alcança a posição máxima de x, no sentido positivo;

b) a distância a partícula no instante 4,0 s;

c) a velocidade e a aceleração em t = 4,0 s.

Resp v = 6t3t² , a= 66t

a) dim[3] = LT ^2 , dim[1] = LT ^3 b) 2 s , c) 16 m d) 24m/s , 18 m/s²

P23

. Um movimento descreve uma equação de velocidade v = t²  6t + 8, cujo gráfico correspondente está ao lado.

Determinar:

a) o espaço percorrido entre 0 e 2s, b) o espaço percorrido entre 2s e 4s, c) o espaço percorrido entre 4s e 7s, d) o espaço percorrido total entre 0 e 7s.

Resp a) 20/3m, b) 4/3m, c) 18m e d) 70/3m

P24

. A base aérea brasileira da Barreira do Inferno foi inaugurada em 1965 e se encontra no estado do Rio Grande do Norte na proximidade de Natal. Um foguete foi

lançado da base aérea e o suprimento do 1º estágio é solto na gravidade. O gráfico da velocidade do 1º estágio indica desde alguns instantes do estágio antes de se desprender do foguete.

Determinar :

a) o quanto mais o 1º estágio ainda sobe após o descarte.

b) que altura acima do solo o descarte do 1º estágio foi realizado.

c) usando a integral da função velocidade do gráfico.

P24 a) 500m, b) 1500m c) v = 100  10t

P25

. Obter a equação horária x(t) de um móvel sabendo-se que a sua equação de velocidade e que no instante t=2s o móvel se encontra em x = 10m.

v =5t ⁴+6t

Resp x = t ⁵ + 3t ² 34

P26

. Sabendo-se que a aceleração de um móvel é a

=10 m/s², e que no instante inicial, t=0, o móvel se encontrava na posição 20m com velocidade de 6m/s, determine :

a) a equação da velocidade, v (t).

b) a equação horária, x (t).

Resp v (t) = 10t +6 , x (t) = 5t ²+6t +20

P27

. Sabendo-se que a aceleração de um móvel é a

=2t, e que no instante inicial, t=0, o móvel se encontrava na posição 2m com velocidade nula, determine :

a) a equação da velocidade, v (t).

b) a equação horária, x (t).

Resp v (t) = t ² , x (t) = t ³/3 +2

P28

. Dada a função aceleração a = - 6t, que no instante inicial, t=2s, o móvel se encontrava na posição x = 3m com velocidade de v = 7m/s. Determinar

a) a função velocidade, v (t);

b) a equação horária, x (t), do movimento;

c) a velocidade média entre t = 1s a t = 4s;

d) a velocidade instantânea em t = 3s.

Resp v (t) =193t², x (t) = 19t27t³ , 2 m/s e 8 m/s

P03

P08

P16

Ler :

^{cap 1, v1}

Fundamentos de Física

Halliday- Resnick, 6ed, 2001