MODELAGEM NUMÉRICA DO CONCRETO A POUCAS IDADES. Marcos Martinez Silvoso

MODELAGEM NUMÉRICA DO CONCRETO A POUCAS IDADES

Marcos Martinez Silvoso

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

________________________________________________ Prof. Eduardo de Moraes Rego Fairbairn, Dr.Ing.

________________________________________________ Prof. José Luis Drummond Alves, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Romildo Dias Toledo Filho, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Jean-Marie Désir, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL ABRIL DE 2002

SILVOSO, MARCOS MARTINEZ

Modelagem Numérica do Concreto a Poucas Idades [Rio de Janeiro] 2002

XI, 72 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Civil, 2002)

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Concreto

2. Mecânica Computacional

3. Acoplamentos Termo-Químico-Mecânicos I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

Aos meus pais, Amador e Julia

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte integrante dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

MODELAGEM NUMÉRICA DO CONCRETO A POUCAS IDADES

Marcos Martinez Silvoso

Abril/2002

Orientadores : Eduardo de Moraes Rego Fairbairn José Luis Drummond Alves

Programa : Engenharia Civil

Grandes estruturas de concreto podem estar sujeitas à fissuração durante as primeiras idades em função dos efeitos da reação de hidratação, a saber, tensões de origem termica e tensões provocadas pela retração autógena. O modelo acoplado termo-químico- mecânico para concreto jovem desenvolvido por Ulm e Coussy foi implementado em um programa de elementos finitos tridimensional. Nesse modelo as equações que governam o problema são deduzidas dentro do quadro teórico termodinâmico para meios porosos e consideram os efeitos cruzados entre a reação de hidratação, a evolução da temperatura, deformações e mudanças nas propriedades do concreto. O programa desenvolvido pode ser utilizado no cálculo transiente da distribuição de temperatura, hidratação, e tensões no interior de estruturas massivas de concreto durante sua fase construtiva.

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

NUMERICAL MODELING OF CONCRETE AT EARLY-AGES

Marcos Martinez Silvoso

April/2002

Advisors : Eduardo de Moraes Rego Fairbairn José Luis Drummond Alves

Department: Civil Engineering

Massive concrete structures may be subjected to early age cracking originated by effects of the hydration reaction, namely the thermal stresses and the autogenous shrinkage stresses. The thermo-chemo- mechanical coupled model of early ages of concrete developed by Ulm and Coussy was implemented in a 3D finite element computer program. In this model, the expressions that define the problem are derived from thermodynamics of porous media and take into account the cross-effects between the hydration reaction, temperature evolution, deformation and changes of concrete properties. The computer program may be used to compute the transient hydration, thermal and stress distribution in massive concrete structures during the construction period.

Sumário

1 INTRODUÇÃO___________________________________________________ 1

2 MODELO CONSTITUTIVO _______________________________________ 3

2.1 INTRODUÇÃO__________________________________________________ 3 2.2 MEIO POROSO QUIMICAMENTE REATIVO ____________________________ 4 2.3 QUADRO TEÓRICO TERMODINÂMICO________________________________ 5 2.3.1 A Segunda Lei, Dissipação e Energia Livre ______________________ 5 2.3.2 Variáveis de Estado ________________________________________ 6 2.3.3 Potencial Termodinâmico e Leis de Estado ______________________ 7 2.4 ACOPLAMENTOS TERMO-QUÍMICO-MECÂNICOS______________________ 12 2.4.1 Acoplamentos Termo-Químicos e Químico-Mecânicos ____________ 12 2.4.2 Acoplamento Termo-Químico________________________________ 13 2.5 LEIS DE EVOLUÇÃO____________________________________________ 13 2.5.1 Análise Plasto-Química - Microfissuração _____________________ 14 2.5.2 Cinética da Hidratação e Afinidade Normalizada ________________ 16

3 OBTENÇÃO EXPERIMENTAL DE PARÂMETROS _________________ 19

3.1 INTRODUÇÃO_________________________________________________ 19 3.2 CINÉTICA DA HIDRATAÇÃO Ã(ξ)__________________________________ 20 3.2.1 Ensaio de Elevação Adiabática da Temperatura. ________________ 20 3.2.2 Ensaio de Resistência à Compressão no Tempo _________________ 23 3.2.3 Afinidade Normalizada _____________________________________ 24 3.3 ENDURECIMENTO______________________________________________ 25 3.3.1 Introdução_______________________________________________ 25 3.3.2 Rigidez Elástica __________________________________________ 26 3.4 RETRAÇÃO___________________________________________________ 28 3.5 ELASTOPLASTICIDADE__________________________________________ 30 3.5.1 Multicritério de Escoamento ________________________________ 30 3.5.2 Variáveis Internas χ1 e χ2___________________________________ 31

4 PROCEDIMENTOS NUMÉRICOS _________________________________ 35

4.1 INTRODUÇÃO_________________________________________________ 35 4.2 PROBLEMA TERMO-QUÍMICO ____________________________________ 35 4.2.1 Equação local de difusão de calor ____________________________ 35 4.2.2 Integração no tempo_______________________________________ 36 4.2.3 Aproximação pelo método de elementos finitos __________________ 39 4.3 PROBLEMA QUÍMICO-MECÂNICO _________________________________ 40 4.3.1 Equações constitutivas _____________________________________ 41 4.3.2 Algoritmo de Integração____________________________________ 41 4.3.3 Índice de Fissuração_______________________________________ 43 4.4 PROGRAMA PROPOSTO _________________________________________ 43 4.4.1 Programa Original ________________________________________ 43 4.4.2 Descrição Geral __________________________________________ 44 4.4.3 Problema Termo-Químico __________________________________ 45 4.4.4 Problema Químico-Mecânico________________________________ 45 4.4.5 Geometria Variável _______________________________________ 45 5 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS _____________________________________ 46 5.1 DESCRIÇÃO DO PROBLEMA ______________________________________ 46 5.2 CÁLCULO TERMO-QUÍMICO - RETROANÁLISE________________________ 49 5.2.1 Medidas de campo ________________________________________ 49 5.2.2 Resultados da retroanálise __________________________________ 51 5.3 CÁLCULO TERMO-QUÍMICO-MECÂNICO____________________________ 56 5.3.1 Propriedades do material ___________________________________ 56 5.3.2 Resultados_______________________________________________ 61

6 CONCLUSÕES __________________________________________________ 69

Índice de Figuras

Figura 2.1 - Processo de formação dos hidratos _______________________________ 3 Figura 2.2 - O concreto como meio poroso [1, 29 e 30]_________________________ 4 Figura 3.1 Temperatura adiabática e sua derivada em relação ao tempo ___________ 21 Figura 3.2 – Grau de Hidratação a partir do ensaio de evo lução da temperatura

adiabática _______________________________________________________ 22 Figura 3.3 - Resistência à compressão e sua derivada com o tempo ______________ 23 Figura 3.4 – Afinidade normalizada _______________________________________ 25 Figura 3.5– Evolução do Módulo de Elasticidade para os valores experimentais obtidos

por Laplante [17] para um concreto de alto desempenho e a lei de Byfors [4]. __ 27 Figura 3.6– Evolução do Módulo de Elasticidade para os valores experimentais obtidos

por Laplante [17] para um concreto comum e a lei de Byfors [4]. ___________ 27 Figura 3.7– Retração autógena x ξ para um concreto de alto desempenho [17] _____ 29 Figura 3.8– Retração autógena x ξ para um concreto comum [17] _______________ 29 Figura 3.9 – Critériode Drucker-Prager com Cut-Off _________________________ 31 Figura 5.1 – Geometria do modelo na análise numérica _______________________ 47 Figura 5.2 – Superfícies de troca de calor por convecção. ______________________ 47 Figura 5.3 – Condições de contorno adotadas no módulo mecânico ______________ 48 Figura 5.4 – Malha de elementos finitos ___________________________________ 48 Figura 5.5 – Desenho esquemático do posicionamento dos sensores medidores de temperatura durante a execução da primeira camada da laje. _______________ 49 Figura 5.6 – Variação da temperatura externa. _______________________________ 50 Figura 5.7 – Variação da temperatura na massa de concreto ____________________ 50 Figura 5.8 – Curva de afinidade normalizada em função do grau de hidratação. ____ 51 Figura 5.9 – Comparação das curvas de evolução de temperatura obtidas a partir da retroanálise com os resultados medidos nos sensores 3 e 4._________________ 52

Figura 5.10 – Curvas de evolução de temperatura. ___________________________ 53 Figura 5.11 – Curvas de evolução do grau de hidratação. ______________________ 53 Figura 5.12 – Evolução do temperatura ____________________________________ 54 Figura 5.13 – Evolução da temperatura na seção central da laje (oC). _____________ 55 Figura 5.14 - Variação do módulo de elasticidade do concreto com a idade. _______ 56 Figura 5.15 - Variação da resistência à compressão do concreto com a idade. ______ 57 Figura 5.16 - Variação da resistência à tração indireta do concreto com a idade. ____ 57 Figura 5.17 – Evolução do módulo de elasticidade com o grau de hidratação ______ 58 Figura 5.18 – Evolução da resistência à tração direta com o grau de hidratação. ____ 59 Figura 5.19 – Variação da retração autógena utilizando o modelo descrito em [20]. _ 60 Figura 5.20 – Variação da retração autógena com o grau de hidratação. ___________ 60 Figura 5.21 – Tensão principal máxima calculado para diferentes alturas no interior da

primeira camada (h = 0,50 m) na seção central da laje. ____________________ 61 Figura 5.22 – Risco de fissuração calculado para diferentes alturas no interior da

primeira camada (h = 0,50 m) na seção central da laje. ____________________ 62 Figura 5.23 – Evolução da tensão principal máxima (MPa). ____________________ 63 Figura 5.24 – Evolução da tensão principal máxima na seção central da laje (MPa). _ 64 Figura 5.25 – Campo de direção das tensões principais máximas.. _______________ 65 Figura 5.26 – Curvas de evolução da temperatura. ___________________________ 67 Figura 5.27 – Risco de fissuração calculado para diferentes alturas no interior da

primeira camada (h = 0,50 m) na seção central da laje. ____________________ 67 Figura 5.28 – Risco de fissuração calculado para diferentes alturas na laje, considerando

Lista de Símbolos

A - Afinidade química da reação de hidratação

a - Tensor dos coeficientes de dilatação térmica A~ - Afinidade química normalizada

b - Tensor dos coeficientes de dilatação química

C - Tensor de rigidez elástica Ce - Calor específico do material

D - Tensor do calor latente para deformações elásticas E - Módulo de elasticidade

Ea - Energia de ativação da reação de hidratação Es - Domínio elástico para o estado de tensões

fa - Funções que definem as superfícies de escoamento fb - Resistência à compressão biaxial

fc - Resistência à compressão uniaxial ft - Resistência à tração uniaxial

fy - O patamar elástico inicial para compressão uniaxial gl - Entalpia de água livre

gs - Entalpia de água combinada

h - Coeficiente de troca de calor com o meio ambiente por convecção I1 - Primeiro invariante do tensor de tensões

If - Índice de Fissuração

Jat - Conjunto das superfícies de escamento ativas

k - Tensor de condutividade

Kdp - Função característica do material associada ao critério de plastificação L - Calor total gerado pela hidratação de uma unidade de volume

Lm - Calor latente de hidratação

m - Massa do esqueleto de hidratos já formados por unidade de volume ml - Massa de água livre

ms - Massa de água combinada do esqueleto Q - Calor trocado com o exterior

qs - Fluxo imposto

R - Constante universal dos gases S - Entropia

Sd - Tensão desviatória t - tempo

T - Temperatura absoluta

Tad - Temperatura em condições adiabáticas

Tc - Função característica do material associada ao critério de plastificação

α - Coeficiente de dilatação térmica

β - Coeficiente de dilatação química dλ - Multiplicadores plásticos

ε

- Tensor de deformações totais

εc,∞ - Deformação à compressão associada ao limite fc para hidratação completa.

εe _{- Tensor de deformações elásticas} εp _{- Tensor de deformações plásticas}

εa _{- Deformação decorrente da retração autógena}

φ - Parâmetro utilizado no algoritmo de Crank-Nicholson

η - Medida de viscosidade

ϕ - Taxa de dissipação

ϕc

- Taxa de dissipação química

ν - Coeficiente de Poisson

σ

- Tensor de tensões macroscópicas

τ - Parâmetro do material associado ao critério de plastificação

ξ - Grau de hidratação

ξο - Grau de hidratação limiar do endurecimento do concreto

Ψ - Energia livre

ζ - Força de hardening

ζο - Valor negativo de resistência associado a graud e hidratação nulo

C

C

a

a

p

p

í

í

t

t

u

u

l

l

o

o

1

1

1 Introdução

Introdução

A reação de hidratação do cimento é uma reação química exotérmica e termoativada. Isto quer dizer que ao mesmo tempo em que os campos térmicos da massa de concreto são alterados pela evolução da reação, a própria cinética desta reação é alterada em função da temperatura da massa de concreto aquecida. Além disso, a evolução das propriedades do material como módulo de elasticidade e resistência, estão diretamente relacionadas a evolução da reação de hidratação.

Ao considerar que, a partir da pega, o fluido em que inicialmente se constitui a mistura (de cimento, brita, areia e água) se transforma em um esqueleto com redes de poros, que podem estar cheios de água ou de ar, e ainda, ao considerar que este esqueleto é formado pelos hidratos que são resultado da reação da água livre com o cimento anidro, constata-se que o esqueleto está em evolução, e podemos considerar o concreto como um meio poroso quimicamente reativo.

Neste trabalho são apresentadas as linhas conceituais da teoria dos acoplamentos termo-químico- mecânicos para o concreto dentro do formalismo proposto por Coussy e Ulm [7, 29 e 30], baseado na termodinâmica dos meios porosos reativos, que permite a dedução de equações constitutivas e a elaboração de modelos numéricos para a conseqüente implementação computacional.

Apresentam-se ainda, as formas de relacionar resultados experimentais (fenomenológicos), obtidos macroscopicamente, com os parâmetros necessários à utilização da teoria que está desenvolvida principalmente em bases microestruturais.

Essa teoria foi aplicada na implementação de um programa tridimensional baseado no método dos elementos finitos, com elementos tetraédricos lineares, que permite o cálculo dos campos térmico, de hidratação e de tensões em um sólido de concreto. O cálculo de tensões considera a evolução da rigidez elástica do concreto e ainda a presença de deformações decorrentes da variação de temperatura e da retração.

Este programa foi desenvolvido de modo a possibilitar ainda, a simulação do processo construtivo de elementos estruturais de concreto, que se dá em diversas etapas de execução. Este processo de construção tem por objetivo minimizar os campos térmicos transientes gerados pelo calor de hidratação que ocasionam tensões que podem provocar a fissuração da estrutura.

Os resultados numéricos obtidos com o programa implementado demonstraram sua confiabilidade, na medida que foram confrontados com resultados experimentais e com resultados provenientes do programa CESAR do LCPC apresentando uma boa correlação [24]. A obtenção dos campos de hidratação e de temperatura, conjuntamente com os campos de tensões, através de uma análise por elementos finitos mostrou-se então uma poderosa ferramenta para a análise de estruturas de concreto.

No presente trabalho desenvolve-se uma aplicação real do modelo numérico aqui detalhado, apresentando os resultados da análise termo-químico- mecânica nas primeiras idades, da fase construtiva até o final da cura, de uma laje executada no interior do estado de São Paulo. Para essa análise utilizaram-se resultados experimentais e medidas de campo que possibilitaram calibrar o modelo numérico desenvolvido de modo a permitir a previsão do índice de fissuração da laje estudada.

C

C

a

a

p

p

í

í

t

t

u

u

l

l

o

o

2

2

2 Modelo Constitutivo

Modelo Constitutivo

2.1 Introdução

A hidratação do cimento é constituída por uma série de reações químicas interdependentes e com cinéticas distintas, porém pode ser considerada globalmente da seguinte maneira: A água livre e seus íons difundem-se, através das camadas de hidratos já formadas, na direção dos grãos de cimento anidro. A reação de hidratação se processa quando este é atingido, tornando a camada de hidratos cada vez mais espessa e densa. A Figura 2.1 apresenta um desenho esquemático do processo de formação dos hidratos.

Água livre Cimento Anidro Hidratos MICRO- DIFUSÃO TERMO ATIVAÇÃO

Pode-se considerar que a cinética da reação de hidratação é imposta pela microdifusão da água através das camadas de hidratos. Isto permite que se modele a hidratação pela seguinte mudança de fase:

Água livre → Água combinada

A água combinada corresponde por sua vez à água quimicamente ligada nos hidratos e à água fisicamente ligada pela adsorsão, fazendo assim, parte integrante do esqueleto do material. A reação acima traduz, na escala microscópica, o mecanismo responsável pela evolução das características mecânicas do material na escala macroscópica.

2.2 Meio Poroso Quimicamente Reativo

O quadro teórico que será desenvolvido a seguir é uma breve revisão da teoria apresentada por ULM e COUSSY [29 e 30], no qual o concreto é modelado como um meio poroso quimicamente reativo, como no sistema elementar mostrado na Figura 2.2.

Esqueleto Poros com água Meio poroso

Figura 2.2 - O concreto como meio poroso [1, 7, 29 e 30]

A fase fluida é constituída de água livre, que é aqui definida como água que pode evaporar, e o esqueleto de hidratos e cimento anidro. À medida que a água reage com o cimento, a massa de água livre reduz-se e a massa do esqueleto aumenta na mesma medida. Desta forma a resistênc ia e a rigidez observáveis macroscopicamente aumentam proporcionalmente ao montante de produtos da hidratação, entretanto, estas propriedades ao nível micro da matéria não se alteram. Assim o concreto pode ser entendido como um sistema composto pela superposição de um esqueleto sólido e de uma solução intersticial contínua dentro de um sistema poroso associado.

2.3 Quadro Teórico Termodinâmico

A teoria da termodinâmica estuda as diversas transformações que se processam em um sistema em evolução e que alteram sua energia. A primeira lei da termodinâmica expressa o princípio da conservação de energia em todas as suas formas. A segunda lei da termodinâmica trata da “qualidade da energia”, isto é, de sua capacidade de realização ou não de trabalho.

2.3.1 A Segunda Lei, Dissipação e Energia Livre

A segunda lei da termodinâmica pode ser expressa por:

T Q dt dS_≥

(2.1)

Onde S é a entropia, t é tempo, Q é o calor trocado com o exterior e T é a temperatura (absoluta) do sistema. A entropia é uma forma de energia que não pode ser transformada em trabalho, ou seja, o sistema não pode transformar entropia em energia utilizável. O sistema pode somente “produzir” entropia dissipando energia livre (utilizável). A desigualdade de (2.1) decorre desse fenômeno interno dissipativo e pode ser reescrita como:

ϕ + =Q dt dS T onde ϕ ≥ 0 sempre. (2.2)

Onde o termo ϕ representa a dissipação atribuída a deformações plásticas e a evolução da reação de hidratação. Como pode ser visto em [19], a forma padrão da dissipação para sistemas fechados (desigualdade de Clausius-Duhem), pode ser escrita como:

0 T

S −Ψ≥

− =

ϕ

σ

_:

ε

_&

& & _(2.3)

Na expressão anterior

σ

representa o tensor das tensões macroscópicas relacionado com o equilíbrio de forças externas,

ε

o tensor de deformações totais (observável), o sinal “:” representa o produto escalar entre tensores e Ψ representa a energia livre (Helmholtz) unitária associada ao sistema, que define os estados energéticos em termos das variáveis de estado externas e internas.

2.3.2 Variáveis de Estado

O método aqui utilizado, para a dedução das equações constitutivas acopladas do material, postula que o estado termodinâmico de um determinado meio material em um dado ponto e instante está completamente definido pelo conhecimento de um certo número de variáveis naquele instante, dependentes da posição onde são consideradas. Com este método é possível descrever fenômenos físicos com um bom grau de precisão, o que irá depender da escolha da natureza e do número de variáveis de estado. O processo definido por esse caminho será admissível se, em cada instante da evolução do material, a desigualdade de Clausius-Duhem for satisfeita. As variáveis de estado, também chamadas variáveis termodinâmicas, podem ser variáveis externas (observáveis macroscopicamente) e variáveis internas.

Variáveis Externas

A temperatura T e a deformação total

ε

são as únicas variáveis externas para o caso de se estudarem os fenômenos da elasticidade, viscoelasticidade, plasticidade, viscoplasticidade, dano e fratura. Para fenômenos reversíveis (elásticos) a cada instante o estado depende unicamente dessas duas variáveis.

Variáveis Internas

Para fenômenos dissipativos, o estado atual também depende de todo histórico do material, que é representado pelos valores a cada instante das variáveis internas. O estudo da plasticidade e da viscoplasticidade requer a introdução da deformação plástica (ou viscoplástica) como uma variável. Com essa finalidade representaremos por

ε

p o tensor de tais deformações permanentes, levando a decompor a deformação total da seguinte forma

:

ε = ε

p

+

ε

e, onde

ε

e representa o tensor das deformações elásticas. Outros fenômenos como hardening, dano, fratura requerem a introdução de outras variáveis internas. Estas representam o estado interno do material (densidade de deslocamentos, microsestrutura cristalina, configuração de micro fraturas, etc.) onde não existem meios possíveis de observação direta.

A escolha das melhores variáveis internas irá variar com o fenômeno físico em estudo, tal escolha é ditada pela experiência, compreensão física do fenômeno e objetivo da aplicação.

2.3.3 Potencial Termodinâmico e Leis de Estado

Uma vez bem definidas as variáveis de estado, postulamos a existência de um potencial termodinâmico do qual as leis de estado possam ser deduzidas.

Utilizaremos a energia específica livre Ψ, que depende de variáveis de estado externas e variáveis internas escolhidas de modo a formular apropriadamente as equações constitutivas para a análise termo-químico-mecânica do concreto. Dessa forma assumimos:

(

T,

e

,

e

e,

e

p,m,χ

)

Ψ

=

Ψ (2.4)

Onde m representa a massa do esqueleto de hidratos já formados por unidade de volume, isto é, uma medida do avanço da reação de hidratação. A variável χ representa um conjunto de variáveis plásticas internas, associadas a mudanças na microestrutura dos hidratos.

A energia livre Ψ pode ser decomposta da seguinte forma:

(

−

)

+

(

χ

)

=

Ψ W T,

e

e

p,m U m, (2.5)

Onde W representa a parte da energia livre que considera os acoplamentos com a deformação ε e U é a chamada energia bloqueada que considera os acoplamentos com variáveis internas e deformações irreversíveis conforme definida em [29, 30]

Derivando (2.4) em relação ao tempo, obtém-se:

χ χ &

& &

&

&

&

⋅

∂ ∂ψ + ∂ ∂ψ + ∂ ∂ψ + ∂ ∂ψ + ∂ ∂ψ = ψ m m T T p p

e

e

e

e

: : (2.6) Substituindo (2.6) em (2.3), encontra-se: m 0 m T T S p ∂ ⋅ ≥ ∂ψ − ∂ ∂ψ −       ∂ ∂ψ + − ∂ ∂ψ −       ∂ ∂ψ − = ϕ χ χ & & &

&

&

p

e

e

e

e

s

: : _{Ou então:} 0 U m m ) U W ( T T W S W W p p ∂ ⋅ ≥ ∂ − ∂ + ∂ −       ∂ ∂ + − ∂ ∂ −       ∂ ∂ − = ϕ χ χ & & &

&

&

e

e

e

e

s

: : (2.7)

Hipóteses clássicas permitem que sejam cancelados independentemente alguns termos dessa desigualdade. Ao imaginarmos, por exemplo, uma deformação elástica, fazendo constante a temperatura (isotermia - dT/dt=0) e mantendo inalteradas as deformações plásticas (d

ε

p/dt = 0) e as variáveis internas (material quimicamente inerte - dm/dt=0, regime elástico - d

χ

/dt=0). Segue necessariamente, para a dissipação nula, que:

e e

s

_e

e

s

∂ ∂ = ⇒ = ∂ ∂ − W 0 W (2.8) Observa-se que: p e

ε

ε

ε

σ

₌₋∂Ψ_∂ ∂ Ψ ∂ = ∂ Ψ ∂ = (2.9)

O que mostra que a tensão é uma variável que está associada à deformação elástica, total e plástica.

Imaginemos agora uma deformação térmica, onde ainda d

ε

p/dt=0, dm/dt=0 e d

χ

/dt=0. Então, para qualquer T, isto mostra que:

T W S 0 T W S ∂ ∂ − = ⇒ = ∂ ∂ + (2.10)

Operando da mesma forma é possível encontrar os termos associados à dissipação em função das variáveis internas. Tais termos serão aqui chamados de forças termodinâmicas.

Deste modo, obtém-se em relação a m :

m ) U W ( A m ) ( A ∂ + ∂ − = ∂ ψ ∂ − = (2.11) Para χ: χ χ ∂ + ∂ − = ζ ∂ ψ ∂ − = ζ ) U W ( ) ( (2.12)

Essas relações constituem as leis de estado: _p ε ε σ ∂ ∂ψ − = ∂ ∂ψ = T S ∂ ∂ψ − = m A ∂ ∂ψ − = χ ∂ ∂ψ − = ζ p ε ε σ ∂ ∂ − = ∂ ∂ = W W T W S ∂ ∂ − = m ) U W ( A ∂ + ∂ − = χ ∂ ∂ − = ζ U (2.13)

Podemos compreender

σ

, A, ζ e S como forças termodinâmicas, no sentido de que estas atuam provocando mudanças no sistema através de fenômenos de dissipação, isto é, transformação de energia em calor.

A afinidade química da reação de hidratação é representada por A, que pode ser considerada como uma força termodinâmica associada à taxa (dm/dt) de formação de novos hidratos pela combinação de água com o cimento anidro. Macroscopicamente podemos interpretar a força A como a expressão do desequilíbrio entre a água livre e a água combinada, que atuará forçando a microdifusão da água através das camadas de hidratos já formados.

O termo ζ representa, a força de hardening que está associada com a evolução da resistência do material, e relacionada com as variáveis internas χ.

A Tabela 2.1, resume as variáveis de estado, relacionando-as com as respectivas forças termodinâmicas associadas.

Variáveis de estado

Externas Internas Forças associadas

ε σ

T S

εp _-σ

m A

χ ζ

Usando as equações de estado, a equação (2.7) toma a forma: χ ⋅ ∂χ ∂ψ − ∂ ∂ψ − Τ       Τ ∂ Ψ ∂ + Τ ∂ Ψ ∂ − − ∂ ∂ψ −       ∂ Ψ ∂ − ∂ Ψ ∂ =

ϕ

&

&

& m& &

m p p

e

e

e

e

:

ε

: c p p m m =ϕ +ϕ ∂ ∂ψ −     _⋅χ ∂χ ∂ψ + ∂ ∂ψ − =

ϕ

e

&

p & &

e

: (2.14)

Onde ϕp =σ:

e

&

p +ζ⋅χ&

, constitui a dissipação plástica, e ϕc =Am& a dissipação química, evidenciando que a dissipação está relacionada somente a fenômenos plásticos e químicos. O termo referente à dissipação plástica está relacionado com fenômenos situados no esqueleto do meio poroso, ocasionados por deformações plásticas que levam a mudanças na microestrutura dos hidratos. O termo associado à dissipação química está relacionado com a microdifusão da água através das camadas de hidratos já formados. Para explicitar os efeitos dos acoplamentos entre os diferentes fenômenos representados pelas equações de estado utilizaremos as simetrias de Maxwell [7, 19] para a energia livre Ψ = W + U, onde suas derivadas parciais de segunda ordem em relação às variáveis de estado são simétricas, ou seja:

α ∂ β ∂ ψ ∂ = β ∂ α ∂ ψ ∂2 2

, onde α e β são variáveis internas arbitrárias.

Permitindo obter as seguintes relações:

( )

(

)

e

e

e

e

e

s

∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

₌

W _T S T W T W T W T 2 2 (2.15)

(

)

(

)

e

e

e

e

e

s

∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

₌

W _m A m W m W m W m 2 2 (2.16)

(

)

(

)

T A T m W m T W T m W m T W m S 2 2 ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ − ∂ = ∂ ∂

₌

_(2.17)

(

)

χ ∂ ∂ = χ ∂ ∂ ∂ − ∂ = ∂ χ ∂ ∂ − χ ∂ ∂ ∂ − = ∂     χ ∂ ∂ − ∂ = ∂ ζ ∂

₌

U _m A m U m U m U m 2 2 (2.18)

O objetivo agora é escrever cada equação de estado em sua forma diferencial, de modo a obter relações constitutivas que governam o problema em questão.

Trabalhando inicialmente com o termo referente à tensão:

Desenvolvendo d

s

=d

(

∂W_∂

_e

)

Obtém-se:

(

)

(

)

(

)

(

)

dm m W dT T W d p W d W d ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ =

e

e

e

e

e

e

e

e

s

p (2.19)

Utilizando as simetrias de Maxwell verifica-se facilmente a seguinte relação:

e

e

e

=−∂ ∂ ∂ ∂ ∂ p 2 2 2 W W

Desenvolvendo (2.19) e operando com a expressão anterior obtemos a finalmente a forma diferencial para a tensão, dada por:

(

)

dm m W dT T W d e d : W d 2 2 p 2 2 ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + − ∂ ∂ =

e

e

e

e

e

s

(2.20)

Analogamente, podemos obter para a entropia S, força de hardening ζ e afinidade química A:

(

)

dm m T W d d : T W dT T W dS 2 p 2 2 2 ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − =

e

e

e

(2.21) dm m U d . U d 2 2 2 ∂χ∂ ∂ − χ ∂χ ∂ − = ζ (2.22)

(

)

dm m ) U W ( d . m ) U W ( dT T m W d d : m W dA 2 2 2 2 2 ∂ + ∂ − χ ∂χ ∂ + ∂ − ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂ − =

_e

_e

p

e

(2.23)

Observa-se que nas expressões de (2.20) a (2.23) alguns termos foram omitidos, isso se deve ao fato destes representarem alguns acoplamentos que podem ser considerados fracos - de acordo com resultados experimentais citados na bibliografia [29] - sendo portanto, desprezados.

2.4 Acoplamentos Termo-Químico-Mecânicos

2.4.1 Acoplamentos Termo-Químicos e Químico-Mecânicos

A partir de (2.20), obtemos a seguinte equação constitutiva acoplada: dm dT d d : d

e

=

C

−1

s

+

e

p +

a

+

b

(2.24) Onde:

C = ∂2W/∂

ε

2 é o tensor de rigidez elástica. O tensor C, assim como a energia livre, é função de

ε

,

ε

p, T, m e χ, no entanto, observou-se experimentalmente [3] que para o concreto jovem, C depende apenas da massa (m) de hidratos já formada. Dessa forma C representa o acoplamento elasto-químico C = C(m), ou seja, a evolução da rigidez elástica do concreto com o avanço da reação de hidratação.

a = -C-1:(∂2W/∂

ε

∂T) é o tensor dos coeficientes de dilatação térmica, descrevendo um

acoplamento termo- mecânico. De acordo com resultados experimentais [29] a não depende de nenhuma das variáveis de estado ε, T e m.

b = -C-1:(∂2W/∂

ε

∂m) é o tensor dos coeficientes de dilatação química que descreve um

acoplamento quimo- mecânico. Este termo descreve a reação autógena como fruto do avanço da reação de hidratação. O consumo de água provoca um desequilíbrio de pressão entre o esqueleto e o fluido dos poros, o que leva a uma retração do esqueleto. A equação (2.24) corresponde à relação usual entre as deformações elásticas e inelásticas, onde foi incluído o termo bdm. O parâmetro (tensor) b é similar ao parâmetro (tensor) a que corresponde aos coeficientes de dilatação térmica. No caso de isotropia podemos escrever a=αI, sendo α o coeficiente de dilatação térmica, comumente utilizado, determinando assim a parcela de deformação decorrente da variação de temperatura. Para o tensor b podemos escrever, no caso de isotropia,

I

b=β , onde β representa o coeficiente de retração química, correspondendo às deformações por retração autógena, a relação entre β e a evolução da hidratação não é bem conhecida, mas é natural que β seja função da maturidade do concreto, isto é, da massa de hidratos formada, assim β = β(m)

2.4.2 Acoplamento Termo-Químico

Usando (2.20) em (2.2) obtemos: ϕ + = −     − −T : L m Q T

C_e& D

e

& e

&

p _m & (2.25)

Onde:

Ce = -T (∂2ψ/∂T2) representa o calor específico do material, considerado constante com o avanço da reação.

D = ∂2ψ/∂T∂

ε

, é o tensor do calor latente para deformações elásticas

Lm = T (∂2ψ/∂T∂m) é o calor latente de hidratação, o qual, devido à natureza exotérmica da reação de hidratação, sempre irá apresentar valor positivo.

Quando se considera o problema de condução de calor para o concreto jovem, o calor latente para deformação elástica e o calor gerado pela dissipação interna podem ser desprezados quando comparados com os outros termos da equação, como por exemplo com o termo que associado ao calor gerado pela reação de hidratação (L_mm& ).

Assim a partir da consideração dessas duas as hipóteses de desacoplamento parcial obtém-se a forma padrão da equação do calor [29, 30]:

m L Q T

C_e& = + _m& _(2.26)

O termoL , calor latente de hidratação, sempre positivo devido à natureza exotérmica _m da reação de hidratação, representa o acoplamento da equação do calor com a evolução da reação química por m& .

2.5 Leis de Evolução

É necessário agora encontrar leis de evolução para descrever macroscopicamente os fenômenos de dissipação ocorridos microscopicamente no material, correlacionando as variáveis de estado internas com as respectivas forças temodinâmicas.

2.5.1 Análise Plasto-Química - Microfissuração

A equação (2.22) apresenta a dependência de ζ, que está associada a resistência do material, com as variáveis internas m e χ, assim ζ = ζ(m, χ). Isto é, a evolução da resistência do material está diretamente relacionada com a evolução da massa de hidratos (m) e do estado plástico interno de microfissuração (χ).

A equação (2.22) pode ser reescrita como:

( )

(

)

_χ ∂χ χ ∂ − ∂χ∂ χ ∂ − = ζ dm U ,m d m m , U d ₂ 2 2 (2.27)

Assumindo um acoplamento plasto-químico linear, a equação acima pode ser reescrita da seguinte forma [30]:

( )

_χ ∂χ χ ∂ − − = ζ dm m U d d 0₂ 2 0 ρ (2.28)

Onde o primeiro termo representa o aumento da resistência devido ao hardening químico, enquanto o segundo termo está associado ao hardening ou softening plástico. Dessa forma o acoplamento dado por (2.28) considera o efeito da evolução da hidratação, e conseqüente aumento da resistência mecânica, no surgimento de deformações irreversíveis (plásticas) no esqueleto do concreto. Para modelar numericamente esse acoplamento faz-se uso da teoria padrão de plasticidade com múltiplas superfícies de escoamento, vista detalhadamente em [26].

O tratamento que se segue é baseado nos trabalhos de Ulm e Hellmich [30, 16]. Consideremos o estado admissível de tensão, limitado por N funções de carregamento dado por:

(

)

(

)

{

σ∈R|f_a σ,ζ ,m ≤0,∀a∈[1,2,...N]

}

= Ε_σ χ _(2.29)

O termo Ε_σrepresenta o domínio elástico para o estado de tensões, o qual é dependente do estado de tensões, da evolução da reação de hidratação e do conjunto de variáveis internas

χ

.

Considera-se a aplicação de expressões padrão para a lei de fluxo e para a lei de hardening dentro do quadro de plasticidade associada, expressas, respectivamente, por:

∑

∈ ∂σ ∂ λ = at J a a a f d dεp (2.30)

∑

∈ ∂ζ ∂ λ = at J a a a f d dχ _(2.31)

Onde dλ_asão multiplicadores plásticos e Jat representa o conjunto das n (n≤N) superfícies de escoamento ativas, isto é Jat = {a∈ 1,2,...,N|fa(σ,ζ)=0}. Além das condições acima, devem ser obedecidas as condições de complementaridade de Kuhn-Tucker , também conhecidas como condições de carregamento e descarregamento:

0

f_a ≤ , dλ_a ≥0 e f_adλ_a =0 _(2.32) Finalmente, também deve ser obedecida a seguinte condição de consistência:

0 df

dλa a = (2.33)

Em todas as superfícies de escoamento ativas, a condição de consistência, conjuntamente com a lei de hardening, fornece:

0 d f dm m f d : f 0 df a a a a ⋅ χ= χ ∂ ζ ∂ ⋅ ζ ∂ ∂ + ∂ ζ ∂ ⋅ ζ ∂ ∂ + σ σ ∂ ∂ ⇔ = ⇔

∑

∈ ∂ζ ∂ λ ⋅ χ ∂ ζ ∂ ⋅ ζ ∂ ∂ − = ∂ ζ ∂ ⋅ ζ ∂ ∂ + σ σ ∂ ∂ at J b b b a a a f d f dm m f d : f (2.34)

A equação acima constitui um sistema de n equações para determinação dos n multiplicadores plásticos dλb. Matricialmente pode ser escrita como:

( )

dλ =

[ ] (

? −1 d_σf+d_mf

)

(2.35) Onde os componentes dos vetores (d_σf) e (d_mf) são dados, respectivamente por:

σ σ ∂ ∂ = σ :d f f d a a e dm m f f dm a a ∂ ζ ∂ ⋅ ζ ∂ ∂ = (2.36)

A matriz

[ ]

? é definida por seus nxn coeficientes:

( )

2 0 2 b a b , a U : f f m χ ∂ χ ∂     ζ ∂ ∂ ⊗ ζ ∂ ∂ = Η (2.37)

As equações anteriores modelam o comportamento plasto-químico do material, onde as funções de carregamento estão associadas à evolução da reação de hidratação. Um desenvolvimento completo pode ser encontrado na referências [30, 14, 16].

2.5.2 Cinética da Hidratação e Afinidade Normalizada

A conservação da massa no sistema fechado pode ser equacionada como:

dt dm dt dm_{l s} − = (2.38)

Onde ml é a água livre e ms é a massa do esqueleto de concreto formada. A massa de

esqueleto sendo substituída pela massa de água combinada no esqueleto permite colocar a equação química, como já vista na introdução deste capítulo:

Massa de água livre (ml) à Massa combinada no esqueleto (ms). (2.39) Obtém-se da físico-química:

(

g_lm_l g_sm_s

) (

g_l g_s

)

m_s 0

c =− + = − ≥

ϕ & & & (2.40)

Aqui, os termos gl > 0 e gs > 0 são as entalpias, i.e. os potenciais químicos da água livre e da água combinada no esqueleto respectivamente. O potencial químico da água livre é maior que o de água combinada (gl>gs). Assim, quando água livre torna-se água combinada, o potencial químico do sistema, decresce.

Dessa forma a energia livre decresce, como resultado da dissipação, por exemplo, da fricção envolvida na microdifusão, assim este processo está de acordo com a Segunda lei da termodinâmica.

A equação (2.40) pode ser igualmente escrita como: m

A

c = _&

ϕ (2.41)

Nesta expressão A representa a afinidade química da reação.

Como já foi visto, o concreto, no seu nível micro e macro estrutural, pode ser exp licado através de grãos (células) de cimento anidro circundadas por camadas de hidratos. Estas células são conectadas entre si formando o esqueleto e o espaço entre elas é preenchido com água. A água deve penetrar nas camadas de hidrato para combinar-se à matéria no centro da célula formando novos hidratos. A formação dos hidratos, quando a água entra em contato com o cimento anidro, é considerada instantânea em relação à escala de tempo do processo de microdifusão. Isso quer dizer que a difusão da água através das camadas de hidratos pode ser considerada como sendo o mecanismo dominante na cinética da hidratação.

Para modelar o processo de microdifusão da água, pode ser considerada uma lei linear de percolação [13, 29 e 30] como a que segue:

, A 1 dt dm η = (2.42)

Onde dm/dt é a velocidade da reação, η uma medida de viscosidade e A a força que conduz o processo.

De modo a levar em consideração a termo-ativação da reação de hidratação mais um termo deve ser adicionado a essa equação. Pode-se utilizar como base uma lei do tipo Arrhenius, acrescentando o termo exponencial 

    − RT E_a , assim:      − η = RT E exp A 1 dt dm a (2.43)

Nesta expressão Ea é a energia de ativação, R é a constante universal dos gases e T é a

temperatura absoluta. Leis de evolução do tipo mostrado são universalmente utilizadas, correspondendo a boas correlações com dados experimentais [1, 29].

A equação (2.23), que descreve a forma diferencial para a afinidade química considera os diversos acoplamentos, químico- mecânicos, plasto-químicos e termo-químicos. No

entanto de acordo com com [29, 30], exceto para condições especiais, podemos considerar a afinidade química como dependente apenas da massa m de hidratos:

É necessário agora introduzir o conceito de grau de hidratação (ξ) que constitui um parâmetro objetivo para a medida do avanço da reação de hidratação, definido como uma relação entre a massa de hidratos já formados e a massa total de hidratos ao término(teórico) da reação de hidratação, o que pode ser compreendido como uma normalização da variável m e definido em [29, 30] como:

( )

∞ = ξ m t m (2.44)

Aqui m∞ é o valor alcançado por m quando a hidratação está completa.

Fazendo a mudança da variável m para ξ, a relação cinética (2.43) pode ser reescrita de forma a obtermos a expressão da afinidade normalizada:

( )

      ξ = ξ RT E exp dt d A~ a (2.45) Sendo:

( )

ξ =A

(

m

( )

ξ

)

/

(

m_∞⋅η

( )

ξ

)

A~ (2.46)

Os valores de Ã(ξ) podem ser obtidos experimentalmente, seja através de ensaios adiabáticos, seja através de ensaios de compressão uniaxial realizados em diversas idades.

C

C

a

a

p

p

í

í

t

t

u

u

l

l

o

o

3

3

3 Obtenção experimental de Parâmetros

Obtenção Experimental de Parâmetros

3.1 Introdução

O modelo apresentado no capítulo anterior deduz equações constitutivas que buscam prever o comportamento termo-químico- mecânico de estruturas de concreto.

Tais equações apresentam termos dependentes de parâmetros do material, que devem ser determinados experimentalmente. Esses parâmetros estão associados a fenômenos microscópicos, porém, de modo a tornar este modelo operacional, devem ser correlacionados com es resultados fenomenológicos macroscópicos obtidos em ensaios experimentais correntes, uma vez que a demanda de novos tipos de ensaios introduziria um alto grau de complexidade na aplicação do modelo.

A partir da exploração dos acoplamentos termo-químico- mecânicos apresentados no capítulo anterior, e fazendo uso das simetrias de Maxwel, é possível identificar os parâmetros necessários para utilização do modelo numérico a partir de ensaios simples, como ensaios de elevação adiabática, ensaios isotérmicos de aumento da resistência a compressão com o tempo, ensaios para determinação da evolução do módulo de elasticidade, etc.

A seguir serão descritos os procedimentos necessários para a obtenção experimental dos parâmetros utilizados neste modelo, ilustrados com dados fornecidos pelo laboratório de FURNAS e retirados da bibliografia.

3.2 Cinética da Hidratação Ã(

ξ)

A função Ã(ξ) é determinante na modelagem da reação de hidratação e conseqüentemente na determinação de seus efeitos como deformações, resistência e geração de calor. Para a sua determinação experimental, de acordo com (2.45), seria necessário medir não só o histórico da temperatura T(t), como também o histórico do grau de hidratação ξ(t), isto é medir a massa de água não evaporável a cada instante. Alternativamente, o grau de hidratação pode ser determinado aproveitando os acoplamentos termo-químico- mecânicos (simetrias de Maxwell) descritos anteriormente. A obtenção de Ã(ξ), para concretos normais e de alta resistência, já foi objeto de outros trabalhos [29, 30]. Aqui Ã(ξ) será obtido a partir dos dados experimentais obtidos para o ensaio de evolução adiabática da temperatura e de evolução da resistência a compressão uniaxial realizados no Laboratório de FURNAS para uma dosagem de concreto massa identificada por E-6343 [11].

3.2.1 Ensaio de Elevação Adiabática da Temperatura.

Uma forma de determinar o valor de Ã(ξ) é relacionar a evolução da reação hidratação com a quantidade de calor por ela gerado.

Existem numerosas técnicas laboratoriais, desenvolvidas no sentido de medir o calor liberado pela hidratação do cimento. Tais técnicas devem ser capazes de determinar a evolução da temperatura do concreto, devido apenas ao calor de hidratação, com o tempo. Normalmente, ensaios desse tipo são realizados em equipamentos especiais, denominados calorímetros. É possível fazer uma divisão em dois tipos básicos de calorímetros, os calorímetros adiabáticos e os calorímetros semi-adiabáticos. Nos calorímetros adiabáticos considera-se que a perda de calor para o meio é muito pequena e assim o corpo de prova pode ser considerado isolado e a evolução da temperatura do corpo de prova é toda atribuída ao calor de hidratação. Nos calorímetros semi-adiabáticos devem ser consideradas as perdas para o meio, e conhecendo a capacidade térmica do calorímetro, é possível determinar a quantidade de calor gerada a partir da reação de hidratação.

Aqui serão utilizados os resultados obtidos para um ensaio de elevação adiabática da temperatura, onde o corpo de prova de concreto foi mantido em uma câmara adiabática, portanto sem perda de calor para o meio ambiente. Uma explicação detalhada dos procedimentos adotados para a realização desse tipo de ensaio pode ser encontrada em [23]. A Figura 3.1 ilustra os resultados obtidos no Laboratório de FURNAS para a dosagem de concreto já citada.

Evolução Adiabática da Temperatura

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 Tempo (Dias) T ad ( o C) 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 dT ad /dt ( o C/h)

Temperatura Adiabática Derivada da Temperatura

Figura 3.1 Temperatura adiabática e sua derivada em relação ao tempo

Com os dados desse ensaio é possível obter Ã(ξ) partindo da equação (2.26), que em condições adiabáticas, isto é Q = 0, apresenta um acoplamento termo-químico linear. Neste caso a equação do calor torna-se:

ξ =

ε.T& L&

C ad (3.1)

Onde L= Lmm∞ = Calor latente por unidade do grau de hidratação. O valor de L é igual ao calor total gerado pela hidratação de uma unidade de volume. Tad representa a temperatura do concreto em condições adiabáticas e sua evolução é resultado da natureza exotérmica da reação de hidratação. Integrando (3.1) e fazendo ξ(t=0) = 0 e T(t=0) = T0ad, determina-se uma relação entre Tad e ξ, obtém-se:

L C ) T T ( ) t ( = ad − ₀ad ε ξ (3.2)

Considerando para hidratação completa ξ = 1 e Tad = Tad(∞), onde Tad(∞) representa o valor assintótico da curva de temperatura, obtemos:

[

ad

]

0 ad T ) ( T C L − ∞ = ε (3.3)

Operando as expressões (3.2) e (3.3) chega-se a equação que determina o histórico do grau de hidratação a partir dos valores de Tad .

ad 0 ad ad 0 ad T ) ( T T ) t ( T ) t ( − ∞ − = ξ (3.4)

Utilizando a expressão anterior com os dados obtidos no ensaio de elevação adiabática da temperatura é possível obter a evolução do grau de hidratação com o tempo, tal evolução é apresentada na Figura 3.2.

Grau de Hidratação 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 Tempo (dias) ξ

Figura 3.2 – Grau de Hidratação a partir do ensaio de evolução da temperatura adiabática

Finalmente substituindo (3.4)em (2.45), resulta a expressão para Ã(t):

    − ∞ = RT (t) Ea ad ad 0 ad ~ _ad e dt ) t ( dT T ) ( T 1 ) t ( A (3.5)

As expressões (3.4) e (3.5) permitem então a obtenção da afinidade normalizada Ã(ξ) a partir dos valores de T , ou seja dos valores obtidos em ensaios de elevação adiabática ad da temperatura.

3.2.2 Ensaio de Resistência à Compressão no Tempo

É igualmente possível determinar o grau de hidratação do material a partir de sua resistência à compressão utilizando o acoplamento plasto-químico.

Os valores obtidos para a evolução da resistência à compressão com o tempo para a mesma dosagem de concreto massa utilizada no ensaio adiabático e ensaiado no Laboratório de FURNAS são mostrados na Figura 3.3.

Resistência à Compressão 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 Tempo (Dias) Rc (MPa) 0 0.25 0.5 0.75 dRc/dt (MPa/h)

Resistência Derivada da Resistência

Figura 3.3 - Resistência à compressão e sua derivada com o tempo

Considerando a relação entre a resistência e a hidratação estabelecida em (2.28), verificada pelas pesquisas experimentais relatadas na bibliografia [27, 12 e 4], pode-se escrever: ∞ ζ ζ = ξ(t) (t) (3.6)

o o o o _(t) (t) -) 0 ( ) 0 ( ) t ( ) t ( ζ − ζ ζ ζ = ξ ⇔ ξ − ξ ζ − ζ = ξ − ξ ζ − ζ ∞ ∞ ∞ _(3.7)

Onde ζ∞ é a resistência do material quando a reação de hidratação se completa, e ζo (≤0) é um valor de referência para ξ = 0, que considera uma relação linear entre a resistência à compressão e o grau de hidratação e onde o limiar da solidificação ξo representa o início do aparecimento de resistência no material. A equação (3.6), neste caso, poderia ser vista como um caso particular da equação (3.7) onde ζ0 =0

Substituindo (3.7) em (2.45) obtemos uma nova expressão para Ã(t):

      ∞ ζ ζ − ζ = _RT* Ea o ~ e dt ) t ( d 1 ) t ( A (3.8)

Onde T* representa a temperatura de referência na qual foram realizados os ensaios. Aplicando (3.8), é possível então, obter a afinidade normalizada Ã(ξ) a partir dos valores de ζ(t), ou seja dos valores obtidos em ensaios de resistência no tempo.

3.2.3 Afinidade Normalizada

Aplicando os dois métodos apresentados nas seções precedentes e utilizando os dados experimentais fornecidos pelo Laboratório de FURNAS, foram calculadas as curvas que descrevem a cinética da hidratação dada pelos valores da afinidade. O valor para a relação Ea/R utilizado no cálculo da afinidade normalizada foi tomado como 4000 K, com base na bibliografia [5, 17, 29 e 30]. Para obtenção de resultados mais precisos torna-se necessária a determinação experimental da relação Ea/R do material conforme descrito em [15].

Os dados do ensaio a resistência à compressão que foram aqui apresentados não permitem o cálculo do grau de hidratação para o concreto nas primeiras horas - deve ser observada a dificuldade de realização de ensaios à resistência no concreto muito jovem - daí o fato de não ser possível encontrar, com os dados disponíveis, o valor da afinidade normalizada para esse inicio de reação. No entanto, os valores obtidos para a afinidade com os dados do ensaio a resistência, com grau de hidratação acima 0.5, apresentaram valores próximos àqueles obtidos com o ensaio de elevação adiabática da temperatura.

Esse resultado, indica a natureza intrínseca da função da cinética da hidratação Ã(ξ) e sua dependência apenas do grau de hidratação, já comprovada em [30, 16], confirmando a validade das hipóteses de desacoplamento adotadas para (2.23) no tópico 2.5.2. Os resultados obtidos estão apresentados na Figura 3.4.

Afinidade Normalizada 0.0 5.0 10.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Grau de Hidatação - ξ ( 1 / s )

Ensaio de Elevação Adiabática da Temperatura Ensaios de Resistência à Compressão

Figura 3.4 – Afinidade normalizada

3.3 Endurecimento

3.3.1 Introdução

O termo endurecimento do concreto está relacionado com a evolução de suas propriedades mecânicas na medida que a reação de hidratação avança.

O aumento da massa de hidratos e a diminuição dos espaços porosos capilares, aumentam as superfícies de contato entre os hidratos e conseqüentemente a rigidez do material. Assim se dá o lento processo de endurecimento do concreto acompanhado de variação em sua relação tensão-deformação, e do desenvolvimento de resistências mecânicas consideráveis.

O concreto não é um material perfeitamente elástico. Sua relação tensão deformação instantânea não possui um comportamento linear reversível e, além disso, esta relação tensão deformação varia com o envelhecimento do material, ou seja, com o avanço da reação de hidratação.

3.3.2 Rigidez Elástica

Para tratar numericamente o endurecimento do concreto é necessário conhecer a evolução de suas propriedades elásticas com o grau de hidratação. O tensor de rigidez elástica C dado em (2.24) é função apenas do módulo de elasticidade (E) e do coeficiente de Poisson (ν), que são parâmetros do material. Segundo a bibliografia o valor de ν pode ser considerado constante [4, 17], sendo a evolução do módulo de elasticidade determinante no endurecimento do material.

O modulo de elasticidade do concreto é sensível ao volume e ao grau de conexão entre os poros existentes no material, e sua evolução está diretamente ligada ao grau de hidratação. Vários são os fatores que influenciam seu desenvolvimento em relação ao tempo, como a relação água cimento, a temperatura e o tipo de cimento utilizado.

O valor do módulo E deve ser correlacionado com o grau de hidratação, a partir do conhecimento de sua evolução com a idade do material - E=E(t), aplicando a equação (3.7) e obtendo E=E(ξ). A relação entre o módulo de elasticidade e grau de hidratação foi aproximada por Byfors [4] por uma equação dependente do módulo de elasticidade final e do limiar da hidratação ξo, dada pelas equações (3.9) a (3.11):

) ( ) ( ) (ξ E f ξ E = ∞ (3.9) 675 . 2 204 . 2 204 . 2 ) ( Rc ) ( Rc ) ( Rc 37 . 1 1 ) ( Rc 37 . 1 1 ) ( f     ∞ ξ ξ + ∞ + = ξ (3.10) 471 . 0 1 7250 ) ( E ) ( Rc       ∞ = ∞ (3.11)

Onde: E(∞) representa o módulo de elasticidade final do concreto dada em Mpa; Rc(∞) representa a resistência à compressão do material endurecido em Mpa e Rc(ξ) descreve a evolução da resistência à compressão em função do grau de hidratação, considerada como:

( )

(

)

    > + − − − ∞ ≤ = _se 1 se , ) ( o o ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ _{R Rco Rco} Rco Rc o o c ) Rc( Rco com =ξ ∞ (3.12)

A Figura 3.5 ilustra essa relação ajustando um concreto de alto desempenho com módulo de elasticidade E = 54 GPa e ξo = 0.1. A Figura 3.6 apresenta o ajuste de Byfors [4] para um concreto comum com módulo de elasticidade E = 44 Gpa e ξo = 0.05.

Módulo de Elasticidade x Grau de Hidratação

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00

0.00E+00 1.00E-01 2.00E-01 3.00E-01 4.00E-01 5.00E-01 6.00E-01 7.00E-01 8.00E-01 9.00E-01 1.00E+00

ξ

E(GPa)

Dados Experimentais Fómula de Byfors

Figura 3.5– Evolução do Módulo de Elasticidade para os valores experimentais obtidos por Laplante [17] para um concreto de alto desempenho e a lei de Byfors [4].

Módulo de Elasticidade x Grau de Hidratação

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00

0.00E+00 1.00E-01 2.00E-01 3.00E-01 4.00E-01 5.00E-01 6.00E-01 7.00E-01 8.00E-01 9.00E-01 1.00E+00

ξ

E(GPa)

Dados Experimentais Fómula de Byfors

Figura 3.6– Evolução do Módulo de Elasticidade para os valores experimentais obtidos por Laplante [17] para um concreto comum e a lei de Byfors [4].

As figuras anteriores ilustram como correlacionar a evolução do módulo de elasticidade com o grau de hidratação. Observa-se a importância, no tratamento da evolução do endurecimento do concreto, a determinação ou estimativa do grau de hidratação (ξo). Este parâmetro representa o momento em que o material começa efetivamente a ganhar rigidez, isto é, o momento durante a pega onde ocorre a passagem da pasta de cimento de uma suspensão à um esqueleto rígido, e que foi descrito por Acker [1] pela teoria da percolação.

3.4 Retração

O fenômeno da retração é caracterizado pelas deformações ao longo do tempo que ocorrem em um corpo de prova que não está sujeito a nenhum tipo de carregamento. A explicação físico-química mais geral para o fenômeno da retração do concreto é relativa à diminuição da massa de água livre dentro dos poros do material (aqui considerado como material poroso).

Inicialmente ocorre a chamada contração Le Chatelier, relacionada com o fato do volume de hidratos ser menor que o volume de cimento e da água livre, essa contração é verificada no período da ante-pega onde o material ainda não possui resistência mecânica.

Posteriormente, ocorrem dois tipos de retração, a retração autógena e por secagem, decorrentes da diminuição da massa de água livre dentro dos poros do material. A retração por secagem ocorre em função da evaporação de água dos poros para o meio ambiente. A retração autógena ocorre pelo consumo de água pela reação de hidratação, tornando-a ligada aos hidratos. A retração autógena pode ser verificada experimentalmente através da medida da deformação surgida em corpos de prova de concreto onde não se permita a troca de água com o meio.

O tensor b em (2.24) quantifica as deformações decorrentes da retração autógena, considerando a isotropia do material obtemos b=βI, onde β funciona como um coeficiente de retração química e deve ser determinado experimentalmente. Assim, a parcela infinitesimal referente à deformação química é dada pela equação (3.13):

dt d dm d r =β ⋅ =β ⋅ ξ I I ε (3.13)

A Figura 3.7 apresenta os resultados obtidos por Laplante [17], para um concreto de alto desempenho, relacionando a deformação autógena εa com o grau de hidratação ξ.

Retração Autógena x Grau de Hidratação

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00

0.00E+00 1.00E-01 2.00E-01 3.00E-01 4.00E-01 5.00E-01 6.00E-01 7.00E-01 8.00E-01 9.00E-01 1.00E+00

ξ

ε(

µ

m/m)

Dados Experimentais Reta Aproximada

Figura 3.7– Retração autógena x ξ para um concreto de alto desempenho [17] A Figura 3.8 apresenta os resultados obtidos por Laplante [17], para um concreto comum, relacionando a deformação autógena εa com o grau de hidratação ξ.

Retração Autógena x Grau de Hidratação

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00

0.00E+00 1.00E-01 2.00E-01 3.00E-01 4.00E-01 5.00E-01 6.00E-01 7.00E-01 8.00E-01 9.00E-01 1.00E+00

ξ

ε(

µ

m/m)

Dados Experimentais Reta Aproximada

Figura 3.8– Retração autógena x ξ para um concreto comum [17]

Observa-se que a relação entre a deformação autógena e grau de hidratação não é linear, isto é, o parâmetro β da equação (3.13) não é constante. Dessa forma, β é função do

grau de hidratação, e essa relação (β=β(ξ)) pode ser determinada experimentalmente e considerada na modelagem numérica [15].

Alternativamente o valor de β pode ser considerado como constante, e aproximado pelo ângulo da reta que ajusta os dados de εa x ξ.

3.5 Elastoplasticidade

3.5.1 Multicritério de Escoamento

Para a análise elastoplástica do concreto, optou-se por trabalhar com o critério de escoamento de Drucker-Prager associado “Cut-Off”, conforme [30, 16]. O critério de escoamento escolhido procura modelar a evolução da resistência do concreto em função da evolução da reação de hidratação (ξ) e a partir de duas variáveis plásticas internas expressas por χ1 e χ2.

A descrição formal do critério de Drucker-Prager é bem conhecida e pode ser encontrada em diversas referências [6, 10 e 13]. Associando o critério de Drucker-Prager ao hardening químico e plástico tratados em 2.5.1, a superfície de carregamento de Druker-Prager é dada por:

(

,

)

0 K S I f₁ =τ ₁+ _d − _DP χ₁ ξ = (3.14) Onde:

• I1 = Traço(σ) – Representa o primeiro invariante do tensor de tensões;

• Sd = sijsij - Representa a norma da tensão desviatória;

• O termo K_DP

(

χ₁,ξ

)

representa uma função característica do material;

• O termo τ é um parâmetro do material. No caso da tensão “Cut-Off”, considera-se:

(

χ ξ

)

−

=I Tc ,

f_{2 1 2 (3.15)}

As superfícies de carregamento, f1 e f2, vistas no espaço I1xS, são apresentadas esquematicamente na Figura 3.9. τ 1 Tc Domínio Elástico KDP Ι1 |Sd| f₁= 0 f2= 0

Figura 3.9 – Critériode Drucker-Prager com Cut-Off

De modo a caracterizar corretamente o comportamento do concreto é necessário calibrar as superfícies acima com os parâmetros referentes ao material.

3.5.2 Variáveis Internas

χ

1

e

χ

2

Para o concreto a dilatação plástica volumétrica ( p v

ε ) pode ser considerada como uma boa medida para o estado de hardening e softening do material [16], dessa forma considera-se: ) ( Traço p p v 2 1+χ =ε = ε χ (3.16)

Onde χ₁ e χ₂ são as componentes do vetor das variáveis internas de hardening χ. A consideração acima implica no seguinte formato para as superfícies de escoamento dadas por (3.14) e (3.15):

(

I 3 ( , )

)

S K 0 f₁ =τ ₁+ ζ₁ χ₁ ξ + _d − _DP,0 = (3.17) 0 2 2 1 2 I 3 ( , ) Tc f = + ζ χ ξ − (3.18)

Onde KDP,0 e Tc0 representam os limites de plastificação iniciais para hidratação completa, ou seja:

• KDP,0 = KDP( χ1 = 0, ξ = 1 )

Os termos ζ1 e ζ2 representam os componentes do vetor de hardening ζ. Tais componentes podem ser determinadas operando as expressões que definem as superfícies de carregamento.

De modo a encontrar a componente ζ1 opera-se com as expressões (3.14) e (3.17) que definem f1 igualando-as:

(

+ ζ χ ξ

)

+ − =τ + −

(

χ ξ

)

τ = I 3 ( , ) S K I S K , f_{1 1 1 1 d DP,0 1 d DP 1} (3.19) Obtendo: τ ξ χ − = ξ χ ζ = χ ∂ ∂ − 3 ) , ( K K ) , ( U DP,0 DP 1 1 1 1 (3.20)

Procedendo de modo análogo para f2 é possível obter a expressão para a componente ζ2:

3 ) , ( Tc Tc ) , ( U 0 2 2 2 2 ξ χ − = ξ χ ζ = χ ∂ ∂ − (3.21)

Utilizando a lei de fluxo apresentada em (2.31) nas expressões que definem as superfícies de escoamento (3.17) e (3.18), o incremento da dilatação plástica volumétrica torna-se: 3 d 3 d ) d ( Traço dεp_v = εp = λ₁ τ+ λ₂ (3.22) τ λ = χ d 3 d _{1 1} (3.23) 3 d dχ₂ = λ₂ (3.24) 3 d 3 d d dχ₁ + χ₂ = λ₁ τ+ λ₂ (3.25) Obtendo: ) d ( Traço d dχ1+ χ2 = εp (3.26)

É importante observar que os multiplicadores plásticos λ1 e dλ2 devem obedecer às condições de Kuhn-Tucker, sendo iguais a zero em função do número de superfícies de escoamento ativas.