Matemática Fascículo 02 Manoel Benedito Rodrigues

Matemática

Fascículo 02

Manoel Benedito Rodrigues

Índice

Geometria Plana

Resumo Teórico

Principais Fórmulas

a sen b sen c sen 2R a = b = g =

Lei dos Cossenos

a2= b2+ c2– 2 × b × c ×cos a b2= a2+ c2– 2 × a × c ×cos b c2= a2+ b2– 2 × a × b ×cos g

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

h2=m × n b × c=a × h b2=a × m a2=b2+ c2 c2=a × n

Relações Métricas no Círculo

PA × PB = PC × PD PA × PB = PC × PD (PT)2= PA × PB 1 a b c a b g R a b c a b g h m n a b c A B C D P T B A P A B C D P

Razões Trigonométricas sen = b a c a e tg = bc a , cos =a a Polígonos Convexos

Sendo n= número de lados; d= número de diagonais; S_i= soma dos ângulos internos e S_e= soma dos ângulos externos, temos: d= n(n – 3)

2 Si= (n – 2) × 180º e Se= 360º Teorema da Bissetriz Interna

b x

c y =

Teorema da Bissetriz Externa

b x c y = x y b c S A c y x b c C S B A c a a b

Semelhança de Triângulos

Sendo k a razão de semelhança entre os DABC e DPQR, temos:

a x b y c z H h k = = = = Área ABC Área PQR k 2 D D = Comprimento da Circunferência C 2= pR a em graus: l = 360º R) a _×(2p a em radianos: l = aR Áreas

Círculo Setor Circular

A = ×p R2 A = × ×a p R2 360º A R2 = ×a 2 A R = ×l 2 a em graus a em radianos

Exercícios

01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em graus, do ângulo 3 é: a. 50 b. 55 c. 60 d. 80 e. 100 3 y z P x Q R h b c A a B C H R a R l R a R a R R l

02.Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’ de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’ (ambos medidos em cm), obtém–se

a. 11 6 b. 2 c. 11 3 d. 22 3 e. 11

03.No quadrilátero ABCD abaixo, ABC$ = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é: a. 10

b. 15 c. 20 d. 30 e. 40

04.O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidades de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale

a. 24 b. 12 c. 5 3 2 d. 6 2 e. 2 3

05. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredes contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m, EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados? a. 37,2

b. 38,2 c. 40,2 d. 41,2 e. 42,2

06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm.

Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: a. 6e 3

b. 5e 3 c. 6e 2 d. 6e 5 e. 3e 5

07. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têm as medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é

a. 3 b. 2 3 c. 4 3 d. 6 3 e. 8 3

Dicas

01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo. Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes.

02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a 2pR, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º? 03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro

lado e mede a metade da medida do terceiro lado.

04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo. 05. A seguinte figura pode ajudar:

Área do retângulo = base x altura

06. Note que o triângulo BCD é isósceles.

Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no DABD. 07. Considere a seguinte figura:

Resoluções

01. Alternativa e.

1. DBA D 1$ = = (alternos internos)$ $ 2. DABC: $3 é ângulo externo, logo:

$ $ $ $ _{º º} $ _º 3 1 2 3 45 55 3 100 = + = + = 02. Alternativa c. 360 2 10 110 55 9 360 2 5 60 5 º º º º p p p p × = Þ × = Þ AB AB = cm A' B' A' B'= 3 55 9 5 3 11 3 cm AB A' B' = = p p 03. Alternativa c. 1. M ponto médio de CD N ponto médio de BC ü ý þÞ MN // BD; BD = 4cm 2.DADB é equilátero ABC =150º$ DBC = 90º$ ü ý þÞ

3. Sendo A_BCDa área do DBCD, tem-se: A_BCD= (BC) (BD)× = × Þ

2

10 4

2 ABCD= 20cm

04. Alternativa a.

1. Se AB é diâmetro, o ângulo $C é reto. Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos: AC2+ BC2= AB2 AC2+ 62= 102Þ AC = 8 cm 2. A_DABC= (AC) (BC)× = × 2 8 6 2 ADABC= 24 cm 2 05. Alternativa e. 1.a resolução: A_I= 6 × 2,5 = 15 m2 A_II= 5 × 4,8 = 24 m2 A_III= 4 × 0,8 = 3,2 m2 A_T: área total A_T= A_I+ A_II+ A_III A_T= 15 + 24 + 3,2 Û AT = 42,2 m2 2.a resolução: Área A I E J = 7,5 × 6,8 = 51m2 Área B C D I = 1,2 × 5 = 6 m2 Área F G H J = 0,8 × 3,5 = 2,8 m2 Área da sala ABCDEFGH =

51 – 6 – 2,8 = 42,2 m2 06. Alternativa c. 1. DBCD $B= 45º Þ BC = 2 dm BD2= 22+ 22 Þ BD = 2 2 2. DBCD cos 30º = x x x dm 2 2 3 2 2 2 6 Þ = Û = sen 30º = y y y dm 2 2 1 2 2 2 2 Þ = Û = 7

07. Alternativa e

Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD. Temos:

1. DADE é congruente ao DBCF, pelo caso LAA_o. Logo, ABCD é trapézio isósceles

2. No triângulo ADE: sen 60º = x x x cm 4 3 2 4 2 3 Þ = Û = cos 60º = y y y cm 4 1 2 4 2 Þ = Û = 3. AB = 6 Þ 2y + EF = 6 Û 2 × 2 + EF = 6 Û EF = 2 cm = CD 4. Seja A a área do trapézio ABCD

A (AB CD) DE

2 A (6 2) 22 A = 8 3 cm2