Modelagem e Estimação dos Parâmetros para um Processo de Poisson não-homogêneo.

(1)

Universidade Federal Fluminense Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica

Curso de Estat´ıstica

Vanessa Chaffin

Modelagem e Estima¸

c˜

ao dos Parˆ

ametros para um Processo de

Poisson n˜

ao-homogˆ

eneo.

Niter´oi 2013

(2)

Vanessa Chaffin

Modelagem e Estima¸

c˜

ao dos Parˆ

ametros para um Processo de

Poisson n˜

ao-homogˆ

eneo.

Monografia apresentada ao Curso de Estat´ıstica da UFF, como requisito para a obten¸c˜ao do grau de BACHAREL em Estat´ıstica.

Orientadora: Jessica Kubrusly

.

Niter´oi 2013

(3)

Vanessa Chaffin

Modelagem e Estima¸

c˜

ao dos Parˆ

ametros para um Processo de

Poisson n˜

ao-homogˆ

eneo.

Monografia apresentada ao Curso de Estat´ıstica da UFF, como requisito para a obten¸c˜ao do grau de BACHAREL em Estat´ıstica. Aprovado em Mar¸co de 2013

BANCA EXAMINADORA

Jessica Kubrusly . Adrian Pizzinga . M´arcia de Carvalho .

(4)

Chaffin, Vanessa da Silva

Modelagem e estimação dos parâmetros para um processo de Poisson não-homogêneo / Vanessa da Silva Chaffin; Jessica Quintanilha Kubrusly, orientadora. Niterói, 2012.

52 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em

Estatísticaa ) – Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2012.

1. Processo de Poisson homogêneo e não homogêneo. 2.

Regressão de Poisson. I. Kubrusly, Jessica Quintanilha,

orientadora. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto

de Matemática e Estatística. III. Título.

(5)

-`

A Deus por tudo o que me proporciona na vida. Aos meus pais, os quais amo muito, pela fé e confian¸ca demonstrada. Aos meus irmãos por tudo o que me ajudaram até hoje. Ao meu es-poso pelo carinho, compreensão e companhei-rismo.

(6)

Resumo

Para modelar um sistema de chegadas de usuários em um sistema de filas é preciso co-nhecer o processo de chegada desses usuários. Neste trabalho estamos supondo que as chegadas obedecem um processo de Poisson não-homogêneo, ou seja, o número de che-gadas em cada unidade de tempo é uma variável aleatória independente de Poisson cuja média varia ao longo do tempo. Supõe-se também que existem intervalos I conhecidos dentro dos quais as chegadas seguem um comportamento semelhante.

Dentro de cada intervalo I a média do número de chegadas será modelada de duas maneiras diferentes: seguindo um modelo linear, isto é λ(t) = at + b, ou exponencial, λ(t) = eat+b_{. Para cada um dos modelos ser´}_{a apresentado como estimar os valores dos}

parâmetros a e b em cada intervalo I, assim como as análises a serem feitas para verificar se a modelagem escolhida é adequada.

Para testar a metodologia apresentada foram considerados dois conjuntos de dados. O primeiro se refere a dados sint´eticos, gerados para este trabalho, que segue um modelo linear. O segundo se refere a dados reais que representam os instantes de cadastros de usu´arios pelo site da Amazon.

Palavras-chaves: Processo de Poisson Homogêneo e não Homogêneo, Regressão de Pois-son.

(7)

Agradecimentos

Primeiramente a Deus que iluminou o meu caminho durante esta caminhada.

Aos meus pais, em especial minha mãezinha que com muito carinho e dedica¸cão não mediu esfor¸cos para que eu chegasse até esta etapa da minha vida. Mãe, obrigada por tudo! Você merece mais do que eu.

Aos meus irm˜aos Alessandra e Raphael por serem meus amigos, companheiros e por acreditarem em mim. Amo vocˆes demais!

Ao meu esposo Henrique, que de forma especial me deu for¸ca e coragem. Obri-gada pelo carinho, paciˆencia e por sua capacidade de sempre me deixar tranquila na correria de cada semestre.

`

A minha orientadora Jéssica Kubrusly pela enorme paciência, dedica¸cão e empenho nesses meses de trabalho. O meu muito obrigada por estar sempre disposta a me ajudar.

`

A todos os amigos e familiares que compartilharam da minha caminhada e aqueles que mesmo distantes torceram por mim.

Um agradecimento a todos os professores, amigos e colegas que contribuiram para o meu aprendizado e foram importantes na minha vida acadˆemica.

(8)

Sum´

ario

Lista de Figuras 6 Lista de Tabelas 7 1 Introdu¸cão 8 2 Processo de Poisson 10 2.1 Distribui¸cão de Poisson . . . 10 2.2 Distribui¸cão Exponencial . . . 11

2.3 Processos de Poisson Homogˆeneos . . . 13

2.4 Processos de Poisson N˜ao-Homogˆeneos . . . 14

3 Regress˜ao de Poisson 16 3.1 Modelo de Regress˜ao . . . 16

3.2 Estimativa dos Parˆametros . . . 18

3.2.1 M´axima Verossimilhan¸ca . . . 18 3.2.2 M´ınimos Quadrados . . . 20 3.2.3 Estimadores e Nota¸c˜ao . . . 22 3.3 Ajuste do Modelo . . . 22 3.3.1 Res´ıduos . . . 22 3.3.2 Pontos de Alavanca . . . 24 3.3.3 Pontos Influentes . . . 25

3.3.4 Gr´aficos de Diagn´ostico . . . 25

(9)

4.1 Dados Sint´eticos . . . 27

4.2 Estimativa dos parˆametros e ajuste do modelo . . . 29

4.3 Coment´arios sobre o modelo ajustado . . . 30

5 Modelagem com Dados Reais 35 5.1 Dados Reais . . . 35

5.2 Estimativa dos parˆametros e ajuste do modelo . . . 37

5.2.1 Modelo Inicial . . . 37

5.2.2 Modelo Final . . . 38

5.3 Coment´arios sobre o modelo ajustado . . . 40

6 Conclus˜ao 46

(10)

Lista de Figuras

4.1 Gr´afico da Taxa de chegada para os dados simulados . . . 28

4.2 Gráficos de Diagnóstico para o Intervalo 1 - dados sintéticos . . . 31

5.1 N´umero m´edio de cadastros ao longo do dia . . . 36

5.2 Gr´aficos de Diagn´ostico para o Intervalo 1 - dados reais . . . 39

(11)

Lista de Tabelas

4.1 Estimativas dos parâmetros em cada intervalo I para os dados sintéticos . 30 4.2 Fun¸cão Desvio em cada intervalo I para os dados sintéticos . . . 30

5.1 Estimativas e p-valores dos parâmetros para o intervalo 1 - dados reais . . 37 5.2 Estimativas e p-valores dos parâmetros para o intervalo 2 - dados reais . . 37 5.3 Estimativas e p-valores dos parâmetros para o intervalo 3 - dados reais . . 38 5.4 Fun¸cão Desvio em cada intervalo I para os dados reais . . . 38 5.5 Estimativas e p-valores finais dos parâmetros para o intervalo 1 - dados reais 38 5.6 Estimativas e p-valores finais dos parâmetros para o intervalo 2 - dados reais 42 5.7 Estimativas e p-valores finais dos parâmetros para o intervalo 3 - dados reais 42 5.8 Fun¸cão Desvio final em cada intervalo I para os dados reais . . . 42

(12)

8

1 Introdu¸

c˜

ao

Para estudar sistemas complexos geralmente se recorre a técnica de simula¸cão, ou seja, esse sistema é simulado a partir de um programa de computador e os cenários gerados pela simula¸cão analisados. Como exemplo de sistemas podem ser citados um sistema de filas, um elevador, um estoque, entre outros. Em todos esses sistemas usuários ou mercadorias chegam em momentos desconhecidos, ou seja, os instantes de chegadas ou a demanda deve ser considerada como um processo estocástico de forma a tornar a simula¸cão mais perto da realidade.

Dessa forma, para realizar uma simula¸cão de um sistema complexo, antes da simula¸cão propriamente dita, é preciso estudar o comportamento do processo que define as chegadas dos usuários ou mercadorias. Ou seja, é preciso recolher uma amostra com os instantes de chegadas em diversos dias e a partir dessa amostra modelar e estimar os parâmetros que definem o processo em questão.

´

E muito comum utilizar o Processos de Poisson para modelar os instantes de chegadas de usuários em um sistema. Mas para que a simula¸cão retrate razoavelmente o cenário real é preciso considerar que o número médio de chegadas varia ao longo do dia, ou seja, é preciso considerar que o Processo de Poisson é não-homogêneo, o que dificulta um pouco a modelagem e estima¸cão dos parâmetros.

O objetivo deste trabalho é modelar os instantes de chegadas ao longo do dia a partir de um Processo de Poisson não-homogêneo. Para isso será considerado que existem intervalos de tempo conhecidos dentro dos quais o comportamento das chegadas ´

e semelhante. Ou seja, o dia será particionado em intervalos, por exemplo manhã, tarde e noite, e a modelagem e estima¸cão dos parâmetros será feita dentro de cada intervalo.

A idéia inicial era considerar que dentro de cada intervalo a taxa de chegada crescia, ou decrescia, de forma linear. Mas esse modelo nem sempre é o mais apropriado, por exemplo ela pode gerar taxas médias negativas, o que não é admitido. Por isso além da modelagem linear também será considerada que dentro de cada intervalo a taxa de chegada cresce, ou decresce, de forma exponencial. Para cada um dos dois modelos será usado a Regressão de Poisson, veja [1], a fim de encontrar estimativas para os parâmetros

(13)

1 Introdu¸c˜ao 9 em quest˜ao.

No Cap´ıtulo 2 serão definidos os processos de Poisson homogêneo e n˜ ao-homogêneo. Em seguida no Cap´ıtulo 3 será apresentado a metodologia referente à Re-gressão de Poisson, assim como as as estimativas dos parâmetros e o ajuste do modelo. Uma descri¸cão detalhada da modelagem com dados sintéticos é apresentada no Cap´ıtulo 4. Já a modelagem com dados reais será feita no Cap´ıtulo 5, onde os dados representam os instantes de cadastros de usuários no site da Amazon disponibilizados gratuitamente pela Universidade da Califórnia de Irvine. A conclusão final será apresentada no Cap´ıtulo 6.

(14)

10

2 Processo de Poisson

Neste cap´ıtulo vamos estudar uma classe particular de processos estocásticos em tempo cont´ınuo, chamado processo de Poisson. Nas se¸cões 2.1.1 e 2.1.2 serão apresentadas a distribui¸cão de Poisson e a distribui¸cão Exponencial e nas se¸cões 2.1.3 e 2.1.4 será definido o processo de Poisson.

2.1 Distribui¸

c˜

ao de Poisson

Uma variável aleatória discreta Y tem distribui¸cão de Poisson com parâmetro λ, λ > 0 se a sua distribui¸cão de probabilidade é definida por:

pY(y) = P (Y = y) =

e−λλy

y! y = 0, 1, 2, . . . (2.1)

A fun¸cão de distribui¸cão acumulada F , que representa a probabilidade de que a variável aleatória Y assuma um valor inferior ou igual a y, não tem forma fechada e é definida por: F (y) = P {Y ≤ y} = y X i=0 e−λλi i! , y < 0, y ≥ 0 (2.2)

O valor esperado de uma variável aleatória Y de Poisson é dado por: E[Y ] = ∞ X y=0 ypY(y) = ∞ X y=1 ye −λ_λy y! = ∞ X y=1 y e −λ_λy y(y − 1)! = λe −λ ∞ X y=1 λy−1 (y − 1)! Seja t = y − 1 E[Y ] = λe−λ ∞ X t=0 λt t!

Sabemos pela expansão em série de Taylor que a fun¸cão exponencial pode ser escrita por ex =

∞

P

i=0 xi

(15)

2.2 Distribui¸cão Exponencial 11 como no primeiro exemplo de séries de potência do livro do Elon [3]. Logo,

E[Y ] = λe−λeλ = λ

Calculando E[Y2_{], temos:}

E[Y2] = ∞ X y=0 y2e −λ_λy y! = λ ∞ X y=0 ye −λ_λy−1 (y − 1)! Seja t = y − 1 E[Y2] = λ ∞ X t=0 (t + 1)e−λλt t! = λ " _∞ X t=0 te−λλt t! + ∞ X t=0 e−λλt t! # = λ(λ + 1)

V ar[Y ] = E[Y2] − (E[Y ])2 = λ2+ λ − λ2 = λ

2.2 Distribui¸

c˜

ao Exponencial

Seja X uma variável aleatória cont´ınua. Dizemos que X tem distribui¸cão exponencial com parâmetro λ, λ > 0, se sua fun¸cão densidade de probabilidade é dada por:

f (x) = λe−λx, 0 < x < ∞ (2.3)

A fun¸cão de distribui¸cão acumulada F , ou simplesmente fun¸cão de distribu¸cão, ´ e definida por: F (x) = P (X ≤ x) = x Z 0 λe−λxdx = 1 − e−λx, 0 < x < ∞ (2.4)

O valor esperado e a variˆancia de X ∼ Exp(λ) s˜ao definidos por:

E(X) = ∞ Z −∞ xf (x)dx = ∞ Z 0 xλe−λxdx = −xe−λx|∞ 0 + ∞ Z 0 e−λxdx = 0 − e −λx λ | ∞ 0 = 1 λ

(16)

2.2 Distribui¸c˜ao Exponencial 12

Calculando E(X2_{), temos:}

E(X2) = ∞ Z 0 x2λe−λxdx = −x2e−λx|∞₀ + ∞ Z 0 e−λx2xdx = 2 λ ∞ Z 0 xλe−λxdx = 2 λE(X) = 2 λ2

V ar(X) = E(X2) − (E(X))2 = 2 λ2 −

1 λ2 =

1 λ2

Propriedade da Distribui¸

c˜

ao Exponencial

Dizemos que uma variável aleatória não negativa é sem memória se:

P {X > s + t|X > t} = P {X > s} ∀s, t ≥ 0 (2.5) Existem diversas aplica¸cões desse conceito, como por exemplo, se temos a variável X como sendo o tempo de vida útil de algum instrumento, é natural pensar que a probabilidade do instrumento durar por pelo menos s + t horas, dado que ele já tenha durado t horas, é igual à probabilidade inicial de que ele dure por pelo menos s horas. Ou seja, é como se o instrumento não se “lembrasse”de que já tenha sido usado por um tempo t.

Observe que a equa¸c˜ao 2.5 ´e equivalente a: P {X > s + t, X > t}

P {X > t} = P {X > s} ou

P {X > s + t} = P {X > s}P {X > t} (2.6) Veja que a equa¸cão 2.6 é satisfeita quando X é exponencialmente distribu´ıdo, uma vez que P (X > s+t) = 1−F (s+t) = e−λ(s+t)e P (X > s)P (X > t) = (e−λs)(e−λt) =

e−λ(s+t).

Então temos que as variáveis aleatórias exponencialmente distribu´ıdas são sem memória.

(17)

2.3 Processos de Poisson Homogˆeneos 13

2.3 Processos de Poisson Homogˆ

eneos

Vamos considerar uma sequência de eventos ocorrendo aleatoriamente ao longo do tempo a partir de um instante inicial t = 0 e que N (t) represente o número de eventos ocorridos no intervalo [0, t]. Sejam os tempos t1, t2, ..., tn tais que ti é o instante de ocorrência do

i-ésimo evento. Dizemos que este evento ocorre de acordo com um processo de Poisson homogêneo com taxa λ, λ > 0, quando N (t) satisfaz as seguintes condi¸cões:

(i) N (0) = 0

(ii) O número de eventos ocorridos em intervalos disjuntos são variáveis aleatórias independentes. Ou seja,

N (tn) − N (tn−1), ..., N (t2) − N (t1), N (t1) − N (0)

são variáveis aleatórias independentes qualquer que sejam 0 < t1 < ... < tn.

(iii) O número de ocorrências em um intervalo de tamanho h é uma variável aleatória com distribui¸cão de Poisson com taxa λh, qualquer que seja a localiza¸cão desse intervalo, ou seja para quaisquer t > 0 e h > 0,

P {N (t + h) − N (t) = k} = (λh)

k_e−λh

k! , para k = 0, 1, 2, 3...

A taxa de ocorrências λ em um processo de Poisson homogêneo representa o número médio de ocorrências em um intervalo de tamanho unitário, independente da sua localiza¸cão no tempo.

A defini¸cão apresentada acima foi retirada do livro do Ross [4]. Esta defini¸cão também pode ser verificada no livro do Karlin e Taylor [5].

Distribui¸

c˜

oes Associadas ao Processo de Poisson

Seja N (t), o número de ocorrências no intervalo [0, t]. Suponha que os eventos ocorram de acordo com um processo de Poisson, então N (t) ∼ P oisson(λt).

Seja T1 uma variável aleatória que representa o instante de ocorrência do

pri-meiro evento. Para encontrar a distribui¸cão acumulada da variável aleatória T1 basta

(18)

2.4 Processos de Poisson Não-Homogêneos 14 ocorre depois do instante t, isto é T1 > t, se e somente se, nenhum evento ocorreu no

intervalo [0, t]. Ou seja, P (T1 > t) = P (N (t) = 0) = (λt)0_e−λt 0! = e −λt Logo, FT1(t) = P (T1 6 t) = 1 − P (T1 > t) = 1 − P (N (t) = 0) = 1 − e −λt

Assim podemos concluir que a variável aleatória T1 tem distribui¸cão

exponen-cial com parˆametro λ.

Esse resultado ´e um caso particular do teorema apresentado a seguir, que est´a enunciado e demonstrado no livro de Taylor e Karlin [5].

Teorema 2.3.1 Suponha que “eventos”ocorram de acordo com um processo de Poisson. Seja Tn o instante da n-ésima ocorrência e Sn = Tn+1− Tn o tempo entre a n-ésima e

(n + 1)-´esima ocorrˆ_{encia, para n > 1. Para n = 0, considere S}0 = T1.

(i) As variáveis aleatórias S0, S1, ..., Sn−1 são independentes;

(ii) Cada Si tem distribui¸c˜ao exponencial com parˆametro λ, ou seja, fSi(s) =

λe−λs_{, s > 0}

Dessa maneira podemos dizer que um Processo de Poisson se caracteriza tanto pelo fato do número de ocorrências em um intervalo de tempo seguir uma distribui¸cão de Poisson, quanto pelo fato do tempo entre as ocorrências consecutivas seguirem uma distribui¸cão exponencial. As duas afirma¸cões são equivalentes, como enunciado acima.

2.4 Processos de Poisson N˜

ao-Homogˆ

eneos

Dizemos que um processo de Poisson é não-homogêneo com fun¸cão de intensidade λ, λ(t) > 0 ∀t > 0, quando o número de ocorrências no intervalo [0, t], denominado N (t),

(19)

2.4 Processos de Poisson Não-Homogêneos 15 satisfaz as seguintes condi¸cões, como pode ser verificado nos livros, do Ross [4] e de Taylor e Karlin [5]:

(i) N (0) = 0

(ii) O número de eventos ocorridos em intervalos disjuntos são variáveis aleatórias independentes.

(iii) P {N (t+h)−N (t)=1}_h −→h→0 λ(t)

(iv) P {N (t+h)−N (t)≥2}_h −→h→0 0

Nesse caso, o número médio de ocorrências no intervalo de tamanho unitário depende da localiza¸cão do intervalo. Essa dependencia pode ser claramente verificada na defini¸cão do número médio de ocorrências no intervalo [0, t]:

E[N (t)] =

t

Z

0

(20)

16

3 Regress˜

ao de Poisson

Como já foi comentado no Cap´ıtulo 1, o objetivo desse trabalho é modelar a fun¸cão de intensidade λ de um processo de Poisson não-homogêneo. Para isso estamos supondo dispor de uma amostra com os instantes de ocorrência de eventos, em que vamos chamá-la de T

e

= (T1, T2, . . . , TN).

A partir dessa amostra é poss´ıvel contar o número de ocorrências em um intervalo pequeno e assim criar uma outra amostra Y

e

= (Y1, . . . , Yn), onde Yi = n´umero

de ocorrˆencias dentro do intervalo i.

J´a foi visto no cap´ıtulo 2 que Yi ∼ P oisson(λ(Xi)), onde podemos supor Xi ser

o ponto médio do intervalo i. Dessa forma, para modelar a taxa λ será usada a Regressão de Poisson.

A regressão de Poisson é uma forma de análise de regressão usada para modelar dados de contagem, como pode ser visto em alguns livros de modelos lineares generaliza-dos, por exemplo Dobson [2], Neter et al. [1], Myers et al. [8] e Demétrio [7].

Como nesse caso a vari´avel resposta Yiassume valores inteiros, o modelo de

re-gressão torna-se bem mais complexo, por exemplo, os erros εi não serão variáveis normais.

Este ´e o tema tratado nesse cap´ıtulo.

Suponha Y1, Y2, . . . , Ynvari´aveis aleat´orias independentes tais que Yi ∼ P oisson(λi)

e Xi vari´aveis explicativas definidas pelo instante de ocorrˆencia de Yi. Neste cap´ıtulo

va-mos discutir algumas formas de estimar o parâmetro λia partir da observa¸cão das variáveis

explicativas Xi, usando a Regress˜ao de Poisson.

3.1 Modelo de Regress˜

ao

O modelo de regressão de Poisson, como qualquer modelo de regressão não linear, pode ser expresso da seguinte maneira:

Yi = E[Yi] + εi, i = 1, 2, . . . , n (3.1)

(21)

3.1 Modelo de Regressão 17 para a média da variável resposta Yi, como está apresentado no livro de Kutner [1]:

E[Yi] = aXi+ b = λ(a, b, Xi) (3.2)

E[Yi] = eaXi+b = λ(a, b, Xi) (3.3)

E[Yi] = log(aXi+ b) = λ(a, b, Xi) (3.4)

E[Yi] = (aXi+ b)2 = λ(a, b, Xi) (3.5)

A proposta inicial desse trabalho seria modelar λ linear dentro de um intervalo pré-estabelecido. Nesse caso a fun¸cão mais adequada seria 3.2, que sugere um comporta-mento linear de E[Yi] ao longo do tempo. Porém essa rela¸cão pode vir a dar problema,

por exemplo, com ela é poss´ıvel estimar ˆλi = âXi+ ˆb < 0, o que não seria aceitável. Para

evitar esse problema devemos usar a rela¸c˜ao 3.3.

Ent˜ao nesse trabalho vamos considerar as duas possibilidades: E[Yi] = aXi+ b

ou E[Yi] = e(aXi+b). A escolha do modelo ser´a feita com base na amostra recolhida.

Veja a seguir algumas observa¸c˜oes sobre os res´ıduos da Regress˜ao de Poisson.

Os erros n˜

ao s˜

ao normalmente distribu´ıdos:

Quando se trata de um modelo de regress˜ao linear para vari´aveis normais, o erro εi ∼

N (0, σ2_{). Mas no caso da regress˜}_{ao de Poisson isso n˜}_{ao ´}_{e verdade, o que ´}_{e um complicador}

do problema. Primeiro veja que εi = Yi− E[Yi] onde Yi ∼ P oisson(λi), ou seja, εi ´e uma

Poisson deslocada e consequentemente n˜ao tem distribui¸c˜ao normal.

Os erros n˜

ao tem variˆ

ancia constante:

Temos que a V ar(εi) = V ar(Yi) = λi, logo a variância do erro não é constante ao longo

do tempo.

Com base nas observa¸c˜oes acima, n˜ao podemos analisar os erros εi supondo

que os mesmos seguem uma distribui¸c˜ao Normal (0, σ2_{). Logo a an´}_{alise dos res´ıduos ser´}_a

feita atrav´es dos Desvios Residuais e dos Res´ıduos de Pearson, como apresentado na Se¸c˜ao 3.3 desse cap´ıtulo.

(22)

3.2 Estimativa dos Parˆametros 18

3.2 Estimativa dos Parˆ

ametros

Podemos utilizar alguns métodos para estima¸cão dos parâmetros a e b. Nesta se¸cão vamos discutir dois deles: o método da máxima verossimilhan¸ca e o método dos m´ınimos quadrados.

3.2.1 M´

axima Verossimilhan¸

ca

O estimador de máxima verossimilhan¸ca para o vetor de parâmetros θ e = (a, b) é definido por: ˆ θ e M V = arg max L(θ e ) = arg max ln(L(θ e )) = arg max l(θ e ) onde L é a fun¸cão de verossimilhan¸ca e l a fun¸cão de log-verossimilhan¸ca.

Como Yi ∼ P oisson(λi), onde λi = λ(a, b, Xi), dadas as observa¸c˜oes y

e = (y1, y2, . . . , yn) e X

e

= (X1, X2, . . . , Xn), a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca ´e definida por:

L(a, b|y e , X e ) = n Y i=1 λyi i e −λi yi! , (a, b) ∈ R2

Para encontrar a fun¸c˜ao de log-verossimilhan¸ca precisamos encontrar l(a, b, y e

, X e

)). Aplicando o logaritmo na fun¸c˜ao, temos:

l(a, b, y e , X e ) = log(L(a, b, y e , X e )) = log(Qn i=1 (λi)yie−(λi) yi! ) = Pn i=1log( (λi)yie−(λi) yi! ) = Pn i=1log((λi) yi_e−(λi)_{) −}Pn i=1log(yi!) = Pn i=1log((λi) yi_{) +}Pn i=1log(e −(λi)_{) −}Pn i=1log(yi!) = Pn i=1yilog(λi) − Pn i=1(λi) − Pn i=1log(yi!)

O objetivo é encontrar os pontos cr´ıticos de l, ou seja, os valores de a e b que maximizam a fun¸cão de log-verossimilhan¸ca. Para isso derivamos a fun¸cão com rela¸cão a a e b para cada um dos dois casos considerados: λi = aXi+ b e λi = e(aXi+b) e igualamos a

(23)

3.2 Estimativa dos Parâmetros 19 zero. A solu¸cão do sitema encontrado será a estimativa de máxima verossimilhan¸ca para o vetor de parâmetros θ

e

= (a, b).

Primeiro considere λi = aXi+ b. Nesse caso l(a, b, y

e , X e ) = log(L(a, b, y e , X e )) = Pn i=1yilog(aXi+ b) − Pn i=1(aXi+ b) − Pn i=1log(yi!). Derivando em rela¸c˜ao a a e b: d dal(a, b, y e , X e ) = Pn i=1 yiXi aXi+b − Pn i=1Xi d dbl(a, b, y e , X e ) = Pn i=1 yi aXi+b − n

Igualando as derivadas a zero:    Pn i=1 yiXi aXi+b − Pn i=1Xi = 0 Pn i=1 yi aXi+b − n = 0 (3.6)

O sistema acima não possui solu¸cão fechada. Por isso, será necessário usar métodos numéricos para encontrar o máximo da fun¸cão de verossimilhan¸ca a partir da amostra (y

e , X

e

) observada.

Agora considere λi = e(aXi+b). Nesse caso,

l(a, b, y e , X e ) = log(L(a, b, y e , X e )) = Pn i=1yilog(e (aXi+b)_{) −}Pn i=1e (aXi+b)−Pn i=1log(yi!) = Pn i=1yi(aXi+ b) − Pn i=1e aXi_eb₋Pn i=1log(yi!) = aPn i=1Xiyi+ b Pn i=1yi− e bPn i=1e aXi −Pn i=1log(yi!) Derivando em rela¸c˜ao a a e b: d dal(a, b, y e , X e ) =Pn i=1Xiyi− eb Pn i=1e aXi_X i d dbl(a, b, y e , X e ) =Pn i=1yi− e bPn i=1e aXi

Igualando as derivadas a zero:          Pn i=1Xiyi− e bPn i=1e aXi_X i = 0 Pn i=1yi− e bPn i=1e aXi _{= 0} (3.7)

O sistema acima também não possui solu¸cão fechada, então para encontrar as estimativas será necessário usar métodos numéricos.

Paula [6] e Demétrio [7] sugerem métodos iterativos que convergem para as estimativas de máxima verossimihan¸ca, que podem ser aplicados tanto para o modelo linear quanto para o modelo exponencial. Por exemplo o método de Newton-Raphson ou o método de M´ınimos Quadrados Reponderados Iterados.

(24)

3.2 Estimativa dos Parˆametros 20

3.2.2 M´ınimos Quadrados

A estimativa pelo m´etodo dos m´ınimos quadrados para o vetor de parˆametros θ e = (a, b) ´ e definido por: ˆ θ e M Q = arg min n X i=1 ε2_i = arg min n X i=1

(yi − E[yi])2 = arg min n

X

i=1

(yi− λi)2 = arg min ε(a, b)

Novamente apresentamos um problema de otimiza¸c˜ao. Buscamos a e b de forma que ε(a, b) = Pn

i=1ε

2

i seja a menor poss´ıvel. O objetivo ´e encontrar os pontos

cr´ıticos da fun¸c˜ao que estamos minimizando, e para isso derivamos e igualamos suas derivadas a zero.

Primeiro considere λi = aXi+ b. Nesse caso ε(a, b) =

Pn i=1(yi− aXi− b)2. Derivando em rela¸c˜ao a a e b: d daε(a, b) = − n X i=1 2(yi− (aXi + b))Xi d dbε(a, b) = − n X i=1 2(yi− (aXi+ b))1 Igualando a zero:          Pn

i=12(yi− (aXi+ b))Xi = 0

Pn

i=12(yi− (aXi+ b)) = 0

⇒          Pn i=12Xiyi− 2 Pn i=1Xi(aXi+ b)Xi = 0 Pn i=12yi− 2 Pn i=1(aXi+ b) = 0          Pn i=1Xiyi− a Pn i=1X 2 i − b Pn i=1Xi = 0 Pn i=1yi− a Pn i=1Xi− nb = 0 ⇒          aPn i=1X 2 i + b Pn i=1Xi = Pn i=1Xiyi aPn i=1Xi+ nb = Pn i=1yi

Chegamos assim ao seguinte sistema linear:

     Pn i=1X 2 i Pn i=1Xi Pn i=1Xi n           a b      =      Pn i=1Xiyi Pn i=1yi      (3.8)

(25)

3.2 Estimativa dos Parâmetros 21 Seja X a matriz de dimensão n × 2 representada pelas variáveis explicativas, denominada matriz modelo, onde n é o número de observa¸cões e Y um vetor representado pelo número de ocorrências, yi, no i-ésimo intervalo de tempo.

Xn×2 =            X1 1 X2 1 X3 1 .. . Xn 1            e Y =         y1 yY2 .. . yn        

Veja que o sistema linear definido na equa¸c˜ao 3.8 tamb´em pode ser escrito da seguinte forma:

(XTX)θ e

= XTY

Então, a solu¸cão do problema de M´ınimos Quadrados é dada por: ˆ θ e = (XTX)−1XTY (3.9) com ˆθ e =      ˆ a ˆ_b     

Considere agora λi = eaXi+b. Nesse caso ε(a, b) =

Pn i=1(yi− eaXieb)2. Derivando em rela¸c˜ao a a e b: d daε(a, b) = 2 n X i=1 (yi− eaXieb)(−ebeaXiXi) d dbε(a, b) = 2 n X i=1 (yi− eaXieb)(−eaXieb)

Igualando as derivadas a zero:

         Pn i=1(yi− e aXi_eb_)eaXi_X i = 0 Pn i=1(yi− e aXi_eb_)eaXi _{= 0} (3.10)

(26)

3.3 Ajuste do Modelo 22 Nesse caso também não teremos solu¸cão fechada e será preciso usar métodos numéricos. Os livros não abordam processos iterativos para esse caso, pois já indica métodos para encontrar as estimativas de máxima verossimilhan¸ca.

3.2.3 Estimadores e Nota¸

c˜

ao

Neste trabalho será usada a fun¸cão glm do programa estat´ıstico R, que utiliza o método de M´ınimos Quadrados Reponderados Iterados para encontrar as estimativas de máxima verossimilhan¸ca para os parâmetros a e b.

A partir de agora considere a seguinte nota¸c˜ao:

λ = aX + b ⇒ λi = aXi+ b ⇒ ˆλi = ˆaXi+ ˆb

λ = eaX+b ⇒ λi = eaXi+b ⇒ ˆλi = eaXˆ i+ˆb

3.3 Ajuste do Modelo

Depois de estimados os parâmetros a partir da amostra observada é preciso verificar se o modelo está bem ajustado. Será feita a análise dos res´ıduos para detectar a má especi-fica¸cão do modelo, outliers, ou observa¸cões com ajuste pobre e para detectar observa¸cões influentes, ou observa¸cões com grande impacto sobre o modelo ajustado.

Veremos nesta se¸cão como é feita a análise dos res´ıduos para a regressão de Poisson, assim como as defini¸cões de Pontos de Alavanca e Pontos Influentes. Com essas informa¸cões espera-se poder verificar se o modelo está ou não bem ajustado.

3.3.1 Res´ıduos

Na regressão de Poisson as variáveis respostas assumem valores inteiros e conseq¨ uente-mente os erros εi = yi − ˆλi não serão normalmente distribu´ıdos, como já foi comentado

no in´ıcio desse cap´ıtulo. Por isso os res´ıduos ordinários não serão considerados nesse tra-balho. Então a análise dos res´ıduos será feita através dos Res´ıduos de P earson e dos Desvios Residuais, também conhecido como componente da Deviance.

(27)

3.3 Ajuste do Modelo 23 Desvios Residuais

O Desvio Residual para o i-´esimo caso, denotado por rD_i , supondo Yi > 0, ∀i, ´e definido

por: r_iD = ± 2Yilog Yi ˆ λi − 2Yi− ˆλi 1 2 (3.11)

onde o sinal ´e positivo quando Yi > ˆλi e negativo quando Yi < ˆλi. Por´em, se

Yi = 0, o Desvio Residual fica dado por:

rD_i = q

2ˆλi (3.12)

Para o modelo de regressão de Poisson a Fun¸cão Desvio para Yi > 0, é definida

por: DEV = 2 " _n X i=1 Yilog Yi ˆ λi − n X i=1 (Yi− ˆλi) # (3.13)

onde n= tamanho da amostra. Logo, para Yi = 0, o i-´esimo termo da Fun¸c˜ao

Desvio ´e dado por DEV = 2ˆλi.

Se o modelo estiver bem ajustado e o tamanho da amostra for relativamente grande, então a Fun¸cão Desvio segue aproximadamente uma distribui¸cão Qui − Quadrado com (n − 2) graus de liberdade, veja [1] e [2] para mais detalhes. Logo, o valor observado da Fun¸cão Desvio pode indicar se o modelo está bem ajustado ou não é correto.

O Desvio Residual e a Fun¸c˜ao Desvio se relacionam de acordo com a seguinte express˜ao:

n

X

i=1

(r_iD)2 = DEV

ou seja, a soma do quadrado do Desvio Residual ´e igual a Fun¸c˜ao Desvio, como pode ser verificado em [1].

(28)

3.3 Ajuste do Modelo 24 Res´ıduos de Pearson

Os Res´ıduos de P earson, como os Desvios Residuais, são utilizados para verificar ob-serva¸cões mal ajustadas. Os Res´ıduos de P earson tem a seguinte expressão geral:

r_iP = (Yi− ˆλi)

pˆ_λ_i (3.14)

e correspondem à contribui¸cão de cada observa¸cão para o cálculo da Estat´ıstica de P earson, X_P2, que é dada pela soma dos Res´ıduos de P earson ao quadrado:

X_P2 = n X i=1 (rP_i )2 = n X i=1 (Yi− ˆλi)2 ˆ λi .

Como pode ser visto em [6], a estat´ıstica X_P2 segue assintóticamente uma distribui¸cão qui − quadrado com (n − 2) graus de liberdade, sob a hipótese de que o modelo está bem ajustado.

3.3.2 Pontos de Alavanca

Os pontos de alavanca são as observa¸cões yi que indicam grande influência no próprio

valor ajustado ˆλi.

Para detectar tais pontos ser´a usada a matriz Hat, como sugere de Paula [6] e Dem´etrio [7], definida por:

H = ˆW1/2X(XTW X)ˆ −1XTWˆ1/2 onde ˆW = diag(ˆλ1, ˆλ2, . . . , ˆλn) para λi = eaXi+b e ˆW = diag(_λˆ1₁,

1 ˆ λ2, . . . , 1 ˆ λn) para λi =

aXi+ b. Para maiores detalhes veja Paula [6].

Seja hii o valor na posi¸c˜ao (i, i) da matriz Hat. Como comenta Paula [6],

valores altos de hii indicam que hiiyi predomina na estimativa para λi. Assim, ´e razo´avel

utilizar hii como medida da influência da i-ésima observa¸cão (yi) sobre o próprio valor

ajustado ( ˆλi).

O tra¸co da matriz H representado por tr(H) ´e a soma dos elementos da diagonal principal. Como demonstra Paula [6], tr(H) =

n

P

i=1

hii= p = 2. Ent˜ao, supondo que todos

(29)

3.3 Ajuste do Modelo 25 esteja próximo de tr(H)_n = _np = 2_n. A sugestão de Paula [6] e Clarice é analisar os pontos tais que hii ≥ 2p_n = _n4. Estes são conhecidos como Pontos de Alavanca.

3.3.3 Pontos Influentes

Os pontos influentes são pontos que exercem um peso desproporcional nas estimativas dos parâmetros do modelo. Podemos, por exemplo, querer avaliar a influência que pequenas mudan¸cas nas variâncias das observa¸cões causam nas estimativas dos parâmetros. Nesse caso, podemos utilizar a Distância de Cook como medida de referência, que segundo Paula [6], é aproximadamente dada por:

LDi ∼= hii (1 − hii) (rP_i )2

onde r_iP é o res´ıduo de Pearson, como apresentado na equa¸cão 3.14. A norma operacional é analisar as observa¸cões em que LDi > 1.

3.3.4 Gr´

aficos de Diagn´

ostico

A utiliza¸cão de métodos gráficos é de extrema importância pois, a partir deles podemos observar o comportamento das variáveis e verificar a adequabilidade do ajuste do modelo. Neste trabalho serão apresentados alguns gráficos de diagnóstico para uma melhor compreensão dos resultados obtidos. Para mais detalhes sobre gráficos usados em diagnósticos de modelos lineares generalizados veja a apostila da professora Demétrio [7].

An´alise dos Desvios Residuais ´

E um gr´afico simples, onde plotamos rD

i versus os ´ındices. O padr˜ao nulo desse

gráfico é uma distribui¸cão dos res´ıduos em torno do zero com amplitude constante. Esse gráfico é útil para identificar res´ıduos outliers e é o adequado sugerido segundo Paula [6].

An´alise dos Res´ıduos de Pearson

Este gráfico também é utilizado para verificar res´ıduos outliers. Neste gráfico, assim como no anterior, plotamos os res´ıduos versus os ´ındices, mas neste caso serão

(30)

usa-3.3 Ajuste do Modelo 26 dos os res´ıduos de Pearson rP

i .

Pontos de Alavanca

O gr´afico utilizado para identificar os pontos de alavanca pode ser hiiversus os

´ındices ou hii versus variáveis explicativas. Nesse trabalho será usado o gráfico hii× Xi,

pois temos muita repeti¸c˜ao nos valores de Xi, consequentemente muita repeti¸c˜ao nos

va-lores de hii. Os pontos de alavanca ser˜ao os pontos tais que hii ≥ 4_n como mostrado na

Se¸c˜ao 3.3.2.

Pontos Influentes

Este gráfico é útil para identificar os pontos com influência desproporcional nas estimativas dos coeficientes. Plotamos os valores de LDi versus os ´ındices. Caso os

dados apresentem alguma observa¸cão cujo LDi > 1, os cálculos serão refeitos sem essas

(31)

27

4 Modelagem com Dados Sint´

eticos

Neste cap´ıtulo vamos mostrar como as estimativas para os parâmetros de um processo de Poisson não-homogêneo linear por partes são encontradas de acordo com a metodo-logia apresentada nos cap´ıtulos anteriores. Para isso foram gerados dados sintéticos no programa estat´ıstico R. A descri¸cão desses dados encontra-se na Se¸cão 4.1. Na Se¸cão 4.2 serão apresentadas as estimativas dos parâmetros e os gráficos de diagnóstico.

4.1 Dados Sint´

eticos

Os dados utilizados neste cap´ıtulo foram simulados no programa estat´ıstico R supondo que as chegadas obede¸cam um processo de Poisson n˜ao-homogˆeneo em que a taxa seja linear por partes. Os dados foram divididos em quatro intervalos I conhecidos, definidos por:

I1 −→ de 7h at´e 8h e 59 min

I4 −→ de 14h at´e 18h

As taxas de chegada em cada intervalo Ii, denominadas λi, s˜ao apresentadas

pelas express˜oes abaixo:

λ1(t) = 30

λ2(t) = −2t + 46

λ3(t) = 2t − 34

λ4(t) = −t + 50

Como vamos utilizar a unidade de tempo minutos, podemos dizer que a amos-tra gerada pela simula¸c˜ao, {T1, T2, T3, . . .}, indica os instantes de chegada em minutos, a

(32)

4.1 Dados Sint´eticos 28

Figura 4.1: Gr´afico da Taxa de chegada para os dados simulados

λ(t) =                30 , se 0 ≤ t < 8 −2t + 46 , se 8 ≤ t < 20 2t − 34 , se 20 ≤ t < 28 −t + 50 , se 28 ≤ t < 44 A Figura 4.1 mostra o gr´afico da taxa λ.

Para cada dia simulado considere T1, T2, . . . , TN os instantes de chegada entre

7:00h e 18:00h, gerados pela simula¸c˜ao. Como vamos trabalhar com as ocorrˆencias em cada intervalo I separadamente, tais instantes de chegada foram separados de acordo com os respectivos intervalos.

Tratamento dos Dados e Defini¸

c˜

ao da Amostra

Cada intervalo I foi dividido em subintervalos de 15 minutos e para cada um desses subintervalos foi determinado o n´umero de chegadas. Seja nI o n´umero de subintervalos

dentro do intervalo I. Defina Yi = n´umero de chegadas no subintervalo i, 1 ≤ i ≤ nI, e

Xi = o ponto m´edio do subintervalo i. A unidade de tempo utilizada foi de 15 minutos e

`

as 07 : 00 foi considerado o instante zero. Logo o intervalo de 07 : 00 às 07 : 15 terá ponto médio X = 0.5.

Foram gerados 10 dias de observa¸c˜ao. Logo, para estimar os parˆametros dentro de um intervalo I foi usada uma amostra de (Y, X) de tamanho nI× 10. Veja como ficou

(33)

4.2 Estimativa dos parˆametros e ajuste do modelo 29 O intervalo I1 tem duas horas de dura¸c˜ao, logo 8 subintervalos de 15 minutos.

Então para esse intervalo foram determinados, para cada um dos 10 dias de observa¸cão, (Y1, Y2, . . . , Y8) e (X1, X2, . . . , X8). Então para esse intervalo dispomos de uma amostra

de tamanho 8 × 10.

O intervalo I2 tem trˆes horas de dura¸c˜ao, logo 12 subintervalos de 15

minu-tos. Para esse intervalo foram determinados, para cada um dos 10 dias de observa¸c˜ao, (Y1, Y2, Y3, . . . , Y12) e (X1, X2, X3, . . . , X12). Ent˜ao para esse intervalo dispomos de uma

amostra de tamanho 12 × 10.

O intervalo I3 tem duas horas de dura¸c˜ao, logo 8 subintervalos de 15 minutos.

Então para esse intervalo foram determinados, para cada um dos 10 dias de observa¸cão, (Y1, Y2, Y3, . . . , Y8) e (X1, X2, X3, . . . , X8). Então para esse intervalo dispomos de uma

amostra de tamanho 8 × 10.

O intervalo I4 tem quatro horas de dura¸c˜ao, logo 16 subintervalos de 15

mi-nutos. Então para esse intervalo foram determinados, para cada um dos 10 dias de ob-serva¸cão, (Y1, Y2, Y3, . . . , Y16) e (X1, X2, X3, . . . , X16). Então para esse intervalo dispomos

de uma amostra de tamanho 16 × 10.

4.2 Estimativa dos parˆ

ametros e ajuste do modelo

Seja I um intervalo tal que eventos ocorrem de acordo com um processo de Poisson n˜ao-homogˆeneo com taxa λ(t) = at + b. Considere (Y1, . . . , Y10×nI) uma amostra com o

número de ocorrências em subintervalos de 15 minutos, cujo ponto médio é definido por X1, . . . , X10×nI. Nessa se¸cão será usada a metodologia apresentada no cap´ıtulo 3 supondo

o modelo linear λ = aX + b. Logo, a e b serão estimados pelo método dos m´ınimos quadrados como mostramos na equa¸cão 3.9.

Veremos abaixo os valores estimados para os parâmetros a e b pelo método dos m´ınimos quadrados para cada intervalo I. Foi usado o software R para a realiza¸cão dos cálculos.

Os valores da Fun¸c˜ao Desvio encontram-se na Tabela 4.2, onde na segunda linha est˜ao apresentados os graus de liberdade, representados por df .

(34)

4.3 Comentários sobre o modelo ajustado 30 Tabela 4.1: Estimativas dos parâmetros em cada intervalo I para os dados sintéticos

I1 I2 I3 I4

ˆ

a 0.2334 -1.815 1.882 -1.139 ˆ_b _28.32889 _41.193 _-27.343 _60.906

Tabela 4.2: Fun¸c˜ao Desvio em cada intervalo I para os dados sint´eticos

I1 I2 I3 I4

DEV 86.26892 153.2739 86.83534 155.4935

df 78 118 78 158

DEV /df 1.106012 1.298931 1.113274 0.9841363

Os gr´aficos de letra (b) mostram os pontos junto com a reta ˆλ = ˆaX + ˆb.

4.3 Coment´

arios sobre o modelo ajustado

Para os quatro intervalos o modelo está bem ajustado, uma vez houve a ocorrência de poucos res´ıduos outliers, os res´ıduos estão em torno de zero com amplitude constante, não ocorreram pontos influentes e a Fun¸cão Desvio para cada intervalo I assume valores bem próximos de seus respectivos graus de liberdade. Isto é um resultado esperado uma vez que as estimativas para os parâmetros a e b foram bem próximas de seus valores reais, veja Tabela 4.1.

No gráfico 4.3(a) para o Intervalo 2 apesar de observarmos alguns res´ıduos outliers notamos a presen¸ca de um res´ıduo um pouco mais afastado dos demais. Porém, como este ponto não é um ponto influente, sabemos que a sua retirada pouco vai mudar nas estimativas de a e b.

Observamos que os gráficos, 4.3(e), 4.4(e) e 4.5(e) apresentam pontos de ala-vanca. Em todos eles os pontos de alavanca estão nas extremidades dos intervalos. Além disso a medida h assume valores maiores nos extremos dos intervalos. Esse fato nos leva a crer que as observa¸cões nas extremidades são mais influentes em seus valores ajustados do que as observa¸cões nos meio dos intervalos.

(35)

4.3 Coment´arios sobre o modelo ajustado 31

(a) Desvios Residuais (b) Curva Ajustada

(c) Pontos Influentes (d) Res´ıduos de Pearson

(e) Pontos de Alavanca

(36)

(37)

(38)

(39)

35

5 Modelagem com Dados Reais

Nesse cap´ıtulo, análogo ao cap´ıtulo com dados sintéticos, vamos mostrar como as esti-mativas para os parâmetros de um processo de Poisson não-homogêneo são encontradas em dados reais. Os dados reais foram coletados do site archive.ics.uci.edu, onde são disponibilizados gratuitamente alguns bancos de dados pela Universidade da Califórnia de Irvine. Os dados se referem aos instantes de cadastro de usuários dentro do site da Amazon, sua descri¸cão em mais detalhes se encontra na Se¸cão 5.1. Na Se¸cão 5.2 serão apresentados as estimativas dos parâmetros e os gráficos de diagnóstico.

5.1 Dados Reais

Os dados utilizados neste cap´ıtulo se referem aos instantes em que usuários do site da Amazon fizeram seus cadastros. Esses dados mostram o dia e a hora de novos cadastros no per´ıodo de 25 de mar¸co de 2005 até 31 de agosto de 2010. A fim de descartar a tendência natural por se tratar de um intervalo de dados muito extenso foi considerado apenas as informa¸cões dentro do per´ıodo de julho e agosto de 2010. Por entender que dias de semana diferentes possuem comportamentos diferentes optou-se por trabalhar apenas com os dados referentes as segundas-feiras. Dessa forma o banco de dados que vamos trabalhar é composto pelos instantes de chegada em oito segundas-feiras dentro do intervalo de julho e agosto de 2010.

Tratamento dos dados e defini¸

c˜

ao da amostra

Cada dia de observa¸cão foi dividido em subintervalos de 15 minutos e para cada um desses subintervalos foi determinado o número de cadastros ao site. Defina Yi = número

de cadastros no subintervalo i e Xi = o ponto m´edio do subintervalo i. Como a unidade

de tempo utilizada foi em minutos Xi = {7.5, 22.5, 37.5, . . . , 1417.50, 1432.50}, ou seja, o

primeiro valor representa o ponto m´edio, em minutos, do intervalo entre 00 : 00 : 00 e 00 : 15 : 00.

(40)

5.1 Dados Reais 36 cadastros considerando os oitos dias de observa¸cão para cada um dos subintervalos. A partir deste gráfico serão determinados os intervalos para os quais assumiremos que o número de cadastros se comportam de forma diferente.

Figura 5.1: N´umero m´edio de cadastros ao longo do dia

Uma an´alise visual da Figura 5.1 sugere que os intervalos escolhidos sejam: I1 −→ de 0h at´e 7h e 59 min

Ainda observando a Figura 5.1, podemos verificar que nos intervalos I1 e I3

existem muitas ocorrências nulas para a variável Y , logo será mais adequado trabalhar com a modelagem exponencial. Também será escolhida a modelagem exponencial para o intervalo I2 por acreditar que o decaimento é aparentemente exponencial. Então para

cada um dos intervalos vamos considerar os seguinte modelo a ser estimado: λ = eaX+b. Veja que o intervalo I1 tem oito horas de dura¸c˜ao. Como foram observados

oitos dias, para este intervalo dispomos de 8 × 8 = 256 subintervalos de 15 minutos, e este ´

e o tamanho da amostra que será usada para estimar os parâmetros desse intervalo. Já o intervalo I2 tem dez horas de dura¸cão, então para este intervalo a amostra

(41)

5.2 Estimativa dos parâmetros e ajuste do modelo 37 será de tamanho 10 × 8 × 4 = 320. Por fim, o intervalo I3 tem seis horas de dura¸cão, logo

para este intervalo a amostra ser´a de tamanho 6 × 8 × 4 = 192.

5.2 Estimativa dos parˆ

ametros e ajuste do modelo

Nessa se¸cão será usada a metodologia apresentada no Cap´ıtulo 3 supondo o modelo ex-ponencial λi = eaXi+b. Logo, para cada intervalo Ii serão estimados os parâmetros ai e

bi considerando todas as observa¸c˜oes dentro do banco de dados. E seguida ser˜ao

apre-sentados os gráficos que indicam os desvios residuais, os pontos influentes e os pontos de alavanca. Essas estimativas e gráficos estão apresentados na Se¸cão 5.2.1.

A fim de melhor ajustar o modelo os pontos influentes serão retirados e as estimativas feitas novamente. Esse processo será repetido até que não haja mais pontos influentes. O modelo ajustado está apresentado na Se¸cão 5.2.2.

5.2.1 Modelo Inicial

Nessa se¸cão serão apresentadas as estimativas para os parâmetros em cada um dos três intervalos considerando todos as observa¸cões do banco de dados. Além das estimativas serão apresentados os valores da Fun¸cão Desvio e os gráficos de Diagnósticos a fim de detectar os pontos influentes.

As estimativas dos parˆametros a e b se encontram na Tabela 5.3 a seguir. Tabela 5.1: Estimativas e p-valores dos parˆametros para o intervalo 1 - dados reais

Estimativa p-valor ˆ

a 0.0009003 0.00207 ** ˆ_b _0.6542280 _{1.72e-14 ***}

Tabela 5.2: Estimativas e p-valores dos parˆametros para o intervalo 2 - dados reais Estimativa p-valor

ˆ

a -0.0009057 2e-16 *** ˆ

b 4.3212015 2e-16 ***

Os p-valores muito pequenos, indicados por *** ou **, significam o parâmetro em questão não é nulo e sim representativo na regressão.

(42)

5.2 Estimativa dos parˆametros e ajuste do modelo 38 Tabela 5.3: Estimativas e p-valores dos parˆametros para o intervalo 3 - dados reais

a 0.001954 5.89e-09 *** ˆ_b _-1.003557 _{0.02 *}

Tabela 5.4: Fun¸c˜ao Desvio em cada intervalo I para os dados reais

I1 I2 I3

DEV 2286.552 26887.65 2833.227

df 254 286 190

DEV /df 9.002172 94.01275 14.91172

Os Gráficos de Diagnósticos estão apresentados nas Figuras 5.2, 5.3 e 5.4. Os pontos numerados representam os pontos influentes e estes serão retirados para se chegar ao modelo final. Os gráficos de letra (b) mostram os pontos junto com a curva ˆλ = eâX+ˆb_.

5.2.2 Modelo Final

Nessa se¸cão serão apresentadas as estimativas para os parâmetros em cada um dos três intervalos descartando os pontos influentes. Ou seja, o modelo foi estimado algumas vezes até que não houvesse mais pontos influentes. Além das estimativas serão apresentados os valores da Fun¸cão Desvio e os gráficos de Diagnósticos a fim de verificar o ajuste do modelo.

As estimativas dos parˆametros a e b para cada intervalos se encontram nas Tabelas 5.5, 5.6 e 5.7, a seguir.

Tabela 5.5: Estimativas e p-valores finais dos parˆametros para o intervalo 1 - dados reais Estimativa p-valor

ˆ

a 0.006269 2e-16 *** ˆ

b -1.948522 2e-16 ***

(43)

5.2 Estimativa dos parˆametros e ajuste do modelo 39

Figura 5.2: Gr´aficos de Diagn´ostico para o Intervalo 1 - dados reais

(44)

Figura 5.3: Gráficos de Diagnóstico para o Intervalo 2 - dados reais gráficos de letra (b) mostram os pontos junto com a curva ˆλ = eâX+ˆb_.

(45)

(46)

5.3 Coment´arios sobre o modelo ajustado 42 Tabela 5.6: Estimativas e p-valores finais dos parˆametros para o intervalo 2 - dados reais

a -0.0005466 0.00976 ** ˆ_b _3.0877764 _{2e-16 ***}

Tabela 5.7: Estimativas e p-valores finais dos parˆametros para o intervalo 3 - dados reais Estimativa p-valor

ˆ

a -0.001361 0.562 ˆ_b _2.266970 _0.281

Tabela 5.8: Fun¸c˜ao Desvio final em cada intervalo I para os dados reais

I1 I2 I3

DEV 527.8776 3046.165 705.5989

df 240 249 177

DEV /df 2.19949 12.23359 3.986435

5.3 Coment´

arios sobre o modelo ajustado

Podemos observar que para todos os intervalos o modelo inicial está mal ajustado. Isso pode ser conclu´ıdo a partir dos alto valores das Fun¸cões Desvio, da grande quantidade de pontos influentes e do comportamento fora do padrão dos res´ıduos.

Em compara¸cão com o modelo inicial o modelo final obteve melhores resul-tados. Os valores das Fun¸cões Desvio ca´ıram significativamente e neste último modelo não há mais pontos influentes. Porém, apesar de melhor, os resultados ainda não são tão bons: as Fun¸cões Desvios ainda assumiram valores acima do esperado e os res´ıduos não estão distribu´ıdos aleatoriamente em torno do zero.

Observando o modelo final para o Intervalo 1, principalmente os gr´aficos dos res´ıduos (5.5(a)) e dos pontos de alavanca (5.5(e)), podemos verificar que as observa¸c˜oes no final do intervalo indicam pontos de alavanca e possuem valores significativos para os res´ıduos. Talvez isso seja um indicativo para redefinir este intervalo diminuindo em pelo menos 30 minutos.

De forma an´aloga para o Intervalo 3 as observa¸c˜oes no in´ıcio do intervalo indicam pontos de alavanca e possuem valores mais significativos para os res´ıduos, veja os

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Figura 5.6: Gr´aficos de Diagn´ostico para o Intervalo 2 - dados reais 30 minutos seu comprimento.

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bas-5.3 Coment´arios sobre o modelo ajustado 46 tante significativas nas estimativas dos parˆametros a e b. Veja a diferen¸ca nos valores apresentados nas Tabelas 5.3 e ??.

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6 Conclus˜

ao

Nesse trabalho foi utilizada a Regressão de Poisson a fim de modelar e estimar os parâmetros da taxa de chegada de um Processo de Poisson não homogêneo. Para isso foram consi-deradas duas modelagens diferentes: linear e exponencial. Foram considerados intervalos de tempo conhecidos dentro dos quais o comportamento das chegadas eram semelhantes. Para cada intervalo foi selecionado o modelo apropriado e seus parâmetros estimados. O modelo foi testado em dois conjuntos de dados: o primeiro sintético e o segundo real.

Para os dados sintéticos obtivemos bons resultados, não foi detectada nenhuma observa¸cão influente e os res´ıduos estavam aleatoriamente distribu´ıdos em torno de zero com amplitude constante. Este já era um resultado esperado, uma vez que os dados foram simulados de acordo com o modelo escolhido.

Para os dados reais os resultados não foram satisfatórios, principalmente para o modelo considerando todos os dados de entrada: as análises com os res´ıduos mostraram muitos pontos outliers e muitas observa¸cões influentes. Então o modelo foi estimado algumas vezes até que não houvesse mais pontos influentes, a fim de verificar uma melhora no ajuste. Notamos uma melhora significativa, mas não o suficiente para se ter um bom ajuste.

De acordo com os pontos de alavanca e os res´ıduos para o modelo final dos dados reais uma sugestão de trabalho futuro seria redefinir os intervalos e refazer o ajuste do modelo a fim de verificar se ocorre alguma melhora. Uma outra possibilidade de trabalho futuro é utilizar a modelagem exponencial para tentar ajustar os dados sintéticos. Assim poderemos verificar como seria o ajuste do modelo exponencial quando os dados são conhecidamente gerados de forma linear.

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Referˆ

encias Bibliogr´

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