CAPÍTULO III
Deslocamentos
De uma forma geral, um deslocamento pode ser definido como uma variação da posição de um corpo, a qual acarreta uma direcção e uma distância. Um deslocamento é, pois, uma grandeza vectorial.
Considerando, então, um sistema de coordenadas cartesiano, podemos definir as componentes do deslocamento de um ponto genérico P(x,y,z) nas direcções de referência como sendo:
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
x
y
z
t
v
x
y
z
t
w
x
y
z
t
u
Portanto, o vector de deslocamento total será:
D
=
u
i
+
v
j
+
w
k
Se, para além de um deslocamento, um corpo sofrer alterações na sua forma geométrica e tamanho, então dizemos que houve uma deformação.
O cálculo das deformações torna-se importante por duas vias:
• garantir que a estrutura cumpra os requisitos para que foi projectada;
• auxiliar o cálculo das tensões em sistemas rígidos (na realidade, nem sempre se conseguem calcular as tensões em componentes estruturais somente recorrendo às equações de equilíbrio estático anteriormente desenvolvidas)
Deformações longitudinais
Considere-se um elemento infinitesimal de forma paralelipipédica inserido dentro de um corpo de geometria arbitrária.
Pretende-se relacionar as deformações internas do corpo no ponto P com as tensões aí actuantes. A aplicação de cargas externas leva à deformação do corpo e ao deslocamento da posição de P para P’:
)
,
,
(
'
)
,
,
(
x
y
z
P
x
u
y
v
z
w
P
→
+
+
+
Deformações longitudinais (cont.)
Após a deformação do corpo, as arestas do elemento infinitesimal deixarão de possuir o seu tamanho original, i.e., dx, dy e dz. A figura seguinte esquematiza as arestas do paralelepípedo antes e depois da deformação:
Deformações longitudinais (cont.)
Da análise da figura anterior, constata-se que os deslocamentos dos vários pontos (P, Q e S) são diferentes entre si, podendo ser relacionados através de expansões em séries de Taylor. Por exemplo, a componente na direcção x do deslocamento do ponto Q, simbolizado por u(x+dx, y,z), pode ser relacionado com a mesma quantidade no ponto P, i.e., u(x,y,z). Isto pode ser traduzido pela seguinte série de Taylor:
( )
( )
... ! 3 1 ! 2 1 ) , , ( ) , , ( 3 3 3 2 2 2 + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = + x u dx x u dx x u dx z y x u z y dx x uTal como anteriormente, os termos de ordem mais alta podem ser desprezados. De forma análoga, as componentes do deslocamento do ponto Q segundo y e z podem ser relacionadas com as componentes homólogas no ponto P:
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = + x w dx z y x w z y dx x w x v dx z y x v z y dx x v ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , (
Pode-se usar a mesma técnica para os pontos R e S, estando estes separados, respectivamente, segundo y e z relativamente ao ponto P. Assim, obtêm-se as seguintes expressões:
Deformações longitudinais (cont.)
dy y w z y x w z dy y x w dy y v z y x v z dy y x u dy y u z y x u z dy y x u ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + = + ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( dz z w z y u w dz z y x w dz z v z y u v dz z y x v dz z u z y u u dz z y x u ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + = + ∂ ∂ + = + ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , (Para o ponto R Para o ponto S
É importante salientar que a deformação total do elemento infinitesimal está associada a dois mecanismos:
• variação do comprimento das suas arestas;
Deformações longitudinais (cont.)
Pensemos nas variações de comprimento sofrida pela aresta PQ, traduzidas pela diferença entre P’Q’ e PQ. Sabendo que o comprimento de PQ é igual a e chamando ao comprimento do segmento P’Q’, podemos encontrar o valor desta aresta projectando-a no plano z=0, obtendo-se P’’Q’’, que segundo x tem um valor igual a:
dx
dˆ
x
dx
x
u
dx
u
dx
x
u
u
dx
∂
∂
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
+
Recorrendo, agora, ao teorema de Pitágoras, podemos escrever: 2 2 2
''
''
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
=
dx
x
v
dx
x
u
dx
Q
P
Aplicando o mesmo raciocínio para o plano formado por P’Q’ e P’’Q’’ obtemos, finalmente:
2 1 2 2 2
ˆ
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
=
dx
x
w
dx
x
v
dx
x
u
dx
x
d
A variação de comprimento na aresta PQ pode, agora, ser calculada através, simplesmente, da diferença entre e .
dx
d ˆ
x
Deformações longitudinais (cont.)
Porém, torna-se conveniente usar uma quantidade adimensional que represente esta variação de comprimento. Tal, torna-se possível fazendo um quociente entre a variação de comprimento e o comprimento inicial da aresta, obtendo-se aquilo a que se chama a extensão linear⇒ ε . Portanto:
dz
dz
z
d
dy
dy
y
d
dx
dx
x
d
zz yy xx−
=
−
=
−
=
ˆ
ε
ˆ
ε
ˆ
ε
Este conceito de extensão permite reescrever a equação desenvolvida anteriormente:
1
2
1
2 1 2 2 2−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=
x
w
x
v
x
u
x
u
xxε
Atendendo a que todas as derivadas representam quantidades muito pequenas, podem desprezar-se todas as potências de ordem superior a 3. Ao mesmo tempo, a expressão anterior pode desprezar-ser escrita em forma de série binomial:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
2 22
1
x
w
x
v
x
u
xxε
Extensões de corte
Outra forma de provocar deformação num corpo é, como já referido, através da distorção angular das suas arestas, o que implicará uma variação do valor dos ângulos entre arestas relativamente aos seus valores iniciais. A esta variação de cada ângulo chamamos extensão de corte ⇒ γ .
Pensemos no ângulo recto formado pelas arestas RPQ, o qual, na condição de corpo deformado, passará a ser formado pelas arestas R’P’Q’ e terá um valor ligeiramente inferior representado por φ. Assim, a extensão de corte poderá ser definida por:
( )
π
φ
γ
xy=
2
−
A obtenção do ângulo pretendido é feita através do cálculo do seu co-seno. Após alguma manipulação matemática (consultar livro texto), chegamos à equação da extensão de corte na direcção x:
y
w
x
w
y
v
y
u
x
v
x
u
x
v
y
u
xy∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=
=
γ
φ
cos
Poderão ser obtidas expressões semelhantes para os restantes outros dois pares de eixos de coordenadas.
Equações de extensão-deformação: resumo
Grande parte dos problemas relativos a estruturas de aeronaves envolvem pequenas deformações dos seus componentes. Por isso, todas as equações anteriormente desenvolvidas poderão ser usadas na sua forma linear e simplificada:
y
w
z
v
z
w
x
w
z
u
y
v
x
v
y
u
x
u
yz yz zz xz xz yy xy xy xx∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
=
ε
γ
ε
ε
γ
ε
ε
γ
ε
2
2
2
No caso de ocorrerem deformações significativas (por exemplo, a asa de uma aeronave sujeita a grandes esforços aerodinâmicos), então dever-se-á considerar a aplicação da forma completa das equações anteriores:
Equações de compatibilidade
Quando um corpo está sujeito à acção de um carregamento externo, é necessário determinar o seu estado de tensão recorrendo às equações de equilíbrio. Porém, estas não são suficientes para atender ao número total de variáveis existentes. Por exemplo, no caso 2D temos 2 equações de equilíbrio e três variáveis (σxx , σyy, τxy), sendo um problema estaticamente indeterminado. Outras equações que poderão ser usadas relacionam as extensões com as deformações.
Sabemos que:
y
v
x
u
yy xx∂
∂
=
∂
∂
=
ε
ε
Portanto, podemos escrever a seguinte relação:
y
x
x
v
y
u
y
x
y
x
v
y
x
u
x
y
xy yy xx∂
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
ε
ε
2 2γ
2 3 2 3 2 2 2 2Esta relação diferencial, chamada de condição de compatibilidade das extensões, deve ser satisfeita pelas componentes da deformação para assegurar a existência de funções de deslocamento u e v compatíveis e que podem ser obtidas através das duas equações acima.
Note-se que apesar de conterem toda a informação das relações de extensão-deformação, as equações de compatibilidade apenas fazem uso exclusivo das extensões.
De uma forma análoga, podem ser obtidas mais duas equações de compatibilidade relacionando εxx com
ε
zze ε
yycom ε
zz.
Estado plano de extensão
Similarmente ao raciocínio usado para a definição do estado plano de tensões, também agora se pode definir um estado plano de extensões quando as condições do problema em análise permitem escrever:
0
=
=
=
yz zz xzγ
ε
γ
As igualdades anteriores traduzem, por outras palavras, que o deslocamento segundo w deve ser constante.
Em estado plano de extensões, as equações anteriormente desenvolvidas resumem-se a:
constante
w
)
,
(
)
,
(
=
=
=
u
x
y
v
v
x
y
u
x
v
y
u
y
v
x
u
xy yy xx∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
=
∂
∂
=
ε
γ
ε
ε
xy
2
y
x
x
y
xy yy xx∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
ε
ε
2γ
2 2 2 2 Única equação de compatibilidade existenteExtensões em sistemas rodados
Sabemos que o movimento de translação de sistemas de coordenadas não tem
implicações nas extensões. No entanto, a rotação de um sistema de coordenadas
resulta na variação de dimensões lineares e angulares de um dado elemento, pelo
que as magnitudes das diferentes componentes das extensões são afectadas.
Considere-se, pois, dois sistemas cartesianos rodados entre si (ver figura):
(x; y; z) → sistema original
Extensões em sistemas rodados
Relativamente à figura anterior, podemos definir o vector de posição r (para um ponto
genérico P) como sendo:
As componentes dos deslocamentos num sistema de coordenadas podem ser
relacionadas com o outro sistema de coordenadas se se considerarem os produtos
internos entre os versores de ambos os sistemas, de tal forma que, por exemplo:
O vector D, por seu turno, representa o vector deslocamento relativo ao ponto P,
podendo ser escrito em termos das componentes de ambos os sistemas de
coordenadas:
Extensões em sistemas rodados
Note-se que, nas expressões anteriores, os produtos internos são equivalentes aos
co-senos dos ângulos formados entre os eixos dos sistemas de coordenadas. Por isso,
estas relações podem ser escritas com recurso aos co-senos directores associados à
rotação entre ambos os sistemas de coordenadas, obtendo-se:
Extensões em sistemas rodados
Da definição de extensão, sabemos que:
** *
x
u
xx∂
∂
=
ε
Aplicando a regra da derivação em cadeia, podemos relacionar as deformações em
ambos os sistemas de coordenadas:
(1)
Extensões em sistemas rodados
Substituindo (2) em (1) obtemos:
(3)
De uma forma análoga, poderemos determinar as demais extensões. Se quisermos,
usando uma notação matricial, podemos relacionar as extensões entre dois sistemas de
coordenadas rodados através da expressão:
Existem diversas técnicas experimentais adequadas à medição de extensões. No entanto, devido à sua simplicidade e relativo baixo custo, a utilização de extensómetros eléctricos é seguramente a mais utilizada.
Um extensómetro eléctrico baseia-se no princípio físico da variação da resistência eléctrica de um condutor através da variação das suas dimensões físicas, i.e., comprimento e secção transversal. Assim, quando um condutor é alongado (aumento de comprimento), resulta uma diminuição da sua secção transversal e, consequentemente, um aumento da sua resistência, e vice-versa. Este princípio físico foi usado a partir das décadas de 1930-40 para a medição efectiva de extensões em estruturas e componentes em engenharia. Note-se que, conhecendo as extensões num dado local de um componente, facilmente se conseguem definir os campos de tensões e deslocamentos associados a essa posição do extensómetro.
Extensometria
A selecção apropriada de um extensómetro obedece a diferentes requisitos de instalação e operação, designadamente:
• sensibilidade do extensómetro em função do tipo de liga do filamento; • tipo de material de suporte;
• valor nominal da resistência eléctrica do extensómetro; • configuração geométrica do extensómetro;
• temperatura(s) de serviço
• comprimento útil do extensómetro (gage length)
Outros constrangimentos operacionais devem ser considerados, tais como, por exemplo: • precisão de medição;
• fiabilidade face a aplicação de cargas dinâmicas (fadiga); • local de instalação;
• efeitos ambientais • …
