(Lógica)
Sistemas Dicotômicos, Interruptores e Conjuntos
Professor: Renê Furtado Felix E-mail: rffelix70@yahoo.com.br
Site: http://www.renecomputer.net/pdflog.html
Sistemas Dicotômicos
O mundo em que vivemos apresenta situações com dois
estados apenas, que naturalmente se excluem, algumas das
quais
tabelamos
a seguir:
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1 0
Sim Não Preto Branco
Ligado Desligado Há situações como morno e tépido,
diferentes tonalidades de vermelho, etc.
Que não apresentam como estritamente dicotômicos, ou seja, com dois estados excludentes bem definidos.
Sistemas Dicotômicos
Interruptores
Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico, que pode assumir dois estados: fechado (1) ou aberto (0).
Quando fechado o interruptor permite que a corrente passe através do ponto, enquanto aberto nenhuma corrente pode passar pelo ponto.
Condutor por onde passa corrente elétrica.
Um interruptor aberto quando a está fechado e fechado quando a está aberto chama-se complemento (inverso ou negação) de a, e denota-se por a’.
Sistemas Dicotômicos
Interruptores
Sejam a e b dois interruptores ligados em paralelo. Numa ligação em paralelo, só passará corrente se pelo menos um dos interruptores estiver fechado. Denotaremos a ligação de dois interruptores a e b em paralelo por a + b.
Sistemas Dicotômicos
Interruptores
Sejam a e b dois interruptores ligados em série. Numa ligação deste tipo, só passará corrente se ambos os interruptores estiverem fechado, isto é, se a = b = 1.
Denotaremos a ligação de dois interruptores a e b em série por a * b, ou simplesmente ab. Então:
Sistemas Dicotômicos
Interruptores
Assim, considerando os estados possíveis de serem assumidos pelos interruptores nas ligações em série e em paralelo, podemos notar que:
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0 + 0 = 0 0 * 0 = 0 0 + 1 = 1 0 * 1 = 0 1 + 0 = 1 1 * 0 = 0 1 + 1 = 1 1 * 1 = 1 a + b = b + a a * b = b * a a + a’ = 1 a * a’ = 0 a + 0 = a a * 0 = 0 a + 1 = 1 a * 1 = a
Sistemas Dicotômicos
Interruptores
Todas estas equações podem ser verificadas desenhando-se o
circuito apropriado.
As ligações de:
São a * (b + c) e (a * b) + (a * c), respectivamente. Os circuitos estão ambos abertos se a = 0 ou b = c = 0, e estão ambos fechados se a = 1 e (b = 1 ou c = 1); logo suas ligações são iguais. Então:
Sistemas Dicotômicos
Interruptores
Todas estas equações podem ser verificadas desenhando-se o
circuito apropriado.
As ligações de:
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São a + (c * c) e (a + b) * (a + c), respectivamente. Os circuitos estão ambos abertos se a = 0 e (b = 0 ou c = 0), e ambos fechados se a = 1 ou b = c = 1; logo, suas ligações são iguais. Então:
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Interruptores
Exemplos:
Determinar a ligação do seguinte circuito:
Solução:
Sistemas Dicotômicos
Interruptores
Desenhar os circuitos cujas ligações são:
p * (p’ + q * p)
(x + y’) * (x’ + y)
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Sistemas Dicotômicos
Interruptores -
Pratique!!!!!
a) a · (b + c) · d c) a · (b + c · d)
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A Noção de Conjunto
Em todas as fontes consultadas, a definição de CONJUNTO não é assertiva, mas partem da noção intuitiva do ser humano. Sendo assim, entendemos que a noção de conjunto parte da concepção que:
a) os itens que compõem um conjunto são chamados de elementos. b) os elementos, ainda que mais diferentes entre si, possuem, ao menos, uma característica similar que os una e faça pertencer a este conjunto.
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A teoria dos conjuntos foi estabelecida por Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845 – 1918).
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Teoria dos Conjuntos
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo pertence ou não pertence .
• Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves {e}.
• Ex.: A = {a,e,i,o,u}.
• Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
• Ex.: A = {x/x é uma vogal}.
Propriedades dos conjuntos
Conjuntos de Venn - Euler:Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são
Propriedades dos conjuntos
Conjuntos
de Venn - Euler:
Representação de conjunto único
Números Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Propriedades dos conjuntos
Conjuntos de Venn:
Relação entre dois conjuntos: A e B.
A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) B = (5, 6, 7, 8, 9, 10) Símbolos U = União. ∩ = intersecção AUB = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) A ∩ B = (5, 6)
Propriedades dos conjuntos
Subconjuntos:
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B,
denotado por
AB, se todos os elementos de A também estão
em B.
Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente
contido em B, quando o conjunto B, além de conter os
elementos de A, contém também outros elementos.
O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é
o super conjunto que contém A.
Propriedades dos conjuntos
Alguns conjuntos especiais:
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É
representado por
{ }
ou por
Ø
. O conjunto vazio está
contido em todos os conjuntos.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os
elementos do contexto no qual estamos trabalhando e
também contém todos os conjuntos desse contexto. O
conjunto universo é representado por uma letra
U
.
Propriedades dos conjuntos
Reunião dos conjuntos:
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}.
Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os
elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então AB=Ø.
Propriedades dos conjuntos
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a
reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B,
denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A υ A = A e A ∩ A = A
Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se
Propriedades dos conjuntos
Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A
e B, tem-se que:
Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C,
tem-se que:
Propriedades dos conjuntos
Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B,
tem-se que:
Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o
elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para
todo conjunto A, se tem:
Propriedades dos conjuntos
Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do
conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o
próprio conjunto vazio.
Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C,
tem-se que:
Propriedades dos conjuntos
Propriedades dos conjuntos
Conjuntos de Venn: Exercícios em sala de aula.
Numa pesquisa feita com 1000 famílias para verificar a audiência dos programas de televisão, os seguintes resultados foram encontrados:
510 famílias assistem ao programa A, 305 assistem ao programa B e 386 assistem ao programa C.
Sabe-se ainda que 180 famílias assistem aos programas A e B, 60 assistem aos programas B e C, 25 assistem a A e C e 10 assistem aos três programas. a) Quantas famílias não assistem a nenhum desses programas?
b)Quantas famílias assistem somente ao programa A?
c) Quantas famílias não assistem nem ao programa A nem ao programa B?
Propriedades dos conjuntos
Começa-se o diagrama pela intercecção dos três conjuntos, colocando o número de famílias que assistem aos três programas no centro do diagrama.
A partir desse passo, inserem-se os valores que completam o total de famílias que assistem a dois dos programas e, por fim, completam-se os valores de cada conjunto individualmente.
Explica-se o Diagrama de Venn-Euler:
Resolução do exercício
Conclui-se que 54 famílias das 1.000 entrevistadas,
não assistem a nenhum dos programas. Percebe-se,
facilmente, a seguinte Lei:
LÓGICA
Lógica
"Se a escravatura não é má, nada é mau.“
