UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Controle da Diretividade Sonora no Espaço
Tridimensional por um Arranjo Esférico Compacto
de Alto-Falantes
Autor: Alexander Mattioli Pasqual
Orientador: Prof. Dr. José Roberto de França Arruda Co-orientador: Prof. Dr. Philippe Herzog
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL
Controle da Diretividade Sonora no Espaço
Tridimensional por um Arranjo Esférico Compacto
de Alto-Falantes
Autor: Alexander Mattioli Pasqual
Orientador: Prof. Dr. José Roberto de França Arruda (Unicamp, Campinas/Brasil) Co-orientador: Prof. Dr. Philippe Herzog (LMA, UPR 7051, Marselha/França)
Curso: Engenharia Mecânica
Área de Concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto Mecânico
Tese de doutorado apresentada à comissão de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia Mecânica, como requisito para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica.
Campinas, 2010 S.P. — Brasil
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
DEPARTAMENTO DE MECÂNICA COMPUTACIONAL
TESE DE DOUTORADO
Controle da Diretividade Sonora no Espaço
Tridimensional por um Arranjo Esférico Compacto
de Alto-Falantes
Agradecimentos
Primeiramente, eu gostaria de expressar meus mais profundos agradecimentos ao meu ori-entador José Roberto de França Arruda pela sua influência muito positiva e confiança em meu tra-balho. As discussões e oportunidades que ele me proporcionou tiveram um valor incomensurável para o meu desenvolvimento científico e pessoal.
Sou muito grato ao meu co-orientador Philippe Herzog pela sua entusiástica assistência cien-tífica e gentil apoio durante meus estágios no Laboratório de Mecânica e Acústica (LMA, CNRS, UPR 7051, Marselha, França).
Agradecimentos especiais aos membros da equipe SACADS do LMA e a todos do Departa-mento de Mecânica Computacional (DMC, Unicamp, Campinas, Brasil). Eu estou particularmente em débito com Cédric Pinhède do LMA — sua dedicação e ajuda foram imprescindíveis para a realização dos trabalhos experimentais. Também gostaria de agradecer aos alunos de graduação e pós-graduação Samuel Pinson, Victor Bécard e Lucas Cóser pelas suas contribuições a este trabalho através de simulações e experimentos complementares.
Agradeço ao pessoal do Núcleo Interdisciplinar de Comunicação Sonora (NICS, Unicamp, Campinas, Brasil) pelas enriquecedoras discussões sobre os aspectos musicais e de implementação prática de fontes sonoras de diretividade controlada, especialmente Jônatas Manzolli, Adolfo Maia Jr., Tuti Fornari e José Augusto Mannis.
Por ter gentilmente construído a estrutura mecânica do protótipo de alto-falante dodecaé-drico da Unicamp, agradeço a Jorge Vicente Lopes da Silva, Marcelo Oliveira e seus colegas da Divisão de Tecnologias Tridimensionais do Centro de Tecnologia da Informação Renato Archer (CTI, Campinas, Brasil).
Sou grato a Franz Zotter (Instituto de Música Eletrônica e Acústica, Graz, Áustria) pelas discussões técnicas sobre acústica esférica e dicas que me ajudaram a melhorar este manuscrito.
de Pessoal de Nível Superior (CAPES, Brasil) e pelo apoio financeiro do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS, França).
Estou em débito com meu divertido tio Carlos Henrique Mattioli e seu filho Enzo pela sua ótima hospitalidade e apoio. Agradecimentos especiais à minha prima Vivian G. Mattioli que me permitiu ocupar seu quarto durante sua ausência e confiou seus sapos aos meus cuidados.
Por fim, mas não menos importante, gostaria de calorosamente agradecer a meus pais, irmãos, avós e amigos que têm me encorajado de uma forma ou de outra ao longo desta extraordinária jor-nada: Lucas Lima, Flávio Bianchini, Igor Chalfoun, Katlen Allganer, Lúcia Cambraia, Alberto Caeiro, Constance Meiners, Camila Boscariol, Karen Paulino, Riccardo Mariani, Fabiano Bian-chini, Liliana Leonardi, Bruno Costa, Fernanda Calegari, Samer Hamandi, Kailing Zhu... Muito obrigado!
“The greatest challenge to any thinker is stating the problem in a way that will allow a solution.”
Resumo
PASQUAL, Alexander Mattioli, Controle da Diretividade Sonora no Espaço Tridimensional por
um Arranjo Esférico Compacto de Alto-Falantes. 2010. 193 p. Tese (Doutorado): Faculdade de
Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
O controle angular da radiação sonora pode ser obtido utilizando um arranjo compacto de alto-falantes independentemente programáveis operando na mesma faixa de frequência. Geral-mente, os alto-falantes são dispostos sobre uma estrutura de formato esférico seguindo a geometria de um sólido de Platão a fim de se obter uma configuração altamente simétrica. Recentemente, protótipos de arranjos esféricos compactos de alto-falantes vêm sendo desenvolvidos e aplicados a medições em acústica de salas, performances de música eletroacústica e síntese de padrões de dire-tividade de fontes acústicas tais como instrumentos musicais. Contudo, muitos aspectos referentes a seu controle, projeto e comportamento eletromecânico, bem como à sua habilidade em propor-cionar uma experiência sonora mais realista que sistemas de áudio convencionais, permanecem não esclarecidos.
Este trabalho contempla a análise e síntese de campos sonoros através de um arranjo esférico compacto de alto-falantes e pretende contribuir para o esclarecimento de alguns aspectos supraci-tados. Propõe-se uma estratégia de controle baseada nos modos de radiação acústica do arranjo esférico, a qual apresenta várias vantagens sobre a estratégia usual fundada nos harmônicos esféri-cos. Uma análise teórica e experimental do comportamento eletromecânico de arranjos compactos de alto-falantes também é apresentada, na qual o acoplamento acústico entre os alto-falantes no in-terior da estrutura esférica é considerado. Além disso, os sinais ótimos dos alto-falantes correspon-dentes a um dado padrão de diretividade são calculados utilizando duas funções custo distintas, re-velando que o realismo do padrão sintetizado pode ser significativamente ampliado desprezando-se a fase da diretividade alvo. Finalmente, os modelos teóricos propostos são validados por medições de impedância elétrica, velocidade dos diafragmas dos alto-falantes e padrões de diretividade.
Abstract
PASQUAL, Alexander Mattioli, Sound Directivity Control in a 3-D Space by a Compact Spherical
Loudspeaker Array. 2010. 193 p. Thesis (PhD in Mechanical Engineering): Faculty of Mechanical
Engineering, State University of Campinas, Campinas.
Angular control of the sound radiation can be achieved by using a compact array of indepen-dently programmable loudspeakers operating at the same frequency range. The drivers are usually distributed over a sphere-like frame according to a Platonic solid geometry to obtain a highly sym-metrical configuration. Prototypes of compact spherical loudspeaker arrays have been recently developed and applied in room acoustics measurements, electroacoustic music performance and synthesis of directivity patterns of acoustical sources such as musical instruments. However, many aspects concerning their control, design, electromechanical behavior and ability to provide a more realistic sound experience than conventional audio systems remain unclear.
This work concerns the analysis and synthesis of sound fields by a compact spherical loud-speaker array and aims to contribute to clarifying some aspects mentioned above. A control strategy based on the acoustic radiation modes of the spherical array is proposed, which presents several ad-vantages over the usual strategy based on the spherical harmonics. A theoretical and experimental analysis of the electromechanical behavior of compact loudspeaker arrays is also presented, in which the acoustic coupling between drivers inside the array frame is taken into account. In addi-tion, optimum driver signals corresponding to a given target directivity pattern are derived using two different cost functions, indicating that the realism of the synthesized pattern may be significantly increased by neglecting the phase of the target directivity pattern. Finally, the proposed theoret-ical models are validated through measurements of electrtheoret-ical impedance, loudspeaker diaphragm velocity and directivity patterns.
List of Figures
1.1 Principal radiation directions for a violin in the horizontal plane [1]. . . 17 1.2 Synthesis of the temporal and spatial signature of an acoustical source by a compact
loudspeaker array. . . 19 1.3 Spherical loudspeaker array prototypes based on the Platonic solids. . . 21
2.1 Spherical coordinates. . . 30 2.2 Acoustic dipole arbitrarily oriented modeled by two monopoles with source-strengths
+Qsand−Qs. . . 31
2.3 Longitudinal (on the left) and lateral (on the right) quadrupoles arbitrarily oriented modeled by two dipoles with moments dm and−dm. . . 32 2.4 Directivity patterns of a monopole, a dipole and a lateral quadrupole. The figure
shape indicates the magnitude of a normalized sound pressure, and the dark and light portions indicate a1800 phase difference. . . . 34
2.5 Directivity patterns of a longitudinal quadrupole evaluated at kr = 0.2, kr = 2, kr = 20 and under farfield condition. The figure shape indicates the magnitude of
a normalized sound pressure and the color gradient indicates its phase. . . 34 2.6 Complex-valued spherical harmonics up to ordern = 3. . . 39 2.7 Real-valued spherical harmonics up to ordern = 3. . . 41 2.8 An acoustic domain (“listening area”), V , bounded by Γo and Γi, free of sound
2.9 Boundary value problems: a) Interior problem: sound sources and scatterers out-side the listening area; b) Exterior problem: free-field sound radiation. . . 49 2.10 Synthesis or playback of an acoustic field: a) Irradiation reproduction: Ambisonics
and Wave Field Synthesis; b) Radiation reproduction: compact loudspeaker array. . 49
3.1 Radiation efficiencies of the first 49 acoustic radiation modes of the continuous sphere (spherical harmonics). . . 54 3.2 Spherical cap with aperture angleθ0 mounted on a rigid sphere at rc. . . 55
3.3 Convex regular polyhedra (Platonic solids) and their midspheres. . . 59 3.4 Radiation efficiency of the ARM # 1 of the continuous sphere and the discrete
spheres based on the Platonic solids (linear scale on the left; logarithmic scale on the right). . . 60 3.5 Radiation efficiency of the ARM # 2 to 4 of the continuous sphere and the discrete
spheres based on the Platonic solids (linear scale on the left; logarithmic scale on the right). . . 60 3.6 Radiation efficiency of the ARM # 5 to 9 of the continuous sphere, the
dodecahedron-like sphere and the icosahedron-dodecahedron-like sphere, as well as the ARM # 5 to 6 of the hexahedron-like sphere and the ARM # 5 to 7 of the octahedron-like sphere (linear scale on the left; logarithmic scale on the right). . . 61 3.7 Radiation efficiency of the ARM # 10 to 16 of the continuous sphere, the ARM # 8
of the octahedron-like sphere, the ARM # 10 to 12 of the dodecahedron-like sphere and the ARM # 10 to 16 of the icosahedron-like sphere (linear scale on the left; logarithmic scale on the right). . . 61 3.8 Radiation efficiency of the ARM # 17 to 25 of the continuous sphere and the
ARM # 17 to 20 of the icosahedron-like sphere (linear scale on the left; logarithmic scale on the right). . . 62 3.9 Sound pressure patterns corresponding to the ARM # 1 of the discrete spheres based
on the five Platonic solids. Patterns obtained for ka = 0.1 at a distance r = 10a
3.10 Sound pressure patterns corresponding to the ARM # 2 of the discrete spheres based on the five Platonic solids. Patterns obtained for ka = 0.1 at a distance r = 10a
from the sphere center. . . 63 3.11 Sound pressure patterns corresponding to the ARM # 6 of the hexahedron-like,
octahedron-like and dodecahedron-like spheres, as well as the ARM # 9 of the icosahedron-like sphere. Patterns obtained forka = 0.1 at a distance r = 10a from
the sphere center. . . 64 3.12 Sound pressure patterns corresponding to the ARM # 8 of the octahedron-like
sphere, the ARM # 12 of the dodecahedron-like sphere and the ARM # 10 of the icosahedron-like sphere. Patterns obtained forka = 0.1 at a distance r = 10a from
the sphere center. . . 64 3.13 Sound pressure patterns corresponding to the ARM # 1 of the discrete spheres based
on the five Platonic solids. Patterns obtained forka = 5 at a distance r = 10a from
the sphere center. . . 65 3.14 Frequency response functions between input diaphragm velocity and output voltage. 71 3.15 Ratio between the voltage magnitude that feeds the most solicited driver of the
array (driver # 1) and the resulting sound power. Simulation results obtained for the acoustic radiation modes # 1, 2, 5 and 12. . . 73
4.1 Upper and lower bounds of the normalized root mean square error (RMSE) achieved in the synthesis of functions in the subspaces spanned by spherical harmonics of orders 0, 1, 2 and 3. θ0 = 15.10 has been used for the tetrahedron, hexahedron,
octahedron, dodecahedron and icosahedron. . . 78 4.2 Upper and lower bounds of the normalized root mean square error (RMSE) achieved
in the synthesis of functions in the subspaces spanned by spherical harmonics of or-ders 0, 1, 2 and 3. θ0 = 54.70,45.00,35.20,31.70 and20.90have been used for the
tetrahedron, hexahedron, octahedron, dodecahedron and icosahedron, respectively. 79 4.3 Normalized ARM weights for a dodecahedral source withθ0 = 15.10. These curves
arise from the synthesis of a function in the subspace spanned by spherical harmon-ics of ordern chosen so that it leads to the lowest RMSE. . . 81
4.4 Synthesis of the farfield directivity of a spherical cap oriented according to the Euler angles(00, 37.380, 00) by a dodecahedral source with θ
0 = 15.10. Comparison
be-tween the normalized magnitude RMSE obtained by solving the standard weighted least-squares problem (phase concerned) and the magnitude least-squares problem (phase not concerned). . . 85 4.5 Synthesis of the farfield directivity of a spherical cap oriented according to the
Euler angles (00, 37.380, 00) by a dodecahedral source with θ
0 = 15.10.
Compar-ison between the target directivity pattern and the synthesized patterns obtained by solving the standard weighted least-squares problem (phase concerned) and the magnitude least-squares problem (phase not concerned) forka = 2. . . 86 4.6 Synthesis of the farfield directivity of a spherical cap oriented according to the
Euler angles (00, 37.380, 00) by a dodecahedral source with θ
0 = 15.10.
Compar-ison between the target directivity pattern and the synthesized patterns obtained by solving the standard weighted least-squares problem (phase concerned) and the magnitude least-squares problem (phase not concerned) forka = 3. . . 86 4.7 Synthesis of the farfield directivity of a spherical cap oriented according to the
Euler angles (00, 37.380, 00) by a dodecahedral source with θ
0 = 15.10.
Compar-ison between the target directivity pattern and the synthesized patterns obtained by solving the standard weighted least-squares problem (phase concerned) and the magnitude least-squares problem (phase not concerned) forka = 5. . . 87 4.8 Synthesis of the farfield directivity of a spherical cap oriented according to the
Euler angles (00, 37.380, 00) by a dodecahedral source with θ
0 = 15.10. Usual
norm of copt obtained by the standard and the magnitude least-squares, and of the
vector difference between them. . . 87 4.9 Synthesis of the farfield directivity of a spherical cap oriented according to the
Euler angles(00, 37.380, 00) by a dodecahedral source with θ
0 = 15.10. Directivity
patterns corresponding to the vector difference between the optimum weigths copt
obtained by the standard and the magnitude least-squares. . . 88
5.1 Block diagram representing the synthesis of the l-th acoustic radiation mode of a L-driver loudspeaker array. . . 92
5.2 Block diagram representing the sound pressure field produced by thel-th acoustic
radiation mode of aL-driver loudspeaker array after equalization. . . 93 5.3 Filterµl(ω), l = 1, 2, . . . , 12, that compensates for the non-flat frequency response
of the electromechanical transducers of a hollow loudspeaker array with 12 identi-cal drivers. The transducer features are given in the row “mean value” of Tab. 6.1. . 97 5.4 Radiation efficiency of the acoustic radiation modes of a dodecahedral source with
θ0 = 15.10(linear scale on the left; logarithmic scale on the right). . . 97
5.5 Frequency response (log magnitude) of the sound pressure equalizers for the acous-tic radiation modes of a dodecahedral source. . . 98 5.6 Radiation patterns at 1000Hz and 4750Hz corresponding to the ARM # 2 of a
dodecahedral source witha = 0.075m and θ0 = 15.10. . . 98
5.7 Frequency response (log magnitude) of the sound power equalizers for the acoustic radiation modes of a dodecahedral source. . . 99 5.8 Frequency response (log magnitude) of the sound power equalizers for the acoustic
radiation modes of a dodecahedral source. Solid curves: ideal theoretical filters; dashed curves: approximated IIR filters withB = D = 9. . . 101
5.9 Sound power level of the equalized acoustic radiation modes of a dodecahedral source. The ideal sound power equalization filters have been approximated by IIR filters withB = D = 9. . . 102
5.10 Sound pressure response at(ˆr, ˆθ, ˆφ) for some acoustic radiation modes of the
do-decahedral array with IIR sound power equalizers. . . 102
6.1 Spherical array prototype with L = 12 independently programmable transducers
mounted on a hollow sphere with outer radius a = 0.075m and inner radius ai = 0.060m. . . 104
6.2 Experimental set-up for the electrical impedance measurements. . . 106 6.3 Theoretical and experimental electrical impedance of the driver #11 under the
following operation conditions: suspended driver, driver mounted at open-closed tubes of volumesVt1 = 1.5× 10−4m3 andVt2 = 3.3× 10−4m3, suspended driver
6.4 Theoretical and experimental electrical impedance of a suspended driver unit (driver #08) for use in the spherical array prototype. . . 108 6.5 Laser scanning grid points on the driver vibrating surface. On the left, driver is
suspended and both diaphragm and suspension velocities are measured. On the right, driver is mounted on the spherical array prototype and only the diaphragm velocity is measured. . . 110 6.6 Measured vibration pattern of the diaphragm (first 7 inner circles) and suspension
(circles 8 to 16) of a suspended driver for use in the spherical array prototype. This pattern has been measured at the frequency of1616Hz and the grid points are
illustrated on the left of Fig. 6.5. The results have been normalized and averaged over the circumferences shown in such a figure. . . 112 6.7 Theoretical and experimental FRFs corresponding to the config. 1 described in
Tab. 6.2 and to a “suspended" driver. Each experimental FRF is the area-weighted average of FRFs measured on the driver diaphragm surface. . . 114 6.8 Theoretical and experimental FRFs corresponding to the config. 2 described in
Tab. 6.2. The experimental FRF is the area-weighted average of FRFs measured on the driver diaphragm surface. . . 115 6.9 Theoretical and experimental FRFs corresponding to the config. 3 described in
Tab. 6.2. The experimental FRF is the area-weighted average of FRFs measured on the driver diaphragm surface. . . 116 6.10 Theoretical and experimental FRFs corresponding to the config. 4 described in
Tab. 6.2. The experimental FRF is the area-weighted average of FRFs measured on the driver diaphragm surface. . . 117 6.11 Experimental set-up for the directivity measurements at the large anechoic chamber
of the Laboratory of Mechanics and Acoustics of the National Center for Scientific Research (UPR-7051, CNRS, Marseille, France). . . 119 6.12 Experimental set-up for the directivity measurements with the driver and
micro-phone labels indicated. . . 120 6.13 Theoretical and experimental FRFs corresponding to the configurations #1 to #4
6.14 Theoretical and experimental FRFs corresponding to the configurations #5 to #7 shown in Tab. 6.4. . . 123 6.15 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #01 at400Hz. . . 124
6.16 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #02 at400Hz. . . 125
6.17 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #02 at1000Hz. . . . 125
6.18 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #02 at1500Hz. . . . 126
6.19 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #03 at400Hz. . . 126
6.20 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #03 at1000Hz. . . . 127
6.21 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #04 at400Hz. . . 127
6.22 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #04 at2000Hz. . . . 128
6.23 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #05 at600Hz. . . 128
6.24 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #06 at600Hz. . . 129
6.25 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #07 at600Hz. . . 129
6.26 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #07 at2000Hz. . . . 130
6.27 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #10 at1000Hz. . . . 130
6.28 Theoretical and experimental directivity pattern for the ARM #10 at2000Hz. . . . 131
6.29 Theoretical and experimental directivity pattern at 400Hz corresponding to a
ro-tated dipole obtained from a linear combination of the ARM #02 to #04. . . 131 6.30 Theoretical and experimental directivity pattern at 600Hz corresponding to a
ro-tated lateral quadrupole obtained from a linear combination of the ARM #05 to #09. . . 132
List of Tables
4.1 Iterative variable exchange procedure to solve the magnitude least-squares problem. 84
6.1 Estimated parameters of the 12 Aurasound R
NSW2-326-8A drivers used in the
spherical array prototype. . . 107
6.2 Measurement configurations for evaluating the interaction between drivers mounted on the spherical array prototype. Each driver number corresponds to a position in the array shown in Fig. 6.1. . . 110
6.3 Sensitivities of the electret microphones used in the directivity measurements; cal-ibration performed in january 2010. . . 121
6.4 Measurement configurations for evaluating some FRFs between an input driver voltage and an output sound pressure taken at the mic #10. The antenna is posi-tioned so that mic #10 is approximately in front of the driver #01. . . 121
C.1 Basic properties of Platonic solids. . . 160
C.2 Cartesian coordinates and Euler angles of the center of the polyhedrons’ faces. . . . 161
C.3 Modal matrix (Ψ) of the tetrahedron. . . 162
C.4 Modal matrix (Ψ) of the hexahedron. . . 162
C.5 Modal matrix (Ψ) of the octahedron. . . 162
C.6 Modal matrix (Ψ) of the dodecahedron. . . 162
List of Symbols and Abbreviations
Latin Letters
a - Outer sphere radius
ai - Inner sphere radius
b - Clamped electromagnetic force, filter coefficient
B - Magnetic flux density
B - (N + 1)2× L complex matrix
c - Sound speed
C - Mechanical compliance of the driver suspension
C - L× L matrix that couples the power radiated by the elements of u
CF - Correction factor
d - Filter coefficient
dm - Dipole moment
Dn
m′m(α, β, γ) - Rotation matrices for complex-valued spherical harmonics
E - (N + 1)2× L complex matrix
F(a) - Net acoustic force acting on a driver diaphragm G(x, xs) - 3-D free-space Green’s function
k - Wave number
h(1)n (·) - Spherical Hankel function of the first kind h(2)n (·) - Spherical Hankel function of the second kind H1(·) - Struve function of order 1
i - Electrical current
I - Identity matrix
jn(·) - Spherical Bessel function of the first kind Jn(·) - Bessel function of first kind
Jn(m′,m)(·) - Jacobi polynomial
K - Parameter of the lossy inductor model
L - Number of degrees of freedom, number of loudspeakers
M - Mass of the driver diaphragm assembly
n - Parameter of the lossy inductor model
n - Unit normal
N - Truncation order
Np - Number of samples in the azimuth angle direction
Ns - Total number of samples over a sphere
Nt - Number of samples in the zenith angle direction p (x, t) - Sound pressure
¯
p(x, ω) - Complex magnitude spectrum of the sound pressure
Pn(·) - Legendre polynomial
Pm
n (·) - Associated Legendre function of the first kind
Qs - Volume velocity of a pulsating sphere, monopole source-strength
r - Radial coordinate
R - Mechanical resistance of the driver suspension
R(e) - Voice-coil resistance
s - Mono audio signal
S - Area of a vibrating surface
S - Vibrating surface
ˆ
S - Net surface area of a driver membrane
t - Time
Ts - Sampling period
T(ω) - Transduction matrix
u - Column vector of velocity amplitude coefficients
v - Voltage
V - Volume, listening area
x - Position vector
xs - Position vector of an elementary radiator, point on a given surface
W - Acoustic power
W - Diagonal matrix containing non-dimensional area weight factors
ym
n(·) - Real-valued spherical harmonic function Ym
n (·) - Complex-valued spherical harmonic function
Y - Vector containing complex-valued spherical harmonics up to orderN
Z - Acoustic-impedance matrix
Greek Letters
α - First zyz Euler angle
β - Second zyz Euler angle
γ - Third zyz Euler angle
Γ - Smooth closed surface
δ - Dirac delta
δmn - Kronecker delta
∆(·) - Laplace operator, variation
ǫ - Compensation filter
θ - Zenith angle
ι ≡ √−1
µ(ω) - Eigenvalue of T(ω)
ν = −ω
ξ(xs) - Set of orthogonal functions defined on a vibrating surface
ρ - Fluid density in the absence of acoustic perturbation
σ - Radiation efficiency
υ(x, t) - Acoustic velocity
¯
υ(x, ω) - Complex magnitude spectrum of the acoustic velocity
υ (x, t) - Radial acoustic velocity
υn - Acoustic velocity normal to a vibrating surface
φ - Azimuth angle
ψ - Acoustic radiation mode
Ψ - Modal matrix
ω - Angular frequency
Superscripts
∗ - Complex conjugate
ap - All pass
H - Complex conjugate transpose
min - Minimum phase
T - Matrix transpose
Subscripts
ap - All pass
c - Continuous-time
l - Acoustic radiation mode or transducer of the loudspeaker array
min - Minimum phase
opt - Optimum
ref - Reference
Abbreviations and Acronyms
ARM - Acoustic Radiation Mode
BIBO - Bounded-Input Bounded-Output
CLF - Common Loudspeaker Format
CNMAT - Center for New Music and Audio Technologies DSP - Digital Signal Processing
FIR - Finite-duration Impulse Response
FRF - Frequency Response Function
HOA - Higher Order Ambisonics
IEM - Institute of Electronic Music and Acoustics IIR - Infinite-duration Impulse Response
IRCAM - Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique
ITA - Institute of Technical Acoustics
LDV - Laser Doppler Vibrometry
LMS - Least Mean Squares
LTI - Linear Time-Invariant
MIMO - Multiple Inputs Multiple Outputs
RMSE - Root Mean Square Error
SISO - Single Input Single Output
WFS - Wave Field Synthesis
Symbols
ℜ {·} - Real part of a complex number
Contents
1 Introdução 1
1.1 Características direcionais de fontes sonoras . . . 2 1.2 Arranjos esféricos compactos de alto-falantes . . . 4 1.3 Principais contribuições e organização da tese . . . 7 1.3.1 Representação da diretividade . . . 8 1.3.2 Comportamento eletromecânico de arranjos esféricos de alto-falantes . . . 10 1.3.3 Critérios de otimização . . . 12 1.3.4 Organização da tese . . . 13
1 Introduction 15
1.1 Directional characteristics of sound sources . . . 16 1.2 Compact spherical loudspeaker arrays . . . 18 1.3 Thesis main contributions and organization . . . 21 1.3.1 Directivity representation . . . 21 1.3.2 Electromechanical behavior of spherical loudspeaker arrays . . . 23 1.3.3 Optimization criteria . . . 25 1.3.4 Thesis organization . . . 26
2 Sound Radiation and 3-D Sound Field Rendering 28
2.1 Wave equation . . . 28 2.2 Directivity patterns . . . 30 2.2.1 Simple multipole sources . . . 30 2.2.2 Nearfield and farfield propagation . . . 35 2.3 Subspaces for directivity representation . . . 36 2.3.1 Spherical harmonics . . . 37 2.3.2 Acoustic radiation modes (ARMs) . . . 42 2.4 Spatial sound rendering using loudspeaker arrays . . . 46 2.4.1 Theory . . . 46 2.4.2 Spatial audio systems . . . 50
3 Spherical Loudspeaker Array Modeling 52
3.1 Sound radiation . . . 52 3.1.1 Continuous sphere . . . 52 3.1.2 Discrete sphere . . . 54 3.1.2.1 Convex regular polyhedra . . . 58 3.2 Electromechanical behavior . . . 65 3.2.1 Electrodynamic loudspeakers . . . 65 3.2.2 Acoustical coupling . . . 67 3.2.2.1 Lumped-parameter model . . . 68 3.2.2.2 Distributed-parameter model . . . 68 3.3 Enclosure design . . . 69
4 Synthesis and Reproduction of Directivity Patterns 74
4.1 Synthesis of an arbitrary function . . . 74 4.2 Synthesis of a spherical harmonic function . . . 76 4.3 Synthesis with desired magnitude response . . . 82
5 Equalization Filtering 89
5.1 The electroacoustical modeling of spherical loudspeaker arrays revisited . . . 89 5.2 Signal processing chain of a spherical loudspeaker array . . . 91 5.2.1 Sound pressure equalization . . . 94 5.2.2 Sound power equalization . . . 95 5.3 Numerical example: a dodecahedral loudspeaker array . . . 96
6 Experimental Evaluation 103
6.1 Prototype description . . . 103 6.2 Parameter estimation of the electrodynamic loudspeaker model . . . 105 6.3 Electromechanical behavior . . . 109 6.3.1 Experimental procedures . . . 109 6.3.2 Results and discussion . . . 111 6.4 Sound radiation . . . 118 6.4.1 Experimental procedures . . . 118 6.4.2 Results and discussion . . . 121
7 Conclusion 133
7.2 Electromechanical behavior of spherical loudspeaker arrays . . . 135 7.3 Optimization criteria . . . 136 7.4 Further research . . . 137
7 Conclusão 139
7.1 Representação da diretividade . . . 139 7.2 Comportamento eletromecânico de arranjos esféricos de alto-falantes . . . 141 7.3 Critérios de otimização . . . 142 7.4 Trabalhos futuros . . . 143
A Wave Equation in Spherical Coordinates 153
A.1 General solution . . . 153 A.2 Exterior and interior problems . . . 156
B Properties of the Coupling Matrix for the Discrete Sphere 158
C Convex Regular Polyhedra 160
D Discrete-Time LTI Systems 163
Capítulo 1
Introdução
As características espaciais dos campos sonoros são importantes para que as pessoas possam lo-calizar fontes sonoras em suas vidas cotidianas e afetam consideravelmente a qualidade sonora percebida e a inteligibilidade, o que tem sido explorado pelos sistemas de áudio desde os primór-dios da reprodução estereofônica com dois canais, permanecendo uma área ativa de pesquisa e desenvolvimento. Num contexto estético, o controle espacial do som tem sido amplamente uti-lizado na música eletroacústica contemporânea, na qual não apenas o espaço de projeção, mas também o espaço composicional (parte integrante da composição) são considerados [2, 3].
Em sua maioria, os sistemas de áudio espacial tais como o surround convencional, o WFS (Wave Field Synthesis) [4] e o Ambisonics [5] proporcionam sensações espaciais aos ouvintes cercando-os de muitos alto-falantes. Entretanto, as dificuldades em se prever a interação entre as fontes eletroacústicas e a sala na qual estas são colocadas tornam a abordagem do problema extremamente complexa e um esforço computacional massivo é necessário para lidar com o grande número de alto-falantes empregados em sistemas sofisticados de espacialização como o WFS.
Neste trabalho, adota-se uma abordagem diferente. Em vez de dispor os alto-falantes ao redor do ouvinte com o intuito de produzir efeitos sonoros espaciais, uma fonte eletroacústica multicanal é utilizada a fim de reproduzir o campo sonoro gerado por uma fonte acústica ou de sintetizar um campo sonoro desejado. Assim, a interação da fonte com a sala na qual ela se encontra é natu-ralmente sentida e compreendida pelo ouvinte, simplificando consideravelmente o tratamento do problema. Diferentemente dos arranjos de alto-falantes utilizados em sistemas WFS, uma fonte multicanal é um arranjo compacto de alto-falantes projetado para simular radiadores sonoros com-plicados, tais como instrumentos musicais.
A seguir, as características direcionais de fontes sonoras são brevemente descritas. Então, uma visão geral do estado da arte referente a arranjos esféricos compactos de alto-falantes para controle de radiação é apresentada. Finalmente, as principais contribuições desta tese são sublinha-das.
1.1
Características direcionais de fontes sonoras
Uma fonte sonora pode ser caracterizada pelas propriedades temporais e espaciais do campo sonoro que ela produz em condições de campo-livre, i.e., na ausência de quaisquer ondas refletidas1. Sua interação com a sala e com o aparelho auditivo determina o evento audível percebido. A estrutura temporal dos sinais de áudio que chegam aos tímpanos tem um papel importante na percepção humana, sendo esta categorizada em atributos musicais e psicoacústicos tais como pitch, duração, dinâmica, timbre, audibilidade e localização [6, 7].
A assinatura temporal de uma fonte sonora pode ser capturada e analisada através de técnicas já bem estabelecidas, como a análise de Fourier [8]. A assinatura espacial da fonte é caracterizada por sua diretividade ou direcionalidade sonora, a qual depende da frequência e pode ser obtida através de medições em câmara anecóica. Infelizmente, os correspondentes procedimentos expe-rimentais são complexos, demorados e requerem uma infra-estrutura de alto custo que não pode ser prontamente disponibilizada em muitos laboratórios de acústica. Deste modo, poucos dados de diretividades são disponíveis na literatura. As características direcionais médias de vários instru-mentos musicais são apresentadas em [1], sendo este talvez o mais acessível e referenciado trabalho sobre o assunto. Como o mecanismo de excitação de um alto-falante é meramente um sinal elétrico que pode ser facilmente controlado e processado, a caracterização da diretividade é mais simples que para instrumento musicais. Muitos fabricantes de alto-falantes fornecem dados de diretividade de seus produtos num formato de arquivo chamado CLF (Common Loudspeaker Format), os quais podem ser baixados no sítio do grupo CLF (http://www.clfgroup.org/).
Conforme dito acima, o padrão de diretividade de uma fonte sonora é relevante para a per-cepção humana. Esta afirmação pode ser qualitativamente verificada girando-se uma dada fonte sonora em torno de seu eixo. Não se espera que isto mude as características direcionais da fonte, mas sim origine um padrão de diretividade que seja uma versão rotacionada do padrão original
1Há um acoplamento mecano-acústico entre o corpo radiante e o campo sonoro gerado por ele. Estritamente
falando, este acoplamento depende das características do recinto no qual a fonte está localizada, de modo que este afeta as propriedades acústicas da fonte sonora. Contudo, como a maioria das fontes sonoras em salas comuns apresenta uma impedância mecânica muito maior que a do campo sonoro, a sala tem apenas um pequeno efeito no comportamento dinâmico da fonte, podendo ser desprezado.
relativamente ao recinto no qual o experimento é realizado e à posição do ouvinte, fazendo com que este experimente uma sensação sonora distinta. Contudo, um padrão de diretividade contém muita informação e a comunidade científica ainda não descobriu quais de suas características são importantes para a percepção humana. Além disso, no que tange à simulação e síntese de campos sonoros 3-D, resultados de testes de escuta e de simulações acústicas de salas mostraram que a escolha do tipo de representação de diretividade para a fonte real influencia o som percebido e os parâmetros acústicos da sala, tais como o fator de claridade, a fração de energia lateral e o tempo de reverberação [9, 10, 11].
Figura 1.1: Direções principais de radiação para um violino no plano horizontal [1].
A Fig. 1.1 ilustra as características essenciais do padrão de diretividade de um violino no plano horizontal de acordo com [1]. As áreas sombreadas representam as direções nas quais o nível de pressão sonora não cai a um valor inferior a 3 dB do valor máximo ponderado numa dada faixa de frequência no plano horizontal. A maioria das simulações e auralizações de acústica de salas utiliza os dados de diretividade médios apresentados naquele trabalho. Entretanto, o padrão angular de radiação de um violino varia consideravelmente com a frequência acima de 1kHz aproximada-mente, alterando-se drasticamente de um semitom ao outro, de modo que os padrões de diretividade médios levam a representações pobres da assinatura espacial do violino [12, 13]. Este comporta-mento é importante para a qualidade sonora do violino e tem sido chamado de “colorido direcional da tonalidade”, o qual torna muito difícil a reprodução realista do som do violino utilizando apenas
um alto-falante, pois este impõe sua própria diretividade a todos os sons que ele produz [14, 13]. O exemplo do violino ilustra os problemas relacionados aos padrões de diretividade ponderados e o quão complexa a característica direcional de uma fonte sonora pode ser.
1.2
Arranjos esféricos compactos de alto-falantes
Os sistemas modernos de alto-falantes permitem controlar satisfatoriamente a assinatura temporal do campo sonoro que eles produzem, logo, as tecnologias de áudio atuais podem ser usadas para reproduzir esta característica das fontes sonoras. Por outro lado, os sistemas de alto-falantes comer-cialmente disponíveis não são capazes de reproduzir o padrão de diretividade de uma fonte sonora arbitrária. Conforme foi enunciado anteriormente, os alto-falantes impõem sua própria assinatura espacial ao campo sonoro 3-D resultante, a qual é geralmente bastante diferente da assinatura es-pacial da fonte original que o aparelho eletroacústico pretende reproduzir.
A fim de suplantar as limitações dos sistemas de áudio convencionais no que se refere à reprodução de diretividade, um arranjo esférico compacto de alto-falantes independentemente pro-gramáveis pode ser usado. Este aparelho eletroacústico consiste de vários alto-falantes montados sobre uma estrutura rígida de formato esférico, os quais são geralmente distribuídos seguindo a geometria de um poliedro regular convexo (sólido de Platão) para a obtenção de uma configuração altamente simétrica e, consequentemente, reduzir a ocorrência de regiões preferenciais de síntese no espaço de projeção 3-D. O principal objetivo é controlar o padrão de diretividade do arranjo de alto-falantes atuando nos sinais que alimentam os transdutores. Diferentemente dos sistemas con-vencionais de alto-falantes, os falantes do arranjo operam na mesma faixa de frequência, logo, os campos sonoros gerados pelos alto-falantes individuais interagem de modo controlável. Assim, o arranjo compacto de alto-falantes seria idealmente capaz de reproduzir tanto a assinatura temporal quanto espacial de uma fonte acústica, i.e., o campo sonoro produzido por uma dada fonte situada numa posição específica de uma sala seria integralmente reproduzido substituindo-se a fonte origi-nal pelo aparelho eletroacústico, conforme ilustrado na Fig. 1.2, onde V é o espaço de projeção e Γ é uma superfície fechada em torno da fonte.
Salienta-se que os arranjos esféricos de alto-falantes amplamente utilizados para obter uma fonte aproximadamente onidirecional2 em medições de acústica de salas constituem um simples caso particular dos arranjos de alto-falantes de diretividade controlada. Os falantes das fontes oni-direcionais são usualmente montados nas faces de um sólido de Platão rígido [15, 16, 17, 18],
2Estritamente falando, uma fonte onidirecional é aquela capaz de radiar energia sonora em todas as direções.
de modo que a diretividade desejada é aproximadamente obtida aplicando o mesmo sinal elétrico a todos os elementos do arranjo. Estes aparelhos são fontes monocanal simples cujo comporta-mento acústico é bem conhecido. Em contraste, este trabalho diz respeito ao caso geral de fontes multicanal para o controle da diretividade.
Figura 1.2: Síntese da assinatura temporal e espacial de uma fonte acústica através de um arranjo compacto de alto-falantes.
A utilização de um arranjo compacto de alto-falantes eletrodinâmicos independentemente programáveis foi conceitualmente introduzida por pesquisadores do IRCAM (Institut de Recherche
et Coordination Acoustique/Musique, Paris) em 1992 [19]. O primeiro protótipo desenvolvido por
eles foi uma fonte dodecaédrica de quatro canais (doze alto-falantes, cada qual montado numa face do poliedro) destinada à síntese de alguns padrões de diretividade simples [20]. Posteriormente, eles construíram um conjunto formado por três arranjos cúbicos de alto-falantes, os quais possuíam diferentes tamanhos a fim de ampliar a faixa de frequência de operação do sistema: um cubo de lado 25cm contendo seis alto-falantes de 7pol (17,78cm) para os médios, um cubo de lado 8cm contendo seis tweeters para os agudos e um cubo maior contendo quatro alto-falantes horizontais para os graves. Estes aparelhos foram concebidos visando disponibilizar uma nova ferramenta de espacialização sonora aos compositores de música eletroacústica e reproduzir parcialmente a diretividade de instrumentos musicais [21].
Posto que um dado padrão de diretividade pode ser decomposto numa base formada pelas funções harmônicas esféricas (estas serão consideradas detalhadamente na seção 2.3.1), as fontes do IRCAM foram programadas para reproduzi-las. Este método conduz a um conjunto de filtros para cada harmônico esférico, assim, um padrão desejado pode ser obtido simplesmente alterando o
ganho associado a cada um destes grupos de filtros. Devido ao seu relativamente pequeno número de alto-falantes, uma fonte cúbica é capaz de reproduzir apenas harmônicos esféricos de baixas ordens, a saber, o monopolo (ordem n = 0), o dipolo (ordem n = 1) em qualquer direção espacial
e parcialmente os harmônicos esféricos de ordemn = 2, porém com restrições angulares.
Kassakian e Wessel do CNMAT (Center for New Music and Audio Technologies, Univer-sidade da Califórnia Berkeley) apresentaram mais desenvolvimentos teóricos e simularam algu-mas configurações de fontes esféricas de diferentes tamanhos e número de alto-falantes [22]. O erro quadrático médio foi utilizado para avaliar a capacidade dos arranjos esféricos em reproduzir funções harmônicas esféricas. No entanto, as restrições dos alto-falantes não foram consideradas e assumiu-se que suas diretividades não dependem da frequência. Estes pesquisadores também cons-truíram um arranjo dodecaédrico contendo doze alto-falantes independentes de 4pol (10,16cm), cada qual possuindo sua própria caixa a fim de evitar o acoplamento acústico no interior da cavi-dade do arranjo [23]. Resultados de simulações mostraram que o protótipo é capaz de reproduzir harmônicos esféricos de ordens atén = 2 e parcialmente harmônicos de ordem n = 3 em
combi-nações específicas, mas somente em baixas frequências devido ao diâmetro da fonte ser relativa-mente grande (aproximadarelativa-mente 37cm).
Com o intuito de aumentar a faixa de operação da fonte esférica, pesquisadores do CNMAT em colaboração com os laboratórios Meyer Sound construíram um arranjo esférico compacto de alto-falantes contendo 120 drivers de 1,25pol (3,175cm) independentes (trata-se de um icosaedro de 25,4cm de diâmetro contendo 6 alto-falantes por face) [24]. Os desafios de engenharia e geométri-cos que foram suplantados para criá-lo são descritos em [25]. Resultados de simulações também foram apresentados, mostrando que esta fonte é potencialmente capaz de reproduzir harmônicos es-féricos até a ordemn = 8 numa ampla faixa de frequência (até aproximadamente 7kHz). Contudo,
detalhes do software para o controle de diretividade e medições do arranjo ainda não foram forneci-dos até o momento. Salienta-se que relevantes limitações forneci-dos alto-falantes não foram consideradas nas simulações, tais como curso (deslocamento) limitado, distorções e superaquecimento.
Zotter et al. do IEM (Institut für Elektronische Musik und Akustik, Graz, Áustria) apresen-taram um modelo analítico que descreve o campo sonoro radiado por um arranjo esférico, sendo este dedicado à síntese de padrões harmônicos esféricos [26, 27]. A fonte é modelada como uma esfera rígida que possui várias calotas vibrantes representando os alto-falantes. As velocidades ótimas das calotas são obtidas pelo método dos quadrados mínimos. Eles também construíram uma fonte icosaédrica contendo vinte alto-falantes independentes que dividem uma cavidade co-mum [28, 29, 30].
arranjos dodecaédricos a serem utilizados em medições de acústica de salas visando obter uma melhor resposta ao impulso da sala para fins de auralização [31, 32, 33].
A Fig. 1.3 mostra os protótipos de arranjos esféricos de alto-falantes desenvolvidos nos la-boratórios supracitados. Também devem ser mencionadas as pesquisas referentes à aplicação de arranjos compactos de alto-falantes na performance de música eletroacústica que foram conduzidas na Universidade de Princeton (ver [34, 35, 36]). Contrastando com todos os trabalhos citados até aqui, que consideram apenas transdutores eletrodinâmicos, um arranjo de alto-falantes formado por quatro transdutores piezoelétricos que permite o controle da diretividade no plano horizontal em altas frequências (5 – 20kHz) foi recentemente proposto [37].
Figura 1.3: Protótipos de arranjos esféricos de alto-falantes baseados no sólidos de Platão.
É importante notar que, além de medições de acústica de salas, performance de música eletroacústica e síntese de padrões de diretividade de fontes acústicas, outras aplicações para arran-jos esféricos de alto-falantes podem ser procuradas, tais como difusão de informações em direções privilegiadas ajustáveis, controle de microfonia em aplicações de reforço sonoro [38] e controle ativo de ruído [39].
1.3
Principais contribuições e organização da tese
Este trabalho diz respeito à análise e síntese de padrões de diretividade através de um arranjo esférico compacto de alto-falantes. Como será explicado no decorrer desta seção, as principais
contribuições da tese são: a caracterização de uma base melhor para a representação da diretividade, a investigação do comportamento eletromecânico de arranjos compactos de alto-falantes e a análise comparativa de critérios de otimização distintos usados na obtenção dos sinais aplicados aos alto-falantes para a reprodução de um dado padrão de diretividade.
1.3.1
Representação da diretividade
Os harmônicos esféricos têm desempenhado um papel importante nas pesquisas referentes a arran-jos esféricos. Estas funções constituem uma base natural para a representação da diretividade de fontes sonoras, pois elas surgem na solução da equação de Helmholtz em coordenadas esféricas (ver apêndice A). Portanto, conforme foi dito anteriormente, a estratégia de controle geralmente adotada é prover o arranjo esférico com algumas diretividades básicas pré-programadas correspon-dentes aos padrões harmônicos esféricos. O número destas diretividades elementares é limitado ao número de alto-falantes do arranjo. Assim, diferentes padrões de radiação podem ser produzi-dos simplesmente alterando os ganhos associaproduzi-dos às diretividades básicas, de modo que não é necessário reprojetar os filtros quando se deseja obter um padrão de diretividade diferente.
No entanto, sabe-se que o aliasing espacial degrada a capacidade do arranjo esférico em sintetizar harmônicos esféricos na medida em que a frequência aumenta [22, 21, 26], tornando imprópria a estratégia de controle baseada nestas funções. De fato, embora os harmônicos es-féricos sejam elementos adequados para uma base que pretende descrever padrões de diretividade arbitrários, não se espera que eles correspondam a padrões de radiação eficientes de um arranjo esférico de alto-falantes em toda a faixa de frequência audível.
Em baixas frequências, uma vez que os harmônicos esféricos de ordens elevadas exibem eficiências de radiação muito baixas [40], o aliasing espacial não afeta o padrão de radiação em campo distante3. Contudo, na medida em que a frequência aumenta, as eficiências de radiação dos harmônicos esféricos de ordens superiores também aumentam e estes começam a se propagar para o campo distante. Assim, o arranjo esférico não é mais capaz de radiar esféricos harmônicos puros, tais como o monopolo ou os dipolos. Além disso, em altas frequências a forma e o padrão de vi-bração de cada alto-falante geram inúmeros harmônicos esféricos de ordens elevadas que radiam, os quais combinam e interagem no campo próximo quando vários alto-falantes são comandados. Então, a fim de obter uma representação precisa do campo sonoro, a expansão truncada em har-mônicos esféricos deve reter um número de termos muito maior que o número de graus de liberdade
3Se um dado ponto estiver suficientemente afastado da fonte de modo que a pressão sonora decai linearmente com
independentes do arranjo. Tais termos podem ser agrupados num número finito de subconjuntos correspondentes aos chamados “modos de radiação acústica” (estes serão tratados detalhadamente na seção 2.3.2) do arranjo.
Os modos de radiação acústica são uma abordagem alternativa para descrever o campo sonoro que uma estruturante vibrante radia. Esta aproximação modal funda-se no quão eficientemente uma dada distribuição de velocidade na superfície da estrutura radia energia sonora e tem sido usada desde os anos 1990 (cf. [42, 43, 44, 45, 46]). Os modos de radiação são comumente utilizados para descrever a vibração estrutural de fonte primárias em aplicações de controle ativo de ruído (ver, por exemplo, [47]). Todavia, eles não têm sido aplicados a fontes secundárias ou a arranjos compactos de alto-falantes para controle de diretividade. O autor encontrou apenas um trabalho de Wen et al. [48] que aplica tal abordagem modal à síntese de campos sonoros por arranjos planos de alto-falantes, onde os elementos do arranjo foram idealizados como simples fontes onidirecionais pontuais.
No que diz respeito a um sistema vibratório com um número finito de graus de liberdade (como é o caso para um arranjo esférico de alto-falantes), seus modos de radiação geram um subes-paço de dimensão igualmente finita no qual qualquer padrão de radiação que tal sistema seja capaz de produzir pode ser projetado. A representação em harmônicos esféricos do campo sonoro pro-duzido por este mesmo radiador não apresenta tal propriedade. De fato, os harmônicos esféricos reais são os modos de radiação da esfera contínua [40], i.e., a esfera que pode assumir qualquer padrão de velocidade em sua superfície (infinitos graus de liberdade). Logo, os harmônicos esféri-cos geram um subespaço de dimensão infinita, de modo que a decomposição nesta base geralmente implica um erro de truncamento.
Neste trabalho, em vez de utilizar um conjunto finito de harmônicos esféricos como diretivi-dades básicas pré-programadas, uma abordagem baseada nos modos de radiação acústica do arranjo esférico de alto-falantes é proposta. Contrariamente à estratégia usual fundada nos harmônicos es-féricos, qualquer padrão de radiação que o arranjo é capaz de reproduzir pode ser decomposto em seus modos de radiação sem acarretar erros de aproximação. Posto que os modos de radiação são intimamente relacionados às eficiências de radiação, esta aproximação conduz ainda a uma de-scrição quantitativa das restrições à síntese de diretividade em baixas frequências, as quais foram apenas qualitativamente discutidas em trabalhos anteriores. Além disso, os modos de radiação per-mitem ordenar os termos da expansão de acordo com suas eficiências de radiação, de modo que um número reduzido de canais ativos pode ser obtido, pois seria inútil utilizar modos acusticamente ineficientes. Finalmente, os modos de radiação não se restringem às formas esféricas. Assim, espera-se que a maioria das idéias apresentadas aqui possa ser estendida a arranjos não-esféricos
de alto-falantes e permita levar em conta a forma e o padrão de vibração reais dos alto-falantes.
1.3.2
Comportamento eletromecânico de arranjos esféricos de alto-falantes
Ao contrário das fontes onidirecionais, a interação dos campos sonoros produzidos pelos alto-falantes independentes de uma fonte de diretividade controlada não é intuitiva e algumas tentativas de prever o padrão de radiação de um arranjo esférico têm sido feitas [22, 26, 33, 39]. No mo-mento, a aproximação por calotas esféricas proposta em [26] é o modelo mais elaborado para um arranjo esférico compacto de alto-falantes, na qual os falantes do arranjo são modelados como sendo calotas esféricas convexas, cada qual oscilando com uma velocidade radial de amplitude constante ao longo de sua superfície. Este modelo apresenta a vantagem de possuir uma solução analítica (que será apresentada na seção 3.1.2) e é inspirado num trabalho anterior tratando de um único alto-falante montado sobre uma esfera rígida [49]. No entanto, ele não é capaz de predizer o comportamento flexível (deformável) de um alto-falante real e neglicencia a forma verdadeira de sua membrana e suspensão, a qual afeta o padrão de radiação, especialmente em altas frequên-cias [50, 51].
Uma comparação entre as previsões teóricas usando o modelo de calota esférica e dados de diretividade medidos numa câmara anecóica para um único falante montado sobre uma esfera rígida (um falante de 3pol, 7,62cm, montado numa esfera de raio 10pol, 25,4cm) é apresentada em [49]. Observou-se uma boa correspondência entre as predições teóricas e os resultados experimentais, indicando que a aproximação por calotas esféricas pode ser estendida a arranjos esféricos de alto-falantes. Entretanto, nas simulações apresentadas em [49], utilizou-se uma calota cujo tamanho era definido em função da frequência a fim de conformar os resultados aos dados experimentais. Esta manipulação foi explicada como sendo, provavelmente, um resultado do comportamento da sus-pensão do falante, que dificilmente se comportaria como um corpo rígido. Isto pode ser investigado através de medições de vibração da membrana e da suspensão do alto-falante.
Para um arranjo esférico de alto-falantes, resultados teóricos e medições de diretividade em câmara anecóica ainda não foram confrontados. Na verdade, medições de diretividade do arranjo icosaédrico do IEM são descritas em [28, 29]. Estes trabalhos não comparam diretamente os padrões de radiação medidos com as predições teóricas, mas a ref. [29] fornece uma compara-ção indireta que indica um desvio entre os resultados experimentais e teóricos. De toda forma, a montagem experimental utilizada não é satisfatória para medições de diretividade, por exemplo, os experimentos não foram realizados numa câmara anecóica. Logo, não é possível determinar se o modelo de radiação ou a montagem experimental (ou ambos) deve ser aprimorado.
O controle da diretividade através de um arranjo esférico de alto-falantes é atingido atuando nas tensões elétricas, e não nas velocidades, aplicadas aos elementos do arranjo. Deste modo, o comportamento eletromecânico deste aparelho deve ser conhecido a fim de se calcular o padrão de vibração em sua superfície que, por sua vez, conduz ao campo sonoro. Nesta direção, modelos eletromecânicos similares para arranjos esféricos foram propostos em [27] — que foi mais tarde aprimorado em [29, 52] — e [32]. Medições de velocidade superficial por LDV (Laser Doppler
Vibrometry) do arranjo icosaédrico do IEM revelaram uma boa correspondência entre resultados
teóricos e experimentais em baixas frequências [27, 29, 52], ao passo que discrepâncias foram constatadas em altas frequências. Contudo, apenas um único ponto sobre a membrana de cada alto-falante foi medido, de modo que a hipótese de corpo rígido não pode ser explicitamente e rigorosamente validada. De todo modo, como os pesquisadores têm se preocupado principalmente em relacionar um padrão idealizado de vibração do arranjo de alto-falantes e o padrão de radi-ação acústica resultante, ainda há uma lacuna na descrição precisa da eletromecânica de arranjos esféricos de alto-falantes para o controle de radiação.
O projeto da cavidade (caixa) é uma questão controversa que também está relacionada ao comportamento eletromecânico de arranjos esféricos. Duas aproximações diferentes têm sido re-portadas na literatura (cf. [23, 29, 30, 31, 32, 52]). Na primeira abordagem, os falantes compar-tilham uma cavidade oca comum e, na segunda, eles possuem suas próprias cavidades acustica-mente isoladas. A primeira conduz a uma estrutura mecânica mais fácil de ser construída e a um volume interior maior que, potencialmente, proporciona tensões elétricas menores em baixas fre-quências [31, 52, 53]. Todavia, deixar os alto-falantes compartilharem uma cavidade vazia produz ressonâncias acústicas indesejáveis na faixa de frequência de operação do arranjo [32, 52] e levam a efeitos difíceis de predizer devido ao acoplamento acústico dos falantes. O modelo eletromecânico proposto em [32] considera o acoplamento acústico modelando a cavidade comum do arranjo como um parâmetro concentrado (neste caso, uma flexibilidade acústica). Por outro lado, o modelo apre-sentado em [27] utiliza a aproximação por calotas esféricas também para prever o campo sonoro no interior do arranjo, de modo que o problema de valor de contorno resultante tem uma solução analítica e os modos superiores da cavidade podem ser levados em conta (modelo de parâmetros distribuídos); como desvantagem, este modelo assume que a cavidade do arranjo é uma esfera perfeita.
Este trabalho apresenta um estudo teórico e experimental detalhado da eletromecânica de arranjos compactos de alto-falantes. Propõe-se um modelo eletromecânico aprimorado que consi-dera as perdas indutivas na bobina do alto-falante, o qual é validado através de medições LDV num protótipo de fonte dodecaédrica, conforme mostrado no capítulo 6. Contrariamente aos trabalhos prévios mencionados anteriormente, muitos pontos sobre a superfície do conjunto
di-afragma/suspensão dos alto-falantes são medidos utilizando um vibrômetro laser Doppler de varredura, de modo que a deformação pode ser caracterizada. Os modelos de parâmetros concentrados e dis-tribuídos citados acima para a modelagem do acoplamento acústico entre os falantes no interior da estrutura do arranjo são comparados. Além disso, medições de diretividade foram realizadas numa câmara anecóica com o intuito de estudar as limitações e aplicações do modelo de calotas esféricas proposto em [26].
Conforme será mostrado na seção 3.3, o efeito do acoplamento acústico interno na potência sonora pode ser calculado de uma forma simples combinando o modelo eletromecânico com a abor-dagem dos modos de radiação acústica, na qual baseia-se a discussão sobre o projeto da cavidade apresentada neste trabalho. Além disso, esta combinação leva a um resultado inesperado, a saber, os modos de radiação acústica dos alto-falantes de Platão são os autovetores da matriz de trans-dução obtida usando o modelo eletromecânico para alto-falantes montados numa cavidade comum. Este resultado simplifica muito o projeto dos filtros de equalização e é discutido no capítulo 5.
1.3.3 Critérios de otimização
Como dito antes, arranjos esféricos compactos de alto-falantes são usados para reproduzir ou sin-tetizar padrões de diretividade desejados. Para realizar esta tarefa, um problema inverso deve ser tratado, i.e., os sinais que devem alimentar os alto-falantes a fim de reproduzir o padrão de diretivi-dade alvo devem ser obtidos a partir de um critério de otimização.
A maioria dos trabalhos publicados sobre arranjos esféricos de alto-falantes minimiza a norma Euclidiana da diferença entre o padrão alvo e o padrão sintetizado visando obter a veloci-dade de cada alto-falante (cf. [22, 26, 54]). Este é um problema de otimização convexa bastante conhecido (quadrados mínimos) que pode ser facilmente resolvido e cuja solução é única. No en-tanto, o método dos quadrados mínimos pode conduzir a uma solução sub-ótima devido ao fato de que a função custo baseia-se nas características físicas do campo sonoro em vez de em métricas psicoacústicas. Por exemplo, na formulação pelo método dos quadrados mínimos, os erros de mag-nitude e de fase são tratados isonomicamente, embora a importância destes erros possa não ser a mesma no que tange à percepção humana.
As ferramentas modernas de auralização e simulação acústica de salas permitem avaliar a influência da diretividade da fonte no campo sonoro estabelecido no interior de um recinto. Para este fim, apenas a amplitude dos dados de diretividade em campo distante é utilizada [10, 32, 33, 55]. Assim sendo, a literatura referente à acústica de salas sugere que a informação de fase contida
no padrão de diretividade em campo distante tem uma importância menor comparativamente à amplitude no que diz respeito à percepção humana. Logo, espera-se que um arranjo esférico de alto-falantes seja capaz de sintetizar melhor os atributos perceptualmente relevantes do campo sonoro se a fase do padrão alvo for excluída da função custo.
Ao contrário do método dos quadrados mínimos usual, o problema de otimização com re-sposta em amplitude desejada (fase desprezada) é não-convexo e, portanto, mais difícil de ser resolvido. O problema chamado “quadrados mínimos de magnitude” e vários métodos para sua solução são descritos detalhadamente em [56]. Além disso, sua aplicação à síntese de diretividade através de arranjos esféricos é sumariamente apresentada em algumas publicações recentes [33, 37, 56, 57]. Entretanto, uma comparação entre o quadrados mínimos convencional e o quadrados mínimos de magnitude ainda não foi satisfatoriamente apresentada e discutida, de modo que as vantagens e desvantagens deste último permanecem não esclarecidas. Este tópico será tratado no capítulo 4.
1.3.4 Organização da tese
Esta tese está organizada da seguinte forma:
• Capítulo 2: este capítulo revisa tópicos avançados em acústica que não estão compilados em
livros, mas que são essenciais (afora a seção 2.2, que pode ser tomada como complementar) à compreensão do conteúdo da tese;
• Capítulo 3: os modelos teóricos usados para predizer a radiação sonora e o comportamento
eletromecânico de arranjos esféricos de alto-falantes são descritos. Além disso, desenvolve-se uma discussão a respeito do projeto da cavidade interna do arranjo e resultados de simu-lações são apresentados;
• Capítulo 4: este capítulo aborda o problema inverso, a saber, dado o padrão de diretividade
alvo e o modelo de radiação descrito no capítulo 3, critérios de otimização são aplicados com o intuito de calcular a velocidade de cada alto-falante do arranjo esférico. Resultados de simulações numéricas também são apresentados;
• Capítulo 5: os filtros de equalização são tratados. Duas abordagens distintas para a
equali-zação de um arranjo esférico de alto-falantes são apresentadas e comparadas. Um exemplo numérico é fornecido;
• Capítulo 6: os modelos teóricos apresentados no capítulo 3 são experimentalmente validados.
Resultados de impedância elétrica, vibração de alto-falantes e medições de diretividade de um protótipo de um arranjo com doze alto-falantes são apresentados e discutidos;
Chapter 1
Introduction
The spatial properties of sound fields are important for human sound source localization in daily life and greatly affect the perceived sound quality and intelligibility, which has been explored in audio applications since the early days of the two-channel stereophonic reproduction, remaining an active field of research and development. In the aesthetics context, spatial control of sound has been widely used in contemporary electroacoustic music, in which not only the projection space, but also the composed space (integral to the composition itself) are dealt with [2, 3].
Most of the spatial audio systems such as conventional surround, WFS (Wave Field Syn-thesis) [4] and Ambisonics [5] provide the listeners with spatial sensations by surrounding them with many loudspeakers. Nevertheless, the difficulties in predicting the interaction between the electroacoustic sources and the room they are placed in make the problem extremely complex to address and massive computation is necessary to deal with the large number of loudspeakers used in sofisticated spatialization systems like WFS.
In this work a different approach is adopted. Instead of placing loudspeakers around the listener to produce spatial sound effects, a multi-channel electroacoustic source is used in order to reproduce the sound field generated by an acoustical source or to synthesize a desired sound field. Thus, the interaction of the source with the room it is placed in is naturally felt and understood by the listener, making the problem much simpler to treat. Unlike the WFS loudspeaker array, a multi-channel source is a compact array of loudspeakers designed to simulate complicated sound radiators such as musical instruments.
In the following, the directional characteristics of sound sources are briefly described. Next, an overview of the state of the art concerning compact spherical loudspeaker arrays for radiation
control is presented. Finally, the thesis main contributions are highlighted.
1.1
Directional characteristics of sound sources
A sound source can be characterized by the temporal and spatial properties of the sound field that it produces under free-field conditions, i.e., in the absence of any reflected waves1. The interaction with both the room the source is placed in and the listener’s hearing system determines the perceived auditory event. The temporal structure of the audio signals reaching the eardrums plays a major role in the human perception, which is categorized in musical and psychoacoustical attributes such as pitch, duration, dynamics, timbre, loudness and localization [6, 7].
The temporal signature of a sound source can be captured and analyzed by well-established techniques, like Fourier analysis [8]. The source spatial signature is characterized by the so-called sound directivity or directionality, which depends on frequency and can be obtained through mea-surements in an anechoic chamber. Unfortunately, the corresponding experimental procedures are complex, time-consuming and require expensive facilities which are not readily available in many acoustics laboratories. Therefore, little directivity data can be found in literature. The overall directional characteristics of several musical instruments are presented in [1], which is perhaps the most comprehensive and referenced work on this subject. Since the excitation mechanism of a loudspeaker unit is merely an electrical signal that can be easily controlled and processed, the directivity characterization is simpler than for musical instruments. Many loudspeaker manufac-turers provide directivity data of their products in a file format called CLF (Common Loudspeaker Format), which can be downloaded in the CLF group website (http://www.clfgroup.org/).
As said above, the directivity pattern of a sound source is relevant for human perception. This statement can be qualitatively checked by rotating a given sound source around its axis. It is not expected that this will change the directional characteristics of the source, but will rather lead to a directivity pattern that is a rotated version of the original one relatively to the room the source is placed in and to the listener’s position, so that he or she should be able to experience a different sound sensation. However, a directivity pattern contains lots of information and the scientific community has not yet found out what features of it are important for human perception. In addition, as far as the 3-D sound field simulation and synthesis is concerned, listening tests and
1There is a mechano-acoustic coupling between the radiating body and the sound field it produces. Strictly
speak-ing, this coupling depends on the characteristics of the room the source is placed in, so that the room affects the acoustical properties of the sound source. However, since most of the sound sources placed in ordinary rooms present a mechanical impedance much higher than the sound field (impedance mismatch), the room has just a minor effect on the source dynamics, so that it can be neglected.
