SebentadeÁlgebraLinearI(completa)

(1)

T´

opicos de ´

Algebra Linear

Isabel Maria Teixeira de Matos

Sec¸c˜

ao de Matem´

atica

Departamento de Engenharia de Electr´

onica

e Telecomunica¸c˜

oes e de Computadores (DEETC-ISEL)

1 de Dezembro de 2007

(2)

(3)

Conte´

udo

1 MATRIZES 1

1.1 Conceitos Gerais . . . 1

1.2 Algebra das Matrizes . . . .´ 5

1.3 Opera¸c˜oes elementares. Caracter´ıstica de uma matriz . . . 10

1.4 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares . . . 12

1.5 Inversa de uma Matriz Quadrada . . . 17

2 DETERMINANTES 21 2.1 Conceitos Gerais . . . 21

2.2 Defini¸c˜ao de Determinante . . . 22

2.3 Propriedades dos Determinantes . . . 22

2.4 O Teorema de Laplace . . . 24

2.5 Aplica¸c˜oes dos Determinantes . . . 25

2.5.1 C´alculo da Inversa de uma Matriz . . . 25

2.5.2 Resolu¸c˜ao de Sistemas Lineares Poss´ıveis e Determinados . . . 26

3 ESPAC¸ OS VECTORIAIS 29 3.1 Defini¸c˜ao e Exemplos . . . 29

3.2 Dependˆencia e Independˆencia Lineares . . . 31

3.2.1 Caracter´ıstica de uma Matriz . . . 35

3.3 Subespa¸cos vectoriais . . . 36

3.3.1 Subespa¸co gerado . . . 39

3.4 Base e dimens˜ao . . . 41

3.5 Matriz de Mudan¸ca de Base . . . 45

4 APLICAÇ ÕES LINEARES 49 4.1 Núcleo e Imagem. Classifica¸cão de um Morfismo . . . 52

(4)

4.2 Soma, Multiplica¸cão por Escalar, Composta e Inversa de Aplica¸cões Lineares 58 4.3 Matriz de uma Aplica¸cão Linear . . . 60 4.3.1 Rela¸cão entre as diferentes Matrizes de uma Aplica¸cão Linear . . 66 5 VECTORES e VALORES PR ÓPRIOS 71 5.1 Defini¸cão e Exemplos . . . 71 5.2 Subespa¸cos Próprios . . . 78 5.3 Endomorfismos Diagonalizáveis . . . 80

(5)

Cap´ıtulo 1

MATRIZES

1.1 Conceitos Gerais

Defini¸c˜_{ao 1 Seja F um conjunto não vazio onde estão definidas duas opera¸cões} binárias1_{: uma adi¸}_c˜_{ao e uma multiplica¸}_c˜_{ao, denotadas por + e ×, respectivamente.}

Diz-se que (F, +, ×) ´e um corpo se:

(A1) A adi¸c˜ao ´_{e comutativa: ∀x, y ∈ F x + y = y + x;}

(A2) A adi¸c˜ao ´_{e associativa: ∀x, y, z ∈ F (x + y) + z = x + (y + z);} (A3) A adi¸c˜_{ao tem elemento neutro 0: ∃0 ∈ F ∀x ∈ F x + 0 = 0 + x = x;} (A4) Todo o elemento x de F tem sim´etrico (−x) em F:

∀x ∈ F ∃(−x) ∈ F x + (−x) = (−x) + x = 0.

(M1) A multiplica¸c˜ao ´_{e comutativa: ∀x, y ∈ F x × y = y × x;}

(M2) A multiplica¸c˜ao ´_{e associativa: ∀x, y, z ∈ F (x × y) × z = x × (y × z);} (M3) A multiplica¸c˜_{ao tem elemento neutro 1: ∃1 ∈ F ∀x ∈ F x × 1 = 1 × x = x;} (M4) Todo o elemento x de F \ {0} tem inverso x−1 em F \ {0}:

∀x ∈ F \ {0} ∃x−1

∈ F \ {0} x × x−1 _{= x}−1_{× x = 1.}

(D) A multiplica¸cão é distributiva em rela¸cão à adi¸cão: ∀x, y, z ∈ F x × (y + z) = x × y + x × z.

Observa¸c˜oes

1 — Identifica-se o corpo (F, +, ×) com o conjunto suporte F, sabendo que est˜ao sempre impl´ıcitas as duas opera¸c˜oes nele definidas.

2 — A adi¸cão e a multiplica¸cão usuais de números reais verificam as propriedades referidas na Defini¸c˜_{ao 1, pelo que, R ´}e um corpo – o corpo dos números reais.

1_{Uma opera¸}_c˜_{ao bin´}

aria em F é uma aplica¸cão que faz corresponder a cada par ordenado de elementos de F um (e um só) elemento deste conjunto.

(6)

3 — A adi¸cão e a multiplica¸cão usuais de números complexos satisfazem as pro-priedades referidas na Defini¸c˜_{ao 1, por isso, C ´}e um corpo – o corpo dos números complexos. 4 — F = {0, 1} com as opera¸cões + 0 1 0 0 1 1 1 0 e × 0 1 0 0 0 1 0 1 é um corpo – o menor

dos corpos finitos. Designa-se por Z2 e ´e o corpo dos inteiros m´odulo 2.

5 — Neste cap´ıtulo, bem como em todos os que se seguem, trabalhar-se-´a nos corpos R e C (com as opera¸c˜oes usuais). No entanto, toda a teoria apresentada desenvolve-se da mesma maneira em qualquer corpo.

Defini¸cão 2 Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz do tipo m × n (com elementos num corpo) é um quadro de mn números (desse corpo) distribuidos em m linhas e n colunas.

A cada um dos n´umeros que forma a matriz d´a-se o nome de entrada.

Para referenciar (e localizar) uma entrada utilizam-se dois ´ındices, por esta ordem: o ´ındice de linha e o ´ındice de coluna.

Uma matriz real (resp.: complexa) é uma matriz cujas entradas são números reais (resp.: complexos).

Exemplo

A =h 1 0 −1 2 i

´

e uma matriz do tipo 1 × 4 (matriz linha). A sua entrada (1, 3) ´

e (−1).

Mais geralmente, qualquer matriz do tipo 1 × n diz-se uma matriz linha.

B =    3 2 1  

´e uma matriz do tipo 3 × 1 (matriz coluna). A sua entrada (2, 1) ´e 2. A qualquer matriz do tipo m × 1 chama-se matriz coluna.

C = "

1 2 3 4 5 6

#

´e uma matriz do tipo 2 × 3 e ´e uma matriz rectangular (2 6= 3). Em geral, qualquer matriz do tipo m × n, com m 6= n, diz-se uma matriz rectan-gular. D = " 1 −1 0 −4 # ´

e uma matriz do tipo 2 × 2. Tamb´em se diz uma matriz quadrada de ordem 2.

Mais geralmente, qualquer matriz do tipo n × n denomina-se matriz quadrada de ordem n.

(7)

Nota¸c˜ao

Se A ´e uma matriz do tipo m × n escreve-se,

A =       a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... ... ... am1 am2 · · · amn      

ou, abreviadamente, A = [aij]m×n, onde i ∈ {1, · · · , m} ´e o ´ındice de linha e

j ∈ {1, · · · , n} ´e o ´ındice de coluna.

O conjunto das matrizes do tipo m × n com elementos em R (resp.: C) denota-se por Rm×n (resp.: Cm×n), Rm,n (resp.: Cm,n) ou ainda por Mm×n(R) (resp.: Mm×n(C)).

Defini¸cão 3 Uma submatriz de uma matriz A, do tipo m × n, é uma matriz do tipo p × q, com 1 ≤ p ≤ m, 1 ≤ q ≤ n, obtida por supressão de alguma(s) linha(s) e/ou alguma(s) coluna(s)de A.

Nota¸c˜ao

Se i1 < i2 < . . . < ip s˜ao elementos distintos de {1, 2, . . . , m} e j1 < j2 < . . . < jq

s˜ao elementos distintos de {1, 2, . . . , n} A[i1, . . . , ip|j1, . . . , jq] representa a submatriz de

A formada pelos elementos que pertencem à interseçcão das linhas i1, i2, . . . , ip e das

colunas j1, j2, . . . , jq de A; A(i1, . . . , ip|j1, . . . , jq) representa a submatriz de A que se

obt´em eliminando as linhas i1, i2, . . . , ip e as colunas j1, j2, . . . , jq de A.

Exemplo Seja A =    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12   . Ent˜ao A[1, 3|1, 2, 4] = " 1 2 4 9 10 12 # = A(2|3) e A[2|1, 3] = h 5 7 i = A(1, 3|2, 4).

Defini¸c˜ao 4 Seja A = [aij]n×n uma matriz quadrada de ordem n.

Os elementos diagonais (ou principais) de A são os n elementos que têm ´ındices de linha e coluna iguais, ou seja, a11, a22, . . . , ann. Ao seu conjunto dá-se o nome de

diagonal principal de A. A sua soma constitui o tra¸co de A, que se denota por tr(A) (tr(A) = a11+ a22+ · · · + ann).

A matriz diz-se:

(8)

diagonal principal);

• Triangular inferior se ∀i < j aij = 0 (s˜ao nulas todas as entradas ”acima”da

diagonal principal);

• Triangular se for triangular superior ou triangular inferior;

• Diagonal se ∀i 6= j aij = 0 (s˜ao nulas todas as entradas n˜ao diagonais);

• Escalar se ∀i 6= j aij = 0 (´e Diagonal) e ∃c ∈ F ∀i aii= c (c constante);

• Identidade se ∀i 6= j aij = 0 e ∀i aii = 1 (´e Escalar com elemento diagonal igual a

1). Denota-se por In e ´e tamb´em chamada Identidade de ordem n. Frequentemente,

escreve-se In = [δij]n×n, onde δij = 1 se i = j e δij = 0 se i 6= j (δij ´e o chamado

s´ımbolo de Kr¨onecker).

• Nula se ∀i∀j aij = 0 (´e Escalar com elemento diagonal igual a 0). Denota-se por

0n e ´e tamb´em chamada matriz nula de ordem n. Observe-se que uma matriz do

tipo m × n com todas as entradas iguais a zero também se designa por matriz nula, denotando-se por 0m×n. Exemplo A =    1 −1 2 0 0 1 0 0 3    é triangular superior. B =       1 0 0 0 −1 2 0 0 −2 0 1 0 3 2 1 1       é triangular inferior. C =       1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4       ´ e diagonal. D =    5 0 0 0 5 0 0 0 5   é escalar.

Defini¸c˜ao 5 Seja A = [aij] uma matriz do tipo m × n. A matriz transposta de A,

At_{, ´}_{e a matriz do tipo n × m cuja entrada (j, i) ´}_{e a} ij. Exemplo A = " 1 −1 # At= h 1 −1 i . 4

(9)

B = h 2 2 2 2 i Bt =       2 2 2 2       . C =    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12    C t₌       1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12       . D =    1 2 3 2 3 4 3 4 5    D t₌    1 2 3 2 3 4 3 4 5   . E = " 0 −1 1 0 # Et ₌ " 0 1 −1 0 # . Propriedade

Resulta facilmente da defini¸c˜ao que, para qualquer matriz A, (At₎t_{= A.}

1.2 Algebra das Matrizes

´

• Igualdade

Sejam A = [aij], B = [bij] matrizes do mesmo tipo.

A = B se e s´o se ∀i, j aij = bij.

• Adi¸c˜ao

Sejam A = [aij], B = [bij] matrizes do tipo m × n.

A matriz soma A + B ´e uma matriz do tipo m × n, A + B = [cij], onde

∀i, j cij = aij + bij.

Propriedades

Sejam A, B, C matrizes do tipo m × n. Ent˜ao: (A1) A + B = B + A;

(A2) (A + B) + C = A + (B + C);

(A3) Sendo 0m×n a matriz nula (matriz com todas as entradas nulas) do tipo m × n,

A + 0 = 0 + A = A;

(A4) Se −A é a matriz do tipo m × n cujas entradas são simétricas das entradas de A, −A = [−aij], A + (−A) = (−A) + A = 0m×n;

(10)

(At) (A + B)t_{= A}t_{+ B}t_.

Defini¸cão de Subtraçcão A − B = A + (−B) = [sij], onde

∀i, j sij = aij − bij.

• Multiplica¸c˜ao de uma matriz por um escalar

Sejam A uma matriz real (complexa) do tipo m × n, A = [aij] e λ ∈ R (C). O produto

escalar de A por λ, λA, ´e uma matriz do tipo m × n, λA = [dij], onde ∀i, j dij = λaij.

Propriedades

Sejam A, B matrizes do tipo m × n com entradas em R (C) e α, β ∈ R (C). Ent˜ao: (Pe1) α(A + B) = αA + αB;

(Pe2) (α + β)A = αA + βA; (Pe3) (αβ)A = α(βA); (Pe4) 1A = A;

(Pet) (αA)t _{= αA}t_.

Observa¸c˜ao

• Se E ´e uma matriz escalar de ordem n com elemento diagonal a, ent˜ao E = aIn.

• Uma express˜ao do tipoP

iλiAi chama-se (como veremos no Cap´ıtulo 3) uma

com-bina¸c˜ao linear das matrizes Ai.

Exemplo Sejam A =    1 2 −1 0 −3 4   e B =    −1 5 7 −1 3 −8   . Calculemos 3A − 2B. 3A =    3 6 −3 0 −9 12    , −2B =    2 −10 −14 2 −6 16    e 3A − 2B = 3A + (−2B) =    5 −4 −17 2 −15 28   . • Multiplica¸c˜ao de matrizes

Sejam A uma matriz do tipo m × n, A = [aij] e B uma matriz do tipo n × p,

B = [bjk]. O produto de A por B, AB, ´e a matriz do tipo m × p, AB = [pik] onde,

∀i, k pik = ai1b1k+ ai2b2k+ · · · + ainbnk.

Observa¸c˜oes

1 — O produto de duas matrizes só é poss´ıvel se o número de colunas do primeiro factor

(11)

for igual ao n´umero de linhas do segundo factor.

2 — A matriz produto tem o n´umero de linhas do primeiro factor e o n´umero de colunas do segundo factor.

3 — Cada entrada da matriz produto ´e soma de multiplica¸c˜oes de todos os elementos de uma linha do primeiro factor pelos elementos convenientes (correspondentes) de toda uma coluna do segundo factor.

Propriedades

. Sejam A, B, C matrizes reais (complexas) compat´ıveis para a multiplica¸cão (isto é, tais que (AB)C existe) e λ um número real (complexo). Então:

(P1) (AB)C = A(BC);

(P2) λ(AB) = (λA)B = A(λB);

(P3) Am×nIn = ImAm×n = A. Em particular, se A ´e uma matriz quadrada de ordem

n, AIn = InA = A;

(Pt) (AB)t_{= B}t_At_.

. Sejam B e C matrizes do mesmo tipo e A uma matriz tal que os produtos que se seguem s˜ao poss´ıveis. Ent˜ao:

(PDe) A(B + C) = AB + AC; (PDd) (B + C)A = BA + CA. Exemplo a) Sejam A =    1 2 −1 0 −3 4    e B = " −1 5 2 0 −1 1 # . Calculemos AB e BA. AB =    1 2 −1 0 −3 4    " −1 5 2 0 −1 1 # = =    1 × (−1) + 2 × 0 1 × 5 + 2 × (−1) 1 × 2 + 2 × 1 (−1) × (−1) + 0 × 0 (−1) × 5 + 0 × (−1) (−1) × 2 + 0 × 1 (−3) × (−1) + 4 × 0 (−3) × 5 + 4 × (−1) (−3) × 2 + 4 × 1   =    −1 3 4 1 −5 −2 3 −19 −2    e BA = " −1 5 2 0 −1 1 #    1 2 −1 0 −3 4   = = " (−1) × 1 + 5 × (−1) + 2 × (−3) (−1) × 2 + 5 × 0 + 2 × 4 0 × 1 + (−1) × (−1) + 1 × (−3) 0 × 2 + (−1) × 0 + 1 × 4 # = " −12 6 −2 4 # .

(12)

b) Sejam A = " 1 0 1 0 # e B = " 0 0 1 1 # . Calculemos AB e BA. AB = " 1 0 1 0 # " 0 0 1 1 # = " 0 0 0 0 # e BA = " 0 0 1 1 # " 1 0 1 0 # = " 0 0 2 0 # . c) Sejam A = " 1 0 1 0 # e B = " 1 0 −1 2 # . Calculemos AB e BA. AB = " 1 0 1 0 # " 1 0 −1 2 # = " 1 0 1 0 # e BA = " 1 0 −1 2 # " 1 0 1 0 # = " 1 0 1 0 # . Observa¸c˜oes

1 — Do exemplo anterior conclui-se que o produto de matrizes não é comutativo, isto é, em geral, AB 6= BA.

Se A e B são matrizes quadradas de ordem n tais que AB = BA diz-se que A e B são permutáveis. É o caso das matrizes em c).

2 — Também do exemplo anterior pode concluir-se que, na multiplica¸cão de matrizes, não é válida a lei do anulamento do produto. Com efeito, em b), as matrizes A e B consideradas são ambas não nulas mas AB é a matriz nula.

Defini¸cão 6 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências de expoente inteiro não negativo de A definem-se da seguinte forma:

(

A0 _{= I} n

Am+1 _{= A}m_{A, ∀m ≥ 0} .

Defini¸c˜ao 7 Seja A = [aij] uma matriz quadrada. Diz-se que A ´e:

• sim´etrica se At _{= A, ou seja, se ∀i, j a}

ji = aij;

• anti-sim´etrica (ou hemi-sim´etrica) se At= −A, ou seja, se ∀i, j aji = −aij.

(13)

Observa¸c˜oes

Resulta imediatamente da defini¸c˜ao que:

. uma matriz simétrica tem elementos diagonais arbitrários e elementos opostos em rela¸cão à diagonal principal (correspondem às entradas (i, j) e (j, i) da matriz) iguais;

. uma matriz real ou complexa anti-sim´etrica tem elementos diagonais nulos 2 _e

elementos opostos em rela¸cão à diagonal principal simétricos. Exemplo A matriz A =    −1 2 3 2 0 4 3 4 1    é simétrica e B =    0 2 3 −2 0 −4 −3 4 0    é anti-simétrica como facilmente se comprova calculando as transpostas respectivas.

Defini¸c˜ao 8 Seja A = [aij] uma matriz complexa do tipo m × n.

• A matriz conjugada de A, A, ´e a matriz complexa do tipo m × n cujos elementos s˜ao os complexos conjugados dos elementos de A : A = [aij];

• a matriz transconjugada de A, A∗_{, ´}_{e a transposta da matriz conjugada de A (ou,}

o que ´e o mesmo, a conjugada da transposta de A): A∗ = (A)t_{= A}t_.

Defini¸c˜ao 9 Seja A = [aij] uma matriz complexa quadrada. Diz-se que A ´e:

• herm´ıtica (hermitiana) se A∗ = A, ou seja, se ∀i, j aji= aij;

• hemi-herm´ıtica (hemi-hermitiana, anti-herm´ıtica) se A∗ = −A, ou seja, se ∀i, j aji = −aij.

Observa¸c˜oes

Resulta da defini¸c˜ao que:

. uma matriz herm´ıtica tem elementos diagonais reais e elementos opostos em rela¸c˜ao `

a diagonal conjugados;

. uma matriz hemi-herm´ıtica tem elementos diagonais nulos e/ou imaginários puros e elementos opostos em rela¸cão à diagonal principal com mesma parte imaginária e partes reais simétricas.

Exemplo

2_{Isto n˜}_{ao ´}_{e v´}

alido em todos os corpos. Por exemplo, no corpo Z2da observa¸c˜ao 4 da p´agina 2, tem-se

(14)

A matriz A =    −1 2 + i 3i 2 − i 0 4 −3i 4 1    ´e herm´ıtica e B =    i 2 + i 3i −2 + i −2i −4 3i 4 0    ´e hemi-herm´ıtica como facilmente se comprova calculando as transconjugadas respectivas.

Observa¸c˜oes

A transconjuga¸cão goza de propriedades análogas às da transposi¸cão, excepto para a transconjuga¸cão de uma multiplica¸cão por escalar. Tem-se (admitindo que as matrizes têm tipos adequados para efectuar as opera¸c˜_{oes indicadas e que α ∈ C):}

(A∗)∗ = A;

(A ± B)∗ = A∗± B∗_;

(AB)∗ = B∗A∗; (αA)∗ = αA∗.

1.3 Opera¸

c˜

oes elementares. Caracter´ıstica de uma

matriz

Defini¸cão 10 São opera¸cões elementares sobre as linhas (colunas) de uma matriz:

(OE1) Trocar duas linhas (colunas);

(OE2) Multiplicar uma linha (coluna) por um escalar diferente de zero;

(OE3) Somar a uma linha (coluna) outra multiplicada por um escalar qualquer.

Exemplo Seja A =    2 −2 0 4 1 0 −1 3 1 0 0 0   .

Troca das linhas 1 e 3 : A −−−−→

L1↔L3    1 0 0 0 1 0 −1 3 2 −2 0 4   .

Multiplica¸c˜ao da linha 1 por 1₂ : A −−−−−→

L0₁=1₂L1    1 −1 0 2 1 0 −1 3 1 0 0 0   .

Soma da linha 2, multiplicada por (−1), `a linha 3 : A −−−−−−→

L0 3=L3−L2    2 −2 0 4 1 0 −1 3 0 0 1 −3   . 10

(15)

Defini¸c˜ao 11 Diz-se que uma matriz tem as linhas em escada se: (i) As linhas nulas (caso existam) ocorrem depois das linhas n˜ao nulas;

(ii) O primeiro elemento n˜ao nulo de cada linha (pivot) situa-se numa coluna mais `

a esquerda que todos os pivots das linhas seguintes (ou seja, o ´ındice de coluna do pivot de cada linha ´e menor que os ´ındices de coluna dos pivots das linhas seguintes).

Exemplo As matrizes A =       0 −1 3 0 −2 4 0 0 0 5 −2 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0       e B =    2 −1 1 0 1 2 0 0 −3    tˆem as linhas em escada.

Defini¸cão 12 A caracter´ıstica de uma matriz com as linhas em escada é igual ao número de linhas não nulas da matriz.

Proposi¸cão 1.3.1 Seja A uma matriz qualquer. Então A pode ser transformada numa matriz do mesmo tipo com as linhas em escada efectuando opera¸cões elementares sobre as suas linhas.

Defini¸cão 13 Seja A uma matriz qualquer. A caracter´ıstica de A, que se denota por c(A) ou r(A), é igual à caracter´ıstica da matriz com linhas em escada que se obtém efectuando opera¸cões elementares sobre as linhas e/ou colunas de A.

Exemplo A =         2 −2 0 4 0 1 −1 3 1 1 0 −3 0 0 −1 2 0 0 2 1         −−−−−→ L0₁=1₂L1         1 −1 0 2 0 1 −1 3 1 1 0 −3 0 0 −1 2 0 0 2 1         −−−−−−→ L0 3=L3−L1 −→         1 −1 0 2 0 1 −1 3 0 2 0 −5 0 0 −1 2 0 0 2 1         −−−−−−−→ L0 3=L3−2L2         1 −1 0 2 0 1 −1 3 0 0 2 −11 0 0 −1 2 0 0 2 1         L0₅=L5−L3 −−−−−−−→ L0₄=L4+1₂L3

(16)

−→         1 −1 0 2 0 1 −1 3 0 0 2 −11 0 0 0 −7 2 0 0 0 12         −−−−−−→ L0₄=−2₇L4         1 −1 0 2 0 1 −1 3 0 0 2 −11 0 0 0 1 0 0 0 12         −−−−−−−→ L0 5=L5−12L4 −→         1 −1 0 2 0 1 −1 3 0 0 2 −11 0 0 0 1 0 0 0 0        

, pelo que, c(A) = 4.

B =    0 0 −2 −1 1 −1 1 −1 3   −−−−→_L 1↔L2    −1 1 −1 0 0 −2 1 −1 3   −−−−−−→_L0 3=L3+L1    −1 1 −1 0 0 −2 0 0 2   −−−−−−→_L0 3=L3+L2 −→    −1 1 −1 0 0 −2 0 0 0   , por isso, c(B) = 2.

Propriedades da Caracter´ıstica de uma Matriz Sejam A ∈ Fm×n _{e α ∈ F \ {0}. Ent˜ao:}

(C1) c(A) ≤ m e c(A) ≤ n; (C2) c(αA) = c(A);

(C3) Se B ∈ Fn×p_{, c(AB) ≤ c(A) e c(AB) ≤ c(B);}

(Ct) c(At_{) = c(A).}

1.4 Sistemas de Equa¸

c˜

oes Lineares

Defini¸cão 14 Um sistema de m equa¸cões lineares a n incógnitas x1, . . . , xn é da

forma (dita can´onica)            a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn = b2 .. . ... ... am1x1+ am2x2 + · · · + amnxn = bm , (1.1)

onde aij, bi ∈ R(C) i = 1, . . . , m , j = 1, . . . , n s˜ao, respectivamente, os coeficientes e

os termos independentes do sistema.

(17)

Defini¸c˜ao 15 Associadas ao sistema (1.1) est˜ao as seguintes matrizes: A =       a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... ... ... am1 am2 · · · amn       ,

que ´e a matriz simples ou matriz dos coeficientes do sistema;

X =       x1 x2 .. . xn       ,

que ´e matriz coluna das inc´ognitas;

B =       b1 b2 .. . bm       ,

que ´e matriz coluna dos termos independentes;

[A|B] =       a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 .. . ... ... ... ... am1 am2 · · · amn bm       ,

que ´e a matriz ampliada ou matriz completa do sistema.

Nota¸c˜ao Matricial do Sistema (1.1):

AX = B. (1.2)

Defini¸cão 16 Chama-se solu¸cão do sistema (1.1) a uma lista de números reais (complexos) (c1, c2, . . . , cn) tal que, substituindo cada xi pelo respectivo valor ci (i =

1, . . . , n), as m equa¸c˜oes do sistema transformam-se em proposi¸c˜oes verdadeiras.

Defini¸cão 17 O sistema (1.1) diz-se poss´ıvel se tem, pelo menos, uma solu¸cão e imposs´ıvel caso contrário.

Sendo poss´ıvel, (1.1) é determinado quando tem uma única solu¸cão e indetermi-nado quando tem mais de uma solu¸cão (se o corpo considerado for infinito, como é o caso do corpo dos reais e do corpo dos complexos, quando indeterminado, o sistema tem uma infinidade de solu¸cões).

(18)

Defini¸cão 18 Dois sistemas de equa¸cões lineares com o mesmo número de incógnitas dizem-se equivalentes se têm as mesmas solu¸cões.

Proposi¸cão 1.4.1 Dado o sistema (1.1), obtém-se um sistema equivalente quando se efectuam opera¸cões elementares sobre as linhas da sua matriz completa [A|B] e/ou troca de colunas na sua matriz simples A (desde que se efectue a correspondente troca nas incógnitas respectivas).

Observa¸c˜ao

De acordo com as Proposi¸cões 1.3.1 e 1.4.1, qualquer sistema de equa¸cões lineares é equivalente a um sistema cuja matriz ampliada tem as linhas em escada.

Proposi¸c˜ao 1.4.2 O sistema (1.2) ´e: • imposs´ıvel sse c(A) 6= c([A|B]);

• poss´ıvel determinado sse c(A) = c([A|B]) = n; • poss´ıvel indeterminado sse c(A) = c([A|B]) < n.

Defini¸cão 19 Se o sistema (1.2) é poss´ıvel, o número inteiro não negativo g = n − c(A) chama-se grau de indetermina¸cão do sistema.

Exemplo 1 — Consideremos o sistema      x + y − z = −2 x − 2y + z = 5 −x + 2y + z = 3 .

Vamos efectuar opera¸cões do tipo referido na Proposi¸cão 1.4.1 na sua matriz ampliada até a transformarmos numa matriz com linhas em escada (fazemos a condensa¸cão de [A|B]).    1 1 −1 −2 1 −2 1 5 −1 2 1 3    L0₃=L3+L1 −−−−−−→ L0 2=L2−L1    1 1 −1 −2 0 −3 2 7 0 3 0 1   −−−−−−→_L0 3=L3+L2    1 1 −1 −2 0 −3 2 7 0 0 2 8   . Como c(A) = c([A|B]) = 3 o sistema é poss´ıvel e determinado (SPD). Dado que a matriz com linhas em escada obtida é a matriz ampliada de um sistema equivalente ao dado, só temos que resolver agora

     x + y − z = −2 −3y + 2z = 7 2z = 8 . 14

(19)

     x + y − z = −2 −3y + 2z = 7 2z = 8 ⇔      x + y = −2 + 4 −3y = 7 − 8 z = 4 ⇔      x = 5₃ y = 1₃ z = 4 . 2 — Consideremos o sistema      x + 2y + 3z = 0 x + y + z = 10 y + 2z = 0 . Ent˜ao [A|B] =    1 2 3 0 1 1 1 10 0 1 2 0   −−−−−−→_L0 2=L2−L1    1 2 3 0 0 −1 −2 10 0 1 2 0   −−−−−−→_L0 3=L3+L2    1 2 3 0 0 −1 −2 10 0 0 0 10   .

Como c(A) = 2 6= 3 = c([A|B]) o sistema ´e imposs´ıvel (SI).

3 — Consideremos o sistema      x + 2y + z + w = 4 2x + 4y − z + 2w = 11 x + y + 2z + 3w = 11 . Ent˜ao [A|B] =    1 2 1 1 4 2 4 −1 2 11 1 1 2 3 11    L0 3=L3−L1 −−−−−−−→ L02=L2−2L1    1 2 1 1 4 0 0 −3 0 3 0 −1 1 2 7    −−−−→_L 2↔L3 −→    1 2 1 1 4 0 −1 1 2 7 0 0 −3 0 3   .

Como c(A) = c([A|B]) = 3 < 4 o sistema ´e poss´ıvel e indeterminado (SPI) de grau 1.      x + 2y + z + w = 4 −y + z + 2w = 7 −3z = 3 ⇔      x + 2y + w = 5 −y + 2w = 8 z = −1 ⇔            x = 21 − 5w y = −8 + 2w z = −1 w = w , w ∈ R. 4 — Consideremos o sistema      x + y + z = 1 x − y + 2z = a 2x + bz = 2

. Vamos discuti-lo em fun¸c˜ao dos

parˆametros reais a e b.

[A|B] =    1 1 1 1 1 −1 2 a 2 0 b 2    L0₃=L3−2L1 −−−−−−−→ L0 2=L2−L1    1 1 1 1 0 −2 1 a − 1 0 −2 b − 2 0    −−−−−−→_L0 3=L3−L2 −→    1 1 1 1 0 −2 1 a − 1 0 0 b − 3 1 − a   .

(20)

Discuss˜ao:

• Se b 6= 3, c(A) = c([A|B]) = 3, ∀a ∈ R, logo, SPD;

• b = 3 e a = 1, c(A) = c([A|B]) = 2 < 3, donde, SPI (de grau 1); • b = 3 e a 6= 1, c(A) = 2 6= 3 = c([A|B]). Por isso, SI.

Defini¸cão 20 Um sistema de equa¸cões lineares diz-se homogéneo se são nulos todos os seus termos independentes, isto é, se quando escrito matricialmente é da forma AX = 0.

A todo o sistema de equa¸cões lineares AX = B está associado o sistema homogéneo AX = 0.

Exemplo

O sistema homogéneo associado a      x + 2y + z + w = 4 2x + 4y − z + 2w = 11 x + y + 2z + 3w = 11 é      x + 2y + z + w = 0 2x + 4y − z + 2w = 0 x + y + 2z + 3w = 0 . Observa¸cão

Um sistema homogéneo é sempre poss´ıvel pois admite sempre a solu¸cão nula. Se é determinado (basta que a caracter´ıstica da matriz simples coincida com o número n de incógnitas) essa é a sua única solu¸cão. Se é indeterminado (a caracter´ıstica da matriz simples é menor que o número de incógnitas), para além da solu¸cão nula (que existe sempre), admite solu¸cões não nulas (recorde-se que o produto de duas matrizes não nulas pode ser nulo).

Proposi¸cão 1.4.3 Seja Xp uma solu¸cão particular do sistema de equa¸cões lineares

AX = B. Então, X0 é solu¸cão do sistema se e só se existe uma solu¸cão Xh do sistema

homog´eneo associado, AX = 0, tal que X0 = Xp+ Xh.

Demonstra¸c˜ao

Por hipótese, AXp = B (uma vez que Xp é uma solu¸cão particular de AX = B)

(⇒) Supondo que X0é (também) solu¸cão de AX = B, isto é, que AX0 = B, provamos

que X0− Xp é solu¸cão do sistema homogéneo associado. Tem-se,

A(X0 − Xp) = AX0− AXp = B − B = 0,

(21)

logo, Xh = X0− Xp ´e solu¸c˜ao de AX = 0.

(⇐) Suponhamos que Xh é uma solu¸cão do sistema homogéneo associado ao dado,

AX = 0. Mostramos que X0 = Xp+ Xh ´e solu¸c˜ao de AX = B. Temos,

AX0 = A(Xp+ Xh) = AXp+ AXh = B + 0 = B,

como queriamos.

Observa¸c˜ao

Resulta da proposi¸cão anterior que, a solu¸cão geral de um sistema de equa¸cões linea-res pode ser obtida somando a uma sua solu¸cão particular a solu¸cão geral do sistema homogéneo associado.

1.5 Inversa de uma Matriz Quadrada

Defini¸c˜ao 21 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A ´e invert´ıvel (ou que A tem inversa) se existe uma matriz quadrada de ordem n, B, tal que

AB = BA = In.

Proposi¸cão 1.5.1 A inversa de uma matriz quadrada A, quando existe, é única. Demonstra¸cão Suponhamos que B e C são inversas de A, ou seja, que

AB = BA = In e AC = CA = In.

Tem-se B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C , logo, B = C.

Defini¸cão 22 Se A é invert´ıvel, a matriz B referida na Defini¸cão 3.1 chama-se inversa de A e representa-se por A−1. Assim, AA−1 = A−1A = In.

Defini¸cão 23 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A é não sin-gular (resin-gular) se c(A) = n.

Proposi¸cão 1.5.2 Se A é uma matriz quadrada de ordem n então A é invert´ıvel se e só se é regular.

Observa¸c˜ao

Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, tal que c(A) = n (logo, invert´ıvel), a inversa de A é a solu¸cão da equa¸cão matricial AX = In. Podemos, por isso, calcular

(22)

facilmente A−1. Basta considerar a matriz [A|In] e efectuar opera¸c˜oes elementares (s´o)

sobre linhas at´e a transformar na matriz [In|A−1].

Exemplo 1 — Consideremos a matriz A =    3 1 0 2 1 1 0 1 1   , de caracter´ıstica 3. Calculamos A −1

pelo método descrito (condensa¸cão, operando só sobre linhas).

[A|I3] =    3 1 0 1 0 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1    −−−−−−→_L0 1=L1−L2    1 0 −1 1 −1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1    −−−−−−−→_L0 2=L2−2L1 −→    1 0 −1 1 −1 0 0 1 3 −2 3 0 0 1 1 0 0 1    −−−−−−→_L0 3=L3−L2    1 0 −1 1 −1 0 0 1 3 −2 3 0 0 0 −2 2 −3 1    −−−−−−→ L0 3=−12L3 −→    1 0 −1 1 −1 0 0 1 3 −2 3 0 0 0 1 −1 3 2 − 1 2    L0 1=L1+L3 −−−−−−−→ L02=L2−3L3    1 0 0 0 1₂ −1 2 0 1 0 1 −3 2 3 2 0 0 1 −1 3₂ −1 2   . A−1 =    0 1₂ −1 2 1 −3 2 3 2 −1 3 2 − 1 2   .

(O resultado obtido pode ser confirmado usando a defini¸c˜ao de inversa. Basta verificar que AA−1 = In.) 2 — Se B =       3 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 −4      

, ´e muito f´acil concluir que B−1 =       1 3 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1₂ 0 0 0 0 −1₄       . Propriedades

Se A e B s˜ao matrizes reais (complexas) quadradas de ordem n, invert´ıveis e α ∈ R \ {0}(C \ {0}) ent˜ao:

(I1) A−1 ´e invert´ıvel e (A−1)−1 = A; (I2) αA ´e invert´ıvel e (αA)−1 = α−1A−1;

(I3) ∀m ∈ N, Am _´_{e invert´ıvel e (A}m₎−1 _{= (A}−1₎m_;

(I4) At _´_{e invert´ıvel e (A}t₎−1 _{= (A}−1₎t_;

(I5) (A)−1 = A−1_;

(I6) (A∗)−1 = (A−1)∗;

(23)

(I7) AB ´e invert´ıvel e (AB)−1 = B−1A−1. Justifica¸c˜ao

(I1) Da igualdade A−1A = AA−1= In, da defini¸c˜ao e da unicidade da inversa resulta

que A−1 ´e a matriz inversa de A e A ´e a matriz inversa de A−1.

(I2) (αA)(α−1A−1) = (αα−1)(AA−1) = In e (α−1A−1)(αA) = (α−1α)(A−1A) = In.

(I3) A prova rigorosa faz-se por indu¸c˜ao em m. (I4) At_(A−1₎t _{= (A}−1_A)t_{= I}t

n= In e (A−1)tAt= (AA−1)t= Int = In.

(I5) A A−1 _{= AA}−1 _{= I}

n= In e A−1 A = A−1A = In= In.

(I6) A∗(A−1)∗ = (A−1A)∗ = I_n∗ = In e (A−1)∗A∗ = (AA−1)∗ = In∗ = In.

(I7) (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AInA−1 = AA−1 = In e

(24)

(25)

Cap´ıtulo 2

DETERMINANTES

2.1 Conceitos Gerais

Defini¸cão 24 Dados os números naturais 1, 2, . . . , n, uma sua permuta¸cão é uma lista desses n números apresentados por uma qualquer ordem.

Por exemplo, n, n − 1, n − 2, . . . , 3, 2, 1 é uma permuta¸cão dos números 1, 2, . . . , n. Nota¸cão

O conjunto de todas as permuta¸c˜oes de 1, 2, . . . , n denota-se por Sn.

Oserva¸c˜ao

Existem n! permuta¸c˜oes de 1, 2, . . . , n.

Defini¸cão 25 Seja i1, i2, . . . , inuma permuta¸cão dos números 1, 2, . . . , n. Diz-se que

um par (ik, ij) faz uma invers˜ao se k < j e ik > ij, ou seja, ik e ij aparecem na

permuta¸c˜ao por ordem decrescente.

Defini¸cão 26 Uma permuta¸cão i1, i2, . . . , in é par (resp.: ´ımpar) quando o número

total de invers˜oes que nela ocorrem ´e par (resp.: ´ımpar).

Exemplos 1) n = 2

Permuta¸c˜ao Total de Invers˜oes Paridade

1,2 0 par

(26)

2) n = 3

Permuta¸c˜ao Total de Invers˜oes Paridade

1,2,3 0 par 2,3,1 2 par 3,1,2 2 par 3,2,1 3 ´ımpar 2,1,3 1 ´ımpar 1,3,2 1 ´ımpar

2.2 Defini¸

c˜

ao de Determinante

Defini¸c˜ao 27 Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n com elementos

em R (C). O determinante de A, que se denota por det(A) ou |A|, ´e o n´umero real (complexo):

det(A) = X

i1,...,in∈Sn

(−1)σa1i1a2i2· · · anin,

onde σ = 0, se i1, i2, . . . , in ´e par e σ = 1, se i1, i2, . . . , in ´e ´ımpar.

Observe-se que o somat´orio anterior tem n! parcelas. Resulta imediatamente da defini¸c˜ao que:

• det[a11] = a11; • det " a11 a12 a21 a22 # = a11a22− a12a21; • det    a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33   = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a13a22a31− a12a21a33− a11a23a32.

2.3 Propriedades dos Determinantes

Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n.

(27)

(P1) Se A tem uma linha (resp.: coluna) de zeros, ent˜ao det(A) = 0.

(P2) Se A tem duas linhas (resp.: colunas) iguais ou proporcionais, ent˜ao det(A) = 0. (P3) Se trocarmos entre si duas linhas (resp.: colunas) de A, o valor do determinante de A muda de sinal. (Opera¸c˜ao elementar do tipo 1)

(P4) Se A ´e triangular ent˜ao det(A) = a11a22· · · ann.

(P5) a11 a12 · · · a1n .. . ... ... αai1 αai2 · · · αain

.. . ... ... an1 an2 · · · ann = α a11 a12 · · · a1n .. . ... ... ai1 ai2 · · · ain .. . ... ... an1 an2 · · · ann . (Opera¸c˜ao elementar do tipo 2) (P6) det(αA) = αndet(A). (P7) det(A) = det(At_).

(P8) Se A ´e complexa, det(A∗) = det(A) = det(A).

(P9) a11 a12 · · · a1n .. . ... ... ai1+ bi1 ai2+ bi2 · · · ain+ bin .. . ... ... an1 an2 · · · ann = a11 a12 · · · a1n .. . ... ... ai1 ai2 · · · ain .. . ... ... an1 an2 · · · ann + a11 a12 · · · a1n .. . ... ... bi1 bi2 · · · bin .. . ... ... an1 an2 · · · ann .

(P10) Se a uma linha (resp.: coluna) de A somarmos um múltiplo qualquer de outra linha (resp.: coluna), o valor do determinante de A não se altera. (Opera¸cão elementar do tipo 3)

(P11) N˜ao se altera o valor do determinante de A se a uma linha (resp.: coluna) de A adicionarmos uma soma de m´ultiplos quaisquer de outras linhas (resp.: colunas). (uso repetido de (P9))

(P12) Se B ´e uma matriz quadrada de ordem n, det(AB) = det(A)det(B). Em particular, ∀n ∈ N det(An_{) = (det(A))}n_.

(P13) A é invert´ıvel se e só se det(A) 6= 0. (P14) Se A é invert´ıvel então det(A−1) = _det(A)1 .

(28)

Exemplo

Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 3 tais que det(A) = −2 e det(B) = 1₄. Ent˜ao:

• det(3A) = 33_{det(A) = 27(−2) = −54;}

• det(AB−1_At_{) = det(A)det(B}−1_)det(At_{) = det(A)} 1

det(B)det(A) = (−2)

2_{× 4 = 16;}

• det(−B) = det((−1)B) = (−1)3_{det(B) = −}1 4;

• det(B−1_A4_{B) = det(B}−1_)det(A4_{)det(B) =} 1

det(B)(det(A)) 4_{det(B) = (−2)}4 _{= 16;} • det(−1 2(B t₎−1_{) = (−}1 2) 3_det((Bt₎−1_{) = (−}1 8) 1 det(Bt₎ = (− 1 8) 1 det(B) = (− 1 8) × 4 = − 1 2.

2.4 O Teorema de Laplace

Defini¸c˜ao 28 Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. Recorde-se que

A(i|j) denota a submatriz de A que se obtém desta matriz por supressão da linha i e da coluna j. Chama-se complemento algébrico (ou cofactor) de aij ao número

Aij = (−1)i+jdet(A(i|j)).

Teorema 2.4.1 (Teorema de Laplace)

Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. Ent˜ao:

det(A) = n X j=1 aijAij = n X r=1 arsArs, ∀i, s ∈ {1, 2, . . . , n}. Exemplo 2 4 6 8 3 6 5 9 2 1 4 7 1 2 2 2 =1 2 1 2 3 4 3 6 5 9 2 1 4 7 1 2 2 2 =2 2 1 2 3 4 0 0 −4 −3 0 −3 −2 −1 0 0 −1 −2 =3 2×1×(−1)2 0 −4 −3 −3 −2 −1 0 −1 −2 =4 _{2 × (−3) × (−1)}3 −4 −3 −1 −2 = 6((−4)(−2) − (−1)(−3)) = 6 × 5 = 30.

1_{Pela Propriedade (P5)aplicada `}_{a linha 1} 2_{Efectuando as opera¸}_c˜_{oes elementares L}0

2= L2− 3L1; L03= L3− 2L1; L04= L4− L1 3_{Teorema de Laplace na coluna 1}

4_{Teorema de Laplace na coluna 1}

(29)

2.5 Aplica¸

c˜

oes dos Determinantes

2.5.1 C´

alculo da Inversa de uma Matriz

Defini¸c˜ao 29 Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. A matriz

comple-mentar de A, que se denota por Â, é a matriz quadrada de ordem n cujos elementos são os complementos algébricos dos elementos de A, isto é, Â = [Aij].

Defini¸c˜ao 30 Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. A matriz adjunta

de A, que se denota por adj(A), ´e a transposta da matriz complementar: adj(A) = ˆAt. Do Teorema de Laplace resulta que, para qualquer matriz quadrada A de ordem n,

A adj(A) = adj(A) A = det(A)In.

Donde, se A ´e invert´ıvel (det(A) 6= 0),

A−1 = 1 det(A)adj(A). Exemplo Seja A = " 1 2 3 4 # .

|A| = 1 × 4 − 2 × 3 = −2 6= 0, pelo que, A tem inversa. Calculamos A−1 _{a partir da}

matriz adj(A). A11= (−1)2× 4 = 4; A12= (−1)3 × 3 = −3; A21= (−1)3× 2 = −2; A22= (−1)4 × 1 = 1. ˆ A = " A11 A12 A21 A22 # = " 4 −3 −2 1 # adj(A) = ˆAt= " 4 −2 −3 1 # A−1= _det(A)1 adj(A) = −1₂ " 4 −2 −3 1 # = " −2 1 3 2 − 1 2 # .

(30)

2.5.2 Resolu¸

c˜

ao de Sistemas Lineares Poss´ıveis e Determinados

Regra de Cramer

Dado o sistema de n equa¸c˜oes lineares a n inc´ognitas            a11x1 + a12x2+ · · · + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2+ · · · + a2nxn = b2 .. . ... ... an1x1+ an2x2 + · · · + annxn = bn ,

seja A a sua matriz simples, B a matriz coluna dos termos independentes e Ci a

matriz que se obtém de A substituindo a sua coluna número i por B. Se det(A) 6= 0, então ∀i ∈ {1, 2, · · · , n}, xi = det(Ci) det(A). Exemplo Consideremos o sistema      x + y − z = −2 x − 2y + z = 5 −x + 2y + z = 3 . A =    1 1 −1 1 −2 1 −1 2 1    e B =    −2 5 3   . |A| = 1 1 −1 1 −2 1 −1 2 1 = 1 1 −1 1 −2 1 0 0 2 = 2 1 1 1 −2 = 2(−2 − 1) = −6. x = −2 1 −1 5 −2 1 3 2 1 |A| = −10 −6 = 5 3 ; y = 1 −2 −1 1 5 1 −1 3 1 |A| = −2 −6 = 1 3 26

(31)

z = 1 1 −2 1 −2 5 −1 2 3 |A| = −24 −6 = 4.

(32)

(33)

Cap´ıtulo 3

ESPAC

¸ OS VECTORIAIS

3.1 Defini¸

c˜

ao e Exemplos

Defini¸cão 31 Um espa¸co vectorial (ou espa¸_{co linear) sobre um corpo F é uma} estrutura algébrica formada por um conjunto n˜_{ao vazio E = {}−→a ,−→b , . . . , −→u , −→v , −→w , . . .}, com uma opera¸cão binária designada por adi¸cão, e denotada por + e, para cada elemento α ∈ F, uma aplica¸cão de E para E (designada por multiplica¸cão por escalar) que a cada −→_{x ∈ E faz corresponder o elemento α}−→_{x ∈ E (multiplica¸cão de α por} −→x ), de tal modo que são satisfeitas as seguintes propriedades, para quaisquer −→u , −→v , −→_{w ∈ E e} quaisquer α, β ∈ F:

(A1) −→u + −→v = −→v + −→u (comutatividade da adi¸c˜ao)

(A2) (−→u + −→v ) + −→w = −→u + (−→v + −→w ) (associatividade da adi¸cão) (A3) ∃−→_{0 ∈ E :}−→u +−→0 = −→u (existência de elemento neutro) (A4) ∃(−−→_{u ) ∈ E :}−→u + (−−→u ) = −→0 (existência de simétricos) (M1) (α + β)−→u = α−→u + β−→u (distributividade)

(M2) α(−→u + −→v ) = α−→u + α−→v (distributividade) (M3) α(β−→u ) = (αβ)−→u (associatividade)

(M4) 1−→u = −→u

Defini¸c˜_{ao 32 Se E ´e um espa¸co vectorial sobre F, os elementos de E designam-se} vectores e os de F escalares.

O elemento neutro da adi¸c˜_{ao em E toma o nome de vector nulo e denota-se por} −→0 ou −→0_E.

(34)

Exemplos

1– S˜ao espa¸cos vectoriais reais: a) E = R2_{, com as opera¸c˜}_oes:

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2+ y2) e α(x1, x2) = (αx1, αx2); − → 0_R2 = (0, 0) e − (x₁, x₂) = (−x₁, −x₂) b) E = Rn(n ∈ N), com as opera¸c˜oes: (x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn) e α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn); − → 0_Rn = (0, 0, . . . , 0) e − (x₁, x₂, . . . , x_n) = (−x₁, −x₂, . . . , −x_n)

c) E = Rm×n(m, n ∈ N), com as opera¸cões de adi¸cão de matrizes e de multiplica¸cão de uma matriz por um escalar definidas no Cap´ıtulo 1.

− →

0_Rm×n = 0_m×n e − [a_ij]_m×n = [−a_ij]_m×n

2– S˜ao espa¸cos vectoriais complexos: a) E = C2_{, com as opera¸c˜}_oes:

(z1, z2) + (z01, z 0 2) = (z1+ z10, z2+ z20) e α(z1, z2) = (αz1, αz2); − → 0_C2 = (0, 0) e − (z₁, z₂) = (−z₁, −z₂) b) E = Cn_{(n ∈ N), com as opera¸c˜oes:} (z1, z2, . . . , zn) + (z01, z 0 2, . . . , z 0 n) = (z1+ z10, z2+ z20, . . . , zn+ zn0) e α(z1, z2, . . . , zn) = (αz1, αz2, . . . , αzn); − → 0_Cn = (0, 0, . . . , 0) e − (z₁, z₂. . . , z_n) = (−z₁, −z₂. . . , −z_n)

c) E = Cm×n(m, n ∈ N), com as opera¸cões de adi¸cão de matrizes e de multiplica¸cão de uma matriz por um escalar definidas no Cap´ıtulo 1.

− →

0_Cm×n = 0_m×n e − [z_ij]_m×n = [−z_ij]_m×n

(35)

Proposi¸c˜_{ao 3.1.1 Seja E um espa¸co vectorial sobre F. Ent˜ao, para quaisquer} vec-tores e quaisquer escalares, tem-se:

a) 0−→u =−→0 b) α−→0 =−→0 c) α−→u =−→0 ⇒ α = 0 ou −→u =−→0 d) (−α)−→u = −(α−→u ) = α(−−→u ) e) α(−→u − −→v ) = α−→u − α−→v f ) (α − β)−→u = α−→u − β−→u .

Demonstra¸c˜ao de algumas afirma¸c˜oes

a) 0 + 0 = 0 ⇒ (0 + 0)−→u = 0−→u ⇒ 0−→u + 0−→u = 0−→u ⇒

(0−→u + 0−→u ) + (−0−→u ) = 0−→u + (−0−→u ) ⇒ 0−→u + (0−→u + (−0−→u )) =−→0 ⇒ 0−→u =−→0 b) tem prova idˆentica a a)

c) Suponhamos que α−→u = −→0 . Se α = 0 nada mais h´a a provar. Se α 6= 0 vamos mostrar que −→u =−→0 .

α−→u =−→0 ⇒ α−1(α−→u ) = α−1−→0 ⇒ α−1(α−→u ) = −→0 (por b)) ⇒ −→u =−→0 d) (−α)−→u = −(α−→u ) porque

(−α)−→u + α−→u = (−α + α)−→u = 0−→u =−→0 (por a)).

3.2 Dependˆ

encia e Independˆ

encia Lineares

Defini¸c˜_{ao 33 Seja E um espa¸co vectorial sobre F.}

Diz-se que um vector −→_{v ∈ E ´e combina¸}c˜ao linear dos vectores −→u1, −→u2, . . . , −→uk ∈ E

se existem escalares α1, α2, . . . , αk ∈ F tais que

− →_{v = α}

1−→u1+ α2−→u2 + . . . + αk−→uk.

Exemplos

1) Em R3_{, o vector (−2, 2, 5) ´}_{e combina¸c˜}_{ao linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1) se}

existem n´umeros reais α1, α2 e α3 tais que

(36)

ou seja, se o sistema      −2 = α1+ α2 + α3 2 = α1+ α2 5 = α1+ α3 ´

e poss´ıvel. Na forma matricial,    1 1 1 −2 1 1 0 2 1 0 1 5    L02=L2−L1 −−−−−−→ L0 3=L3−L1    1 1 1 −2 0 0 −1 4 0 −1 0 7   −−−−→_L 2↔L3    1 1 1 −2 0 −1 0 7 0 0 −1 4    ´

e um sistema poss´ıvel (e determinado), logo, (−2, 2, 5) ´e combina¸c˜ao linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1). Podemos calcular os escalares α1, α2 , α3 resolvendo-o:

   1 1 1 −2 0 −1 0 7 0 0 −1 4   −−−−−−−−−−→_L0 1=L1+(L2+L3)    1 0 0 9 0 −1 0 7 0 0 −1 4    L0₂=−L2 −−−−−→ L0 3=−L3    1 0 0 9 0 1 0 −7 0 0 1 −4   , logo,      α1 = 9 α2 = −7 α3 = −4 , donde, (−2, 2, 5) = 9(1, 1, 1) + (−7)(1, 1, 0) + (−4)(1, 0, 1).

2) Em R3, o vector (−2, 2, 5) não é combina¸cão linear de (1, 1, 0), (0, 0, 1), já que o sistema cuja matriz ampliada é

   1 0 −2 1 0 2 0 1 5   −−−−−−→_L0 2=L2−L1    1 0 −2 0 0 4 0 1 5    ´ e imposs´ıvel. Observa¸c˜ao

O vector nulo de E,−→0 , ´e sempre combina¸c˜ao linear de quaisquer vectores −→u1, −→u2, . . . , −→uk ∈

E. Com efeito,

0−→u1+ 0−→u2 + . . . + 0−→uk =

− →

0 .

A esta combina¸cão linear nula (isto é, cujo resultado é o vector nulo) dá-se o nome de combina¸cão linear nula trivial.

(37)

Defini¸c˜_{ao 34 Seja E um espa¸co vectorial sobre F.} Diz-se que os vectores −→u1, −→u2, . . . , −→uk ∈ E s˜ao:

(i) linearmente independentes se α1−→u1+ α2→−u2+ . . . + αk−→uk =

− →

0 ⇒ α1 = α2 = . . . = αk = 0.

Ou seja, a única combina¸cão linear nula poss´ıvel dos vectores −→u1, −→u2, . . . , −→uké a trivial

(a que tem os escalares todos nulos). (ii) linearmente dependentes se

∃β1, β2, . . . , βk ∈ F n˜ao todos nulos (isto ´e, com pelo menos um diferente de zero) tais

que

β1−→u1+ β2→−u2+ . . . + βk−→uk=

− →

0 .

Ou seja, para além da combina¸cão linear nula trivial (que existe sempre), existem out-ras combina¸cões lineares nulas (com, pelo menos, um escalar não nulo) dos vectores −

→_u

1, −→u2, . . . , −→uk.

Exemplos

1) Em R3_{, verificamos se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1) s˜}_{ao linearmente}

de-pendentes ou indede-pendentes:

α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 1) = (0, 0, 0),

equivale a resolver o sistema homog´eneo (sempre poss´ıvel),      α1+ α2+ α3 = 0 α1+ α2 = 0 α1+ α3 = 0 .

Se o sistema for determinado os vectores s˜ao linearmente independentes, se for in-determinado os vectores ser˜ao linearmente dependentes. Na forma matricial,

   1 1 1 1 1 0 1 0 1    L0₂=L2−L1 −−−−−−→ L03=L3−L1    1 1 1 0 0 −1 0 −1 0   −−−−→_L 2↔L3    1 1 1 0 −1 0 0 0 −1   ,

donde, os vectores são linearmente independentes (a caracter´ıstica da matriz é igual ao número de vectores, logo, de escalares a determinar).

2) Em R4_{, estudamos os vectores (1, 2, 2, 0), (1, 1, 3, 1) e (0, 2, −2, −2) quanto `}_a

(38)

equa¸c˜oes            α1+ α2 = 0 2α1+ α2+ 2α3 = 0 2α1+ 3α2 − 2α3 = 0 α2 − 2α3 = 0 .       1 1 0 2 1 2 2 3 −2 0 1 −2       L0₂=L2−2L1 −−−−−−−→ L0 3=L3−2L1       1 1 0 0 −1 2 0 1 −2 0 1 −2       L0₄=L4+L2 −−−−−−→ L0 3=L3+L2       1 1 0 0 −1 2 0 0 0 0 0 0       ,

donde, os vectores são linearmente dependentes (a caracter´ıstica da matriz é menor que o número de vectores, logo, de escalares a determinar).

Proposi¸c˜_{ao 3.2.1 Seja E um espa¸co vectorial sobre F. Ent˜ao:} (i) O vector nulo, −→0 , ´e linearmente dependente.

(ii) Se −→_{v ∈ E,} −→v ´e linearmente independente se e s´o se −→v 6=−→0 .

(iii) Os vectores −→v 1, −→v2, . . . , −→v k (k ≥ 2) s˜ao linearmente dependentes se e s´o se

algum deles ´e combina¸c˜ao linear dos restantes.

Em particular, 2 vectores −→v1, −→v2 s˜ao linearmente dependentes se e s´o se um deles

´

e combina¸cão linear do outro (e, consequentemente, são linearmente independentes se e só se nenhum deles é combina¸cão linear do outro).

(iv) Se os vectores −→v 1, −→v 2, . . . , −→vns˜ao linearmente independentes ent˜ao −→v1, −→v2, . . . , −→v n, −→x

são linearmente dependentes se e só se −→x é combina¸cão linear de −→v 1, −→v2, . . . , −→v n.

(v) Se os vectores do conjunto {−→v 1, −→v 2, . . . , −→vn} s˜ao linearmente independentes

ent˜ao os vectores de qualquer seu subconjunto s˜ao linearmente independentes.

(vi) Se os vectores da sequˆencia s = (−→v 1, −→v 2, . . . , −→vn) s˜ao linearmente dependentes

então os vectores de qualquer sequência que contenha s são linearmente dependentes. (vii) Os vectores −→v1, −→v2, . . . , −→vi, . . . , −→v n são linearmente independentes se e só se

∀α 6= 0 −→v 1, −→v2, . . . , α−→vi, . . . , −→vn s˜ao linearmente independentes.

(viii) Os vectores −→v 1, −→v 2, . . . , −→vi, . . . , −→v j, . . . , −→vn s˜ao linearmente independentes se

e s´o se −→v1, −→v2, . . . , −→vi, . . . , −→v i+ −→vj, . . . , −→vn s˜ao linearmente independentes.

Demonstra¸c˜ao de algumas das afirma¸c˜oes

(i) 1 6= 0 e 1−→0 =−→0 , o que prova que −→0 ´e linearmente dependente.

(ii) Seja −→_{v ∈ E. Atendendo a (i), tudo o que há a mostrar é que se} −→v 6=−→0 , −→v é linearmente independente.

(39)

Suponhamos que −→v 6= −→0 , α−→v = −→0 e que, com vista a um absurdo, α 6= 0. Ent˜ao α−1(α−→v ) = α−1−→0 ⇔ (α−1α)−→v = −→0 ⇔ −→v =−→0 , o que contradiz a hip´otese.

(iii) (⇒) Suponhamos que −→v1, −→v2, . . . , −→v k(k ≥ 2) s˜ao linearmente dependentes. Por

defini¸c˜ao, ∃β1, β2, . . . , βk ∈ F n˜ao todos nulos tais que

β1−→v 1+ β2→−v2+ . . . + βk−→v k=

− →

0 . Sem perda de generalidade, suponhamos que β1 6= 0. Ent˜ao,

β1−→v1 = −β2−→v 2− . . . − βk−→v k⇔ −→v1 = −β2β1−1−→v 2− . . . − βkβ1−1−→v k,

donde, −→v 1 ´e combina¸c˜ao linear dos restantes vectores.

(⇐) Por hipótese, um dos vectores dados é combina¸cão linear dos restantes. Sem perda de generalidade, −→v 1 = α2−→v2 + . . . + αk−→v k ⇔ 1−→v 1− α2−→v 2− . . . − αk−→v k =

− →

0 , ou seja, os vectores s˜ao linearmente dependentes.

(vii) (⇒) α1−→v 1+ α2−→v2 + . . . + αi(α−→v i) + . . . + αn−→v n= − → 0 ⇒ α1−→v1+ α2−→v2+ . . . + (αiα)−→vi+ . . . + αn−→v n= − → 0 ⇒ (−→v1, . . . , −→v i, . . . , −→vnl.i.) α1 = α2 = · · · = ααi = · · · = αn = 0 ⇒ (α 6= 0) α1 = α2 = · · · = αi = · · · = αn = 0. (⇐) α1−→v 1+ α2−→v 2+ . . . + αi−→vi+ . . . + αn−→v n= − → 0 ⇒ α1−→v1+ α2−→v2+ . . . + αi(α−1α)−→vi + . . . + αn−→v n= − → 0 ⇒ α1−→v1+ α2−→v2+ . . . + (αiα−1)(α−→vi) + . . . + αn−→v n= − → 0 ⇒ (−→v1, . . . , α−→v i, . . . , −→vn l.i.) α1 = α2 = · · · = αiα−1 = · · · = αn = 0 ⇒ (α−1 6= 0) α1 = α2 = · · · = αi = · · · = αn = 0.

3.2.1 Caracter´ıstica de uma Matriz

Seja A uma matriz do tipo m × n com entradas num corpo F. Cada uma das m linhas de A identifica-se com um vector de Fn e cada uma das n colunas de A identifica-se com um vector de Fm.

Por exemplo, dada a matriz real    1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6  

, as suas linhas identificam-se com os vectores (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) de R4 _{e as suas colunas com os vectores}

(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) de R3_.

Todos os resultados enunciados àcerca da dependência e independência lineares de vectores são, por isso, aplicáveis às linhas e às colunas de A.

(40)

Atendendo à Proposi¸cão 3.2.1, efectuar opera¸cões elementares sobre as linhas (resp.: colunas) de A não altera a dependência/independência linear das linhas (resp.: colunas) da matriz.

Tendo em conta que:

(i) A pode ser transformada numa matriz com linhas em escada, U , efectuando opera¸c˜oes elementares sobre as suas linhas (como foi visto no Captulo 1),

(ii) são linearmente independentes as linhas de A correspondentes às linhas não nulas de U ,

(iii) s˜ao linearmente independentes as colunas de A correspondentes `as colunas com pivots de U ,

a caracter´ıstica de A, número de linhas não nulas de U , coincide com o número máximo de linhas linearmente independentes de A e com o número máximo de colunas linearmente independentes de A.

3.3 Subespa¸

cos vectoriais

Defini¸c˜_{ao 35 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E}1 um subconjunto n˜ao vazio

de E. Diz-se que E1 ´e um subespa¸co vectorial de E, e escreve-se E1 ≤ E, se E1 ´e um

espa¸_{co vectorial sobre F com as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar definidas} em E.

Proposi¸cão 3.3.1 (Critério de Subespa¸_{co) Sejam E um espa¸co vectorial sobre} F e E1 um subconjunto de E. E1 é um subespa¸co vectorial de E se e só se:

(i) E1 6= ∅

(ii) ∀−→x , −→_{y ∈ E}1, −→x + −→y ∈ E1

(iii) ∀α ∈ F, ∀−→x ∈ E1, α−→x ∈ E1.

Proposi¸c˜_{ao 3.3.2 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E}1 um subespa¸co vectorial

de E. Ent˜ao: a) −→_{0 ∈ E}1

b) −→_{x ∈ E}1 ⇒ −−→x ∈ E1

c) −→x , −→_{y ∈ E}1 ⇒ −→x − −→y ∈ E1.

(41)

Demonstra¸c˜ao

Como E1 6= ∅, seja −→x ∈ E1. Dado que F ´e um corpo, 0 ∈ F e −1 ∈ F, logo, pela

condi¸c˜ao (iii) do Crit´erio de Subespa¸co, 0−→x =−→_{0 ∈ E}1 e (−1)−→x = −−→x ∈ E1.

Por último, se −→x , −→_{y ∈ E}1, por b), −−→y ∈ E1 e, pela condi¸cão (ii) do Critério de

Subespa¸co, −→x + (−−→y ) = −→x − −→_{y ∈ E}1.

Observa¸c˜ao

Atendendo à proposi¸cão anterior, a condi¸cão (i) do Critério de Subespa¸co pode ser substituida pela condi¸cão (i’): −→_{0 ∈ E}1.

Proposi¸c˜_{ao 3.3.3 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E}1 um subconjunto de E.

E1 ´e um subespa¸co vectorial de E se e s´o se:

(i) −→_{0 ∈ E}1

(ii) ∀α, β ∈ F, ∀−→x , −→_{y ∈ E}1, α−→x + β−→y ∈ E1.

Exemplos

1 — Se E ´e um espa¸co vectorial, E1 = {

− →

0 } e E1 = E s˜ao subespa¸cos vectoriais de E,

designados por subespa¸cos triviais.

2 — Em R2, E1 = {(0, 0)} e E1 = R2 são os subespa¸cos triviais. É um subespa¸co não

trivial qualquer recta que passe na origem. Com efeito, se a) E1 é uma recta não vertical que passa na origem então

E1 = {(x, y) ∈ R2 : y = mx} = {(x, mx) : x ∈ R}.

Usamos o Critério de Subespa¸co, enunciado na proposi¸cão 3.3.1, para mostrar que E1 é um subespa¸co vectorial de R2.

(i) Como x ´_{e livre, tomando x = 0, y = mx = m0 = 0, logo, (0, 0) ∈ E}1;

(ii) Sejam (x1, mx1), (x2, mx2) ∈ E1

(x1, mx1) + (x2, mx2) = (x1 + x2, mx1 + mx2) = (x1+ x2, m(x1+ x2)) ∈ E1;

(iii) Sejam (x, mx) ∈ E1 e α ∈ R

α(x, mx) = (αx, α(mx)) = (αx, m(αx)) ∈ E1.

b) E1 é a (única) recta vertical que passa na origem então

E1 = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} = {(0, y) : y ∈ R}.

(i) Como y ´_{e livre, tomando y = 0, conclui-se que (0, 0) ∈ E}1;

(ii) Sejam (0, y1), (0, y2) ∈ E1

(42)

(iii) Sejam (0, y) ∈ E1 e α ∈ R

α(0, y) = (α0, αy) = (0, αy) ∈ E1.

3 — Em R3_{, E}

1 = {(0, 0, 0)} e E1 = R3 s˜ao os subespa¸cos triviais. Os subespa¸cos n˜ao

triviais s˜ao qualquer recta que passe na origem e qualquer plano que passe na origem, isto ´e, qualquer subconjunto da forma

E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : a1x + b1y + c1z = 0 ∧ a2x + b2y + c2z = 0} (recta que passa na

origem) ou

E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0} (plano que passa na origem).

Verificamos que E1 = {(x, y, z) ∈ R3 : ax + by + cz = 0} ´e um subespa¸co vectorial de

R3, quaisquer que sejam a, b, c ∈ R. (i) (0, 0, 0) ∈ E1 pois a0 + b0 + c0 = 0;

(ii) Sejam (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ E1 ⇒ ax1+ by1+ cz1 = 0 e ax2+ by2+ cz2 = 0

(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) e a(x1+x2)+b(y1+y2)+c(z1+z2) =

(ax1+ ax2) + (by1+ by2) + (cz1+ cz2) = (ax1+ by1+ cz1) + (ax2+ by2+ cz2) = 0 + 0 = 0

⇒ (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) ∈ E1;

(iii) Sejam (x, y, z) ∈ E1 e α ∈ R ⇒ ax + by + cz = 0

α(x, y, z) = (αx, αy, αz) e a(αx) + b(αy) + c(αz) = α(ax + by + cz) = α0 = 0, logo, α(x, y, z) ∈ E1. 4 — J´_{a os subconjuntos de R}3 a) H1 = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 1}, b) H2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ Q}, c) H3 = {(x, y, z) ∈ R3 : |z| ≤ 1}, d) H4 = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ y}, e) H5 = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0 ou z = 0}, n˜ao s˜_{ao subespa¸cos vectoriais de R}3. Com efeito, a) (0, 0, 0) /_{∈ H}1 (ver Prop. 3.3.2), b) α =√_{2 ∈ R, (1, 0, 0) ∈ H}2 e √

2(1, 0, 0) = (√2, 0, 0) /_{∈ H}2 (falha condi¸c˜ao (iii) da

Prop.3.3.1),

c) α = 7 ∈ R, (1, 1, 1) ∈ H3 e 7(1, 1, 1) = (7, 7, 7) /∈ H3 (falha condi¸c˜ao (iii) da

Prop.3.3.1. Observe-se que tamb´em falha a condi¸c˜ao (ii)),

d) α = −1 ∈ R, (2, 1, 0) ∈ H4 e (−1)(2, 1, 0) = (−2, −1, 0) /∈ H4 (falha condi¸c˜ao (iii)

da Prop.3.3.1),

(43)

e) (0, 0, 1) ∈ H5, (0, 1, 0) ∈ H5 e (0, 0, 1) + (0, 1, 0) = (0, 1, 1) /∈ H5 (falha condi¸c˜ao

(ii) da Prop.3.3.1).

Proposi¸c˜_{ao 3.3.4 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e E}1, E2 subespa¸cos

vecto-riais de E. Então: a) E1∩ E2 é um subespa¸co vectorial de E; b) E1+ E2 = { − → f + −→g : −→_{f ∈ E}1, −→g ∈ E2} é um subespa¸co vectorial de E;

c) E1∪ E2 ´e um subespa¸co vectorial de E se e s´o se E1 ⊆ E2 ou E2 ⊆ E1.

Demonstra¸c˜ao a) (Usamos a Proposi¸c˜ao 3.3.3) (i) −→_{0 ∈ E}1 e − → 0 ∈ E2, donde, − → 0 ∈ E1∩ E2; (ii) Sejam −→x , −→_{y ∈ E}1∩ E2 e α, β ∈ F.

Por defini¸cão de interseçcão, −→x , −→_{y ∈ E}1 e −→x , −→y ∈ E2.

Logo, α−→x + β−→_{y ∈ E}1 e α−→x + β−→y ∈ E2 ⇒ α−→x + β−→y ∈ E1∩ E2.

b) Fica ao cuidado do leitor efectuar a prova (muito simples), usando a Prop. 3.3.1 ou a Prop. 3.3.3.

c) (⇐) Trivial, j´_{a que, se E}1 ⊆ E2, E1∪ E2 = E2 e se E2 ⊆ E1, E1∪ E2 = E1.

(⇒) Suponhamos que E1∪ E2 ´e um subespa¸co vectorial de E e que (com vista a um

absurdo) E1 * E2 e E2 * E1.

Ent˜ao, ∃−→e1 ∈ E1 tal que −→e1 ∈ E/ 2 e ∃−→e2 ∈ E2 tal que −→e2 ∈ E/ 1.

Como E1 ⊆ E1∪E2 e E2 ⊆ E1∪E2, −→e1, −→e2 ∈ E1∪E2 ⇒(E1∪E2 ≤ E)−→e1+−→e2 ∈ E1∪E2

⇒ (por defini¸c˜ao de uni˜ao de conjuntos) −→e1+ −→e2 ∈ E1 ou −→e1+ −→e2 ∈ E2.

Se −→e 1+ −→e2 ∈ E1, como −→e1 ∈ E1, −−→e1 ∈ E1, donde, (−−→e1) + (−→e1+ −→e2) = −→e2 ∈ E1,

o que contradiz a hip´otese.

Se −→e1+ −→e2 ∈ E2 conclui-se, de forma an´aloga, que −→e1 ∈ E2, ou seja, um absurdo.

3.3.1 Subespa¸

co gerado

Proposi¸c˜_{ao 3.3.5 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F e} −→v 1, −→v 2, . . . , −→v n vectores

de E. Ent˜ao o conjunto G = {λ1−→v 1+ λ2−→v 2 + . . . + λn−→vn : λ1, λ2, . . . , λn ∈ F} ´e um

subespa¸_{co vectorial de E, designado por subespa¸}co gerado por −→v1, −→v2, . . . , −→v n.

(44)

(i) Pondo λ1 = λ2 = . . . = λn= 0, tem-se 0−→v1 + 0−→v 2+ . . . + 0−→v n=

− →

0 ∈ G; (ii) Sejam −→x , −→_{y ∈ G e α, β ∈ F.}

Ent˜ao, ∃λ1, λ2, . . . , λn, γ1, γ2, . . . , γn∈ F tais que −→x = λ1−→v 1+ λ2−→v2+ . . . + λn−→vn e

− →_{y = γ} 1−→v 1+ γ2−→v 2+ . . . + γn−→v n. Tem-se, α−→x +β−→y = α(λ1−→v1+λ2−→v 2+. . . +λn−→v n) +β(γ1−→v 1+γ2→−v 2+. . . +γn−→v n) = (αλ1+ βγ1)−→v 1+ (αλ2+ βγ2)−→v 2+ . . . + (αλn+ βγn)−→vn ∈ G. Nota¸c˜ao

O subespa¸co gerado por −→v 1, −→v2, . . . , −→v n denota-se por < −→v1, −→v2, . . . , −→v n > ou

L(−→v 1, −→v 2, . . . , −→v n).

Exemplos

1 — Em R3_{, determinamos o subespa¸co gerado por (1, 1, 1), (1, 0, 1).}

(x, y, z) ∈< (1, 1, 1), (1, 0, 1) > sse (x, y, z) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 0, 1) sse    1 1 x 1 0 y 1 1 z    ´

e a matriz ampliada de um sistema linear poss´ıvel.    1 1 x 1 0 y 1 1 z    L0 2=L2−L1 −−−−−−→ L03=L3−L1    1 1 x 0 −1 y − x 0 0 z − x    O sistema ´e poss´ıvel sse z − x = 0, pelo que,

< (1, 1, 1), (1, 0, 1) >= {(x, y, z) ∈ R3 : z = x} (um plano de R3). 2 — Em R4_{, determinamos o subespa¸co gerado por (1, −1, 0, 2), (0, 1, 2, 3).}

(x, y, z, w) ∈< (1, −1, 0, 2), (0, 1, 2, 3) > sse (x, y, z, w) = α1(1, −1, 0, 2) + α2(0, 1, 2, 3) sse       1 0 x −1 1 y 0 2 z 2 3 w       ´

e a matriz ampliada de um sistema linear poss´ıvel.       1 0 x −1 1 y 0 2 z 2 3 w       L0 2=L2+L1 −−−−−−−→ L0₄=L4−2L1       1 0 x 0 1 y + x 0 2 z 0 3 w − 2x       L0 3=L3−L2 −−−−−−−→ L0₄=L4−3L2       1 0 x 0 1 y + x 0 0 z − 2x − 2y 0 0 (w − 2x) + (−3x − 3y)       40

(45)

O sistema ´e poss´ıvel sse z − 2x − 2y = 0 e w − 5x − 3y = 0, pelo que,

< (1, −1, 0, 2), (0, 1, 2, 3) >= {(x, y, z, w) ∈ R4 : z = 2x + 2y e w = 5x + 3y}. 3 — Em R3_{, determinamos o subespa¸co gerado por (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0).}

(x, y, z) ∈< (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) > sse (x, y, z) = α1(1, 1, 1)+α2(1, 0, 1)+α3(1, 2, 0) sse    1 1 1 x 1 0 2 y 1 1 0 z    ´

e a matriz ampliada de um sistema linear poss´ıvel.    1 1 1 x 1 0 2 y 1 1 0 z    L02=L2−L1 −−−−−−→ L0 3=L3−L1    1 1 1 x 0 −1 1 y − x 0 0 −1 z − x   

O sistema ´e sempre poss´ıvel, quaisquer que sejam os valores reais de x, y, z. Logo, < (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) >= R3.

3.4 Base e dimens˜

ao

Defini¸c˜_{ao 36 Seja E um espa¸co vectorial sobre F. Diz-se que os vectores}−→u1, −→u2, . . . , −→up ∈

E geram o (s˜ao geradores do) espa¸co, e escreve-se E =< −→u1, −→u2, . . . , −→up >, se

qualquer vector de E se pode escrever como combina¸c˜ao linear de −→u1, −→u2, . . . , −→up.

Defini¸c˜ao 37 Um espa¸_{co vectorial E diz-se finitamente gerado se existe um n´umero} finito de vectores −→u1, −→u2, . . . , −→up ∈ E tais que E =<−→u1, −→u2, . . . , −→up >.

Exemplo

Do que vimos no exemplo anterior, R3 ´e finitamente gerado, j´a que R3 =< (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) > .

Mais geralmente, para qualquer n ∈ N,

Rn=< (1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1) >, pelo que Rn _´_{e finitamente gerado.}

(46)

Defini¸c˜_{ao 38 Seja E um espa¸co vectorial finitamente gerado.} Diz-se o conjunto B = {−→e1, −→e2, . . . , −→en} ⊆ E ´e uma base de E se:

(i) B ´e um conjunto de vectores linearmente independentes;

(ii) B ´_{e um conjunto de geradores de E, ou seja, E =<} −→e1, −→e2, . . . , −→en>.

Proposi¸c˜ao 3.4.1 Todo o espa¸co vectorial finitamente gerado tem uma base. Observa¸c˜oes

1 — O espa¸co nulo, E = {−→0 }, é finitamente gerado, uma vez que {−→0 } =< −→0 >, mas não possui vectores linearmente independentes. Por isso, convenciona-se que a sua base é o conjunto vazio, ∅.

2 — Se se atribuir uma certa ordem aos vectores da base B, diz-se que B ´e uma base ordenada de E, e escreve-se B = (−→e1, −→e2, . . . , −→e n).

3 — Qualquer subespa¸co vectorial de um espa¸co finitamente gerado ´e um espa¸co finitamente gerado, logo, tem uma base.

Proposi¸cão 3.4.2 Duas quaisquer bases de um mesmo espa¸co vectorial têm o mesmo número de vectores.

Defini¸c˜ao 39 Chama-se dimens˜ao de um espa¸_{co vectorial E, e denota-se por dim(E),} ao n´_{umero de vectores de uma base qualquer de E.}

Um espa¸co finitamente gerado diz-se de dimensão finita, enquanto que um espa¸co que não seja finitamente gerado tem dimensão infinita.

Proposi¸c˜_{ao 3.4.3 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F de dimens˜ao n e B =} (−→e1, −→e2, . . . , −→en) uma base de E. Ent˜ao, qualquer vector −→x ∈ E escreve-se de forma

´

unica como combina¸c˜ao linear dos vectores de B, ou seja, existem escalares ´unicos a1, a2, . . . , an∈ F tais que −→x = a1−→e1+ a2−→e2+ . . . + an−→en.

Demonstra¸c˜ao

Suponhamos que −→x = a1−→e 1+a2−→e2+. . .+an−→ene que −→x = b1−→e1+b2→−e2+. . .+bn−→en.

Ent˜ao, a1−→e1+ a2−→e2+ . . . + an−→en = b1−→e1+ b2−→e2+ . . . + bn−→en ⇒

⇒ (a1− b1)−→e1+ (a2− b2)−→e2+ . . . + (an− bn)−→en =

− →

0 ⇒ (os vectores de B s˜ao linearmente independentes)

a1− b1 = a2− b2 = . . . = an− bn = 0 ⇒ a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn.

Defini¸c˜_{ao 40 Sejam E um espa¸co vectorial sobre F de dimens˜ao n,} −→_{x ∈ E e} B = (−→e1, −→e2, . . . , −→en) uma base (ordenada) de E. Os escalares ´unicos a1, a2, . . . , an ∈ F

(47)

tais que −→x = a1−→e1+ a2→−e2+ . . . + an−→en designam-se por coordenadas de −→x na base

B e escreve-se −→x = (a1, a2, . . . , an)B para o traduzir.

Exemplo

Em R3, j´a vimos que os vectores (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) geram o espa¸co. E s˜ao linearmente independentes porque

   1 1 1 1 0 2 1 1 0    L02=L2−L1 −−−−−−→ L0₃=L3−L1    1 1 1 0 −1 1 0 0 −1   , tem caracter´ıstica 3.

Por isso, B = ((1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0)) ´_{e uma base de R}3.

Tem-se (1, 1, 1) = (1, 0, 0)B, (1, 0, 1) = (0, 1, 0)B, (1, 2, 0) = (0, 0, 1)B,

(3, 3, 2) = (1, 1, 1)B, (x, y, z) = (−2x + y + 2z, 2x − y − z, x − z)B.

Proposi¸c˜_{ao 3.4.4 Seja E um espa¸co vectorial de dimens˜ao n. Ent˜ao:}

(I) Quaisquer n vectores linearmente independentes de E formam uma base de E. (II) Quaisquer n geradores de E formam uma base de E.

(III) Qualquer sistema com mais de n vectores ´e sempre linearmente dependente. (IV) Se E1 ≤ E, 0 ≤ dim(E1) ≤ n, tendo-se:

dim(E1) = 0 ⇔ E1 = {

− →

0 } e dim(E1) = n ⇔ E1 = E.

Observa¸c˜ao

Num espa¸co vectorial de dimensão n, n é o número máximo de vectores linearmente independentes e o número m´ınimo de geradores do espa¸co.

Exemplos de bases Prova-se facilmente que:

a) Bc = ((1, 0), (0, 1)) ´e uma base de R2— a base can´onica de R2. Logo, dim(R2) = 2.

Tendo em conta que (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), (x, y) = (x, y)Bc.

b) Seja n ∈ N. Bc = ((1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)) ´e uma base de Rn —

a base can´_{onica de R}n_{. Logo, dim(R}n_{) = n.}

Tendo em conta que (x1, x2, . . . , xn) = x1(1, 0, . . . , 0)+x2(0, 1, . . . , 0)+. . .+xn(0, 0, . . . , 1),

(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2, . . . , xn)Bc.

c1) Bc = ((1, 0), (0, 1)) ´e uma base de C2 como espa¸co vectorial complexo — a base

can´_{onica de C}2 _{sobre C. Logo, dim(C}2 C) = 2.