Quest˜ao 1

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UFPE – ´AREA II – 2017.1 – Prof. Fernando J. O. Souza MA129 (c´alculo diferencial e integral 4) – turma q3

SIMULADO DA 1^a UNIDADE v. 1.0 – QUEST ˜OES

Orienta¸cão: Distribuir a resolu¸cão das questões em setesessões de 120 minutos cada, sem interrup¸cão nem distra¸cões. Dar solu¸cões leg´ıveis e justificadas, escre- vendo os passos, detalhes e propriedades relevantes. Só ler o gabarito depois.

Para cada item das questões 1 e 2, encontrar a solu¸cãocompleta se o item só apresentar a EDO, e resolver o PVI (dando todas as solu¸cões maximais) se o item contiver condi¸cões iniciais. Em todos, y é a fun¸cão (detou x, conforme o caso).

Questão 1. Apresentar solu¸cões expl´ıcitasnesta questão.

1.a. y^′′= 2 sec²(t) tan (t) 1.b. (1 +e^x)y y^′=e^x; y(0) = 1

1.c. dy

dx = x²+y²

xy ; y(1) =−2 1.d. dy

dt +y

t =−t y²

1.e. d²y dx² = 2x

dy

dx 2

; y(0) = 4, y^′(0) =−1

1.f. xdy

dx =y(1 + ln (y)−ln (x)) 1.g. tdy

dt +y=−t²y²; y(1) =−1/3 1.h. Calcular o intervalo aberto contendo t₀ = 1 no qual a solu¸c˜ao maximal do PVI do Item 1.g est´a definida.

1.i. dy

dx =e^2x+y−1 1.j. d²y dt² = 1

t², t >0; y(1) = 0, y^′(1) = 1

1.k. d²y dt² = 1

t², t <0; y(−1) = 0, y^′(−1) =−2 1.l. tdy

dt +y= cos(t), t >0

1.m. dy

dx+e^x =e^(x−y) Dica para o Item 1.m: Usar a substitui¸c˜ao v=e^y.

1.n. x² dy

dx+ 2xy−y³ = 0, x >0 1.o. dy

dt =−y ln (y). Obs. y >0

1.p. dy

dx =x²e⁻^2y; y(2) = 0 1.q. dy dx = y

x +e⁻^y/x, x <0

1.r. dy

dx = (y+x−19)² Dica para o Item 1.r: Usar v=y+x−19.

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1.s. dy dt = y²

t ; y(1) = −12. Dar o intervalo de defini¸c˜ao da solu¸c˜ao maximal.

Questão 2. As solu¸cões podem ser dadas numa forma impl´ıcita nesta questão.

2.a. y dx+ (2xy−e^−2y)dy= 0 2.b. (y²+ 1)dy dx = y

x, x >0; y(1) = 1 2.c. x²+y²+x

dx+xy dy= 0 2.d. x⁴y²−y

dx+ x²y⁴−x dy = 0

2.e. dy dx = −

3x²y+y²

2x³+ 3xy 2.f. (2x−y)dx+ (4x+y−3)dy = 0 2.g. e^x(1 +x)dx+ (y e^y−x e^x)dy = 0 2.h. 3x²y dx− x³+ 2y⁴

dy = 0

2.i. dy

dx = xy

x²+y²; y(1) =−1 2.j. x³y−2y²

dx+x⁴dy = 0.

Dica para o Item 2.j¹: Usar um fator integrante da forma µ(x, y) = x^ay^b, calculando n´umeros inteirosae b apropriados.

2.k. (4x²y+ 2xy²)dx+ (3xy−2x³)dy = 0 2.l. (xy+ 4)dx+x²dy = 0

2.m. dy

dx = (y−3)(y−5)(y−8) 2.n. x²y³dx+ (x+xy²)dy = 0 2.o. Resolver a EDO (3xy +y²)dx+ (x² +xy)dy = 0 duas vezes: por fator integrante; e como EDO homogˆenea;

2.p. y dx+ (x²+y²−x)dy = 0 com fator integrante da formaµ(x, y) =h(x²+y²).

Quest˜ao 3. Consideremos o PVI: (x²−1)dy

dx = 2y; y(a) =b.

3.a. Para quais pontos (a, b) do plano (R²) o teorema de existência e unicidade estudado garante a existência de solu¸cão local única para o PVI?

3.b. Dar, explicitamente, todas as solu¸cões maximais para o PVI com condi¸cão inicial y(1) = 0, ou seja, solu¸cões maximais cujos gráficos passam pelo ponto (a, b) = (1,0).

1A dica também funciona para alguns outros itens. Pratique! Que condi¸cões no diferencial você antevê para valer a pena tentar esta abordagem?

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Quest˜ao 4. Consideremos a EDO abaixo, observando que ela est´a restrita aos pontos de R² no semiplano y >0:

dy

dx = 3y ln

2

y

4.a. Encontrar a solu¸c˜ao completa expl´ıcita desta EDO;

4.b. O que o teorema de existˆencia e unicidade de solu¸c˜oes estudado diz a respeito dela?

Quest˜ao 5. A EDO dy

dx =y(3−y) possui alguma solu¸c˜ao global que muda de sinal²? Em caso afirmativo, dar tal solu¸c˜ao explicitamente. Em caso negativo, dar uma justificativa completa.

2Ex.: Uma solu¸cão cujo valor é positivo num valor dex, e negativo noutro; ou uma solu¸cão que tem raiz (ou seja, sinal zero) num valor de xmas não é a solu¸cão nula (ou seja, em algum outro valor de x, o valor da solu¸cão é positivo ou negativo).

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