Linguagem matematica

Linguagens Matemática

Luciana Borges Goecking

Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas

Conceito de Proposição

Definição: Uma proposição é uma sentença declarativa que

expressa um pensamento de sentido completo e a qual

podemos atribuir um valor de juízo, ou seja, é possível dizer se a proposição é verdadeira ou falsa.

O fato de sempre conseguirmos afirmar se determinada proposição é verdadeira ou falsa, é o que a distingue das perguntas, ordens e exclamações. Só as proposições podem ser afirmadas ou negadas.

Uma pergunta pode ser respondida, uma ordem dada e uma exclamação proferida, mas nenhuma delas pode ser afirmada ou negada, nem é possível julgá-las como verdadeira ou falsas.

Exemplos de Proposições

1 _{2 é um número natural;}

2 _{Buenos Aires é a capital do Brasil.} 3 _{por dois pontos passa uma única reta;}

4 _{a soma de dois números pares é um número par;} 5

√

Nem todas as sentenças determinam uma proposição. Por exemplo:

1 _{Onde é que você vai?} 2 _{O céu é rico!}

3 _{Como você está hoje?} 4 _{Por favor, abra a porta.} 5 _{3x + 2 = 6}

Observe que não podemos dizer se as sentenças acima são verdadeiras ou falsas.

Sentença × Proposição

Duas sentenças podem ser distintas e ter o mesmo significado, no mesmo contexto, e expressar a mesma proposição.

Por exemplo: João ama Inês.

Inês é amada por João.

As duas sentenças têm o mesmo significado. Costuma-se usar a palavra "proposição" para designar o significado de uma

Observem que nem todas as sentenças determinam uma proposição, mas somente as sentenças declarativas, pois somente elas expressam significados os quais podemos dizer se são verdadeiros ou falsos.

Uma Proposição é uma sentença declarativa, na qual são válidos os seguintes princípios:

1 _Oprincípio da identidade garante que uma proposição é

igual a si mesma;

2 _{Princípio da não-contradição: Uma proposição não}

pode ser verdadeira e falsa

3 _{Princípio do terceiro excluído: Uma proposição ou é}

Valor lógico

Chama-sevalor verdade ou valor lógico a verdade (V) se a

proposição for verdadeira e a falsidade (F) se a proposição for falsa.

Obs: Em muitos casos, não é necessário saber se a

proposição é verdadeira ou falsa, mas saber que assume um e apenas umvalor lógico.

Algumas proposições podem ter seu valor lógico determinado imediatamente; para outras é necessário um pequeno esforço e, em alguns casos, pode ser impossível tal conclusão.

Vamos analisar os valor lógico de cada uma das seguintes proposições:

1 _{2 + 1 = 5.}

2 _{O centésimo quinto dígito na expansão decimal de}

√ 3 é 7.

3 _{A lua é feita de queijo branco azulado.}

1 _{Existem infinitos pontos.}

2 _{Em todo triângulo, as alturas relativas aos lados se}

encontram em um mesmo ponto.

3 _{Por dois pontos, passa uma única reta.}

4 _{A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo}

As sentenças seguintes não são proposições:

1 Mas será o Benedito? 2 _{Onde você mora?} 3 _{x > 2.}

Proposiçõs Simples

Uma proposição é ditaproposição simples se não pode ser

decomposta em proposições mais simples. Exemplo. João é professor

As proposições simples serão denotadas pelas letras minúsculasp, q, r e outras.

Proposições Compostas

Uma proposição é dita composta se possui como componente duas ou mais proposições conectadas por uma ligação que não é verbo.

As proposições compostas serão denotadas pelas letras maiúsculasP, Q, R e outras.

Exemplo

P. 2 + 1 = 5 e o centésimo quinto dígito da expansão decimal de√3 é 7.

Na decomposição de uma proposição composta, obtemos outras proposições que denominaremoscomponente ou subproposição.

Existem muitas maneiras de se formar novas proposições, mas somente cinco são usadas frequentemente na matemática: a

conjunção, a disjunção, a negação, a condicional e a bicondicional.

Conjunção

Definição: Sejam p e q proposições, a conjunção das

proposições p e q, denotada por p ∧ q, é uma nova proposição que assume o valor lógico verdadeiro somente quando p e q forem verdadeiras simultaneamente.

Exemplos

1 _{p: O céu é azul}

q: O rio é de água doce.

p ∧ q: O céu é azul e o rio é de água doce.

2 _{p: 5 é um número positivo}

q: 5 é um número inteiro

Em uma proposição composta com duas componentes tal como p ∧ q, existem 2 × 2possibilidades lógicas a serem

consideradas:

1. p é verdadeira e q é verdadeira;

2. p é verdadeira e q é falsa;

3. p é falsa e q é verdadeira;

Exemplo

p: João lê q: Pedro ri.

p ∧ q: João lê e Pedro ri.

João lê Pedro ri João lê e Pedro ri

1◦ caso V V V

2◦ caso V F F

3◦ caso F V F

Tabela da Conjunção

Qual é o valor lógico da proposição "π é um número inteiro e positivo"?

Disjunção

Podemos combinar duas proposições utilizando "ou" para formar uma outra proposição.

Definição. Sejam p e q proposições, a disjunção das

proposições p e q, denotada por p ∨ q, é uma nova proposição que assume valor lógico verdadeiro quando as sentenças que a compões têm valores de verdade diferentes e é falsa no caso contrário.

Exemplo

A frase:

Ou João lê ou João brinca,

estabelece um par de alternativas que não podem ser verdadeiras nem falsas ao mesmo tempo

Tabela para todas as alternativas possíveis:

João lê João brinca João lê ou João brinca

1◦caso V V F

2◦caso V F V

3◦caso F V V

Tabela da Disjunção

Vamos analisar o valor lógico das seguintes proposições:

1 _{O céu é verde ou 2 + 2 = 5;} 2 O céu é azul ou 2 + 2 = 5; 3 _{O céu é verde ou 2 + 2 = 4;} 4 _{O céu é azul ou 2 + 2 = 4.}

Qual é o valor lógico da proposição "π é um número inteiro ou positivo"?

Negação

Se p é uma proposição qualquer, sua negação é uma outra proposição que definiremos a seguir.

Definição. Dada uma proposição p, a negação de p, denotada

por ∼ p, é uma proposição com valor lógico contrário ao valor lógico de p, isto é, se p tem valor lógico verdadeiro então ∼ p tem valor lógico falso, se p tem valor lógico falso, então ∼ p tem valor lógico verdadeiro.

Exemplos

Considere as seguintes proposições:

1 _{p: 2 + 2 = 5} 2 _{p: 3 < 5}

3 _{p: Todo número primo é ímpar} 4 p: Todas as cobras são venenosas

5 _{p: Todo ônibus faz parada em alguma cidade ao longo do}

A negação das proposições acima são:

1 ∼ p: 2 + 2 6= 5

ou

∼ p: É falso que 2 + 2 = 5.

2 _{∼ p: 3 ≥ 5}

3 ∼ p: Existe número primo que não é ímpar

4 ∼ p: Existe pelo menos uma cobra não venenosa. 5 _{∼ p: Existe ao menos um ônibus que não faz parada em}

Tabela de Negação

p ∼ p

V F

Condicional

Uma das conectivas mais importantes e mais difíceis é a

condicional. Nós a usamos para designar a relação existente

entre duas sentenças tais que, se a primeira delas é vedadeira, a segunda também o é.

Definição. Sejam p e q proposições, a condicional de p e q,

denotada por p → q, onde se lê:"se p, então q", é a

proposição que assume o valor falso somente quando p for verdadeira e q for falsa.

Exemplo

"Se José lê, então José tem dor de cabeça"

Essa sentença é denominadacondicional, porque estabelece

a condição suficiente para que José tenha dor de cabeça, a saber, o fato de que José esteja lendo.

Antecedente e Consequente

A sentença "José lê", que expressa a condição suficiente, recebe o nome deantecedente.

A sentença "José tem dor de cabeça", que expressa o resultado produzido pela condição suficiente, chama-se

A relação entre antecedente e consequente não exige, para ser verdadeira, que o antecedente seja verdadeiro. Ela pode inclusive ser verdadeira mesmo quando ambos forem falsos. Vejamos isso.

Tabela verdade

p: José lê

q: José tem dor de cabeça

p → q: Se José lê, então José tem dor de cabeça p q p → q 1◦ caso V V V 2◦ caso V F F 3◦ caso F V V 4◦ caso F F V

No primeiro caso, se José lê, seguramente ele terá dor de cabeça.

No terceiro caso, João pode estar com dor de cabeça sem ter lido.

No quarto caso, se João não estivesse lendo, seguramente ele não teria dor de cabeça.

Tabela para a Condicional

Exemplo

Avalie o valor lógico das seguintes proposições:

1 _{Se P, então dois mais dois são quatro.}

Exemplos

Vamos analisar o valor lógico das seguintes proposições:

1 _{O céu é verde, condiciona que 2 + 2 + 5,}

2 _{O céu é azul, condiciona que 2 + 2 = 5;}

3 _{O céu é verde, condiciona que 2 + 2 = 4;}

Exemplos

Determine o valor lógico de p → q:

1 _{p: O número 2 é par}

q: O número 3 é ímpar

p → q: Se o número 2 é par, então o número 3 é ímpar.

2 _{p: 3 < 5}

q: 7 > 9

p → q: Se 3 < 5, então 7 > 9.

3 _{p: -2 < -1}

A Bicondicional

Em matemática, é muito comum aparecerem expressões do

tipo"p se, e somente se, q". Essas expressões são

originadas da utilização da proposição composta que definiremos a seguir.

Definição: Sejam p e q proposições, a bicondicional de p e q

é denotada por p ↔ q onde se lê: "p se e somente se q", é a proposição que assume valor lógico verdadeiro somente quando p e q forem verdadeiras ou p e q forem falsas.

i) Consideremos a seguinte situação: O sol tem luz própria e, graças a isso, podemos dizer que ele é uma estrela. É o que expressa a frase condicional:

ii) Por outro lado, é também graças ao fato do sol ser uma estrela que podemos dizer que ele tem luz própria. O que pode ser expresso pela condicional:

Exemplo

A primeira sentença nos leva à segunda e a segunda nos leva à primeira. Assim podemos reunir as duas condicionais como se segue:

Se o sol tem luz própria, então o sol é uma estrela e

Exemplo

E resumindo essa sentença com o auxílio da expressão’se e somente se’ temos:

O sol tem luz própria se e somente se é uma estrela.

Este é um caso em que a relação condicional se dá nos dois sentidos, ou seja é umabicondicional.

Considere

p: O sol tem luz própria q: O sol é uma estrela

O sol tem luz própria O sol é uma estrela p ↔ q

V V V

V F F

F V F

Tabela para a Bicondicional

Exemplo

Analise o valor lógico das sentenças a seguir:

1 _{O céu é verde bicondiciona que 2 + 2 = 5} 2 _{O céu é azul bicondiciona que, 2 + 2 = 5} 3 _{O céu é verde bicondiciona que, 2 + 2 = 4} 4 _{O céu é azul bicondiciona que, 2 + 2 = 4}

Exercício

Traduzir as seguintes expressões para o português, de acordo com as convenções

p: a linguagem da Economia é o economês q: os economistas falam economês

1 _{p ∧ q} 2 ∼ p ∧ q 3 ∼ p∧ ∼ q 4 _{∼ (p ∧ q)} 5 _{p ↔ q} 6 _{p → q} 7 _{∼ p →∼ q} 8 ∼∼∼ p 9 _{(p∧ ∼ q) → p}

Exercícios

Levando em conta as convenções abaixo, dizer qual o valor lógico dos enunciados.

Convenções:

Tiradentes foi executado éV

Floriano foi executado éF

1) Tiradentes foi executado e Floriano foi executado.

Exercícios

3) Tiradentes não foi executado ou Floriano não foi executado 4) Não é verdade que tanto Tiradentes foi executado como Floriano foi executado.

5) Tiradentes não foi executado e Floriano não foi executado 6) Ou Tiradentes foi executado e Floriano também foi, ou Tiradentes não foi executado e Floriano também não foi. 7) Se Tiradentes foi executado e Floriano não, então ou Tiradentes foi executado ou Floriano foi.

Exercícios

8) Não é verdade que Tiradentes não foi executado e Floriano foi se e somente se Tiradentes foi executado e Floriano não foi 9) Não ocorre este caso: Tiradentes não foi executados

somente se Floriano foi executado.

10) Salvo se ou Tiradentes foi executado ou Floriano foi, Floriano não foi executado.

Tabelas-Verdade

A tabela que construímos com os conectivos ∨, ∧, →, ↔, e a negação ∼, é chamada detabela-verdade. Para entendê-la,

Exemplos

1) Vamos construir a tabela-verdade para a proposição composta P(p,q): ∼ [(∼ p) ∧ (∼ q)].

2) Vamos construir a tabela-verdade para a proposição composta P(p,q): ∼ [p ∧ (∼ q)].

3) P(p,q,r): (p → q) ∧ (q → r ).

4) Vamos construir a tabela-verdade da proposição P(p,q): ∼ [p ∧ (∼ q)]. de uma maneira diferente.

Obs: Em alguns casos, há a necessidade de parênteses, por exemplo, a proposição p ∨ q ∧ r pode ser interpretada como p ∨ (q ∧ r ) ou como (p ∨ q) ∧ r , que possuem tabelas-verdade diferentes.

Tautologia

Definição. Chama-setautologia a proposição que é sempre

verdadeira independente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Exemplos de Tautologias

1) A disjunção p ∨ ∼ p e todas as expressões desse tipo são tautologias.

p ∼ p p ∨ ∼ p

V F V

F V V

Exemplos de Tautologias

2) Seja p uma sentença qualquer, então podemos construir com ela algumas tautologias como mostra a tabela:

p p → p p ↔ p

V V V

Exemplos de Tautologias

3) Vamos avaliar se a sentença p ↔ ∼∼ p é uma tautologia. 4) O mesmo para (p ∧ q) → p.

Contradição

Definição. Chama-secontradição a proposição composta que

é sempre falsa independente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Exemplos de Contradições

1) Verifique por meio da tabela-verdade que p ∧ ∼ p é uma contradição.

2) O mesmo para ∼ (p ↔ q) ∧ (p ↔ q) 3) O mesmo para (p ∨ q) ∧ (∼ p ∧ ∼ q)

Implicação

Definição. Sejam P e Q duas proposições. Dizemos que P

implica logicamente a proposição Q, se Q for verdadeiro

sempre que P for verdadeiro. Neste caso temos uma

implicação lógica ou inferência e denotaremos P ⇒ Q, onde

se lê: ’P implica Q’ ou ’Se P então Q’ ou ’P é condição suficiente para Q’, ou ’Q é condição necessária para P’, ’P infere Q’.

Equivalência

Definição. Sejam P e Q duas proposições. Dizemos que P é

equivalente à Q se as duas tabelas-verdade forem idênticas.

Quando isso ocorre, dizemos que temos umaequivalência lógica ou bi-implicação e denotaremos P ⇐⇒ Q, onde se lê: ’

P bi-implica Q’, ou ’P se, e somente se, Q’, ou ’P se, e só se, Q’ ou ’P é equivalente a Q’, ou ’P é condição necessária e

Exemplos

1)Verifique que [(p → q) ∧ (q → r )] ⇒ (p → r ) é uma

inferência.

Obs: Aimplicação ou inferência acima é um princípio

fundamental do raciocínio lógico, chamadoLei transitiva

Obs: Existe uma diferença entre os símbolos →,↔ e ⇒, ⇐⇒. Os dois primeiros são operações lógicas aplicadas às

proposições P e Q e os dois últimos estabelecem uma relação entre as proposições P e Q.

Teorema. Sejam p, q, ... proposições quaisquer. A forma

sentencial P(p, q, ...) implica a forma sentencial Q(p, q, ... ) se, e somente se, a condicional P(p, q, ...) → Q(p, q, ...) é uma tautologia. A forma sentencial P(p, q, ...) bi-implica a forma sentencial Q(p, q, ...) se, e somente se, a bicondicional P(p, q, ...) ↔ Q(p, q, ...) é uma tautologia.

Exemplos

1) Verifique que (p → q) bi implica ∼ (p ∧ ∼ q) usando o teorema anterior.

2 Verifique que i) (p ∨ q) ∧ ∼ p ⇒ q ii) (p → q) ⇔ (∼ q →∼ p)

Teorema. Sejam p, q, r e s quatro proposições quaisquer. Então, temos: a) p ⇒ p ∨ q e q ⇒ p ∨ q b) p ∧ q ⇒ p e p ∧ q ⇒ q c) (p ∨ q) ∧ ∼ p ⇒ q d) (p → q) ∧ p ⇒ q e) (p → q)∧ ∼ q ⇒∼ p f) (p → q) ∧ (r → s) ⇒ (p ∨ r ) → (q ∨ s) g) (p → q) ∧ (r → s) ⇒ [(∼ q ∨ ∼ s) → (∼ p ∨ ∼ r )]

Teorema. Sejam p, q, proposições quaisquer e c uma contradição. Então a) (p → q) ⇔ (∼ p) ∨ q b) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p) c) (p → q) ⇔ (∼ q →∼ p) d) (p → q) ⇔ (p∧ ∼ q) → c

Teorema (Leis de Morgan). Sejam p e q duas proposições

quaisquer. Então:

a) ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p ∨ ∼ q) b) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)

Teorema. Sejam p, q e r proposições quaisquer. Então, temos: a) p ∧ q ⇔ q ∧ p e p ∨ q ⇔ q ∨ p b) p ∧ p ⇔ p e p ∨ p ⇔ p c) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r ) e (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r ) d) p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) e p ∨ (q ∧ r ) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r )

Teorema. Seja t uma tautologia, c uma contradição e p uma

proposição qualquer. Então:

a) c ⇒ p b) p ⇒ t c) p ∧ t ⇔ p d) p ∨ t ⇔ t

e) p∧ ∼ p ⇔ c f) p ∧ c ⇔ c g) p ∨ c ⇔ p h) ∼ t ⇔ c i) ∼ c ⇔ t j) p ∧ ∼ p ⇔ t.

Teorema, Sejam p, q, r proposições. a) p ⇒ p b) p ⇔ p c) Se p ⇔ q então q ⇔ p d) Se p ⇒ q e q ⇒ r então p ⇒ r e) Se p ⇔ q e q ⇔ r então p ⇔ r

Quantificadores

Existem sentenças que não há como decidir se assumem valor lógico verdadeiro ou falso. Por exemplo:

x2+2x − 5 = 0

Ele é aluno do curso de matemática Ele e ela formam um casal de namorados

Nessas sentenças, o principal elemento de decisão para os valores lógicos não está definido. Essas sentenças são denominadassentenças abertas.

A equação x + 1 = 4

não é uma proposição pois não conseguimos afirmar se ela é verdadeira ou falsa, logo é uma sentença aberta. Mas ela pode se tornar verdadeira ou falsa dependendo do valor atribuído à x.

Definimosx como uma variável livre e a sentença aberta

(aquilo que se diz sobre x) x + 1 = 4 porp(x). Os elementos

que a variável pode assumir tornando-a uma proposição, formam ouniverso de discurso, que denotaremos por U.

Observem que uma proposição aberta pode conter mais de uma variável, como no exemplo visto acima:

É possível transformar uma sentença aberta em uma proposição. Isso ocorre através da utilização do que chamamos dequantificadores.

Existem dois tipos de quantificadores: - quantificador universal

Quantificador Universal

Considere a seguinte proposição: Todos os seres humanos são mortais

Vamos identificar os seguintes elementos nessa proposição: 1) O universo de discursoU

2) O sujeito lógicox