Jogos Olímpicos de Verão - Londres 2012

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Mestrado Integrado em Engenharia Eletrot´ecnica e de Computadores

Investigac

¸˜

ao Operacional

2011.11.30 2o Mini-teste Prova com consulta

Durac¸˜ao: 1h30min

Jogos Ol´ımpicos de Ver˜

ao - Londres 2012

O Comité Ol´ımpico de Portugal celebrou recentemente 100 anos de existência. É o 13o comité ol´ımpico mais antigo no mundo e congrega o universo das estruturas desportivas portuguesas federadas e a generalidade das organiza¸cões sectoriais. Tendo em vista o sucesso da participa¸cão Portuguesa nos Jogos Ol´ımpicos de Londres 2012, foi criado o Projecto Londres 2012. Este projeto encontra-se no terceiro ano do Ciclo Ol´ımpico e conta com 108 atletas de 19 modalidades, uma das quais coletiva. Atletas de diferentes modalidades foram escolhidos segundo diversos critérios de integra¸cão e encontram-se abrangidos por uma bolsa de apoio à pre-para¸cão. As modalidades apoioadas são: Atletismo, Badminton, Canoagem, Ciclismo, Equestre, Esgrima, Ginástica, Judo, Lutas Amadoras, Nata¸cão, Remo, Taekwon-Do, Ténis, Ténis de Mesa, Tiro, Triatlo e Vela. O Comité fará todos os poss´ıveis para uma representa¸cão de excelência nos próximos Jogos.

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1.

(50%) A saúde e a seguran¸ca de todos os atletas são pontos chave na organiza¸cão dos Jogos Ol´ımpicos de 2012. De forma a apoiar os atletas que iniciam os seus treinos no pa´ıs anfitrião, o Comité Ol´ımpico de Portugal (COP) disponibilizará equipas médicas e equipas de seguran¸ca em todos os centros de treino oficiais, até à data do evento, no próximo verão. Para o efeito, o COP contratou as empresas britânicas CareUs e ProtectUs, e necessita agora de definir o número de equipas a mobilizar no primeiro trimestre do ano de 2012.

A equipa de investiga¸cão operacional do COP (IOCOP) analisou todas as restri¸cões e definiu já o modelo de Programa¸cão Inteira para este problema, apresentado em seguida. Neste modelo, x1 e x2

são variáveis de decisão e representam, respetivamente, o número de equipas médicas e o número de equipas de seguran¸ca a mobilizar.

M in Z = 14x1+ 10x2 suj. a: 20x1+ 6x2 ≤ 182 30x1+ 15x2 ≥ 250 x2 ≥ 7 x1, x2 ≥ 0 e inteiras

Definido o modelo, a IOCOP debru¸ca-se agora sobre a resolu¸c˜ao do mesmo, e vˆe duas alternativas poss´ıveis:

• Alternativa 1 - Resolver uma relaxa¸cão linear do modelo pelo método gráfico, e posteriormente arredondar as variáveis de forma a obter uma solu¸cão inteira;

• Alternativa 2 - Resolver o problema original pelo m´etodo de “Branch-and-Bound”.

(a) Obtenha a solu¸cão para o problema através da Alternativa 1. Deve apresentar um gráfico claro de forma a ser poss´ıvel identificar:

i) Restri¸cões do problema e região admiss´ıvel; ii) Solu¸cão ótima;

iii) Isolinha da fun¸cão objetivo na solu¸cão ótima.

(b) A IOCOP optou pela resolu¸cão do problema pelo método de “Branch-and-Bound”, tendo obtido os resultados presentes na Tabela 1 para os vários sub-problemas que resolveu. Reconstrua a ´

arvore de sub-problemas, indicando em cada um dos ramos qual a restri¸c˜ao adicionada. Tabela 1: Sub-problemas resultantes do “Branch-and-Bound”

A B C D E F G

Z 143,2 143 149 137,2 SSA 146 140

x1 3,8 4 3 4,8 - 4 5

x2 9 8,7 10,7 7 - 9 7

(c) Suponha que em alternativa à estratégia de ramifica¸cão utilizada, a IOCOP tinha optado por uma estratégia de ramifica¸cão em largura. Seria necessária a resolu¸cão de um número maior, menor ou igual de sub-problemas? Justifique detalhadamente.

(d) Indique qual das duas alternativas (Alternativa 1 ou Alternativa 2) é a mais adequada para a resolu¸cão deste problema. Justifique detalhadamente a sua escolha, enumerando também uma vantagem e uma desvantagem da alternativa que apresentou.

2.

(50%) O Comité Ol´ımpico de Portugal (COP) espera obter nos Jogos Ol´ımpicos de Londres 2012 a melhor presta¸cão de sempre. O COP está particularmente esperan¸cado que o atletismo traga muitas alegrias a Portugal. Nesse sentido, tem desenvolvido esfor¸cos sem precendentes para disponibilizar as

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melhores condi¸c˜oes de treino poss´ıveis para estes atletas. Com efeito, pretende organizar um est´agio para o atletismo antes do in´ıcio dos jogos.

O atletismo encontra-se dividido em 4 equipas: Lan¸camentos, Saltos, Marcha e Corrida. Depois de uma exaustiva pesquisa e contactos formais, foram selecionadas 3 localiza¸cões para acolherem as equipas: St. Albans, Barnet e Watford. A próxima fase do planeamento do estágio passa por determinar, de entre as op¸cões identificadas anteriormente, onde irá cada equipa realizar o seu estágio. O objetivo desta fase consiste na minimiza¸cão dos custos associados, calculados pelo COP para cada alternativa e apresentados na Tabela 2.

Tabela 2: Custos associados a cada equipa nos diferentes centros de est´agio St. Albans (StA) Barnet (B) Watford (W)

Lan¸camentos (L) 30 35 25

Saltos (S) 40 35 35

Marcha (M) 25 40 35

Corrida (C) 40 45 25

Logicamente, cada uma das equipas deve ficar alocada a apenas uma das localiza¸cões de forma a ser orientada pelo seu treinador. Por outro lado, razões operacionais ditam que St. Albans tem apenas disponibilidade para receber no máximo uma das equipas e Watford duas. Apesar de não haver limite máximo de equipas em Barnet, um pré-acordo com este centro de estágio obriga a que pelo menos duas equipas estagiem naquela localiza¸cão. Uma visita por parte dos treinadores das equipas verificou que o centro de estágio de Barnet não tinha afinal todo o equipamento necessário para a equipa de Saltos. Por outro lado, o centro de estágio de St. Albans era inadequado na opinião do treinador da equipa de Marcha. O COP come¸ca a deseperar por uma solu¸cão que permita organizar este estágio...

(a) De forma a ajudar o COP, formule o problema descrito como um Problema de Afeta¸c˜ao.

(b) Forne¸ca ao COP a solu¸cão ótima do problema e o seu respetivo valor, resolvendo o problema pelo Método Húngaro.

(c) Um dos planeadores do COP, um curioso da Investiga¸c˜ao Operacional, acha que o problema pode ser formulado como um Problema de Transportes e pediu-lhe que o ajudasse. Formule agora o problema acima descrito como um Problema de Transportes.

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Resolu¸

c˜

ao

1.

(a) Na figura 1 encontra-se a resolu¸cão gráfica da relaxa¸cão linear do problema original. A região das solu¸cões admiss´ıveis encontra-se pintada de cinzento e está delimitada pelas retas das restri¸cões. A solu¸cão ótima relaxada, indicada a vermelho, corresponde ao ponto x1 = 4, 8 e x2 = 7 sendo

o valor da fun¸cão objetivo nesse ponto z = 137, 2. A isolinha da fun¸cão objetivo que permitiu achar a solu¸cão ótima encontra-se a tracejado. (Se tiver dificuldades em determinar a solu¸cão ´

otima, pode resolver o sistema de equa¸cões formado pelas duas restri¸cões que se intercetam no ponto que define a solu¸cão ótima).

´

E de notar que a COP não pode contratar um número não inteiro de equipas, e o segundo passo da primeira alternativa é precisamente o arredondamento da solu¸cão. Assim, a solu¸cão para o problema é a contrata¸cão de 5 equipas médicas à empresa CareUs e a contrata¸cão de 7 equipas de seguran¸ca à empresa ProtectUs.

Figura 1: Resolu¸cão gráfica da relaxa¸cão linear do problema original (b) Na figura 2 encontra-se a árvore do problema.

Nó D Z = 137,2 X1 = 4,8 X2 = 7 Nó B Z = 143 X1 = 4 X2 = 8,7 mX1 ≤ 4m Nó E SSA mX2 ≤ 8m Nó A Z = 143,2 X1 = 3,8 X2 = 9 mX2 ≥ 9m Nó C Z = 149 X1 = 3 X2 = 10,67 mX1 ≤ 3m Nó G Z = 140 X1 = 5 X2 = 7 mX1 ≥ 5m Nó F Z = 146 X1 = 4 X2 = 9 mX1 ≥ 4m

Figura 2: ´Arvore de “Brand-and-Bound”

(c) Caso a IOCOP tivesse optado por uma estratégia de ramifica¸cão em largura, a ordem pela qual os nós seriam resolvidos era: D - B - G - E - A - C - F. Aquando da resolu¸cão do sub-problema

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do Nó G, o limite inferior seria atualizado para 140, não sendo necessária a posterior ramifica¸cão de B. A solu¸cão ótima seria então conhecida apenas com os Nós D, B e G. Assim sendo, a escolha da ramifica¸cão em largura teria levado à resolu¸cão de um número menor de sub-problemas, não sendo resolvidos os sub-problemas E, A, C e F.

(d) Olhando para as solu¸cões obtidas pelas duas alternativas, que são identicas, a op¸cão que teria sido melhor era a primeira alternativa, uma vez que chegou ao mesmo resultado em menos tempo. No entanto, nem sempre é o caso de o arredondamento da solu¸cão obtida pela relaxa¸cão linear levar à solu¸cão ótima e não existe qualquer forma de saber quando tal ocorre. Optar pela alternativa 2, apesar de aumentar o tempo de resolu¸cão, garantiria que a solu¸cão obtida era ´

otima. Existem problemas, nos quais as variáveis de decisão assumem valores elevados, sendo que o arredondamento não tem um impacto significativo na solu¸cão. No entanto, no caso em questão, contratar mais uma equipa poderia levar a custos elevados desnecessários. Assim sendo, outra op¸cão seria jogar pelo seguro e optar pela segunda alternativa.

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2.

(a) Formula¸cão de um problema de afeta¸cão. Este é um problema de afeta¸cão de minimiza¸cão.

StA B W

L 30 35 25

S 40 35 35

M 25 40 35

C 40 45 25

A visita dos treinadores mostrou que existem afeta¸cões que não são poss´ıveis (Saltos - Barnet e Marcha - St. Albans). Assim, é necessária a altera¸cão da matriz de custos para reflectir esta situa¸cão através da modifica¸cão dos respetivos custos para ∞.

StA B W

L 30 35 25

S 40 ∞ 35

M ∞ 40 35

C 40 45 25

Seguidamente, é necessário acrescentar uma coluna replicada para Watford, uma vez que este centro de estágio pode receber até duas equipas. O mesmo acontece com Barnet que necessita de 3 replica¸cões (equipa de Saltos não pode ser afetada a este centro de estágio, assim o centro receberá no máximo 3 equipas).

StA B1 B2 B3 W1 W2

L 30 35 35 35 25 25

S 40 ∞ ∞ ∞ 35 35

M ∞ 40 40 40 35 35

C 40 45 45 45 25 25

De forma a transformar a matriz numa matriz quadrada, duas equipas fict´ıcias devem ser adi-cionadas (E₁∗, E₂∗). Os ‘custos’ atribu´ıdos às equipas fict´ıcias podem ser um qualquer número positivo, desde que igual para cada equipa em todas as vagas nos centros de estágio (optou-se pelo valor 0). StA B1 B2 B3 W1 W2 L 30 35 35 35 25 25 S 40 ∞ ∞ ∞ 35 35 M ∞ 40 40 40 35 35 C 40 45 45 45 25 25 E₁∗ 0 0 0 0 0 0 E₂∗ 0 0 0 0 0 0

Finalmente, para cumprir o pr´e-acordo com o centro de est´agio de Barnet, os custos das equipas fict´ıcias nas duas primeiras vagas deste centro devem ser alterados para ∞.

StA B1 B2 B3 W1 W2 L 30 35 35 35 25 25 S 40 ∞ ∞ ∞ 35 35 M ∞ 40 40 40 35 35 C 40 45 45 45 25 25 E₁∗ 0 ∞ ∞ 0 0 0 E₂∗ 0 ∞ ∞ 0 0 0 6

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(b) Aplica¸c˜ao do M´etodo Hungaro. Subtrair em cada linha o menor elemento:

StA B1 B2 B3 W1 W2 L 5 10 10 10 0 0 S 5 ∞ ∞ ∞ 0 0 M ∞ 5 5 5 0 0 C 15 20 20 20 0 0 E₁∗ 0 ∞ ∞ 0 0 0 E₂∗ 0 ∞ ∞ 0 0 0

Subtrair a cada coluna o menor elemento:

StA B1 B2 B3 W1 W2 L 5 5 5 10 0 0 S 5 ∞ ∞ ∞ 0 0 M ∞ 0 0 5 0 0 C 15 15 15 20 0 0 E₁∗ 0 ∞ ∞ 0 0 0 E₂∗ 0 ∞ ∞ 0 0 0 1a itera¸c˜ao ( 5 < 6 ): StA B1 B2 B3 W1 W2 L 5 5 5 10 0 0 S 5 ∞ ∞ ∞ 0 0 M ∞ 0 0 5 0 0 C 15 15 15 20 0 0 E₁∗ 0 ∞ ∞ 0 0 0 E₂∗ 0 ∞ ∞ 0 0 0

Subtrair aos elementos n˜ao-riscados o menor elemento n˜ao-riscado e somar esse mesmo elemento aos elementos riscados duplamente:

StA B1 B2 B3 W1 W2 L 0 0 0 5 0 0 S 0 ∞ ∞ ∞ 0 0 M ∞ 0 0 5 5 5 C 10 10 10 15 0 0 E₁∗ 0 ∞ ∞ 0 5 5 E₂∗ 0 ∞ ∞ 0 5 5 Solu¸c˜ao ´otima ( 6 = 6 )

Existe mais do que uma solu¸cão ótima. Uma poss´ıvel solu¸cão ótima é a seguinte: • Lan¸camentos =⇒ Barnet

• Saltos =⇒ Watford • Marcha =⇒ Barnet • Corrida =⇒ Watford

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(c) Formula¸c˜ao de um problema de transportes.

As diferentes equipas podem ser vistas como as origens e os centros de estágio como destinos. Cada equipa representa uma capacidade de 1 e os centros de estágio assumem procura igual ao máximo das suas disponibilidades para receber as equipas. Deve ser criada uma origem fict´ıcia com a diferen¸ca entre o número de equipas a colocar e as vagas nos centros de estágio. Adicionalmente, de forma a cumprir a restri¸cão do número m´ınimo de equipas a estagiar em Barnet, este centro de estágio deve ser replicado. A primeira coluna correspode às duas vagas que devem obrigatoriamente ser preenchidas (custo ∞ para as equipas fict´ıcias) e a segunda coluna corresponde à vaga opcional (custo 0 para as equipas fict´ıcias).

StA B B∗ W L 30 35 35 25 1 S 40 ∞ ∞ 35 1 M ∞ 40 40 35 1 C 40 45 45 25 1 E∗ 0 ∞ 0 0 2 1 2 1 2 8