RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

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CAPÍTULO

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAIS

Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAIS

Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.

RESISTÊNCIA DOS

MATERIAIS

Carregamento

Transversal

Resistência dos Materiais

Capítulo 5 – Carregamento Transversal

5.1 –

Introdução

5.2 –

Carregamento Transversal

5.3 –

Distribuição de Tensões Normais

5.4 –

Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal

5.5 – Tensões de Cisalhamento τ

_xy

em uma Viga

5.6 – Tensões de Cisalhamento τ

_xy

em Vigas de Seções

Transversal Retangulares

5.7 – Tensões de Cisalhamento τ

_xy

em Vigas com Perfil em

forma de I ou de Abas Largas

5.8 – Tensões Combinadas

(2)

dos Materiais

5 - 3

5.1 – Introdução

• Serão analisadas tanto as tensões normais quanto as tensões de

cisalhamento em barras prismáticas sujeitas a carregamentos transversais. • As cargas podem ser:

 Concentradas;  Distribuídas; ou

 Uma combinação de ambas.

Resistência

dos Materiais

5.2 – Carregamento Transversal

 Flexão simples: quando o carregamento transversal produz, ao

mesmo tempo, momento fletor e esforço cortante em seções

transversais da viga.

 Flexão pura: há apenas o momento fletor (Cap. 04).

• Cargas transversais aplicadas em barras, produzem tensões normais

e de cisalhamento nas diversas seções transversais.

• Seja a viga AB em balanço:

Da estática, em C:

0 N

V

P

M

Px



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dos Materiais 5 - 5

5.2 – Carregamento Transversal









0 0 0 0 x x x xz xy y xy y x z xz z x F dA M y z dA F dA V M z dA F dA M y dA M                      



• A distribuição das tensões normais e de cisalhamento satisfazem as condições:

Resistência

dos Materiais

5.2 – Carregamento Transversal

• Seja um cubo elementar localizado no plano vertical de simetria (τ_xz = 0)

• Quando tensões de cisalhamento atuam nas faces verticais de um elemento, tensões iguais devem atuar nas faces horizontais, para que haja o equilíbrio • Tensões de cisalhamento longitudinal

devem atuar em qualquer elemento submetido a cargas transversais.

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dos Materiais

5 - 7

5.3 – Distribuição de Tensões Normais

• Considerando que a distribuição de tensões normais em uma certa seção transversal não fica afetada pelas deformações provocadas pelas tensões de cisalhamento. • Do Cap. 4: x z z

My

Pxy

I



 

Resistência dos Materiais

• Seja a viga prismática:

5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal

Forças que atuam numa porção da viga

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dos Materiais

5 - 9

5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal

• Para o equilíbrio do elemento:





0 x C D a D C z a F H dA M M H y dA I          





S a M 



y dA ay

A integral representa o momento estático da área acima da linha y = y₁, em relação à

L.N.

a - área sombreada da seção

transversal;

- distância do seu centróide a L.N.

y

O raciocínio também poder ser feito para a área abaixo da linha y = y₁.

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dos Materiais

5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal

• Logo: Chamando: . S z S S z z M H M I dH dM M V M dx dx I I     

. fluxo de cisalhamento (N/m) S z H V M q x I q     

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dos Materiais 5 - 11 S z

H

VM

q

x

I







• Fluxo de cisalhamento Com: 2 ' S a z a a

M

y dA ay

I

y dA







• O mesmo resultado é encontrado para a área abaixo

0

S z S S

H

VM

q

x

I

M

H





 



 













 

5.4 – Tensão de Cisalhamento em um Plano Horizontal

Resistência

dos Materiais

Exemplo 5.1

Uma viga de madeira é construída de três peças de seção transversal

20mm × 100mm, que são fixadas umas às outras por meio de pregos.

O espaçamento entre os pregos, ao longo do comprimento da viga, é

de 25mm. Sabendo-se que a viga está submetida a uma força cortante

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dos Materiais

5 - 13

5.5 – Tensões de Cisalhamento

τ

_xy

em uma Viga

• A tensão média de cisalhamento na face

horizontal do elemento S S med z z

H

q x VM

x

VM

A

I

t x

I t



















• As tensões de cisalhamento em um plano transversal são iguais as tensões em um plano horizontal (



_xy=



_yx).

• Se a largura da viga é bem maior que sua altura, a tensão de cisalhamento em D₁e

D₂é significativamente maior que em D.

Resistência

dos Materiais

• Seja uma viga retangular, ; 4 S S xy z z h VM VM b I t I b    

5.6 – Tensões de Cisalhamento

τ

_xy

em Vigas de Seções

Transversal Retangulares

2 2 max 3 1 2 3 0 2 xy V y A c V y A



   _  _     









 

2 2 3 3 3 e 2 2 2 2 2 12 12 3 S z c y y c y y A b c y b c y M A y b c bh I bc   _             Tem-se que,

Fazendo substituições, e para

A



2 bc

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dos Materiais

5 - 15

5.7 – Tensões de Cisalhamento

τ

_xy

em Vigas com Perfil em

forma de I ou de Abas Largas

• Considerando novamente a equação:

 Em pontos da seção aa’, a largura t é a largura da aba;  Em pontos da seção bb’, a largura t é a largura da alma;

S med z VM I t   L.N. Resistência dos Materiais

Exemplo 5.2

A viga AB é constituída por três peças coladas e está submetida ao

carregamento indicado, que atua no seu plano de simetria. Determinar

a tensão de cisalhamento média nas juntas da seção nn da viga. A

figura indica a posição do centróide da seção transversal.

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dos Materiais

5 - 17

Exemplo 5.3

Uma peça de máquina com perfil em forma de T fica submetida ao

carregamento indicado em seu plano de simetria. Determinar: (a) a

máxima tensão de compressão na seção nn; (b) a máxima tensão de

cisalhamento.

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dos Materiais

5.8 – Tensões Combinadas

• Nos capítulos anteriores analisamos as tensões causadas em barras sob carga axial, em eixos circulares sob torção e em vigas sob flexão com esforço cortante.

• Veremos agora a determinação das tensões em estruturas ou elementos de máquinas sob a ação combinada dos carregamentos estudados.

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dos Materiais

5 - 19

5.8 – Tensões Combinadas

Tensões em um ponto K:

1. Passar uma seção transversal em K;

2. Determinar o sistema de forças e momentos em relação ao centróide C da seção. Resistência dos Materiais

5.8 – Tensões Combinadas

Princípio da Superposição: tensões normais: P, M_y e M_z tensões de cisalhamento: T, V_ye V_z.

Condições de aplicabilidade do princípio:

a) Tensões devem estar dentro do limite de proporcionalidade do material; b) A deformação provocada por um certo carregamento não deve afetar a

determinação das tensões devidas a outro carregamento;

c) Seção em estudo não deve estar muito próxima de nenhum ponto de aplicação das cargas.