Triangulação de Delauney
Um pedaço da superfície terrestre é chamado de terreno. Um terreno é uma superfície 2-dimensional em um espaço 3-dimensional com uma propriedade especial: cada linha vertical intercepta o terreno em um ponto. Formalmente, um terreno é um grafo da função que atribui uma altura f(p) para cada ponto p no domínio, A, do terreno. A representação (virtual) do terreno (real) em forma de estrutura de dados, segundo os valores da função f, é chamada de malha. Quando unimos cada três pontos vizinhos de uma malha, de forma a representá-la por triângulo, chamamos essa malha de malha triangular. Uma vez que a terra é redonda, em uma escala global, esta maneira de definir a terra não é muito adequada. Mas, se considerarmos uma escala local, essa ideia é uma boa aproximação para terrenos em geral. Um terreno pode ser então visualizado como um desenho em perspectiva, como mostrado na Figura 1.
Figura 1: Perspectiva de Visualização de um Terreno
Claro, não temos como saber a altura de cada ponto na superfície da terra; sabemos apenas os valores de altura onde podemos medir. Isso significa que, quando nos referimos acerca de algum terreno, nós sabemos apenas o valor da função f de um conjunto finito pontos em , que é apenas uma amostra de A. Usando a altura em uma vizinhança, podemos inferir de alguma forma a altura de pontos que não puderam ser medidos no domínio dentro dessa vizinhança. Entretanto, temos assim apenas um terreno discreto, o que não parece muito natural. Assim, nossa abordagem para aproximar um terreno por uma malha triangular é a seguinte: Inicialmente, determinamos uma triangulação de P. Uma triangulação de P é uma subdivisão planar
cujas faces são triângulos, cujos vértices são os pontos de P. Então, levantamos cada ponto de P até sua altura correta, mapeando assim cada triangulo na triangulação como um triângulo no espaço 3-dimensional. A Figura 2 ilustra essa ideia:
Figura 2: Malha triangular: obtenção de um terreno poliedral a partir de uma amostra de pontos P que aproximam um terreno.
O que é obtido no final é um terreno poliedral: um grafo de uma função contínua linear. Assim, o terreno poliedral, chamada malha triangular, é usada como uma aproximação do terreno original.
Resta uma questão: como triangular o conjunto de pontos P amostrados? De uma maneira geral, isso pode ser feito de diversas maneiras. Mas qual triangulação é mais apropriada para nossos objetivos; ou seja, para aproximar um terreno? Por maior e melhor que tenha sido a captura dos pontos do terreno, não existe ainda nenhuma resposta definitiva para essa questão, principalmente porque não conhecemos a altura de cada ponto possível do terreno original, mas apenas em uma certa amostragem. Uma vez que não conhecemos nenhuma outra informação, e a altura dos pontos amostrados são as alturas corretas para qualquer triangulação, qualquer triangulação pra P parece ser igualmente boa. No entanto, algumas triangulações parecem ser mais naturais do que outras. Por exemplo, observe a Figura 3, que mostra duas triangulações do mesmo conjunto de pontos. Observando somente as alturas dos pontos amostrados, temos a impressão de que trata-se de uma montanha com um certo cume. A triangulação (a) reflete esta ideia intuitiva. Por outro lado, a triangulação (b), onde uma simples aresta foi flipada, parece ter introduzido um grande vale exatamente no cume. Intuitivamente, a triangulação (b) parece errada. Podemos, no entanto, assumir intuitivamente que a triangulação (a) é melhor do que a triangulação (b)?
Figura 3: Alternando uma única aresta pode fazer uma grande diferença na triangulação.
O problema com a triangulação (b) é que a altura do ponto q é determinada por dois pontos que estão relativamente distantes um do outro. Isso acontece porque q está no meio de uma aresta de dois triângulos com ângulos muito pequenos. As pequenas espessuras desses triângulos são as causadoras desse problema. Então, intuitivamente, parece que triangulações com menores ângulos são piores. Assim, ordenamos de forma crescente as triangulações pelos seus ângulos para compará-las. Se os menores ângulos de duas triangulações são idênticos, comparamos os dois próximos ângulos nas sequencias ordenadas, e assim por diante. Uma vez que existe um número finito de diferentes triangulações para cada amostra P, isso implica que deve haver uma triangulação ótima, uma que maximiza os ângulos mínimos. Esta triangulação é aquela que buscamos na construção de malhas triangulares.
Triangulação de Conjunto de Pontos Planares
Seja um conjunto de n pontos no plano. Para definirmos formalmente uma triangulação de P, inicialmente temos que definir subdivisão planar máxima como sendo uma subdivisão de modo que nenhuma aresta conectando dois vértices pode ser adicionada a sem destruir sua planalidade. Em outras palavras, qualquer aresta que não está em intersecta uma das arestas que estão em . Assim, definimos formalmente uma triangulação de P como sendo uma subdivisão planar máxima cujos vértices são os pontos de P.
Com esta definição fica óbvio que uma triangulação existe. Mas ela consiste mesmo de triângulos? A resposta é sim, para cada face interna (àquelas das bordas não-livres da subdivisão), deve existir um triângulo: uma face externa (a de borda não-livre) forma um polígono, e sabemos que qualquer polígono pode ser triangularizado. E com
relação às bordas internas? Não é difícil observar que qualquer aresta externa (aquelas que pertencem à envoltória convexa de P) é uma aresta de qualquer triangulação de
P. O número de triângulos é o mesmo em qualquer triangulação de P. Isso também é
válido para o número de arestas. Mas o número exato, tanto de triângulos quanto de arestas depende do número de elementos de P que pertencem à sua envoltória convexa. Isso é dado pelo seguinte teorema:
Teorema 1: Seja P um conjunto de n pontos no plano, nem todos colineares, e seja h o número de pontos em P que pertencem à envoltória convexa de P. Qualquer triangulação de P possui 2n-h-2 triângulos e 3n-3-h arestas.
A prova desse teorema está na referência [1].
Seja uma triangulação de P, e suponha que possua m triângulos. É fácil ver que o número de ângulos internos de é 3m. Considere que esses 3m ângulos são ordenados de forma crescente. Seja essa sequencia de ângulos
ordenados; então para qualquer . Denotamos por ( ) ( ) o vetor de ângulos de . Seja uma nova triangulação de
P, e seja ( ) ( ) seu vetor de ângulos. Dizemos que a triangulação
é melhor que a triangulação se ( ) é lexicograficamente maior do que ( ). Em outras palavras, se existe um índice i, com , de modo que: para todo e . Essa ideia é denotada como ( ) ( ).
Definição Formal de Triangulação de Delauney: Uma triangulação de P é dita ser de Delauney se, para qualquer outra triangulação e P ( ) ( ).
Computando a Triangulação de Delauney
Vimos até agora que, para nossos objetivos ── aproximar um terreno por uma malha triangular, cujos vértices são os pontos de um conjunto P, que por sua vez é uma amostra dos pontos do terreno ── a triangulação de Delauney de P é uma boa aproximação com boas chances de ficar boa. Vimos que a razão disso é porque a triangulação de Delauney maximiza os ângulos mínimos. Então como computar a triangulação de Delauney?
A estratégia usada aqui é aleatória e incremental. Inicialmente, construímos um grande triângulo que contem todos os pontos de P para evitar problemas nas bordas do conjunto P. À luz dessa ideia, construímos um grande triângulo cujos vértices são
. O uso aqui de índices negativos para os vértices é para poder
diferenciá-los que qualquer ponto em P. Isso significa que e são vértices especiais.
Após a obtenção da triangulação de Delauney para o conjunto , a
triangulação de Delauney de P é obtida descartando-se os pontos e todas
as suas arestas ligadas à P. Para que essa estratégia funcione corretamente, escolhemos como sendo valores os maiores possíveis, de modo que
nenhuma aresta do triângulo formado por
intercepte qualquer aresta da triangulação de Delauney para P. A Figura 4 mostra um exemplo:
Uma vez definido o triângulo , o algoritmo vai adicionando aleatoriamente
cada ponto de P ao mesmo tempo que vai mantendo a propriedade de Delauney para cara triangulação corrente. Considere que em algum momento foi adicionado um ponto . Primeiro, procuramos pelo triângulo da triangulação que está sendo construída onde caiu ── como isso será feito, será explicado mais tarde ──. Em seguida, são adicionadas arestas de ao vértice do triângulo onde ele caiu. Se caiu em uma aresta e da triangulação corrente, adicionamos arestas a partir de para os dois vértices opostos nos triângulos que compartilham a aresta e. A figura 5 ilustra esses dois casos.
Figura 5: Configurações possíveis após a inserção do ponto pr na triangulação de Delauney.
Assim, passamos a ter uma nova triangulação corrente, mas não necessariamente ela é de Delauney, uma vez que as arestas adicionadas a partir de pode ter deixa algumas arestas ilegais. Uma aresta ilegal é uma aresta que, se flipada dentro de um quadrilátero, melhora a triangulação, caso contrário, a aresta é legal. Para verificar se uma aresta é ilegal, chamamos um procedimento LegalizeAresta, que recebe cada aresta potencialmente ilegal e a flipa se necessário. Este procedimento substitui arestas ilegais por arestas legais através de flips de arestas. O Algoritmo para construir a triangulação de Delauney a partir dessa ideia é dado a seguir:
