Publicações do PESC T-Snakes Duais e Inicialização de Modelos Deformáveis

(1)

Gilson Antonio Giraldi

T E S E SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE

pós-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO D E JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS

PARA A

OBTENÇÃO

DO

GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS

EM ENGENHARIA D E SISTEMAS E COMPUTAÇÃO.

Aprovacla por:

~ro&/Antonio Alberto Fernandes de Oliveira, D. Sc.

a,

I ,

--

Prof. Cláudio E s p e r a n ç a ~

P ~ . D .

Prof. Fabiana Roclrigues Leta, P1i.D.

RIO D E JANEIRO, R J

-

BRASIL

NOVEMBRO D E 2000

(2)

GIRALDI, GILSON ANTONIO

T-Siialtes Duais e Iiiicialização de I\/Ioclelo

Deforináveis [Rio d e Janeiro]

2000

XII, 104 p., 29,7 cm, ( C O P P E / U F R J ,

D.Sc.,

Engeiiharia

de

Sistemas

e

Computa.cão, 1999)

Tese

-

Universiclacle Federal c10 Rio cle Ja-

iieiro, C O P P E

1 -

i\/Ioclelos cle Contorno Ativo

2 -

Silaltes Duais

3

-

Siial<es Topológicas

-

T-Silaltes

4

-

Iiiicialização de Moclelos Deformáveis

I. C O P P E / U F R J

11. Título (série)

(3)

(4)

Agradeciineiit os:

Aos professores, colegas e es-colegas c10

LCG:

Cláudio Esperanqa, Roilalclo Ma- riiiho, José Brito, José Maria, Ferilailclo TVagiler, Ailtoilio Lopes, Paulo Sérgio, Italo Matias, Mara Rios, Nelina Ribeiro, Walter, Rogério, Luiz Marcos e outros, pelo apoio e ajuda que tive de todos clurante estes últimos anos,

,4

todos os Professores que tive, desde cluem m e ensinou a ler e escrever, até meu orientaclor, Professor Antonio Oliveira., pela formaqão profissioilal e huinana que m e passa.ram.

A millha fimília, particularineilte m e u Pai, Cla~iclio Giralcli, e minha. Mãe, i\:laria Jouiila,, pela vida que m e deram.

A

meus Tios Thereziilha e Jose Marotto, que me acol1iera.m no momeilto mais difícil de millha vicla.

40

C N P Q , pelo apoio fiilaiiceiro.

(5)

Resumo da Tese apreseilta.cla à COPPE/UFRJ como paste clos recluisitos necessários para a obteiqào clo grau cle Doutor em Ciêiicias (D.Sc.)

T-SNAKES DUAIS

E

INICIALIZAÇÃO DE MODELOS

DEFOR.IVI~~VEIS

Gilsoil Antonio Giralcli

i\Tovembr0/2000

Orieiltaclor: Antonio Alberto Ferilailcles Oliveira

Programa: Eilgeilllaria cle Sistemas e Computacão

Neste trabalho esploraillos o moclelo clas T-Silalces para propor um Modelo Dual

de Conto~nos Atbz?os Gene~alixado: um conto~no ezte~no ein.olvenclo os objetos

cle interesse contrai e se clivicle eilcluaiito que contomos i n t e ~ n o s aos objetos se espailclem em clirecão às borclas procuradas.

Como resultaclo, coilseguimos uma nova metoclologia que é clual e topológica ao

mesmo tempo, daí clenominá-la Dual- T-Snakes, ou T-Snakes Duais.

A iilicializqão é um ponto crucial para a eficiêilcia de inoclelos cleformáveis em geral. Teilclo em vista esta cpestão, cleseilvolvemos um novo métoclo para iilicializar moclelos cleformáveis em geral baseaclo em proprieclacles cla topologia clos objetos de interesse e da escala espacial dos mesmos. O métoclo tem como base os elementos clas T-Silakes (Triailgulacão, F ~ ~ i l ç ã o Característica, e moclelo discreto de silalíes). As a.plicações aborcla.clas serão coiistituíclas por esemplos em iinageils méclicas obticlas por microscopia (citologia), ressoiiâilcia magilética nuclear e imagens cle raio

X.

(6)

Alxtract of Tl-iesis preseiltecl t o C O P P E / U F R J as

a

partia1 fulfillmeilt of tlie

recpireineilts for t h e clegree of Doctor of Scieilce (D .Sc.)

DUA4L T-SNAI<ES AND INITIALIZATION O F DEFORMABLE MODELS

Gilsoil Antonio Giralcli

Aclvisor: Antonio Alberto Ferilailcles Oliveira,

Departiileiit

:

Coinpu tiiig a.iicl S

ys

teins Eilgiileeriilg

111 this thesis we propose

a gelzeralized dzsal active conto?r~- fram,ewo~-k:

oile

T-

Silalce coiltracts ailcl splits from outsicle t h e target(s) ailcl t h e other one(s) espaiicl(s)

from iilsicle cluring t h e process of seelciilg t h e objects bouilclaries iil

a

scene.

This nem1 approacl-i

-

Dual-T-Silalces

-

maiiltaiils tlle topological cal~abilities

of

the T-Silalces a.ilcl t h e al~ility

of avoicliilg local miiliina of t h e Dual ACI\/I.

Also we clevelop iil this work

a

ixethocl t o iilitialize cleformal~le

inoclels wl-iicll is

l~asecl on propesties selatecl t o the topology and spa.tia.1

sede of tlie objects in 2D

os 3D sceiles. We assume soine topological c 2 ~ 1

scale properties for the objects of

iilterest

.

From t l ~ s e

coilstraiilts we propose

a

inethocl wrliicli firs t defines

a

triangu-

latioil of the iiilage clomain. After tl-iat, we take a subsampling of the iinage fielcl

01-er the triaiigulation gricl ilocles. This fielcl is tl-iresl~olclecl;

geileraiiilg

a

biilary oile

ilainely

"

Object Characteristic Fuilctioii", from w l ~ i c l ~

a rough approsimatioil of the

l~ouilclary

geoinetry is estractecl.

(7)

(8)

. . .

5.1.1 h4oclelo D i d

59

. . .

5.1.2 I\iletoclologia c10 Dual

63 . . .

5.1.3 A I - S d i e s : iUoclelo cle Forma Ativo

63

. . .

5.2 Moclelo Dual Baseado eiii Programa.ção Dinâmica

71

r

. . .

5.3 Métodos envolveiiclo muclailças Topológicas

í 2

. . .

5.3.1 Métoclo dos Coiljuiitos

cle

Níveis

72 . . .

5.3.2 T-Silakes

76

6 Diial-T-Siialces 85

. . .

6.1 Descricão c10 Dual-T-Siialtes

86 . . .

6.2

Nlletoclologia para Segiiieiitaqão

90 . . .

6.3 Vmtageiis do Dual-T-Silaltes

91 . . .

6.4 Desva.iltageiis do Dual-T-Siialtes

92

7

Iinplemeiitação do Dual-T-Siialces 94 . . .

7.1 Escolha de Parâmetros

94 . . .

7.2 Passo i\/lc?.ximo

96 . . .

7.3 Forqa Esteriia

e

Forqa Normal

97 . . .

7.4 Siiavizacã.~

e

Forças Internas

100 . . .

7.5 Resolução cla Tsiailgulação

102 . . .

7.6 Condição cle Entropia

103 . . .

7.7 Pré-Processamento cla Imagem

105 . . .

7.8 Evit aiiclo Míiiiiiios Locais

106

. . .

7.9 Detalhes cla

.

Implement ação c10 Diial-T-Sdies

1

07

8 Iiiicialização de Modelos Deforiiláveis 111

. . .

8

.

1 Tsal~allios

Relacioilaclos

111

. . .

8.2 Mbtoclo Multi-resoluçào

113 . . .

8.3 Método para 1nicia.liza.qã.o

de Siiakes

114

9 Resiilt ados Exp eriiiieiit ais 119

. . .

9.1 Imageils Sintéticas

120 . . .

9.1.1 Circunferêiicia e m Ruíclo

120 . . .

9.1.2 Variaiiclo Ruíclo

124 . . .

9.1.3 Backgrouiicl com Ruído

e

Artefatos

131 . . .

9.1.4 Muclaiicas Topológicas

131 . . .

9.1.5 Conexões Fiizzy

e

Dual-T-Silalies

145

. . .

9.2 Imageiis Meclicas

149

. . .

9.2.1 Ressoiiâiicia Magnética da Cabeça

149 . . .

9.3.2 Célula c10 Sangue

152

. . .

(9)

. . .

9.2.4 Iniageils cle Micrografia Eletrônica

160 . . .

9.2.5 Microgra.fia Eletrônica de Célnla cle Gato

164 . . .

9.2.6 Homem Visível

167 . . .

9.2.7 Raio-X c10 Tórax

169

10 Coilcliisões e Perspectivas 172 . . .

10.1 Perspecti\*a.s Futuras

1'74

A

Programação Dinâmica no Coiitíniio 177

B

Griipos de Lie e Iilvariâilcia 181

. . .

B . l Grupos cle Lie

182 . . .

B

.

1.1

Espaços Topológicos

182 . . .

B.1.2 Varieclacles Difereilciá.veis

182 . . .

B.1.3 Definição ele Grupo

183

. . .

B.1.4 Definiqão cle Grupos cle Lie

184 . . .

B.1.5 Grupo ele Trailsformacões Locais

184 . . .

B.1.G Órbitas

185

. . .

B

1 .

7 Caillpos Vetori ais em Var ieclacles

185

. . .

B . l . 8 Fluxos e Gera.clores 1ilfiilitesiina.i~

187

. . .

B.1.9 Teoria de Iilvariailtes

188

. . .

B

.

2

Análise Dimeilsioid

190 . . .

B.3 Aplica<ões

193

C Variedades Lineares por Partes e T-Superfícies 199

. . .

C . l Definições Básicas

199 C

.

2 Aproximai~clo

Varieclacles Diferenciiiveis Defiiliclas Ii~iplicita~meilte

. .

200 . . .

C.3 T-Superfícies

202

D Aiiálise de Coiivexidade para Siialtes 205

. . .

D

.

1

Análise de Coi~vesiclacle c10 Moclelo Original

207 . . .

D . l . l Ailálise de Coilvesiclade

208 . . .

D.1.2 Hessiana da Energia Esteiila

209 . . .

D.2

S i d i e ~

em Dimeilsão Fiilita

212

. . . D.2.1

Análise Niii~~érica

214 . . .

.

D 2.2 Ailálise Qualitativa

215 . . .

.

D 2.3 Coilvesiclacle e Atratores

219 . . .

D.3 Discussão

221

(10)

E

Método

da

Conexões

Fuzzy 222

. . .

E

.

1

Sul~coiljuntos

F ~ ~ z z y

232 . . .

E.2 Métoclo cla Conesões

Fiizzy 223

. . .

E.3 Algoritmo

225 . . .

E.$

Dual-T-Snakes

e

Conexões

Fuzzy

226 . . .

E.5 Fuiqão cle Afiniclacle

227

(11)

Lista

de

Figuras

. . .

i\/loclelos uiliclimeilsioilais para pontos de 11orcla

. . .

Sinal irregular

f

com ruido

(a)Imagem original

.

(11)ReaJce das bordas via limiar p a m o gradiente

.

(a)Degrau cla figura

2.1

.a suavizado

.

(11)Primeira

.

cleriva.cla

.

(c) Seguilcla

. . .

clerivacla . (c1)Terceira clerivacla

Tr acking no espaço de escalas . . .

Célula cle Gato: (a)Ima.gem cle Células origiilal.(l~)Ima~gei~~ suaviza.cla

. . .

por gaussia.ila

(a)Célula de Gato: (a)Ima.gem de Celulas oiigii~al.(b)Imagem obtida 110s clif~u5.0 anisotrópica

. . .

(a)Iiilagem original . (1~)Imagem filtrada . . .

(a)Força . clescontíilua provocailclo oscilacões

.

(11)Interpola.ção evita iilstabiliclacles melhorail~o coiwergêilcia

. . .

Ghaclieilte não nulo apeilas em u m a viziilhailça do ponto de borcla

. . .

(a)Seguilcla clerivada

.

(11)Derivacla de quarta ordem

. . .

Curva.s limitailclo regiã.0 coilteilclo borda

. . .

Discretiza.çã.o d a região de interesse . . .

i\doclelo local de forma . . .

Perfil de energia

. . .

Configurações possíveis para vértices viziilhos

. . .

Coiliparaqiio entre a silalíe e o protótipo alii~haclo . . .

Prograinação Dinâmica para contornos feclmclos . . .

Métoclo dos Coiljniltos de Níveis

. . .

Silake projetada sobre uma triailgula.ção c10 tipo Coseter-Freudeiithal

.

Merge entre duas curvas

.

Nós marcados são aqueles oilcle

x

tem d o r

1

. . .

Polígono coilteilclo nó interior (clueimaclo)

. . .

Subespaços usados para c1assificaçã.o de nós

. . .

Possíveis casos p u a classificação

. . .

(12)

. . .

Inicialização clo Dual.T.Sila.líe

S7

. . .

Prosimiclacle entre duas si~altes mecliclapela triailgula.çào. 88

. . .

Split da Dual Siialtes inicial 89

Dual-T-Snalíe result for figure 6.1.

A

resolução cla grade é 5 x 5 e os

. . .

silasels são OS pontos em brailco 90

Evolucào cle curva na clireqào normal pocle causar auto-iiltersecqòes

. .

92

. . . Forqas internas para as S d i e s

c10

Dua.lLT.Saakes. 95 Forcas internas com pasâmetros positivos (escluercla.) e negativos (cli-

. . .

reita) 95 Com passo muito alto, a silalte pocle avançar o clegrau percleilclo a

. . .

borcla 97 (a)Forças de imagem e ilorma.1 pa.ra as T-Silaltes

.

(13)Forças de imagem e normal para o Balloon . . . 97

Silalte antes e depois ela reparail~etriza.qào.

. . .

98

Comport ameilto da forca normal sobre a s d i e pocleiiclo gerar oscila.cÒes. 99 As forcas iiiterilas nulas cleviclo aliilhameilto e clistribuiqào uniforme . . . de siiasels 100 Distribuiçào não-uniforme cle silaxels cleviclo repara1netrizac;ào

. . .

102

Silasels muito próximos após repara.metrizaçào. . . . 104

7.10 S d i e avançou para região onde função característica nào muda cle sinal

. . .

104

7.11 Imagem coilteilclo objeto com interior complicaclo mas baclígrouilcl simples

. . .

105

7.12 Imagem coilteilclo objeto iinerso em backgroui~cl c0111 ruíclo

. . .

106

P i.13 Fluxograma clescreveilclo as principais partes cla implemeiltaçiio c10 Dual-T-Silalíes

. . .

110

8.1 Representação

c10

escluema

.

de miilti-resolução usado . . . 112

8.2 (a)Imagein original

.

(13)Ma.lha e imagem truncaela pelo limiar

. . .

113

8.3 (a)Fiiiiqào Característica

.

(11)Aprosimaçào ol~ticla

. . .

114

8.4 ( a ) Célula cle mieliiia

.

(b)Vasriec1acle Linear gerada

.

( c )Rem1 taclo final clo inétoclo

. . .

115

8.5 ( a ) Cdulas de lisossomos

.

(1~)Aprosimações lineares por partes o13 ti- das para resoluqão 5 x 5

. . .

:

. .

115

8.6 (a) Escala cle separacão entre objetos mais fina que a escala interna

..

(13) Aprosiinacões lineares por partes obtidas c0111 resolug iio 5

x

5

. . .

116

(13)

Resultaclo fiila.1 dos passos (1)-(5) para as iiliageiis clas Figuras S.5.a e 8.7. AS resoluções usadas são 5 x 5 para o resultaclo (a) e 3 x 3 para. (1s)

. . .

11s

. . .

Círcunferêilcia e m meio com Ruíclo 121

. . .

Inicialização c10 Dual-T-Sdtes. 121

Evolução c10 Dual-T-Silalíes para a Figura 9.2: (a)Silalce externa ail- tes do ponto cle coilgelameiito. (1s)Mínimo local da siialíe externa.

(c)Silake externa coilgelacla novamente. (c1)Silalte interna inicia mo-

. . .

vimeilto. (e)-(f)Posições intermediárias cla silalíe interna. 123

. . .

Soluqão do Dual-T-Siiakes correspoilclente a Figura 9.2. 124 Evoluqào c10 Dual-T-Silakes para forca normal usual: (a)Iiiteraqão 3. (1~)Posiçào iiltermecliária (c)Míilimo local da snake estellia (iilte- raçào

7).

(c1)Míilimo local cla snake interna. (e)Posição interiliecliária.

. . .

(f)Soluçào final. 125

Dual-T-Silakes e m mallia 5

x

5: (a)Iiiicialização. (11)Interacão 21. (c) Iilteraçào 31. (c1)Solução final c10 Dual-T-Silaltes.

. . .

126 (a)Solução c10 Viterlsi para Figura 9.4.f. (1s)Solução do Viterbi para

. . .

Figura 9.6.d. 127

1ilicializa.qão para os exemplos desta seçiio.

. . .

127 Dual-T Siialíes: Solução e solução projetada na mall-ia 5

x

5.

. . .

129 Iilstailte

t

= 16s do Dual-T-Silalíes para força normal dada por (5.54). 130 (a)-(cl) Soluções do Viterlsi para os exemplos clas Figuras 9.9.

. . .

132 ( a ) Elipse e m meio com Ruíclo e artefatos.

(11)

Inicializaqào c10 Dual-

. . .

T-Silalíes 133

9.13 Evoluçào do Dual-T-Silalíes para a Figura 9.12.1s: (a)Iilteraçào 10. (1s)Posiçào iiltermecliária ( t = 30) (c)Míiliino local da snake externa ( t = 4l).(cl)Iilicio c10 movimento cla snalte iilterna

( t

= 32). (e)i\/líniiilo local d a interna

(t

= 152). (f)Solução fiilal.

. . .

134 9.14 Dual-T-Silaltes e m mall-ia 5 x 5: (a)Iiltera@o 12. (11)Posição iiiter-

mecliária

(t

= 21) (c)Posição e m t = 31. (c1)Míilimo local cla silalte iilteriia ( t = 90). (e)Mínimo local cla interna

( t

= 191). (f)Solução final. . . . 135 9.15 (a)-(1s)Soluqão c10 Viterli para as Figuras 9.13.f e 9.14.f, respectiva-

mente.

. . .

135 9.16 ( a ) Figura conteilclo três objetos cle interesse.

(11)

Detetor de bordas

aplicado. . . 136 9.17 (a)Imagem a ser processada. (1s)Mdl-ia usada ( 3

x

3 ) . (c)Inicializaçào

do Dual-T-Silalws: uma silalce externa e u m a silalíe iiiteriia ci cada

(14)

9.18 Errolusão c10 Dual-T-Sdies para

a

Figura 9.17: ( a ) Iilteraqão 15.

(11) Interação 25 ( s d i e externa congelacla). ( c ) Interaçào 35 ( s d i e

interna ao retângulo congelacla). (cl) Mínimo local cla si~alíe

interior

ao objeto triangular. ( e ) Silalte externa sofre split. ( f ) Dual Silaltes

formaclos após split evoluem. ( g ) Novo split cla malte externa. (11)

Teinos agora três clual silaltes iilclepeilcleiltes. ( i ) Iilstailtes finais do

111étoclo.

.

. . .

. .

. . . .

.

. .

. . .

.

. . .

.

. . . .

.

. . . .

.

138 9.19 Soluçiio clo Dua.1-T-Silaltes para a evolução da, Figura 9.18.

. . . .

139 9.20 Evolucão c10 Dual-T-Snaltes para Figura 9.1S.a iisailclo mall-ia (5

x

5):

( a ) t

=

10. (11)Pouco antes do split (interação 58). (c)Split n a iilte-

ração 60. (c1)Novo split (iilteração 65). (e)IilteraCã.o

98 (mínimo 1oca.l

cla silalte interna ao objeto triangular). (f)Interaç5.0 120. ( g ) S d i e

interior ao retângulo congelacla.. (1-i)Sila.líe c10 objeto superior seilclo

processada

.

(i)Solução final.

. . . .

.

. .

.

. . .

.

139 9.21 Dual-T-Silaltes: Resultado iilsatisfatório para objeto superior.

.

. .

.

140 9.22 Dual-T-Silalies: Solução e sua projecão n a ma.llll-ia 3

x

3. .

. . . .

141 9.23 Dual-T-Silalies: Solusio e sua projeção na ma.lha 5

x

3. .

.

. . . .

142 9.24 (a)Soluc;ào clo Dual-T-Silalie sua~rizacla. (11)Espa~o

clc busca corres-

poncleilte.

.

. . . .

.

. . .

.

. . .

.

. .

.

. . . .

144 9.25 (a)-(cl) Solusões c10 Viterbi para os exemplos das Figuras 9.2%.

. .

.

146 9.26 Objetos imersos e m meio com ruído espoilei~cial.

. . . .

.

. .

147 9.27 Campo

o.

obticlo pelo métoclo clas conexões fuzzy paxa a Figura 9.26. 148

9.28 Solucão clo Dua.1-T-Silaltes para iiormd clefiilicla seguilclo o campo

ao

mostraclo n a Figure 9.27.

. . .

. .

.

. .

.

. . .

. .

. . . .

.

. . . .

148 9.29 (a.)Espaco cle busca gerado

a

partir cle off-sets. (11)Soluçiio final.

.

. .

148 9.30 (a )Ima.gem original. (11) Triangula.ção com resoluçio 5

x

5 e F u q à o

Característica clo Objeto.

.

. . . .

.

. . . .

.

. . .

.

. .

.

150 9.31 Inicializaçào

e

solução clo Dual-T-Silakes para fatias 15, 55 e 60.

.

151 9.32 Soluçào obticla por prograinaçã.~

clinâmica p a r a .

a fatia de iliimero 15. 152

9.33 Células c10 sangue.

. . . .

.

. .

,

.

,

.

. . . .

153 9.34 Imagem da Figura 9.33 filtrada.

. . . .

.

. . . .

,

153 9.35 ( a ) Inicializaçào do Dual-T-Si~altes. (b)Solus50 final c10 Dual-T-Silakes. 154

9.36 Solucão final clo Viterli corresponcleilte

à

Figura 9.33.

. . . .

154 9.37 Células da coluim cervical.

.

. . .

. .

.

. . . .

.

. .

,

. . . .

155 9.38 Aprosima@es lineares obticlas para mallia 55

e

1imia.r

T

=

150.0 aplicaclo sobre

a

imagem cla Figura 9.37, sem usar limites para área.

.

156 9.39 Resultado obtido para malha

1 x 1 e

limiar

T

=

150.0, usailclo limites

(15)

9.40 Resulta.clo obtido p a m células cla coluna usando mallia

1

x

1

e limites

inferior

e

superior para Area dados por 75.0 e 500.0. respectivamente

.

157 9.41 ( a )

C6lulas cle tecido animal (porco)

.

(b)i-lplicaçào do limiar

T

=

105.0 para a iilteilsiclacle de ima.gem. (c)\i;?.rieclade lineares por partes

. . .

obticlas por (1)-(4)

.

(cl) Solução final

158 . . .

9.42 Resultado d a Figura 9.41.d

e

malha 5

x

5

158 . . .

9.43 Ii~mgem

conteilclo objeto amorfo

159 . . .

9.44 Inicialização obticla para

a

Figura 9.43 para malha 9

x

9

159 9.45 (a) Inicialização para malha com resolução cla iiiia.gem. (11) Curva

.

. . .

inicial e Offset

160 9.46 (a) Espaço de busca clefiniclo pela solução inicial e seu offset

.

( h )

Resultado do Viterbi.

. . .

161 9.47 Estrutura interior ( n ~ ~ c l é o l o ~ )

cle

iima

célula

. . .

162 9.48 Segmeiltaqão cla imagem cla Figura 9.47: (a)Solução c10 Dua.1-T-Silaltes

para malha 15

x

15 .

(11)

Solução correspoilcleilte c10 Viterbi

. . .

162 9.49 ( a ) Offsets para iiiicializas Dual-T-Silalies

.

(11)

Soluqão c10 Dua.1-T-

Silaltes para malha 5

x

5 .

(11)

. . .

163 9.50 Soluçào fim1 para

.

imagem 9.47.

. . .

163 9.51 Imagem origiilal

. . .

164 9.52 (a.

)

Célula cle Gato: Imagem filtrada por suavização cliiecioilal

.

(11)

Resultado cla aplicação clo limiar T

=

80.0. . . .

165 9.53 Célula

cle

Gato: (a) Iilicializa~ão

c10 Dual-T-Silaltes

.

(11) Solução par-

cial do Dual-T-Silaltes

. . .

165 9.54 C d u l a de Gato: (a)Crescimeilto cle região baseado n a triailgula+io

.

(11)

Re-iiiicia.lizanclo o Dual-T-Silaltes para

a

célula cla escluercla

. . . .

166 9.55 So1iiçã.o final c10 Dual-T-Silaltes juiltameilte com crescimento cle regiào

para células cle Gato

. . .

167 9.56 Solução filial para

.

células cle Gato

. . .

167 9.57 (a)-(]]) Imagens do Projeto Homem Visível

. . .

1

GS

9.58 Homem Visível: (a)Varieclacles lineases obtidas

. (11)

Resultado obticlo

.

168 9.59 Homem Visível: (a.)Varieclacles lineares obtidas

.

(11) Iilicializaçào fiilal

p x a

.

Figura 9.57.11.

. . .

169 9.60 Radiografia c10 t ó r a s

. . .

170 9.61 Radiografia c10 tóras: (a)Imagem filtrada

.

(11) Result aclo d a aplicação

c10 limiar T

=

180.0. . . .

171 9.62 Radiografia do tórax: (a)Inicialização c10 Dual-T-Silalíes

.

(11)

Espaço

. . .

cle busca obticlo

171 B . l Esquema coin principais etapas para

.

ap1ica.çà.o da Teoria de Lie e m

vis2.o computa.cioila1.

. . .

195

(16)

C.1

Sul~clivicliilclo um cubo (célula) para obter tria.ilgulação tipo

CF.

. . .

202

C.2

Politopos para triailgula~ão tipo

CF.

.

. . . .

.

. . . .

. .

. . .

.

. .

202

C.3

Formação clos espacos usados para algoritmo cle classificacão em

3D.

.

203 C

.4 (a)Elemeilto triailgulas se moveu para nova posiq2o clueimailclo nó

cla triailgulacão. (1~)Polieclro formaclo pelo elemento triaiigulas na

posiições nova. e antiga. (c) Partiç5.o c10 espaço.

. . . .

.

. . .

.

204 D . l

Sistema dc coorclei~aclas 1oca.i~ no centro cle curvatura cla isoliilha de

potencial passailclo por um ponto q.

. . .

.

. . . .

.

. . .

.

. . . .

210

D.2

Sistemas cliiiâmicos hiperl~ólico

3D.

.

. . .

.

. . . .

,

.

. . . .

218

D.3

Foco instável.

.

. . .

. . . . .

.

. . . .

. .

.

. . .

. .

.

218

(17)

Capítulo

1 Introducáo

3

Descle sua ii~troclução por I h s s a t a.1. ( I h s et al. , 19SS), os i\iloclelos cle Contorno Ativo (Sizakes) vêm se estal~eleceilclo como u m importante recurso para a soluç5o de problemas e111 processaineilto cle imagens cligitak, particularmente p x a segmeiltação de imagens e ti-aclwzg ( Blaclí

&

Y'I.uille, 1993).

A

segmeiitaçào 6 u m passo fuilclameiltal para a a i d i s e e iclentificaçào clas carac- terísticas relevantes em uma imagem (Jaiil, 1989). Segmeiltar uma iiliagem significa separá-la e m regiões com proprieclacles coiizuszs (cor, textura, etc) as cluais corres- poilclem a objetos ou partes cle objetos lia imagem, ou mesmo ao backgl-ound (Joiles

&

l\;Ietaaxas, Juile, 1998).

De maneira geral, os métoclos para segineiltacão fazem uso cle limiares (thi,eslzolcls) e l-iipóteses ii1icia.i~ para a imagem tais como tipos de texturas, clistribuiqão c10 his- tograma, etc (Zhu

&

Yuille, 1996). Grosseirameilte, estes métoclos poclem ser classi- ficados e m cluatro grupos

(Zhu

&

Yuille, 1996): Filtragem local (Cailily, 1983), coil- tornos ativos (Blaclí

&

Yuille, 1993), crescimeilto e agrupamento cle regiões (Aclams

!k Bischof, 1994) e otimizaçào cle f~mções cle energia clefiiliclas globdmente sobre a imagem ( B a y e s / A / l i i i i m ~ Descriptioil Leilgtli (i\/IDL) (A!lumforcl $L Shah, 1989)).

Os m6toclos baseaclos em filtragem local sào particularmente úteis para o realce cle características cle interesse (borclas, por esemplo(Cailny. 1983)) P para a cletecção

cle regiões com uma mesma textura, como 6 o caso típico

c10

filtro gaussiano (Jaiil, 1989).

Nos métoclos que usam crescimeilto e a.grupameiito cle regiões procura-se cliviclir o clomínio cla imagem e m subregiões, cada uma clestas satisfazeilclo algum critério cle l~o~~zoye~zezclc~cle. Os objetos seyineiztaclos por estas técilicas apresei~tam e m geral borclas irregula.res pocleilclo ocorrer peclueilos buracos no interior dos mesmos os cluais cleverão ser preeilchiclos e m u m a etapa cle pós-processameilto.

As técnicas eilvolveilclo critérios globais (BayeslMDL (Zhu

k

yuille, 1996;

Mu-

mforcl

lk

Sliah. 1989)) procuram segmeiitar a iinagem usaiiclo f~mçòes cle energia clefiiliclas glohalilieilte sobre a mesma. Neste seilticlo, têm a I-ailtagein cle tratar a imagem coiiio u m toclo, mas, por outro laclo, apreseiltam a clificulclacle extra cle

(18)

eiicoiltrar o míiiiiiio global que foriiece a sol-cição cleseja.cla.

Os i'doclelos cle Coiltoriios Ativos, por sua vez, lia sua formula.cão origiiial pro- posta por Kass aat a.1. (I<a.ss et al. 1988)) fazem uso cle iiiformaçòes locais sobre uni coiitoriio, pocleilclo incorporar t a i i b é m iilformações a priori sobre a imagem como u m toclo ou sobre os segmentos procurados. São métoclos usados para estraçào clas l~orclas clos objetos d a ceiia., seiiclo em geral aplicaclos coiljuiitaiiieiite com técnicas de filtra.gem usaclas lia cletecçã,~ cle pontos cle borclas (Canily, 1983; Coheii, 1991). Uma clificulclacle com estes métodos é a iiecessiclacle de uma boa estimativa inicial do contorno procurado para garantir o bom fiiilcioiiameiito do iiié toclo.

Apesax disto, esses moclelos t ê m a vaiitagem de facilitar a iiicorporaqào de iiifor- iimçòes coilheciclas a. priori sobre os coiitoriios (topologia, sua.vicla.cle, etc) bem c01110 facilitar a iiitera,cão com o usuário cluailclo esta se torim iiecessária. Estas vaiitagem vêm motiva.nclo a aplicação destes moclelos e m cliferentes coiitestos (Blaclí

&

Yuil- le, 1993) bem como sua agregacão a outras técnicas geraiiclo moclelos mistos, como pode ser verificado em (Zllu & Yuille, 1996).

4 s téciiicas de coiitoriios ativos ( s n a k e s ) coilstitueiii o enfoclue deste trabalho. 41ém cla extração de bordas dos objetos cle iiiteresse, as silakes tamhéiii são utiliza- das para t ~ a c k ~ m g cle objetos e m secliieilcias de imageils (Leymarie

&

Levine, 1993; Peterfreuncl. 1999; Blacli & Yuille, 1993)) embora esta última aplicaçào nào seja teiiia cleste trabalho.

Slialies sào uiil tipo particular de naocldos c l t f o r n ~ i l t ~ ~ ~ ~ (Blaclí

5-

l ú i l l e , 1993). E111 geral, o termo modelo cleforiiiável em processameilto de iiiiageiis refere-se a uma curva/superfície inicial (

t

enzpl cit e ) a clual se deforma sob a a5 ào de " forças" iiiteriias

(iiitríiisecas à geometria d a curva) e externas (clerivaclas da iinagciii) atiiigiiiclo o ecluilíbrio solsre a froiiteira c10 o11 j eto.

Neste tral~allio, claremos eiifoclue especial às silalíes em

2D

,

embora a e s t eiisã,o destes métodos para superfícies pocle (em geral) ser feita sem grailcle clificulclacle (Black

&

Yuille, 1993; Colien

&

Colieii, 1993).

Na versão clássica (Icass et al.

,

1988) c10 métoclo cle siialíes o template cleforiiiável

é uma curva coiitíiiua, parametrizacla, e o sistema de forças (iiiteriias e esteriias) provem clas ecpações cle Euler-Lagraiige associaclas a u m fuiicioiial cle energia de- finido sobre a curva, o clual é basicamente coiistituíclo por dois termos: u m terino de energia iiitprila que iiicorpora restrições geométricas estabelecidas a priori para a solucào (suaviclade. por eseiiiplo) e u m termo cle energia esteriia clefiiliclo a partir cle elementos cle interesse lia iiiiageiii (pontos de bordas. texturas. etc )

.

O

objetivo

6

c l ~ ~ e o sistema de forcas possa "puxar" a curva (siialie) em clireção a uma borcla ficando e m ecluilíbrio (estável) sobre a mesma (iníiiimo da energia).

As ecluaçòes de Euler-Lagraiige para as siialíes não possuem e111 geral soliição analítica esigiilclo a utilização cle métodos iluiiiéricos para obter u m a solução apro-

(19)

siinacla que teilha u m grau suficiente de precis5.0. Para isto. poclem ser einpregaclos os métoclos de Difereiqas Fiilitas (Leymarie

&

Levine. 1993) ou cle Elemeiitos Fiili- tos

(

Colieii

St-

Cohen, 1993). O primeiro, tem a vantagem de ser simples eilcluanto que o segundo pode ser iimis robusto.

Os moclelos cle silalíe oilcle a curva é represeiitacla pa.rai~letricxiieiIt são cleno- minaclos m.odelos paramétricos tendo como ponto de pa.sticla comum o tral~allio de Ir'ass at

d.

(Kass et al.

,

1988). i\/lais aclia.iite discutiremos os m,odelos i m q ~ l k i t o s

(ver

(W.J.

Niesseii

&

Viergever, 1998) para uma revisã.o

c10

assiiiito), que constituem uma alternativa ao moclelo origiild.

O inoclelo de I h s s a t al. ( I h s s et al.

,

1988) possui várias limita@es.

Primeiralilente, a energia é e m geral não convexa implicailclo iluma alta sensibi- lidade à iilicicilizacào. Relacioiiaclo com este problema está taml~í.ili a força normal cleterimiilacla a partir clas ecluaçòes de Euler-Lagrailge. Esta força atua i10 sentido de colapsar contornos fecha.clos e m uni ponto ou contornos abertos ciil 11111 segmento cle reta o que e m geral é u m efeito iiiclesejaclo pela clificulclacle cle controle desta força cleviclo sua clepeilclêilcia com a geometria cla curva (Guiiil

&

Nisoil, 1997).

A

não-coiir~esiclacle cla energia está cliretaiiiente relacioilacla com a escoll-ia clos par2iiletros c10 moclelo. Estes p x â m e t r o s vão cletermiilar a importâilcia relativa cle cada termo c10 fuilcioilal de energia.

A

alta sei~sibiliclacle c10 resultaclo com relação aos parâmetros se constitui e m u m a clificulclacle inerente ao moclelo cle siialces (Leymarie

& Leviile, 1993; Guim & Nisoil, 1997), unia vez que 1120 existe uni proceclii~~ei~to sistemático para cletermiilá-10s.

Outro prol~leiiia c10 moclelo origiiial é sua limitaçc?.~ à topologia de uni segmento de reta ou cle uma circuilferência

1150

seilclo possível sua variaçào cluraiite o processo através de operaqòes de splzt/7n.e7ge.

Neste trabalho fa.remos uma aborclagem clos iilétoclos de contorno ativo viiiculacla às soluçòes empregaclas para estas liinita@es

c10

iiioclelo origiiial.

Neste seilticlo, a não-coilvesiclacle cla energia clas silalíes tem lugar central nesta apreseiitac$ío. Este tema é ailalisaclo com rigor por Priilce at al. (Davatzikos

&

Priiice, 1999) i10 contesto clas silalíes abertas. Nesta referência, os autores partem cle u m a versão discreta c10 moclelo origiild e alialisam a energia correspoilclente.

A

energia se torna então uma f~iiicão cle

N-

2

pontos, oilcle

N

é o i ~ ú m e r o cle pontos d a curva cliscretizacla (coiltailclo os pontos estiemos fisos) e assim tem-se u m problema. cle otiiniza.qão não-linear. Neste caso, a análise cle coiivesiclacle recluz-se a análise clos a.utovalores de sua Hessiaiia. Procura-se eiit5.0 estabelecer coilcliçòes pa.ra. que estes a.utova.lores sej ai11 estri t ameilte positivos (energia. estritamente coiwesa) .

Uma. forma cle contorilar o prol~leina cla 115.0 convesiclacle é imergiiiclo o moclelo origiiml ein uni contesto cliilâ.iiiico, oilcle a curva possui também m i a a.ce1era.qà.o que lhe permite abaiic1oila.r o clomiilio de a . t r a ~ ã o de u m iiiíiiiiiio 1oca.l ( B l ~ l i Y_. Yuille.

(20)

l993). Esta generalização c10 iilétoclo pode ser obticla cliretaniente via foriiiulaçào Lagrangeana (Goldsteiil, 1981). Apesar cla vantagem meilcioila,cla acima, para esta t6cilica ser realmente eficiente pam a estra.çào ele borclas, ilecessita-se ele u m clelicaclo tmde-ofleiitre os l~arâilletros eiluolviclos o que se constitui em uma clificulclacle extra (Giralcli

&

Oliveira, 1999).

Lembramos que a forinula~ão Lagrangeana tem a vailtagem de ser iiidepeilclente

c10

sistema cle coorcleilaclas utilizado. Ela é usacla em clifereiltes tral~allios c105 cluais citamos e m particular (Curweil

&

Blalie, 1993; Bhcli

k

y ~ ~ i l l e , 1993) oiicle 6 trci.tac10 o problema c10 ti~ackzng ele objetos.

Outra possibiliclacle para climiiluir os efeitos ela não coilvesiclacle cla energia é

usa.r métoclos multi-escala. Basicaineilte, o moclelo é resolvido para u m a resolução mais baixa (escala grossa) d a imagem e sua solução nesta resolução é usacla como coilclição inicial para a e s c d a seguinte (Leyma.rie

&

Levine. 1993).

A

meclicla. que o método avança para escalas mais finas espera-se ficar mais próximo c10 i~iíilimo (global) clesej aclo. Esta inetoclologia t e m o custo computaciolia1 e s t m cle se inoiltar a represeiltacào multi-escala ela ima,gem. Além clisso, caso a secliiêiicia cle escalas utiliza& não seja aclecluacla a coilvergêilcia p a m o contorno procurado pode não OCOrl'Pr.

O

probleiiia da 1150-coilr~esiclacle cla energia está ~liret~iineiite relacioiiaclo com a força normal interna que surge iia.turalmente clas ecluações de Euler-Lagrange. Para diminuir os efeitos iilclesejáveis clesta força Col-ieil propôs em (Coheil. 1991) a aclição de uma força iilterila (normal) extra, juiltaineilte com uma normalização d a força externa (força cle imagem).

Gang Xu a t al. (Xu et aí.

,

1994) sugerem t a i l ~ b é m a adição de forças internas estras mas cle u m a forma mais sistemática. Neste caso, a curva é alxoximada localmente pelo círculo clefiiliclo pelo centro e raio cle curvatura e a partir desta apro- siinação é obtida. u m a rela.ção eilvolveiido os pa.râ.inetros clas f0rça.s interilas. Esta. relacão fornece uma estimativa eficiente para a força normal iilteriia. Este métoclo tem a \-ailtagem aclicioilal de reduzir a sensibiliclacle c10 moclelo aos parâinetros iil- ternos o que alivia o proldema cla escolha cle parâmetros. Apesar disto. o inétoclo torna a cun-a ilieiios seilsível a contornos mal clefiiliclos (brtbj?jr-tlilo.\). ,4léin clisso;

tem o custo aclicioilal ela cletermiilação ela aprosimaçào local cla curva e sua esteilsào para o caso 3D não é óbvia.

Outra maneira ele remover os efeitos inclesejaclos cla força normal ele contracão c10 moclelo cle silalies é através c10 conceito de z~avai-rância por trailsformaçòes, o qual

é bem coi~heciclo em visão computacioilal (Gool et al.

,

1995).

Esta icléia vem seiiclo aplicacla em silakes no contesto de coiltorilos fechados e coilsiste primeira.i~leilte lia utilização de u m a energia interila que possua proprieclacles aclicioilais cle ii~variâilcia além clas usuais por tra.ilsla9ção e rotação.

(21)

Esta energia interna pocle ser o11 ticla atravP,s ele u m moclelo ele forma \-iilculaclo a

~ i m protÓtzl)o (113

&

Sheii, 1998) 0x1 siiliplesmente clerivaclo cle elementos que teliliam as l~rolxieclacles de iiwariâilcia clesejaclas

(Ip &

Sl-ieil, 1998; Gunn $L Nisoil, 1997).

Com isto, evita-se o colapso cla curva, u m a vez que a silalíe t e m agora a teilclêilcia natiiral de adcpirir a forma pré-estal~elecicla no inodelo. Isto iilclusive limita a maneira como a silalíe se cleforma clurailte sua evolucão.

E m

(IP

& Slleil, 1998) a iilvariâilcia é por trailsformaçòes afins sobre a curva (trailslacão e trailsformacões lineares não-siilgulares). Neste métoclo é cleseiwolvicla Lima ilocào cle curvatura afim-invariante empregada. como elemento de suavizaçào ela, soluçào e uma energia ele moclelo que vincula a forma ela silalie a u m protótzpo. Para este vínculo ser impleilieiltaclo é necessário uma correspoilcl&iicia eiitre os pontos do protótipo e ela snalie, o que aliás é uma característica comum dos modelos de f o l m ~

atrva, tais como (111

&

Slleil, 1993).

Este método é apropriaclo para segmentação cle cenas oilcle objetos com formas previamente coi~heciclas foram cleforiliaclos por trailsformacões afins ou que possam ser aprosima,clas por u m a secliiêilcia cle trailsforiiiações cleste tipo (projecões, por esemplo)

.

O

método Dual (Guilil

&

Nisoil, 1997) é outro exemplo

c10

emprego

c10

conceito ele iilvariâilcia para silakes. Este métoclo consiste basicamente cle u m contorno que espancle a partir c10 interior clo objeto e de u m outro contorno que contrai a partir elo exterior.

E

es tabelecicla uma correspoilclêilcia entre os dois coiltorilos o que permite que os mesmos sejam iilterligaclos para obter-se u m a força aclicioilal ( d ~ ivmg force)

a clual é usacla para retirar o coiitorilo ele míilimos locais garailtiilclo iliais robustez.

A

necessiclacle ele coirespoilclêilcia eiitre os pontos clas sl~alies impõe restrições

à forma clas mesmas o que olxiga a utilizacào ele uin inoclelo de forma. liias neste caso sem a ilecessiclacle cle víilculo a u m protótipo. Este moclelo cle forma iinplica i~aturalmente ila iiwariâilcia por trailsformacões ele escala uma vez que a escala (tamanho) elos objetos cle interesse não é supostamente coilhecicla a priori,

O

métoclo clual t e m a vantagem de evitar míilimos locais pela acão cla força aclicioiial, coilstituiilclo-se em u m a alternativa eficiente para o problema ela não coil- vexiclacle d a energia ela silalce.

E m (Guilil

&

Nisoil, 1997) eilcoiltrainos a formii1acà.o c10 moclelo clual baseada em uma ecluacào de evolucão (métoclo variacioilal)

.

E m (G;uiiil. 1996a) eilcoiitrainos uma outra formulaçko baseada em prograina~ào cliilâinica. Estes moclelos serão cliscuticlos eiii cletalhes durante este trabalho.

A

utilizaqào de prograiiiaçào cliilâmica no contesto ele ~ilalies é apreseiltacla em Ainiili a t al. (í-liniili et al.

.

1990) e se constitui em uma alternati\-a ao métoclo variacioilal ( Ecluaçòes ele Euler-Lagrailge) ,

(22)

lrdade (Dreyfus. 1965) para escrever o problema cle otimizacào original como u m cle busca num espaco cle curvas aclmissíveis e a partir daí clesenvolver as ecluaqòes básicas correspoilcleiltes (Dreyfus, 1965). Se pressuposto uni moclelo discre- to para as curvas este problema cle busca correspoilclerá a uiu processo miilti-estágio oilcle o número cle estiigios é igual ao número de pontos da silalíe (suiaz:elu)(Amiili

et al.

,

1990).

As principais vailtageiis d a programação cliilâmica com relacào aos iliétoclos va- riacionais são a segurailca de atingir o ii~íilimo global e a robustez u m a vez que neste caso 1120 precisail~os calcular clerivaclas de orclem superior cla. imagem (Amini et al.

,

1990). Coiltuclo, os métodos usailclo prograi~laçã~o cliilâiiiica são limitaclos pela ilecessiclacle de arinazeilamento em memória d a orclein de

O

(NlM2) e comple- siclacle computacioilal cla orclem cle

O

(NlV3)

onde 1\' é o ilúmero de silasels e 114 é

o talilanho cla viziill-ianca e m torno cle cacla silasel, totalizaiiclo u m espaco de busca. discreto com AilU pontos para cacla iiltera.ção.

Dentre os métodos de silakes que usam programacão cliil2mica aqueles que utili- zam o algoritmo

1 - ~ t e ~ - b z

(Guiln, 1996a; Bamforcl Louell, 1995) sào cle particular interesse para este tral~alho.

A

icléia central neste caso é limitar a horcla procuracla por duas curl-as. uma interior e outra exterior ao objeto correspoi~clei~te. para então criar um espaço de busca que seja mais eficiente. Este método tem a va.ntagem cle climiiliiir o esforco computacioila.1, pela reclução c10 espa.co cle busca agora limitaclo

à região entre as curvas. No entanto, esta vailtagem só se torna efetiva se puclermos cletermiilar cle forma automática os coiltorilos internos e esterilos. Este é o ponto que limita e m muito o campo cle aplicacão desta metoclologia,.

As limitaqòes topológicas do moclelo origiilal são tratadas no contesto dos modelos paramétricos basicaineilte por proceclimentos compostos por duas etapas: 1)

cletermiilacào cla ilecessiclacle cle miicla.ilcas topológicas; 2 ) uni método (cn~i7y'co) para efetuá-las.

Por inuclaiiqas topológica. enteilclemos o fato de unia siialíe (fecliacla) se sul~cliviclir em duas (ou inais), ou váxias sila.líes se juilta.rem em unia única.

E111 (Durilto~ic et nl. i 1995) eilcontramos u m método deste tipo usado para

cliviclir u m contorno fechado e m dois outros. Nesta referência., isto é iniplemeiltaclo primeiramente coilstruiilclo-se u m l-iistograna cla iilteilsiclacle cla. forca. cle imagem ao longo cla. siiake com o objetivo de icleiltificar u m a região apropriacla para cortar a. silalte (região com contraste mais fraco). A seguir, o métoclo procura dois pontos nesta região para serem os extremos c10 segmento que cortará a curva e m cluas partes. Este métoclo t e m a clesvantagem de não tra.tar o proldema c10 merge entre coiitornos e sua este11sã.o para superfícies não é óbvia.

Uma iiietoclologia mais geral para incorporar muclailqas topológicas às silakes é

(23)

A idéia básica cleste métoclo é imergir o moclelo cle maltes e m u m a clecomposição simplicial ( t r i a i ~ ~ u l a ç ã o ) c10 clomíiiio cle interesse permitiilclo a utilização de resultados e m métodos cle coiltiiluação il~imérica para a e x e c q ã o eficiente e robusta de muclan~as topológicas (Allgower

&

Georg, 1990).

Neste método, os silasels são cleteriliiimclos a partir clas iiitersecções cla s d i e com a triailgulaçiio. Este processo correslloilcle a uma reparametrizaçiio da curva (silalíe) baseacla na subclivisão

c10

espaço no clual a mesma está iinersa. Tal proce- climento (estríilseco) tem a clesvai~tagem cle perturbar a silake (particularmeiite nas l~rosimiclacles clas borclas clesejaclas) e tornar o métoclo muito sensí~-e1 à triailgulaçào usacla. Esta reparametrização tem também a clesvailtagein cle torilar a eilergia iilterna d a sllalie nào-iiwariailte por rotação e trailslaçào da curva, unia vez que sua cliscretizaqão clepeilcle d a sua posição no espaço.

Estas limitações d a T-silalte forçam que a evoluçào d a mesma seja clefiilicla via informações estritameilte locais, não eilvolveilclo ileilhum processo de miilimização explícito (McIileriley, 1997).

A p e s x clas clificulclacles citadas, u m a vez projetacla a silake,

6

possível clistiil- guir eficientemente os

nós

(vértices clos triiingulos) iilterilos e esteraos à mesma criaiido-se uma função ca7.acter2st.ica que t e m valor 1 para nós interiores e

O

para os esteriores. Esta fiinçào é o elemento central c10 métoclo uma vez que clispoilclo de u m algoritino suficientemente rápiclo para atualizá-la, as muclailças topológicas cla(s) silalie(s) se recliizem a eilcoiltrar os triângulos de horcla correspoilclei~tes (triângulos oilcle a fuilqão cara.cterística muda seu sinal). Este proceclimeilto simples para a implemeiltaqào de muclanças topológicas é o grande beiiefício obtido a partir cla reparametrizaqão clescrita acima (McIileriley, 1997).

Dentre as vantagens cleste métoclo estão a sua geileraliclacle, permitiilclo tanto agrupameiito quanto particioilameilto cla(s) silalte(s), e a possibilicla.cle de esteilclê-10 i~aturalmeilte para. superfícies u m a vez que seus elementos básicos (triailgulação, reparametrização, fuiição ca.racterística) são eficientemente esteilclíveis ao caso

3D

(McIileriley, 1997).

O

inétoclo clas T-silalte será o11 jeto cle particular atenção neste t r a11 alho.

As T-snalies tem como u m clos métoclos iilspira.clores as formula~òes implícitas c10 moclelo clc silakes

.

particularmente o moclelo clos Coiljuiltos cle Níveis

(

Level-Sets) cleviclo a Sethiail a t al. (Mallacli

e t

al.

,

1995).

Nesta formula.cão. a silalie é clefiilicla pela iiiterseccão de unia superfície bicli- ineilsioilal

(li

com o plano s j r (level-set). Desta forma, a c?-oluçáo cla silalie está

uiilculacla à evoluçào da superfície ( e vice-versa) o que fica precisaiiiente cletermiila-

c10

pelas ecluações c10 tipo H a ~ n z l t o n - Jncob? para a f~iilçào

Q

(.r. y j f ) .

Neste contesto, as mucla.ilças topológicas ocorrem ilatiiralmeilte uma vez que a iiltersecção cla siiperfície com u m plano pode muclas a sua topologia de forma

(24)

contínua e suave clescle que iI, (n., y ,

t )

permaileca uma f~iilç.50 durante sua euolucào. Além clas habiliclades topolÓgicas, acrescenta-se o fato dos métodos iluméricos utili- zaclos para evoluir (a., y,

t )

terem boa estal~iliclacle e da esteilsiio para superfícies l~iclimeixiioilais ser direta (I\/lallacli et al.

,

1995).

No entanto. o uso esplícito cle u m a climeilsào estra torna este iiiétoclo inenos intuitivo que os modelos paramétricos, trazeilclo clificulclacles para a incorporacào cle informações adicionais (de forma, por eseniplo), ou víilculos tais como pontos atratores (Icass et al.

,

1988), clificultailclo inclusive a interação com o usuário caso esta se torne necessária.

Neste ponto, o métoclo clas T-Silaltes é mais vanta.joso uma vez que sua formu- laqão paramétrica facilita os estabelecimento cle ulízculos pelo usukio.

No métoclo clas T-Silalies uscicse u m a forca normal para guiar a snalíe em clireçiio às horclas desejadas.

O

seilticlo clesta forca é clefiiliclo em fiiiqào cle u m limiar para a iiltensiclacle cla imagem. Uma forma. cle evitas míiliilios locais é variar este limiar dentro de u m intervalo estabeleciclo por estatísticas cla imagem. Além clisto, o métoclo clc reparainetrizacào usaclo permite identificar facililieiite cluanclo duas curvas estào prósiinas. Estas ohservacões foram o ponto de particla para a idéia de colocar o métoclo Dual e as T-Siialtes e m u m moclelo unificado, por ilós cleiloininaclo Dual-T-Silalies (Giralcli

&

Oliveira, 2000; Giralcli et al.

,

2000cl; Giralcli et al.

,

2 0 0 0 ~ ) .

Resiimiclameilte, a metoclologia coilsiste e m explorar o moclelo clas T-Silaltes para propor u m Modelo D i ~ a l de Contornos Ativos Generalizado: nm. contoixo e z t e m o , e~zvolvendo os objetos de interesse, contrai e se divide enq,z~,anto que c o n t o ~ n o ~ i12- t e m o s aos objetos se ezpandem. em. direçâo às bordas proci~radas.

Como resultado, coilseguimos u m a nova. inetoclologia que é clual e topológica ao

mesmo tempo. claí cleilomiilá-la Dual-T-Sna.kes.

Para fazer a siialíe externa contrair e as silaltes internas espailclirein em clireqão às borclas dos objetos nós usainos t a m l ~ é m forcas iiornmis c10 tipo clacluela usada na T-Silalte.

No Dual-T-Silalies, o limiar usaclo para definir o sentido da força normal é iiiter- pretaclo como uma noção cle aJi1z7,dade a clual é usacla para iclentificar cluais silasels poclein receber força e s t r a e assim retirar uma s d i e cle u m iníilimo local de forma eficiente.

A

força e s t r a t e m direção normal, não clepei~clei~clo portaido de correspoilclêilcia entre os silasels, como é o caso c10 Dual original (Gunil

&

Nisoil, 1997). As auto- iiltersecções que poclem ocorrer ein função cla evolucão clas curvas segundo sua nos- ma.is são ilaturalmeilte trataclas pela inetoclologia clas T-Silalíes.

Para que o métoclo seja eficiente é necessário definir elementos que tornem a evoluqào da silalie esteriia e clas i1lterila.s ii~terclepei~cleiite. Neste tral~alho isto é

(25)

ii~~l~leinentaclo usailclo-se a

enei-gia de i m a g e m (normalizada)

sobe a s s n a k e s

e a noção de

afi~aidade

citacla acima.

Do ponto de vista cla metoclologia Dual alxesentacla origiilalmeilte e m ( G u i l i ~

&

Nixon, 199'7). a primeira vantagem c10 Dual-T-Sidtes a ser ressaltada é clue este i ~ à o necessita cle "matchiilg" entre as ~ i l a . l i e ~ internas e externas. Assim, podemos l~resciilclir cle u m moclelo de forma a priori e deixar a forma clas sixdíes livre durante a evolucão c10 métoclo. Acresceiltanclo-se a isto as lial~iliclacles topológicas

c10

Dual- T-Silalies (herança clas T-Snalie), pode-se dizer que o novo m&oclo geaeraliza o Dual original, tanto para formas mais gerais cluailto para topologias mais gerais.

Além clisso. o Dual-T-Silalies abre a possil~iliclacle efetiva clc estencler a metoclologia clual para 3D, via as T-Superfícies uma vez que não preciminosde corres- poilclência entre os simsels ou mesmo cle u m moclelo cle forma pré-estabeleciclo.

Do ponto cle vista clas T-Silaltes, o Dual-T-Siialtes trouxe efetivameilte mais robustez cluailto aos mínimos locais ela energia ele imagem pelo balanço ela energia entre as silalíes internas e esteriias e a noção cle prosimiclacle entre as curvas dada pela triczlgulação. Agora, o critério ele pa.racla baseaclo na prosimiclacle (local) entre as silaltes é u m iilclicaclor mais seguro ele que o mínimo global foi atingielo. Para retirar uma T-Silalte ele u m iilíilimo local podemos usar tanto forca normal extra como aplicar o métoclo cle variacão c10 limiar

T

proposto inicialmente nas T-Silalies (McIileriley. 1997: AicIiierney

Sr

Terzopoulos, 1999).

Um clerivaclo iilteressaiite c10 Dual-T-Silalies é a reclução c10 espaqo de busca, 110- cleilclo assim ser utilizaclo para iilicia.lizar o Dual 11a.seaclo em progra.ma.qão dinâmica, vencenclo com isto a clificulc1a.cle c0111 a inicializaçào cleste último. cliscuticla acima.

Apesar clas vantagens citadas, o Dual-T-Siialies tem uma clesl-antagem clara com relacào à inicialização, u m a vez que precisainos cle uma snake interna para cacla objeto cle interesse, além da silalte esterim envolveilclo os mesmos. Se feito pelo usuário, este processo pode ser teclioso, priiicipalmeilte se temos vários objetos ele interesse. Além de evitar esta clificuldacle inicial, u m métoclo para inicialização automática poderia também climinuir o custo computacioilal c10 Dual-T-Silalies.

A

iilicialização é ele fato u m ponto crucial para a eficiência ele inoclelos cle- formáveis e m geral.

Teilclo eix vista estas cluestões, nós cleseiwolvemos iim novo métoclo para iniciali- zar moclelos cleforiiiáveis em geral baseado e m proprieclacles cla topologia clos objetos cle interesse e cla escala espacial clos mesmos.

O

métoclo tem c01110 base os elementos clas T-Silakes (Triailgulacào, Fuilcào Cara,cterística, e moclelo discreto de s d i e s ) e assim compõe com o Dual-T-Sila.ltes u m a metoclologia unificada para scgmeiita.çio e extração cle borclas.

4

filosofia do inétoclo segue ele perto a icléia básica ele alguns métoclos não- paraillétricos cle multi-resolu~ão usaclos e m segmentação de imageils baseaclos e111

(26)

moclelos cle Pirâmicles e Quacltrees (Burt et al.

,

1981; Bamforcl

&

Lovell,

11.~1.;

Jolion

& I\/loiltailvert, 1992). Estes são estruturas de claclos para representar u m a iinagem e m cliferentes níveis cle resolução.

A idéia básica clestes métoclos é que à ineclicla que a resolução va.i clecresce~~clo pequenos a.rtefa.tos no l ~ a c k g r o u ~ ~ c l tornan-se menos sigilifica.ntes em selacão a.os objetos de interesse. Assim, pocle ser mais simples detecta,^. os objetos no nível mais baixo para ent ào fazer o tracking nos diferentes níveis de resolucào.

Neste processo, é possível delinear as bordas em uma resoluçào mais l n i s a e reestimá-las cluanclo aumentamos a resolução (Jolion

&

Montanvert, 1992; Bamforcl

&

Lovell. 1l.d.).

Nosso tra1)alho descrito em (Chalcli et al.

,

2 0 0 0 ~ ; Giralcli et

(1.1.

, 2000a) usa uma metoclologia que pa.rte cle uma, resoluçào i11a.i~ baisa, definida através de u m c o i ~ h e c i m e ~ ~ t o a priori cla escala clos objetos. O método é a.claptativo no sentido que a resolução somente é aumentada nas regiões onde for coilsicleraclo necessário.

Para aumentar a resolução, nós simplesmente refiilanios a mall-ia mais grossa e amostramos a imagem sobre os nós correspoilclentes à nova malha. Assim, a. estrutura subjacente t e m a forma de u m refiilamento aclaptativo (local wnifoi.m. nested refinem.ent) (Berger

&

Oliger, 1984). U m esquema senielhante foi esploraclo i10 contesto clos Métoclos cle Coiljuntos cle Níveis (Sethiail, 1996). Contudo, nós niio coaliecemos referêilcia de aplicaçào cleste esquema para segmenta.çào.

Uma limita.ç%o cleste iilétoclo cle inicializaçào é a necessicla.cle cle u m a p r o p ~ i e - dade de escala local. Esta. proprieclade basicamente garante que podemos reduzir a resoluçào da imagem sem mudar a topologia clos o l ~ j etos. Contudo. esistem si- tuações oncle os padrões cle iilteilsiclacle dos o13 jetos de interesse iiào admitem tal proprieclacle.

Uma altermtiva para estes casos seria definir u m campo escalar sobre a imagem o clual camcterizasse melhor os objetos cle interesse (ou suas 11orcla.s). Além clisso, seria interessante que a definicão cleste novo ca.~npo piiclesse aproveitar a interveilção clo usuário n a inicialização c10 Dual-T-Silaltes.

U m métoclo que vem ao encontro clestas ilecessiclacles é o métoclo clas conesões fmzy ( f u z q comectedness) (Uclupa

&

S aniarasekera

,

1996).

Neste m@tocloi parte-se c10 argumento de que a. noção cle "objeto" em imagens digitais deve ser formaliliente clefiiiicla via coilceitos fuzzy a fim cle tratar a subjeti- viclacle iilereiite 8.0 ato de delinear a borda de u m objeto e m uma cena (Uclupa

&

Samaraselíera. 1996; Herman

&

Carvalho, mcl. ). O m6toclo

é

implemeiltaclo através de u m operaclor de afiniclacle que precisa cle pontos selilentes para ser clefiiliclo. Estes pontos serào usados para clefinir as ~ilalies internas iiiicializaclas pelo usuário no Dual-T-Silaltes.

(27)

usaclo na clefiniq5o clos objetos. Este campo será usaclo para determillar o sentido cla força normal no Dual-T-Silalies. Temos assim uma perfeita simbiose entre o métoclo de estraçào cle bordas e o métoclo de segmeiltaçào fuzzy, o clue motivou a utilizaqão cleste último neste trabalho.

Nos capítulos seguintes, discutiremos com precisào as liinitaçòes apoiitaclas iili- cialmente para e m seguida apreseiltar os moclelos alterilativos cle interesse para este trabalho chegailclo por fim ao Dual-T-Silakes. Daremos ateiiçào especial aos ilioclelo clas T-silalies (McIiieriley, 1997) e ao moclelo Dual (Guilil, 199Ga), os cluais coilstituem os pilares c10 nosso tralx~llio.

O

conceito cle iilvariâilcia também receberá particular ateilçiio.

O

texto que segue está orgailizaclo cla seguinte forma.

O

Capítulo

2

apreseilt a u m a caracteriza~ão cle pontos cle borcla baseacla e m conceitos de geometria Riemaililiaila, a clual pode ser usada para imageils i~iulti- varia.clas (coloridas, por exemplo). E m seguicla cliscutiinos esta caracterizaçào no contesto clos espaços de escala.

O

objetivo cleste Capítulo é introduzir os elementos l~ásicos eilvolviclos na clefiili$io d a energia externa clas siialies.

P a r t i d o clos elementos iiltrocluziclos no Capítulo 2, apreseiltail-ios no Capítulo

3 o moclelo original clas siialíes e sua geileralizaqào via Formulaçào Lagrailgeaila. São cliscuticlos taiilbéii~ aspectos iiuméricos c10 mesino, bem como suas liinitaqòes lxísicas.

No capítulo 4 alxeseiltamos os elementos matemáticos usados para resolver as l i m i t a ~ õ e s esplicitaclas no Capítulo 3: Programação Diilâmica, Iilvariâilcia e Varie- clacles Implícitas.

No Capítulo

5

faremos uso clos elementos cliscuticlos até então para apresentar as os moclelos alterilativos de interesse.

E m seguida, apresentaremos no Capítulo G o Dual-T-Silalies, principal coiltri- lmição cleste trabalho. O métoclo para inicializaçào cle iiloclelos cleformáveis que cleseilvolvemos é apreseiltaclo no Capítulos S.

Reservamos o Capítulo

7

para discutir cletallies da imp1enieiitacã.o

c10

Dual-T- Siiakes. Nosso objeti~ro com isto é facilitas a cliscussào clos resultaclos esperiinentais feita no Capítulos 9. Fiilalizamos apreseiltailclo propostas para trahallios futiiros e coilclusòes no Capítulos 10.

Os Apêilclices A, B,

C

e

D

são complementares clcste trabalho e sua leitura não

é pré-requisito para a compreeilsão c10 mesmo.

O

Apêiiclice A clesenvolve aspectos d a programação cliilâillica no coiitíiluo com- pletaiiclo assim a, cliscussão d a secão

4.1

que t r a t a

c10

tema apenas no caso discreto.

O

Apêndice B cleseiwolve aspectos cla Teoria de Ii-ivariâilcia no contesto clos Grupos de Lie. Fii~alizamos este apêilclice i n c l i ~ a i ~ c l ~ possíveis clireçòes para esplo- rar a Teoria cle Lie no contesto cle inoclelos de silalie eilvolveilclo iavariâiicia por trailsformaqòes. tais como (111

k

Sheil, 1998).

(28)

O Apêndice

C

generaliza os conceitos algébricos d a secão 4.2 para varieclacles cle climeilsão clualcluer, estabeleceilclo assim a base teórica para a geileraliza@io c10 Dual-T-Siialíes para

3D.

Os conceitos relativos à análise de coiwesiclacle do niétoclo cle si~alíes são detalha- dos no Apêilclice D, onde esteilclemos o estudo apreseiltaclo em (Da.va.tzi1íos

St

Prince, 1999) pa.ra modelos clinâmicos de snakes. Os resultados apreseilta.clos são parte c10 nosso traball-io (C4iralcli

St

Oliveira, 1999) e também coilstituem uma coiltribui+io desta tese.

O iliétoclo das coilesões fmzy é clescsito no Apênclicc

E

e sua coilesão c0111 o Dual-T-Silalies 6 desenvolvida.

(29)

Capítulo

2 Deteccáo

a

de Pontos de Borda

Neste trabalho, estamos interessaclos na extração cle bordas de objetos em imagens digitais. Neste sentido, o problema inicial

é

a cleter1niimcã.o dos pontos clue podem pertencer à ç borclas (geilericameilte clei~omii~aclos p o l ~ t o s de bordas ( eclgts ) )

,

os cluais são caracterizaclos por uma abrupta variaqiio cla imagem (Jaiii, 1989) nas suas viziiihaiiqas.

Neste capítulo faremos uma aborcla.gem conceitual e formal para o probleilia de cletecqão de pontos cle borcla em imagens biclimensioi~ais sem o objetivo de clesenvolver técnicas especificas no tema.

A

apresentação que segue tem por finaliclacle principal colocar o probleina cla cletecção cle pontos de borda cleiltro do contexto clas técnicas cle silalíes.

Seja então a Figura 2.1 onde mostrainos os moclelos (uiliclimeilsioilais) usuais para os t i p o s & pontos cle borcla comumente eilcoiltraclos em processameilto de

Figura 2.1: Modelos ui~iclimeilsioilais para pontos de borda.

(30)

prática são em geral irregulares e apresentam ruíclos.

A

Figura. 2.2 é u m exemplo de uma situação ma.is próxima d a prática.. Nesta figura vemos uni siila.1 com u m clegrau aceiltuaclo entre a = 90 e s = 100.

Uma possi11ilicla.cle para caracterizas este comportainento é tomar os extremos locais cle

clflcls.

ou seja, pontos de iilflexão.

Figura 2.2: Sinal iiregula,r

f

com ruiclo.

No entanto. n a Figura 2.2 existem vários pontos cle iilflesão clu? 1150 represeiitaiil clegraus. Assim, illétoclos que simplesmente localizam extremos locais da deri\-acla forilecem falsos pontos cle borcla, inclusive lias prosimiclacles do clegrau procuraclo. o que implica em mais de uma resposta para u m mesii~o ponto.

Estas coiiçicleiacòes se esteilclem para o caso 2D. Neste caso, dada uma imagem, 11recisaillos coiisiclerar também uma orientação além ela taxa cle variacào cla iiliagein e m um claclo ponto.

Uma. referência fuildameiltal no coiltesto ele cleteccào dos pontos de borcla é o traball-io de Cailily (Caniiy, 1983). Partiilclo cle coilsiclera~òes como as que fizemos acima, Cailny estabelece inicialmente três critérios para avaliacão c10 clesempeill-io cle uni cletetor: (a)lmisa probabiliclacle cle marcar falsos pontos de borcla ou cle percler pontos de borcla; (11)os pontos cletectaclos clevem estar próximos c10 centro d a l~orcla (ponto cle infles20 no caso 1 D ) correspoilclente; (c) fornecer resposta única

para cacla ponto cle borcla cla imagem. E m seguicla, estes critérios sao cleseilvolviclos cluailtit ativamente para enfim obter-se u m cletetor ótimo via métodos variacioilais.

Segundo Canily (Cailily, 1983)) poclemos classificar os métoclos para cletecção cle pontos cle borclas de acorclo com as seguintes características: a ) utilizaqão cle u m a sup(~rfície q i i ~ aproxima a imagem;

I))

inétodos que estimmi derit-aclax. iisiialmente primeira ou segunda clerivaclas da imagein; c ) utilizaçào de técnicas no clomiilio da frecliiêilcia.

Dentre estes métoclos, aqueles do item (11) serão os eilfocaclos nesta seçso pela sua relacão clireta com o métoclo cle snalíes (Blaclí

&

Yuille, 1993).

Uma prática comum neste caso, é utilizar u m 1iinia.r cle corte para o valor ela clerivacla (graclieilte) com o objetivo apenas de, realçar as regiões oncle se eilcoiltram as bordas dos objetos de interesse (Jaiil, 1989)) como mostra. a figura 2.3.

O

mesmo