Professora Kelly Alonso
Probabilidade
2
As origens da matemática da probabilidade são
muito antigas, por volta do século XVI. A palavra
probabilidade significa provar ou testar. Informalmente,
provável é uma das muitas expressões utilizadas para
eventos incertos ou conhecidos. No início, a
probabilidade foi muito utilizada em jogos de azar,
porém atualmente faz parte de planejamentos
estratégicos e avaliações em negócios.
Usamos a probabilidade, principalmente, para
estudar a possibilidade de quantificar quão provável é
determinado EVENTO.
3
Encontramos na natureza dois tipos de
fenômenos: determinísticos e aleatórios.
Determinísticos: os resultados são sempre os
mesmos, qualquer seja o número de ocorrência dos
mesmos.
Aleatórios: os resultados não são previsíveis, mesmo
que haja um grande número de repetições do mesmo
fenômeno.
A maioria dos fenômenos de que trata a
estatística é de natureza aleatória ou probabilística.
Ao descrever um experimento devemos especificar:
o procedimento a ser realizado,
aquilo que estamos interessados em observar.
Ex.1): “É provável que o meu time ganhe a partida de hoje!” Pode resultar:
a) que, apesar do favoritismo, ele perca; b) que, como foi dito, ele ganhe;
c) que empate.
Ex.2): Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior.
Experimentos ou fenômenos aleatórios são processos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Ponto Amostral uma das possíveis ocorrências ou resultados do experimento.
5
Espaço Amostral (Ω ou S): é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento.
Ex.: Determine o espaço amostral dos seguintes experimentos:
a) lançamento de uma moeda
b) lançamento de um dado
Os dois experimentos citados têm os seguintes espaços amostrais:
- lançamento de uma moeda: S = {Ca, Co}; - lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}.
6 Probabilidade de um ponto amostral
É um número entre 0 e 1 que mede a chance do ponto amostral ocorrer quando o experimento é realizado. Este número pode ser aproximado pela frequencia relativa com que o ponto amostral é observado, quando o experimento é repetido um grande número de vezes.
Regras para probabilidade de pontos amostrais
A probabilidade de qualquer ponto amostral de um experimento
deve estar entre 0 e 1.
A soma das probabilidades de todos os pontos amostrais de
7
Evento é qualquer subconjunto de espaço amostral S de um experimento aleatório e é denotado por uma letra maiúscula (A,B,C...). .
Assim, qualquer que seja E, se E C S (E está contido em S),
então E é um evento de S.
Se E = S, E é chamado evento certo; se E C S e E é um
conjunto unitário, E é chamado evento elementar. Se
8
Exemplo:
No lançamento de um dado, onde S = {1,2,3,4,5,6}, temos:
A = {2,4,6}
CS; logo, A é um evento de S;
B = {1,2,3,4,5,6} C S; logo, B é um evento certo de S;
C = {4} C S; logo, C é um evento elementar de S;
9 Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.
Probabilidade: seja A um evento de um espaço amostral, a probabilidade do evento A, denotada como P(A) é definida como:
)
(
)
(
)
(
Ω
=
=
n
A
n
amostral
espaço
do
resultados
de
número
A
evento
do
resultados
de
número
A
P
Chamamos de probabilidade de um evento A (A C S) o número real P(A), tal que:
Onde n(A) é o número de elementos de A;
n(S) é o número de elementos de S. ou
( )
( )
( )
S
n
A
n
A
P
=
Exemplo:
a) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos: S = {Ca, Co} n(S)=2 A={Ca} n(A)=1
( )
2
1
=
A
P
( )
( )
( )
Ω
=
1
Ω
=
Ω
n
n
P
Exemplo…Tais eventos podem ser formados de duas maneiras, conforme abaixo:
UNIÃO de dois eventos A e B
Eventos compostos – frequentemente, um evento pode ser visto como uma composição de dois ou mais eventos.
É o evento formado por todos os pontos amostrais que pertencem ao evento A ou ao evento B ou a ambos.
1) União de eventos:
B
A ∪
os elementos que pertencem ao evento A ou ao B. INTERSEÇÃO de dois eventos A e BÉ o evento formado por todos os pontos amostrais que pertencem simultaneamente aos dois eventos.
2) Interseção de eventos:
os elementos que pertencem a A e a B.
B
A ∩
Eventos complementares – o complemento de um evento A é o
evento formado por todos os pontos do espaço amostral que não pertencem a A. Denotamos ou .
A
A
CSabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (fracasso), para um mesmo evento existe sempre a relação:
p
q
q
p
+
=
1
⇒
=
1
−
( )
A
+
P
( )
A
=
1
P
(
A
∩ A
)
=
0
P
( )
A
P
( )
A
ou
P
( )
A
P
( )
A
P
=
1
−
=
1
−
Eventos complementares – o complemento de um evento A é o
evento formado por todos os pontos do espaço amostral que não pertencem a A. Denotamos ou .
A
A
C( )
A
+
P
( )
A
=
1
P
P
( )
A
=
1
−
P
( )
A
ou
P
( )
A
=
1
−
P
( )
A
Espaço amostral S Complemento do evento A Evento AA
A área retangular representa o espaço amostral do experimento e contém todos os possíveis pontos amostrais. O círculo representa o evento A e contém os pontos amostrais que pertencem a A. A região sombreada do retângulo contém todos os pontos amostrais que não estão no evento A e é, por definição, o complemento de A.
de 0,90 de que um fornecedor enviará uma carga livre de peças defeituosas. Qual a probabilidade de que a carga conterá peças defeituosas?
( )
( )
10
,
0
)
(
9
,
0
1
)
(
1
=
−
=
−
=
A
P
A
P
A
P
A
P
*Pode-se concluir que há uma probabilidade de 0,10 de que a carga conterá peças defeituosas.
Exemplo: 2) Em um lote de 12 peças, quatro são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa
( )
3
1
12
4
=
=
A
P
( )
( )
3
2
3
1
1
)
(
1
=
−
=
−
=
A
P
A
A
P
REGRA DA ADIÇÃO E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
Regra da adição: a probabilidade da união de dois eventos A e B é a soma das probabilidades dos eventos A e B menos a probabilidade da interseção dos eventos A e B.
A
∪
B
do objeto selecionado ser quadrado ou ser vermelho? ( ) P Quadrado∪Vermelho = 8 9 = ( ) ( ) ( )
P Quadrado∪Vermelho = P Quadrado + P Vermelho
5 5 2 8 9 9 9 9 = + − = ( ) P Quadrado Vermelho − ∩
pacientes são internados para tratamento cirúrgico, 16% para tratamento obstétrico e 2% recebem os dois tratamentos. Se um novo paciente é internado no hospital, qual é a probabilidade do paciente ser internado por pelo menos um dos procedimentos.
Sejam os eventos: A – tratamento cirúrgico B – tratamento obstétrico
( )
A
=
0
,
12
;
P
( )
B
=
0
,
16
;
P
(
A
∩
B
)
=
0
,
02
P
(
A
B
)
P
∪
(
)
( )
( )
(
)
(
∪
)
=
0
,
12
+
0
,
16
−
0
,
02
=
0
,
26
∩
−
+
=
∪
B
A
P
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
Temos que e queremos descobrir Pela Regra da Adição:Logo, a probabilidade do paciente ser internado por pelo menos um dos procedimentos é de 0,26.
empregados. Espera-se que cada trabalhador complete as atribuições do trabalho no horário e de tal modo que o produto montado passe numa inspeção final. Em certas ocasiões, alguns dos trabalhadores não têm êxito em satisfazer os padrões de desempenho, completando o trabalho mais tarde e/ou montando produtos com defeito. No fim de um período de avaliação de desempenho, o gerente de produção descobriu que 5 dos 50 trabalhadores tinham completado o trabalho mais tarde, que 6 dos 50 trabalhadores tinham montado produtos com defeito, e que 2 dos 50 trabalhadores tinham tanto completado o trabalho mais tarde como montado produtos defeituosos. Depois de rever os dados de performance, o gerente de produção decidiu atribuir uma avaliação de desempenho fraco a qualquer empregado cujo trabalho foi tanto terminado mais tarde como defeituoso. Qual a probabilidade de que o gerente de produção tenha atribuído a um empregado uma avaliação de desempenho fraco?
(
A
∪ B
)
=
0
,
18
Eventos mutuamente exclusivos: Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos se eles não têm pontos amostrais em comum. Ou ainda, dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).
Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.
Exemplo 4: Suponha que temos um espaço amostral com sete resultados experimentais igualmente prováveis: E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7. Seja:
A = { E1, E4, E6 } B = { E2, E4, E7 } C = { E2, E3, E5, E7 }
a) Encontre A U B e P(A U B)
b) Encontre A ∩ B e P(A ∩ B). Os eventos A e B são mutuamente exclusivos?
Exemplo 5: Se A é o evento “extração de um ás de um baralho”e B o da “extração de um rei”. Então, a probabilidade de se extrair ou um ás, ou um rei, em um lance único é:
(
)
13
2
13
1
13
1
13
1
)
(
52
4
)
(
13
1
)
(
52
4
)
(
)
(
)
(
=
⇒
+
=
=
⇒
=
=
⇒
=
+
=
∪
P
P
B
P
B
P
A
P
A
P
B
P
A
P
B
A
P
Visto que ambos, ás e rei, não podem ser extraídos ao mesmo tempo e por isso são eventos mutuamente exclusivos.
REGRA DA ADIÇÃO E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
Independência de eventos: Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade de realização do outro e vice-versa.
Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.
Exemplo 6: Sejam A e B os eventos “cara na quinta jogada”e “cara na sexta jogada”de uma moeda, respectivamente.
Então, A e B são eventos independentes, de modo que a probabilidade de ocorrer cara em ambas as jogadas, quinta e sexta, é, admitindo-se que a moeda é “honesta”:
(
)
4
1
2
1
2
1
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
)
(
=
⇒
×
=
=
=
•
=
∩
P
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
A
P
Exemplo 7: No lançamento de dois dados, sejam A e B os eventos “obtermos 1 na face superior no primeiro dado”e “obtermos 5 na face superior no segundo dado”, respectivamente.
(
)
36
1
6
1
6
1
6
1
)
(
6
1
)
(
)
(
)
(
=
⇒
×
=
=
=
•
=
∩
P
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
A
P
Exemplo 8:
1) Se uma caixa contém 10 lâmpadas boas e 5 defeituosas e 3 dentre essas lâmpadas forem selecionadas, qual a probabilidade que:
a) Sejam todas defeituosas.
b) Duas sejam boas e 1 defeituosa. c) Pelo menos 1 seja defeituosa. Solução:
Para encontrarmos o número de elementos do espaço amostral fazemos uma combinação simples:
( )
455
3
15
3 15
=
=
=
Ω
C
n
10
3 5=
C
91
2
455
10
=
=
P
a) Selecionamos 3 lâmpadas defeituosas num total de 5: Então a probabilidade é de
225
1 5 2 10× C
=
C
91
45
455
225
=
=
P
b) Selecionamos 2 lâmpadas boas num total de 10 e mais uma lâmpada defeituosa num total de 5:
c) Selecionamos 2 lâmpadas boas e uma defeituosa ou selecionamos uma lâmpada boa e duas defeituosas ou selecionamos apenas lâmpadas defeituosas, ou seja:
91
67
455
335
455
3 5 2 5 1 10 1 5 2 10×
+
×
+
=
=
=
C
C
C
C
C
P
Muitas vezes, queremos calcular a probabilidade de
ocorrência de um evento A, dada a ocorrência de um evento B.
Qual é a probabilidade de chover amanhã em São Paulo, sabendo
que choveu hoje?
Frequentemente, a probabilidade de um evento é
influenciada pela ocorrência de um evento paralelo. Em outras
palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorrência de A
condicionada à ocorrência prévia de B e representamos por P(A / B).
A notação / é usada para denotar o fato de que estamos
considerando a probabilidade do evento A com a condição de que o
evento B tenha ocorrido. Portanto, a notação P(A / B) é lida como “a
probabilidade de A dado B”.
( )
B
>
0
.
P
(
)
(
)
( )
B
P
B
A
P
B
A
P
/
=
∩
-Probabilidade Condicional: Sejam dois eventos A e B com
A probabilidade de ocorrência do evento A, dado que o evento B
ocorreu é calculada pela seguinte expressão:
É a probabilidade de A dado que B
ocorreu ou é a probabilidade de ocorrer A
quando se sabe que o resultado pertence a B.
(
)
(
)
( )
B
P
B
A
P
B
A
P
/
=
∩
(
)
(
)
( )
A
P
A
B
P
A
B
P
/
=
∩
(
A
B
)
P
(
A
B
) ( )
P
B
P
(
B
A
) ( )
P
A
P
∩
=
/
=
/
- Teorema do Produto: temos que , observe
também que .
(
A
B
)
P
/
e
P
(
B
/
A
)
.Solução:
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
A
P
( )
B
P
A
P
B
P
A
P
A
B
P
A
B
P
A
P
B
P
B
P
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
=
×
=
∩
=
=
×
=
∩
=
/
/
OBS.
P(A / B) = P(A)
P (B / A) = P (B)
observação em um posto de qualidade, em que se avalia o peso dos pacotes de leite produzidos num laticínio.
6850 1550 4770 530 Total 350 50 270 30
Fora das especificações (F)
6500 1500
4500 500
Dentro das especificações (D)
Total UHT (U) C (C) B (B) Tipo do leite Condição do peso
Retira-se, ao acaso, um pacote de leite da população de 6850 unidades. Sejam D e F os eventos que representam se o pacote retirado está dentro ou for a das especificações, respectivamente. Da mesma forma, B, C e U são eventos que representam o tipo de leite.
a) Qual a probabilidade de o pacote de leite retirado estar fora das especificações, sabendo-se que é do tipo UHT?
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
/
)
0
,
032
6850
1550
6850
50
/
/
/
=
=
∩
=
∩
=
U
F
P
U
F
P
U
P
U
F
P
U
F
P
B
P
B
A
P
B
A
P
Solução: 6850 1550 4770 530 Total 350 50 270 30Fora das especificações (F)
6500 1500
4500 500
faces voltadas para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos seguintes eventos:
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5
b) Soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais
Inicialmente, encontramos o espaço amostral: 36 possíveis combinações de resultados dos dois dados.
( )
136
6 1 6×
=
=
Ω
C
C
n
Considere os eventos: E1 = faces iguais = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}E2 = soma das faces é menor ou igual a 5= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2),
Solução:
(2,3), (3,1), (3,2), (4,1) }
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5
1
2
/
1
36
10
36
2
2
/
1
2
2
1
2
/
1
=
=
⇒
∩
=
E
E
P
E
E
P
E
P
E
E
P
E
E
P
b) Soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais
