Cap. 1 - Carga Elétrica e Campo Elétrico

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Universidade Federal do Rio de Janeiro — Instituto de F´ısica F´ısica III — 2014/2

Cap. 1 - Carga El´

etrica e Campo El´

etrico

Prof. Elvis Soares

A intera¸cão eletromagnética entre part´ıculas carregadas eletricamente é uma das intera¸cões fundamentais da natureza. Nesse cap´ıtulo iremos estudar algumas propriedades básicas da for¸ca eletromagnética, discutiremos a Lei de Coulomb, o conceito de campo elétrico, e finalizaremos com o estudo do movimento de part´ıculas carregadas num campo elétrico uniforme.

1 Propriedades da Carga El´

etrica

Quando atritamos uma caneta contra o nosso cabelo num dia seco, vemos que a caneta passa a atrair pequenos peda¸cos de papel sobre a mesa. O mesmo ocorre quando certos materiais são atritados entre si, como um bastão de vidro contra um pano de seda ou plástico contra pele. Isto se deve ao fato de que toda a matéria que conhecemos é formada por átomos, que são formados por um núcleo, onde ficam os prótons e nêutrons e uma eletrosfera, onde os elétrons permanecem, em órbita. Os prótons e nêutrons têm massa praticamente igual, mas os elétrons têm massa cerca de 2 mil vezes menor.

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Prof. Elvis Soares 2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizac˜ao

por e, sendo a menor unidade de carga el´etrica conhecida na natureza, com valor igual a

e = 1.602 19 × 10−19 C (1)

Portanto, 1 C de carga ´e aproximadamente a carga de 6.24 × 1018 _el´_{etrons ou pr´}_{otons. Esse}

número é bem pequeno se comparado com número de elétrons livres em 1 cm3 de cobre, que tem da ordem de 1023_.

2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizac˜

ao

Dizemos que um corpo está eletrizado negativamente quando tem maior número de elétrons do que de prótons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja negativa; E que um corpo está eletrizado positivamente quando tem maior número de prótons do que de elétrons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja positiva. Por isso, um corpo é chamado eletricamente neutro se ele tiver número igual de prótons e de elétrons, fazendo com que a carga elétrica sobre o corpo seja nula. A carga de um corpo eletrizado deve então ser um múltiplo da carga elementar, de tal forma que Q = ±N.e, sendo N um número inteiro qualquer.

O processo de retirar ou acrescentar elétrons a um corpo neutro para que este passe a estar carregado eletricamente denomina-se eletriza¸cão. Alguns dos processos de eletriza¸cão mais comuns são:

2.1 Eletriza¸

c˜

ao por Atrito

Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volta do s´eculo VI a.C. pelo matem´atico grego Tales de Mileto, que concluiu que o atrito entre certos materiais era capaz de atrair pequenos peda¸cos de palha e penas.

Posteriormente o estudo de Tales foi expandido, sendo poss´ıvel comprovar que dois corpos neutros feitos de materiais distintos, quando são atritados entre si, um deles fica eletrizado negativamente (ganha elétrons) e outro positivamente (perde elétrons). Quando há eletriza¸cão por atrito, os dois corpos ficam com cargas de módulo igual, porém com sinais opostos.

Por exemplo, ao se atritar uma barra de vidro num pano de lã, elétrons passam do vidro para a lã. Em consequência, a barra de vidro adquire carga elétrica positiva (perde elétrons) e o pano de lã adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons). Se, em vez da barra de vidro, atritarmos com a lã uma barra de resina, haverá a transferência de elétrons da lã para a resina. Então, a barra de resina adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons) e o pano de lã adquire carga elétrica positiva (perde elétrons).

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2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizac˜ao Prof. Elvis Soares

2.2 Eletriza¸

c˜

ao por Contato

Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizado, s˜ao postos em contato, a carga el´etrica tende a se estabilizar, sendo redistribu´ıda entre os dois, fazendo com que ambos tenham a carga com mesmo sinal.

2.3 Eletriza¸

c˜

ao por Indu¸

c˜

ao

Este processo de eletriza¸cão é totalmente baseado no princ´ıpio da atra¸cão e repulsão, já que a eletriza¸cão ocorre apenas com a aproxima¸cão de um corpo eletrizado (indutor) a um corpo neutro (induzido).

O processo ´e dividido em trˆes etapas:

1. Primeiramente um bastão eletrizado é aproximado de um condutor inicialmente neutro, pelo princ´ıpio de atra¸cão e repulsão, os elétrons livres do induzido são atra´ıdos/repelidos dependendo do sinal da carga do indutor.

2. O próximo passo é ligar o induzido à Terra por um fio condutor, ainda na presen¸ca do indutor.

3. Desliga-se o induzido da Terra, fazendo com que sua carga seja de sinal oposto `aquela do indutor.

Terra

Por fim, retira-se o indutor das proximidades do induzido que fica eletrizado com sinal oposto `

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Prof. Elvis Soares 3 Lei de Coulomb

3 Lei de Coulomb

A partir de alguns experimentos, Coulomb pode generalizar as seguintes propriedades da for¸ca el´etrica entre duas cargas puntiformes em repouso. A for¸ca el´etrica

• ´e inversamente proporcional ao quadrado da distˆancia r entre as cargas e dirigida ao longo da linha que liga uma a outra.

• ´e proporcional ao produto das cargas das duas part´ıculas;

• ´e atrativa se as cargas s˜ao de sinais opostos e repulsiva se as cargas tem o mesmo sinal.

A lei expressa na forma vetorial para a for¸ca el´etrica exercida por uma carga q1 numa outra

carga q2, dita ~F2(1), ´e

~

F2(1)= k

q1q2

r2 r = − ~ˆ F1(2) (2)

onde k é a constante chamada constante de Coulomb e ˆr é o vetor unitário dirigido da carga q1 para a carga q2, conforme figura.

– + r F₁₍₂₎ F₂₍₁₎ q₁ q₂ F₁₍₂₎ F₂₍₁₎ q₁ q₂ rˆ + +

A constante de Coulomb é também escrita como k = 1/4π0, e seu valor no SI é

k = 8.987 5 × 109 N.m2/C2 ≈ 9.0 × 109 _N.m2_/C2 ₍₃₎

Como a for¸ca elétrica obedece à Terceira Lei de Newton, a for¸ca elétrica exercida pela carga q2

em q1 ´e igual em intensidade a for¸ca exercida por q1 em q2, na mesma dire¸c˜ao mas em sentido

oposto, de modo que ~F1(2)= − ~F2(1)

Quando mais que duas cargas estão presentes, a for¸ca entre qualquer par delas é dada pela Lei de Coulomb. Portanto, a resultante das for¸cas sobre qualquer uma delas é igual a soma vetorial das for¸cas exercidas pelas outras cargas.

~ Fi = X i6=j ~ Fi(j) = X i6=j kqiqj r2 j ˆ rj (4)

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3 Lei de Coulomb Prof. Elvis Soares

Exemplo: Atomo de Hidrogˆ´ enio

Um átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de massa me = 9.11 × 10−31 kg, e um

pr´oton, de massa mp = 1.67 × 10−27 kg, separados por uma distˆancia de aproximadamente

d = 5.3 × 10−11 m.

A intensidade da for¸ca el´etrica ´e dada pela Lei de Coulomb

Fe= k e2 d2 = (9.0 × 10 9₎(1.60 × 10 −19₎2 (5.3 × 10−11₎2 = 8.2 × 10 −8 N

Já a intensidade da for¸ca gravitacional é dada pela Lei da Gravita¸cão Universal de Newton

Fg = G memp d2 = (6.67 × 10 −11 )(9.11 × 10 −31_{)(1.67 × 10}−27₎ (5.3 × 10−11₎2 = 3.6 × 10 −47 N

A razão Fe/Fg ≈ 2 × 1039. Então, a for¸ca gravitacional entre essas part´ıculas subatômicas é

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Prof. Elvis Soares 3 Lei de Coulomb

Exemplo: For¸ca Resultante

Consideremos três cargas −q, q e √2q dispostas nos vértices de um triângulo retângulo, como mostra a figura. F₃₍₁₎ q q -q a a y x – + + F₃₍₂₎ 2 a √ √2

A for¸ca ~F3(1) exercida pela carga

√ 2q sobre a carga q ´e ~ F3(1)= k √ 2q2 (√2a)2rˆ1,

onde ˆr1 ´e o vetor posi¸c˜ao relativa que sai da carga

√

2q e aponta na dire¸c˜ao de q, sendo escrito facil-mente como ˆr1 = cos 45ox + sen 45ˆ oy, de modo queˆ

~ F3(1)= 1 2k q2 a2(ˆx + ˆy),

A for¸ca ~F3(2) exercida pela carga −q sobre a carga q ´e

~

F3(2) = −k

q2 a2rˆ2,

onde ˆr2 é o vetor posi¸cão relativa que sai da carga −q e aponta na dire¸cão de q, sendo escrito

na forma ˆr2 = ˆx, de modo que

~

F3(2) = −k

q2

a2xˆ

A for¸ca resultante ~F3 sobre a carga q ´e ent˜ao calculada como a soma das for¸cas ~F3(1) e ~F3(2)

sendo ~ F3 = ~F3(1)+ ~F3(2)= 1 2k q2 a2(−ˆx + ˆy)

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4 Campo El´etrico Prof. Elvis Soares

4 Campo El´

etrico

O conceito de campo foi desenvolvido por Michael Faraday no contexto de for¸cas elétricas. Nesse contexto, um campo elétrico existe na região do espa¸co ao redor de um objeto carregado, a carga fonte. Quando outro objeto carregado, a carga teste, entra nesse campo elétrico, uma for¸ca elétrica age sobre ele.

Sendo assim, o campo elétrico produzido pela carga fonte é definido como a for¸ca elétrica por unidade de carga situado num dado ponto do espa¸co

~ E = F~e

q2

= kq1

r2rˆ (5)

O vetor ~E tem no SI unidade de N/C. A dire¸cão de ~E, como mostra a figura, é a dire¸cão da for¸ca que uma carga teste positiva sentiria quando colocada nesse campo. Dizemos que um campo elétrico existe num ponto se uma carga teste nesse ponto experimenta uma for¸ca elétrica, dada por

~ Fe = q ~E (6) E q r P rˆ + – E q rˆ r P

O campo elétrico num ponto P devido a um conjunto de cargas puntiformes pode ser ob-tido, através do princ´ıpio da superposi¸cão, como a soma vetorial dos campos elétricos devido, individualmente, a cada carga do conjunto no mesmo ponto P .

~ E =X i ~ Ei = X i kqi r2 i ˆ ri (7)

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Prof. Elvis Soares 4 Campo El´etrico

Exemplo: Campo El´etrico de um Dipolo

Um dipolo elétrico é definido como uma carga positiva q e uma negativa −q separadas por uma distância 2a. Vamos obter o campo elétrico ~E devido ao dipolo num ponto P situado a uma distância y do centro do dipolo.

P θ E θ y E₁ E₂ y r θ a q θ a – q – x +

No ponto P , os campos ~E1 e ~E2 devido `as duas

cargas s˜ao iguais em intensidades, pois o ponto P ´e equidistante das cargas, sendo assim

E1 = E2 = k

q (y2_{+ a}2₎.

As componentes y de ~E1 e ~E2 se cancelam, e as

componentes x s˜ao ambas positivas e de mesma in-tensidade, de modo que

E = 2E1cos θ = 2k

q (y2_{+ a}2₎

a (y2_{+ a}2₎1/2

Portanto, ~E ´e um vetor paralelo ao eixo x escrito na forma

~

E = k 2qa (y2_{+ a}2₎3/2xˆ

No limite em que o ponto P est´a muito distante do dipolo, dito y a, podemos desprezar a2

comparado com y2 no denominador e escrever ~

E ≈ k2qa y3 xˆ

Obs: Em alguns livros ´e comum aparecer o vetor momento de dipolo el´etrico definido como ~

d = −2qaˆx, que é um vetor de intensidade igual a carga positiva q vezes a distância entre as cargas 2a e aponta na dire¸cão da carga negativa para a positiva, de modo que

~

E ≈ −k d~ y3

Então, muito distante do dipolo elétrico, o campo elétrico varia com ∼ 1/r3 _{que cai mais}

rapidamente que o campo de uma carga que varia com ∼ 1/r2_{. Isso se deve ao fato que os}

campos das cargas positiva e negativa vão se anulando ao longo da distância, diminuindo a intensidade do campo elétrico total.

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5 Campo El´etrico de uma Distribui¸c˜ao de Cargas Prof. Elvis Soares

5 Campo El´

etrico de uma Distribui¸

c˜

ao de Cargas

Todo corpo é composto de cargas elétricas (vindas da natureza atómica da matéria), cujas distâncias relativas são muito curtas se comparadas com os tamanhos t´ıpicos dos objetos. Sendo assim, para calcular o campo elétrico criado por uma distribui¸cão de cargas, usaremos o seguinte procedimento: primeiro, dividimos a distribui¸cão de cargas em pequenos elementos de carga, cada um de carga infinitesimal dq (infinitesimal, porém maior que a carga elementar). Depois, usamos o campo elétrico devido a uma carga puntiforme para calcular o campo elétrico devido a esse elemento dq no ponto P . E por último, somamos as contribui¸cões de todos elementos de cargas e obtemos o campo elétrico total no ponto P devido à distribui¸cão de cargas (de acordo com o princ´ıpio de superposi¸cão dos campos).

O campo el´etrico no ponto P devido a um elemento de carga dq ´e

d ~E = kdq r2rˆ

onde r é a distância do elemento de carga até o ponto P e ˆr o vetor unitário que sai da carga e aponta na dire¸cão de P .

O campo elétrico total em P devido a todos os elementos na distribui¸cão de carga é

~ E = Z V d ~E = Z V kdq r2rˆ (8)

e a integral aparece porque o corpo é modelado como uma distribui¸cão cont´ınua de carga. De fato, podemos associar sempre a uma distribui¸cão de cargas o conceito de densidade de carga.

• No caso de uma carga distribu´ıda ao longo de um volume tem-se dq = ρdV , onde ρ ´e a densidade volum´etrica de cargas.

• No caso de uma carga distribu´ıda ao longo de uma ´area tem-se dq = σdA, onde σ ´e a densidade superficial de cargas.

• No caso de uma carga distribu´ıda ao longo de uma linha tem-se dq = λdl, onde λ ´e a densidade linear de cargas.

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Prof. Elvis Soares 5 Campo El´etrico de uma Distribui¸c˜ao de Cargas

Exemplo: Fio Carregado Uniformemente

Vamos estudar o caso de um fio de comprimento L e carga Q distribu´ıda uniformemente ao longo dele, como mostra a figura.

O campo el´etrico no ponto P devido a um elemento de carga dq do fio ´e dado por

d ~E = kdq r2r,ˆ

onde ~r é o vetor posi¸cão relativa que sai da carga e aponta na dire¸cão de P dado por ~r = −xˆx + a ˆy, onde seu módulo e o correspondente vetor unitário são

r =√x2_{+ a}2 _e _{r =}_ˆ ~r

r =

(−xˆx + a ˆy) (x2_{+ a}2₎1/2.

O campo elétrico total produzido pelo fio no ponto P é então calculado como a soma sobre todos os elementos de carga que compõem o fio, indo de x = −L/2 até x = L/2, e assim tem-se

~ E(0, a, 0) = Z L/2 −L/2 kλdx (x2 _{+ a}2₎3/2(−xˆx + a ˆy).

*Mostre que: As integrais necess´arias resultam em

Z L/2 −L/2 xdx (x2_{+ a}2₎3/2 = 0, Z L/2 −L/2 dx (x2_{+ a}2₎3/2 = L [(L/2)2_{+ a}2_]1/2,

e com esses resultados encontramos que

~

E(0, a, 0) = kQ

a [(L/2)2_{+ a}2_]1/2yˆ

usando que a densidade linear de carga do fio ´e λ = Q/L.

Obs1: No caso em que o fio ´e muito pequeno, ou o ponto P est´a muito distante do fio tem-se

lim

aL

~

E(0, a, 0) = kQ a2 yˆ

que ´e o campo de uma carga puntiforme a uma distˆancia a do ponto P .

Obs2: No caso em que o fio é muito grande, ou o ponto P está muito próximo do fio tem-se

lim

La

~

E(0, a, 0) = 2kλ a yˆ que cai lentamente com a distˆancia a do ponto P .

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5 Campo El´etrico de uma Distribui¸c˜ao de Cargas Prof. Elvis Soares

Exemplo: Aro Carregado Uniformemente

Consideremos um aro de raio R carregado uniformemente com uma carga positiva Q. Vamos determinar o campo el´etrico num ponto P situado a uma distˆancia a do centro do aro e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura.

+ + + + + + + + + ₊ + + + + + + θ _P dEx dE dE_⊥ a r dq R

O campo el´etrico no ponto P devido a um elemento de carga dq do fio ´e dado por

d ~E = kdq r2r,ˆ

onde ~r é o vetor posi¸cão relativa que sai da carga e aponta na dire¸cão de P . Esse campo tem uma componente dEx = dE cos θ ao longo do eixo x e

uma componente dE⊥ perpendicular ao eixo x.

Sabemos que o campo resultante no ponto P deve estar ao longo do eixo x pois a compo-nente perpendicular de todos os elementos de carga somados é zero. Isto é, a componente perpendicular do campo criado por qualquer elemento de carga é cancelada pela componente perpendicular criada por um elemento de carga no lado oposto do anel (diga-se diametralmente oposto).

Como r = (a2_{+ R}2₎1/2 _{e cos θ = a/r, temos que}

dEx = dE cos θ = kdq r2 a r = k a (a2_{+ R}2₎3/2dq

Todos os elementos do aro fazem a mesma contribui¸cão para o campo elétrico no ponto P porque todos são equidistantes desse ponto. Então, integrando esse resultado obtemos

Ex= Z k a (a2_{+ R}2₎3/2dq = k a (a2_{+ R}2₎3/2 Z dq

Sendo Q a carga total do aro, o campo elétrico total produzido por este aro no ponto P é então escrito na forma vetorial como

~

E(P ) = k Qa (a2_{+ R}2₎3/2xˆ

Obs1: No caso em que o aro ´e muito pequeno, ou o ponto P est´a muito distante desse aro tem-se lim aR ~ E(P ) = kQ a2xˆ

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Prof. Elvis Soares 5 Campo El´etrico de uma Distribui¸c˜ao de Cargas

Exemplo: Disco Carregado Uniformemente

Consideremos um disco de raio R carregado uniformemente com uma densidade superficial de carga σ. Vamos determinar o campo el´etrico num ponto P situado a uma distˆancia a do centro desse disco e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a figura.

P a r R dq dr

Se considerarmos o disco como um conjunto de aros concˆentricos, podemos usar o resultado do exemplo anterior (o campo de um aro carregado uniformemente) e somamos as contribui¸c˜oes de todos aros formando o disco.

O aro de raio r e espessura dr, conforme a figura, tem área igual a 2πr dr. A carga dq desse aro é igual a dq = 2πσr dr. Usando o resultado do aro carregado, temos que o campo elétrico no ponto P devido a um elemento de carga dq desse aro é dado por

dEx = k

a

(a2_{+ r}2₎3/2(2πσr dr).

Então, integrando esse resultado sobre os limites r = 0 até r = R, notando que a é constante, obtemos Ex = kaπσ Z R 0 2r dr (a2_{+ r}2₎3/2 = kaπσ Z R 0 (a2+ r2)−3/2d(r2), de modo que Ex = kaπσ (a2_{+ r}2₎−1/2 −1/2 R 0 = 2πkσ 1 − a (a2_{+ R}2₎1/2 .

Sendo assim o campo elétrico total produzido por este disco no ponto P é então escrito na forma vetorial como

~ E(P ) = 2πkσ 1 − a (a2_{+ R}2₎1/2 ˆ x

Obs1: No caso em que o disco ´e muito pequeno, ou o ponto P est´a muito distante tem-se

lim

aR

~

E(P ) = kQ a2x,ˆ

que ´e o campo de uma carga puntiforme a uma distˆancia a do ponto P .

Obs2: No caso em que o disco é muito grande, ou o ponto P está muito próximo dele tem-se

lim Ra ~ E(P ) = 2πkσ ˆx = σ 20 ˆ x,

que ´e um campo constante nas proximidades do disco, sendo 0 a permissividade el´etrica do

v´acuo.

Desta forma, um plano infinito tem m´odulo do campo el´etrico igual a E = σ/20 nas suas

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7 Movimento num Campo El´etrico Uniforme Prof. Elvis Soares

6 Linhas de Campo El´

etrico

Vamos agora explorar uma maneira de representar o campo elétrico pictoricamente. Uma maneira conveniente de visualizar padrões de campo elétrico é desenhar linhas curvas paralelas ao vetor campo elétrico em qualquer ponto do espa¸co.

O vetor campo elétrico ~E é tangente a linha de campo elétrico em cada ponto. A linha tem uma dire¸cão, indicada por uma seta, que é a mesma do vetor campo elétrico.

O n´umero de linhas por unidade de ´area que atravessa uma superf´ıcie perpendicular as linhas ´

e proporcional a intensidade do campo elétrico nesse região. Então, as linhas de campo estão mais próximas onde o campo elétrico é forte e mais distantes onde o campo é fraco.

q – q

+ –

As regras para desenhar as linhas de campo el´etrico s˜ao as seguintes:

• As linhas de campo come¸cam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. • O n´umero de linhas desenhadas ´e proporcional a intensidade da carga.

• Duas linhas de campo nunca se cruzam.

+ – + +

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Prof. Elvis Soares 7 Movimento num Campo El´etrico Uniforme

Exemplo: El´etron num Campo El´etrico Uniforme

Consideremos duas placas metálicas carregadas de maneira oposta e um elétron de carga −e lan¸cado horizontalmente dentro da região de campo elétrico uniforme, conforme a figura.

( 0 , 0 ) E – (x,y) – v x y – – – – – – – – – – – – + + + + + + + + + + + + v0xˆ

Sabendo que a velocidade inicial do el´etron era v0xˆ

no instante de tempo t = 0, e que o campo el´etrico ~

E = E ˆy é uniforme, as acelera¸cão, velocidade e posi¸cão do elétron em fun¸cão do tempo são

~a = −eE myˆ ~v = v0x −ˆ eE mt ˆy ~ r = ~r0+ v0tˆx − 1 2 eE mt 2_y_ˆ