XII Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente (SBAI) Natal RN, 25 a 28 de outubro de 2015

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IDENTIFICA ¸C ÃO DE UM SECADOR DE GR ÃOS UTILIZANDO MODELO DE WIENER E O MÉTODO DO RELÉ

Mois´es Tavares da Silva∗_{, P´}_{ericles Rezende Barros}∗ ∗_{Departamento de Engenharia El´etrica}

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Campina Grande

Campina Grande, Para´ıba, Brasil

Emails: moises.silva@ee.ufcg.edu.br, prbarros@dee.ufcg.edu.br

Abstract— A grain drying system is used to control humidity and treatment of stored seeds. It is presented in this paper the identification of the inverse nonlinear static function Wiener model for a grain dryer in laboratory scale. It is applied the relay feedback under conditions of nonlinearity to the grain dryer in order to ensure a symmetrical relay feedback output and rejects the effects of static disturbance and nonlinearity effectively. The evaluation of the estimation quality is performed based on the estimated inverse nonlinear static function. From results it is apparent that methodology used is capable to characterize the nonlinear behavior of the grain drying system.

Keywords— Relay feedback, Grain Drying, Systems Identification.

Resumo— Um sistema de secagem de grãos é utilizado para controle da umidade e no tratamento das sementes armazenadas. Neste artigo é realizada a identifica¸cão da fun¸cão estática não linear inversa do modelo de Wiener para um secador de grãos em escala de laboratório. É aplicado o método do relé sob condi¸cões de não linearidade ao secador de grãos com objetivo de garantir uma sa´ıda simétrica do relé e rejeitar os efeitos das perturba¸cões estáticas e não linearidade de forma eficaz. A avalia¸cão da qualidade da estimativa é realizada a partir da fun¸cão estática não linear inversa estimada. Através dos resultados verifica-se que a metodologia utilizada é capaz de caracterizar o comportamento não linear do sistema de secagem de grãos.

Palavras-chave— Relé, Secador de Grãos, Identifica¸cão de Sistemas.

1 Introdu¸c˜ao

Quando a não linearidade nos processos é tão acentuada que suas aproxima¸cões lineares não são aceitáveis, modelos não lineares devem ser consi-derados para descrever adequadamente suas dinˆ a-micas. Os modelos não lineares de Wiener, Ham-merstein e Wiener-HamHam-merstein podem descrever as dinâmicas de muitos processos qu´ımicos, elétri-cos e biológielétri-cos (Park et al., 2006). Dentre os modelos não lineares, neste trabalho utiliza-se o modelo de Wiener que consiste em um subsistema dinâmico linear conectado em série com uma fun-¸cão estática não linear.

Em (Sung e Lee, 2004) foi desenvolvido um método do relé para identificar processos não line-ares do tipo Wiener. O problema de identifica¸cão da fun¸cão estática não linear e subsistema linear foi dividido. Assim, o procedimento de identifica-¸cão foi simplificado de forma significativa. Devido a separa¸cão, a sa´ıda não mensurável do subsistema dinâmico linear pode ser obtida de uma maneira simples. Porém tal método não é capaz de rejeitar perturba¸cões estáticas.

Um método do relé para obter um sinal de teste senoidal aproximado na frequência cr´ıtica do processo foi proposto em (Sung e Lee, 2006). Através da aplica¸cão deste método para proces-sos não lineares é garantida a sa´ıda simétrica do relé quando um estado estacionário c´ıclico é ob-tido, independentemente da perturba¸cão estática,

enquanto o método do relé original (˚Aström e Hägglund, 1984) mostra uma sa´ıda assimétrica em tais condi¸cões.

Neste artigo, o método do relé sob condi-¸cões de não linearidade proposto em (Sung e Lee, 2006) é aplicado a um processo térmico de secagem de grãos em escala de laboratório. Um sistema de secagem de grãos é utilizado para con-trole da umidade e no tratamento das sementes armazenadas. Seu funcionamento é baseado em um fluxo de ar quente que diminui a umidade das sementes em fun¸cão da temperatura e da veloci-dade do fluxo de ar. A escolha do sistema de seca-gem de grãos se deve ao seu comportamento não linear.

Como resultado da aplica¸cão do método do relé sob condi¸cões de não linearidade, a fun¸cão es-tática não linear inversa da sa´ıda do modelo de Wiener é estimada. Além disso, a fim de avaliar a qualidade da estimativa, a fun¸cão estática não li-near é utilizada para compensar a não linearidade do processo.

Este artigo está organizado como segue: o mé-todo do relé sob condi¸cões de não linearidade é descrito na Se¸cão 2, a identifica¸cão da fun¸cão es-tática não linear inversa do modelo de Wiener é apresentada na Se¸cão 3. Na Se¸cão 4 é descrito o sistema de secagem de grãos. Na Se¸cão 5 os re-sultados obtidos são apresentados. Na Se¸cão 6 os resultados são analisados. Por fim, na Se¸cão 7, são apresentadas as conclusões.

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2 Método do Relé sob Condi¸cões de Não Linearidade e Perturba¸cão Estática O método do relé utilizado foi proposto por (Sung e Lee, 2006). Na Figura 1 é apresentado o di-agrama esquemático para o método do relé. De acordo com o diagrama u(t) e y(t) são a sa´ıda do relé e sa´ıda do processo, respectivamente. O sinal d representa a perturba¸cão estática e Riné o valor

de referˆencia da entrada do rel´e.

Rin d y(t) u(t) Processo + + +

-Figura 1: Diagrama esquemático do Método do Relé.

Na Figura 2, é apresentada a resposta di-nâmica t´ıpica do método do relé original de um processo não linear simulado sob perturba¸cão es-tática. A perturba¸cão estática ocorre no tempo t = 20s com magnitude de 0, 5. Observa-se que o método do relé original fornece uma sa´ıda assimé-trica.

Figura 2: Resposta dinâmica do método do relé original com perturba¸cão estática.

Na Figura 3 encontra-se a resposta dinâmica t´ıpica do método do relé modificado para uma per-turba¸cão estática. A perturba¸cão estática (sinal d, Figura 1) ocorre no tempo t = 20s com magni-tude de 0, 5. Neste caso, observa-se que o método do relé proposto por (Sung e Lee, 2006) fornece uma sa´ıda simétrica do processo não linear, inde-pendentemente da perturba¸cão estática, quando o estado estacionário c´ıclico é atingido.

O m´etodo do rel´e modificado realiza o se-guinte procedimento:

1. Obtém um per´ıodo de oscila¸cão da mesma forma que o método do relé tradicional pro-posto por (˚Aström e Hägglund, 1984);

2 3 1

Figura 3: Resposta dinâmica do método do relé modificado com perturba¸cão estática.

2. Entra o valor baixo do relé e aguarda por um tempo igual a metade do per´ıodo ante-rior. Isso for¸ca a simetria da sa´ıda do relé no estado estacionário c´ıclico. Além disso, após o tempo igual a metade do per´ıodo anterior é estabelecido Rin= y. Isto for¸ca os dois

pon-tos cruzarem em um per´ıodo entre a sa´ıda do processo e o valor de referˆencia da entrada para convergir para o mesmo valor;

3. Entra o valor superior do rel´e e aguarda a sa´ıda do processo cruzar o valor da referˆencia de entrada (Rin);

4. Repete os passos 2 e 3 at´e obter um estado estacion´ario c´ıclico.

Destacam-se duas caracter´ısticas importan-tes do método do relé utilizado. A primeira, é que sempre é garantida a sa´ıda simétrica do relé quando o estado estacionário c´ıclico é obtido, pois o método define exatamente o comprimento de tempo do valor baixo do relé para metade do pe-r´ıodo anterior. Definir o tempo total do valor baixo do relé para a metade do per´ıodo garante uma sa´ıda simétrica do relé no estado estacion´ a-rio c´ıclico, porque o per´ıodo passado e o per´ıodo presente são os mesmos no estado estacionário c´ı-clico. O segundo ponto importante é que o método do relé modificado atualiza Rin, a fim de rejeitar

os efeitos da perturba¸c˜ao est´atica.

3 Identifica¸cão da Fun¸cão Estática Não Linear Inversa do Modelo de Wiener Nesta se¸cão é apresentada a metodologia para identifica¸cão da fun¸cão estática não linear inversa de um modelo do tipo Wiener. A metodologia utiliza o método do relé sob condi¸cões de não li-nearidade. A vantagem da abordagem utilizada consiste em não resolver problemas de otimiza¸cão não lineares iterativos.

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O modelo de Wiener é composto por um sub-sistema linear em série com uma fun¸cão estática não linear. Na Figura 4 é representado o diagrama de bloco deste modelo.

f(z(t))

G( . )

u(t) z(t) y(t)

Figura 4: Diagrama do Modelo de Wiener.

Para fins de identifica¸cão considere o modelo de Wiener com uma única entrada e uma única sa´ıda (SISO). A Equa¸cão (1) representa o subsis-tema dinâmico linear e a Equa¸cão (2) representa a fun¸cão estática não linear da sa´ıda. As variá-veis u(t) e y(t) são, respectivamente, a entrada e sa´ıda do modelo. A variável intermediária z(t) é a sa´ıda do subsistema dinâmico linear e a variável τd indica o atraso na entrada.

G(s) = Z(s) U (s) = b1sn−1+ b2sn−2+ ... + bn−1s + bn sn_{+ a} 1sn−1+ ... + an−1s + an exp(_−τds) (1) z(t) = f−1(y(t)) = q1y(t) + q2y2(t) + ... + qryr(t). (2) O sinal da sa´ıda do modelo de Wiener é ob-tido através do mapeamento do sinal intermedi´ a-rio, z(t), através da fun¸cão f , ou seja:

y(t) = f (z(t)). (3) Como o sinal intermediário não está dispon´ı-vel, pode-se estimá-lo através da inversa da fun¸cão f (Isermann e Munchhof, 2011). Assim,

z(t) = f−1(y(t)). (4) Portanto, a fun¸c˜ao f deve ser invers´ıvel para que um modelo de Wiener possa ser estimado uti-lizando o procedimento proposto.

A metodologia para identifica¸cão da fun¸cão estática não linear do modelo de Wiener é dividida nos seguintes passos:

• Passo 1 - Obter o sinal intermedi´ario aproxi-mado G( . )

u

r

z

r

y

r +

-R

in f(z(t))

Figura 5: Diagrama esquem´atico do processo de Wiener excitado pelo rel´e.

O processo não linear do tipo Wiener é exci-tado pelo sinal do relé modificado, conforme re-presentado na Figura 5. O método do relé uti-lizado garante uma sa´ıda simétrica independente da perturba¸cão estática. Logo, a sa´ıda do relé (Equa¸cão (5)) e a sa´ıda do subsistema dinâmico linear (Equa¸cão (6)) podem ser descritas através da seguinte expansão em série de Fourier:

onde ur, ωc e G(jωc) representam,

respectiva-mente, a amplitude do relé, a frequência cr´ıtica e a resposta em frequência do subsistema dinâmico linear.

Devido às caracter´ısticas dinâmicas do sis-tema de secagem de grãos, os termos harmônicos de alta ordem do relé são relativamente pequenos em compara¸cão ao termo fundamental, ou seja, a dinâmica do secador de grãos atenua muito mais os termos harmônicos de alta ordem. Portanto, a sa´ıda do relé pode ser representada através da harmônica fundamental da série de Fourier:

u(t)_≈ 4ur

π sen(ωct). (7) Para identificar a fun¸cão estática não linear da sa´ıda, considera-se apenas os sinais no estado estacionário c´ıclico. Assim, o sinal da sa´ıda do subsistema dinâmico linear pode ser aproximado pelo seguinte sinal senoidal:

ˆ

z(t)_{≈ d.G(0) −}4ur|G(jωc)|

π sen(ωct), (8) onde G(0) e G(jωc) s˜ao, respectivamente, as

res-postas em frequência do subsistema dinâmico li-near na frequência zero e na frequência cr´ıtica. O sinal d representa a perturba¸cão estática.

• Passo 2 - Obter o modelo inverso da fun¸cão estática não linear

Uma vez definida uma aproxima¸cão para o si-nal intermediário z(t) o modelo inverso da fun¸cão estática não linear é obtido a partir das Equa¸cões (2) e (8). Assim, z(t) M2 = q1 M2 y + q2 M2 y2+ q3 M2 y3+ ... + qr M2 yr ≈ M_M1 2− sen(ω ct), (9)

(4)

G( . )

u(t)

z(t)

y(t)

f(z(t)/ )

α

Figura 6: Diagrama do modelo de Wiener equiva-lente.

onde M1= d.G(0) e M2=4ur|G(jω_π c)|.

A Equa¸cão (9) representa o modelo inverso da fun¸cão estática não linear da sa´ıda normalizado pelo fator M2. Assume-se, sem perda de

genera-lidade, que (4ur|G(jωc)|)/π = 1 pois ´e poss´ıvel

compensar a suposi¸cão multiplicando 1/α na fun-¸cão estática não linear, tal como representado na Figura 6. Desta forma, a rela¸cão entrada-sa´ıda permanece inalterada. A partir dessa suposi¸cão e das Equa¸cões (7) e (9) observa-se que a frequência cr´ıtica é a frequência do relé e a razão da ampli-tude é π/4ur, ou seja, a resposta em frequência do

subsistema dinˆamico linear ´e dado por: ˆ

G(jωc) = (π/4ur) exp(−jπ). (10)

• Passo 3 - Estimar os parâmetros do modelo da fun¸cão estática não linear

Os parâmetros do modelo na Equa¸cão (9) são obtidos analiticamente aplicando o método dos m´ınimos quadrados (Ljung, 1999), desta forma é obtida a Equa¸cão (11).

min ˆ q N X i=0 sen(ωcti) + ˆq0+ ˆq1yi+ ˆq2yi2+ ... + ˆqryir 2 . (11) A partir da Equa¸c˜ao (11), o vetor de parˆ ame-tros ˆθ ´e dado por:

ˆ θ = (ΨTΨ)ΨTY, (12) onde Y =      ˆ z(0) ˆ z(1) .. . ˆ z(N )      (13) e Ψ =      y(1)₍₀₎ _y(2)₍₀₎ · · · y(n)₍₀₎ y(1)₍₁₎ _y(2)₍₀₎ · · · y(n)₍₁₎ .. . ... . .. ... y(1)_{(N )} _y(2)_{(N )} · · · y(n)_{(N )}     . (14) Na Equa¸cão (11) a variável N é o número de medi¸cões no estado estacionário c´ıclico e os ter-mos ˆqi = 1, 2, 3, ..., são as estimativas

correspon-dentes a qi/M2, i = 1, 2, 3, ..., e ˆq0 corresponde a

−M1/M2. Portanto, o modelo estimado da

fun-¸cão estática não linear da sa´ıda, correspondente a z(t)/M2é dado por:

¯

z(t) = ˆq1y(t) + ˆq2y2(t) + ... + ˆqryr(t) (15)

4 Descri¸c˜ao do Sistema de Secagem de Gr˜aos

O sistema de secagem de grãos é representado na Figura 7. Os grãos são depositados sobre uma tela metálica, conforme indicado na figura. O ar, `

a temperatura ambiente, é for¸cado para dentro da câmara principal pelo ventilador V 1, onde é aque-cido pela resistência elétrica R. O ventilador V 2 também for¸ca a entrada de ar à temperatura am-biente na câmara principal, e é utilizado como en-trada de perturba¸cão do sistema, para estudos de controle.

Figura 7: Sistema de secagem de gr˜aos.

A medi¸cão de temperatura é feita pelo sensor S1. O tempo de resposta do sensor é bastante curto, quando comparado ao tempo de resposta do sistema, de modo que sua influência pode ser desprezada.

A sa´ıda do sistema, P V (Process Variable), é a temperatura na tela metálica medida atra-vés do sensor LM 35 (S1). A aquisi¸cão do dado de temperatura é realizado através de um módulo analógico que disponibiliza esse dado para o Con-trolador Lógico Programável (CLP) eZAP 901 da HI Tecnologia. O sinal de controle (MV - Ma-nipulate Variable) é aplicado através do atuador P W M no sistema de secagem de grãos. A inter-face computacional utilizada para a realiza¸cão dos experimentos foi o software MATLAB. Essa inter-face se comunica com o CLP através do padrão OPC (OLE for Process Control ).

5 Resultados Experimentais

Considere o ponto de opera¸c˜ao do sistema utili-zado durante o experimento em 45, 2◦_{C. ´}_E

(5)

Figura 8: Curvas da resposta dinâmica do método do relé - Secador de grãos.

condi¸cões de não linearidade, as caracter´ısticas do sinal são: amplitude do relé igual a 15%, histe-rese igual a ε− = −1 e ε+ = +1. O per´ıodo de

amostragem utilizado foi de 0, 1s.

Com o regime permanente atingido, o expe-rimento é iniciado e os dados da entrada e sa´ıda do sistema são coletados. Após a coleta, o experi-mento é finalizado.

Na Figura 8 é apresentada a resposta dinˆ a-mica do sistema de secagem de grãos para o expe-rimento do relé sob condi¸cões de não linearidade. O ponto de frequência em que a fase é₋₁₈₀◦

obtido a partir do per´ıodo de oscila¸cão resultante do experimento do relé é 2, 98rad/s. A identi-fica¸cão da fun¸cão estática não linear da sa´ıda é realizada conforme descrito na se¸cão 3. A fun¸cão estática não linear inversa estimada é dada por:

ˆ

z(t) = f−1(y(t)) = 0, 0411y3(t)− 1, 7227y2_(t)

+25, 2290y(t) (16) A ordem do polinômio que representa a fun¸cão inversa não linear foi determinada empiricamente.

6 An´alise dos Resultados

Devido a indisponibilidade do sinal intermediário do sistema de secagem de grãos real, não é pos-s´ıvel validar a fun¸cão não linear inversa estimada diretamente com o sistema real. Portanto, para avaliar a fun¸cão não linear inversa estimada em (16) utiliza-se o seguinte procedimento: em um primeiro experimento a fun¸cão estática não linear inversa é usada para compensar a não linearidade do secador de grãos, conforme diagrama esquem´ a-tico apresentado na Figura 9. Então um conjunto de degraus de igual amplitude é aplicado ao sis-tema. Em um segundo experimento, é aplicado no sistema um conjunto de degraus, mesma am-plitude do caso anterior, sem compensar a não li-nearidade.

f(.)

G(s) z f--1(.) y

u

Secador de Grãos

Figura 9: Diagrama esquemático do sistema de Secagem de Grãos com não linearidade compen-sada.

Através deste procedimento, tem-se por ob-jetivo avaliar a compensa¸cão da não linearidade estática para diferentes pontos de opera¸cão do sis-tema através da fun¸cão estática não linear inversa. No caso ideal, os ganhos dos modelos identificados para os degraus devem ser iguais, assim a não li-nearidade seria totalmente compensada.

Na Figura 10 é apresentado o resultado da aplica¸cão dos degraus ao sistema sem compensar a não linearidade. Na Figura 11 é apresentado o resultado da aplica¸cão dos degraus com a não linearidade compensada.

Na Tabela 1 são apresentados os modelos identificados para cada um dos degraus aplica-dos ao secador de grãos. Os modelos são estima-dos utilizando o método estima-dos m´ınimos quadraestima-dos (Ljung, 1999).

Tabela 1: Modelos identificados para o Secador de Gr˜aos com e sem n˜ao linearidade compensada.

Sem compensa¸c˜ao Com compensa¸c˜ao ˆ G1= _85,07s+11,3277 e−2,74s Gˆ4=_46,88s+13,9058 e−2,43s ˆ G2= _110,63s+11,6721 e−0s Gˆ5= _97,73s+13,1835 e−0s ˆ G3= _109,11s+15,6649 e−0s Gˆ6= _61,67s+13,1485 e−0s

A partir dos modelos identificados, verifica-se que os ganhos estimados para o caso sem a não linearidade compensada são divergentes, o ganho do modelo ˆG1 é cerca de 4, 6 vezes menor que o

ganho do modelo ˆG3. A variˆancia dos ganhos dos

modelos ˆG1, ˆG2 e ˆG3´e de 5, 8675.

Para o caso com a n˜ao linearidade compen-sada, o modelo de maior ganho ( ˆG4) ´e 1, 24 vezes

maior que o ganho do modelo de menor ganho ( ˆG6). Os ganhos dos modelos ˆG4, ˆG5 e ˆG6

apre-sentam uma variˆancia de 0, 1827.

Portanto, o objetivo de caracterizar a não li-nearidade estática é alcan¸cado e o procedimento de identifica¸cão apresentado é válido para estimar a fun¸cão estática não linear inversa do secador de grãos.

7 Conclus˜oes

O método do relé modificado, que garante uma sa´ıda simétrica do relé quando um estado estaci-onário c´ıclico é atingido, foi utilizado para iden-tificar a fun¸cão estática não linear inversa de um sistema de secagem de grãos.

(6)

Figura 10: Curvas da resposta dinˆamica do Pro-cesso sem compensar n˜ao linearidade.

Figura 11: Curvas da resposta dinˆamica do Pro-cesso com a n˜ao linearidade compensada.

A partir dos resultados experimentais, a me-todologia utilizada se mostrou eficiente para ca-racterizar o comportamento estático não linear do sistema de secagem de grãos. Uma das vantagens da utiliza¸cão da fun¸cão estática não linear inversa para compensar a não linearidade é a possibilidade de utilizar técnicas de sintonia para processos li-neares e assim alcan¸car melhores desempenhos.

8 Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer o apoio finan-ceiro da Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pes-soal do N´ıvel Superior (CAPES), que tornou pos-s´ıvel o desenvolvimento deste trabalho.

Referˆencias

Isermann, R. e Munchhof, M. (2011). Identifica-tion of Dynamic Systems: An IntroducIdentifica-tion with Applications, 2 edn, Springer, Germany.

Ljung, L. (1999). System Identification: Theory for the User, 2ed edn, Prentice Hall, Upper Saddle River.

Park, C. H., Sung, W. S. e Lee, J. (2006). Mo-deling of hammerstein-wiener processes with special test signals, Ind. Eng. Chem. Res. 45: 1029–1038.

˚

Astr¨om, K. e H¨agglund, T. (1984). Automatic tuning of simple regulators with specifications on phase and amplitude margins, 20:645 edn, Automatica.

Sung, S. e Lee, J. (2006). Relay Feedback Method under Nonlinearity and Static Disturbance Conditions, 45 edn, Ind. Eng. Chem. Res. Sung, S. W. e Lee, J. (2004). Modeling and

con-trol of wiener-type processes, Chem. Res. Sci. 59: 1515.