RESUMO Revisão do Problema Abordado

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EXCITAÇ ÃO DE UMA ANTENA ESF ÉRICA DE ONDAS

GRAVITACIONAIS POR MONOP ´OLOS MAGN ´ETICOS

Diego S. Saito[1] _{(IC), Oswaldo D. Miranda}[2] _{(PQ ) e Rubens M. Marinho Jr}[3] _(PQ) 1 - Instituto Tecnol´ogico de Aeron´autica - ITA - Bolsista CNPQ

2- Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE / Divisão de Astrof´ısica - DAS 3 - Instituto Tecnológico de Aeronáutica - ITA / Divisão de Ensino Fundamental - IEF

RESUMO

Esse artigo se refere à continua¸cão do trabalho de Inicia¸cão Cientif´ıca - Excita¸cão de uma Antena Esférica de Ondas Gravitacionais por Monopólos Magnéticos. No artigo correspondente à primeira parte desse trabalho apresentamos a solu¸cão da equa¸cão de auto-valores rege as deforma¸cões numa antena esférica de ondas gravitacionais. No presente artigo, apresentaremos a solu¸cão da parte temporal bem como a determina¸cão do termo fonte

que contém toda a influência do monopólo magnético sobre a antena. Por fim, obtemos a solu¸cão do problema como uma fun¸cão do ângulo de entrada do monopólo magnético.

ABSTRACT

This paper is about the second part of the undergraduate study - Excitation of a Spherical Gravitational Wave Antenna by Magnetic Monopoles. In the first part, we obtained the solution of the eigenvalue equation which controls the deformation of a spherical detector of gravitational waves. Now, we study the time dependent problem as well as the source term that

tell us how a magnetic monopole can excite the spherical antenna. Finally, we write the general solution of the problem as a function of the entrance angle of the magnetic monopole.

1 - INTRODUC¸ ˜AO

1.1 - Revis˜ao do Problema Abordado

Ondas gravitacionais são uma forma de propaga¸cão de energia gravitacional que se propaga no tempo-espa¸co provocando, por exemplo, mudan¸ca na posi¸cão relativa entre corpos. A busca por detectar essas ondas levou à constru¸cão de antenas de massa ressonante bastante sens´ıveis e que, trabalhando a temperaturas muito baixas, tem o seu material atuando como supercondutor. Com essas caracter´ısticas, esse tipo de antena tem potencial para ser, também, um detector de monopólos magnéticos - part´ıculas previstas pela teoria da Grande Unifica¸cão. No Brasil, temos o detector esférico de ondas gravitacionais Mario Schenberg localizado na USP - Universidade de São Paulo, e visando uma poss´ıvel aplica¸cão a esse detector faremos o desenvolvimento tendo-se em vista as propriedades desse : forma, temperatura de trabalho, tipo de material utilizado na confeçcão da antena, dentre outros

No artigo precedente, mostramos a solu¸c˜ao da Parte Espacial da equa¸c˜ao diferencial de deslocamentos da esfera (1) ρ∂ 2_~u ∂t2 = µ∆~u + (µ + λ)∇(∇.~u) + X i ~ fi(~x, t) (1)

solu¸cão essa que engloba dois modos de vibra¸cão : Modos Toroidais de Vibra¸cão

~uNT(r, θ, φ) = Tnl(r) i ~L Ylm(θ, φ) (2)

em que:

(2)

Modos Esferoidais ~uNE(r, θ, φ) = Anl(r) Ylm(θ, φ) ˆn + Bnl(r) ∇nYlm(θ, φ) (4) com Anl(r) = C(n, l) β3(knlR) jl0(qnlr) − l(l + 1) qnl knl β1(qnlR) jl(knlr) knlr (5) Bnl(r) = C(n, l) β3(knlR) jl(qnlr) qnlr − qnl knl β1(qnlR) knlr jl0(knlr) + jl(knlr) knlr (6) C(n, l) = C0 1 2β2(knlR) + l(l + 1) 2 − 1 β0(knlR) k_nl2 qnl (7) Nas express˜oes acima utilizamos a nota¸c˜ao :

β0(ir) = jl(ir) r2 (8) β1(ir) = d dr jl(ir) r (9) β2(ir) = d2jl0(ir) dr2 (10) com i = q, k β3(knlR) = 1 2β2(knlR) + l(l + 1) 2 − 1 β0(knlR) q2_nl k2 nl (11) Nas expressões acima, temosjl a fun¸cão esférica de Bessel, q o vetor de onda tranverso e k o

longitudinal [1].

Para encontrar a expressão do vetor deforma¸cão para a excita¸cão por monopólos magnéticos temos como passos seguintes determinar a solu¸cão da Parte Temporal, que surge do desacoplamento de variáveis viabilizado pela solu¸cão da Parte Espacial, e encontrar a expressão do termo fonte de influência do monopólo magnético com o material da antena.

1.2 - Supercondutividade [2] e [6]

Muitos fatores contribuem para a resistividade elétrica do sólido, fazendo com que os elétrons sejam espalhados pelas imperfei¸cões da rede devido a defeitos estruturais ou impurezas num cristal. Além disso, existem vibra¸cões da rede de ´ıons em modos normais que constituem algo como ondas de som percorrendo o sólido; denominamos tais ondas como fônons. Quanto mais alta for a temperatura, maior será o número de fônons presentes. A existência de intera¸cões elétron-fônon espalha os elétrons de condu¸cão e acarreta uma outra fonte de resistência. A resistência elétrica de um sólido deve, portanto, decrescer com a temperatura, embora deva existir, mesmo no zero absoluto, uma resistência residual devido à imperfei¸cões da rede cristalina. Parece, portanto, notável que a resistência elétrica de alguns sólidos desapare¸ca completamente a temperaturas suficientemente baixas. Em 1933, Meissner e Oschenfeld descobriram que se uma substância supercondutora for resfriada abaixo de sua temperatura cr´ıtica na presen¸ca de um campo magnético aplicado, ela expulsa todo e qualquer fluxo magnético de seu interior. Um supercondutor age, portanto, como um material diagmagnético perfeito. Observa-se que, se o campo externo aumentar além de um certo valor limite - denominado campo cr´ıtico Hc- o metal

deixa de ser supercondutor, passando ao estado normal. O valor desse campo cr´ıtico depende, para um dado material, da temperatura. Conseq¨uentemente, quando o campo magn´etico externo

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aumenta, a temperatura cr´ıtica diminui at´e que para H > Hc n˜ao exista supercondutividade

para o material a nenhuma temperatura.

Existem dois tipo de Supercondutores - tipo 1 e tipo 2 - que se diferem pelos fenômenos que ocorrem com as supercorrentes induzidas, pelo tipo de transi¸cão entre o regime normal e o supercondutor, além dos valores de temperatura cr´ıtica que, para os supercondutores do tipo 2, são maiores. Podemos distinguir um tipo do outro através do parâmetro de Ginzburg-Landau, κ = λ_ξ, em que :

λ - espessura de penetra¸cão do campo magnético. ξ - rigidez da fun¸cão de onda do par de Cooper ψ.

k <q1₂ - Supercondutor do tipo 1 - e k >q1₂ - Supercondutor do tipo 2. 1.3 - Intera¸cão do Monopólo com a Matéria

Quando um monopólo incide num material supercondutor temos a deposi¸cão de energia através de dois fenômenos : a forma¸cão de redemoinhos de corrente que gera calor por efeito Joule e o aparecimento de um campo magnético reverso para conter as linhas de campo magnético que entram junto com a part´ıcula, levando a um aumento local de pressão, que se traduz em aumento de energia interna.

De uma forma geral podemos dizer que ambos os efeitos geram aumento de pressão sejam pelo aumento da temperatura, seja pela forma¸cão do campo magnético reverso, de forma que podemos estabelecer duas fontes de pressão distintas : uma fonte termo-acústica e outra magneto- acústica

Fonte Termo-Ac´ustica [6]

Σth = Z δp(x) d2x_⊥= γ Z _δE V d 2_x ⊥= γ dE dx (12) com : dE dx ' β N 2/3 c ln[2 kF Λ] ~ c (13) em que : Nc = ncNA ρ A nc é o número de elétrons livres por átomo; kF =

3

√ 3 π2_N

c é o número de onda de Fermi ; Λ é

o caminho livre médio do elétron ; NAé o número de Avogrado; ρ é a densidade do material de

que é constitu´ıdo o meio ; A é o número atômico ; c é a velocidade da luz ; ~ é a constante de Planck dividida por 2π ; γ parâmetro de Grüneisen

Fonte de Press˜ao Magneto-Ac´ustica [6] :

Apresentaremos somente os resultados finais fornecidos por esse m´etodo pois a dedu¸c˜ao foge ao objetivo do presente trabalho :

Supercondutor do Tipo I : κ <q1₂

(4)

Na express˜ao acima temos : n= φ0Hc 4 π νn(κ) √ 2 κ (15) em que:

1. Hc ´e o campo magn´etico cr´ıtico.

2. φ0 = h c_{2 e}.

e´e a carga do el´etron

3. ν(κ) = _ξ12

R∞

0 r dr (1 − f2)

r é a coordenada radial em coordenadas cilindr´ıcas e f é a parte dependente do raio na expressão da fun¸cão de onda do par de Cooper.

4. κ = 2√_φ2 π

0 Hcλ 2

λ é a distância de penetra¸cão do campo magnético no supercondutor. Além de : DI_n= AI_nK ∂ ln Tc ∂p + B I nK ∂ ln H0 ∂p + C I n (16) 1. AI_n= 2₃_{(1 − ρ}n) + 2t 2 1+t2 ρn+ 2t 2 1−t2 2. B_nI = ρn 3. C_nI = 4₉_{(1 − ρ}n) − γ 2 t 2 1+t2 ρn+ 2 t 2 1−t2

4. H0 ´e o campo magn´etico cr´ıtico no zero absoluto

Nas express˜oes de AI

n,BnI e CnI, acima, temos :

1. ρn(κ) = d ln ν_{d ln k}n = [R₀∞r dr(1 − f2)2]/[R₀∞ r dr(1 − f2)]

2. t = _TT_c - temperatura reduzida

Na expressão acima negligenciou-se a diferen¸ca entre o módulo de corpo adiabático1 e isotérmico2_{, tratados indiferentemente como K. O valor de ρ}

n(κ) , para n=1 e n=2, pode ser

extra´ıdo de um gr´afico de [6], pag. 121 Supercondutor do Tipo II : k > q 1 2 Σmag = nDIIn (17) em que : DII_n = AII_n K ∂ ln Tc ∂p + B II n K ∂ ln H0 ∂p + C II n (18) 1 KS= ∂p/∂ ln V |S 2 KT = ∂p/∂ ln V |T

(5)

1. AII n = ρn 2 t 2 1+t2 + 4 t 4 1−t4 2. B_nII = ρn 3. CII n = 1 − ρn− γ AIIn

A simbologia utilizada foi a mesma daquela utilizada para o Supercondutor do tipo I ( vide descri¸cão dos s´ımbolos abaixo da equa¸cão (16)), e também negligenciamos a diferen¸ca entre KSe

KT denominando-se indiferentemente de K.

Para o supercondutor do tipo II podemos fazer uma aproxima¸cão considerando somente fluxo quântico unitário pois observa-se a ocorrência natural desse fenômeno no estado misto (de transi¸cão) caracter´ıstico do supercondutor do tipo II. Essa aproxima¸cão nos leva a obten¸cão de uma expressão que depende de grandezas experimentalmente mensuráveis.

Σmag(tipoII) ' φ0 2 π  Ks ∂Hc1 ∂p T + γ T ∂Hc1 ∂T p   (19) 2 - DESENVOLVIMENTO 2.1 - Solu¸c˜ao Temporal

Resolvida a parte espacial, passamos, então à solu¸cão da parte temporal (33) da equa¸cão de deforma¸cão de pontos do detector , sem, no entanto, especificar o termo de for¸ca. Para solucionar essa etapa baseamo-nos em [3] onde considerou-se o problema da excita¸cão de detector esférico de ondas gravitacionais por raios cósmicos ( múons de alta energia ).

Come¸camos pela determina¸cão da temperatura em um ponto da esfera localizado em ~x e num tempo t e para tanto utilizamos a equa¸cão de difusão do calor dada por (20):

ρ cv

∂2T

∂t2 (~x, t) − κ∇T (~x, t) = s(~x, t) (20)

Como o detector est´a imerso num banho frio de temperatura T0, temos como condi¸c˜oes auxiliares:

T (~x, τ ) = T0 (21)

T ( ~R, t) = T0 (22)

em que:

τ - instante em que a part´ıcula ( agente externo ) incide na esfera. ~

R - ponto na superf´ıcie da esfera

O agente externo atua no detector num dado instante τ e numa dada posi¸c˜ao ~ξ de modo que se torna conveniente utilizarmos as fun¸c˜oes de Green G(~x, ~ξ, t, τ ) para solucionar (20). Dessa forma, fazemos G(~x, ~ξ, t, τ ) satisfazer:

ρcv

∂G

∂t(~x, ~ξ, t, τ ) − κ ∇

2_{G(~x, ~}

ξ, t, τ ) = δ(~x − ~ξ) δ(t − τ) (23) em que δ ´e o delta de Dirac.

e, assim, estabelecemos a rela¸c˜ao: T (~x, t) = T0+ Z V d3ξ Z t 0 dτ G(~x, ~ξ, t, τ ) s(~ξ, τ ) (24)

(6)

Escrevendo a fun¸cão de Green como uma série com fun¸cões somente dependentes de coordenadas espaciais e outras só do tempo G(~x, ~ξ, t, τ ) = P

N νN(~x) ΥN(~ξ, t, τ ), podemos

desacoplar a equa¸cão. A solu¸cão da Parte Espacial é :

νN(~x) = Anljl(λnlr) Ylm(θ, φ) (25)

Os autovalores λnl s˜ao obtidos a partir de :

jl(λnlR) = 0 (26) e a expressão de Anl é : Anl = √ 2 R3/2_|j l+1(λnlR)| (27) A solu¸cão da parte temporal é :

ΥN(~ξ, t, τ ) = ν∗ N(~ξ) ρ cv exp −κ λ 2 nl ρ cv (t − τ) (28) Aplicando esse resultado em (24) temos:

T (~x, t) = T0+ 1 ρ cv X N νN(~x) exp −κ λ 2 nl ρ cv t ΘN (29) em que: ΘN = Z V d3ξ Z t 0 dτ ν∗ N(~ξ) exp κ λ2_nl ρ cv τ s(~ξ, τ ) (30)

A influˆencia da part´ıcula incidente est´a contida inteiramente no termo ΘN. Para o nosso

problema ( excita¸cão por monopólos magnéticos ) basta determinar o termo de fonte de calor s(~ξ, τ ) devido a incidência dessa part´ıcula num ponto ~ξ e num instante τ .

Determinada a temperatura no detector ao longo do espa¸co e do tempo T (~x, t), podemos voltar a equa¸cão de deforma¸cão do detector esférico e resolver a parte temporal desse equa¸cão. Partimos, então, de (1):

ρ∂

2_~u

∂t2 = µ∆~u + (µ + λ)∇(∇.~u) + ~f (~x, t)

Para solucionar (1) utilizamos a expans˜ao por s´eries: ~u(~x, t) =X

N

~uN(~x) utN(t) (31)

onde ~uN(~x) satisfaz a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao :

Z

V

ρ ~uN∗(~x) ~uM(~x) d3x = M δN M (32)

substituindo a expressão da solu¸cão espacial, após simplifca¸cões, temos: d2_u tN dt2 (t) + w 2 NutN(t) = 1 M fN(t) (33)

(7)

que é a equa¸cão diferencial da parte temporal do problema de excita¸cão do detector esférico livre.

O nosso próximo passo é determinar a expressão de fN(t) a partir de T (~x, t). Para tanto,

utilizamos a equa¸c˜ao que fornece a for¸ca por volume devido a difus˜ao de calor : ~

f (~x, t) = − α E

3(1 − 2σ)∇T (~x, t) (34) em que reconhecemos o parˆametro de Gr¨uneisen.

γ = α E 3(1 − 2σ) 1 ρ cv (35) Utilizando a express˜ao de T (~x, t) - (29): ~ f (~x, t) = −γ X νσµ exp ₋κ λ 2 νσµ ρ cv t ! Θνσµ∇ννσµ(~x) (36)

Alteramos a nota¸cão do triplo ´ındice {νσµ} para não gerar futuras confusões.

Agora que obtemos a expressão de ~f (~x, t), podemos obter fN(t) para então aplicá-la em (33).

fN(t) = −γ X νσµ exp ₋κ λ 2 νσµ ρ cv t ! ΘνσµWνσµ N com : Wnlν = C(n, l) β3(knlR) qnlAνl Z R r=0 jl(λnlr) jl(qnlr) r2dr (37)

Obtido o termo de for¸ca podemos voltar a equa¸c˜ao da parte temporal do problema (33): d2utN dt2 (t) + w 2 NutN(t) = 1 M fN(t) obtendo, assim : utN(t) = − γ M ( _∞ X ν=0 ΘνlmWnlνΩνnlm(t) ) (38) com : Ωνnlm(t) = 1 _{κ λ}2 νl ρ cv 2 + w2 N exp −κ λ 2 νl ρ cv t − cos(wNt) + κ λ2 νl ρ cvwN sin(wNt) (39)

2.2 - Determina¸c˜ao do Termo Fonte

Para determinar o termo fonte da intera¸cão do monopólo com a matéria, primeiramente vamos resolver a equa¸cão diferencial da vibra¸cão de um meio elástico infinito, em que se supõe

• O meio ´e Isotr´opico

• Parâmetros e coeficientes de expansão térmica que descrevem as suas propriedades de supercondutividade são escalares

(8)

• As Tens˜oes do tipo press˜ao:

σij = −p δij

Desacoplando a equa¸cão diferencial de deforma¸cões com termo de for¸ca devido a um gradiente de pressão encontramos o seguinte termo fonte (sn) :

¨bn(t) + ωn2bn(t) = sn= − 1 ρ V Z V ~ ∇ δp.~um(~x) dV

Relacionando o termo fonte com a energia depositada : sn= − 1 ρ V Z V ~ ∇ δp.~um(~x) dV = Σ ρ V Z L div_⊥~undl~ (40)

o vetor ~uné a fun¸cão cuja variável são as coordenadas espaciais da série que define a solu¸cão para

o campo de deforma¸cões do detector e a integral de linha acima é feita ao longo da trajetória na antena. Definimos um fator de forma, que encerra a geometria do corpo excitado pelo monopólo.

Gn= cs ωn 1 L Z L div_⊥~undl (41)

Podemos, ent˜ao reescrever o termo fonte: sn=

L ωn

ρ V cs

Σ Gn (42)

O termo Gn depende da dire¸c˜ao de entrada do monop´olo na antena dado que a curva da

integral de linha ´e definida pela trajet´oria do monopolo no detector. Como se trata de uma reta utilizaremos coordenadas ortogonais :

(x − R) ˆx + y ˆy + z ˆz

||(x − R) ˆx + y ˆy + z ˆz|| = ~λ (43) onde ~λ ´e o vetor dire¸c˜ao de entrada . Sem perda de generalidade podemos estabelecer a entrada ocorre em ~x = R ˆx

Podemos parametrizar essa curva denominando:

t = ||(x − R) ˆx + y ˆy + z ˆz|| (44) O comportamento do termo fonte com o tempo ainda n˜ao foi bem esclarecido de modo que podemos simplificar essa dependˆencia considerando comportamento suave de sn(t) no regime

transiente. Dessa forma obtemos [6] :

utn = sn(∞) (1 − cos(ωnt)) ωn−2 (45)

em que ωn são as auto-freqüências do problema Espacial. sn(∞) se refere ao valor estacionário

do termo fonte, o qual pode se obtido atrav´es de : sn(∞) =

L ωN

ρ V cs

Gn (Σmag+ Σth) (46)

Considerando que a liga de Cu (94%) - Al(6%) do detector Mário Schenberg se comporte como um supercondutor do tipo 2 - fazemos essa suposi¸cão a partir do fato de que os supercondutores do tipo 1 são, em geral, metais puros - temos (19) e (13) :

Σmag+ Σth = φ0 2 π  Ks ∂Hc1 ∂p T + γ T ∂Hc1 ∂T p  + γ β N_c2/3 ln[2 k_F Λ] ~ c (47)

(9)

2.3 - Solu¸cão do Problema de Excita¸cão de um Detector Esférico por Ondas Gravitacionais

A solu¸cão para o problema de excita¸cão da antena esférica é escrita em forma de um somatório triplo dos ´ındices {nlm} :

~u(~x, t) =X n X l X m ~un(~x) utn(t) (48) ~u(~x, t) =X n X l X m [Anl(r) Ylm(θ, φ) ˆn + Bnl(r) ∇nYlm(θ, φ)] L ωN ρ V cs Gn ( φ0 2 π  Ks ∂Hc1 ∂p T + γ T ∂Hc1 ∂T p  + γ β N_c2/3 ln[2 k_FΛ] ~ c ) (1 − cos(ωnt)) ω2n (49)

a soma deve ser realizada de acordo com os modos de vibra¸cão da esfera de interesse à deteçcão do sinal inserido pelo monopólo magnético.

4 - CONCLUS ˜AO

Nesse trabalho obtemos a solu¸cão na forma literal do problema de determina¸cão do campo de deforma¸cão de uma esfera pela atua¸cão de um monopolo magnético incidente. Devido a falta de dados acerca das propriedades supercondutoras da liga utilizada no detector Mário Schenberg e por dificuldades na solu¸cão numérica do problema apresentado nos restringimos a expressão algébrica dessa assinatura do Monopolo na antena esférica para esse artigo. Na apresenta¸cão do relatório final, porém, mostraremos a solu¸cão numérica para o caso de entrada radial do monopólo com os dados sobre propriedades supercondutoras da liga que se mostrarem dispon´ıveis na literatura.

AGRADECIMENTOS

Diego Sadao Saito agradece ao CNPQ pelo apoio financeiro (Bolsa PIBIC) e dedica o trabalho a sua namorada Fernanda Borques da Silva

Referˆ

encias

[1] Sadao, D.S; Miranda, O. D.; Marinho Jr., R. M. Monopólo Magnético como Ru´ıdo na Deteçcão de Ondas Gravitacionais - ENCITA 2004

[2] Eisberg; Resnick, F´ısica Quˆantica, Elsevier

[3] Marinho Jr., R. M.; Magalh˜aes, N. S.; Aguiar, O. D.; Frajuca, C.; Excitation of the modes of a spherical antenna for gravitational waves by high energy particles; Physical Review D, vol.64; 2001

[4] Landau, L.; Lifshitz E.; Theory of Elasticity; Pergamon Press; ( Trad. do Russo por J. B. Sykes; W. H. Reid)1959

[5] http://superconductors.org

[6] A. de R´ujula e B. Lautrup; Sonic Search for Monopoles, Gravitational Waves and Newtorites; North-Holand Publishing Company.