n. 9 – RETAS: equações
Uma direção e um ponto determinam uma reta Dois pontos determinam uma reta
Equação geral de uma reta
Para determinar a equação geral de uma reta utilizamos os conceitos relacionados a matrizes.
A equação geral é da forma:
Aplicando a regra de Sarrus para obter o discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, temos que ter no mínimo 2 pares ordenados (x, y) dos possíveis pontos alinhados.
Exemplo: Sejam os pontos A = (1, 2) e B = (3, 8) obtenha a equação da reta. | | | | ∆ = (2 – 8) x – (1 – 3) y + (8 – 6) 1 = 0 – 6 x + 2 y + 2 = 0 – 3 x + y + 1 = 0 3 x – y = 1 x 3x –y = 1 y -2 3(-2)-y = 1 -7 -1 3(-1)-y = 1 -4 0 3(0)-y = 1 -1 1 3(1)-y = 1 2 2 3(2)-y = 1 5
Exercícios:
1. Determine a equação geral das retas que passam pelos pontos:
a. A = (- 1, 2) e B (- 2, 5) b. A = (5, -1 ) e B ( 3, 4) Resoluções: a. A = (- 1, 2) e B (- 2, 5) R: – 3 x – y – 1 = 0 | | | | ( ) ( ) ( )
b. A = (5, -1 ) e B ( 3, 4) R: 5 x + 2 y – 23 = 0
| | | |
( ) ( ) ( )
Equação da reta na forma vetorial:
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem direção de um vetor não nulo ⃗.
Para que um ponto P do espaço pertença à reta r é necessário e suficiente que os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗ sejam colineares.
Obs.: para que dois vetores sejam colineares, eles devem ter a mesma direção.
Para verificar se os pontos são colineares, o determinante da matriz deve ser igual à zero: ∆ = 0.
Monte a matriz com as coordenadas dos pontos e calcule o determinante.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = t ⃗⃗⃗ ou P – A = t ⃗⃗⃗ ⃗ é quem dá a direção da reta
é um parâmetro e este pode variar de + a –
para encontrarmos um ponto da reta fazemos: ⃗
P = A + t ⃗⃗⃗
ou
( ) ( ) ( )
As duas equações acima são denominadas equações vetoriais da reta, sendo P (x, y, z) , A (x1, y1, z1) e ⃗⃗⃗ = (a, b, c).
Exemplo:
1. Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto A (3, 0, -5) e tem a direção do vetor ⃗ = 2 i + 2 j – k
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ ( ) | | (x – 3) 2 – y + [(z + 5) 2] – [ (z + 5) 2] – [ ( x – 3) -1] – [y (2)] = 0 2 x – 6 – y + 2 z + 10 – 2 z – 10 + x – 3 – 2 y = 0 3 x – 3 y – 9 = 0 x – y = 3 ou: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ ( ) ( ) ( ) {
Logo, ( ) E, ( ) Portanto, de (1) em (2): ( )
Como t pode variar de + a – , para encontrarmos um
ponto da reta fazemos: ⃗
Se t = 2, por exemplo:
(x, y, z) = (3, 0 , -5) + 2 ( 2, 2, -1) (x, y, z) = (3, 0 , -5) + (4, 4, -2) (x, y, z) = (7, 4, -7)
Equação paramétrica da reta:
A partir da equação (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c)
temos: (x, y, z) = (x1 + a t, y1 + b t, z1 + c t) ou ainda: {
Essas são as equações paramétricas da reta:
{
(a, b, c) é o vetor diretor (x1, y1, z1) é o ponto
A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas quando t varia de – a + .
Exemplo: Determine as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A (3, -1, 2) e é paralela ao vetor ⃗ = (-3, -2, 1).
{
Para se obter um ponto da reta basta atribuir um valor qualquer para t, por exemplo, para t = 3:
x = - 6 y = - 7 z = 5 Logo, (- 6, - 7, 5 ) é um ponto da reta.
Equações simétricas da reta:
Das equações paramétricas e supondo (a, b, c) ≠ 0, temos:
{
(a, b, c) é o vetor diretor (x1, y1, z1) é o ponto
Logo,
Essas são as equações simétricas ou normais de uma reta que passam por um ponto A ( ) e tem a direção do ⃗ = (a, b, c).
Exemplo 1: Determine as equações simétricas da reta que passa
pelo ponto A (3, 0, - 5) e tem a direção do vetor ⃗ = 2 i + 2 j - k
= = = =
Exemplo 2: Determine as equações simétricas da reta que passa
pelo ponto A (2, 1, - 3) e B (4, 0, - 2).
Primeiro temos que saber a direção do vetor ⃗: ⃗ = = B – A = (2, -1, 1)
Equações simétricas da reta que passa pelo ponto A: = = =
=
Equações simétricas da reta que passa pelo ponto B: = = =
=
Exercício: Ache as equações na forma vetorial, paramétrica e
simétrica da reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, 0). Primeiro temos que achar a direção do vetor:
⃗ = = B – A = (0, 1, 0) – (1, 0, 1) = (-1, 1, - 1) Equação vetorial: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Equações paramétricas: { { ( ) ( ) ( ) { Equações simétricas: Equação geral: ( ) ( ) Logo,
Equação da reta na forma reduzida:
As equações simétricas da reta: = =
podem ter outra forma, isolando-se y e z e expressando-as em função de x.
Estas são as equações reduzidas da reta. 𝒚 𝒚𝟏 𝒃 𝒙 𝒙𝟏 𝒂 𝒚 𝒚𝟏 𝒃 𝒂 (𝒙 𝒙𝟏) 𝒚 𝒚𝟏 𝒃 𝒂 𝒙 𝒃 𝒂 𝒙𝟏 𝒚 𝒃 𝒂 𝒙 𝒃 𝒂 𝒙𝟏 𝒚𝟏 Fazendo: 𝒃 𝒂 𝒎 e 𝒃 𝒂 𝒙𝟏 𝒚𝟏 𝒏 Temos: 𝒚 𝒎 𝒙 𝒏 𝒛 𝒛𝟏 𝒄 𝒙 𝒙𝟏 𝒂 𝒛 𝒛𝟏 𝒄 𝒂 (𝒙 𝒙𝟏) 𝒛 𝒛𝟏 𝒄 𝒂 𝒙 𝒄 𝒂 𝒙𝟏 𝒛 𝒄 𝒂 𝒙 𝒄 𝒂 𝒙𝟏 𝒛𝟏 Fazendo: 𝒄 𝒂 𝒑 e 𝒄 𝒂 𝒙𝟏 𝒛𝟏 𝒒 Temos: 𝒛 𝒑 𝒙 𝒒
Condição de colinearidade de três pontos:
Para que três pontos A1 (x1, y1, z1) , A2 (x2, y2, z2) eA3 (x3, y3, z3) estejam
em linha reta a condição é que os vetores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sejam colineares, isto é: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ para algum m Є R Logo,
Calculando de outra maneira:
Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta.
Se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois considerar que sua área é nula (S = 0). Fazendo S = 0 na fórmula de área do triângulo, concluímos que a
condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante seja nulo , ou seja: ∆ = 0
Exercício: Verifique se os pontos A1 (5, 2, - 6 ), A2 (- 1, - 4, - 3 ) e A3
(7, 4, - 7 ) são colineares. [ ] [ ]
Logo, os pontos são colineares. Outra forma de calcular:
Reta definida por dois pontos:
A reta definida pelos pontos A (x1, y1, z1) e B (x2, y2, z2) é a reta que
passa pelo ponto A (ou pelo ponto B) e tem direção do vetor ⃗: ⃗⃗⃗ = = B – A = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Exemplo:
1. A reta r é determinada pelos pontos A (1, - 2, - 3) e B (3, 1, - 4),
escreva as equações paramétricas dessa reta. Primeiro temos que achar a direção do vetor: ⃗ = = B – A = (2, 3, - 1)
{
Analogamente, as equações paramétricas que passam ponto B são:
{
Retomada das equações da reta: Equação geral de uma reta
A equação geral é da forma: ax + by + c = 0
Aplicando a regra de Sarrus para obter o discriminante de uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, temos que ter no mínimo 2 pares ordenados (x, y) dos possíveis pontos alinhados.
Exemplo:
Dado um ponto e o vetor diretor da reta.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗ ( )
| | Vetorial: P = A + t ⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) Paramétricas: { Simétricas:
Reduzidas: 1º achar as equações simétricas, depois deixar y em função de x e z, ou, de acordo com a variável independente indicada.
Colinearidade entre três pontos: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = m ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ou ∆ = 0 | | Exercícios:
1. Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A ( 2, 1, - 3) e B ( 4, 0, - 2).
2. Achar as equações reduzidas da reta r: = =
(com variável independente x)
3. Determine o ponto da reta r:{
que tenha ordenada 5 e o mesmo vetor diretor.
4. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( - 2, 3, - 2) e tem a direção do vetor ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
5. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A (0 , 3, -2 ) e tem a direção do vetor ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗
6. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos L (1, 1) e M (4, 6)
Resoluções
1. Estabelecer as equações reduzidas da reta r que passa pelos pontos A ( 2, 1, - 3) e B ( 4, 0, - 2).
AB = B – A = ( 4, 0, - 2) - ( 2, 1, - 3) = (2, - 1, 1) Logo, o vetor diretor é: (2, - 1, 1)
Simétricas que passam pelo ponto A:
Reduzidas com variável livre z:
x – 2 = 2 (z + 3) y – 1 = - 1 ( z + 3)
x = 2 z + 6 + 2 y = - z – 3 + 1
R: x = 2 z + 8 e y = - z - 2
Equação geral:
2. Achar as equações reduzidas da reta r: = = (com variável independente x) ( ) ( ) R:
3. Determine o ponto da reta r:{
que tenha ordenada 5 e o mesmo vetor diretor.
Paramétricas: { logo, . Assim, R: P (7, 5, 0) e ⃗ ( )
4. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( - 2, 3, - 2) e tem a direção do vetor ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
Podem ser as simétricas, reduzidas ou as paramétricas. Vetor diretor: ⃗⃗⃗⃗ ( ) Ponto A (- 2, 3, - 2) Vetorial: (x, y, z) = ( -2, 3, -2) + t (3, 0, 2) Paramétricas: { Simétricas:
Equação geral: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( ) ⃗ ( ) | | ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
5. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A (0 , 3, -2 ) e tem a direção do vetor ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗
Podem ser as simétricas, reduzidas ou as paramétricas. Vetor diretor: (2, 0, 0) Ponto A (0, 3, - 2)
Paramétricas: { ⃗⃗⃗⃗ = (2, 0, 0) (x, y, z) = ( 0, 3, -2) + t (2, 0, 0) { y = 3 z = - 2
7. Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos L (1, 1) e M (4, 6)
| | | |
∆ = (1 – 6) x – (1 – 4) y + (6 – 4) 1 = 0 x – 6 x +3 y +2 =0
–5 x +3 y +2 = 0
R: – 5x + 3y + 2 = 0 é a equação geral da reta que passa pelos pontos L(1,1) e M(4,6)
Referências Bibliográficas
BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.
NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.
STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.
VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990.
