ma
temá
tica
Há diferentes tipos de números. Veja alguns exemplos:
•
Estes são números inteiros e positivos:2 13 107
Em Matemática, são chamados números naturais.
•
Estes não são números inteiros; são fracionários:1
5 1,5 21,73
•
Estes não são números positivos; são negativos:–7 –12
Números naturais
São os números que se conhece pri-meiro. Servem para contar, mas também podem indicar ordem (1o, 2o, 3o, ...),
iden-tificar objetos etc.
Ao longo do tempo, os números natu-rais foram representados de várias maneiras:
Catorze no antigo sistema egípcio.
Catorze no antigo sistema romano.
Atualmente, usamos um sistema de numeração inventado na Índia e divulgado pelos árabes. Por isso, esse sistema é chamado indo-arábico. Para escrever os números, utilizamos dez símbolos, os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Cada algarismo indica um valor que depende de sua posição no número.
Exemplo 1: Na escrita 323, o 3 da es-querda indica 3 centenas, o 2 indica 2 dezenas e o 3 da direita indica 3 uni-dades. Assim, 323 = 300 + 20 + 3 e se lê trezentos e vinte e três.
Com três algarismos, o maior núme-ro é 999. Para os númenúme-ros seguintes, de-vem ser usados mais algarismos. Eles vão ocupar as posições das unidades de mi - lhar, dezenas de milhar, centenas de milhar, unidades de milhão etc.
Exemplo 2: Na escrita 54 000, o 5 indica 5 dezenas de milhar e o 4 indica 4 uni-dades de milhar. Assim, 54 000 = 50 000 + + 4 000 e se lê cinquenta e quatro mil.
Exemplo 3: Na escrita 6 000 000, o 6 indica 6 unidades de milhão e se lê seis milhões.
Sobre números
Glossário Temático
4
ma temá ticao
ma
temá
tica
Esse sistema de escrita é chamado decimal porque:
•
10 unidades formam 1 dezena.•
10 dezenas formam 1 centena.•
10 centenas formam 1 unidade de mi-lhar etc.Números fracionários
Indicam partes da unidade. São as frações e os números com vírgula. Em Matemática, os números com vírgula são chamados números decimais.
Frações
São indicadas com símbolos como estes: 1
3 , 110 etc.
Na escrita da fração, cada um dos nú-meros tem um nome. Veja:
1
5 denominador numerador
O denominador denomina, ou seja, dá o nome da fração. Quando é 5, te-mos quintos. O numerador dá a quanti-dade de quintos. No exemplo, a fração é um quinto.
Essa fração indica que uma quantida-de, ou um objeto, ou uma figura, foi divi-dida em 5 partes iguais, das quais consi-deramos 1 parte.
Exemplo 1: A parte vermelha repre-senta 1
5 da figura.
Exemplo 2: Calculamos 1
5 de uma turma de 30 alunos fazendo 30 ÷ 5 = 6 (que correspondem a 1
5 da turma). Assim, 1
5 de 30 alunos são 6 alunos.
Números decimais
São muito usados para indicar quan-tias em dinheiro (R$ 7,50), medidas de temperatura (36,5 °C), comprimento (1,74 m), massa (3,572 kg) etc.
Na escrita desses números, à esquerda da vírgula temos unidades, dezenas etc. À direita temos décimos, centésimos etc.
Por exemplo:
4 5 , 2 5
décimos
dezenas unidades centésimos
Esse número tem dois algarismos à di-reita da vírgula, ou seja, tem duas casas decimais.
Os números decimais recebem esse nome porque são escritos no mesmo sistema decimal usado para os núme-ros naturais:
•
10 centésimos formam 1 décimo.•
10 décimos formam 1 unidade.•
10 unidades formam 1 dezena, e assim por diante.Algumas pessoas estranham esta igualdade: 0,30 = 0,3.
Nessa igualdade, à esquerda, temos 3 décimos e 0 centésimo; à direita, te-mos 3 décite-mos. Portanto, a diferença entre 0,30 e 0,3 é 0 centésimo, ou seja, nada. Por isso, 0,30 e 0,3 são iguais.
ma
temá
tica
Números negativos
Esses números servem para indicar temperaturas abaixo de zero. Por exem-plo, em locais onde neva, a temperatu-ra pode ser –12 °C. Prosseguindo seus estudos, você verá mais sobre esses números.
Você conhece quatro operações: adi-ção, subtraadi-ção, multiplicação e divisão. Vamos ver como são usadas e como são efetuadas.
adição
É usada para juntar ou reunir quan-tidades, ou para acrescentar uma quantidade a outra.
Na adição 7 + 5 = 12, os números adi-cionados (7 e 5) chamam-se parcelas, e o resultado (12) chama-se soma ou total.
Subtração
É usada em várias situações. Por exemplo:
•
Para tirar uma quantidade de outra. Se uma fruteira tem 14 mangas e você tira 5 para fazer um suco, restam 9 mangas na fruteira. Essa situação é in-dicada com a subtração: 14 – 5 = 9.•
Para saber quanto falta em uma quantidade para chegar a outra.Se João tem 12 reais e quer comprar um artigo de 20 reais, quanto lhe falta? Para responder, tira-se de 20 reais a quantia que João já tem. Assim, fazemos a sub-tração: 20 – 12 = 8.
•
Para encontrar a diferença (quanto a mais ou quanto a menos) entre duas quantidades.Se Maria tem 17 reais e José tem 31 reais, quanto ele tem a mais? O que José tem a mais é a diferença entre as duas quan-tias. Para obter a diferença, tira-se 17 de 31, obtendo-se 14. Assim, fazemos a subtração: 31 – 17 = 14.
multiplicação
É usada em diferentes situações. Por exemplo:
•
Para obter o total em uma adição de parcelas iguais.Se um sorveteiro vendeu 4 caixas com 20 picolés cada uma, ele ven-deu 20 + 20 + 20 + 20, ou seja, 4 ve-zes 20 picolés, situação que pode ser indicada pela multiplicação: 4 × 20 = 80.
•
Para saber o total de objetos arruma-dos em filas e colunas.Há 3 × 5 = 15 (ou 5 × 3 = 15) bombons na caixa da figura.
3 fileiras de 5 ou 5 colunas de 3
Em uma multiplicação, como 3 × 5 = 15, os números multiplicados (3 e 5) chamam-se fatores, e o resultado (15) produto.
Nos próximos anos, você vai conhe-cer outros usos da multiplicação.
Sobre operações
NULINUK AS /SHUT TERST OCKma
temá
tica
Divisão
É usada em diferentes situações. Por exemplo:
•
Para repartir igualmente.Se 24 canetas são repartidas igualmen-te entre 6 crianças, cada uma recebe 4 canetas: 24 ÷ 6 = 4.
•
Para saber quantos grupos de mesma quantidade podem ser formados com certo total.Se tenho 24 canetas e quero fazer pacotes de 6, para saber quantos pacotes posso for-mar efetuo 24 ÷ 6 = 4. Fico então sabendo que posso formar 4 pacotes. (Repare como essa situação é diferente da anterior.)
Sei que 27 ÷ 6 dá 4 e sobram 3. O resul-tado 4 é chamado quociente da divisão; o número 3 é chamado resto da divisão.
Operações inversas
•
Adição e subtração são operações in-versas, porque somar uma quantidade a um número e, em seguida, do resul-tado subtrair a mesma quantidade nos faz voltar ao número inicial.5 +7 12 –7 5
•
Multiplicação e divisão também são operações inversas. Essa relação apare-ce em um problema como este:Uma quantia foi dividida entre 3 pes-soas, e cada uma recebeu 6 reais. Qual era a quantia?
O problema refere-se a uma divisão, mas a resposta é obtida com uma mul-tiplicação: 3 × 6 = 18.
técnicas de cálculo
Para achar o resultado de adições, sub-trações, multiplicações e divisões, você pode fazer cálculos mentais, usar calcula-dora ou técnicas de cálculo escrito.
Para entender as técnicas de cálcu-lo escrito, é preciso conhecer o sistema decimal que usamos para representar os números. Vamos ver exemplos.
Exemplo 1: Para efetuar 12 × 15, usa-se este fato: 12 = 10 + 2. Por isso, multipli-car 12 por 15 é o mesmo que:
•
multiplicar 15 por 2: 2 × 15 = 30;•
depois multiplicar 15 por 10: 10 × 15 = 150;•
e, finalmente, somar os produtos obti-dos: 30 + 150 = 180.Veja, a seguir, como se pode organi-zar esses cálculos.
1 5 # 1 2 3 0 + 1 5 0 1 8 0
Exemplo 2: Para efetuar 432 ÷ 2, usa--se este fato: 432 = 4 centenas + 3 deze-nas + 2 unidades. Assim, dividem-se as centenas por 2, depois as dezenas por 2 e então as unidades por 2. Observe a se-guir o início da divisão:
C D U
4 3 2 2 0 3 2 1 1 C D
ma
temá
tica
Sobre formas
geométricas planas
Ângulo maior que o reto. É chamado ângulo obtuso. Na divisão das dezenas sobrou 1
deze-na. Então, ela é trocada por 10 unidades que são adicionadas às 2 unidades, for-mando 12 unidades. O cálculo termina com a divisão dessas 12 unidades por 2. Veja a seguir: C D U 4 3 2 2 0 3 2 1 6 1 2 C D U 0
Quadrados e triângulos são exemplos de formas geométricas planas. Uma for-ma plana não tem espessura, ao contrá-rio das formas espaciais, como o cilindro ou o bloco retangular.
A seguir, são apresentadas as formas planas mais comuns e algumas noções de ângulo, linhas paralelas, linhas per-pendiculares e simetria, que permitem conhecer melhor essas formas.
Ângulo
Nos cantos de um triângulo temos ân-gulos. Daí vem o nome tri ângulo, notou? Os cantos de uma folha de sulfite dão ideia de ângulo reto. Também temos ângulos retos nos cantos de portas e janelas.
Veja alguns ângulos:
Ângulo menor que o reto. É chamado ângulo agudo. Ângulo reto: mede 90°.
YK /S HU TT ER ST O CK VL AD VM /S HU TT ER ST O CK
MIgUEL gARCIA SAAVEDRA
ma
temá
tica
Observe o quadrado azul e o losango vermelho. Nas duas formas, os quatro la-dos medem 2,5 cm. Portanto, a diferença entre as duas formas não está no com-primento dos lados.
O que essas formas têm de diferente? A diferença mais visível entre as duas formas está nos ângulos. Os ângulos dos quadrados sempre são retos. O losango vermelho não tem ângulos retos.
Figura com simetria
O quadrilátero amarelo a seguir tem simetria.
Dizemos que ele tem simetria porque, se dobrarmos o papel na linha azul, que é o eixo de simetria, um lado do quadri-látero ficará exatamente sobre o outro.
Os quadrados têm 4 eixos de simetria. O losango verde tem 2 eixos de simetria, que estão sobre as diagonais.
Linhas retas paralelas
São linhas retas que mantêm uma mesma distância entre si, não se aproxi-mando, nem se afastando. Por exemplo:
em um paralelogramo, há dois pares de lados paralelos.
Linhas retas perpendiculares
São linhas retas que se cortam for-mando ângulos retos. Por exemplo, dois lados consecutivos de um retângulo são perpendiculares.
Polígono e não polígono
Polígono é uma forma geométrica plana de contorno retilíneo. O nome de um polígono depende do seu número de lados.
Exemplo: um quadrilátero tem 4 la-dos. Notou que ‘‘quadri’’ tem a ver com ‘‘quatro’’ e ‘‘látero’’ significa ‘‘lado’’?
Exemplos de polígonos: Pentágono Triângulo Quadrilátero Hexágono lados perpendiculares
ma
temá
tica
Há formas planas que não são polígo-nos. Veja algumas:
Círculo Forma oval
Quadrilátero
É um polígono de quatro lados.
Quadriláteros são comuns nas coisas construídas pelos seres humanos (folhas de papel são retangulares; ladrilhos po-dem ter forma de quadrado etc.). Alguns quadriláteros têm nomes especiais:
Quadrado
Trapézio Paralelogramo Retângulo Losango
Vamos ver as formas geométricas es-paciais mais comuns.
Bloco retangular
O bloco retangular é formado por seis faces, que são retângulos.
Vários tipos de caixa, como as de sa-patos ou de creme dental, se parecem com essa forma geométrica.
RO M AN S A MOK HIN / SH UT TE RST OC K EDU A RD O SAN TAL IS TR A / ESTÚ DI O P AU LIS TA cilindro
As latas de alimentos em conserva, em geral, lembram a forma do cilindro. Suas bases são círculos.
base
base
cone
Um exemplo de objeto cuja forma lem-bra o cone é o chapéu de festa infantil.
base
cubo
Forma geométrica do mesmo tipo do bloco retangular, mas no cubo as seis fa-ces são quadrados.
Sobre formas
geométricas espaciais
SARA H 2/ SHUT TER STO CKma
temá
tica
Os dados usados em jogos lembram a forma do cubo.
esfera
A forma das bolas em geral, como a bola de pingue-pongue, se parece com a esfera.
Pirâmide
Forma geométrica cujas faces laterais sempre são triângulos.
Este quebra-cabeça 3D lembra a for-ma da pirâmide.
base face lateral
Vistas
Você pode ver um objeto de várias posições. Conforme a posição, você tem uma vista do objeto. Se o objeto é uma forma geométrica espacial, ele não
‘‘cabe’’ na folha de papel plana, mas po-demos desenhar suas vistas. Veja a pilha de caixas de fósforos e duas de suas vistas:
Vista superior Vista lateral
Se você está em um avião sobrevoan-do uma cidade, você tem a vista supe-rior da cidade. O mapa de uma cidade é sua vista superior simplificada. A planta de uma casa seria sua vista superior, se a imaginássemos sem telhado e forro.
Há muitas grandezas para medir: comprimento, capacidade, massa, inter-valo de tempo, ângulo, temperatura etc. Para expressar a medida, usamos um nú-mero e uma unidade de medida. Exem-plo: A estrada tem 12 km. Na medida 12 km, a unidade de medida é o quilô-metro, indicado por km.
Sobre medidas
PA U LO M A N zI DMITR Y ELA gIN/SHUT TTERST OCK A FRI CA S TU DI O /S HU TT ER ST O CK PAUL O MAN zIma
temá
tica
Perímetro
É o comprimento do contorno de uma forma geométrica plana. Para en-contrar o perímetro de um triângulo, por exemplo, somamos as medidas de seus três lados.
Unidades de medida
Estas são as unidades de medida mais usadas e seus símbolos:
•
Para medir comprimento, usamos: metro (m), centímetro (cm), milímetro (mm) e quilômetro (km).1 m = 100 cm 1 cm = 10 mm 1 m = 1 000 mm
1 km = 1 000 m
•
Para medir massa (no dia a dia, dizemos peso), usamos: grama (g), quilograma (kg) e tonelada (t).1 kg = 1 000 g 1 t = 1 000 kg
•
Para medir quantidade de líquido ou capacidade de um recipiente, usamos: litro (L) e mililitro (mL).1 L = 1 000 mL
•
Para medir a duração de um intervalo de tempo, usamos: hora (h), minuto (min), segundo (s), além de dia, sema-na, ano etc.1 h = 60 min 1 min = 60 s
•
Para medir temperatura, usamos: grau Celsius (wC)Para estudar, trabalhar, fazer compras, ir a lugares etc., as pessoas precisam de certas informações.
Muitas dessas informações envolvem números, símbolos de unidades de me-dida, formas geométricas, isto é, essas informações estão relacionadas com Matemática.
•
A planta de uma casa contém informa-ções que ajudam na sua construção. As informações da planta baseiam-se em formas geométricas.•
A placa abaixo dá uma informação com número e símbolo, indicando que, na estrada, você está a 80 quilômetros do marco zero.A seguir, vamos ver como apresentar e obter certas informações.
Gráficos
São maneiras de representar informa-ções por meio de figuras, facilitando o entendimento. Exemplo: O gráfico de barras a seguir permite perceber que o
Sobre tratamento
da informação
M AU RI CIO S IM ON ET TI /P UL SA R I M A g ENSma
temá
tica
número de alunos da Escola Azul vem aumentando a cada ano.
Número de alunos da Escola Azul
Númer o de alunos 2010 2011 2012 Ano 2013 Pesquisa estatística
Para saber qual é o time de futebol preferido em uma grande cidade, é difí-cil entrevistar cada morador, porque são muitos. É mais fácil fazer uma pesquisa estatística, ou seja, entrevistar parte dos moradores (que deve ser muito bem escolhida) e, com base nos resultados, fazer uma estimativa da preferência da população da cidade toda.
Ao entrevistar parte dos moradores, fazemos uma coleta de dados. Os resul-tados das entrevistas podem ser apre-sentados em um gráfico como este, cha-mado gráfico de setores:
De acordo com o gráfico, podemos fazer uma estimativa: 1
4 dos moradores da cidade prefere o Fraco F. C. Nessa cida-de, esse time tem mais torcedores que qualquer outro sozinho, certo?
