INSTITUTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS, TERRITÓRIO E CONSTRUÇÃO

INSTITUTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS,

TERRITÓRIO E CONSTRUÇÃO

Laje-Pol – Programa de Aplicação de um Modelo Híbrido-Misto de Tensão à Análise Elástica de Lajes de Reissner-Mindlin

Luís Mendes; Luís M.S.S. Castro

– Junho de 2006 –

Relatório ICIST DTC 06/06 I C I S T

Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa Tel: 218 418 244

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO ... 1

2 FORMULAÇÃO DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN ... 1

2.1 Definição do problema ... 1

2.2 Relações de equilíbrio ... 3

2.3 Relações de compatibilidade ... 5

2.4 Relações de elasticidade ... 6

3 MODELO HÍBRIDO-MISTO DE TENSÃO ... 8

3.1 Introdução... 8

3.2 Definição da aproximação ... 8

3.3 Relações de equilíbrio ... 8

3.4 Relações de compatibilidade ... 9

3.5 Relações constitutivas ... 9

3.6 Organização do sistema governativo... 10

4 DEFINIÇÃO DA APROXIMAÇÃO ... 12

4.1 Introdução... 12

4.2 Funções de aproximação ... 12

4.3 Comentários... 14

5 CÁLCULO DOS OPERADORES ESTRUTURAIS... 15

5.1 Introdução... 15

5.2 Transformação de coordenadas ... 15

5.3 Operador de flexibilidade ... 17

5.4 Operador de compatibilidade no domínio ... 18

5.5 Operador de compatibilidade na fronteira ... 21

5.6 Vector das forças de massa... 24

5.7 Vector das forças na fronteira... 25

5.8 Cálculo dos campos de tensões e de deslocamentos ... 26

6 PROGRAMA DE CÁLCULO AUTOMÁTICO ... 27

6.1 Introdução... 27

6.2 Estrutura do ficheiro de dados ... 29

6.3 Funcionamento do programa ... 30

6.3.1 Configuração ... 30

6.3.2 Executar o programa... 31

7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ... 32

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2.1: Elemento de laje e sistema de eixos adoptado. ... 2

Figura 2.2: Forças de massa aplicadas ao elemento de laje... 2

Figura 2.3: Forças aplicadas na fronteira do elemento de laje... 2

Figura 2.4: Deformação por flexão e por corte da laje. ... 5

Figura 3.1: Laje em consola exemplificativa... 10

Figura 4.1: Representação gráfica de um conjunto de funções de aproximação unidimensionais... 13

Figura 4.2: Representação gráfica de um conjunto de funções de aproximação bidimensionais... 14

Figura 5.1: Transformação de coordenadas para um elemento genérico trapezoidal de 4 nós... 15

Figura 5.2: Funções de aproximação da geometria do elemento... 16

Figura 6.1: Formato do ficheiro de dados... 29

Figura 6.2: Configuração do caminho de busca do programa Matlab... 30

Figura 6.3: Comandos para executar o programa. ... 31

Figura 7.1: Exemplo 1 – Laje quadrada apoiada em todo o contorno. ... 32

Figura 7.2: Exemplo 2 – Laje em consola. ... 32

Figura 7.3: Exemplo 1 – Ficheiro de dados... 33

Figura 7.4: Exemplo 2 – Ficheiro de dados... 34

Figura 7.5: Exemplo 1 – Visualização standard dos resultados obtidos. ... 35

Figura 7.6: Exemplo 1 – Campos de esforços segundo a linha de corte (0;0) (1;1)... 36

Figura 7.7: Exemplo 1 – Campos de deslocamentos segundo a linha de corte (0;0) (1;1)... 36

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 6.1: Listagem das rotinas de cálculo do programa... 28

1 INTRODUÇÃO

O presente relatório tem por objectivo servir como documento de suporte ao programa de cálculo denominado Laje-Pol. O programa foi desenvolvido no âmbito da dissertação de Mestrado em Engenharia de Estruturas [Mendes 2002] e contou com o apoio do Núcleo de Análise de Estruturas, do Instituto de Engenharia de Estruturas, Território e Construção do Instituto Superior Técnico (ICIST).

O programa é caracterizado por recorrer ao modelo de elementos finitos híbrido misto de tensão para efectuar a análise elástica de lajes de Reissner-Mindlin, e por utilizar funções polinomiais (monómios) para efectuar a aproximação das grandezas estruturais.

Considera-se que o programa desenvolvido, embora apresente algumas limitações de desempenho, é uma boa ferramenta introdutória ao modelo híbrido misto de tensão, tendo interesse a sua divulgação.

Para além desta introdução, o relatório encontra-se organizado em 7 secções. Apresentam-se os aspectos gerais da formulação de lajes de Reissner-Mindlin, Apresentam-seguidos de uma descrição sucinta do modelo híbrido misto de tensão (HMT). Posteriormente, abordam-se as características da aproximação e o cálculo dos operadores estruturais. Por último, discutem-se alguns aspectos práticos referentes à utilização do programa e são apresentados dois exemplos de aplicação. Termina-se este documento com a apresentação das referências bibliográficas.

2 FORMULAÇÃO DE LAJES DE REISSNER-MINDLIN

2.1 Definição do problema

A formulação de Reissner-Mindlin é uma das mais simples formulações de lajes que permite considerar o efeito da deformação por corte.

Esta secção tem como objectivo definir de forma sucinta as variáveis, operadores e relações fundamentais da teoria de Reissner-Mindlin. Textos mais aprofundados sobre o assunto podem ser encontrados em diversas publicações [Reddy 1993; Zienkiewicz et al. 1991].

Considere-se o elemento de laje de espessura t, definido de acordo com o referencial indicado na Figura 2.1.

Figura 2.1: Elemento de laje e sistema de eixos adoptado.

O elemento de laje encontra-se sujeito às forças de massa aplicadas no seu plano médio indicadas na Figura 2.2.

Figura 2.2: Forças de massa aplicadas ao elemento de laje.

Define-se o vector das forças de massa, por:

    =         x y m b m q . (2.1)

As fronteiras do elemento podem encontrar-se sujeitas à acção de forças do tipo das que se encontram indicadas na Figura 2.3.

Figura 2.3: Forças aplicadas na fronteira do elemento de laje.

Define-se o vector de forças na fronteira, por:

i i     =         x y z m t m t . (2.2)

A teoria de Reissner-Mindlin considera a hipótese de ser desprezável a tensão σ_zz, para qualquer carregamento aplicado à laje. Salienta-se o facto de esta hipótese ser inconsistente com a teoria da elasticidade tridimensional. No entanto, tal facto não interfere de forma significativa com a qualidade dos resultados obtidos.

Escolhem-se para esforços independentes as grandezas m , _xx m_yy, m_xy, v e _xz v_yz, definidas por: / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 , , − − − =

∫

=

∫

=

∫

t t t xx xx yy yy xy xy t t t m σ z dz m σ z dz m σ z dz, (2.3) / 2 / 2 / 2 / 2 , t t xz xz yz yz t t v σ dz v σ dz − − =

∫

=

∫

. (2.4)

Pode-se então definir o vector dos esforços:

xx xz yz = yy xy m m m s v v                 . (2.5) 2.2 Relações de equilíbrio

A condição de equilíbrio no domínio pode ser obtida impondo o equilíbrio de um volume infinitesimal, obtendo-se [Arantes e Oliveira 1969]:

, 0

ij i bj

σ + = . (2.6)

Com o objectivo de escrever as equações (2.6) em função dos esforços considerados, s, efectuam-se as seguintes manipulações algébricas.

Integra-se na espessura a equação (2.6) definida com i=3, e aplica-se a regra de Leibnitz, resultando: / 2 / 2 / 2 _, / 2 _, 0 t t zx zy t _x t _y dz dz q σ σ − −     + + =     

∫

 

∫

 , (2.7) , , 0 x x y y v +v + = . (2.8) q

Para se obter a segunda das condições de equilíbrio, integra-se na espessura a equação (2.6) definida com i=1, multiplica-se por z, efectua-se a integração por partes e aplica-se novamente a regra de Leibnitz:

/ 2 / 2 / 2 / 2 _, / 2 _, / 2 . . 0 t t t xx yx zx t _x t _y t z dz z dz dz σ σ σ − − −     + − =     

∫

 

∫



∫

; (2.9) , , x 0 xx x yx y xz m +m −v +m = . (2.10)

Aplicando um procedimento análogo agora para a direcção i=2, obtém-se:

, , y 0

xy x yy y yz

m +m −v +m = . (2.11)

Juntando (2.8), (2.10) e (2.11), obtém-se o seguinte sistema de equações de equilíbrio,

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 xx x yy y xy xy yz m x y m m m m y x v _q x y _v   _{∂ ∂ −} _    ∂ ∂   _{ }  _{  }  _{∂ ∂} _{   } − + =  _{∂ ∂} _{  }     _{   }    ∂ ∂  _{ }   ∂ ∂  _{  } , (2.12)

que pode ser escrito matricialmente na forma:

0

D s b+ = em V, (2.13)

A condição de equilíbrio na fronteira estática impõe que o campo de tensões esteja em equilíbrio com as tensões exteriores aplicadas. Recorrendo à fórmula de Cauchy, obtém-se [Arantes e Oliveira 1969]:

ijni tγj

σ = , (2.14)

onde ni representa a componente da normal exterior unitária à fronteira, segundo a direcção

i. As equações (2.14) podem ser escritas na forma matricial, por:

N s=t_γ emΓ_σ . (2.15)

No caso da formulação de lajes de Reissner-Mindlin, a equação (2.14) fica definida por:

i i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 xx x yy x y y xy y x xz z x y yz m m m n n m n n m v n n _t v    _{  }  _{    }  _{   =  }  _{    }  _{  }   _ _      . (2.16)

2.3 Relações de compatibilidade

Considerando a deformada representada na Figura 2.4, os deslocamentos da laje podem ser definidos recorrendo a: ( , , ) ( , ). ( , , ) ( , ). ( , , ) ( , ) =   ₌   ₌  x x y y z u x y z x y z u x y z x y z u x y z w x y θ θ . (2.17)

Nesta definição, o campo de deslocamentos pode ser definido recorrendo apenas a três componentes, θ θ_x, _y,w, as quais definem o vector dos deslocamentos independentes:

x y u w θ θ     =       . (2.18)

Figura 2.4: Deformação por flexão e por corte da laje.

A teoria de Reissner-Mindlin considera que as fibras normais ao plano médio da laje z=0 permanecem rectas depois da laje se deformar, mas não necessariamente ortogonais a esse plano. Assim sendo, o campo de rotações θ_i, pode ser definido como a soma de duas parcelas:

( )

, , ,

i wi i z com i x y

θ = − +γ = , (2.19)

onde γ_{i z} representa a distorção de fibras originalmente perpendiculares, conforme indicado na Figura 2.4 para o caso i=x.

Utilizando as relações definidas em (2.17), considerando a hipótese da linearidade geométrica e recorrendo à definição de distorção γ =_ij 2ε_ij, obtêm-se as seguintes equações de compatibilidade:

, , , , , , . . 0 ( ) xx x x yy y y zz xy x y y x xz x x yz y y z z z w w ε θ ε θ ε γ θ θ γ θ γ θ                 =    ₊         ₊      +         . (2.20)

Introduzindo o tensor das curvaturas, cujas componentes independentes se podem calcular através de:

(

, ,

)

1 , , 2 ij i j j i i j x y χ = θ +θ = = , (2.21)

obtém-se o seguinte formato para as equações de compatibilidade no domínio:

0 0 0 0 0 2 1 0 0 1 xx yy x xy y xz yz x y y x w x y χ χ θ χ θ γ γ ∂   ∂    _{  ∂ }   _{ ∂   }  _{    } ∂ ∂  _{ =  ∂ ∂  }  _{    }     _{ ∂ } ∂  _{  }   ∂   ∂     . (2.22)

A condição de fronteira cinemática é definida por:

x y u w γ θ θ     =       , (2.23)

onde u_γ representa o vector que lista o valor dos deslocamentos impostos.

2.4 Relações de elasticidade

As expressões que relacionam as tensões e as deformações para materiais elásticos lineares são obtidas directamente da teoria da elasticidade [Arantes e Oliveira 1969]:

(1 ) 0 0 0 (1 ) 0 0 0 (1 ) 0 0 0 (1 2 ) 0 0 0 0 0 2 (1 )(1 2 ) (1 2 ) 0 0 0 0 0 2 (1 2 ) 0 0 0 0 0 2 xx xx yy yy E zz zz xy xy xz xz yz yz ν ν ν σ ε ν ν ν σ ε ν ν ν σ _ν ε σ ν ν γ ν σ γ ν σ γ − − − − = + − − −     _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }  . (2.24)

Tratando a equação anterior tendo em conta a definição de esforços e de deformações independentes, obtêm-se as relações de elasticidade para a teoria de Reissner-Mindlin, escritas no formato de rigidez:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 k 6 (1 ) 0 0 0 0 2 6 (1 ) 0 0 0 0 2 f mxx xx myy yy mxy xy vxz _t xz vyz yz t D ν ν _χ ν _χ χ σ ε _ν α _γ γ ν α − = ⇔ = − −       _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }          , (2.25)

onde Df se designa por rigidez de flexão da laje e é definida por:

(

)

3 2 12 1 f E t D ν = − . (2.26)

No formato de flexibilidade obtém-se:

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 (1 ) 0 0 12 ₂ (1 ) 3 0 0 0 0 6 2 (1 ) 0 0 0 0 6 m xx xx m yy yy m t f _{xy xy} E t v xz xz v t yz yz ν ν χ ν χ χ ν ε σ α γ γ _ν α − − + + = ⇔ = +       _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }    _{ }          , (2.27)

onde E representa o módulo de elasticidade, ν o coeficiente de Poisson e αo factor de corte. Este último parâmetro é utilizado para corrigir o efeito da distribuição de tensões tangenciais não ser uniforme ao longo da espessura da laje. Usualmente, considera-se que toma o valor de 5 6 .

3 MODELO HÍBRIDO-MISTO DE TENSÃO

3.1 Introdução

Esta secção tem por objectivo introduzir de uma forma sucinta o modelo de elementos finitos utilizado para a resolução do problema genérico formulado na secção anterior. Informação mais detalhada sobre o modelo híbrido-misto de tensão pode ser encontrada em [Castro 1996; Freitas et al. 1999].

3.2 Definição da aproximação

Neste modelo são aproximados simultaneamente e de forma independente os campos de tensões (3.1) e de deslocamentos no domínio (3.2) de cada elemento. É também aproximado o campo de deslocamentos na fronteira estática (3.3) [Castro 1996].

p S X em V v σ = +σ , (3.1) v v v p u =U q +u em V , (3.2) u=U q_{γ γ} em Γ_σ. (3.3)

As grandezas duais associadas às variáveis discretas introduzidas, deformações generalizadas e , forças de massa generalizadas Q e forças na fronteira generalizadas _v Q_γ,

são definidas por [Castro 1996]:

t v e=

∫

S εdV , (3.4) t v v Q =

∫

U b dV, (3.5) t Q_γ =

∫

U t d_{γ γ} Γ_σ . (3.6) 3.3 Relações de equilíbrio

A condição de equilíbrio no domínio é dada por [Castro 1996]: t v v p A X = −Q −Q , (3.7) onde: (D )t v v v A =

∫

S U dV , (3.8)

t v v Q =

∫

U b dV , (3.9) D t p v p Q =

∫

U σ dV. (3.10)

A condição de equilíbrio na fronteira estática pode-se definir através de [Castro 1996]: t p A X_γ = +Q_γ −Q_γ , (3.11) onde: (N _v)t A_γ =

∫

S U d_γ Γ_σ , (3.12) t Q_γ =

∫

U t d_{γ γ} Γ_σ , (3.13) N t p p Q_γ =

∫

U_γ σ dΓ_σ . (3.14)

A expressão (3.11) corresponde à imposição ponderada da condição de fronteira estática. Pode ser encarada também como resultando do equilíbrio ponderado entre elementos adjacentes, definindo-se neste contexto a fronteira estática como abrangendo também as fronteiras inter-elementares.

3.4 Relações de compatibilidade

A condição de compatibilidade no domínio é definida por [Castro 1996]:

A_{v v} A _pp e= − q + _γ q_γ + −e_γ e , (3.15) onde: (N )t v u e_γ =

∫

S u d_γ Γ , (3.16) (D )t pp v p e =

∫

S u dV. (3.17)

A condição de fronteira cinemática é imposta localmente. A continuidade dos deslocamentos numa fronteira comum a dois elementos é igualmente imposta localmente, ao garantir-se que estes partilham a aproximação para o campo de deslocamentos definida ao longo da fronteira comum.

3.5 Relações constitutivas

As relações constitutivas em regime elástico linear definem-se da seguinte forma [Castro 1996]:

pe e=F X+e +e_θ, (3.18) onde: t v v F =

∫

S f S dV, (3.19) t pe v p e =

∫

S fσ dV, (3.20) t v e_θ =

∫

S ε_θ dV . (3.21)

3.6 Organização do sistema governativo

A condição de compatibilidade no domínio (3.15) e as relações constitutivas (3.18), estão ambas escritas em termos das deformações generalizadas, podendo ser agrupadas numa única equação [Castro 1996]:

F X +A_vq_v−A_γ q_γ = + − −e_γ e_θ e_pe−e_pp. (3.22) Adicionando as condições de equilíbrio no domínio (3.7) e na fronteira (3.11), obtém-se o

sistema governativo elementar:

F A A A 0 0 A 0 0 v pe pp t v v v p t p X e e e e q Q Q q Q Q γ γ θ γ γ γ γ  ₋    _{− − −}       = − −      ₋  _{  } _{− +} _   (3.23)

Salienta-se que devido à preservação da dualidade estática-cinemática e da reciprocidade nas relações constitutivas no modelo discreto, a matriz do sistema governativo elástico é simétrica.

Para ilustrar a organização do sistema governativo global, apresenta-se a sua estrutura base para o caso da laje em consola representada na Figura 3.1.

Os operadores e os vectores F , A , A( )i v( )i γ( )i, j que aparecem no sistema governativo global, encontram-se associados aos (elementos, fronteiras) definidos pelos índices

( )

i j . ,

O sistema governativo apresentado em (3.24), representa a forma genérica do sistema de equações a adoptar na resolução do problema em regime elástico (3.23):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1,1 1,4 1,6 v 2 2 2,2 2,4 2,5 2,7 v 1 v 2 v 1,1 2,2 1,4 2,4 2,5 1,6 2,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t t t t t t t t t F A -A -A -A F A -A -A -A -A A A -A -A -A -A -A -A -A γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 4 5 6 7 v v X X q q q q q q q q γ γ γ γ γ γ                           _{ =}                                   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 pp θ pe 2 2 2 2 pp θ pe 1 1 v p 2 2 v p 1 1,1 γ γp 2 2,2 γ γp 4 1,4 2,4 γ γp γp 5 2,5 γ γp 6 1,6 γ γp 7 2,7 γ γp e - e - e - e e - e - e - e -Q - Q -Q - Q -Q + Q = -Q + Q -Q + Q + Q -Q + Q -Q + Q -Q + Q γ γ                                             . (3.24)

Salienta-se a definição elementar dos operadores F e A , enquanto que _v A_γ é definido para cada deslocamento não impedido ao longo dos troços da fronteira estática. É neste operador que se faz sentir a ligação entre os elementos, através da partilha da aproximação para o campo de deslocamentos ao longo da fronteira comum. É o caso da fronteira 4 (7ª coluna da matriz do sistema) onde se regista a contribuição dos dois elementos A_γ( )1,4 , A_γ( )2,4 .

4 DEFINIÇÃO

DA

APROXIMAÇÃO

4.1 Introdução

Neste capítulo definem-se as funções de aproximação, a forma como foram implementadas e o seu ordenamento nos diferentes operadores. São ainda indicadas as principais vantagens e inconvenientes decorrentes da sua utilização.

4.2 Funções de aproximação

As funções de aproximação utilizadas são do tipo polinomial. A construção da aproximação pode ser obtida, no caso de grandezas unidimensionais, agrupando os polinómios por ordem crescente de grau, conforme se indica em (4.1). No caso bidimensional, a construção é resultante do produto tensorial envolvendo polinómios unidimensionais (4.2), podendo ser agrupados com a sequência indicada em (4.3):

( )

( )

( )

0 1 n P x P x P x    " , (4.1)

( )

( )

( )

( )

[

]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0 0 1 0 0 1 P x P y P y P x P y P x P y P x P y P x P x P y P x P y P x P y α α α α α α α =                     " " # # # % # " , (4.2)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0 P x P y P x P_α y P x P y_α P x P_{α α} y    " " " . (4.3)

Quanto à organização das matrizes que reúnem as funções de aproximação S U U_v, _v, _γ , optou-se por agrupar primeiro todas as funções associadas a cada grandeza aproximada. Estas matrizes são definidas com um número de linhas igual ao número de grandezas aproximadas. Desta forma, a matriz (4.4) representa, por exemplo, o caso onde são duas as grandezas aproximadas:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0 0 0 0 0 P x P y P x P y P x P y P x P y α α α α         " " " " . (4.4)

Outras formas de organização são possíveis, influenciando no entanto a distribuição dos coeficientes no sistema governativo. Procurou-se garantir que a organização das matrizes assegure uma distribuição eficiente dos coeficientes não-nulos, nomeadamente através da optimização da proximidade à diagonal principal, conduzindo à minimização das operações a efectuar quando se utilizam técnicas apropriadas para a resolução do sistema de equações.

Neste trabalho utilizaram-se apenas aproximações com polinómios completos. Assim sendo, a dimensão de qualquer uma das matrizes anteriores é dada, para o caso de uma aproximação unidimensional, por (4.5), e por (4.6) para o caso bidimensional:

(

)

, 1 _max n n +g    , (4.5)

(

)

2 , 1 _max n n g  ₊    , (4.6)

onde n representa o número de grandezas aproximadas e gmax o grau máximo das funções consideradas nessa aproximação.

As funções escolhidas para efectuar as aproximações definidas em (3.1), (3.2) e (3.3), foram monómios definidos genericamente por:

( )

i i

P γ = . (0.7) γ

Na Figura 4.1 encontram-se representadas as funções unidimensionais até ao grau 10, P10(x), e na Figura 4.2 as funções bidimensionais até ao grau 2, P2(x,y).

Figura 4.2: Representação gráfica de um conjunto de funções de aproximação bidimensionais.

4.3 Comentários

A utilização deste tipo de funções deve-se essencialmente ao facto de serem extremamente simples de implementar e à possibilidade de se definirem expressões analíticas para o cálculo dos operadores estruturais.

No entanto, este tipo de funções não é indicado quando os objectivos do modelo saem fora do âmbito académico, pois podem dar origem a sistemas de equações mal condicionados quando se adoptam estratégias de refinamento tipo p, ou seja, quando se aumenta significativamente o grau máximo adoptado para as funções de aproximação (ver “proximidade” da forma das funções, Figura 4.1). A adopção de funções de aproximação ortogonais apresentaria, como grande vantagem, o facto de ser possível nesse caso a obtenção de sistemas com elevados níveis de esparsidade, o que conduziria a um menor esforço computacional quando se implementam rotinas apropriadas à resolução deste tipo de sistemas de equações. Por outro lado, bases de aproximação construídas com funções ortogonais são, regra geral, numericamente bem mais estáveis.

5 CÁLCULO DOS OPERADORES ESTRUTURAIS

5.1 Introdução

O presente capítulo tem como objectivo definir as expressões associadas ao cálculo dos operadores estruturais.

A aproximação das grandezas é definida pelas variáveis gsm, gsv, gut, guw, guft, gufw, parâmetros que representam respectivamente o grau máximo da aproximação dos campos de momentos, esforços transversos, rotações no domínio, deslocamentos transversais no domínio, rotações e deslocamentos transversais na fronteira estática.

5.2 Transformação de coordenadas

Os elementos utilizados são do tipo trapezoidal com a geometria definida por 4 nós. Para permitir a sistematização do cálculo dos operadores efectuou-se uma transformação de coordenadas do referencial global

( )

x y , para um elemento mestre definido no referencial , local

( )

ξ η, . Considera-se que no elemento mestre cada coordenada varia no intervalo

[ ]

0,1 (Figura 5.1).

Figura 5.1: Transformação de coordenadas para um elemento genérico trapezoidal de 4 nós.

Para a definição da geometria do elemento, considera-se uma aproximação do tipo bilinear (Figura 5.2), definida por:

1 2 3 4 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ψ ξ η ψ ξ η ψ ξ η ψ ξ η  _{= − −}  = −   =   _{= −}  . (5.1)

Figura 5.2: Funções de aproximação da geometria do elemento.

A geometria do elemento no sistema de eixos global

(

x x1, 2

)

pode ser definida na forma

[Pereira 1993]:

[ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4

1 2 3 4 , {1, 2}

k k k k k

x =ψ x +ψ x +ψ x +ψ x para k = , (5.2)

onde x representa a coordenada k, definida no sistema de eixos global, do nó i do _k[ ]i elemento.

Salienta-se que, devido à forma como foi definida a aproximação para a geometria do elemento, a orientação dos lados locais é necessariamente definida no sentido anti-horário. Introduzindo as aproximações definidas em (5.1) na expressão (5.2), obtém-se:

( )

[ ]1

(

[ ]1 [ ]2

)

(

[ ]1 [ ]4

)

(

[ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4

)

,

k k k k k k k k k k

x ξ η =x + −x +x ξ+ −x +x η+ x −x +x −x ξη. (5.3) As equações anteriores podem ser escritas no formato [Pereira et al. 2000]:

( )

, 0 , {1, 2} k k k k k x ξ η =x +α η β ξ γ ξη+ + para k = , (5.4) onde: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 4 1 2 1 1 2 3 4 k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x κ α β γ  ₌  = −   = −   = − + −  . (5.5)

A relação entre variações infinitesimais das grandezas definidas nos sistemas de coordenadas global e local, pode ser expressa através da seguinte igualdade:

{ }

, 1, 2 i i i x x dx dξ dη i ξ η ∂ ∂ = + = ∂ ∂ , (5.6) ou na forma matricial: 1 ψ ψ2 ψ3 ψ4

1 1 1 2 2 2 x x dx d dx x x d ξ ξ η η ξ η ∂ ∂   _{∂ ∂}    _{ }  =   _{∂ ∂   }    _{∂ ∂}    . (5.7)

A matriz da equação anterior é usualmente designada por matriz Jacobiana da transformação de coordenadas. Para os elementos trapezoidais utilizados é definida por:

( )

1 1 1 1 2 2 2 2 , J ξ η β γ η α γ ξ β γ η α γ ξ + +   =  _{+ +}   . (5.8)

Define-se o Jacobiano da transformação como o determinante da matriz Jacobiana, o qual pode ser obtido através de:

1 1 2 2 1 1 2 2

( , ) det[ ( , )] ( ) ( ) ( )( )

J ξ η = J ξ η = β γ η α γ ξ+ + − α γ ξ β γ η+ + . (5.9) Efectuando o desenvolvimento dos produtos e agrupando os termos, obtém-se:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

J ξ η = β α α β− + γ α α γ η β γ− + −β γ ξ γ γ γ γ ξη+ − ₂ . (5.10) Observando que o último termo se anula, é possível escrever a expressão anterior na forma condensada [Pereira et al. 2000]:

0 ( , ) J ξ η =J +J_ξξ+J_ηη, (5.11) onde: 0 1 2 1 2 J =β α α β− , (5.12) 1 2 1 2 J_η =γ α α γ− , (5.13) 1 2 2 1 J_ξ =β γ −β γ . (5.14) 5.3 Operador de flexibilidade

De acordo com o modelo de elementos finitos, o operador de flexibilidade é calculado para cada elemento finito, e, através da expressão:

( )

t e

v v

F =

∫

S f S dV .

Efectuando a transformação de coordenadas para o elemento mestre expresso no referencial local (ξ η, ), a definição do operador irá englobar o Jacobiano da transformação:

( )

(

)

( ) ( )

1 1 0 0 , t , , e v v F =

∫∫

S ξ η f S ξ η J ξ η d dη ξ . (5.15)

Desta forma, o cálculo de um termo genérico do operador de flexibilidade associado às funções de aproximação definidas pelos índices i, j, m, n e ao termo f da matriz que _kl reúne os parâmetros elásticos, pode ser efectuado a partir de:

(

)

1 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 , , , , , = e i j kl m n F i j k l m n

∫∫

P ξ P η f P ξ P η J ξ,η dη dξ. (5.16) Particularizando a expressão anterior para elementos trapezoidais, cujo Jacobiano da trans-formação de coordenadas é definido em (5.11), um elemento genérico do operador de flexibilidade pode ser calculado por:

(

)

1 1

( ) ( )

( ) ( )

(

0

)

0 0 , , , , , e i j kl m n F i j k l m n =

∫∫

P ξ P η f P ξ P η J +J_ξξ+J_ηη η ξd d , (5.17) A expressão anterior pode ser dividida nas três parcelas relacionadas com os termos que definem o Jacobiano. Efectuando as integrações, obtém-se:

( ) ( )

( ) ( )

₍

₎₍

₎

1 1 0 0 0 0 1 1 kl i j kl m n f J J P P f P P d d i m j n ξ η ξ η η ξ = + + + +

∫∫

, (5.18)

( ) ( )

( ) ( )

₍

₎₍

₎

1 1 0 0 2 1 kl i j kl m n f J J P P f P P d d i m j n ξ ξ

∫∫

ξ η ξ η ξ η ξ = _{+ + + +} , (5.19)

( ) ( )

( ) ( )

₍

₎₍

₎

1 1 0 0 1 2 kl i j kl m n f J J P P f P P d d i m j n η η

∫∫

ξ η ξ η η η ξ = _{+ + + +} . (5.20)

O termo genérico do operador pode ser obtido da soma dos termos anteriores:

(

_{, , , , ,}

)

₍

₎₍

0

_{) (}

₎₍

_{) (}

₎₍

₎

1 1 2 1 1 2 e kl J J J F i j k l m n f i m j n i m j n i m j n ξ η + + + + + + + + + + +   =   + + +  .(5.21)

Para cada termo não nulo de f gera-se um bloco de termos quadrado, com dimensão _kl

(

)

2

1+g_sm ou (1+g_sv)2, conforme f esteja associado a um momento ou a um esforço _kl transverso.

O operador de flexibilidade Fe é traduzido por uma matriz quadrada com a dimensão:

º 2 2 1 3 (1 ) 2 (1 ) n elem i i sm sv i g g =  + + +   

∑

. (5.22)

5.4 Operador de compatibilidade no domínio

Conforme foi visto anteriormente, para o elemento finito e, o operador de compatibilidade no domínio é definido pela expressão:

( )

e t

v v v

A =

∫

D S U dV.

Para efectuar a transformação de coordenadas para o elemento mestre, introduz-se um procedimento semelhante ao anterior. No entanto, é necessário calcular a relação entre o operador diferencial de equilíbrio definido no sistema de coordenadas globais

( )

x y e o , mesmo operador definido nas coordenadas locais

( )

ξ η, .

Recorrendo à regra da derivação da função composta (5.23), podemos relacionar para cada elemento finito, as derivadas parciais associadas às coordenadas globais, com as derivadas associadas às coordenadas locais:

( ) ( ) ξ ( ) η

γ ξ γ η γ

∂ ₌∂ ∂ ₊∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , (5.23)

definindo-se o novo operador de equilíbrio D

( )

ξ η, , da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y D y y x x x x y y ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  _{+ +}  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  =_ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   −   − _  ∂ ∂ ₊∂ ∂ ∂ ∂ ₊∂ ∂  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  . (5.24)

Tendo em atenção que os termos , , ,

x y x y

ξ ξ η η _{∂ ∂ ∂ ∂}  _{∂ ∂ ∂ ∂} 

  presentes na expressão anterior podem ser calculados com base nas expressões associadas à inversa da transformação de coordenadas utilizada na definição da geometria do elemento, é possível relacionar as derivadas nos dois sistemas de coordenadas, através de:

1 ( ) ( ) ( ) ( ) x J y ξ η − ∂   ∂     _∂  _∂    _{ =} ∂ ∂      _∂  _∂     , (5.25) onde:

( )

, , 1 , , 1 , y y J x x J η ξ η ξ ξ η − ₌  −  ₋   . (5.26)

Desta forma, de acordo com as expressões apresentadas em (5.4) para os elementos trapezoidais, o operador diferencial de equilíbrio pode ser definido através de:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2 2 1 1 2 0 1 0 D , D , , 0 D , D , 1 0 0 0 D , D , D ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η  ₋    = −        , (5.27) onde:

( ) (

)

(

)

( ) (

)

(

)

1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) , D D ξ η α γ ξ β γ η ξ η ξ η α γ ξ β γ η ξ η + + − − − − ∂ ∂  _{= −}  _{∂ ∂}   ∂ ∂  _{= −}  _{∂ ∂}  . (5.28)

O operador de compatibilidade no domínio pode então ser definido no referencial local

( )

ξ η, , através de:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 0 0 1 , , , , , t e v v v A D S U J d d J ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η η ξ     = _{ }  

∫∫

, (5.29)

Eliminando os termos referentes aos Jacobianos, o cálculo de um termo genérico do operador de compatibilidade, associado às funções de aproximação definidas pelos índices i ,j, m, n, e ao termo do operador de equilíbrio D_k definido em (5.28), pode ser efectuado através de:

(

)

1 1

(

( ) ( ) ( )

)

( ) ( )

0 0 , , , , , t e v k i j m n A i j k m n =

∫∫

D ξ η P ξ P η P ξ P η η ξd d . (5.30) A matriz Av pode ser definida à custa de apenas 3 sub-matrizes, da seguinte forma:

1 2 1 1 2 1 0 0 3 1 3 2 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0 e v A A A A A J d d A A A A ξ η = ξ η ξ η                

∫∫

, (5.31)

(

)

(

( ) ( )

)

( ) ( )

( ) ( )

(

)

_{( ) ( )}

1 1 0 0 2 2 1 i j m n i j m n A d d P P P P P P P P ξ η ξ η α γ ξ ξ η ξ ξ η ξ η η =  + ∂ ∂   ∂ −  ∂ _

∫∫

, (5.32)

(

)

(

( ) ( )

)

( ) ( )

(

)

(

( ) ( )

)

( ) ( )

1 1 0 0 1 1 1 1 2 i j m n i j m n A d d P P P P P P P P ξ η ξ η α γ ξ ξ η ξ ξ η β γ η ξ η η =  − − ∂ ∂   ∂ − − −  ∂ _

∫∫

, (5.33)

( ) ( ) ( ) ( )

(

) (

)

1 1 0 0 0 3 i j m n A =

∫∫

− P ξ P η P ξ P η J +J_ξξ+J_ηη d dξ η. (5.34) Efectuando as integrações, obtém-se:

2 2 2 2 1 1 ( )( 1) ( 1)( 1) 1 1 ( 1)( ) ( 1)( 1) 1 i m j n i m j n i m j n i m j n A i i j j α γ β γ + + + + + + + + + + + + + + = + − − , (5.35) 2 1 1 1 1 1 1 ( )( 1) ( 1)( 1) 1 1 ( 1)( ) ( 1)( 1) i m j n i m j n i m j n i m j n i i j j A α γ β γ + + + + + + + + + + + + + + = − − + + , (5.36) 3 0 1 1 1 (i m 1)(j n 1) (i m 2)(j n 1) (i m 1)(j n 2) J J J A _{ξ η} + + + + + + + + + + + + = − − − . (5.37) O operador de compatibilidade e v

A é traduzido por uma matriz com as seguintes dimensões: º 2 2 1 º 2 2 1 º : 3 (1 ) 2 (1 ) º : 2 (1 ) (1 ) n elem i i sm sv i n elem i i ut uw i N de linhas g g N de colunas g g = =  _{+ + +}     + + +   

∑

∑

(5.38)

5.5 Operador de compatibilidade na fronteira

De acordo com a secção relativa ao modelo de elementos finitos, o operador de compatibilidade na fronteira associado ao elemento finito e, e à fronteira estática f, é calculado através de:

( ),

(N )

e f t

v

É necessário determinar a relação entre a matriz que reúne as componentes das normais exteriores, definidas no sistema de coordenadas globais

( )

x y e no sistema de coordenadas , locais

( )

ξ η, .

Prova-se que [Pereira 1993]:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 , , , , x y n n J J n n ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η −     =         . (5.39) Atendendo a que:

( ) ( )

1

_{( )}

, , , , 1 , , y y J x x J η ξ η ξ ξ η ξ η −  −  = ₋   , (5.40)

a expressão (5.39) pode ser rescrita na forma:

( )

( )

,, ,, , , x y y y n n x x n n η ξ ξ η ξ η ξ η ξ η −       =   ₋          . (5.41)

De acordo com as expressões apresentadas para os elementos trapezoidais (5.4), obtém-se:

( )

( )

21 21 12 12 , , x y n n n n ξ η ξ η α γ ξ β γ η ξ η α γ ξ β γ η    _{+ − −}   =   _{− − +}         . (5.42)

Como as normais exteriores obtidas pela expressão (5.42) não são unitárias, é necessário dividi-las pela sua norma, obtida de:

( )

( )

2 2

( , ) _x , _y ,

n ξ η = n ξ η +n ξ η , (5.43)

ficando o operador de compatibilidade na fronteira definido por:

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

, t 1 e f v γ 2 2 0 _{x y} N ξ,η A = S ξ,η U γ J γ dγ n ξ,η + n ξ,η γ        

∫

, (5.44) onde:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 0 0 , , 0 , , 0 0 0 0 0 , , x y y x x y n n N n n n n ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η     =         . (5.45)

Tendo em conta que o Jacobiano da transformação de coordenadas pode ser obtido através da igualdade:

( )

2

( )

2

( )

, ,

x y

o operador de compatibilidade pode ser definido por: ( ), 1

(

_{( ) ( )}

)

_{( )}

0 N , , t e f v A_γ =

∫

ξ η S ξ η U_γ γ dγ , (5.47)

Um termo genérico do operador, associado às funções de aproximação definidas pelos índices i, j, m e associado à normal exterior n_k

( )

ξ η, , pode ser calculado através de:

( ),

₍

₎

1

(

_{( ) ( ) ( )}

)

_{( )}

0 , , , n , t e f k i j m A_γ k i j m =

∫

ξ η P ξ P η P γ dγ . (5.48)

Particularizando para cada um dos lados do elemento mestre definido na Figura 5.1, obtém-se: Lado I -

(

γ ξ=

)

,

(

η= e 0

)

(

n_ξ, n_η

)

=

(

0 ,−1

)

: ( ) ( ) I I 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 x y n n α γ ξ β γ β α γ ξ β γ β    _{+ − +}     = =   _{− − −}  ₋ ₋           , (5.49) ( ) 2 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I N β β β β β β −     =_ − _  ₋    , (5.50) ( )

(

( )

( ) ( )

)

( )

( )

( )

(

)

I , I 1 0 1 1 N , 0 N 0 0, . . e I t t i j m i m se j A P P P c c γ ξ ξ ξ + +  ₌  = ∂ =  

∫

. (5.51) Lado II -

(

γ η=

)

,

(

ξ = e 1

)

(

n_ξ;n_η

)

=

(

1 ; 0

)

: ( ) ( ) II II 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 x y n n α γ ξ β γ α γ α γ ξ β γ α γ    _{+ − +}    ₊  = =   _{− − −}   _{− −}           , (5.52) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 II N α γ α γ α γ α γ α γ α γ + − −     =_ − − + _  _{+ − −}    , (5.53) (, )

(

( )II

( ) ( )

)

( )

( )

( )II 1 0 1 1 N 1 N e II t t i j m j m A_γ P P η P η ηd + + =

∫

= . (5.54) Lado III -

(

γ ξ=

)

,

(

η= e 1

)

(

n_ξ, n_η

)

=

(

0 , 1

)

: ( ) ( ) III III 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 x y n n α γ ξ β γ β γ α γ ξ β γ β γ   _{ + − −   − − } = =   _{− − +}    ₊           , (5.55)

( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 III N β γ β γ β γ β γ β γ β γ − − +     =_ + − − _  _{− − +}    , (5.56) (, )

(

( )III

( ) ( )

)

( )

( )

( )III 1 0 1 1 N 1 N e III t t i j m i m A_γ P ξ P P ξ ξ + + =

∫

∂ = . (5.57) Lado IV -

(

γ η=

)

,

(

ξ = e 0

)

(

n_ξ;n_η

)

= −

(

1 ; 0

)

: ( ) ( ) IV IV 2 2 2 2 1 1 1 1 1 0 x y n n α β γ η α α β γ η α    − −  − −  = =   _{− +}              , (5.58) ( ) 2 1 1 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 IV N α α α α α α −     =_ − _  ₋    , (5.59) ( )

(

( )

( ) ( )

)

( )

( )

( )

IV

(

)

, IV 1 0 1 1 N , 0 N 0 0, . . e IV t t i j m j m se i A P P P d c c γ η η η + +  ₌  = =  

∫

. (5.60)

Para cada termo não nulo de N, gera-se um bloco de termos com dimensão

(

)

2

(

)

1+g_sm × +1 g_uft , ou

(

1+g_sv

)

2× +

(

1 g_ufw

)

, conforme se trate de termos associados aos pares de esforços/deslocamentos

(

m,θ

)

ou

( )

v w . ,

O operador de compatibilidade na fronteira A_γ é traduzido por uma matriz com a dimensão: º 2 2 1 1 1 º : 3 (1 ) 2 (1 ) º : (1 ) (1 ) n elem i i sm sv i ngl ngl w i i uft ufw i i N de linhas g g N de colunas g g θ = = =  + + +     ₊ ₊  ₊     

∑

∑

∑

(5.61)

onde nglθ representa o número rotações livres, enquanto que ngl w representa o número de deslocamentos transversais livres, nas fronteiras estáticas.

5.6 Vector das forças de massa

Recordando que o vector das forças de massa associado ao elemento e, é definido por:

( )

t e

v v

Q =

∫

U b dV ,

e pode ser calculado recorrendo à transformação de coordenadas para o referencial local definida pela expressão (5.62):

( )

( )

1 1 0 0 , t e v v Q =

∫∫

U b J ξ η d dη ξ . (5.62)

O termo genérico associado às funções de aproximação definidas pelos índices i, j e à componente b do vector das forças de massa, pode ser calculado através de: _k

(

)

1 1

( ) ( )

( )

0 0 , , , e v i j k Q i j k =

∫∫

P ξ P η b J ξ η d dη ξ. (5.63)

Particularizando para os elementos trapezoidais:

(

)

1 1

( ) ( )

(

0

)

0 0 , , v e i j k Q i j k =

∫∫

P ξ P η b J +J_ξξ+J_ηη η ξd d , (5.64) efectuando as integrações, obtém-se:

( )(

)

(

)(

)

( )(

)

0 1 1 1 1 1 2 1 1 2 k k k J b J b J b i+ j+ + ξ i+ j+ + η i+ j+ . (5.65) O vector terá uma dimensão total de:

º 2 2 1 2 (1 ) (1 ) n elem i i ut uw i g g =  _{+ + +}   

∑

. (5.66)

5.7 Vector das forças na fronteira

Conforme já foi visto, o vector das forças na fronteira associado à fronteira f, é definido através de:

( )

t f

Q_γ =

∫

U_γ t d_γ Γ_σ ,

e pode ser calculado recorrendo à transformação de coordenadas para o referencial local, obtendo-se a expressão (5.67):

( )

( )

1 0 t f Q_γ =

∫

U_γ t_γ J γ dγ . (5.67)

Atendendo à definição (5.46), o termo genérico associado à função de aproximação definida pelo índice m e à componente t_γ,k do vector das forças na fronteira, obtém-se de:

(

)

1

( )

2

( )

2

( )

, 0 , , , f m k x y Q_γ m k =

∫

P ξ t_γ n ξ η +n ξ η dγ . (5.68)

A consideração de cargas uniformes definidas nas fronteiras dos elementos, pode ser implementada através da particularização da equação anterior para cada um dos lados do elemento mestre, obtendo-se desta forma:

Lado I -

(

γ ξ=

)

e

(

n_x;n_y

)

=

(

β β₂ ; ₁

)

:

( ) ( )

2 2 1

( )

( ) ( )

2 2 , 2 1 , 2 1 0 1 1 k i k t P d t i γ β + β

∫

ξ ξ = γ β + β ₊ , (5.69) Lado II -

(

γ η=

)

,

(

n_x; n_y

)

=

(

α γ α γ₂+ ₂ ; ₁+ ₁

)

:

(

) (

2

)

2 1

( )

(

) (

2

)

2 , 2 2 1 1 , 2 2 1 1 0 1 1 k i k t P d t i γ α γ+ + α γ+

∫

η η= γ α γ+ + α γ+ ₊ , (5.70) Lado III -

(

γ ξ=

)

,

(

n_x;n_y

)

=

(

β γ₂+ ₂ ;β γ₁+ ₁

)

:

(

) (

2

)

2 1

( )

(

) (

2

)

2 , 2 2 1 1 , 2 2 1 1 0 1 1 k i k t P d t i γ β γ+ + β γ+

∫

ξ ξ = γ β γ+ + β γ+ ₊ , (5.71) Lado IV -

(

γ η=

)

,

(

n_x; n_y

)

=

(

α α₂ ; ₁

)

:

( ) ( )

2 2 1

( )

( ) ( )

2 2 , 2 1 , 2 1 0 1 1 k i k t P d t i γ α + α

∫

η η= γ α + α ₊ . (5.72)

O vector terá uma dimensão total de:

º . . º . . 1 1 (1 ) (1 ) n g l n g l w i i uft ufw i i g g θ = =  ₊ ₊  ₊     

∑

∑

. (5.73)

5.8 Cálculo dos campos de tensões e de deslocamentos

Os campos de esforços s , no elemento finito e, são calculados através da aproximação (3.1). Assim sendo, para um ponto

( )

ξ η, do domínio do elemento mestre, obtém-se:

( ) ( ) ( )

0 0 ( , ) , ( , ) s s g g e i j p i j s ξ η P ξ P η X i j σ ξ η = =   =

∑∑

_{ }+ , (5.74)

onde X i j representa o peso associado às funções de aproximação do campo de

( )

, esforços do domínio do elemento e, de índices i e j, e g representa o grau máximo das _s funções.

Os campos de deslocamentos u no domínio do elemento finito e são calculados através da _v aproximação (3.2). Desta forma, para um ponto

( )

ξ η, do elemento mestre, obtém-se:

( ) ( ) ( )

0 0 ( , ) , ( , ) uv uv g g e v i j v p i j u ξ η P ξ P η q i j u ξ η = =   =

∑∑

_{ }+ , (5.75)

onde q i j representa o peso associado às funções de aproximação do campo de _v

( )

, deslocamentos no domínio do elemento e, de índices i, j, e onde g representa o grau _uv máximo das funções.

Os campos de deslocamentos ao longo das fronteiras estáticas u_γ , são calculados através da aproximação (3.3). Desta forma, para um ponto γ da fronteira f do elemento mestre, obtém-se:

( ) ( )

0 ( ) u g f v i i u P q i γ γ γ γ =   =

∑

_{ }, (5.76)

onde q i_γ

( )

representa o peso associado à função de aproximação do campo de deslocamentos na fronteira f, de índice i, e g_uγ representa o grau máximo das funções.

6 PROGRAMA DE CÁLCULO AUTOMÁTICO

6.1 Introdução

Nesta secção descreve-se o funcionamento do programa de cálculo Laje-Pol que implementa o modelo HMT definido nas secções anteriores. O programa foi escrito na plataforma Matlab [MathWorks Inc. 1999] e é constituído pelas 33 rotinas descritas na Tabela 6.1.

Para visualizar os resultados recorre-se a um conjunto de rotinas de visualização denominadas por ToolVis, igualmente desenvolvidas na plataforma Matlab. Estas rotinas recorrem a ficheiros de configuração (extensão TDF) para efectuar as visualizações (ver Tabela 6.2).

O programa foi desenvolvido na versão 6 (R12) do Matlab tendo sido testado com êxito nas versões 7.0 (R13) e 7.1 (R14). A utilização de versões anteriores ou posteriores poderá implicar a necessidade de se efectuarem ajustes no código que se inclui no CD em anexo (versão de Maio de 2006). Contactando os autores através de correio electrónico (luismm@lnec.pt ou luis@civil.ist.utl.pt) é possível obter o URL onde se encontra a última versão do programa disponível para descarregar.

Rotina Objectivo Tipo

Calc_Ag Cálculo da matriz Ag Função

Calc_aux Cálculos auxiliares Função

Calc_Av Cálculo da matriz Av Função

Calc_elem Definição da ordenação dos nós e dos lados Função

Calc_F Cálculo da matriz F Função

Calc_flex Cálculo da matriz dos coeficientes elásticos Função

Calc_LOC_GLOB Cálculo das coordenadas no sistema de eixos globais, associadas ao sistema de eixos locais

Função

Calc_MAP_ELEMENTO Mapeamento do domínio dos elementos Função

Calc_Qg Cálculo do vector Qg Função

Calc_Qv Cálculo do vector Qv Função

Calc_s Cálculo do campo de esforços num elemento Função

Calc_s_corte Cálculo do campo de esforços num corte Função

Calc_trans Cálculo dos coeficientes da transformação de coordenadas Função

Calc_trans_inv Cálculo das coordenadas no sistema de eixos locais, associadas ao sistema de eixos globais

Função

Calc_u Cálculo do campo de deslocamentos num elemento Função

Calc_u_corte Cálculo do campo de deslocamentos num corte Função

HEADER_LP Escreve o cabeçalho na command window Executável

LAJE Rotina principal do programa Executável

LAJE_CORTE Cálculo das grandezas de pós-processamento num corte Executável

LAJE_ENERGIA Cálculo da energia de deformação Executável

LAJE_INFO Escreve informações sobre o cálculo na command window Executável

LAJE_MONTA Cálculo dos operadores e montagem do sistema

governativo

Executável

LAJE_POS Cálculo das grandezas de pós-processamento (principal) Executável

LAJE_POS_PONTO Cálculo das grandezas de pós-processamento num ponto Executável

LAJE_PRE Cálculo do pré-processamento Função

LAJE_RES Resolução do sistema de equações do sistema governativo Executável

LAJE_VIS Visualização standard dos resultados Executável

LE_DADOS Leitura do ficheiro de dados Função

Monta_sist Montagem da matriz do sistema governativo Função

Monta_ti Montagem do vector dos termos independentes Função

Monta_X_qv_qg Separação dos vectores X, qv,e qg da solução do sistema Função

Res_sist Resolução do sistema de equações do sistema governativo Função

VARIAVEIS Acesso às variáveis globais Executável

Tabela 6.1: Listagem das rotinas de cálculo do programa.

Ficheiro Objectivo

corte_desloc.TDF Visualizar os deslocamentos segundo um corte corte_esforços.TDF Visualizar os esforços segundo um corte

mxx.TDF Visualizar o campo de esforços mxx

mxy.TDF Visualizar o campo de esforços mxy

myy.TDF Visualizar o campo de esforços myy

pos.TDF Visualização standard dos esforços e dos deslocamentos transversais

vxz.TDF Visualizar o campo de esforços vxz

vyz.TDF Visualizar o campo de esforços vyz

w.TDF Visualizar o campo de deslocamentos transversais

6.2 Estrutura do ficheiro de dados

Os dados são listados num ficheiro ASCII onde se utilizam blocos identificadores para facilitar a estruturação da informação e permitir uma maior flexibilidade na sua gestão. Na Figura 6.1 encontra-se exemplificada a estrutura do ficheiro de dados.

[Titulo]

Laje simplesmente apoiada 1 elemento [nnos/coords] 4 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00 0.00 1.00 [nfront/incid] 4 1 2 -1 0 -1 2 3 0 -1 -1 3 4 -1 0 -1 4 1 0 -1 -1 [nelem/ifront] 1 1 2 3 4 [graus] 5 4 4 3 4 3 [elast] 1e6 0.3 0.833333 [t] 0.01 [fmassa] 1 1 3 1 [ffront] 0 1 3 1 [nint_s] 40 [nint_u] 20

Marca identificadora do bloco de dados “Titulo” Título do problema

Marca identificadora do bloco de dados “nnos/coords” Número de nós

Coordenada x, coordenada y

Marca identificadora do bloco de dados “nfront/incid” Número de fronteiras

Nó inicial; nó final; cond. apoio θi, cond. apoio θj, cond. apoio w

Nota: 0–livre; -1–fixo. Não é possível considerar apoios elásticos

Marca identificadora do bloco de dados “nelem/ifront” Número de elementos

Lado 1, lado 2, lado 3 e lado 4

Marca identificadora do bloco de dados “graus” Graus máximo gsm, gsv, gut, guw, guft e guft

Marca identificadora do bloco de dados “elast” Módulo de elasticidade, coef. Poisson, e factor de corte Marca identificadora do bloco de dados “t”

Espessura da laje

Marca identificadora do bloco de dados “fmassa” Número de forças de massa

Elemento; tipo e valor

Nota: 1-momento uniforme sg. x, 2-momento uniforme sg. y, 3-carga vertical uniforme

Marca identificadora do bloco de dados “ffront” Número de forças na fronteira

fronteira; tipo e valor

Nota: 1-momento uniforme sg. x, 2-momento uniforme sg. y, 3-carga vertical uniforme

Marca identificadora do bloco de dados “nint_s”

Número de divisões em cada direcção do mapeamento dos elementos para cálculo dos esforços

Marca identificadora do bloco de dados “nint_u”

Número de divisões em cada direcção do mapeamento dos elementos para cálculo dos deslocamentos

6.3 Funcionamento do programa

6.3.1 Configuração

Para funcionar, o programa necessita das 33 rotinas indicadas na Tabela 6.1, dos ficheiros de configuração das visualizações indicados na Tabela 6.2 e das rotinas de visualização Toolvis (versão 2.0 de Setembro de 2005). Estas últimas rotinas podem encontrar-se num directório à parte (recomendado), assim como os ficheiros de dados. Desta forma, para configurar o programa deve-se adicionar ao caminho de busca do programa Matlab os directórios onde se encontram os ficheiros atrás indicados (ver Figura 6.2).

Na command window do programa Matlab deve-se escrever:

addpath 'directorio_do_programa_laje_pol'

addpath 'directorio_do_programa_laje_pol\TOOLVIS.v2.0'

addpath 'directorio_do_programa_laje_pol\EXEMPLOS'

savepath

ou usar o menu File -> Set Path

6.3.2 Executar o programa

Para executar o programa utilizam-se os comandos indicados na Figura 6.3.

Na command window:

clear all Limpeza da memória do programa.

(Aconselhado antes de um novo cálculo).

VARIAVEIS Para acesso às variáveis globais

(opcional).

LAJE Executa um cálculo completo com o

ficheiro “dados.txt”, que se deve localizar no caminho de busca do programa.

LAJE EX01_4EL_433232.txt Executa um cálculo completo com o

ficheiro “EX01_4EL_433232.txt”, que se deve localizar no caminho de busca do programa.

LAJE_PRE EX01_4EL_433232.txt Executa o pré-processamento com o

ficheiro “EX01_4EL_433232.txt”, que se deve localizar no caminho de busca do programa.

LAJE_MONTA Executa os cálculos dos operadores e

monta o sistema governativo. É necessário que o pré-processamento tenha sido

efectuado anteriormente.

LAJE_RES Resolve o sistema governativo. É

necessário que o sistema governativo se encontre montado.

LAJE_POS Executa os cálculos de pós-processamento.

LAJE_ENERGIA Executa o cálculo da energia de

deformação.

LAJE_VIS Executa a visualização standard. O mesmo

que executar “TOOLVIS('pos.TDF')”

LAJE_POS_PONTO Executa os cálculos de pós-processamento

num ponto indicado pelo utilizador

LAJE_CORTE Executa os cálculos de pós-processamento

segundo um corte indicado pelo utilizador

TOOLVIS('pos.TDF') Executa a visualização standard.

TOOLVIS('corte_desloc.TDF') Executa a visualização dos deslocamentos

segundo o corte calculado.

TOOLVIS('corte_esforços.TDF') Executa a visualização dos esforços segundo o corte calculado.

TOOLVIS('mxx.TDF') Executa a visualização do campo de

esforços mxx.

TOOLVIS('mxy.TDF') Executa a visualização do campo de

esforços mxy.

TOOLVIS('myy.TDF') Executa a visualização do campo de

esforços myy.

TOOLVIS('vxz.TDF') Executa a visualização do campo de

esforços vxz.

TOOLVIS('vyx.TDF') Executa a visualização do campo de

esforços vyz.

TOOLVIS('w.TDF') Executa a visualização do campo de

deslocamentos w. Figura 6.3: Comandos para executar o programa.