Projeto de Pesquisa:
Taxas de convergência para atratores globais
Pesquisador Responsável: Prof. Dr. Ricardo Parreira da Silva
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
Instituto de Geociências e Ciências Exatas1. Identificação Título: Taxas de convergência para atratores globais Áreas: Análise Matemática:
- Equações diferenciais parciais - Análise Funcional
- Sistemas Dinâmicos
Início/Duração: Início previsto para Jan/2015 com duração de 12 meses Pesquisador Responsável: Prof. Dr. Ricardo Parreira da Silva
Universidade Estadual Paulista - “Julio de Mesquita Filho”
Instituto de Geociências e Ciências Exatas - Departamento de Matemática Av. 24-A no. 1515 - CEP 13506-900 - Rio Claro - SP - Brasil
2. Introdução
Sejam (X, d) um espaço métrico e C(X) o conjunto das aplicações contínuas de X em X. Definição 2.1. Um semigrupo em X é uma família a um parâmetro {T (t) : t ∈ R+} ⊂ C(X) satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) T (0)x = x, para todo x ∈ X;
(ii) T (t + s) = T (t) ◦ T (s), para todos t, s ∈ R+; (iii) R+× X 3 (t, x) 7→ T (t)x ∈ X é contínua.
Definição 2.2. Dados dois subconjuntos A, B ⊂ X, a semi-distância de Hausdorff entre A e B é definida como
distH(A, B) := sup x∈A
d(x, B) = sup
x∈A
inf
y∈Bd(x, y).
Definição 2.3. Sejam A e B subconjuntos de X. Diremos que A atrai B sob a ação do semigrupo {T (t) : t ∈ R+} se
lim
t→∞distH(T (t)B, A) = 0,
onde T (t)B = {T (t)x ∈ X : x ∈ B}.
Se existir t0 ∈ R+ tal que T (t)B ⊂ A para todo t > t0, diremos que A absorve B. Em
particular, se A absorve B, então A atrai B (a recíproca não é verdadeira).
Diremos que um subconjunto A de X é invariante (ou positivamente invariante) pelo semigrupo {T (t) : t ∈ R+} se T (t)A = A (ou T (t)A ⊂ A) para todo t ∈ R+.
Diremos que um subconjunto A de X é um atrator global para o semigrupo {T (t) : t ∈ R+} se A é compacto, invariante e atrai subconjuntos limitados de X sob a ação de {T (t) : t ∈ R+}. A semi-distância de Hausdorff também é usada como métrica para estudar a continuidade de atratores globais.
Definição 2.4. Seja Λ um conjunto de índices e λ0 ∈ Λ0. Diremos que uma família de conjuntos
{Aλ: λ ∈ Λ} ⊂ X é contínua em λ = λ0 se
DistH(Aλ, Aλ0) := distH(Aλ, Aλ0) + distH(Aλ0, Aλ)
λ→λ−→ 0.0
Nas aplicações os conjuntos Aλ ⊂ X são atratores para semigrupos {Tλ(t) : t ∈ R+} ⊂
C(X) dependendo de um parâmetro e o objetivo deste projeto é estudar a taxa com a qual DistH(Aλ, Aλ0) tende a zero além de introduzirmos uma noção apropriada de corretor para tais
atratores para melhorar taxas já conhecidas.
Teorema 2.5 ([2]). Seja {Tλ(t) : t ∈ R+}λ∈Λ⊂ C(X) uma família de semigrupos. Suponha que
para cada λ ∈ Λ, {Tλ(t) : t ∈ R+} possua um atrator global Aλ e defina D := [
λ∈Λ
Aλ. Se existir uma função contínua e estritamente decrescente γ : R+→ (0, ∞) tal que
(Equi-atração) sup λ∈Λ distH(Tλ(t)D, Aλ) 6 γ(t), t ∈ R+ e sup x∈D d(Tλ(t)x, Tλ0(t)x) 6 Eλ(t), t ∈ R +,
onde Eλ(t)λ→λ−→ 0 para cada t ∈ R0 +, então
DistH(Aλ, Aλ0) 6 inf
∈γ(R+)2Eλ(γ
−1()) + .
Em particular, se
(i) γ(t) = ce−νt para algum c> 1, ν > 0 e para todo t ∈ R+ e
(ii) Eλ(t) = ρ(λ)eµt, t ∈ R+, onde µ > 0 e ρ : Λ → [0, ∞) é contínua com ρ(λ0) = 0.
então existe uma constante ¯c > 0 tal que
DistH(Aλ, Aλ0) 6 ¯cρ(λ) ν ν+µ.
Portanto uma vez estabelecida a propriedade de equi-atração a taxa de convergência dos atratores é determinada pela taxa de aproximação dos semigrupos.
Este resultado diz que a equi-atração pode ser usada para dar limitantes superiores explícitos para a taxa de convergência de atratores na métrica de Hausdorff. Isto generaliza o Teorema 8.2.1 em [1], que trata somente do caso em que a equi-atração é exponencial.
Empregando-se terminologia comum em análise assintótica, nosso objetivo neste projeto é explorar a possibilidade de se introduzir um corretor no estudo da aproximação de Aλ0 por Aλ. A idéia é introduzir tal corretor na aproximação do semigrupo Tλ0(·) pelo semigrupo Tλ(·)
obtendo melhores expressões para Eλ(·). Como por sua vez, os semigrupos Tλ(·) são, em geral,
obtidos por perturbação de um semigrupo linear {eAλt : t ∈ R+} é a este último (ou ao seu
gerador infinitesimal Aλ) que pretendemos introduzir o fator de correção.
A obtenção da equi-atração exponencial que aparece no Teorema 2.5 tem sido estudada na literatura e estabelece a classe de semigrupos com a qual queremos trabalhar. Portanto a taxa de convergência dos atratores passa a depender tão somente da taxa de aproximação dos semigrupos, e, dessa forma, nosso projeto de introduzir os corretores ganha relevância.
A seguir definimos a classe dos semigrupos gradient-like e apresentamos as suas principais características.
3. Semigrupos gradient-like
No que segue {T (t) : t ∈ R+} denotará um semigrupo atuando no espaço métrico (X, d). Definição 3.1. .
i) Dado o subconjunto B de X, a órbita positiva de B é o conjunto γ+(B) := [
t≥0
T (t)B. Para t > 0 fixado, a órbita positiva de T (t)B será denotada por γ+t (B).
ii) Diremos que {T (t) : t ∈ R+} é eventualmente limitado se para cada subconjunto limitado B de X existe tB ∈ R+ tal que γt+B(B) é limitado. Diremos que {T (t) : t ∈ R
+} é limitado se
γ+(B) é limitado sempre que B o for.
iii) Uma solução global de {T (t) : t ∈ R+} por x ∈ X é uma função ξ : R → X tal que ξ(0) = x e, para cada s ∈ R, T (t)(ξ(s)) = ξ(t + s), para todo t ∈ R+.
Uma solução global constante é chamada uma solução estacionária e o seu valor um ponto de equilíbrio.
Definição 3.2. Dizemos Ξ = {Ξ1, · · · , Ξp} é uma família disjunta de conjuntos invariantes
isolados se existe δ > 0 tal que Oδ(Ξi) ∩ Oδ(Ξj) = ∅, 1 6 i < j 6 p, e Ξi é o subconjunto
invariante maximal de Oδ(Ξi) := {z ∈ X : d(z, Ξi) < δ}.
Suponha que {T (t) : t ∈ R+} possua um atrator global A que contém uma família disjunta de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ1, · · · Ξp}. Definimos:
Definição 3.3. Seja δ como na Definição 3.2 e fixe 0 ∈ (0, δ). Para Ξ ∈ Ξ e ∈ (0, 0), uma
−cadeia de Ξ a Ξ é uma sequência {Ξ`i, · · · , Ξ`k} ⊂ Ξ, uma seqüência t1, σ1, · · · , tk, σk, com
ti > σi, 1 6 i 6 k, k 6 p, e uma sequência de vetores ui, 1 6 i 6 k, tais que ui ∈ O(Ξ`i),
T (σi)ui ∈ O/ 0(∪
k
i=1(Ξ`i)) e T (ti)ui ∈ O(Ξ`i+1), 1 6 i 6 k, com Ξ = Ξ`k+1 = Ξ`1. Diremos que
Ξ ∈ Ξ é recorrente por cadeias se existe um 0∈ (0, δ) e −cadeias de Ξ a Ξ para cada ∈ (0, 0).
Definição 3.4. Diremos que {T (t) : t ∈ R+} é um semigrupo gradient-like relativo a uma família disjunta de invariantes isolados Ξ = {Ξ1, · · · , Ξp} se,
(GG1) Para cada solução global ξ : R → X em A existem 1 6 i, j 6 p tais que lim
t→−∞dist(ξ(t), Ξi) = 0 e limt→∞dist(ξ(t), Ξj) = 0.
(GG2) Nenhum elemento de Ξ = {Ξ1, · · · , Ξp} é recorrente por cadeias.
Definição 3.5. O conjunto instável de um conjunto invariante isolado Ξ para {T (t) : t ∈ R+} é dado por
Wu(Ξ) = { ζ ∈ X : existe uma solução global ξ : R → X porζ e lim
O conjunto estável de um conjunto invariante isolado Ξ para {T (t) : t ∈ R+} é dado por Ws(Ξ) = {ζ ∈ X : lim
t→+∞d(T (t)ζ, Ξ) = 0}.
Dada uma vizinhança V de Ξ, o conjunto dos pontos y de V pelos quais existe solução global ξy : R → X tal que ξy(t)
t→−∞
−→ Ξ e ξy(t) ∈ V para todo t ∈ R− é chamado um conjunto instável
local de Ξ e é denotado por Wlocu (Ξ). De maneira análoga define-se um conjunto estável local. 3.1. Continuidade da estrutura dos atratores.
Definição 3.6. Diremos que a família de semigrupos {Tλ(t) : t ∈ R+}λ∈Λ, é contínua em λ = λ0 se Tλ(t)xλ→λ−→ T0
λ0(t)x uniformemente para (t, x) em subconjuntos compactos de R
+× X.
Definição 3.7. Diremos que a família de semigrupos {Tλ(t) : t ∈ R+}λ∈Λ é coletivamente
assin-toticamente compacta em λ = λ0 se, dadas uma sequência {λk}k∈N com λk k→∞
−→ λ0, uma
sequên-cia limitada {uk}k∈N em X e uma sequência {tk}k∈N em R+ com t k
k→∞
−→ ∞ e {Tλk(tk)uk}k∈N
limitada, então {Tλk(tk)uk}k∈N é relativamente compacta.
Teorema 3.8. Seja {Tλ(t) : t ∈ R+}λ∈Λ, uma família de semigrupos contínua e coletivamente
assintoticamente compacta em λ = λ0. Suponha que
i) {Tλ(t) : t ∈ R+} possui atrator global Aλ para cada λ ∈ Λ e
[
λ∈Λ
Aλ é limitado.
ii) Existe p ∈ N tal que Aλ tem p conjuntos invariantes isolados Ξλ = {Ξ1,λ, · · · , Ξp,λ} para
todo λ ∈ Λ e sup16i6p DistH(Ξi,λ, Ξi,λ0)
λ→λ0
−→ 0.
iii) {Tλ0(t) : t ∈ R+} é um semigrupo gradient-like relativo a uma família disjunta de invari-antes isolados.
Então existe uma vizinhança Λ0 de λ0 tal que, para todo λ ∈ Λ0, {Tλ(t) : t ∈ R+} é um semi-grupo gradient-like relativo a uma família disjunta de invariantes isolados. Consequentemente
Aλ = p
[
i=1
Wu(Ξi,λ), ∀λ ∈ Λ0.
Se, além disso, os conjuntos instáveis locais dos invariantes isolados são semicontínuos inferi-ormente, i.e, sup16i6p distH(Wlocu (Ξi,λ0), W
u loc(Ξi,λ)
λ→λ0
−→ 0, a família de atratores Aη é contínua
em λ = λ0.
3.2. Equi-atração exponencial. .
Seja {T (t) : t > 0} um semigrupo que possui um atrator global A e para o qual existe uma família disjunta de conjuntos invariantes isolados Ξ = {Ξ1, · · · , Ξn}. Se os conjuntos instáveis
locais desses invariantes isolados possuem a propriedade de atração exponencial local e uma condição de Lipschitz (uniforme em limitados e com crescimento exponencial em t), então o atrator global A atrai subconjuntos limitados de X exponencialmente. Estes resultados foram obtidos por [1] para semigrupos gradientes e estendidos para semigrupos gradient-like em [2]. Com alguma uniformidade, este resultado também vale para famílias de semigrupos.
Em [1] os autores consideram C1+µ semigrupos gradientes com um atrator global A para os quais o conjunto dos pontos de equilíbrios E é composto somente de pontos de equilíbrios hiperbólicos (portanto é finito). Para este semigrupo, eles provam que A atrai exponencialmente subconjuntos compactos (veja Seção 5.7 e Observação 7.11 em [1]).
Em [2] os resultados de [1] são estendidos em uma perspectiva ampla pois não é assumido que o semigrupo seja gradiente, nem hiperbolicidade de equilíbrios e nem mesmo que os invariantes isolados sejam equilíbrios.
Definição 3.9. Seja {T (t) : t ∈ R+} um semigrupo gradiente-like relativamente à família
dis-junta de invariantes isolados Ξ = {Ξ1, · · · , Ξn}. Diremos que um conjunto instável local de
Ξ ∈ Ξ é exponencialmente atrator se existirem constantes positivas C0, %0 e δ0 tais que
d(T (t)u0, Wlocu (Ξ)) 6 C0e−%0t,
sempre que u0 ∈ Oδ0(Ξ), t ∈ R
+ e {T (s)u
0: 0 6 s 6 t} ⊂ Oδ0(Ξ).
Teorema 3.10. Seja {Tλ(t) : t > 0} uma família de semigrupos que é contínua e coletivamente
compacta em λ = λ0. Suponha que
i) {Tλ(t) : t ∈ R+} tem atrator global A
λ para cada λ ∈ Λ e Sλ∈ΛAλ é limitado.
ii) Existe p ∈ N tal que Aλ tem p conjuntos invariantes isolados Ξλ = {Ξ1,λ, · · · , Ξp,λ} para
todo λ ∈ Λ e sup16i6p DistH(Ξi,λ, Ξi,λ0)
λ→λ0
−→ 0.
iii) {Tλ0(t) : t ∈ R+} é um semigrupo gradient-like relativo a uma família disjunta de invari-antes isolados.
iv) Existe V ⊂ X limitado e fechado tal S
λ∈ΛAλ ⊂ V e Tλ(t)V ⊂ V , ∀λ ∈ Λ, t ∈ R+. A
restrição Tλ(t)|V é uma função lipschitz contínua com constante de lipschitz ceLt (L > 0),
t ≥ 0 onde c, L são independentes de λ.
v) Os conjuntos Ξi,λ tem conjuntos instáveis locais exponencialmente atratores satisfazendo
Então existe uma vizinhança Λ0 de λ0 tal que, para todo λ ∈ Λ0, {Tλ(t) : t ∈ R+} é um
semi-grupo gradient-like relativo a uma família disjunta de invariantes isolados. Consequentemente, Aλ =
p
[
i=1
Wu(Ξi,λ), ∀λ ∈ Λ0.
Além disso, λ0 pode ser tomado de modo que exista uma constante ν > 0 tal que para cada
subconjunto limitado B ⊂ X vale
d(Tλ(t)B, Aλ) 6 c e−νt, t ∈ R+, ∀λ ∈ Λ0
onde c = c(B) é independente de λ ∈ Λ0.
Nosso primeiro passo será substituir nas aplicações o semigrupo limite T0(·) por um semigrupo T0,λ(·) (que é obtido “adicionando-se o corretor” a T0(·)) e verificar como podemos garantir que
o Teorema acima continue válido (e que as condições impostas valham para uma classe ampla de problemas).
4. Motivação
A motivação para o projeto descrito acima é o seguinte problema de valor inicial
(1) ˙ uλ = Aλuλ+ fλ(uλ), t ≥ 0, uλ(0) = uλ,0 ∈ X,
onde X é um espaço de Banach, Aλ : D(Aλ) ⊂ X → X é um operador linear fechado (em geral
ilimitado) que gera um semigrupo de operadores lineares limitados {eAλt: t ∈ R+} e f
λ : X → Y .
Observamos que o espaço de Banach Y pode ser o próprio X ou um espaço extrapolado deste, dependendo do tipo de semigrupo que Aλ gere. As soluções do problema acima (que assumimos
existir em [0, ∞)) são soluções da seguinte equação integral (fórmula da variação das constantes) Tλ(t)uλ,0 = eAλtuλ,0+
Z t
0
eAλ(t−s)f
λ(Tλ(s)x)ds =: uλ(t).
Assim, a equação (1) define uma família de semigrupos {Tλ(t); t ∈ R+} ⊂ C(X).
Sob certas condições temos que as soluções uλconvergem (em algum sentido) para uma função uλ0 que safisfaz ˙ uλ0 = Aλ0uλ0 + fλ0(uλ0), t ≥ 0, uλ0(0) = u0∈ X
para alguma função fλ0 definida em X e algum operador Aλ0 que gera um semigrupo de opera-dores lineares {eAλ0t: t ∈ R+0}. Assim,
Tλ0(t)u0 = e Aλ0tu 0+ Z t 0 eA0(t−s)f λ0(Sλ0(s)u0)ds =: uλ0(t)
Com o objetivo de fornecer melhores taxas de convergência dos atratores associados a família {Tλ(t); t ∈ R+}
λ∈Λ introduzindo um fator de correção no problema limite, isto é, ao invéz de
considerar o operador Aλ0, tomamos por exemplo, eAλ := A0+ λA1 com A1 escolhido de modo
a melhorar a taxa de aproximação entre os operadores resolventes associados a eAλ e Aλ0 ([18]).
Consequentemente melhoramos a taxa de convergência dos semigrupos lineares eAλ(·) e eAλ0(·)
com um versão adequada do Teorema de Trotter-Kato, que por sua vez se transfere para os semigrupos não lineares Tλ e Tλ0 (pela fórmula da variação das constantes) e para os atratores
Aλ e Aλ0 usando extensões dos Teorema 2.5 e Teorema 3.10.
4.1. Exemplos. .
1) Teoria de Homogenização:
Dados Ω ⊂ Rn um domínio limitado e A = (ai,j(·))1≤i,j≤n ∈ H1(Ω)n
2
periódica, queremos obter taxas de convergência de atratores para a família de equações:
˙ uλ = −div(Aλ(x)uλ) + fλ(uλ), em (0, ∞) × Ω ∂uλ ∂Aλ~η = 0, em (0, ∞) × ∂Ω uλ(0) = uλ,0
onde ~η denota o vetor normal exterior unitário à ∂Ω, Aλ(x) = A(
x λ), (0 < λ << 1) e ∂u ∂A~η = Au· ~η.
2) Perturbações singulares de domínios:
Seja Ωλ um domínio fino que degenera para um segmento de reta quando λ → 0, dado por
Ωλ = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (0, 1) e 0 < y < λg(
x λ)}
com g : R → R uma função C1. Em Ωλ consideramos a equação
˙ uλ− ∆uλ+ uλ = fλ(uλ), (0, ∞) × Ωλ ∂uλ ∂~ηλ = 0, (0, ∞) × ∂Ωλ.
Estes problemas oriundos da teoria de homogeneização cujo estudo sobre a continuidade de atratores foi iniciado em [15] e sobre corretores iniciado em [18], constituem a motivação para estudarmos corretores para os atratores globais.
Os corretores aparecem em teoria de homogeneização para se obter convergência em normas mais fortes de soluções de problemas do tipo
Aλuλ = fλ
(Aλ é um dos operadores diferenciais de segunda ordem que aparecem nos exemplos acima), com
a solução do problema homogeneizado (problema limite quando λ → 0) A0u0 = f0.
Para o exemplo 2) atravéz do método da multiplas escalas obtemos uma expansão assintótica do tipo uλ(x) = u0(x) + λu1(x, x λ, y λ) + λ 2u 2(x, x λ, y λ) + · · ·
onde as funções uj são periódicas nas variáveis (xλ,yλ). Sob certas condições podemos obter u1
como solução de um segundo problema limite e avaliar o erro que se comete na aproximação de uλpor u0+ λu1. Cabe enfatizar que temos melhores taxas de convergência para esta comparação
do que ao aproximar uλ por u0.
Dessa forma, em cada um dos problemas acima pretendemos valer-nos desta idéia e obter seus corretores (problema elíptico) e “transportá-los” aos semigrupos lineares e então passar para fatores de correção nos semigrupos não lineares associados. Feito isto, pretendemos desenvolver uma teoria geral de corretores para atratores globais.
5. Observação Final
Até onde sabemos não existe na literatura qualquer tentativa de se considerar fatores de correção para obter melhores taxas de convergência para atratores globais.
References
[1] A. V. Babin e M. I. Vishik, Attractors in Evolutionary Equations Studies in Mathematics e its Applications 25, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1992.
[2] A. N. Carvalho and J. W. Cholewa, Exponential global attractors for semigroups in metric spaces with applications to differential equations, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 31 (6) 1641-1667 (2011). [3] Desheng Li, P.E. Kloeden, Equi-attraction and the continuous dependence of attractors on parameters. Glasg.
Math. J. 46 (2004), no. 1, 131–141.
[4] Desheng Li, P.E. Kloeden, P. E. Equi-attraction and the continuous dependence of pullback attractors on parameters. Stoch. Dyn. 4 (2004), no. 3, 373–384.
[5] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle: Théorie et applications. Collection Mathématiques appliquées pour la maîtrise, (2) (1987).
[6] J. K. Hale Asymptotic Behavior of Dissipative Systems, Mathematical Surveys and Monographs 25 (American Mathematical Society, Providence, RI) (1988).
[7] J. K. Hale, L. Magalhães and W. M. Oliva Dynamics in Infinite Dimensions, Applice Mathematical Sciences 47, Second Edition, Springer Verlag (2002).
[8] J. K. Hale and G. Raugel, Lower semicontinuity of attractors of gradient systems and applications, Ann. Mat. Pura Appl. 154 (4) (1989), 281–326.
[9] D. Henry, Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Mathematics 840, Springer-Verlag, Berlin, 1981.
[10] D. Cioranescu and J. Saint J. Paulin; Homogenization of Reticulated Structures, Springer Verlag (1980). [11] Pazy, A., Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations
[12] L. Tartar; Problèmmes d’homogénéisation dans les équations aux dérivées partielles, Cours Peccot, Collège de France (1977).
[13] L. Tartar; Quelques remarques sur l’homegénéisation, Function Analysis and Numerical Analysis, Proc. Japan-France Seminar 1976, ed. H. Fujita, Japanese Society for the Promotion of Science, 468-482 (1978). [14] Ricardo P. da Silva, Semicontinuidade inferior de atratores para problemas parabólicos em domínios finos,
Ph.D. Thesis, ICMC - USP, 2007
[15] J. M. Arrieta, A. N. Carvalho, M. C. Pereira and Ricardo P. da Silva, Semilinear parabolic problems in thin domains with a highly oscillatory boundary - Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, (74), 15, 5111-5132 (2011).
[16] V.L. Carbone, M.J.D. Nascimento, K. Schiabel-Silva, Ricardo P. da Silva Pullback attractors for a sin-gularly nonautonomous plate equation. Electronic Journal of Differential Equations, vol 2011, (77), 1–13, (2011)
[17] Ricardo P. da Silva Lower semicontinuity of pullback attractors for a singularly nonautonomous plate equation. Electronic Journal of Differential Equations, vol 2012, (185), 1–8, (2012).
[18] M. C. Pereira and Ricardo P. da Silva, Error estimatives for a Neumann problem in highly oscillating thin domain. Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A, (33), 2, pp. 803-817 (2013).
[19] E. Capelato, K. Schiabel-Silva, Ricardo P. da Silva Perturbation of a nonautonomous problem in Rn, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 36, (12), 1625-1630, (2013)
[20] V. M.Nascimento, Ricardo P. da Silva, O que esperar do calor em um placa fina? Revista Matematica Universitaria, v. 50/51, 72-75, (2013)
[21] J.V. Pereira, Ricardo P. da Silva Reaction-diffusion equations in a noncylindrical thin domain, v. 2013, 248, (2013)
[22] Ricardo P. da Silva, Behavior of the p-laplacian on thin domains, International Journal of Differential Equations, v. 2013, 210270, (2013)
[23] Silva, R. P. A note on resolvent convergence on a thin domain, accepted for publication, Bulletin of the Australian Mathematical Society, (2013) ( doi: 10.1017/ S0004972713000555 )
[24] M. C. Pereira and Ricardo P. da Silva, Correctors for the Neumann problem in thin domains with locally periodic oscillatory structure, accepted for publication, Quarterly of Applied Mathematics
