Tipos de Holomorfia em Espa¸

(1)

LEODAN ACU ˜NA TORRES

Tipos de Holomorfia em Espa¸cos de Banach

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL ˆANDIA

(2)

LEODAN ACU ˜NA TORRES

Tipos de Holomorfia em Espa¸cos de Banach

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Uberlândia, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de MESTRE EM MATEM ÁTICA.

´

Area de Concentra¸cão: Matemática. Linha de Pesquisa: Análise Funcional.

Orientador: Prof. Dr. Geraldo M´arcio de Azevedo Botelho.

(3)

(4)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL ˆANDIA FACULDADE DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P_OS-GRADUAC´ _{¸ ˜}_{AO EM} _{MATEM ´}_ATICA

Av. João Naves de Ávila, 2121, Bloco 1F, Sala 1F 152 Campus Santa Mônica, Uberlândia - MG, CEP 38400-902

ALUNO(A): Leodan Acu˜na Torres.

N ´UMERO DE MATR´ICULA: 11312MAT006. ´

AREA DE CONCENTRAÇ ÃO: Matemática. LINHA DE PESQUISA:Análise Funcional.

P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEM ÁTICA: N´ıvel Mestrado.

TÍTULO DA DISSERTAÇ ÃO:Tipos de Holomorfia em Espa¸cos de Banach. ORIENTADOR:Prof. Dr. Geraldo Márcio de Azevedo Botelho.

Esta disserta¸cão foi APROVADA em reunião pública realizada na Sala Multiuso da Faculdade de Matemática, Bloco 1F, Campus Santa Mônica, em 4 de dezembro de 2014, às 10h 00min, pela seguinte Banca Examinadora:

NOME ASSINATURA

Prof. Dr. Geraldo M´arcio de Azevedo Botelho

UFU - Universidade Federal de Uberlˆandia

Profa. Dra. Mary Lilian Louren¸co IME-USP - Universidade de S˜ao Paulo

Prof. Dr. Jam´ılson Ramos Campos UFPB - Universidade Federal da Para´ıba

(5)

Dedicat´

oria

(6)

Agradecimentos

(7)

Torres, L. A. Tipos de Holomorfia em Espa¸cos de Banach. 2014. 86 p. Disserta¸cão de Mestrado, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia-MG.

Resumo

O principal objetivo desta disserta¸cão é estudar a teoria de tipos de holomorfia entre espa¸cos de Banach, principalmente a diferencia¸cão de tipos de holomorfia e a rela¸cão que existe entre tipos de holomorfia globais e ideais de polinômios homogêneos. Para isso estudamos primeiramente aplica¸cões multilineares e polinômios homogêneos cont´ınuos entre espa¸cos de Banach. Em seguida definimos e damos vários exemplos de tipos de holomorfia. Na sequência estudamos a diferencia¸cão de tipos de holomorfia como uma forma de exibir novos tipos de holomorfia a partir de um tipo dado e também fazemos um breve estudo sobre fun¸cões holomorfas associadas a um tipo de holomorfia. Por fim mostramos que todo ideal de Banach de polinômios com a propriedade (B) é um tipo de holomorfia global e que, no caso complexo, um ideal fechado de polinômios é um tipo de holomorfia global se, e somente se, o ideal tem a propriedade (B). Finalizamos a disserta¸cão provando que, surprendentemente, no caso real nenhum ideal fechado de polinômios tem a propriedade (B).

(8)

Torres, L. A. Holomorphy Types in Banach Spaces. 2014. 86 p. M. Sc. Dissertation, Federal University of Uberlˆandia, Uberlˆandia-MG.

Abstract

The main purpose of this dissertation is to study the theory of holomorphy types between Banach spaces, mainly the differentiation of holomorphy types and the interplay between holomorphy types and ideals of homogeneous polynomials. To do so we first study conti-nuous multilinear mappings and homogeneous polynomials between Banach spaces. Then we define and give examples of holomorphy types. Next we study the differentiation of holomorphy types as a method to generate new holomorphy types from a given one and we briefly study holomorphic functions associated to a given holomorphy type. Finally we show that every Banach ideal of homogeneous polynomials with property (B) is a holo-morphy type and that, in the complex case, a closed ideal of polynomials is a holoholo-morphy type if and only if it has property (B). We finish the work proving that, surprisingly, in the real case no closed ideal of polynomials has property (B).

(9)

LISTA DE S´IMBOLOS

N {1,2, . . .}

N0 N∪ {0}

R conjunto dos n´umeros reais.

C conjunto dos n´umeros complexos.

K R ouC

X, Y espa¸cos metricos.

E1, . . . , Em, E eF espa¸cos vetoriais ou espa¸cos vetoriais normados ou espa¸cos de

Banach sobre o corpoK. Im(f) imagem da aplica¸cão f. ker(f) núcleo da aplica¸cão f.

L(E1, . . . , Em;F) espa¸co vetorial sobre K das aplica¸c˜oes multilineares de E1 ×

· · · ×Em em F.

E∗ _{dual alg´ebrico do espa¸co vetorial} _E. E′ _{dual topol´ogico do espa¸co vetorial} _E.

IdE operador identidade definido em E.

L(E1, . . . , Em;F) espa¸co vetorial sobre K das aplica¸c˜oes multilineares de E1 ×

· · · ×Em em F.

L(E1, . . . , Em;F) espa¸co vetorial sobreKdas aplica¸c˜oes multilineares cont´ınuas

deE1× · · · ×Em em F.

(L(E1, . . . , Em;F),k · k) espa¸co vetorial sobreKdas aplica¸c˜oes multilineares cont´ınuas

deE1× · · · ×Em em F munido com a norma usual do sup.

L(n_E;_F₎ _L(E,_{. . ., E;}(n) _F_).

L(m_E;_F₎ _L(E,(_{. . ., E;}m) _F_).

Ls₍n_E;_F₎ _{subespa¸co vetorial de} _L(n_E;_F_{) das aplica¸c˜oes multilineares} sim´etricas.

Ls₍m_E;_F₎ _{subespa¸co vetorial de} _L(m_E;_F_{) das aplica¸c˜oes multilineares} sim´etricas.

Lf(E1, . . . , En;F) subespa¸co vetorial de L(E1, . . . , En;F) das aplica¸c˜oes n-lineares de tipo finito.

LF(E1, . . . , En;F) subespa¸co vetorial de L(E1, . . . , En;F) das aplica¸c˜oes

(10)

P(m_E;_F₎ _{espa¸co vetorial sobre} _K _{dos polinˆomios} _{m-homogˆeneos de} _E em F.

P(m_E;_F₎ _{espa¸co vetorial sobre} _K _{dos polinˆomios} _{m-homogˆeneos} cont´ınuos de E em F.

Pf(m_E;_F₎ _{conjunto dos polinˆomios} _{m-homogˆeneos de tipo finito de} _E em F.

PF(mE;F) conjunto dos polinˆomios m-homogˆeneos de posto finito entre

os espa¸cos vetoriais E eF.

(P(m_E;_F_),_{k · k)} _{espa¸co vetorial normado sobre} _K _{dos polinˆomios} m-homogˆeneos cont´ınuos que aplicam E em F munido com a norma usual do sup.

(Ls₍m_E;_F_),_{k · k)} _{subespa¸co vetorial normado de (L(}m_E;_F_),_{k·k) das aplica¸c˜oes} multilineares sim´etricas.

(PΘ(mE;F);k · kΘ)∞_m₌₀ tipo de holomorfia de E em F.

PN(m_E;_F₎ _polinômios _{m-homogêneos nucleares de} _E _em _F_. PA(m_E;_F₎ _polinômios _{m-homogêneos aproximáveis de}_E _em _F_. H(U;F) conjunto de todas as fun¸cões holomorfas de U em F.

HΘ(U;F) o subespa¸co vetorial deH(U;F) formado pelas fun¸c˜oes Θ-tipo

de holomorfia em U.

I ideal de operadores.

M ideal de aplica¸c˜oes multilineares.

Q ideal de polinˆomios homogˆeneos cont´ınuos.

PM ideal de polinomios gerado pelo ideal M.

ℓp(E) o espa¸co Banach das sequˆencias absolutamente p-somantes. ℓw

p(E) o espa¸co Banach das sequˆencias fracamente p-somantes. Las(p;q1,...,qn)(E1, . . . , En;F) o espa¸co vetorial de todas as aplica¸c˜oes multilineares

(11)

SUM ´

ARIO

Resumo vii

Abstract viii

Lista de S´ımbolos ix

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Aplica¸c˜oes multilineares . . . 3

1.2 Polinˆomios homogˆeneos . . . 14

1.3 Alguns resultados sobre s´eries . . . 17

2 Tipos de Holomorfia 21 2.1 Fun¸c˜oes holomorfas . . . 21

2.2 Tipos de holomorfia . . . 24

2.3 Exemplos de tipos de holomorfia . . . 26

2.4 Fun¸c˜oes holomorfas associadas a um tipo de holomorfia . . . 35

3 Diferencia¸c˜ao de Tipos de Holomorfia 38 3.1 Resultados preliminares . . . 38

3.2 Diferencia¸c˜ao de tipos de holomorfia . . . 50

3.3 Fun¸c˜oes holomorfas associadas ao tipo de holomorfia diferenciado . . . 56

4 Tipo de Holomorfia Global e Ideais de Polinˆomios 61 4.1 Tipo de holomorfia global . . . 61

4.2 Exemplos e contraexemplos . . . 67

4.3 Propriedade (B) e tipos de holomorfia . . . 69

4.4 A propriedade (B)-polinomial . . . 75

(12)

INTRODUC

¸ ˜

AO

Classes especiais de polinômios homogêneos entre espa¸cos de Banach come¸caram a ser estudados, no âmbito da holomorfia em dimensão infinita, no in´ıcio da década de 1960. No final desta mesma década, L. Nachbin introduziu em [27] a defini¸cão de tipo de ho-lomorfia entre espa¸cos de Banach com o propósito de unificar o estudo dessas classes de polinômios que vinham sendo estudadas individualmente. Paralelamente, como uma con-sequência natural do sucesso da teoria de ideais de operadores lineares, em 1983 A. Pietsch em [31] introduziu a no¸cão de ideais de aplica¸cões multilineares, que foi adaptada ime-diatamente para polinômios homogêneos. O primeiro registro de polinômios homogêneos estudados sob a perspectiva de ideais é a tese de H.A.-Braunss [10] de 1984. O fato de classes de polinômios serem estudadas a partir dessas duas abordagens explica-se pelo fato de polinômios homogêneos estarem a meio caminho entre operadores lineares e fun¸cões holomorfas.

As duas abordagens descritas acima foram exploradas por muitos anos por vários autores, até que, em 2006, Botelho, Braunss, Junek e Pellegrino [7] estabeleceram a conexão entre tipos de holomorfia e ideais de polinômios homogêneos por meio da chamada propriedade (B). O objetivo principal desta disserta¸cão é estudar e descrever os principais resultados de [7], evidenciando a intera¸cão entre tipos de holomorfia e ideais de polinômios homogêneos. Um segundo objetivo é apresentar demonstra¸cões completas e detalhadas dos resultados relativos a diferencia¸cão de tipos de holomorfia que aparecem em [27]. Trata-se de uma técnica de se obter novos tipos de holomorfia a partir de um tipo de holomorfia dado usando diferencia¸cão. As demonstra¸cões que aparecem em [27] são apenas esbo¸cadas e com passagens muito pouco justificadas. Pretende-se aqui detalhar e justificar essas demonstra¸cões.

A disserta¸c˜ao esta estruturada da seguinte maneira:

(13)

a um tipo de holomorfia, igualmente introduzida por Nachbin [27]. As referˆencias usadas neste cap´ıtulo s˜ao [21], [25] e [27].

• No Cap´ıtulo 3 apresentamos em detalhes a técnica de diferencia¸cão de tipos de ho-lomorfia e também estudamos as fun¸cões holomorfas associadas ao tipo de hoho-lomorfia diferenciado. Para fazer este estudo precisamos de vários resultados da teoria de fun¸cões holomorfas e uma se¸cão inicial é dedicada à obten¸cão desses resultados preparatórios. Este cap´ıtulo baseia-se, principalmente, em [25] e [27].

•No Cap´ıtulo 4 apresentamos os resultados que relacionam tipos de holomorfia aos ideais de polinômios. Primeiramente estudamos ideais de aplica¸cões multilineares e a proprie-dade (B). Em seguida, a partir do conceito de tipo de holomorfia global, completamos a rela¸cão das duas no¸cões por meio da propriedade (B)-polinomial. As referências mais importantes para o estudo empreendido neste cap´ıtulo são [1], [5], [13], [14], [20], [29], [32], [33].

(14)

CAP´ITULO 1

PRELIMINARES

Neste cap´ıtulo apresentaremos a teoria básica de aplica¸cões multilineares cont´ınuas e polinômios homogêneos cont´ınuos entre espa¸cos de Banach, assim como alguns resultados sobre séries em espa¸cos normados que serão úteis ao longo da disserta¸cão.

1.1 Aplica¸c˜

oes multilineares

Defini¸c˜ao 1.1.1 Sejam n ∈ N, E1, . . . , En e F espa¸cos vetoriais sobre o corpo K (R ou

C). Dizemos que uma aplica¸cão A: E1 × · · · ×En −→F e n-linear (ou multilinear) se é´ linear em cada uma das suas variáveis, isto é,

A(x1, . . . , xi+λx′i, . . . , xn) = A(x1, . . . , xi, . . . , xn) +λA(x1, . . . , x′i, . . . , xn),

para quaisquer xi, x′i ∈ Ei, com i = 1, . . . , n, e λ ∈ K. Se F = K, dizemos que A ´e uma forma n-linear.

O conjunto de todas as aplica¸c˜oesn-lineares deE1× · · · ×Enem F ser´a denotado por L(E1, . . . , En;F). SeF =K denotamos L(E1, . . . , En;K) por L(E1, . . . , En). No caso em

que E =E1 = · · · =En denotamos este conjunto por L(nE;F). Se E =E1 = · · · =En

e F = K escrevemos simplesmente L(n_E). _Se _n _{= 1 temos que} _L(1_E;_F_{) =} _L(E;_F_). _Se

n= 1 e F =K ent˜ao L(E;K) = E∗_{= dual alg´ebrico de} _E.

A seguir definiremos as opera¸c˜oes alg´ebricas usuais no conjunto L(E1, . . . , En;F) no

sentido de torn´a-lo um espa¸co vetorial sobre K:

1) A cada par de aplica¸c˜oes n-lineares de A, B ∈ L(E1, . . . , En;F) fazemos corres-ponder a aplica¸c˜aon-linearA+B ∈L(E1, . . . , En;F) definida por:

A+B: E1× · · · ×En−→F;

(A+B)(x1, . . . , xn) = A(x1, . . . , xn) +B(x1, . . . , xn).

(15)

λA: E1× · · · ×En−→F;

(λA)(x1, . . . , xn) =λA(x1, . . . , xn)

A demonstra¸c˜ao do resultado abaixo ´e imediata:

Proposi¸c˜ao 1.1.2 Sejamn∈N,E1, . . . , EneF espa¸cos vetoriais sobre o corpoK. Ent˜ao

L(E1, . . . , En;F) é um espa¸co vetorial com as opera¸cões algébricas definidas acima.

Exemplo 1.1.3 Sejam ϕ1 ∈E1∗, . . . , ϕn∈En∗ eb ∈F.Definindo ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b: E1× · · · ×En −→F;

ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b(x1, . . . , xn) =ϕ1(x1)·ϕ2(x2)· · ·ϕn(xn)·b,

ent˜ao ϕ1 ⊗ · · · ⊗ϕn⊗b ∈ L(E1, . . . , En;F). De fato, dados xi, x′i ∈ Ei, i = 1, . . . , n e λ∈K,

ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b(x1, . . . , xi+λx′i, . . . xn) = ϕ1(x1)· · ·ϕi(xi+λx′i)· · ·ϕn(xn)·b =ϕ1(x1)· · ·[ϕi(xi) +λϕi(x′i)]· · ·ϕn(xn)·b =ϕ1(x1)· · ·ϕi(xi)· · ·ϕn(xn)·b

+ϕ1(x1)· · ·λϕi(x′i)· · ·ϕn(xn)·b =ϕ1(x1)· · ·ϕi(xi)· · ·ϕn(xn)·b

+λϕ1(x1)· · ·ϕi(x′i)· · ·ϕn(xn)·b =ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b(x1, . . . , xi, . . . , xn)

+λϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b(x1, . . . , x′i, . . . , xn).

Portantoϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b ∈L(E1, . . . , En;F).

O conjunto de todas as aplica¸cões n-lineares gerado por aplica¸cões multilineares do tipoϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b será denotado porLf(E1, . . . , En;F).Seus elementos são chamados

deaplica¸c˜oes multilineares de tipo finito. Assim, A∈Lf(E1, . . . , En;F) se, e somente se,

existem k ∈ N, ϕj,i ∈ E∗

j, bi ∈ F, j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , k, tais que A= k

P

i=1

ϕ1,i⊗ · · · ⊗ ϕn,i⊗bi.Como

Lf(E1, . . . , En;F) = span{ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b; b∈F e ϕj ∈E∗

j, j = 1, . . . , n}, segue queLf(E1, . . . , En;F) ´e subespa¸co vetorial deL(E1, . . . , En;F).

Exemplo 1.1.4 Sejam n ∈ N, E1, . . . , En espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita e F um

espa¸co vetorial. Vejamos que

L(E1, . . . , En;F) = Lf(E1, . . . , En;F).

´

E claro que basta mostrar que L(E1, . . . , En;F) ⊂ Lf(E1, . . . , En;F). Para isso, seja

A ∈ L(E1, . . . , En;F). Como E1, . . . , En tˆem dimens˜ao finita, sejam Bi =

y1

(16)

i = 1, . . . , n, existem escalares λji

i , i = 1, . . . , n; ji = 1, . . . , ki tais que xi = ki

X

ji=1

λji

i y ji

i , i= 1, . . . , n. Ent˜ao

A(x1, . . . , xn) = A

k1

X

j1=1

λj1

1 y

j1

1 , . . . ,

kn

X

jn=1

λjn

nynjn

!

= k1

X

j1=1

λj1

1 . . .

kn

X

jn=1

λjn

nA(yj11, . . . , ynjn)

= k1

X

j1=1

. . . kn

X

jn=1

λj1

1 . . . λjnnA(y j1

1 , . . . , yjnn)

=

k1X,...,kn

j1,...,jn=1

λj1

1 . . . λjnnA(y j1

1 , . . . , yjnn).

Definindo

πji

i : Ei −→K , π ji

i (xi) = λ ji

i , temosπji

i (xi)∈Ei∗ para i= 1, . . . , n, ji = 1, . . . , ki. Segue que

A(x1, . . . , xn) =

k1X,...,kn

j1,...,jn=1

πj1

1 (x1)· · ·πjnn(xn)A(y j1

1 , . . . , ynjn)

e assimA∈Lf(E1, . . . , En;F).

O objetivo do próximo exemplo é mostrar que em dimensão infinita existem aplica¸cões multilineares que não são de tipo finito.

Exemplo 1.1.5 Sejam E1, . . . En espa¸cos vetoriais onde dimEn = +∞ e sejam ϕ1 ∈

E∗

1, . . . , ϕn−1 ∈En∗−1 funcionais lineares n˜ao nulos. Definimos

A:E1× · · · ×En −→En

A(x1, . . . , xn)7→ϕ1(x1)· · ·ϕn−1(xn−1)xn.

Vejamos queA ´en-linear:

A(x1, . . . , xi+λx′i, . . . , xn) = ϕ1(x1)· · ·ϕi(xi+λx′i)· · ·ϕn−1(xn−1)xn

= ϕ1(x1)· · ·[ϕi(xi) +λϕi(xi′)]· · ·ϕn−1(xn−1)xn

= ϕ1(x1)· · ·ϕi(xi)· · ·ϕn−1(xn−1)xn

+λϕ1(x1)· · ·ϕi(x′i)· · ·ϕn−1(xn−1)xn

= A(x1, . . . , xi, . . . , xn) +λA(x1, . . . , x′i, . . . , xn),

A(x1, . . . , xn−1, xn+λx′n) = ϕ1(x1)· · ·ϕn−1(xn−1)[xn+λx′n]

(17)

Afirma¸c˜ao: Im(A) =En.

De fato, dado y ∈ En, como ϕ1 ∈ E1∗, . . . , ϕn−1 ∈ En∗−1 s˜ao n˜ao nulos, existem x1 ∈

E1, . . . , xn−1 ∈En−1 tais que ϕi(xi)6= 0, i= 1, . . . , n−1. Logo temos

x1

ϕ1(x1)

, . . . , xn−1 ϕn−1(xn−1)

, y

∈E1× · · · ×En−1×En

e A

x1

ϕ1(x1)

, . . . , xn−1 ϕn−1(xn−1)

, y

=ϕ1

x1

ϕ1(x1)

. . . ϕn−1

xn−1

ϕn−1(xn−1)

y=y.

E assim Im(A) = En. Agora suponha que A seja uma aplica¸c˜ao n-linear de tipo finito. Neste caso,

A(x1, . . . , xn) = k

X

j=1

ϕj₁(x1)· · ·ϕjn(xn)bj,

onde bj ∈ En, ϕj_i ∈ E∗

i i = 1, . . . , n;j = 1, . . . , k. Por tanto Im(A) ⊂ span{b1, . . . , bk}.

Isso ´e uma contradi¸c˜ao pois dimIm(A) = dimEn = +∞.

Normas no produto cartesiano

Defini¸cão 1.1.6 SejaE um espa¸co vetorial sobre o corpoK=RouC.Uma norma sobre E é uma fun¸cão

k · k: E −→[0,+∞) tal que

1. kxk ≥0 para todo x∈E e kxk= 0 se, e somente se,x= 0. 2. kλxk=|λ|kxk para todos x∈E e λ∈K.

3. kx+yk ≤ kxk+kyk para todosx, y ∈E.

Neste caso o par (E,k · k) é chamado deespa¸co vetorial normado. Um espa¸co normado que é completo na métrica definida por

d(x, y) =kx−yk, x, y ∈E,

é chamado deespa¸co de Banach. Denotaremos a bola unitária fechada de E porBE, isto é

BE ={x∈E :kxk ≤1}.

Defini¸c˜ao 1.1.7 SejanE1, . . . , Enespa¸cos vetoriais normados sobreK. Para (x1, . . . , xn)∈

E1 × · · · ×En, definimos:

k(x1, . . . , xn)k1 =kx1k+· · ·+kxnk,

k(x1, . . . , xn)k2 = kx1k2+· · ·+kxnk2

1/2

, k(x1, . . . , xn)k∞= max{kx1k, . . . ,kxnk}.

´

(18)

Defini¸c˜ao 1.1.8 Duas normask·kek·k′ no espa¸co vetorialEs˜ao equivalentes se definem a mesma topologia em E, ou, equivalentemente, se existem constantesc1, c2 >0 tais que

c1kxk ≤ kxk

′

≤c2kxk para todox∈E.

Proposi¸c˜ao 1.1.9 Sejam E1, . . . , En espa¸cos vetoriais normados .

1. As normas k · k1 , k · k2 e k · k∞ s˜ao equivalentes em E1× · · · ×En.

2. Se E1, . . . , En são espa¸cos de Banach, entãoE1× · · · ×En é um espa¸co de Banach

com qualquer uma dessas trˆes normas .

Demonstra¸c˜ao. Veja [34, Proposi¸c˜ao 2.6].

Caracteriza¸c˜oes das aplica¸c˜oes multilineares cont´ınuas

Dados espa¸cos normadosE1, . . . , En, F, considerando em E1× · · · ×En qualquer uma das normas equivalentes da se¸cão anterior, podemos considerar as aplica¸cões n-lineares deE1× · · · ×En em F que são cont´ınuas.

Proposi¸c˜ao 1.1.10 SejamE1, . . . , EneF espa¸cos vetoriais normados. Para cada aplica¸c˜ao

A∈L(E1, . . . , En;F), as afirma¸cões seguintes são equivalentes: 1. A é cont´ınua;

2. A ´e cont´ınua na origem;

3. Existe uma constante c≥0 tal que

kA(x1, . . . , xn)k ≤c· kx1k · · · kxnk,

para quaisquer xj ∈Ej, j = 1, . . . , n;

4. kAk:= sup{kA(x1, . . . , xn)k:xj ∈Ej e kxjk ≤1, j = 1, . . . , n}<+∞.

Demonstra¸c˜ao. (1) =⇒(2) Trivial.

(2) =⇒ (3) Como A é cont´ınua na origem, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que se kxk∞ < δ, então kA(x)k < ε. Tomando ε = 1, existe δ > 0 tal que se kxk∞ < δ, então kA(x)k<1. Agora, sejax= (x1, . . . , xn)∈E1×· · ·×En. Se algumxi = 0, a desigualdade

desejada se cumpre trivialmente. Sexi 6= 0, i= 1, . . . , n, ent˜ao

δ 2·

1 kx1k

·x1, . . . ,

δ 2 ·

1 kxnk

·xn ∞

= δ 2 < δ. Da n-linearidade de A segue que

δn 2n ·

1 kx1k

· · · 1

kxnk· kA(x1, . . . , xn)k=

A

δ 2·

1 kx1k

·x1, . . . ,

δ 2·

1 kxnk·xn

(19)

e portanto

kA(x1, . . . , xn)k< 2n

δn · kx1k · · · kxnk. Tomandoc= 2_δnn temos o resultado.

(3) =⇒(4) Trivial.

(4) =⇒ (1) Mostraremos que A ´e localmente lipschitziana, portanto cont´ınua. Dado a= (a1, . . . , an)∈ E1× · · · ×En, tome c >0 tal que kak∞ < c. Se x ∈E1 × · · · ×En ´e

tal que kxk∞ < c, temos

kA(x)−A(a)k=kA(x1, . . . , xn)−A(a1, . . . , an)k

=

n

X

j=1

[A(a1, . . . , aj−1, xj, . . . , xn)−A(a1, . . . , aj, xj+1, . . . , xn)]

=

n

X

j=1

A(a1, . . . , aj−1, xj −aj, xj+1, . . . , xn)

≤ n

X

j=1

kA(a1, . . . , aj−1, xj−aj, xj+1, . . . , xn)k

≤ n

X

j=1

kAk ·cn−1· kxj −ajk

=kAk ·cn−1· n

X

j=1

kxj −ajk=kAk ·cn−1· kx−ak1.

Proposi¸c˜ao 1.1.11 SejamE1, . . . , EneF espa¸cos vetoriais normados. Para toda aplica¸c˜ao

n-linear cont´ınua A: E1× · · · ×En −→F ´e verdade que:

(a) kA(x1, . . . , xn)k ≤ kAk · kx1k · · · kxnk, para todos xj ∈Ej, j = 1, . . . , n.

(b) kAk= inf{c≥0 :kA(x1, . . . , xn)k ≤c· kx1k · · · kxnk para todos xj ∈Ej, j = 1, . . . , n}.

Defini¸c˜ao 1.1.12 Sejam E, E1, . . . , En e F espa¸cos vetoriais normados. Denotaremos

o conjunto de todas as aplica¸c˜oes n-lineares cont´ınuas de E1 × · · · × En em F por

L(E1, . . . , En;F). Se E1 = · · · = En = E escrevemos L(nE;F). No caso n = 1 e

F =K escrevemos E′ _{no lugar de}_L(E;_K_{) e dizemos que} _E′ _{´e o dual topol´ogico de}_E.

Proposi¸c˜ao 1.1.13 Sejam E1, . . . , En e F espa¸cos vetoriais normados. (a) L(E1, . . . , En;F) ´e subespa¸co vetorial de L(E1, . . . , En;F);

(20)

(c) Se F ´e um espa¸co de Banach, ent˜ao L(E1, . . . , En;F) com a norma do item (b)

tamb´em ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸c˜ao. Veja [34, Proposi¸c˜oes 2.10 e 2.11].

Exemplo 1.1.14 Sejam E1, . . . , En e F s˜ao espa¸cos vetoriais normados. Dados ϕ1 ∈

E1′, . . . , ϕn ∈E

′

n e b∈F, j´a sabemos do Exemplo 1.1.3 que a aplica¸c˜ao ϕ1 ⊗ · · · ⊗ϕn⊗b: E1× · · · ×En −→F,

(ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b)(x1, . . . , xn) =ϕ1(x1)· · ·ϕn(xn)b ´en-linear. Mostraremos agora que ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b ´e cont´ınua e que

kϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗bk=kbk · kϕ1k · · · kϕnk.

De fato,

kϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗bk= sup

xj∈Ej

kxjk≤1

j=1,...,n

k(ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b)(x1, . . . , xn)k

= sup xj∈Ej

kxjk≤1

j=1,...,n

kϕ1(x1)· · ·ϕn(xn)bk

= sup xj∈Ej

kxjk≤1

j=1,...,n

|ϕ1(x1)| · · · |ϕn(xn)| · kbk

=kbk · sup xj∈Ej

kxjk≤1

j=1,...,n

|ϕ1(x1)| · · · |ϕn(xn)|

=kbk · sup x1∈E1

kx1k≤1

|ϕ1(x1)| · · · sup

xn∈En

kxnk≤1

|ϕn(xn)|

=kbk · kϕ1k · · · kϕnk<+∞.

Denotaremos

Lf(E1, . . . , En;F) = span

n

ϕ1⊗ · · · ⊗ϕn⊗b:b ∈F, ϕj ∈E

′

j, j = 1, . . . , n

o

.

Os elementos deLf(E1, . . . , En;F) são chamados de aplica¸cões multilineares cont´ınuas de tipo finito. Notemos queLf(E1, . . . , En;F) é subespa¸co vetorial de L(E1, . . . , En;F).

Defini¸cão 1.1.15 SejamX um conjunto eV um espa¸co vetorial . Uma fun¸cãof: X −→ V tem posto finito se o subespa¸co span{f(X)} de V gerado pela imagem de f tem di-mensão finita. Denotamos

LF(E1, . . . , En;F) :={A∈ L(E1, . . . , En;F) :A tem posto finito}.

(21)

Exemplo 1.1.16 Dados B ∈ L(E1, . . . , En) e b ∈F, definindo

B⊗b: E1× · · · ×En−→F,

B⊗b(x1, . . . , xn) = B(x1, . . . , xn)·b,

é fácil ver que B⊗b én-linear e, ademais, é cont´ınuo:

kB⊗bk= sup{k(B⊗b)(x1, . . . , xn)k:xj ∈Ej e kxjk ≤1;j = 1, . . . , n}

= sup{kB(x1, . . . , xn)·bk:xj ∈Ej e kxjk ≤1;j = 1, . . . , n}

= sup{|B(x1, . . . , xn)| · kbk:xj ∈Ej e kxjk ≤1;j = 1, . . . , n} =kbk ·sup{|B(x1, . . . , xn)|:xj ∈Ej e kxjk ≤1;j = 1, . . . , n}

=kbk · kBk. Logo B⊗b∈ LF(E1, . . . , En;F).

Proposi¸c˜ao 1.1.17 Para todos espa¸cos vetoriais normados E1, . . . , En e F,

LF(E1, . . . , En;F) =

( _k X

j=1

Bj⊗bj :Bj ∈ L(E1, . . . , En);bj ∈F;k ∈N

)

.

Em particular, LF(E1, . . . , En;F) ´e subespa¸co vetorial de L(E1, . . . , En;F).

Demonstra¸c˜ao. Seja A ∈ LF(E1, . . . , En;F). Ent˜ao A ∈ L(E1, . . . , En;F) e [Im(A)]

tem dimens˜ao finita. Suponhamos que dim[Im(A)] = k. Ent˜ao existem b1, . . . , bk ∈ Im(A) tais que F ⊃[Im(A)] = [b1, . . . , bk]. Definimos

Tj: [b1, . . . , bk]−→K , Tj(α1b1+· · ·+αkbk) =αj,

para j = 1, . . . , k. Notemos que cada Tj ´e linear e cont´ınua, pois dim[Im(A)] = k <+∞ (ver [23, Teorema 2.7.8]). Se y = α1b1 +· · ·+αkbk, ent˜ao y =

k

X

i=1

Tj(y)bj. Definimos

tamb´em

Bj: E1× · · · ×En−→K,

Bj(x1, . . . , xn) =Tj(A(x1, . . . , xn)), paraj = 1, . . . , k. Vejamos que cada Bj ´en-linear e cont´ınua:

Bj(x1, . . . , xi+λx′i, . . . , xn) = Tj(A(x1, . . . , xi+λx′i, . . . , xn))

=Tj[A(x1, . . . , xi, . . . , xn) +λA(x1, . . . , x′i, . . . , xn)] =Tj(A(x1, . . . , xi, . . . , xn)) +λTj(A(x1, . . . , x′i, . . . , xn)) =Bj(x1, . . . , xi, . . . , xn) +λBj(x1, . . . , x′i, . . . , xn), e

kBjk= sup{kBj(x1, . . . , xn)k:xi ∈Ei,kxik ≤1, i= 1, . . . , n}

= sup{kTj(A(x1, . . . , xn))k:xi ∈Ei,kxik ≤1, i= 1, . . . , n}

(22)

E por outro lado,

" _k X

j=1

Bj⊗bj

#

(x1, . . . , xn) =

k

X

j=1

(Bj⊗bj)(x1, . . . , xn) =

k

X

j=1

Bj(x1, . . . , xn)bj

= k

X

j=1

Tj(A(x1, . . . , xn))bj =A(x1, . . . , xn),

para todosx1 ∈E1, . . . , xn ∈En, provando queA=

k

X

j=1

Bj⊗bj. A outra inclusão é óbvia.

Proposi¸c˜ao 1.1.18 Sejam E1, . . . , Em+n espa¸cos vetoriais com m, n∈N. (a) A correspondˆencia

A∈L(E1, . . . , Em+n;F)7→TA∈L(E1, . . . , Em;L(Em+1, . . . , Em+n;F)),

dada por

TA(x1, . . . , xm)(xm+1, . . . , xm+n) =A(x1, . . . , xm+n),

estabelece um isomorfismo entre os espa¸cos vetoriais L(E1, . . . , Em+n;F) e

L(E1, . . . , Em;L(Em+1, . . . , Em+n;F));

(b) Se E1, . . . , Em+n são espa¸cos normados, então o isomorfismo do item (a) induz um isomorfismo isométrico entre os espa¸cos normados L(E1, . . . , Em+n;F) e

L(E1, . . . , Em;L(Em+1, . . . , Em+n;F)).

Defini¸cão 1.1.19 Uma aplica¸cão multilinear A: Em _−→_F _{é dita ser} _simétrica_se A(x1, . . . , xm) = A(xσ(1), . . . , xσ(m))

para todo (x1, . . . , xm)∈Em e toda permuta¸cãoσ ∈Sm, ondeSm denota o conjunto das permuta¸cões dos primeiros m números naturais.

Os conjuntos das aplica¸cões multilineares simétricas e das aplica¸cões multilineares simétricas cont´ınuas A: Em _−→ _F _{serão denotados, respectivamente, por} _Ls₍m_E;_F_{) e} Ls₍m_E;_F_).

´

E fácil ver que Ls₍m_E;_F_{) é subespa¸co vetorial de} _L(m_E;_F_{) e que} _Ls₍m_E;_F_{) é} su-bespa¸co vetorial deL(m_E;_F_{) .}

QuandoF =K, escrevemosLs₍m_E;_F_{) =}_L(m_{E) e}_Ls₍m_E;_F_{) =}_Ls₍m_{E). Para}_m_{= 0} escrevemosLs₍0_E;_F_{) =} _F _{(espa¸co das fun¸c˜oes constantes a valores em} _F_).

Defini¸c˜ao 1.1.20 Para cada m∈N e cada multi-´ındice γ = (n1, . . . , nk)∈Nk0,

definimos : _

   

kγk = n1+· · ·+nk

γ! =

k

Y

j=1

(23)

Defini¸c˜ao 1.1.21 Sejam A ∈ L(m_E;_F_{) e} _k _≤ _{m. Para cada (x}

1, . . . , xk) ∈ Ek e cada

multi-´ındice γ = (n1, . . . , nk)∈Nk0 com kγk=m, definimos

Axn1

1 · · ·xnkk =A(x_{| {z }}1, . . . , x1

n1 vezes

, . . . , xk, . . . , xk

| {z }

nk vezes

).

Proposi¸c˜ao 1.1.22 Para cada A ∈L(m_E;_F_{), definimos} As: Em −→F , As(x1, . . . , xm) =

1 m!

X

σ∈Sm

A(xσ(1), . . . , xσ(m)).

As seguintes propriedades s˜ao satisfeitas : (a) As_∈_Ls₍m_E_;_F_);

(b) As₌_A _{se, e somente se,} _A_∈_Ls₍m_E;_F_); (c) (As₎s₌_As_;

(d) O operador s: L(m_E;_F₎_−→_Ls₍m_E;_F₎_{definido por} _{s(A) =} _As_{, ´e linear, sobrejetor} e n˜ao injetor;

(e) O operadorS: L(m_E;_F₎_{−→ L}s₍m_E;_F₎_{definido por}_{S(A) =} _As_{, está bem definido,} é linear, cont´ınuo, sobrejetor, não injetor e kSk= 1;

(f) Se x∈E, ent˜ao Axm ₌_As_xm_.

Demonstra¸c˜ao. Provemos o item (e). Para isso, seja A ∈ L(m_E;_F_{) uma aplica¸c˜ao} m-linear dada. Por (a) sabemos que S(A) = As _∈_Ls₍m_E;_F_{). A linearidade de} _S _segue da linearidade de s (item (d)). Para todos x1, . . . , xm ∈ E com kxik ≤ 1, j = 1, . . . , m,

temos

kAs(x1, . . . , xm)k=

1 m!

X

σ∈Sm

A(xσ(1), . . . , xσ(m))

≤ 1 m!

X

σ∈Sm

A(xσ(1), . . . , xσ(m))

≤ 1 m!

X

σ∈Sm

kAk · kxσ(1)k · · · kxσ(m)k=kAk.

Isso prova que kS(A)k = kAs_{k ≤ kAk, e portanto} _S _{é cont´ınua e} _{kSk ≤} _{1. Escolhendo} A∈ Ls₍m_E;_F_{) com}_kAk_{= 1 (basta tomar qualquer aplica¸cão}_{m-linear simétrica não-nula} e, caso necessário, dividir por sua norma), temos

kSk ≥ kS(A)k=kAsk=kAk= 1, provando quekSk= 1.

(24)

Para verificar que S não é injetor basta tomarB ∈ L(m_E;_F_{) tal que}_B _{6∈ L}s₍m_E;_F_), pois nesse caso é verdade queB 6=Bs _{e, pelo item (c),}

S(B) =Bs = (Bs)s =S(Bs).

Para os demais itens veja [2, Proposi¸c˜ao 1.1.6].

Teorema 1.1.23 (F´ormula de Leibniz)

SejamE, F espa¸cos vetoriais sobreKeA∈Ls₍m_E;_F_{). Ent˜ao para quaisquer}_x

1, . . . , xk ∈ E, temos

A(x1+· · ·+xk)m =

X

kγk=m m!

γ!Ax n1

1 · · ·xnkk.

Demonstra¸c˜ao. Veja [5, Teorema 1.2.16].

Corolário 1.1.24 (Fórmula Binomial de Newton) Se A∈Ls₍m_E;_F_{), então para quaisquer} _{x, y} _∈_E _temos

A(x+y)m ₌ m

X

j=0

m j

Axm−j_yj_.

Teorema 1.1.25 (F´ormula de Polariza¸c˜ao)

SejamE;F espa¸cos vetoriais sobre K. Se A∈Ls₍m_E;_F_{), ent˜ao}

A(x1, . . . , xm) =

1 m!2m

X

εi=±1

ε1· · ·εmA(x0+ε1x1+· · ·+εmxm)m,

para quaisquer xj ∈E, com j = 0,1, . . . , m

Demonstra¸c˜ao. Veja [5, Teorema 1.2.18].

Observa¸cão 1.1.26 Segue da Fórmula de Polariza¸cão que se A, B ∈Ls₍m_E;_F_{) são tais} queAxm ₌_Bxm _{para todo}_x_∈_{E, então} _A ₌_{B. De fato, para todos} _x

1, . . . , xn∈E,

A(x1, . . . , xm) = 1 m!2m

X

εi=±1

ε1· · ·εmA(ε1x1+· · ·+εmxm)m

= 1

m!2m

X

εi=±1

ε1· · ·εmB(ε1x1+· · ·+εmxm)m =B(x1, . . . , xm).

(25)

1.2 Polinˆ

omios homogˆ

eneos

As fun¸cões anal´ıticas de uma variável complexa são aquelas que podem ser escritas como séries de potências convergentes, ou seja, fun¸cões do tipo:

f: A⊆C−→C , f(z) = ∞

X

n=0

anzn,

onde Aé um aberto em C e a sequência de números complexos (an)∞

n=1 ´e tal que a s´erie

converge uniformemente em uma vizinhan¸ca de cada ponto deA.

Esse conceito não pode ser estendido dessa forma para fun¸cões entre espa¸cos normados, pois em espa¸cos normados não se pode multiplicar vetores. Precisamos então de fun¸cões que cumpram o papel das fun¸cões

fn: C−→C , fn(z) =zn.

Observamos que a propriedade fundamental satisfeita por essas fun¸c˜oes ´e a seguinte: para todosλ, z ∈C,

fn(λz) = λnfn(z).

Por causa dessa propriedade tais fun¸cões são chamadas de polinômios n-homogêneos. Utilizamos a teoria de aplica¸cões multilineares para obter fun¸cões em espa¸cos normados que reproduzem essa propriedade:

Defini¸cão 1.2.1 Sejam E e F espa¸cos vetoriais normados. Uma aplica¸cão P: E −→F será denominada polinômio m-homogêneo oupolinômio homogêneo de grau m, se existir uma aplica¸cão A∈L(m_E;_F_{) tal que} _P_{(x) =} _Axm _{para todo}_x_∈_E.

Note que a propriedade desejada de fato se cumpre: para todosλ∈K e x∈E, P(λx) =A(λx)m =A(λx, . . . , λx) =λmAxm =λmP(x).

Denotaremos por P(m_E;_F_{) o espa¸co vetorial dos polinômios homogêneos de grau} _m, denotaremos também por P(m_E;_F_{) o subespa¸co vetorial de} _P₍m_E;_F_{) formado pelos} polinômios m-homogêneos cont´ınuos. Quando F = K, escrevemos P(m_{E) no lugar de} P(m_E;_F_{) e} _P₍m_{E) no lugar de} _P₍m_E;_F_).

Para cada P ∈P(m_E;_F_{), definimos}

kPk:= sup{kP(x)k:x∈E,kxk ≤1}.

Proposi¸c˜ao 1.2.2 Sejam E, F espa¸cos vetoriais normados. Para cada A ∈ L(m_E;_F₎ considere a aplica¸c˜ao dada por

b

A:E −→F , A(x) :=b Axm.

Desse modo, a correspondˆenciaA7−→Abinduz um isomorfismo entre os espa¸cos vetoriais Ls₍m_E;_F₎ _e _P₍m_E;_F_{). Mais ainda,}

kAk ≤ kAk ≤b m m

(26)

Demonstra¸c˜ao. Veja [2, Proposi¸c˜ao 1.2.2].

Observa¸cão 1.2.3 De acordo com a Proposi¸cão 1.2.2, para cada P ∈ P(m_E;_F_{) existe} uma única aplica¸cão multilinear simétrica A∈Ls₍m_E;_F_{) tal que} _Axm ₌_P_{(x) para todo} x∈E. Nesse caso denotamos ˇP :=A.

Proposi¸cão 1.2.4 Sejam E, F espa¸cos normados e P ∈ P(m_E;_F_{). Então as seguintes} condi¸cões são equivalentes :

(a) P ´e cont´ınuo;

(b) P ´e cont´ınuo em algum ponto de E; (c) P ´e cont´ınuo no origem;

(d) kPk<∞;

(e) Existe k ≥0 tal que kP(x)k ≤k· kxkm _{para todo} _x_∈_E; (f) P(A) ´e limitado em F sempre que A for limitado em E;

(g) P ´e limitado em toda bola BE[x0, r]⊆E;

(h) P ´e limitado em alguma bola BE[x0, r]⊆E;

(i) A aplica¸cão n-linear simétrica Pˇ é cont´ınua;

(j) Existe A∈ L(m_E;_F₎ _{tal que} _P_{(x) =} _Axm _{para todo} _x_∈_E.

Proposi¸cão 1.2.5 Sejam E, F espa¸cos normados. Então (P(m_E;_F_),_{k · k)}_{é um espa¸co} normado (de Banach se F for Banach). Mais ainda,

kP(x)k ≤ kPk · kxkm para todos P ∈ P(m_E;_F₎ _e _x_∈_E.

Demonstra¸cão. Veja [2, Proposi¸cões 1.2.8 e 1.2.10]. Proposi¸cão 1.2.6 O operador

ϕ:Ls(mE;F)−→ P(mE;F) , ϕ(A) =A,b ´e um isomorfismo topol´ogico.

(27)

Proposi¸cão 1.2.8 Sejam E e F espa¸cos vetoriais normados. Então o espa¸co vetorial normado P(m_E;_P₍n_E;_F₎₎_{contém uma cópia isomorfa do espa¸co normado} _P₍m+n_E;_F₎ por meio do operador:

P ∈ P(m+nE;F)7→Pe(x)(y) = ˇP(xm, yn). Demonstra¸c˜ao. Veja [2, Proposi¸c˜ao 1.2.12].

Sejam E, F espa¸cos vetoriais. Denotaremos por PF(nE;F) o conjunto dos polinˆomios

P ∈ P(n_E;_F_{) de posto finito.}

Exemplo 1.2.9 Sejam E e F espa¸cos de Banach, n ∈N, Q ∈ P(n_{E) e} _b _∈ _F_{. Vejamos} que, definindo

Q⊗b: E −→F, Q⊗b(x) =Q(x)b,

temos Q ⊗b ∈ PF(nE;F) e kQ⊗bk = kQk · kbk. De fato, como Q ∈ P(nE) temos

ˇ

Q∈ Ls₍n_E;_K_{), e definindo}

W :En −→F, W(x1, . . . , xn) = ˇQ(x1, . . . , xn)b,

´e imediato que W ∈ Ls₍n_E;_F_{). Al´em disso,}

W(xn) = ˇQ(xn)b=Q(x)b

para todox∈E. Isso implica que cW =Q⊗b ∈ P(n_E;_F_{). ´}_{E claro que} _Q_⊗_b _{tem posto} finito. Por fim,

kQ⊗bk= sup x∈E kxk≤1

kQ⊗b(x)k= sup x∈E kxk≤1

kQ(x)bk= sup x∈E kxk≤1

|Q(x)| · kbk

=kbk · sup x∈E kxk≤1

|Q(x)|=kQk · kbk.

Proposi¸c˜ao 1.2.10 Para todos espa¸cos de Banach E e F e n ∈N,

PF(nE;F) = ( _m

X

j=1

Qj ⊗bj :m∈N;Qj ∈ P(nE), bj ∈F

)

.

Em particular, PF(nE;F) ´e subespa¸co vetorial de P(nE;F).

Demonstra¸c˜ao. Pelo exemplo anterior temos

PF(nE;F)⊇ ( _m

X

j=1

Qj ⊗bj :m∈N;Qj ∈ P(nE), bj ∈F

)

.

Agora sejaP ∈ PF(nE;F). Ent˜ao P ∈ P(nE;F) e [Im(P)] tem dimens˜ao finita, digamos

dim[Im(P)] = k. Portanto existem bi ∈ Im(P),i = 1, . . . ,k, tais que F ⊇ [Im(P)] = [b1, . . . ,bk]. Definimos

(28)

para cadaj = 1, . . . , k.E óbvio que cada´ Tjé linear e também é cont´ınua pois dim[Im(P)] = k<∞. Notemos que se y=α1b1+· · ·+αkbk, então y=

k

X

j=1

Tj(y)bj.

Definimos tamb´em

Bj: E −→K , Bj(x) =Tj(P(x)). ´

E f´acil ver que Bj ∈ P(n_{E). Ademais} k

X

j=1

Bj⊗bj

!

(x) = k

X

j=1

(Bj⊗bj) (x) = k

X

j=1

Bj(x)bj

= k

X

j=1

Tj(P(x))bj =P(x),

para todox∈E, provando queP = k

X

j=1

Bj ⊗bj.

Um subespa¸co importante do espa¸co dos polinômios homogêneos de posto finito, cha-mado de subespa¸co dos polinômios homogêneos de tipo finito, será introduzido no Exemplo 2.3.2 e desempenhará um papel importante no Cap´ıtulo 3.

1.3 Alguns resultados sobre s´

eries

Apresentamos nesta se¸cão alguns resultados sobre séries convergentes em espa¸cos norma-dos que serão úteis mais adiante.

Defini¸c˜ao 1.3.1 Uma s´erie ∞

X

n=1

xn no espa¸co normado E ´e dita absolutamente

conver-gentequando ∞

X

n=1

kxnk é uma série numérica convergente. Quando uma série ∞

X

n=1

xn

con-verge mas ∞

X

n=1

kxnk diverge, dizemos que a s´erie ∞

X

n=1

xn ´econdicionalmente convergente.

Defini¸c˜ao 1.3.2 Uma s´erie ∞

X

n=1

xn no espa¸co normadoE ´e dita incondicionalmente

con-vergentequando para toda bije¸c˜aoσ: N−→N, a s´erie ∞

X

n=1

xσ(n) ´e convergente.

Proposi¸c˜ao 1.3.3 Seja ∞

X

n=1

xn uma s´erie incondicionalmente convergente no espa¸co nor-mado E. Se σ1, σ2: N−→N sao fun¸coes bijetoras, ent˜ao

∞

X

n=1

xσ1(n)=

∞

X

n=1

(29)

Teorema 1.3.4 Seja E um espa¸co normado. As seguintes afirma¸cões são equivalentes (a) E é espa¸co de Banach.

(b) Toda s´erie absolutamente convergente em E ´e convergente.

(c) Toda série absolutamente convergente em E é incondicionalmente convergente. Demonstra¸cão. Veja [9, Proposi¸cão 10.1.4].

Defini¸cão 1.3.5 Sejam X um conjunto arbitrário eM um espa¸co métrico. Dizemos que a sequência de fun¸cõesgn: X −→M,n ∈N,converge uniformemente emX para a fun¸cão g:X −→M se para todo número real ε >0 existe n0 ∈N tal que

d(gn(x), g(x))< εpara todos n > n0 e x∈X.

Proposi¸cão 1.3.6 Sejam X um conjunto arbitrário e (Y,k · k) um espa¸co de Banach. Então a sequência de fun¸cões fn: X −→ Y, n ∈N, converge uniformemente em X para alguma fun¸cão f:X −→Y se, e somente se,

lim

m,n−→∞sup_x_∈_Xkfn(x)−fm(x)k= 0.

Demonstra¸cão. Suponhamos primeiramente que a sequência de fun¸cões fn: X −→ Y, n∈N, convirja uniformemente emX para alguma fun¸cãof: X −→Y. Neste caso, dado ε >0 existe n0 ∈Ntal que se n≥n0, então kfn(x)−f(x)k< ε para todox∈X. Dessa

forma, para todosm, n≥n0 e x∈X, temos

kfn(x)−fm(x)k ≤ kfn(x)−f(x)k+kfm(x)−f(x)k<2ε. Assim, para m, n≥n0 temos

sup x∈X

kfn(x)−fm(x)k ≤2ε.

Ent˜ao, dado qualquerε >0, 0≤ lim

m,n−→∞sup_x_∈_Xkfn(x)−fm(x)k ≤2ε, o que prova que

lim

m,n−→∞sup_x_∈_Xkfn(x)−fm(x)k= 0. Reciprocamente, suponhamos que

lim

m,n−→∞sup_x_∈_Xkfn(x)−fm(x)k= 0. Logo, para todoε >0 existe n0 ∈N tal que se m, n≥n0, ent˜ao

sup x∈X

(30)

Como

kfn(x)−fm(x)k ≤sup x∈X

kfn(x)−fm(x)k< ε para todo x∈X, para todoε >0 existe n0 ∈N tal que se m, n≥n0, ent˜ao

kfn(x)−fm(x)k< ε para todox∈X. (1.1) Assim, de (1.1) segue que, para cada x ∈ X, (fn(x))n∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy no

espa¸co de BanachY, logo convergente. Podemos ent˜ao definir f:X −→Y , f(x) = lim

n−→∞fn(x). (1.2)

Provemos que a sequˆencia (fn)∞

n=1 converge uniformemente em X para a fun¸c˜ao f. Para

isso, sejaε >0. De (1.1) e (1.2), como ε₂ >0, temos lim

m−→∞kfn(x)−fm(x)k=kfn(x)−f(x)k ≤ ε 2 < ε, para todosn≥n0 ex∈X.

Teorema 1.3.7 (Convergˆencia Uniforme e o Teste de Weierstrass)

Sejam(X,k · k)um espa¸co de Banach e(Y, d)um espa¸co métrico. Seja tambémfn: Y −→ X, n∈N, uma sequência de fun¸cões para a qual existe uma sequência numérica(Mn)n∈N ⊂

[0,+∞) tal que:

(i) kfn(y)kX ≤Mn para todo n∈N e todo y∈Y.

(ii) ∞

X

n=1

Mn <+∞.

Ent˜ao as s´eries ∞ X n=1 kfn(y)kX e ∞ X n=1

fn(y) s˜ao uniformemente convergentes em Y.

Demonstra¸c˜ao. Da condi¸c˜ao (ii) sabemos que lim m,n−→∞

m

X

k=n+1

Mk = 0.Notemos que dados m, n∈N com m > n,

0≤ m X

k=n+1

fk(y) ≤ m X

k=n+1

kfk(y)k ≤ m

X

k=n+1

Mk

para todoy∈Y. Logo

0≤sup y∈Y

m X

k=n+1

fk(y)

≤supy∈Y

m

X

k=n+1

kfk(y)k ≤ m

X

k=n+1

Mk,

e portanto

lim m,n−→∞sup_y_∈_Y

m X

k=n+1

fk(y)

≤m,nlim−→∞sup_y_∈_Y m

X

k=n+1

kfk(y)k ≤ lim m,n−→∞

m

X

k=n+1

Mk= 0.

(31)

Proposi¸cão 1.3.8 Sejam (X,k · k) um espa¸co de Banach e (Y, d) um espa¸co métrico. Sejam também f: Y −→ X uma fun¸cão e fn: Y −→ X, n ∈ N, uma sequência de fun¸cões.

(i) Se (fn)_n_∈_N converge uniformemente em Y e lim

n−→∞fn(y) = f(y) para todo y ∈ Y, ent˜ao (fn)_n_∈_N converge uniformemente para f.

(ii) Se α∈K e (fn)_n_∈_N converge uniformemente emY para f, ent˜ao (αfn)_n_∈_N converge uniformemente em Y para αf.

Demonstra¸c˜ao. (i) Sabemos que

kfm(y)−fn(y)k ≤sup x∈Y

kfm(x)−fn(x)k

para todosy∈Y e m, n∈N. Logo

kfm(y)−f(y)k= lim

n−→∞kfm(y)−fn(y)k ≤n−→∞lim sup_x_∈_Y kfm(x)−fn(x)k para todosy∈Y e m∈N. Assim

sup y∈Y

kfm(y)−f(y)k ≤ lim

n−→∞sup_x_∈_Y kfm(x)−fn(x)k, e, pela Proposi¸c˜ao 1.3.6, segue que

lim

m−→∞sup_y_∈_Y kfm(y)−f(y)k ≤mlim−→∞nlim−→∞sup_x_∈_Y kfm(x)−fn(x)k = lim

m,n−→∞sup_x_∈_Y kfm(x)−fn(x)k= 0. (ii) De

k(αfn)(y)−(αf)(y)k=|α| · kfn(y)−f(y)k ≤ |α| ·sup y∈Y

kfn(y)−f(y)k

para todoy∈Y, segue que

0≤sup y∈Y

k(αfn)(y)−(αf)(y)k ≤ |α| ·sup y∈Y

kfn(y)−f(y)k,

e portanto

0≤ lim

(32)

CAP´ITULO 2

TIPOS DE HOLOMORFIA

O conceito de tipo de holomorfia foi introduzido por L. Nachbin em [27] com o obje-tivo de sistematizar o estudo de classes especiais de polinômios homogêneos que vinham sendo estudados individualmente na literatura. Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns preliminares de fun¸cões holomorfas, também defini¸cão, exemplos de tipos de holomorfia e o conceito de fun¸cão holomorfa associada a um tipo de holomorfia, também introduzido por Nachbin.

2.1 Fun¸c˜

oes holomorfas

Defini¸cão 2.1.1 Uma série de potências do espa¸co de Banach E no espa¸co de Banach F em torno do ponto a ∈ E é uma série de fun¸cões da forma

∞

X

m=0

Pm(x − a), onde Pm ∈ P(m_E_;_F_{) para todo} _m _∈_N

0.

Note que a s´erie de potˆencias ∞

X

m=0

Pm(x − a) pode tamb´em ser escrita na forma ∞

X

m=0

Am(x−a)m, onde Am ∈ Ls₍m_E;_F_{) e} _Amb ₌_Pm _{para todo} _m.

Defini¸cão 2.1.2 O raio de convergência, ou mais exatamente, o raio de convergência uniformeda série de potências

∞

X

m=0

Pm(x−a) é o supremo do conjunto dos números reais r≥0 para os quais a série converge uniformemente na bola fechadaB(a, r).

Teorema 2.1.3 Seja R o raio de convergência da série de potências ∞

X

m=0

Pm(x− a).

(33)

(a) R ´e determinado pela formula de Cauchy-Hadamard 1

R = limm→∞supkPmk

1 m.

(b) A s´erie de potˆencias converge absolutamente e uniformemente em B(a, r) para todo 0≤r < R.

Demonstra¸c˜ao. Veja [25, Theorem 4.3].

Agora estamos em condi¸c˜oes de definir fun¸c˜oes holomorfas:

Defini¸cão 2.1.4 Sejam E, F espa¸cos de Banach complexos e U um subconjunto aberto deE. Uma fun¸cão f: U −→F é dita holomorfa em U se para cada a ∈U existem uma bolaB(a, r)⊂U,r >0, e uma sequência de polinômios homogêneos (Pm ∈ P(m_E;_F₎₎∞

m=0

tais que

f(x) = ∞

X

m=0

Pm(x−a)

uniformemente parax∈B(a, r).

A sequência de polinômios homogêneos (Pm)∞

m=0 ´e determinada de maneira ´unica pela

fun¸c˜ao holomorfaf e pelo vetor a (veja [25, Remark 5.2]).

Nota¸cão. Estabelecemos agora a nota¸cão usual em holomorfia. Denotamos porH(U;F) o conjunto de todas as fun¸cões holomorfas de U em F, que obviamente é um espa¸co vetorial complexo. No caso em queF =Cescrevemos H(U;C) = H(U).

Denotaremos tamb´em Pm = Pm_{f(a) para todo} _m _∈ _N

0. A s´erie

∞

X

m=0

Pm(x−a) ´e

chamada de s´erie de Taylor def em a.

Continuando com as nota¸cões, se, para cada m ∈ N0, Am ∈ Ls(mE;F) é a aplica¸cão

m-linear sim´etrica associada ao polinˆomioPm ∈ P(m_E;_F_{) por}_Pmb ₌_{Am. Denotamos} dmf(a) =m!Am e dbmf(a) = m!Pm.

Definimos as aplica¸c˜oes diferenciais

dmf: a∈U −→dmf(a)∈ Ls(mE;F) e dbmf: a∈U −→dbmf(a)∈ P(mE;F), e os operadores diferenciais

dm: f ∈ H(U;F)−→dmf ∈ H(U;Ls(mE;F)),

b

dm: f ∈ H(U;F)−→dbmf ∈ H(U;P(mE;F))

(34)

Finalmente, opolinˆomio de Taylor τm,f,a de ordem m def em a ´e definido por τm,f,a(x) = m X k=0 1 k!db

k_f(a)(x₋_{a), x}_∈_E.

Na Se¸c˜ao 3.1 desenvolveremos um pouco da teoria de fun¸c˜oes holomorfas. Para a teoria geral indicamos os livros de Barroso [4], Dineen [14] e Mujica [25].

Provaremos agora que polinômios homogêneos são exemplos de fun¸cões holomorfas:

Exemplo 2.1.5 P(mE;F)⊂ H(U;F) para m= 0,1,2, . . .

De fato, dado P ∈ P(m_E;_F_{) existe} _A _{∈ L}s₍m_E;_F_{) tal que} _P ₌ _{A. Fixado}b _ξ _∈ _E, pela F´ormula Binomial de Newton (Corol´ario 1.1.24) temos

P(x) = Axm =A[ξ+ (x−ξ)]m= m X j=0 m j

Aξm−j(x−ξ)j,

para todox∈E. Assim,

P(x)− m X j=0 m j

Aξm−j(x−ξ)j = 0 para todox∈E =⇒

P(x)−

m X j=0 m j

Aξm−j(x−ξ)j

= 0 para todo x∈E.

Note que sek > m

P(x) = m X j=0 m j

Aξm−j(x−ξ)j = k

X

j=0

Wj(x−ξ) = ∞

X

j=0

Wj(x−ξ)

para todox∈E, onde

Wj: E −→F , Wj(y) =

m j

Aξm−j_yj _{se 0} _≤_j _≤_m 0 se j > m.

Logo, para k > m,

sup x∈E

P(x)−

m X j=0 m j

Aξm−j(x−ξ)j

= supx∈E

P(x)−

k

X

j=0

Wj(x−ξ)

= 0, e portanto lim k→∞sup_x_∈_E

P(x)−

k

X

j=0

Wj(x−ξ)

(35)

provando P(x) = m

X

j=0

m j

Aξm−j_(x₋_ξ)j _{uniformemente em} _{E. Observe que:}

1 j!db

j_P_{(ξ)(y) =} _Pj_P_{(ξ)(y) =}

m j

Aξm−j_yj _{se 0} _≤_j _≤_m 0 se j > m, e

1 j!d

j_P_(ξ)(y)j ₌

m j

Aξm−jyj se 0 ≤j ≤m 0 se j > m.

Observa¸c˜ao 2.1.6 Da demostra¸c˜ao acima decorre que djP ∈ P(m−jE;Ls(jE;F)) e

b

djP ∈ P(m−jE;P(jE;F)), para P ∈ P(m_E;_F_{) e} _j _{= 0, . . . , m.}

2.2 Tipos de holomorfia

Defini¸cão 2.2.1 Sejam E, F espa¸cos de Banach. Um tipo de holomorfia Θ de E em F é uma sequência de espa¸cos de Banach (PΘ(mE;F),k · kΘ)∞m=0 para a qual são válidas as

seguintes afirma¸c˜oes:

(1) Cada PΘ(mE;F) ´e um subespa¸co vetorial de P(mE;F);

(2) PΘ(0E;F) coincide com P(0E;F) =F como espa¸co vetorial normado;

(3) Existe um n´umero real σ ≥ 1 tal que, dados k ∈ N0, m ∈ N0, k ≤ m, a ∈ E e

P ∈ PΘ(mE;F), vale que

b

dkP(a)∈ PΘ(kE;F) e

_k!1dbkP(a)

Θ

≤σm· kPkΘ· kakm−k.

Observa¸cão 2.2.2 Nas condi¸cões da Defini¸cão 2.2.1, se P ∈ PΘ(mE;F) e k≤m, então

\

ˇ

P am−k₌ (m−k)! m! db

k_P_(a)_{∈ P}

Θ(kE;F)

e

P aˇ\m−k

Θ≤

σm_·_(m₋_k)!_·_k!

m! · kPkΘ· kak m−k_.

De fato, comoP ∈ PΘ(mE;F) ePΘ(mE;F) ´e subespa¸co vetorial deP(mE;F), temos que

P ∈ P(m_E;_F_{) e, pelo Exemplo 2.1.5} 1

k!db

k_P_{(a)(y) =}

m k

ˇ

(36)

Assim

1 k!db

k_P_{(a)(y) =} m!

k!·(m−k)!P aˇ

m−k_yk ₌ m!

k!·(m−k)!P aˇ\ m−k_(y)

Logo, como dbk_P_(a) _{∈ P}

Θ(kE;F), temos P aˇ\m−k = (m_m−_!k)!dbkP(a) ∈ PΘ(kE;F) e tamb´em

temos

P aˇ\m−k

Θ=

(m_m!−k)!dbkP(a)

Θ

= (m−k)! m!

bdkP(a)

Θ

= k!·(m−k)! m!

_k!1dbkP(a)

Θ

≤ k!·(m−k)! m! ·σ

m_{· kP}_k

Θ· kakm−k.

O resultado a seguir ser´a ´util para exibir exemplos de tipos de holomorfia.

Proposi¸c˜ao 2.2.3 Sejam E e F espa¸cos de Banach e, para cada m ∈N, Q(m_E;_F₎ _um subespa¸co vetorial de P(m_E_;_F₎ _com _Q(0_E;_F_{) =} _F_{. Se} _dbk_P_(a) _∈ _Q(k_E;_F₎ _{sempre que} k≤m, a∈E e P ∈Q(m_E;_F_{), ent˜ao} _Q(m_E;_F₎∞

m=0 ´e um tipo de holomorfia deE em

F com a norma usual de polinˆomios.

Demonstra¸c˜ao. De fato, por [23, Teorema 2.3.1] sabemos que (Q(m_E;_F_),_{k · k)}∞ m=0 ´e

uma sequˆencia de espa¸cos de Banach em que cada Q(m_E;_F_{) ´e subespa¸co vetorial de} P(m_E;_F_{). Dados} _k _∈_N

0, m∈N0, k ≤m, a∈E e P ∈Q(mE;F), existe uma sequˆencia

(Pj)∞

j=1 em Q(mE;F) tal que limj→∞kP −Pjk= 0. Pelo que vimos na Observa¸c˜ao 2.1.5,

b

dkPj(a) =

m! (m−k)!

\

ˇ

Pjam−k e dbkP(a) = m! (m−k)!

\

ˇ P am−k_.

Comodbk_Pj_(a)_∈_Q(k_E;_F_{), temos}_Pjaˇ\m−k _∈_Q(k_E_;_F_{). Ademais,} kP aˇ\m−k₋_Pˇ\

jam−kk= sup y∈E kyk≤1

kP aˇ\m−k_(y)₋_Pˇ\ jam−k(y)k,

onde

kP aˇ\m−k_(y)₋_Pjaˇ\m−k_(y)k₌_k_{P a}ˇ\m−k₋_Pjaˇ\m−k_(y)k =k P aˇ m−k−Pjˇam−kb(y)k ≤ kP aˇ m−k−Pjˇam−kk · kykk, e

kP aˇ m−k−Pjaˇ m−kk= sup xi∈E

kxik≤1

i=1,...,k

k P aˇ m−k−Pjˇam−k(x1, . . . , xk)k

= sup xi∈E

kxik≤1

i=1,...,k

kPˇ(a, . . . , a, x1, . . . , xk)−Pj(a, . . . , a, xˇ 1, . . . , xk)k

= sup xi∈E

kxik≤1

i=1,...,k

k Pˇ−Pjˇ(a, . . . , a, x1, . . . , xk)k

(37)

Logo

kP aˇ\m−k_(y)₋_Pjˇ\_am−k_{(y)k ≤ k}_Pˇ₋_{Pjk · kak}ˇ m−k_{· kyk}k_, e

kP aˇ\m−k₋_Pˇ\

jam−kk ≤ kPˇ−Pˇjk · kakm−k ≤ mm

m!kP −Pjk · kak m−k_.

Assim limj→∞kP aˇ\m−k−Pjaˇ\m−kk= 0, onde

\

ˇ

Pjam−k ∞

j=1 ´e uma sequˆencia emQ(

k_E;_F_).

Segue queP aˇ\m−k _∈_Q(k_E;_F_{) e portanto}_dbk_P_(a)_∈_Q(k_E;_F_{). Mais ainda,}

_k!1dbkP(a)

= _k!_·_(mm!₋_k)!

P aˇ\m−k_,

e tamb´em sabemos que

P aˇ\m−k_{= sup} y∈E kyk≤1

P aˇ\m−k_(y)_.

Da´ı, sey∈E e kyk ≤1, ent˜ao

P aˇ\m−k_(y)₌_{( ˇ}_{P a}m−k_)(y)k_{≤ k}_Pˇ_{k · kak}m−k_{· kyk}k ≤ m

m

m! · kPk · kak

m−k_{· kyk}k_≤ mm

m! · kPk · kak m−k_,

logo

P aˇ\m−k_≤ m m

m! · kPk · kak m−k

e

_k!1dbkP(a)

≤ _k!_·_(mm!₋_k)! ·m

m

m! · kPk · kak m−k_.

Da conhecida expans˜ao da exponencial real ex ₌ ∞

X

n=0

xn

n! para todo x ≥ 0 e da

desi-gualdade ´obvia x_mm_! ≤ k

X

n=0

xn

n! para k≥m, segue que xm

m! ≤ex, para todo x≥0, e portanto

mm

m! ≤e

m_{. Por outro lado, 2}m _≥ m!

k!·(m−k)! (veja, por exemplo, [21, observa¸c˜ao 2.2.2]). Logo

temos

_k!1dbkP(a)

≤(2e)m· kPk · kakm−k.

2.3 Exemplos de tipos de holomorfia

(38)

Exemplo 2.3.1 Vejamos que, para quaisquer espa¸cos de Banach E eF, (P(m_E;_F₎₎∞ m=0

´e um tipo de holomorfia de E em F.

Isso ´e imediato a partir da Proposi¸c˜ao 2.2.3, poisP(m_E;_F_{) =}_P₍m_E;_F_{). Note que se} k ∈ N0, m ∈ N0 com k ≤ m, a ∈ E e P ∈ P(mE;F), vale que dbkP(a) = ₍_mm₋!_k_)!P aˇ\m−k,

ondeP aˇ\m−k_{∈ P}₍k_E;_F_{), e portanto} _dbk_P_(a)_{∈ P}₍k_E;_F_).

Exemplo 2.3.2 (Polinômios de tipo finito e polinômios aproximáveis) Dados espa¸cos de Banach E e F, um funcional ϕ ∈ E′_{, um vetor} _b _∈ _F _{e um n´}_{umero natural} _m _∈ _N_, definimos

ϕm⊗b: E −→F , ϕm⊗b(x) = ϕ(x)m·b. Afirma¸c˜ao. ϕm_⊗_b _{∈ P}₍m_E;_F_{) e} _kϕm_⊗_bk₌_kϕkm_{· kbk.}

Do Exemplo 1.1.14 sabemos que a aplica¸c˜ao

A: Em −→F , A(x1, . . . , xm) =ϕ(x1)· · ·ϕ(xm)·b,

ém-linear e cont´ınua. É imediato que ϕm_⊗_{b(x) =}_Axm _{para todo} _x_∈_{E, logo} _ϕm_⊗_b _∈ P(m_E;_F_{). Como} _A _{é simétrica, temos} _A_{= (ϕ}m_⊗_b)∨_{. Mais ainda,}

kϕm⊗bk= sup x∈E kxk≤1

kϕm⊗b(x)k= sup x∈E kxk≤1

kϕ(x)m·bk= sup x∈E kxk≤1

|ϕ(x)|m· kbk

= sup

x∈E,kxk≤1

|ϕ(x)|

!m

· kbk=kϕkm· kbk.

Os elementos do conjunto

Pf(mE;F) := span{ϕm⊗b:ϕ ∈E′, b∈F}

=

( _k X

j=1

ϕm_j ⊗bj :k ∈N, ϕj ∈E′, bj ∈F, j = 1, . . . , k

)

são chamados de polinômios m-homogêneos cont´ınuos de tipo finito. Da expressão acima é claro que Pf(mE;F) é um subespa¸co vetorial de P(mE;F).

Dizemos que um polinômioP ∈ P(m_E;_F_{) é}_{aproximável}_se _P _{∈ Pf}₍m_E;_F_{), isto é, se} existe uma sequência Pj ∈ Pf(m_E;_F_), _j _∈_N_{, tal que}

lim

j→∞kP −Pjk= 0.

Denotamos por PA(m_E;_F_{) o conjunto dos polinômios} _{m-homogêneos cont´ınuos} apro-ximáveis de E em F, ou seja,

PA(mE;F) =Pf(m_E;_F_).

O objetivo deste exemplo é mostrar que a sequência (PA(mE;F),k · k)∞m=0 é um tipo

(39)

Notemos quePA(0_E;_F_{) =}_F _pois _ϕ0_⊗_b ₌_b _{´e constante. Pela Proposi¸c˜ao 2.2.3 basta}

provar que seP ∈ Pf(m_E;_F_), _k _≤_m, _a_∈_{E, ent˜ao} _{P a}_ˇ\m−k _{∈ Pf}₍k_E;_F_).

De fato, como P ∈ Pf(m_E;_F_{), ent˜ao} _P ₌ l

X

j=1

ϕm_j ⊗bj para alguns l ∈ N, ϕj ∈ E′_,

bj ∈F. ´E claro que ˇP = l

X

j=1

Aj onde

Aj: Em −→F , Aj(x1, . . . , xm) = ϕj(x1)· · ·ϕj(xm)bj,

paraj = 1, . . . , l. Assim,

\

ˇ

P am−k_{(y) = ˇ}_{P a}m−k_yk ₌ l

X

j=1

Aj

!

am−k_yk ₌ l

X

j=1

Aj(a, . . . , a, y, . . . , y)

= l

X

j=1

[ϕj(a)]m−k·[ϕj(y)]k·bj = l

X

j=1

[ϕj(y)]k·[bj·(ϕj(a))m−k],

e

\

ˇ

P am−k₌ l

X

j=1

ϕk_j ⊗[bj ·(ϕj(a))m−k]∈ Pf(kE;F).

Comodbk_P_{(a) =} m!

(m−k)!P aˇ\m−k, segue que db

k_P_(a)_{∈ P}

f(kE;F).

Exemplo 2.3.3 (Polinômios aproximáveis por polinômios de posto finito) Vejamos que, para todos espa¸cos de BanachE eF,PF(mE;F)

∞

m=0 ´e um tipo de holomorfia de E em

F.

De fato, pela Proposi¸c˜ao 1.2.10 sabemos que

PF(mE;F) = ( _l

X

j=1

Qj ⊗bj :l∈N;Qj ∈ P(mE), bj ∈F

)

.

Em particular,PF(mE;F) ´e subespa¸co vetorial deP(mE;F). ´E imediato quePF(0E;F) =

F. Sejam k ≤m, a∈E e P ∈ PF(mE;F). Ent˜ao

P = l

X

j=1

Qj ⊗bj onde l∈N, Qj ∈ P(mE), bj ∈F.

Notemos que ˇP = l

X

j=1

Wj, onde

(40)

paraj = 1, . . . , l. Assim

\

ˇ

P am−k_{(y) = ˇ}_{P a}m−k_yk ₌ l

X

j=1

Wj

!

am−kyk = l

X

j=1

Wj(a, . . . , a, y, . . . , y)

= l

X

j=1

ˇ

Qj(a, . . . , a, y, . . . , y)bj = l

X

j=1

ˇ

Qjam−kykbj = l

X

j=1

\

ˇ

Qjam−k(y)bj,

donde segue que

\

ˇ

P am−k ₌ l

X

j=1

\

ˇ

Qjam−k_⊗_bj _{∈ P}

F(kE;F),

pois Qjaˇ\m−k _{∈ P(}k_E_{). De} _dbk_P_{(a) =} m!

(m−k)!P aˇ\m−k conclu´ımos que db

k_P_(a) _{∈ P}

F(kE;F).

E assim pela Proposi¸c˜ao 2.2.3 temos o resultado.

Para o pr´oximo exemplo precisamos do seguinte resultado preliminar:

Lema 2.3.4 Seja F um espa¸co vetorial normado e seja ∞

X

n=1

an=auma s´erie convergente em F. Ent˜ao

∞

X

i=1

(a2i−1+a2i) = a.

Demonstra¸c˜ao. Notemos que, para cada k∈N, k

X

i=1

(a2i−1+a2i) = (a1+a2) + (a3+a4) +· · ·+ (a2k−1+a2k) = 2k X i=1 ai. Mas 2k X i=1 ai !∞ k=1

´e uma subsequˆencia de k X i=1 ai !∞ k=1

, e esta ´ultima sequˆencia converge

paraa pois ∞

X

n=1

an =a. Logo

2k X i=1 ai ! k−→∞

−→ a, e portanto ∞

X

i=1

(a2i−1 +a2i) =a.

Exemplo 2.3.5 (Polinômios m-homogêneos nucleares) Um polinômio P ∈ P(m_E;_F_{) é} dito nuclear se podemos escrever P na forma

P(x) = ∞

X

i=1

x′

i(x)myi, (2.1)

em (x′i)∞i=1 ⊂E′ e (yi)∞i=1 ⊂F s˜ao sequˆencias limitadas tais que

∞

X

i=1

kx′