Conceitos de trafego telefônico Estado de um órgão ou circuito

CAPÍTULODÉCIMOQUARTO

TRÁFEGO TELEFONICO

Histórico

O problema básico do Tráfego Telefônico é o dimensionamento do sistema, no que diz respeito à quantidade de equipamentos necessários para cursar as chamadas oferecidas, de maneira econômica e dentro de padrões de qualidade de serviço, sob o ponto de vista dos usuários, aceitáveis.

O problema seria de fácil solução se as chamadas surgissem de maneira ordenada e tivessem duração constante. No entanto, isto não ocorre na prática, visto que a necessidade que as pessoas tem de se comunicarem, bem como a duração das conversações por elas originadas, são independentes entre si, e estão sujeitas a flutuações imprevisíveis.

Conceitos de trafego telefônico

Estado de um órgão ou circuito

Um órgão ou circuito de uma central de comutação telefônica em perfeito funcionamento, quando observado ao longo do tempo, pode apresentar-se sob dois aspectos quanto ao seu estado:

9 Livre:Um órgão ou circuito é dito livre quando está disponível para ser utilizado por qualquer chamada que o solicite.

9 Ocupado: Um órgão ou circuito é dito ocupado, quando está sendo utilizado por uma chamada telefônica em curso.

A figura 1 ilustra os estados de um órgão ou circuito ao longo do tempo.

Figura 1 - Estado de um órgão ou circuito ao longo do tempo

Ocupação de um órgão ou circuito: É a passagem do órgão ou circuito do estado de livre para o estado de ocupado.

Registro de ocupações de órgãos ou circuitos

Registro de ocupações individuais

É o método utilizado para registrar as ocupações de um grupo de órgãos ou circuitos através do registro das ocupações de cada órgão ou circuito individualmente.

A figura 2 ilustra as ocupações de um grupo de 5 circuitos através do registro de ocupações individuais.

Figura 2 - Registro de ocupações individuais

Registro de chamadas simultâneas

É o método utilizado para registrar as ocupações de um grupo de órgãos ou circuitos através do registro das ocupações que ocorrem simultaneamente.

A figura 3 ilustra os dados mostrados na figura 2 através do registro de ocupações simultâneas.

Tempo de ocupação – (ti)

É o tempo durante o qual uma chamada telefônica ocupa um órgão ou circuito da central.

Na figura 2, por exemplo, pode ser observado que a primeira chamada que utilizou o circuito 1 ocupou-o durante 7,5 minutos (t1= 7,5 min.).

Período de observação (T)

É o tempo durante o qual um órgão ou circuito, ou grupos de órgãos ou circuitos são supervisionados. No exemplo mostrado na figura 2 o grupo de circuitos foi supervisionado durante 60 minutos (T = 60 min ou 1 hora).

Volume de Tráfego [V]

É o somatório dos tempos de ocupação de um órgão ou circuito ou grupos de órgãos ou circuitos da central, durante o período de observação.

O volume de tráfego é calculado através da fórmula seguinte:

Onde: n = número total de ocupações

ti = tempo de ocupação de cada uma das ocupações

A unidade de volume de trafego é o "tempo", no entanto, para indicar que a mesma refere-se a "Tráfego Telefônico" é utilizada a unidade de tempo seguida da palavra "Erlang" (Erl).

Tempo médio de ocupação [

t

]

É a media aritmética dos tempos de ocupação de um órgão ou circuito, ou de um grupo de órgãos ou circuitos da central de comutação, durante o período de observação.

O tempo médio de ocupação pode ser calculado através da fórmula a seguir:

O tempo médio de ocupação pode também ser calculado através da relação entre o volume de tráfego (V) e o número total de ocupações (n) durante o período de observação, fórmula a seguir:

O tempo médio de ocupação é expresso em unidade de "tempo" por ocupação.

Intensidade de tráfego

A intensidade de tráfego é uma quantidade sem unidade. No entanto internacionalmente é expressa em "ERLANG", nome dado em homenagem ao dinamarquês A. K. ERLANG pelas suas notáveis contribuições à Teoria do Tráfego Telefônico.

Um Erlang representa um órgão ocupado durante todo o período de observação. A intensidade de tráfego representa:

a) O número médio de chamadas cursadas simultaneamente durante o período de observação; b) O numero médio de circuitos ocupados simultaneamente durante o período de observação.

Por exemplo, se um grupo de 20 circuitos cursarem, durante uma hora, um trafego de 10 Erlang, isto significa que em média foram cursadas 10 chamadas simultaneamente.

Intensidade de tráfego oferecido (A)

A intensidade de tráfego oferecido pode ser definida como sendo o número médio de chamadas originadas durante um período de observação igual ao tempo médio de duração das chamadas.

∑

=

=

+

+

+

+

=

n

i i

n

t

t

t

t

t

V

1 3

2

1

.

.

.

n

t

n

t

t

t

t

t

n

i i n

=

∑

=

+

+

+

+

=

1 2 3

.

.

.

1

A intensidade de tráfego oferecido não é mensurável. Seu valor é obtido através de estimativa.

Intensidade de tráfego cursado (A’)

A intensidade de tráfego cursado é definida como sendo o número médio de ocupações simultâneas ocorridas no período de observação.

A intensidade de tráfego cursado pode ser obtida através de medições. Pode também ser calculada através da relação entre o volume de tráfego (V) e o tempo de observação (T).

A intensidade de tráfego cursado pode também ser calculada pelo produto da taxa de chamadas (

λ

) pelo tempo médio de ocupação (

t

).

A’=

λ

.

t

Tipos de tráfego

Demanda de tráfego

Entende-se por demanda de tráfego a necessidade que um usuário tem em comunicar-se com outro. Figura 4.

A demanda de tráfego pode originar, ou não, uma chamada telefônica.

A simples necessidade que um usuário tem de comunicar-se com outro, já caracteriza a demanda de tráfego, independente de ele efetuar ou não a ligação.

Figura 4 - Visualização dos tipos de tráfego

Tráfego oferecido

É o trafego que se apresenta às entradas do sistema, da central ou dos estágios de comutação da central, resultando ou não numa ocupação. Figura 4.

Quando um usuário tira o fone do gancho para efetuar uma chamada, ele já está oferecendo um tráfego à central telefônica. Também quando uma chamada é dirigida de uma central para outra, na entrada da central de destino esse tráfego é oferecido. O tráfego oferecido é somente estimado. Ele não é mensurável.

Tráfego escoado (ou cursado)

Tráfego escoado, em relação a uma dada central, é a parte do tráfego oferecido que resulta em ocupações de órgãos ou circuitos dessa central, sendo por isso mensurável. Figura 2.4. Quando um órgão ou circuito está ocupado, ele está escoando tráfego.

Tráfego perdido

Em qualquer etapa do estabelecimento da ligação telefônica, o usuário poderá, por qualquer motivo, desistir de efetivá-la. A esta parcela de tráfego chamamos de tráfego perdido.

9 Tráfego terminado, em relação a uma dada central, é o tráfego resultante de chamadas que chegam a esta central, seja ele originado em outra central ou nela própria.

9 Tráfego de trânsito é o tráfego de passagem por centrais tandem, de trânsito e mesmo local. Tráfego de transbordo

É parte do tráfego oferecido, não cursado pela via direta, que é oferecido a via alternativa. Figuras 4 e 5.

Figura 5 - Vias direta e alternativa

É parte do tráfego oferecido, não cursado pela via direta, e parte da

T

diferença entre escoado e conversação que volta a ser oferecido. Figura 4 (Tráfego artificial).

Tráfego de conversação

É a parcela do tráfego escoado que resultou em conversação telefônica. Figura 4.

Outras denominações de tráfego telefônico

Quanto à direção

9 Tráfego de entrada;

9 Tráfego de saída. Quanto às áreas envolvidas

9 Tráfego local: A chamada é originada e terminada no mesmo município.

9 Tráfego interurbano. Envolve chamadas entre municípios.

9 Tráfego internacional. Envolve chamadas entre países (nações). Quanto à procedência / destino

9 Tráfego originado, em relação a uma dada central, é o tráfego que resulta de chamadas que se iniciam nesta central e partem para a própria ou para outras centrais.

Congestionamento

É o estado do sistema telefônico caracterizado pela ocupação de todos os meios de ligação. O congestionamento pode ser considerado sob dois aspectos distintos, definidos a seguir:

Congestionamento em chamadas (B)

Congestionamento em chamada é o percentual de chamadas que encontram todos os meios de ligação ocupados.

O congestionamento em chamada ê calculado através da fórmula 7

Onde:

p = Numero de tentativas de chamadas que encontrara todos os meios de ligação ocupados; N = Numero total de tentativas de chamadas, tanto as bem quanto as mal sucedidas.

Congestionamento em tempo (E)

É a proporção do tempo, em relação ao período de observação, em que todos os órgãos ou circuitos permanecem ocupados simultaneamente.

O congestionamento em tempo é calculado através da fórmula;

Onde:

t = Somatório dos períodos em que todos os órgãos ou circuitos se encontram ocupados. T = Tempo de observação.

Comportamento do assinante

Quando um assinante do sistema telefônico tenta estabelecer uma ligação (chamada telefônica) com outro assinante, podem ocorrer um dos seguintes eventos:

a) a ligação se completar (resultar em conversação); b) o assinante chamado não responder;

c) a linha chamada estar ocupada;

d) a chamada encontrar uma situação de congestionamento;

N

p

B

=

e) falha no sistema telefônico; f) erro do assinante chamador.

Os 5 últimos casos, além de impedirem que a chamada seja completada, conduzem o assinante chamador a optar por uma das seguintes alternativas:

a) permanece no sistema (repete a chamada sucessivas vezes); b) sai do sistema (abandona a chamada).

A figura 6 a seguir, ilustra os eventos possíveis para cada tentativa de chamada.

Figura 6 - Diagrama de eventos possíveis para cada tentativa de chamada telefônica.

Como pode ser facilmente observado na figura 6, as tentativas repetidas representam um acréscimo de tráfego oferecido ao Sistema Telefônico e, como conseqüência, um aumento da possibilidade de congestionamento, o que finalmente causa um aumento do número de chamadas perdidas.

Variações do tráfego telefônico

O tráfego telefônico varia de um período para outro, de maneira não uniforme, de acordo com as necessidades dos usuários. As variações ocorrem de estação para estação, de mês para mês, de dia para dia, de hora para hora, etc.

As causas dessas variações são várias, dentre as quais podemos ressaltar as seguintes:

a) Atividades periódicas em determinadas regiões ou localidades;

b) Feriados ou dias festivos, tais como: Natal, Ano Novo, Dia das Mães, etc; c) O fato do horário ser comercial ou não;

d) O comportamento do usuário.

As principais variações do tráfego telefônico serão descritas na seqüência.

Variações sazonais

Na maioria das localidades ou regiões, o período que apresenta mais alto tráfego ocorre em determinada estação do ano.

A figura 7 mostra uma variação típica do número de chamadas locais originadas durante a hora de mais alto tráfego a cada semana do ano. Neste exemplo, a estação de mais alto tráfego se estende de outubro a dezembro.

Figura 7 - Variação do número de chamadas locais originadas na HMM a cada semana do ano.

A estação de mais alto trafego é diferente para diferentes regiões ou localidades, variando em grandeza e duração. Esta variação, normalmente, depende das atividades econômicas desenvolvidas na região (agricultura, indústrias sazonais, turismo, etc.).

As variações sazonais, para uma mesma central ou área, geralmente apresentam o mesmo modelo de ano para ano.

Variações durante o dia

Para uma central que atende uma área tipicamente comercial, ocorrem, normalmente, dois picos de trafego, um no período da manhã, de maior valor e outro no período da tarde. No caso da área ser tipicamente residencial, ocorre um terceiro pico no período noturno. Em ambos os casos,o tráfego apresenta durante a madrugada, valores inexpressivos.

A figura 8 mostra a variação do tráfego total de 100 terminais residenciais, 100 terminais comerciais e 100 terminais troncos de CPCT, todos pertencentes a uma mesma central.

Na figura podem ser observados claramente os picos de tráfego que ocorrem durante o dia, para cada uma das classes de terminais.

Figura 8 - Variação do tráfego durante o dia.

Hora de maior movimento – (HMM)

Conforme foi mostrado anteriormente, o tráfego telefônico varia durante o dia, apresentando variações que vão de períodos de tráfego desprezível a períodos de alto tráfego.

A hora de maior movimento - HMM é definida como sendo o período de 60 minutos consecutivos durante o qual o tráfego é máximo.

A HMM no Brasil ocorre, normalmente, dentro do período de 09:00 às 11:00 horas. No entanto, isto não é a regra geral, já que pode ocorrer também a tarde e até a noite, dependendo das características de cada área específica.

No exemplo ilustrado na figura 8, a HMM do grupo de terminais comerciais corresponde ao período de 10:00 às 11:00 horas; residenciais, corresponde ao período de 20:00 às 21:00 horas.

Como o tráfego varia de dia para dia, é fácil concluir-se que existe praticamente uma HMM para cada dia do ano, não necessariamente coincidentes. Isto conduz a que seja utilizada na prática uma HMM média.

Para determinação da HMM, são efetuadas medições de tráfego durante 5 dias úteis consecutivos, com leituras a cada 15 minutos. Em seguida, é calculado o tráfego médio para cada hora sucessiva, a intervalos de 15 minutos. A hora à qual corresponder o tráfego máximo ê a HMM.

Variações com os dias da semana

O tráfego apresenta variações com os dias da semana. Geralmente ocorre um pico na segunda-feira, decrescendo, normalmente, até quarta-feira, quando começa a crescer, atingindo um outro pico na sexta-feira. Aos sábados e domingos o tráfego apresenta valores muito abaixo dos demais dias.

A figura 9 mostra a variação típica do tráfego originado na HMM de uma central local durante uma semana.

Figura 9 - Variação do numero de chamadas originadas na HMM em uma central local.

Variações durante uma hora

A figura 10 mostra a variação do trafego telefônico durante um período de uma hora. Este gráfico não representa uma variação típica do trafego para uma outra hora qualquer. Um gráfico similar para outra hora será bastante diferente, tendo em comum, apenas a irregularidade da distribuição do tráfego. Neste caso, nenhuma previsão pode ser feita sobre o tráfego em um dado instante ou para pequenos períodos de tempo. A figura 10 mostra a flutuação do número de chamadas durante o período de uma hora, em rota de 30 troncos.

durante o período de uma hora.

Variação da taxa de chamadas

Uma importante fonte da variação do tráfego telefônico éa variação da taxa de chamadas por assinante. Alguns assinantes utilizam mais o telefone que outros. Normalmente, assinantes comerciais originam mais chamadas que assinantes residenciais, como pode ser observado na figura 8. No entanto, entre assinantes de mesma classe também ocorrem grandes variações da taxa de chamadas.

Figura 11 -Variação da taxa de chamadas

A figura 11 mostra a variação da taxa de chamadas de 40 assinantes de classe comercial. Pode ser observado que o assinante de mais alto tráfego tem uma taxa de chamadas em torno de 70 vezes a taxa do assinante de mais baixo tráfego.

Variação da duração das chamadas

Outra importante fonte de variação do tráfego telefônico é a variação do tempo de duração das chamadas. A duração das chamadas ê constituída pelos seguintes intervalos de tempo:

a) Tempo de discagem; b) Tempo de processamento; c) Tempo de conversação; d) Tempo de desconexão.

Muitos fatores podem influenciar na duração das chamadas, tais como a hora em que são realizadas, o tipo de conversação, o resultado da chamada, o comportamento do assinante, o desempenho do sistema, etc.

A figura 12 ilustra o resultado de uma medição efetuada em um grupo de circuitos de uma rota. No gráfico esta plotado o tempo médio de duração das chamadas, por período de 15 minutos. Pode ser observado que as chamadas realizadas no período noturno, entre 19:00 e 22:00 horas, são as que apresentam tempo médio de duração mais elevado. Esta variação da duração das chamadas durante o dia é típica de centrais que atendem área residencial ou mista.

Figura 12 - Variação da duração das chamadas durante um dia útil

Quanto ao tipo das chamadas sabe-se que as chamadas interurbanas apresentam tempo médio de duração mais elevado que as chamadas locais.

Estudos estatísticos indicam que a distribuição da duração das chamadas apresenta a característica de uma distribuição exponencial, conforme mostrado na figura 13 a seguir.

Figura 13 - Distribuição do tempo médio de duração das chamadas.

Fator de concentração

Grau de serviço

Definição: Grau de serviço é a proporção de chamadas mal sucedidas em relação ao n´mero total de chamadas oferecidas.

Sistemas de perda com acessibilidade plena

Quando da elaboração da Teoria de Tráfego Telefônico, evidenciou-se a necessidade de tratar cada situação real através de modelos diferenciados em função de certos requisitos, tomados como base, tais como na figura 14.

Forma de processamento

De acordo com a maneira pela qual um sistema de comutação processa as demandas de ligações, caso ocorram bloqueios, distinguem-se as redes que operam como sistema de perda, daquelas que operam

como sistema de espera. Entende-se por bloqueio a situação em que é impossível o estabelecimento de

uma nova ligação, por estarem ocupadas todas as linhas do feixe de salda, ou então por não se poder estabelecer nenhuma ligação na rede de comutação até um tronco se tornar livre do grupo de troncos de salda em questão.

Em um "sistema de perda” uma chamada oferecida será rejeitada, quando a ligação desejada não pode ser estabelecida imediatamente, devido a um bloqueio. O assinante que chama, recebe então o toque ou sinal de ocupado.

Num "sistema de espera", por outro lado, uma chamada oferecida, que não pode ser processada imediatamente por causa de um bloqueio, aguardará até que a conexão possa ser completada.

Entretanto existem também sistemas de processamento misto quando, por exemplo, o tempo de espera é limitado, ou quando se limita a quantidade de chamadas de espera simultâneas.

No presente texto trataremos apenas de sistemas puros.

Nos sistemas de perda puros, as chamadas oferecidas para as quais não se pode estabelecer nenhuma ligação, desaparecem no sistema sem maiores conseqüências e não exercem carga alguma sobre o grupo de troncos de saída. Em um sistema de espera puro serão processadas todas as chamadas oferecidas, sempre que a intensidade do trafego oferecido (oferta) seja menor do que a quantidade de troncos de salda.

Todas as chamadas que precisam esperar, aguardam até o momento em que possam ser processadas; não ocorre também nenhuma perda.

Tempo pe ocupação

Como já foi citado, estudos estatísticos indicam que a distribuição da duração das chamadas apresenta grande aproximação com a distribuição exponencial, e portanto aceita-se este tipo de distribuição nos casos em que a duração das chamadas for determinada essencialmente pelo comportamento do assinante, por exemplo nos equipamentos de comutação ligados em série com as vias de conversação. No caso de Sistemas de Espera são introduzidos também dados para tempo de ocupação constante.

Quantidade de fontes de tráfego

A

a

A

A

F

horas HMM

c

=

=

24

oferecidas

totais

chamadas

perdidas

chamadas

As variações aleatórias de quantidade do número de troncos de um grupo ocupado simultaneamente depende, entre outros fatores, da quantidade de fontes de tráfego .(assinantes) que origina o trafego oferecido.

Assim, por exemplo, um tráfego com a intensidade de 5 Erl terá oscilações diferentes se produzido por 10 assinantes (fontes de tráfego) com tráfego intenso ou de 100 assinantes (fontes de tráfego) com tráfego normal. No primeiro caso, não poderá ser ofertada nenhuma nova chamada, quando já existirem 10 chamadas; o tráfego oferecido pode ser atendido por 10 troncos de saída, sem bloqueio (sem perda ou sem tempos de espera). No segundo caso, quando já temos 10 troncos, existem ainda 90 fontes de tráfego livres que podem oferecer novas chamadas. Por conseguinte, para somente 10 troncos de saída devem-se esperar perdas e tempos de espera.

Neste texto, a maior parte dos dados para sistemas de perda e todos os dados para sistemas de espera, se referem a um tráfego produzido por um número infinito de fontes de tráfego. Embora na pratica não seja satisfeita a condição de um numero infinito de fontes de tráfego, o seu número ou o de troncos de entrada, em relação ao número de troncos de saída de um grupo, ê tão grande que se pode partir das.condições citadas sem grande prejuízo de exatidão.

Acessibilidade

Como já foi citada, plena e restrita.

Seqüência de processamento

Nos sistemas de espera é fundamental conhecer-se como será o atendimento da fila de chamadas em espera, de modo ordenado, isto é, a primeira chamada a ficar em espera ê a primeira a ser atendida, ou de modo aleatório, onde qualquer chamada em espera tem a mesma chance de ser atendida, independente de quanto tempo ela já esteja esperando.

As centrais telefônicas são planejadas de tal modo que as chamadas realizadas pelo assinante têm boa probabilidade de sucesso, mesmo nos períodos de tráfego telefônico mais intenso, ou seja, nas chamadas horas de maior movimento. A quantidade de troncos e equipamentos de comutação, necessários para o fluxo do tráfego telefônico, será por isso dimensionada normalmente de tal modo que, durante as horas de maior movimento, somente uma porcentagem muito pequena (em geral previamente estabelecida) de ligações solicitadas não possa ser estabelecida, pelo menos não imediatamente, por falta de equipamentos de comutação, ou seja, ligações que se perdem ou que precisam esperar.

A solução teórica de tais tarefas de dimensionamento pertencem ao setor de teoria de tráfego, seguindo um método desenvolvido por A. K. Erlang. Entretanto, na elaboração de projetos práticos e na equação de problemas de engenharia de tráfego relacionados com o planejamento e desenvolvimento de sistemas telefônicos, ê imprescindível dispor de tabelas de projeto que forneçam informações imediatas sobre a quantidade de equipamentos de comutação e de troncos necessários em cada caso, as quais serão apresentadas e exploradas no decorrer das três próximas Unidades.

Modelos

Um sistema de perdas é caracterizado pelo fato das chamadas bloqueadas por falta de circuitos, abandonarem definitivamente o sistema.

Os modelos mais utilizados para este tipo de sistemas são:

a) Bernoulli; b) Engset; c) Erlang d) Poisson;

e) Binominal Negativa;

f) Binominal Negativa Truncada.

A seguir serão abordados os modelos de Engset e Erlang.

Modelo de Engeset

Hipóteses

Este modelo se baseia nas seguintes hipóteses:

a) O sistema possui finitas fontes de tráfego (F) e finitos meios ou circuitos (N). Existem mais fontes que circuitos, ou seja, F > N.

Figura 2 - Sistema com F fontes e N circuitos.

b) A taxa de chegada (aparecimento) de chamadas (

λ

) é proporcional ao número de fontes livres, e é expressa em chamadas por segundo.

Onde:

j = número de fontes ocupadas F = número de fontes

a = taxa de chegada de chamadas por fonte livre

c) A taxa de término (desaparecimento) de chamadas (

µ

) e proporcional ao número de circuitos ocupados.

onde:

t = tempo médio de ocupação das chamadas

d) As fontes de tráfego geram chamadas independentes entre si e do estado de ocupação dos circuitos. e) Os intervalos entre chamadas sucessivas e os tempos de ocupação dos circuitos têm distribuição

exponencial.

f) Os tempos de ocupação dos circuitos são independentes entre si.

Tabelas de modelos de tráfego

Neste curso será utilizado o livro "Teoria do Tráfego Telefônico – Tabelas e Gráficos” e - Volume 1 -

Siemens A.G. Doravante o mesmo será tratado por LIVRO, para maior facilidade.

Tabelas referentes ao modelo de Engset

Nas tabelas referentes ao modelo de sistemas de perdas e acessibilidade plena de Engset, observa-se nas tabelas que:

NÆ representa o número de circuitos

a

j

F

)

(

−

=

λ

t

j

j

=

MÆ representa o número de fontes (F)

BÆ representa o congestionamento em chamadas (ou perda) AÆ representa o tráfego oferecido (Erl.)

Modelo de Erlang

Este modelo se baseia nas seguintes hipóteses:

a) O sistema possui infinitas fontes de tráfego (F) e finitos meios ou circuitos (N).

Figura 16 -Sistema com infinitas fontes e N circuitos

b) A taxa de chegada (aparecimento) de chamadas (

λ

) é constante.

c) A taxa de término (desaparecimento) de chamada (

µ

) é proporcional ao número de circuitos ocupados.

onde: t tempo médio de ocupação das chamadas.

d) As fontes de tráfego geram chamadas independentes entre si e do estado de ocupação dos circuitos. e) Os intervalos entre chamadas sucessivas e os tempos de ocupação dos circuitos têm distribuição

exponencial.

f) Os tempos de ocupação dos circuitos são independentes entre si.

Formulas de aplicação

Ao aplicarmos o modelo de Erlang para sistemas de perda e acessibilidade plena utilizamos as seguintes formulas:

9 Congestionamento em tempo. E (N,A).

A representação E (N.A.), que constantemente será usada, representa o valor da perda E com índices, N

troncos e A Erlang.

Onde:

N = numero de circuitos A = tráfego oferecido

9 Congestionamento em chamadas ( B ). B=E (N,A)

9 Tráfego oferecido ( A )

Onde:

λ

= taxa de chegada de chamada

t

= tempo médio de ocupação de circuitos

9 Tráfego cursado ( A’).

λ

λ

j

=

t

j

j

=

µ

∑

=

=

_N

i

N N

N

A

N

A

A

N

E

0

!

!

)

,

(

A' = A - AB = A (1 - B) = A [1 - E (N,A)]

9 Trafego rejeitado (M). M = A - A' = AB = A.E (N.A)

9 Tráfego cursado no "j-ésimo" circuito (aj)

O tráfego no j-ésimo canal ou tronco de saída é definido de acordo com o tipo de seleção do tronco de saída, que pode ser aleatório ou seqüencial.

No caso de seleção aleatória todos os troncos têm a mesma chance de serem ocupados e o tráfego no j-ésimo tronco é igual para todos os troncos e ê a razão do tráfego cursado pelo número de troncos de saída.

Na seleção seqüenciala chance de um tronco de saída ser ocupado é decrescente no sentido do primeiro para o último tronco de saída.

O tráfego no j-êsimo tronco de saída, em seleção seqüencial é definido como sendo a diferença entre os tráfegos rejeitados pelo (j - 1)-ésimo e j-ésimo troncos de saída.

A figura 17 ilustra o caso.

Figura 17 - Carga no j-ésimo tronco de saída na seleção seqüencial

9 Fator de melhoria F (N,A).

O fator de melhoria é definido pelo acréscimo do trafego cursado quando se adiciona um circuito ao sistema.

F (N,A) = A' (N+1)-A’(N)=A.(1-E(N+1,A) )-A.(1-E(N,A) )

F(N,A)=A[E.(N,A)-E(N+1,A)]

Observe que o fator de melhoria F(N,A), é a carga no (N+1)-ésimo circuito.

Tabelas

Tabelas referentes ao modelo de Erlang (Livro da Siemens AG).

As tabelas referentes ao modelo de Erlang para sistemas de perdas e acessibilidade plena estão contidas no livro, e observa-se nas tabelas que:

NÆ representa o número de circuitos;

BÆ representa o congestionamento em chamadas (de 0,01% a 50%); AÆ representa o tráfego oferecido (erl).

Tabelas referentes ao modelo de erlang (com maior precisão de perda)

Para a proporção de chamadas perdidas em um grupo de acessibilidade plena, contendo "N" circuitos e dispostos tal que qualquer chamada não encontrando uma saída é perdida, o matemático dinamarquês A. K.. Erlang deu a seguinte expressão:

N

A

N

E

A

N

A

a

_j

=

'

=

.[

1

−

(

,

)]

)]

,

(

)

,

1

(

.[

E

j

A

j

A

A

Onde:

A é a intensidade do tráfego telefônico oferecido, expresso em Erlang.

Esta fórmula é de utilização freqüente na estimativa do número de circuitos necessários nas instalações telefônicas. Ela é utilizada não somente para grupos do tipo apresentado acima, mas também em grande parte como uma base para a estimativa das condições de tráfego em grupos paria os quais a acessibilidade é restrita. A relação entre o número de circuitos "N", o fluxo de tráfego A e a quantidade E(N,A) como foi apresentada, envolve muito trabalho quanto aos cálculos numéricos e, conseqüentemente, são necessários tabelas e diagramas.

Formula de recorrência para E(N,A).

Em sua forma original, a fórmula de perda de Erlang não é conveniente para cálculos. Entretanto, as seguintes podem ser deduzidas:

Apresentação da tabela de Erlang com maior precisão.

Como a relação entre A,N e E(N,A) compreende três variáveis, uma tabela desta relação pode ser disposta em diferentes modos dependendo de qual variável deve ser escolhida como dominante. Uma vez que será necessário interpolar valores intermediários de A, mas nunca frações de N, a tabela será apresentada com A na condição de argumento dominante. Foram calculados os valores de E(N,A) com precisão de 5 casas decimais precisas e 1 casa decimal aproximada para 263 valores de A. Os valores de A da tabela foram selecionados para permitir interpolação linear em E(N,A) com precisão, para a maior parte da tabela até a quinta casa decimal. Como todos os valores de E(N,A) são numericamente menores do que a unidade, somente os decimais serão dados na tabela.

Assim 004763 significa 0,004763. Além disso, quando o último número for 5 e obtido por aproximação, o símbolo

5

ou 5* é utilizado.

Sistema de perdas e acessibilidade limitada

O modelo a ser apresentado nesta unidade considera que o sistema seja de perdas puro, ou seja, uma chamada telefônica é rejeitada quando não há circuitos livres, não causando efeitos posteriores ao sistema.

As seguintes hipóteses básicas são consideradas:

a) O sistema possui infinitas fontes de tráfego e finitos troncos de saída (N); b) A taxa de chegada de chamadas (

λ

) é constante;

c) A taxa de término de chamadas é proporcional ao número de troncos (circuitos) ocupados;

d) As infinitas fontes de tráfego geram chamadas independentes entre si e do estado de ocupação dos troncos;

e) Os intervalos de tempo entre chamadas sucessivas e os tempos de ocupação dos troncos têm distribuição exponencial;

f) Os tempos de ocupação dos troncos são independentes entre si.

Para se formular um modelo matemático para estes sistemas, tornou-se necessário imaginar um tráfego (fictício) "Ao", que ao ser oferecido a um sistema com os mesmos "N" troncos, cursasse um tráfego "A", se o sistema tivesse acessibilidade plena.

Figura 18 - Diagrama de equivalência dos sistemas de acessibilidade plena e limitada.

!

...

!

2

!

1

1

!

)

,

(

₂

N

A

A

A

N

A

A

N

E

_N

N

+

+

+

+

=

)

,

1

(

.

)

,

1

(

.

)

,

(

A

N

E

A

N

A

N

E

A

A

N

E

−

+

Feito isto, a seguinte fórmula pode ser elaborada:

A (1-B) = Ao [1-E(N,Ao)]

Onde:

Esta fórmula é denominada "Formula modificada de Palm Jacobaeus - MPJ" e é resultante de simulações e

não de um modelo analítico.

No caso de K=N, a fórmula MPJ se transforma na fórmula de perda de Erlang, para sistemas com acessibilidade plena, ou seja:

A[1-E(N,Ao)]=Ao [1- E(N,Ao)]

A = Ao

A resolução da fórmula MPJ para K N é feita utilizando-se processo iterativo, o que na prática requer

≠

muito trabalho.

Foi elaborada então uma tabela, sob a hipótese de que os troncos de entrada selecionem seqüencialmente os troncos de saída e que o tipo de graduação é a Graduação Padrão Simplificada.

Sistemas com espera e acessibilidade plena

Um sistema de espera é caracterizado pelo fato das chamadas bloqueadas poderem esperar e serem cursadas posteriormente quando um órgão se torna livre.

Para um tratamento completo de um sistema de espera é necessário definir a maneira pela qual a próxima chamada a ser ocupada é selecionada na fila de espera.

Pode-se destacar três métodos:

a) Atendimento ordenado: a primeira a chegar é a primeira a cursar.

b) Atendimento aleatório: todas as chamadas em espera têm a mesma probabilidade de serem a

primeira a cursar.

c) Atendimento prioritário: todas as chamadas em espera têm prioridades diferentes. A de maior

prioridade é a primeira a cursar.

Estes métodos influenciam na distribuição do tempo de espera mas não influenciam no tempo médio de espera.

Modelo de tráfego

Dos modelos clássicos para sistemas de espera, vamos abordar o de ERLANG, devido a sua importância. Este modelo parte de algumas hipóteses básicas, que são:

]

,

[(

)

,

(

0 0

A

K

N

E

A

N

E

B

−

=

)

,

(

)

,

0

(

)

,

(

0 0 0

A

N

E

A

E

A

n

E

B

=

=

a) O sistema possui infinitas fontes geradoras de trafego e "N" troncos para cursar as chamadas; b) A taxa de chegada das chamadas é constante (

λ

);

c) O tráfego oferecido é igual a (A =

λ

t

); d) Nenhuma chamada desiste de esperar; e) Atendimento aleatório;

f) A < N.

Portanto, tem-se:

Congestionamento de tempo – (E)

Onde:

D (N,A) = Probabilidade de haver demora para se cursar a chamada,

E (N,A) = Probabilidade de perda de chamadas se o sistema fosse de perdas. N = Número de troncos ou meios.

A = Tráfego oferecido.

Congestionamento em chamada – (B)

PENSE: No caso de apenas 1 meio (N=1), o tráfego cursado é igual a probabilidade do circuito estar ocupado.

Tráfego Cursado (A').

A’ = A

No caso de haver desistência na fila, A’=A(1-Bde), é a proporção de chamadas desistentes.

Tráfego Oferecido (A).

Onde:

λ

= Taxa de chegada de chamadas.

t

= Tempo médio de duração das chamadas,

Número médio de chamadas em espera (Q)

Probabilidade de haver espera (P(>0)

Probabilidade de “X” troncos estarem ocupados (Hx ou P(>0))

Neste caso, A<N e a seleção aleatória.

))

,

(

1

(

)

,

(

.

)

,

(

A

N

E

A

N

A

N

E

N

A

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D

E

−

−

=

=

t

A

=

λ

.

)

,

(

.

)

,

(

.

)

,

(

A

N

E

A

A

N

A

N

A

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A

N

D

E

B

+

−

=

=

=

)

,

(

.

D

N

A

Carga no tronco j(aj)

ÆPara seleção aleatória Se o atendimento for seqüencial, então:

Onde:

Obs.: Considera-se a seguir que os tempos de ocupação dos órgãos têm distribuição exponencial.

Tempo médio de espera das chamadas que esperam (tw)

Tempo médio de espera de todas as chamadas (

t

_w )

Probabilidade de esperar um tempo qualquer (t)

Dimensionamento de entroncamentos

Entroncamento

O entroncamento de uma central é o conjunto de rotas que a interliga a outras centrais.

Rota direta

É o grupo de troncos que interliga duas centrais de comutação (Pública, Trânsito, Tandem ou Privada).

Rota alternativa

É a rota utilizada para cursar chamadas originalmente dirigidas a uma rota direta, mas que encontraram todos os troncos ocupados naquela rota. O tráfego rejeitado em uma rota direta é denominado Tráfego de transbordo, sempre que é oferecido a uma rota alternativa.

Rota de alto uso

É a rota direta dimensionada para alto congestionamento. O tráfego rejeitado nesta rota direta é encaminhado a uma ou mais rotas alternativas.

Rota final

É o conjunto de rotas diretas ou alternativas que interliga duas centrais de comutação, seguindo a seqüência hierárquica de centrais.

A rota final é dimensionada para baixos valores de congestionamento (baixa perda de trafego).

Encaminhamento

O encaminhamento é a regra que especifica qual caminho o tráfego dirigido a um certo equipamento deve tomar para alcançar seu destino.

)

0

(

>

⋅

−

=

P

A

n

t

t

m

w

A

N

t

P

t

t

w m m

−

=

>

=

)

0

(

m t

t A n

e

P

t

P

) (

)

0

(

)

(

− −

⋅

>

=

>

N

A

a

_j

=

)

,

(

.

).

1

(

D

N

A

A

N

b

b

a

j

=

j

+

−

j

)]

,

(

)

,

1

(

[

E

j

A

E

j

A

A

O encaminhamento alternativo é um arranjo pelo qual parte do tráfego dirigido a um equipamento é encaminhado através de outra rota

Um caso bem simples é ilustrado na figura – 19, a seguir:

Observe que uma chamada, originada na Central A,pode percorrer 2 caminhos:

Figura – 19

A-B: Rota Direta A-T-B: Rota Alternativa

Neste sistema as rotas AB, AT e TB são rotas diretas.

Representação gráfica

Para melhor visualização de um sistema, os seguintes critérios são utilizados na representação das redes com rotas alternativas:

a) As Centrais são representadas por círculos;

b) As rotas unidirecionais são representadas por setas unidirecionais; c) As rotas bidirecionais são representadas por setas bidirecionais; d) As rotas alternativas são indicadas pela ponta de uma seta curva; e) As rotas diretas são indicadas pelo início de uma seta curva.

A figura – 20 a seguir ilustra os critérios:

Rotas alternativas: ABC, BAC, CBA.

Características do tráfego de transbordo

Quando um tráfego oferecido tem características determinadas pelo comportamento do usuário recebe o nome de poissoniano (teoria de Poisson) e duas dessas características, a m´dia e a variância, apresentam valores iguais, o que já não ocorre a um tráfego bloqueado por falta de circuitos (ou troncos) numa rota direta (tráfego de Transbordo), por não ter o mesmo comportamento do tráfego poissoniano.

A variância podemos determinar como sendo a variação do tráfego oferecido segundo o comportamento do assinante – figura 21 e 22.

A média representa o tráfego rejeitado na rota direta que será oferecido a rota alternativa - figura 21 e 22.

A figura 21 ilustra o número de circuitos simultaneamente ocupados em uma rota com 16 troncos a qual foi oferecido um tráfego poissoniano. Se este número de circuitos fosse reduzido a 12 e se oferecesse o tráfego de transbordo a um segundo grupo, teríamos neste, a distribuição de circuitos simultaneamente ocupados mostrado, na figura 22.

Figura 21- Número de circuitos simultaneamente ocupados em uma rota de 16 circuitos a qual é oferecido um tráfego poissoniano.

R. I. Wilkinson formulou a Teoria do Equivalente Aleatório, que nos fornece um modelo matemático, partindo das seguintes hipóteses básicas:

a) Uma chamada só é oferecida à rota alternativa se todos os troncos da rota direta estiverem ocupados;

b) Todas as rotas têm acessibilidade plena;

c) O tráfego oferecido àta direta é poissoniano (média = variância); d) Os tempos de ocupação têm distribuição exponencial;

e) O sistema está em equilíbrio estatístico.

Cálculo do tráfego de transbordo simples.

Sabemos que o tráfego de transbordo tem uma média (M) e uma variância (V). Wilkinson obteve as seguintes equações:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

+

+

−

=

=

M

A

N

A

M

M

V

A

N

E

A

M

1

1

.

)

,

(

.

Observe o diagrama:

A central "A" oferece um tráfego (A) à central "B", acarretando um tráfego de transbordo com média (M) e variância (V).

O dimensionamento de troncos de uma rota alternativa não segue os mesmos procedimentos de dimensionamento de troncos de uma rota direta. Neste caso o trajeto oferecido a rota alternativa será em função da variação do tráfego oferecido e rejeitado na rota direta, como será tratado nesta unidade. (A - equivalente).

Para calcular o nº de troncos da rota alternativa e os congestionamentos médios totais (B1) e do grupo comum (B2) podemos reduzir o gráfico a um modo mais simples, como abaixo:

Fórmulas para cálculo de:

O modelo acima é denominado "Grupo Equivalente".

De posse do diagrama reduzido, podemos ainda calcular:

Congestionamento

Congestionamento médio total (B1)

É a porcentagem de todo o tráfego oferecido que foi perdida por falta de troncos na rota final.

Onde:

1

1

1

.

3

...

...

1 3 2 1 3 2 1

−

−

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₊

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

M

M

V

M

M

V

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A

N

M

V

M

V

V

A

V

V

V

V

V

V

M

M

M

M

M

M

R N R N D

A

A

N

N

E

A

B

.

(

1 2

,

)

1

N1 = Número de troncos na rota direta N2 = Número de troncos na rota alternativa A = Tráfego equivalente oferecido

AD=Tráfego oferecido à rota direta

Congestionamento de grupo comum (B2)

É a porcentagem do tráfego de transbordo que foi perdida por falta de circuitos na rota alternativa.

Onde:

M = Média do tráfego de transbordo

Tráfego Perdido (A’)

É o tráfego perdido no sistema por falta de troncos na rota final.

A’=B2.M=A.E(N1+N2,A)

M

A

N

N

E

A

B

.

(

1 2

,

)

2