Esquema Fatorial. Lucas Santana da Cunha 14 de setembro de 2019 Londrina

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Esquema Fatorial Experimentos Fatoriais com Dois Fatores Exerc´ıcios

Esquema Fatorial

Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha

14 de setembro de 2019 Londrina

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Introdu¸c˜ao

Vantagens e Desvantagens

Introdu¸ c˜ ao

Nos experimentos mais simples comparamos n´ıveis (tratamentos) de apenas um fator;

ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse;

Em geral, os experimentos fatoriais s˜ao mais eficientes para este tipo de experimento, pois estudam, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais fatores, cada um deles com dois ou mais n´ıveis.

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Introdu¸c˜ao

Introdu¸ c˜ ao

Entretanto, existem casos em quedois ou mais fatoresdevem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse;

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Introdu¸ c˜ ao

Entretanto, existem casos em quedois ou mais fatoresdevem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse;

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Introdu¸c˜ao

O fatorial ´e um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e n˜ao um tipo de delineamento;

Os experimentos fatoriais s˜ao montados segundo um tipo de delineamento experimental;

Nos experimentos fatoriais, os tratamentos s˜ao obtidos pelas combina¸c˜oes dos n´ıveis dos fatores.

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Introdu¸c˜ao

combina¸c˜oes dos n´ıveis dos fatores.

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Introdu¸c˜ao

Nos experimentos fatoriais, os tratamentos s˜ao obtidos pelas combina¸c˜oes dos n´ıveis dos fatores.

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Exemplo 1

Num experimento fatorial pode-se combinar 2 doses de um antibi´oticocom 2diferentes n´ıveis de vitamina B12.

Neste caso tem-se um fatorial 2×2, com os fatores Antibi´oticos (A) e Vitamina (V), que ocorrem em 2 n´ıveis (A1 e A2) e 2 n´ıveis (V₁,V₂), respectivamente, e os 2×2 = 4 tratamentosseriam:

A1V1 A1V2 A2V1 A2V2.

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Introdu¸c˜ao

Exemplo 2

Num experimento fatorial pode-se combinar3doses de uma droga com2 idades distintas.

Neste caso tem-se um fatorial 3×2 pode-se combinar 3 Doses de uma droga (D₁, D₂ e D₃), 2 Idades (I₁ e I₂) e tem-se 3×2 = 6 tratamentos, que seriam:

D1I1 D1I2

D₂I₁ D₂I₂ D₃I₁ D₃I₂

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Exemplo 3

Num experimento fatorial pode-se combinar 3 variedades, 2 aduba¸c˜oes e 2 ´epocas de plantio.

Neste caso tem-se um fatorial 3×2×2 pode-se combinar 3 variedades (V₁,V₂ e V₃), 2 Aduba¸c˜oes (A₁ e A₂) e 2 ´epocas de plantio (E₁ e E2) e tem-se 3×2×2 = 12 tratamentos, que seriam:

V1A1E1 V1A1E2 V1A2E1 V1A2E2

V2A1E1 V2A1E2 V2A1E1 V2A2E2

V₃A₁E₁ V₃A₁E₂ V₃A₂E₁ V₃A₂E₂

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Introdu¸c˜ao

Efeitos avaliados

Efeito Principal: ´e o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores;

Efeito de Intera¸cão: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. Dizemos que ocorre intera¸cão entre os fatores quando os efeitos dos n´ıveis de um fator são modificados pelos n´ıveis do outro fator.

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Efeitos avaliados

Efeito Principal: ´e o efeito de cada fator, independente do efeito dos outros fatores;

Efeito de Intera¸cão: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. Dizemos que ocorre intera¸cão entre os fatores quando os efeitos dos n´ıveis de um fator são modificados pelos n´ıveis do outro fator.

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Introdu¸c˜ao

Exemplo 4

Consideremos um experimento fatorial 2×2, com os fatores, An- tibi´otico (H) e Vitamina B12 (V) nos n´ıveis:

H₁ (sem antibi´otico) eH₂ (com antibi´otico);

V₁ (sem vitamina B12) eV₂ (com vitamina B12),

adicionados a uma dieta b´asica. Suponha os seguintes resultados de ganho m´edio de peso, em kg, para os 2×2 = 4 tratamentos:

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Sem ind´ıcios de intera¸ c˜ ao entre os fatores

Fator H Fator B – Vitamina B12

Totais Dose do antibi´otico V1 V2

H1 20 40 60

H2 30 52 82

Totais 50 92 142

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Introdu¸c˜ao

Com ind´ıcios de intera¸ c˜ ao entre os fatores

Fator H Fator B – Vitamina B12

Totais Dose do antibi´otico V1 V2

H1 20 50 70

H2 40 10 50

Totais 60 60 120

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Vantagens

As principaisvantagensdos experimentos fatoriais em rela¸c˜ao aos experimentos simples s˜ao:

1 Pode-se estudar dois ou mais fatores num ´unico experimento.

2 Pode-se, por meio dos efeitos das intera¸c˜oes, verificar se um fator ´e independente ou dependente do(s) outro(s).

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Introdu¸c˜ao

Desvantagens

As principais desvantagensdos experimentos fatoriais s˜ao:

1 O número de tratamentos ou combina¸cões de n´ıveis de fatores cresce, rapidamente, com o aumento do número de n´ıveis, em cada fator, ou mesmo com o aumento do número de fatores.

2 A interpreta¸cão dos resultados se torna mais dif´ıcil à medida que aumentamos o número de n´ıveis e de fatores no experimento.

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Tabula¸ c˜ ao

Seja y_ijk a resposta observada para oi-ésimo n´ıvel (i = 1,2, . . . ,a) do fatorAej-ésimo n´ıvel (j= 1,2, . . . ,b) do fatorB, para ak-ésima repeti¸cão (k = 1,2, . . . ,n). Em geral, os dados serão apresentados na forma da Tabela 1.

Tabela 1:Arranjo geral para um experimento fatorial.

Fator B

1 2 . . . b

1 y111,y112, . . . ,y11n y121,y122, . . . ,y12n . . . y1b1,y1b2, . . . ,y1bn

2 y211,y212, . . . ,y21n y221,y222, . . . ,y22n . . . y2b1,y2b2, . . . ,y2bn

Fator A

.. .. .. .. ..

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Tabula¸cão e modelo estat´ıstico Análise de Variância Desdobramento

Modelo estat´ıstico de efeitos fixos

As observa¸c˜oes podem ser descritas pelo modelo estat´ıstico li- near, em um DIC, da seguinte forma:

y_ijk =µ+τ_i +β_j + (τ β)_ij +_ijk

( _i_{= 1,}_{2, . . . ,}_a j = 1,2, . . . ,b k = 1,2, . . . ,n em que

µ´e o efeito da m´edia geral;

τi ´e o efeito doi-´esimo n´ıvel do fator linhaA;

βj ´e o efeito doj-´esimo n´ıvel do fator colunaB;

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No experimento fatorial, em geral, deseja-se testar primeiramente a significância da intera¸cão entre os fatores. Isto é:

H0 : (τ β)ij= 0 para todoi,j H1 : Pelo menos um (τ β)ij 6= 0

Caso a intera¸c˜ao n˜ao seja significativa, testa-se os efeitos principais:

H0 : τ1=τ2=. . . τa= 0 H1 : Pelo menos umτi 6= 0 H₀ : β₁=β₂=. . . β_b= 0 H1 : Pelo menos umβj 6= 0

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Do modelo estat´ıstico

yijk =µ+τi +βj + (τ β)ij +ijk

( i= 1,2, . . . ,a j = 1,2, . . . ,b k = 1,2, . . . ,n Tem-se que os estimadores de m´ınimos quadrados paraµ,τ_i, βj e (τ β)ij, considerando as restri¸c˜oesPa

i=1τi = 0, Pb

j=1β_j = 0 ePa i=1

Pb

j=1(τ β)_ij = 0 s˜ao dados por:







 ˆ µ= ¯y;

ˆ

τ_i = ¯y_i −y¯, i = 1,2, . . . ,a;

βˆ_j = ¯y_j−y,¯ j = 1,2, . . . ,b;

ˆ i = 1,2, . . . ,a

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ANAVA

Tabela 2:An´alise de variˆancia para um experimento fatorial com 2 fatores.

C.V. G.L. S.Q. Q.M. Fcal

A a−1 SQA QMA= ^SQ_a−1^A Fcal =_QM^QM^A

Res

B b−1 SQB QMB =^SQ_b−1^A Fcal =_QM^QM^B

Res

A×B (a−1)(b−1) SQA×B QMA×B = _{(a−1)(b−1)}^SQ^A^×B Fcal= ^QM_QMRes^A×B Res´ıduo ab(n−1) SQRes QMRes = _ab(n−1)^SQ^Res

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Soma de quadrados

Assim, tem-se:

SQTotal =SQA+SQB+SQA×B

| {z }

+SQRes, de forma que a soma de quadrados total ´e dada por:

SQ_Total =

a

X

i=1 b

X

j=1 n

X

k=1

y_ijk² − Pa

i=1

Pb j=1

Pn k=1yijk

²

abn As somas de quadrados para os efeitos principais s˜ao:

SQA=

a

X

i=1

T_A²_i bn −

Pa i=1

Pb j=1

Pn k=1yijk

²

abn

_a _b _n ²

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Para o c´alculo da soma de quadrados da intera¸c˜ao, SQAxB, deve-se, ini- cialmente, calcular a soma de quadrados do efeito conjunto de A e B, denotada porSQA,B. Logo,

SQA,B =

a

X

i=1 b

X

j=1

T_AiBj² n −

Pa i=1

Pb j=1

Pn k=1yijk

2

abn

Esta soma de quadrados contémSQA eSQB. Portanto, a soma de quadrados da intera¸cão é:

SQAxB=SQA,B−SQA−SQB, e, a soma de quadrados de res´ıduos, obt´em pela diferen¸ca:

SQRes=SQTotal−SQA−SQB−SQAxB.

Obs.: Nos experimentos fatoriais com 2 fatores, a soma de quadrados do

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Valor esperado QM

Considerando que os fatores A e B sejam fixos, temos:

E(QM_A) =σ²+bnPa i=1τ_i² a−1 E(QM_B) =σ²+anPb

j=1β_j² b−1 E(QM_AxB) =σ²+nPa

i=1

Pb

j=1(τ β)²_ij (a−1)(b−1) E(QMRes) =σ²

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Exemplo 5

A Tabela 3 apresenta os dados do desenvolvimento de mudas de 2 esp´ecies de eucaliptos (E1eE2) plantados em 3 tipos de recipientes (R1,R2eR3).

Tabela 3:Alturas m´edias de mudas, em cent´ımetros, aos 80 dias de idade.

Esp´ecies Recipientes

E1 E2

TR_i

26,2 26,0 24,8 24,6

R1

25,0 25,4

102,6

26,7 25,2

101,3 203,9

25,7 26,3 19,6 21,1

R2

25,1 26,4

103,5

19,0 18,6

78,3 181,8

22,8 19,4 19,8 21,4

R3

18,8 19,2 80,2

22,8 21,3

85,3 165,5

TE_j 286,3 264,9 551,2

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Intera¸ c˜ ao Significativa

Quando a hipótese H0 para a intera¸cão entre os fatores é re- jeitada, então dizemos que a intera¸cão é significativa.

Este resultado implica que os efeitos dos fatores atuam de forma dependente, ou seja, o efeito de um fator depende do n´ıvel do outro fator.

Assim, não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente como é feito no caso da intera¸cão não ser significativa.

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Intera¸ c˜ ao Significativa

isoladamente como é feito no caso da intera¸cão não ser significativa.

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Intera¸ c˜ ao Significativa

Assim, não é recomendado realizar o teste F para cada fator isoladamente como é feito no caso da intera¸cão não ser significativa.

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O procedimento recomendado ´e realizar odesdobramento do efeito da intera¸c˜ao.

de variˆanciaem que os n´ıveis de um fator s˜ao comparados dentro de cada n´ıvel do outro fator.

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O procedimento recomendado ´e realizar odesdobramento do efeito da intera¸c˜ao.

Para realizar este desdobramento deve-se fazer umanova análise de variânciaem que os n´ıveis de um fator são comparados dentro de cada n´ıvel do outro fator.

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Desdobramento dos n´ıveis de A dentro de cada n´ıvel de B, ou seja, estudar A/B

Tabela 4:An´alise de variˆancia para o desdobramento do fator A dentro de cada n´ıvel de B.

C.V. G.L. S.Q Q.M. Fcal

B b−1 SQB QMB =^SQ_b−1^B Fcalc =_QM^QM^B

Res

Res

Res

.. .

Res

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Desdobramento dos n´ıveis de B dentro de cada n´ıvel de A, ou seja, estudar B /A

Tabela 5:An´alise de variˆancia para o desdobramento do fator B dentro de cada n´ıvel de A.

C.V. G.L. S.Q Q.M. Fcal

A a−1 SQA QMA=^SQ_a−1^A Fcalc=_QM^QM^A

Res

Res

Res

.. .

Res

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Exemplo 6

No Exemplo 5 vimos que:

Tabela 6:An´alise de variˆancia de acordo com o esquema fatorial 3×2.

Causa de Varia¸c˜ao S.Q. g.l. Q.M. Fcalc Ftab

Recipientes (Rec) 92,86083 2 46,430417 36,20 3,554557

Esp´ecies (Esp) 19,08167 1 19,081667 14,88 4,413873

Rec×Esp 63,76083 2 31,880417 24,85 3,554557

Res´ıduo 23,09000 18 1,28278

Total 198,79333 23

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Exemplo 6

Assim, concluiu-se que há uma intera¸cão significativa entre Recipien- tes e Espécies de eucaliptos, logo, a um n´ıvel de 5% de significância, pede-se:

a) Fa¸ca o desdobramento de Espécie dentro de cada Recipiente e tire as devidas conclusões. (Utilize o teste de Tukey quando necessário).

b) Fa¸ca o desdobramento de Recipiente dentro de cada Espécie e tire as devidas conclusões. (Utilize o teste de Tukey quando necessário).

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Exerc´ıcio 1

Foi realizada uma pesquisa para testar dois tipos de ambiente (com luz artificial e sem luz artificial no per´ıodo da noite) e dois tipos de ra¸cão (com cálcio e sem cálcio). Para tanto foram utilizadas 24 poedeiras similares, escolhidas aleatoriamente. Ao final da avalia¸cão foram obtidos os seguintes resultados (ovos/poedeira):

Ambiente `a noite Ra¸c˜ao

com luz artificial sem luz artificial Total

60 62 49 52 223

com c´alcio 58 64 50 48 220

62 60 46 45 213

42 44 40 40 166

sem c´alcio 46 43 38 39 166

44 45 41 43 173

Total 630 531 1161

Ao n´ıvel de 5% de probabilidade e admitindo que se trata de um experimento instalado segundo o DIC, pede-se:

a) Pode-se afirmar que o tipo de Ra¸c˜ao e o tipo de Ambiente atuam independentemente na produ¸c˜ao de ovos?

b) Qual o melhor tipo de ra¸c˜ao para o ambiente com luz artificial? Justifique sua resposta (use o teste Tukey, se necess´ario).

c) Qual o melhor ambiente à noite para o tipo de ra¸cão sem cálcio? Justifique sua resposta (use o teste Tukey, se necessário).