Lógica
Proposicional
Semântica
Semântica
Existe uma diferença entre os objetos e seu significado
Existe um mundo sintático e um mundo semântico
Sintático – símbolos do alfabeto e fórmulas (consideradas apenas como concatenções de símbolos)
Semântico – significado dos símbolos e fórmulas
Em Lógica, semântica é a associação entre um objeto sintático e seu significado, de forma a,
[Gaiarsa]
Semântica
P (símbolo sintático) representa
“Está chovendo”
Q representa
“A rua está molhada”
Quando a fórmula (P^Q ) é Verdadeira?
Interpretação
Depende das condições climáticas e se a rua é coberta, ou seja, depende da interpretação de P e Q
I[P]=T ou I[P]=F (e também I[Q])
A fórmula (P^Q ) é Verdadeira, quando I[P]=T e I[Q]= T
Se I[P]=T ou I[Q]=F então, como ^ é interpretado como a conjunção da
interpretação dos fatos P e Q, I[P^Q]=F
Interpretação
Função binária – só possui em sua imagem 2 elementos
Uma Interpretação I, em Lógica Proposicional, é uma função binária t;l que:
O domínio de I é o conjunto de fórmulas proposicionais
A imagem é o conjunto {T,F}
O valor da interpretação I, tendo como argumentos os símbolos de verdade true e false, é dado por
I[true]=T e I[false]=F
Interpretação de fórmulas
Dado uma fórmula E e uma
interpretação I, então o significado de E (I[E]) é dado pelas seguintes regras:
Se E=P, onde P é um símbolo proposicional, I[E]=I[P]
Se E=true, então I[E]=I[true] =T, e se E=false, então I[E]=I[false]=F
Se H é uma fórmula e E=H, então
I[E]=I[H]=T se I[H]=F e
I[E]=I[H]=F se I[H]=T
Interpretação de fórmulas (cont.)
Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então
I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e
I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(H^G), então
I[E]=I[H^G]=T se I[H]=T e I[G]=T e
I[E]=I[H^G]=F se I[H]=F e/ou I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então
I[E]=I[HG]=T se I[H]=F e/ou I[G]=T e
I[E]=I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F
Se H e G são fórmulas, e E=(HG), então
Tabelas-verdade
Tabelas verdade associada a conectivos
Tabelas verdade associada a fórmulas
Como fazer para obter a tabela verdade associada à fórmula H=((P)vQ)(Q^P)?
Colunas intermediárias: P,Q,P, PvQ e Q^P
Semântica da implicação
Olhando a tabela verdade de HG H G HG
--- T T T T F F F T T F F F
I[HG]=T se I[H]=T e I[G]=T
I[HG]=F se I[H]=T e I[G]=F
I[HG]=T se I[H]=F, independente de G
Se está chovendo, então a rua está molhada.
(P (P v Q))
Causalidade e Implicação
Não há relação entre causalidade e implicação
Q = “o sol é redondo”
P = “Maluf é honesto”
I[PQ]=T, sem relação de causalidade, pois I[Q]=T
R = “é possível 2 objetos ocuparem o mesmo lugar no espaço”
S = “a lua é redonda”
I[RS]=T
Interpretação de uma fórmula
Se temos a fórmula H=((P)v(Q))R e a interpretação
I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[S]=T
Qual a interpretação de H ?
Fazer tabela verdade (de uma linha )
Interpretação de uma fórmula (cont.)
Se E = =((P)^Q)(RvP) e
H=(falseP) e as interpretações I e J
I[P]=T,I[Q]=F,I[R]=T,I[P1]=F
J[P]=F,J[Q]=T,J[R]=F
I[H]=?
J[H]=?
I[P true]=?
J[P true]=?
Propriedades semânticas básicas
Uma fórmula H é uma tautologia (ou é válida) se e somente se para toda
interpretação I, I[H]=T
H é factível ou satisfazível se e somente se existe uma interpretação I tal que
I[H]=T
H é contraditória se e somente se para
toda interpretação I, I[H]=F
Propriedades semânticas básicas (cont.)
Dadas 2 fórmulas H e G,HG se e
somente se para toda interpretação I, se I[H]=T então I[G]=T
Dadas H e G,H G se e somente se para toda interpretação I, I[H]=I[G]
Dados H e uma interpretação I, I
satisfaz H se e somente se I[H]=T
Propriedades semânticas básicas (cont.)
Um conjunto de fórmulas ={H1,H2,...Hn}
é satisfazível se e somente se existe uma interpretação I tal que I[H1]= I[H2]= ... = I[Hn]= T
I satisfaz o conjunto de fórmulas , ou I[]=T
Toda I satisfaz o conjunto de fórmulas vazio
Exemplo de Tautologia
A fórmula H=PvP é uma tautologia, pois toda I[H]=T
I[H]=T I[PvP]=T
I[P]=T e/ou I[P]=T I[P]=T e/ou I[P]=F
aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”)
Como I é uma função binária com imagem {T,F}, então I[P]=T e/ou I[P]=F é verdade e I[H]=T.
Exemplo de Satisfatibilidade
A fórmula H=(PvQ) é satisfazível, pois há interpretações que a interpretam como verdadeira.
H é tautologia? Por quê?
Exemplo de Contradição
A fórmula H=(P^P) é contraditória
Suponham (por absurdo) que exista I[H]=T
I[H]=T I[P^P]=T
I[P]=T e I[P]=T I[P]=T e I[P]=F
Como I é uma função binária, ocorre apenas um dos valores, i.e. I[P]=T ou I[P]=F. Então
I[P]=T e I[P]=F é falsa, e portanto I[H]=T também é falsa.
Exercícios
Quais das fórmulas abaixo são válidas, satisfazíveis ou contraditórias?
H1=P1^P2^QQ
H2=P1^P2^QQ
H3=(PvP)(Q^Q)
Implicação
Se E=((P^Q)VQ) e
H=(P^Q) e
G=(PQ)
E G?
E H?
H G?
H E?
G H?
Exercício
Prove que se temos as fórmulas
proposicionais H=(P^Q) e G=P, então H G
Se H=F, G=?
Equivalência
Exemplo (Lei de Morgan) H=(P^Q) e G=(PvQ)
Temos que demonstrar que, para toda interpretação I, I[H]=I[G]
Casos I[H]=T e I[H]=F
(P^Q) (PvQ) ?
Caso I[H]=T I[H]=T
I[P^Q]=T
I[P]=T e I[Q]=T
I[P]=F e I[Q]=F
I[PvQ]=F
I[(PvQ)]=T
I[G]=T
Caso I[H]=F
Exercício ou
Olhar tabelas verdade das 2 fórmulas
Exemplos de Satisfatibilidade e Insatisfatibilidade
Qual(is) conjunto(s) são (in)satisfazíveis:
H1=P, H2=P e H3=Q
E=(P Q), H=(Q R) e G=(R P)
Relações entre as
Propriedades Semânticas
Validade e factibilidade
H é válida H é contraditória
H é válida H é satisfazível (quer dizer “se … então…”)
H não é satisfazível H é contraditória
Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)
Dadas 2 fórmulas H e G,
H implica G (H G) é tautologia
H equivale a G (H G) é tautologia
Provar que (H G) e (G H)
Transitividade da equivalência
E H e H G E G
Relações entre as Propriedades Semânticas (cont.)
Satisfabilidade e factibilidade
Seja {H1,H2,...Hn} um conjunto de fórmulas
{H1,H2,...Hn} é satisfatível {H1^H2^...^Hn} é satisfatível
Equivalências
aqui quer dizer “o mesmo que, equivale a”e quer dizer “se … então …”
Cuidado: Há uma diferença entre eles:
H equivale a G
H é tautologia G é tautologia}? (1)
H equivale a G
H é tautologia G é tautologia}? (2)
Equivalência e Validade
H equivale a G
H é tautologia G é tautologia} (1) é dividida em 2 implicações:
H equivale a G
H é tautologia G é tautologia} (2) e
H é tautologia G é tautologia}
H equivale a G (3)
Contra-exemplo de
Equivalência e Validade
H é tautologia G é tautologia} H equivale a G (3)
H=P e G=Q, que não são equivalentes
“H equivale a G” é falsa
No entanto, o antecedente é verdadeiro
H e G não são tautologias
(Falso Falso) Falso
Verdadeiro Falso, o que é falso
Proposição 1 –
Equivalência e Validade
H equivale a G
H é tautologia
G é tautologia}
(2)
Prova do tipo
prop3 prop2 e prop2 prop1
Passos:
prop2, prop2 prop1 [1]
prop3, prop3
prop2 [2]
Portanto, prop3, [3]
prop3 prop2, prop2 prop1
Proposição 2 –
Implicação e Validade
H equivale a G
H é tautologia G é tautologia}(4)
Porque isso equivale a G equivale a H
G é tautologia H é tautologia} (5)
Portanto,
H equivale a G
H é tautologia G é tautologia} (2)
E prop2 prop1
Implicação e Validade (cont.)
Se H é tautologia
G é tautologia}(4) eG é tautologia
H é tautologia} (5) então
H é tautologia G é tautologia} (2)
E portanto,
H equivale a G
H é tautologia G é tautologia} (2)
Lema (implicação)
(A (B C)) equivale a ((A^B) C)
Olhar tabelas verdade
H equivale a G
H é tautologia G é tautologia}(4) é exatamente deste tipo!
Portanto, (4) equivale a
{{H implica G} e {H é tautologia}} {G é tautologia}
prop3 prop2
Proposição 3 –
Implicação e Validade
Dadas 2 fórmulas H e G, então
{{H implica G} e {H é tautologia}} {G é tautologia}
Supondo
{H implica G} e {H é tautologia}
Para
{G é tautologia}
Proposição 3 –
Implicação e Validade (cont.)
{G é tautologia} toda I[G]=T
Mas se {H é tautologia}, toda I[H]=T
Como {H implica G}, então toda I[G]=T
{G é tautologia}
