Notas de Aula 2 Os Números Reais II

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Notas de Aula 2 – Os N´ umeros Reais II

Introdu¸c˜ ao

O primeiro conceito importante desta aula, valor absoluto ou módulo emR, permite estabelecer a no¸cão de distância entre os números reais, a qual

é de suma importância para estabelecer de modo rigoroso no¸cões tais como, limites, continuidade e derivada de fun¸cõesem uma vizinhan¸ca de um número real. Os outros conceitos, também importantes, são os desupremo e ´ınfimo em R, e permitem suprir certas lacunas ou falhas dos números racionais diferenciando os dois conjuntos: por exemplo, é poss´ıvel provar, a partir do Axioma do Supremo, que existe um número real x tal que x² = 2, número que já sabemos que não é racional. São os conceitos de supremo e ´ınfimo que garantem a validade, por exemplo, do Teorema do Valor Intermediário, que você estudou em Cálculo.

Valor Absoluto em R

A ordem e a propriedade de tricotomia em R permitem estabelecer o conceito dem´odulo ou valor absolutoem R. A saber,

Defini¸cão 2.1 Seja x∈R. O valor absoluto ou módulo, |x|, de xé definido por

|a|:=







a se a >0, 0 se a= 0,

−a se a <0.

Da´ı, por exemplo, |2|= 2 =| −2|.

Observa¸c˜ao 2.1 Decorre diretamente da Defini¸c˜ao 2.1 que:

(1) |a| ≥0 para todo a∈R;

(2) Para todo a∈R,|a|=a, se a≥0 e |a|=−a se a ≤0.

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de

An´alise Real

♢ Prel´udio 2.1 Se P(x) e Q(x) s˜ao propriedades de x, o enunciado da forma P(x) se e somente se Q(x) (em s´ımbolos: P(x) ⇔ Q(x)) (∗)

equivale a duas implica¸c˜oes, a saber,

se P(x) ent˜ao Q(x) e se Q(x) ent˜ao P(x).

Enunciados como em (∗) são chamados biimplica¸cões ou equivalências. Para provar uma biimplica¸cão verdadeira P(x) ⇔ Q(x), devem-se mostrar duas implica¸cões.

Proposi¸c˜ao 2.1 Sejam a, b, c elementos deR. Ent˜ao:

(a) |a|= 0 se, e somente se, a= 0;

(b) | −a|=|a|; (c) |ab|=|a||b|;

(d) Sec≥0 ent˜ao |a| ≤c se, e somente se, −c≤a≤c;

(e) −|a| ≤a≤ |a|.

Prova: (a) (⇒) Hip.: |a|= 0.

Suponha, por contradi¸c˜ao, que a ̸= 0. Ent˜ao −a ̸= 0. Ora, sendo a ̸= 0 e

−a̸= 0 ent˜ao |a| ̸= 0.Isto contradiz a hip´otese. Logo, |a|= 0 implicaa= 0.

(⇐) Hip.: a= 0. Da´ı e da Defini¸c˜ao 2.1 tem-se que|a|= 0.

(b) Suponha a= 0. Ent˜ao por defini¸c˜ao|0|= 0 =| −0|.

Suponhaa >0. Então−a <0. Da´ı e da defini¸cão|a|=a=−(−a) =| −a|. Suponhaa < 0. Então −a >0 e assim|a| =−a =| −a|. Logo, | −a|=|a| para todoa∈R.

(c) Exerc´ıcio.

(d) Por hip´otese (geral), tem-se c≥0.

(⇒) Hip.: |a| ≤c.

Se a ≥ 0 então a = |a| ≤ c. Além disso, −c ≤ 0 ≤ a. Portanto, vale a conclusão −c ≤ a ≤ c no caso a ≥ 0. No caso em que a < 0, por defini¸cão e da hipótese vem que −a =|a| ≤ c. Logo, −c≤a. Além disso, a < 0≤c.

Portanto, vale a conclusão −c≤ a≤ c também no caso a <0. Logo, vale a conclusão em qualquer caso.

(⇐) Hip.: −c≤a≤c.

Da´ı vem que a ≤ c e −c≤a. Logo, se a ≥ 0 ent˜ao |a| =a ≤c e se a < 0 ent˜ao |a|=−a≤c. Portanto, em qualquer caso,|a| ≤c.

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(e) Exerc´ıcio

Uma das mais importantes propriedades da no¸cão de valor absoluto de um número real, muito usada nas aplica¸cões é a:

Proposi¸c˜ao 2.2 (Desigualdade triangular) Sejam a, b elementos de R ent˜ao

|a+b| ≤ |a|+|b|. (∗) Prova: Da Proposi¸c˜ao 2.1 (e) tem-se −|a| ≤ a ≤ |a| e −|b| ≤ b ≤ |b|. Adicionando estas duas desigualdades termo a termo e usando a Proposi¸c˜ao 1.9 (b) resulta

−(|a|+|b|)≤a+b≤ |a|+|b|. Da´ı e da Proposi¸c˜ao 2.1 (d) tem-se (∗)

Decorre do resultado acima que (¹)

Corol´ario 2.1 Sejam a, b elementos de R ent˜ao ||a| − |b|| ≤ |a−b|.

Prova: Aplicando a Desigualdade Triangular em a = (a −b) + b tem-se

|a|=|(a−b) +b| ≤ |a−b|+|b|. Adicionando −|b| resulta

|a| − |b| ≤ |a−b|. (⋆) Analogamente, usando a Desigualdade Triangular emb = (b−a) +a tem-se

|b| ≤ |b−a|+|a|. Ou seja, −(|a| − |b|) ≤ |b−a|. Da´ı e Proposi¸c˜ao 2.1 (b) resulta−(|a| − |b|)≤ |b−a|=| −(a−b)|=|a−b|. Isto equivale a

|a| − |b| ≥ −|a−b|. (⋆⋆) De (⋆), (⋆⋆) e Proposi¸c˜ao 2.1 (d) obt´em-se o resultado desejado

A reta real

E comum representar-se geometricamente o conjunto dos n´´ umeros reais por uma linha reta. Nesta interpreta¸cão, o módulo dex, |x|, emR fornece a distância dexà origem da reta. De um modo geral, adistância entre dois números reais x e y quaisquer é definida como |x−y|.

1“Teoremas”, “proposi¸cões”, “lemas”e “corolários”são afirma¸cões verdadeiras que pre- cisam ser demonstradas na constru¸cão de uma teoria. Chamamos “teorema”às afirma¸cões mais importantes e às outras, chamamos “proposi¸cões”. “Lema”é uma afirma¸cão que auxiliará na demonstra¸cão de um outro resultado. Um “corolário”é um resultado que é consequência de outra afirma¸cão.

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de

Análise Real Um conceito important´ıssimo usado para descrever a ideia de “aprox- ima¸cão”, muito útil quando se trabalha com limite de uma fun¸cão num ponto por exemplo, é dado pela seguinte defini¸cão.

Defini¸c˜ao 2.2 Seja a um elemento de R e ϵ > 0 um real dado. A vizinhan¸ca de a de raio ϵ ´e o conjunto

V^ϵ(a) :={x∈R: |x−a|< ϵ}.

Note que afirmar quexpertence aV^ϵ(a), significa pela Proposi¸c˜ao 2.1 (d) que

−ϵ < x−a < ϵ o que equivale a a−ϵ < x < a+ϵ. (2.1) Em s´ımbolos, escreve-se:

x∈V^ϵ(a)⇔ −ϵ < x−a < ϵ ⇔ a−ϵ < x < a+ϵ. (∗∗) A rela¸c˜ao de ordem em R determina alguns importantes subconjuntos chamados de intervalos. Os mais comuns s˜ao:

(a, b) :={x∈R : a < x < b}, [a, b] :={x∈R : a≤x≤b}, (a, b] := {x∈R : a < x≤b}, [a, b) :={x∈R : a≤x < b}, (−∞, b) :={x∈R : x < b}, (−∞, b] := {x∈R : x≤b}, (a,+∞) := {x∈R : x > a}, [a,+∞) :={x∈R : x≥a}.

E também comum denotar a reta real´ R por (−∞,+∞) := R.Chama- se aten¸cão para o fato de que−∞ e +∞ são apenas s´ımbolos convenientes, que se lêemmenos infinitoemais infinito, respectivamente; não representam, em hipótese alguma, números reais.

O primeiro, o terceiro e o quarto conjuntos na coluna à esquerda são ditos intervalos abertos, ao passo que o primeiro, o terceiro e o quinto conjuntos à direita são chamados intervalos fechados.

Usando a defini¸cão de intervalo, vê-se das equivalências (∗∗) que a vizinhan¸caV^ϵ(a) é um intervalo aberto, ou seja

V^ϵ(a) = (a−ϵ, a+ϵ).

Proposi¸c˜ao 2.3 Seja a∈R. Se x∈V^ϵ(a) para qualquerϵ >0 ent˜ao x=a.

Prova: Sex∈Ré tal que |x−a|< ϵpara qualquerϵ >0 então|x−a|= 0, pela Proposi¸cão 1.12. Da´ıx−a= 0 pela Proposi¸cão 2.1 (a). Logo, x=a

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A completeza de R

Estuda-se em Álgebra que o conjuntoQ satisfaz todas as Propriedades Algébricas e de ordem já estudadas emR. No entanto, nas Notas de Aula 1, mostrou-se que não existe um número racionalxtal quex² = 2, ou seja, que

√2 não pertence ao conjuntoQdos números racionais. Este exemplo mostra que o conjunto dos números racionais tem “lacunas”ou “deficiências”. Os irracionais são os números reais que preenchem estas “lacunas”e permitem a representa¸cão geométrica de R como uma reta. O fato de que em R não há tais “lacunas” é o que torna este conjunto fundamental para o estabeleci- mento das no¸cões de limite, continuidade e derivada, que são básicas para as disciplinas de Análise, a come¸car pelas de Cálculo Diferencial e Integral.

Uma outra “deficiˆencia“ em Q pode ser vista no seguinte exemplo:

Exemplo 2.1 Seja A o conjunto de todos os racionais positivos r tais que r² ≤ 2. Então A não possui um maior elemento, ou seja, não existe em A um elemento que seja maior do que todos os outros elementos deA.

Prova:Deve-se mostrar que, para todor ∈Aexiste ums∈Atal ques > r.

De fato, para cada racionalr >0 considera-se o racional s=r− r²−2

r+ 2 = 2r+ 2

r+ 2 . (i)

Ent˜ao

s²−2 = 2(r²−2)

(r+ 2)² . (ii)

Sendo r ∈ A ent˜ao r² −2 < 0 e da´ı−(r² −2)/(r+ 2) > 0. Usando esta

´

ultima desigualdade e o item (i) tem-se s=r− r² −2

r+ 2 > r.

E ainda: de (ii) tem-se que s² < 2, pois s² −2 < 0. Portanto, s² ≤ 2, o garantindo que s∈A. Assim, existe s∈A tal que s > r, e fica provado que

A n˜ao possui um maior elemento.

Essas deficiências em Qserão supridas em R por meio doAxioma do Supremo, o qual é fundamental nacaracteriza¸cãodos elementos de R.

Supremo e ´ınfimo s˜ao conceitos associados a “limita¸c˜ao superior”e

“limita¸cão inferior”de conjuntos de números reais, no¸cões que se vão tornar precisas a seguir.

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de

An´alise Real Defini¸c˜ao 2.3 SejaA um subconjunto de R.

(i) Um n´umero real s ´e uma cota superior de A quando s ≤ s para todos∈A;

(ii) Um n´umero reali´euma cota inferior de A quando i≤s para todo s∈A.

(iii) A é chamado conjunto limitado superiormente quando existe alguma cota superior paraA(diz-se, neste caso, que o conjunto Apossui uma cota superior). Analogamente,Aé chamado conjunto limitado inferiormente quando existe alguma cota inferior para A (também diz-se neste caso, que o conjunto A possui uma cota inferior). Diz- se que A é conjunto limitado quando A é limitado superiormente e inferiormente.

Exemplo 2.2 (1) Os subconjuntos deRda forma (a, b), [a, b], (a, b], [a, b) são ditos intervalos limitados, pois são todos conjuntos limitados superiormente e inferiormente. Em todos eles, o número real b é uma cota superior, assim como todo número real ≥ b. Analogamente, o número real a é uma cota inferior para todos estes intervalos, assim como todo número real ≤a. É muito importante notar que uma cota pode pertencer ou não ao conjunto. Quando se diz “o conjuntoSpossui cota superior (respectivamente, cota inferior)“, isto significa que existe tal cota, mas não que a cota pertence ao conjunto necessariamente. Por exemplo, 2 e qualquer número real maior do que 2 são cotas superiores do intervalo (0,2), mas nenhuma destas cotas pertence ao conjunto.

(2) Os subconjuntos de Rda forma (−∞, b), (−∞, b], (a,+∞), [a,+∞), (−∞,+∞) são chamados intervalos ilimitados, pois não são limitados inferiormente ou inferiormente ou ambos: de fato, o primeiro e o segundo são conjuntos limitados superiormente mas não são limitados inferiormente, o terceiro e o quarto são conjuntos não limitados superiormente e o último intervalo é conjunto não limitado inferiormente e superiormente.

(3) O conjunto {1/2,−(1/2),1/3,−(1/3),√ 2,−√

2} é limitado (quais são as cotas?). Na verdade, todo conjunto finito é limitado. Note que a rec´ıproca não é verdadeira, ou seja: nem todo conjunto limitado é

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finito: os intervalos limitados do item (1) servem de contra-exemplo.

(²)

Observa¸cão 2.2 As afirma¸cões abaixo decorrem imediatamente da Defini¸cão 2.3:

(1) Se um subconjuntoAdeRé limitado superiormente entãoApossui infinitas cotas superiores. Analogamente, os subconjuntos deRlimitados inferiomente têm infinitas cotas inferiores. Por exemplo, 2 e todo real maior do que 2 é cota superior dos conjuntos (0,2), {0,−3,−27,2} e de (−∞,2]. Assim também, 3 e qualquer real <3 é uma cota inferior para os conjuntos {5,4,3,7/2,3√

2}, [4,6] e (3,+∞) .

(2) α ∈ R não é uma cota superior de A se, e somente se, existe algum número real s ∈ A tal que α < s. Por exemplo, 2 não é uma cota superior de A = {x ∈ R | x < 2,5} pois existe x = 2,1 ∈ A tal que 2<2,1.

(3) β ∈ R não é uma cota inferior de A se, e somente se, existe algum elemento s ∈ A tal que s < β. Justifique precisamente o fato de -5/2 não ser uma cota inferior do conjunto {2,−2,1/2,−1/2,3,−3,4,−4}. (4) Pela Defini¸cão 2.3, todo número realαé uma cota superior do conjunto vazio∅. De fato, em caso contrário, pelo item (2) deve existirs ∈ ∅tal que α < s. Mas, não há elemento em∅. Logo, todo número real é uma cota superior de ∅. De modo similar, mostra-se que todo número real

´e uma cota inferior de ∅.

Defini¸c˜ao 2.4 Seja A um subconjunto n˜ao vazio de R.

(i) Seja A um conjunto limitado superiormente. Um número reals é chamado supremo deA quando s é a menor das cotas superiores deA.

Nota¸c˜ao: s= supA.

Em termos precisos, escreve-se:

Se s ∈ R, tem-se que s = supA quando s satisfaz as duas seguintes condi¸c˜oes:

(S1) s≤s, para todo s ∈A;

(S2) se c∈R e c <s ent˜ao existes ∈A tal que c < s.

2As no¸cões de conjunto finito e conjunto infinito serão estudadas de forma precisa mais adiante. No momento, basta a no¸cão intuitiva destes termos. Se precisar, não hesite em consultar um livro de Ensino Médio.

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de

Análise Real (ii) Seja A um conjunto limitado inferiormente. Um número real ié chamado´ınfimo de A quando ié a maior das cotas inferiores de A.

Nota¸c˜ao: i= infA.

Em termos precisos, escreve-se:

Sei∈R, tem-se que i= infAquandoisatisfaz as duas seguintes condi¸c˜oes:

(I1) i≤s, para todo s∈A;

(I2) se d∈Re i< dent˜ao existe s∈A tal que s < d.

Observa¸cão 2.3 (1) A condi¸cão (S1) diz que s é uma cota superior do conjunto A e (S2) afirma que um número menor do que s não é uma cota superior de A. É através destas duas condi¸cões que se descreve precisamente a ideia de que o supremo deAé a menor das cotas superiores de A.

Além disso: desta ideia segue que, se existe supA, então um número real s⁰ é uma cota superior de Ase e somente se, supA≤s⁰. Ou seja, s≤s⁰ para todos ∈A se, e somente se, supA≤s⁰.

(2) De forma análoga: a condi¸cão (I1) diz que i é uma cota inferior do conjunto A e (I2) afirma que um número menor do que i não é uma cota inferior deA. É exatamente assim, por meio destas duas condi¸cões, que se traduz a ideia de que o ´ınfimo deAé a maior das cotas inferiores deA.

Da´ı segue que, se existe infA, então um número real i⁰ é uma cota inferior de A, ou seja,i⁰ ≤s para todo s∈S, se e somente se, infA≥ i⁰.

(3) O supremo de um conjunto não vazio A , quando existe, é único. De fato: suponhamos que s¹ e s² sejam ambos supremos de A. Então ambos são cotas superiores de A e da´ı, aplicando a segunda parte do item (1) acima para s¹ e s², tem-se que s¹ ≤s² e s² ≤ s¹. Segue que s¹ =s² e a afirma¸cão está provada. Um racioc´ınio análogo mostra que o ´ınfimo de um conjunto não vazio, quando existe, é único. Fa¸ca como exerc´ıcio.

(4) Ses⁰´e uma cota superior de um conjuntoAes⁰ ∈Aent˜ao s⁰ = supA.

De fato, a condi¸cão (S1) da Defini¸cão 2.4 é satisfeita por hipótese. E, se c <s⁰ então é claro quec não é cota superior de A pois, por hipótese, s⁰ ∈ A. Assim, a condi¸cão (S2) da Defini¸cão 2.4 também é satisfeita,

(9)

e portanto, s⁰ = supA. De forma análoga, prova-se que: se i⁰ é uma cota inferior de A e i⁰ ∈S então i⁰ = infA. Fa¸ca como exerc´ıcio.

Exemplo 2.3 Considere atentamente os exemplos a seguir:

(1) Como −1 ´e uma cota inferior de A₁ = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1} e

−1∈A₁ então do item (4) da Observa¸cão 2.3 tem-se que −1 = infA₁. Por racioc´ınio análogo, mostra-se que 1 = supA₁.

(2) O conjunto A₂ ={x∈R: x <1} tem, tamb´em, 1 como cota superior pois x ≤ 1, para todo x ∈ A₂. Portanto, 1 satisfaz a condi¸c˜ao (S1).

Aqui 1 ∈/ A₂, logo n˜ao se pode usar o item (4) da Observa¸c˜ao 2.3.

Aqui deve-se mostrar diretamente que a condi¸c˜ao (S2) da Defini¸c˜ao 2.4

é satisfeita: de fato, se c ∈ R e c < 1 então existe (c+ 1)/2 ∈ A₂ sendo que c <(c+ 1)/2 <1. Portanto, existe s := (c+ 1)/2 ∈A₂ tal que c < s. Assim, nenhum número real c < 1 é uma cota superior de A₂, ou seja, provou-se que vale a condi¸cão (S2) para o número 1. Fica então garantido que 1 = supA₂. Por outro lado, A₂ não é limitado inferiormente e portanto não existe ´ınfimo de A₂.

Defini¸cão 2.5 Seja A um subconjunto de R. Se A é um conjunto limitado superiormente, diz-se que s⁰ ∈ R é o elemento máximo de A quando s⁰ ∈A es≤s⁰ para todo s∈A.

Nota¸c˜ao: s⁰ = maxA.

Analogamente, seA´e um conjunto limitado inferiormente, diz-se que i⁰ ∈R

´e o elemento m´ınimo de A quando i⁰ ∈A ei⁰ ≤s para todo s∈A.

Nota¸c˜ao: i⁰ = minA.

Observa¸cão 2.4 (1) A Defini¸cão 2.5 diz exatamente que o elemento máximo de um conjunto é uma cota superior que pertence ao conjunto. For- mula¸cão análoga vale para o elemento m´ınimo de um conjunto. Por exemplo, sejam A₁ e A₂ os conjuntos do Exemplo 2.3. Tem-se que maxA₁ = 1 = supA₁ e minA₁ = −1 = infA₁. O conjunto A₂ não possui elemento máximo, apesar de valer supA₂ = 1. Isto é porque 1∈/ A₂.

Assim, O elemento máximo de um conjunto é sempre o supremo de um conjunto. Por outro lado, o supremo de um conjunto é seu elemento máximo se o supremo pertence ao conjunto. Um conjunto pode possuir supremo e não possuir elemento máximo; mas se existe o elemento máximo do conjunto, este é o supremo do conjunto.

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de

Análise Real (2) Todo conjunto finito de números reais possui elemento máximo e elemento m´ınimo, logo possui supremo e ´ınfimo. Em particular, max{α, β}= β se, e somente se, β ≥α.

(3) Segue direto da Defini¸c˜ao 2.1 que, para todo a∈R,|a|= max{a,−a}.

Axioma do Supremo e aplica¸c˜ oes

Com base nos axiomas algébricos e de ordem estabelecidos, que fazem deR um corpo ordenado, não é poss´ıvel mostrar uma das mais importantes propriedades de R, a chamada Propriedade do Supremo, também chamada Propriedade da Completeza (note que se isto fosse poss´ıvel, ela também va- leria no corpo ordenado Q). Em cursos de pós-gradua¸cão, quando se estuda uma das formas de construir o conjunto R a partir do conjunto Q, esta propriedade aparece como teorema a ser demonstrado. Nestas Notas, a propriedade do supremo é estabelecida como axioma, sem necessidade de demonstra¸cão.

Axioma do Supremo

Todo subconjunto deRn˜ao vazio e limitado superiomente admite um supremo em R.

A propriedade an´aloga para o ´ınfimo n˜ao precisa ser estabelecida como axioma, pois pode ser mostrada a partir do Axioma do Supremo.

Proposi¸cão 2.4 (A propriedade do Ínfimo) Todo subconjunto A de R não vazio e limitado inferiomente possui um ´ınfimo emR.

Prova: Seja A um subconjunto de R, n˜ao vazio e limitado inferiormente.

Considere o conjunto A₁ = {−s ∈ R; s ∈ A}. A₁ é não vazio e limitado superiormente (verifique!), e pelo Axioma acima, existe s = supA₁. Da´ı mostra-se que −s é o ´ınfimo de A. De fato, como s é uma cota superior de A₁ então −s ≤ s, para todo s ∈ A e a condi¸cão (I1) da Defini¸cão 2.4 é satisfeita. Para provar a condi¸cão (I2), seja d ∈ R tal que d > −s. Então

−d <s = supA₁, ou seja, −d n˜ao ´e uma cota superior de A₁. Logo, existe

−s ∈ A₁ tal que −d < −s, donde d > s. Ou seja, existe s ∈ A (pois

−s ∈ A₁) tal que s < d. Portanto, nenhum real d > −s é cota inferior para A. A condi¸cão (I2) da Defini¸cão 2.4 é também satisfeita, e portanto

−s= infA

Uma importante consequência do Axioma do Supremo é que o conjunto dos números naturaisNnão é limitado superiormente emR.Ou seja, nenhum