Dissertação de Mestrado DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE REALCES ABERTOSCÂMARAS INCLINADAS E PILARES VIA PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA

(1)

Dis

DIMENSI

REALCE

INCLIN

PROGRA

AUTOR: FERNAN

ORIENTADOR: Pr

PROGRAMA DE P OUR

issertação de Mestrado

SIONAMENTO ÓTIMO

CES ABERTOS/CÂMARA

INADAS

E PILARES VIA

AMAÇÃO MATEMÁTI

NÃO-LINEAR

ANDA DE BRITO BENVINDO

Prof. Rodrigo Peluci de Figueired

PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA D URO PRETO - DEZEMBRO DE 2011

O DE

RAS

IA

ICA

O SOUZA

edo (UFOP)

(2)

(3)

Catalogação: [email protected]

S729d Souza, Fernanda de Brito Benvindo.

Dimensionamento ótimo de realces abertos / câmaras inclinadas e pilares via programação matemática não-linear [manuscrito] / Fernanda de Brito Benvindo Souza – 2011.

xi, 59f.: il., color.; grafs.; tabs.

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Peluci de Figueiredo.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Núcleo de Geotecnia - NUGEO.

Área de concentração: Geotecnia Aplicada à Mineração.

1. Lavra de minas - Realces abertos - Teses. 2. Lavra subterrânea - Câmaras inclinadas - Teses. 3. Pilares (Mineração) - Teoria da área tributária - Teses. 4. Otimização matemática - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.

(4)

DEDICATÓRIA

(5)

AGRADECIMENTO

A realização deste trabalho se deve ao apoio e colaboração de diversas pessoas, às quais transmito os mais sinceros agradecimentos:

Professor Rodrigo Peluci de Figueiredo, pela orientação e apoio;

Dr. Fábio Soares de Magalhães pela leitura crítica dos textos, incentivo e amizade;

Geólogo Ângelo Zenóbio, responsável pelo meu interesse pela geotecnia, por me ensinar a dar os “primeiros passos”;

Os amigos geólogos Dianne Faria e Alex Freitas e o Eng. Antônio Marçal, pela amizade, companhia e longas horas de estudo;

Aos amigos das empresas TEC3 Geotecnia & Recursos Hídricos, VOGBR Recursos Hídricos & Geotecnia e BVP Engenharia e Projetos, pela compreensão, amizade, apoio e incentivo ao longo de minha “vida profissional”;

Professores do NUGEO/UFOP pelos ensinamentos de grande valia, os quais sempre guardarei comigo;

À Votorantim Metais – Unidade Paracatu, pela autorização de utilização dos dados da mina de Morro Agudo;

Demais amigos espalhados pelo mundo;

Minha família, pelo apoio inabalável, compreensão e incentivo, sem os quais eu não teria conseguido;

(6)

RESUMO

Ainda hoje o dimensionamento de vãos e pilares em minas subterrâneas consiste em se definir, por tentativa e erro, um arranjo no qual a estabilidade dos pilares seja garantida por um fator de segurança (FS) previamente arbitrado. Para um dado arranjo, calculam-se as tensões médias atuantes nos pilares (pela teoria da área tributária) e a resistência dos mesmos por alguma fórmula empírica existente. Caso o FS seja satisfeito, a recuperação decorrente do arranjo geométrico proposto é então determinada, não sendo geralmente ótima.

Neste trabalho é estudada a utilização de uma metodologia de dimensionamento alternativa inicialmente proposta por Figueiredo & Curi (2003, 2004) onde um problema padrão de Programação Matemática é formulado com o objetivo de maximizar a recuperação respeitando, entretanto, as restrições de segurança dos pilares e os requisitos de estabilidade e tecnológicos/operacionais dos vãos.

Como a recuperação, a resistência dos pilares e de suas fundações, a dimensão dos vãos, etc. são funções, via de regra, não lineares dos parâmetros geométricos do arranjo, tem-se em questão um problema particularmente intrincado de programação não-linear.

Utilizando-se fórmulas de resistência consagradas, são apresentados exemplos de solução para arranjos realistas aplicados à lavra por Realces Abertos e por Câmaras e Pilares inclinados. Resultados de estudos paramétricos são relatados, comparando a recuperação por meio da metodologia usualmente utilizada e a metodologia de dimensionamento ótimo proposta. Têm-se, ainda, os resultados avaliados via modelos numéricos por elementos de contorno.

(7)

ABSTRACT

To this day the design of arrangements for stopes and pillars in underground mines consists of defining, by trial and error, an arrangement in which the stability of the pillars is guaranteed by a factor of safety (FoS) previously arbitrated. For a given arrangement, the average stress pillar (by tributary area theory) and its strength are calculated by an existing empirical formula. If the FoS is met, the recovery due to the geometric arrangement proposed is then determined, not generally being optimal.

In this paper is studied the use of an alternative design methodology initially proposed by Figueiredo & Curi, (2003, 2004) in which a standard Mathematical Programming problem is formulated with the purpose of maximizing the recovery respecting, however, the pillars´ safety restrictions and the stability requirements and technological/operational of the stopes.

Since the recovery, pillar and their foundations´ strength, the stope dimensions, etc. are functions, non-linear as a rule, of the arrangement´s geometrical parameters, there is a particularly intricate problem of non-linear programming.

Using well known strength formulas, it is also presented examples of solutions to realistic arrangements applied to mining by Open Stopes and Inclined Rooms and Pillars. Results of parametric studies are reported, comparing the recovery using the commonly used methodology and the optimal design methodology proposed. Furthermore, there are also the results evaluated by numerical models by boundary elements.

(8)

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ... 1

1.1. APRESENTAÇÃO ... 1

1.2. JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS ... 1

1.3. ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO E CONTEÚDO ... 2

CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 4

2.1. MÉTODOS DE LAVRA ... 4

2.1.1. Realces Abertos ... 4

2.1.2. Câmaras e Pilares ... 5

2.2. DIMENSIONAMENTO DE VÃOS E PILARES ... 7

2.2.1. Metodologias de dimensionamento (Convencional x Otimizado) ... 7

2.2.2. Métodos de dimensionamento ... 11

2.2.2.1. Determinação de Vãos Máximos (Método Empírico de Mathews-Potvin) ... 12

2.2.2.2. Dimensionamento de Pilares ... 17

2.2.2.2.1. Determinação da carga total no pilar – Teoria da Área Tributária (TAT) ... 17

2.2.2.2.2. Adaptação da TAT para o método de lavra por Realces Abertos ... 18

2.2.2.2.3. Força resultante em pilares inclinados (Câmaras e Pilares) ... 20

2.2.2.2.4. Métodos Empíricos para determinação da resistência do pilar ... 22

CAPÍTULO 3 – DIMENSIONAMENTO ÓTIMO ... 25

3.1. PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ... 25

3.1.1. Maximização da recuperação em lavra por Realces Abertos ... 25

3.1.2. Maximização da recuperação em lavra por Câmaras e Pilares (Inclinados) ... 27

CAPÍTULO 4 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO ... 28

(9)

4.1.1. Características do corpo mineral ... 29

4.1.2. Dimensionamento convencional ... 29

4.1.2.1. Dimensionamento de realces ... 29

4.1.2.2. Dimensionamento de pilares ... 31

4.1.3. Dimensionamento Otimizado ... 34

4.1.4. Análises numéricas e resultados ... 40

4.2. ESTUDO DE CASO II – CÂMARAS E PILARES INCLINADOS ... 45

4.2.1. Características do maciço rochoso ... 46

4.2.2. Considerações sobre o modelo numérico ... 48

4.2.3. A formulação do modelo de otimização... 49

4.2.4. Resultados ... 52

CAPÍTULO 5 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ... 54

5.1. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 54

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 56

ANEXO I – Dedução da fórmula de Mark & Chase (1997) para resistência de pilares retangulares.

ANEXO II – Arquivos em Mathcad.

ANEXO III – Modelos numéricos – Análise de isofaixas de Fatores de Segurança para três realces segundo o eixo Z.

(10)

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Estrutura típica de uma lavra por realces abertos (modificado de Potvin (1985)). ... 5

Figura 2.2: Estrutura típica da lavra por câmaras e pilares em camadas inclinadas: (a) câmaras e pilares em degraus (step room and pillar – adaptado de Atlas Copco, 2007) (b) câmaras e pilares inclinados (adaptado de Brady & Brown, 1985). ... 7

Figura 2.3: Fluxograma com as duas metodologias de dimensionamento: a convencional e a otimizada. ... 10

Figura 2.4: Métodos de dimensionamento utilizados nesta dissertação. ... 11

Figura 2.5: Gráfico para determinar o Fator A de tensão na rocha (Brady & Brown, 1985). ... 13

Figura 2.6: Gráfico para determinar o fator B (Brady & Brown, 1985). ... 14

Figura 2.7: Gráfico para determinar o fator C (Brady & Brown, 1985). ... 14

Figura 2.8: Ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin (modificado de Hutchinson & Diederichs, 1996). ... 15

Figura 2.9: Ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin para projeto de suporte com cabos na Zona de Transição: (a) malhas; (b) comprimentos (em cores estão as curvas ajustadas); (modificado de Hutchinson & Diederichs, 1996). ... 16

Figura 2.10: (a) Arranjo de realces abertos e pilares em 3D; (b) visão segundo o plano xy; (c) visão segundo o plano xz; (d) visão segundo o plano yz. ... 20

Figura 2.11: Forças atuantes em pilares em depósitos horizontais (modificado de Oyangüren et al., 1984). ... 21

Figura 2.12: Forças atuantes em pilares em depósitos inclinados (modificado de Oyangüren, et al. 1984). ... 22

Figura 4.1: Representação da estrutura da mina a ser analisada neste estudo de caso. ... 30

Figura 4.2: Determinação da resistência do maciço rochoso pelo software RocLab para Q’= 20 (minério). ... 32

Figura 4.3: Gráfico com os ganhos na recuperação obtidos utilizando-se as fórmulas de resistência de Lunder & Pakalnis e de Mark & Chase. ... 40

Figura 4.4: Vista em perspectiva do modelo de elementos de contorno para geometria apresentada na Ficha 03 (8.320 elementos triangulares com interpolação linear de deslocamentos). ... 41

Figura 4.5: Determinação da resistência do maciço rochoso pelo software RocLab para Q’= 40 (rocha encaixante). ... 42 Figura 4.6: Resultado em termos de isofaixas de Fatores de Segurança sobre as superfícies

(11)

Figura 4.7: Resultado em termos de isofaixas de Fatores de Segurança em planos de corte nos pilares (Ficha 03), obtidas pelo dimensionamento: (a) convencional (Wy=14,6;

Wz=21,0) e (b) otimizado (Wz=7,4; Wz=8,0) ... 44

Figura 4.8: Resultados para lavra em camada única, com altura média de 5 m, no nível 616, com pilares de 6 x 6 m. Vista de topo apresentando isofaixas de FS e volumes com FS < 1 (em amarelo). ... 48 Figura 4.9: Geometria do exemplo de Morro Agudo para camada com 5 m de altura média e

pilares de 6 x 6 m. Todas as dimensões em metros. ... 49 Figura 4.10: Variação das cargas com o número de pilares, para painéis profundos em relação à

sua extensão. A carga fornecida pela área tributária é dada pela linha horizontal preta e a fornecida pelo modelo Hoper & Menzel é representada pela curva/pontos de cor azul (apud Udd, 1969). ... 51 Figura 4.11: Resultado obtido com o modelo de otimização implementado em MathCad para o

(12)

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1: Algumas expressões para determinação da resistência do pilar. ... 23

Tabela 4.1: Dimensões “Z” de realces para 150m de profundidade. ... 30

Tabela 4.2: Dimensões “Z”de realces para 250m de profundidade. ... 30

Tabela 4.3: Dimensões “Z” de realces para 350m de profundidade. ... 30

Tabela 4.4: Largura dos rib pillars para profundidade de 150m ... 33

Tabela 4.5: Largura dos rib pillars para profundidade de 250m. ... 33

Tabela 4.6: Largura dos rib pillars para profundidade de 350m. ... 33

Tabela 4.7: Espessuras mínimas de sill pillars para espessura de minério de 10, 20 e 30m. ... 34

Tabela 4.8: Fichas Respostas das análises de otimização obtidas pelo software Mathcad. ... 36

Tabela 4.9: Resultado das recuperações: Dimensionamento Tradicional x Dimensionamento Otimizado. ... 39

Tabela 4.10: Parâmetros geomecânicos utilizados nos modelos numéricos, para minério (pilar) e rocha encaixante (realce). ... 42

Tabela 4.11: Resultados limítrofes (dimensões recomendadas dos pilares) para a lavra do corpo isolado (JK) no nível 616. ... 46

(13)

LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURAS E ABREVIAÇÕES

v Tensão vertical

p Tensão no pilar

At Área total do jazimento

Ap Área do pilar

R Recuperação

Peso específico da rocha

zp Profundidade

Kx e Ky Coeficientes de empuxo lateral (razão das tensões in situ)

FS Fator de segurança

X Largura do realce

Y Altura do realce

Z Comprimento do realce

Wx Dimensão do pilar segundo a direção x

Wy Dimensão do pilar segundo a direção y

Wz Dimensão do pilar segundo a direção z

Mergulho do corpo mineralizado

Inclinação do eixo do pilar com relação ao corpo mineralizado Wp Largura do pilar (câmaras e pilares)

Wo Largura da câmara

C Resistência à compressão uniaxial do maciço

c Coesão

Ângulo de atrito

H Altura do pilar (câmaras e pilares)

nx Número de pilares segundo a direção x

ny Número de pilares segundo a direção y

cm Resistência global do maciço

(14)

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

1.1. APRESENTAÇÃO

Ainda hoje o dimensionamento de arranjos de câmaras/realces e pilares em minas subterrâneas é feito principalmente pela teoria da área tributária e fórmulas empíricas de resistência. O procedimento consiste em definir, por tentativas e erros, um arranjo no qual a estabilidade da mina seja garantida por um fator de segurança previamente arbitrado.

A estrutura de uma mina subterrânea, independente do método de lavra empregado, é distribuída basicamente em realces ou câmaras, que são aberturas onde as operações de produção são conduzidas, e pilares, os quais são remanescentes de minério deixados in loco cuja finalidade é servir de suporte para a estrutura global da mina. Esse abandono de minério tem implicações óbvias sobre a recuperação final do jazimento, ou seja, no aproveitamento da jazida.

Devido às restrições em todo mundo, principalmente no que tange a questões legais, ambientais e de segurança, é requerido um rígido controle das condições geomecânicas do maciço e um efetivo planejamento de dimensões seguras tanto dos pilares quanto dos vãos. Isso impõe, por outro lado, restrições à máxima recuperação possível do jazimento, que comumente ficará entre 50 e 60 % no caso de realces abertos e 40 a 50 % para câmaras e pilares (dependendo da profundidade, tensões in situ, resistência do maciço rochoso, etc.), quando não houver recuperação posterior dos pilares. Em função disso, tais operações de lavra ficarão cada vez mais restritas, a menos que se possa dimensionar de forma otimizada o respectivo arranjo de realces/câmaras e pilares, de forma a auferir o máximo aproveitamento da jazida.

1.2. JUSTIFICATIVA E OBJETIVOS

A proposta desta dissertação é adotar uma abordagem alternativa para o dimensionamento de estruturas de lavra (Figueiredo & Curi, 2003, 2004; Brandão, 2005), de forma que se obtenha a máxima recuperação da jazida com os níveis de segurança normalmente requeridos.

(15)

qual o objetivo é maximizar a recuperação satisfazendo, todavia, as restrições impostas por questões operacionais/tecnológicas e geomecânicas. Essas últimas implicam respeitar os vãos máximos e dimensões mínimas de pilares que levem a um adequado Fator de Segurança e maximizem a recuperação, tendo em vista ser esse um dos objetivos básicos da engenharia de minas.

Para tanto existem diversas alternativas de cálculo, seja para o estabelecimento dos vãos máximos, seja para a determinação das tensões médias atuantes no pilar. Deve-se frisar que, apesar de algumas técnicas serem mais utilizadas que outras, não implica, necessariamente, que sejam mais ou menos apropriadas. A aplicabilidade de cada uma varia de acordo com as respectivas hipóteses de base.

Dentre os principais objetivos deste trabalho estão:

• Utilizar a Programação Matemática Não-Linear como ferramenta de otimização

da recuperação no dimensionamento de minas subterrâneas operadas pelos métodos de realces abertos e câmaras e pilares (para corpos de minério inclinados);

• Comparar e estabelecer quais critérios, dentre alguns dos existentes na literatura,

permitem dimensionar vãos e pilares levando à obtenção de uma melhor recuperação do jazimento, sem que com isso haja o comprometimento da estrutura global da mina;

• Validar, através de confrontação, os resultados obtidos pela metodologia de

otimização proposta com modelos numéricos tridimensionais, de elementos de contorno, além da sua comparação com casos hipotéticos e/ou reais descritos na literatura.

1.3. ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO E CONTEÚDO

Esta dissertação está dividida em cinco capítulos, conforme segue:

• Capítulo 1 – INTRODUÇÃO - Parte inicial da dissertação com a apresentação

do trabalho proposto, objetivos e justificativas para a escolha do tema proposto;

• Capítulo 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA – Apresentação de um breve resumo

(16)

métodos para determinação de vãos e pilares hodiernamente utilizados;

• Capítulo 3 – MODELOS DE OTIMIZAÇÃO - É apresentada a metodologia

para o dimensionamento otimizado dos realces/câmaras e pilares, sendo descritas as adaptações feitas para a aplicação a cada um dos métodos de lavra aqui estudados;

• Capítulo 4 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO - Aplicação da otimização em

estudos de caso para o método de lavra por Realces Abertos e para Câmaras e Pilares para minério inclinado. No primeiro, para uma mina hipotética, é feita uma comparação entre os resultados de recuperação obtidos utilizando-se as duas formas de dimensionamento: a convencional e a proposta nesta dissertação. No segundo, é aplicada a metodologia de otimização à mina de Morro Agudo, da Votorantim Metais, e seu resultado comparado com uma análise numérica 3D do arranjo de lavra utilizado na mina.

• Capítulo 5 – CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES – Apresentação das

(17)

CAPÍTULO 2 – REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1. MÉTODOS DE LAVRA

A escolha do método de lavra é um fator de extrema importância para o resultado econômico de uma mina, em que uma opção inadequada pode ter efeitos negativos e até abortivos para o projeto de explotação. Ela depende, em grande parte, da localização e forma do depósito mineral, além de outras condicionantes como profundidade, características mecânicas e tensões in situ atuantes no maciço. Sendo assim, deve-se sempre escolher uma opção segura e, ao mesmo tempo, o mais econômica possível.

Nesta dissertação foram selecionados dois métodos a serem estudados com os modelos de otimização: o método de lavra por Realces Abertos (Open Stopes) e o de Câmaras e Pilares (Room and Pillars). Para esse último em casos específicos de corpos de minério levemente inclinados. As principais características desses métodos estão apresentadas a seguir.

2.1.1. Realces Abertos

A lavra por Realces Abertos é um método de alta-produção aplicável a grandes corpos de minério, com alto ângulo de mergulho, sendo que esses e seus maciços encaixantes devam requerer pouco ou nenhum suporte. Apesar de seu alto custo de implantação, este método de lavra é amplamente utilizado por apresentar alta produtividade e bons rendimentos com respeito ao aproveitamento da jazida mineral.

Para a aplicação deste método, o corpo de minério típico deve possuir bordas relativamente regulares, ser suficientemente grande, competente e com encaixantes auto-sustentáveis ou que necessite de um suporte artificial leve, com cabos, por exemplo. A resistência da rocha pode variar amplamente, pois pode ser compensada pelo design, mas varia a partir de um limite mínimo de 55MPa (8000 psi), sem limite superior (Haycocks & Aelick, 1992). O mergulho do footwall do corpo de minério deve ser tal que exceda o ângulo de atrito do minério fragmentado, de forma a permitir um fluxo por gravidade até os drawpoints.

(18)

Neste método, os vãos são frequentemente grandes, particularmente na direção vertical, e encontram-se separados por pilares de suporte. Esses pilares são chamados rib pillars, quando segundo o mergulho do corpo ou verticais e sill pillars, quando segundo a direção do corpo, portanto, horizontais. A Figura 2.1 apresenta a estrutura típica de uma lavra por realces abertos.

Figura 2.1: Estrutura típica de uma lavra por realces abertos (modificado de Potvin (1985)).

2.1.2. Câmaras e Pilares

(19)

um padrão normalmente regular para simplificar o planejamento, design e operação da mina, mas podem apresentar variadas formas, sendo geralmente quadrados ou retangulares (Haycocks & Aelick, 1992).

O minério abandonado sob a forma de pilares é geralmente considerado irrecuperável e, quando recuperável, deve-se recorrer à utilização de backfill. Nestes casos, os custos relativos à sua utilização ou a potencial perda de recursos pode ser um fator limitante à aplicação do método em profundidades elevadas.

As dimensões das câmaras e pilares dependem, em grande parte, do projeto da mina, o qual inclui parâmetros intrínsecos às características do depósito, tais como resistência do minério, espessura do depósito, profundidade da mina, dentre outros. Um requisito importante é que a parede da câmara seja relativamente competente durante um curto período de tempo ou passível de suporte com rock bolts que poderão ser usados extensivamente em câmaras e pilares. O método é particularmente adequado para depósitos acamadados de espessura moderada (2 a 6 metros) tais como carvão, sal, potássio e calcário.

De particular interesse nesta dissertação, é a aplicação desse método de lavra a camadas inclinadas. A Figura 2.2 ilustra, esquematicamente, as duas principais variantes do método nessa circunstância. A primeira, apresentada na Figura 2.2a, ilustra o chamado

(20)

(a)

(b)

Figura 2.2: Estrutura típica da lavra por câmaras e pilares em camadas inclinadas: (a) câmaras e pilares em degraus (step room and pillar – adaptado de Atlas Copco, 2007) (b) câmaras e pilares

inclinados (adaptado de Brady & Brown, 1985).

2.2. DIMENSIONAMENTO DE VÃOS E PILARES

2.2.1. Metodologias de dimensionamento (Convencional x Otimizado)

(21)

do contrário, ou as dimensões são revistas alterando-se as condições operacionais, ou é prevista a utilização de algum tipo de suporte, conforme o mais conveniente economicamente (Figueiredo & Curi, 2004). O estabelecimento dos vãos máximos pode ser feito de várias maneiras como, por exemplo, utilizando-se a teoria das lajes elásticas (Goodman, 1989), o método empírico de Mathews-Potvin (raio hidráulico) (Potvin et al. 1989) ou o método das lajes/vigas de Voussoir (Brady & Brown, 2004), dentre outros.

As dimensões dos pilares são calculadas de maneira a satisfazer, com adequada margem de segurança, a sua função de suporte estrutural da mina. Para tanto, há que se estabelecer previamente (Figueiredo & Curi, 2003, 2004):

(i) uma maneira de se calcular a carga total ou tensão média atuante no pilar;

(ii) expressões que forneçam a resistência do pilar em função de suas dimensões, forma e características geomecânicas do material do qual é constituído e,

(iii) um valor de Fator de Segurança adequado, o qual vem a ser critério de projeto.

No que diz respeito ao item (i) utiliza-se na prática da mineração principalmente a teoria da área tributária, para (ii) são empregadas basicamente fórmulas empíricas de resistência (Brady & Brown, 2004) e para (iii) adotam-se valores consagrados pela prática, obtidos através de retro-análises de casos históricos (Figueiredo & Curi, 2003, 2004).

Apesar da ampla utilização da teoria da área tributária para o cálculo da carga total ou tensão média atuante no pilar, outros critérios alternativos são possíveis, como o método da Convergência-Confinamento (Gill et al., 1994), o método de Coates (Coates, 1981) e a abordagem de vigas sobre base elástica (Salamon,1976).

O dimensionamento otimizado

(22)

restrições, impostas pelos condicionantes geomecânicos, à maximização da recuperação. Para tanto, os autores propõem um problema padrão de Programação Matemática, no qual a função objetivo é a recuperação, e apresentam exemplos da aplicação da metodologia utilizando, para determinação da carga no pilar, a teoria da área tributária e para a estimativa da resistência, fórmulas empíricas como as de Merwe (1999), Mark & Chase (1997) e Obert & Duvall (1967, in Figueiredo & Curi, 2004).

Nos referidos trabalhos, os problemas foram codificados para resolução no software

comercial LINGO 7.0, que utiliza as condições de Kuhn-Tucker (Arora, 1988) para transformar o problema padrão de programação matemática em um problema de otimização sem restrições. Por meio de um algoritmo iterativo de linearizações locais sucessivas e, empregando, seqüencialmente, o algoritmo Simplex (Arora, 1988) em cada uma delas, o problema padrão é solucionado de modo eficiente.

A formulação do problema de programação matemática (Bazaraa et al., 1993 (in

Figueiredo & Curi, 2004)), encontra-se apresentada a seguir:

Otimize:

Sujeito a: _{≤ 0, = 1, … , ;}

ℎ = 0, = 1, ... , p

≤ ≤ e

∈

Onde = , , … , ɩ é o vetor de n-dimensões das variáveis de projeto; é a função objetivo a ser otimizada; _{≤ 0} são as m restrições de desigualdade; _ℎ = 0 são as p restrições de igualdade; ≤ ≤ são as restrições de domínio e ∈ são as restrições de tipo das variáveis (reais, inteiras, etc.).

(23)

Os passos necessários ao dimensionamento pelas metodologias aqui apresentadas são mostrados nos fluxogramas da Figura 2.3.

Figura 2.3: Fluxograma com as duas metodologias de dimensionamento: a convencional e a otimizada.

Resumidamente, no dimensionamento convencional, após aplicação dos métodos adotados para definição das dimensões dos realces/câmaras e pilares, é obtido um resultado preliminar que posteriormente é verificado por modelagem numérica. Geralmente as dimensões resultantes são conservadoras e exigirão alterações iterativas que serão remodeladas numericamente, num processo de tentativas e erros, no qual não há nenhuma garantia de obtenção da máxima recuperação possível. Já na otimização, as dimensões preliminares resultantes serão aquelas que fornecem, de acordo com os

DIMENSIONAMENTO

CONVENCIONAL DIMENSIONAMENTO OTIMIZADO

Definição das dimensões das câmaras/realces

Definição das dimensões dos pilares

RESULTADO PRELIMINAR

Análises numéricas

Redimensionamento por tentativas e erros

RESULTADO

Definição das dimensões das câmaras/realces

Definição das dimensões dos pilares

Otimização

Análises numéricas

(24)

métodos adotados, a máxima recuperação. Portanto, não deverão ser tão conservadoras quanto no dimensionamento convencional. Em conseqüência, a verificação subseqüente por modelagem numérica tenderá a corroborar a dimensão inicial ou, eventualmente, indicará somente um “ajuste fino” das dimensões. Dessa forma, elimina-se o tedioso trabalho de remodelagem por tentativas e erros, que, além do mais, não garante uma recuperação ótima ao final do processo. No dimensionamento ótimo, as técnicas computacionais próprias da Programação Matemática tornam o processo praticamente automático, garantindo sempre a obtenção da melhor recuperação possível.

2.2.2. Métodos de dimensionamento

A seguir serão apresentados, dentre os diversos métodos existentes, os que serão utilizados para determinação dos vãos e pilares nesta dissertação, os quais se encontram apresentados resumidamente na Figura 2.4.

Figura 2.4: Métodos de dimensionamento utilizados nesta dissertação.

Ressalta-se que não se pretende aqui detalhar os métodos escolhidos. Dessa forma, aconselha-se, para melhor entendimento dos mesmos, um retorno às bibliografias respectivas, as quais encontram-se aqui mencionadas.

É importante salientar que cada método existente foi desenvolvido considerando

Realces

Método empírico de

Mathews-Potvin

Pilares

Carga no pilar

Teoria da área tributária Resistência do pilar Fórmula de Lunder & Pakalnis (1997)

Fórmula de Mark & Chase (1997)

Fórmula de Obert & Duvall

(1967)

Fator de segurança

(25)

características pré-estabelecidas do maciço rochoso e/ou assumindo certas hipóteses. Dessa forma, deve-se sempre estar atento às mesmas antes da aplicação da metodologia.

2.2.2.1. Determinação de Vãos Máximos (Método Empírico de Mathews-Potvin)

Método proposto originalmente por Mathews et al. (1980) para minas subterrâneas lavradas por realces abertos com profundidades maiores que 1.000m. Sua proposição inicial foi baseada em uma quantidade de dados relativamente pequena. Após a ampliação significativa da base de dados, principalmente para minas com profundidades menores que 1.000m, várias modificações foram propostas por Potvin et al. (1989), Stewart & Forsyth (1995) e Trueman et al. (2000).

O método baseia-se na determinação de dois fatores: o Número de Estabilidade, N’, e o

Fator de Forma, S. Esses dois, em conjunto, permitem, por meio de um gráfico, delimitar zonas de vãos estáveis e instáveis.

O Número de Estabilidade é função, inicialmente, do parâmetro Q’, por sua vez, modificado do índice Q, do sistema de classificação para túneis proposto por Barton et al. (1974). O valor de Q’ é dado por:

= _"! (2.1)

onde,

RQD é o índice de designação da qualidade da rocha (Rock Quality Designation);

Jn é índice de influência do numero de famílias das descontinuidades;

Jr é o índice de influência da rugosidade das paredes das descontinuidades;

Ja é o índice de influência da alteração das paredes das descontinuidades.

O valor de N’ é então dado por

#′ = . &. '. ( (2.2)

onde,

A é um fator de tensão na rocha;

(26)

C é um fator de ajuste gravitacional.

O fator A é determinado por meio da razão da resistência da rocha intacta, c, pela

tensão induzida, i (Figura 2.5), ou seja,

& =)₎* (2.3)

A tensão induzida, i, pode ser obtida por análise numérica de tensões ou estimada a

partir de soluções analíticas para a distribuição de tensões, publicadas na literatura.

Figura 2.5: Gráfico para determinar o Fator A de tensão na rocha (Brady & Brown, 1985).

O fatorB ajusta a orientação das famílias de descontinuidades dominantes com relação à superfície da escavação, e é estimado conforme a Figura 2.6.

O fatorC reflete o efeito que a orientação do realce tem na estabilidade, considerando o efeito da gravidade, e é determinado pela Figura 2.7.

O Fator de Forma, também conhecido como Raio Hidráulico (HR), é determinado pela relação entre área da face do realce e seu perímetro, ou seja,

(27)

Figura 2.6: Gráfico para determinar o fator B com base na orientação da família de descontinuidades dominante (Brady & Brown, 1985).

(28)

Conhecido N’ pode-se determinar graficamente um raio hidráulico (HR) correspondente à estabilidade da face para as condições autoportante ou com suporte. O gráfico original de Mathews consistia em três zonas separadas por bandas transicionais. Após as modificações, Potvin et al.(1989) estabeleceu uma zona estável sem suporte, uma zona instável, as quais foram demarcadas por linhas e separadas por uma zona de transição, na qual é factível o suporte com cabos. A Figura 2.8 mostra o gráfico em questão. A Figura 2.9a apresenta os espaçamentos da malha de cabos apropriada a pares de N’ e HR e a Figura 2.9b os comprimentos correspondentes dos mesmos, conforme proposto por Hutchinson & Diederichs (1996).

Figura 2.8: Ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin (modificado de Hutchinson & Diederichs, 1996).

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

Raio hidráulico da face (HR) - m

0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0 N ú m e ro d e e s ta b ili d a d e m o d if ic a d o ( N ') HC SC LC

HC = high confidence SC = some confidence LC = low confidence Suporte não requerido

(29)

(a)

(b)

Figura 2.9: Ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin para projeto de suporte com cabos na Zona de Transição: (a) malhas; (b) comprimentos (em cores estão as curvas ajustadas); (modificado

de Hutchinson & Diederichs, 1996).

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0 N ú m e ro d e e s ta b ili d a d e m o d if ic a d o ( N ') 2-2 .5 m

1.5 -2 m

1-1 .5 m

<1 m Espaçamento de projeto (m): malha quadrada equivalente

Vãos equivalentes: face quadrada (túnel) 20x20 (10) 40x40 (20) 60x60 (30) 80x80 (40)

0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00

0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0 N ú m e ro d e e s ta b ili d a d e m o d if ic a d o ( N ')

Comprimento de projeto (m) para cabos (malha regular) 4-6 m 6-9 m 9-1 3 m

(30)

2.2.2.2. Dimensionamento de Pilares

2.2.2.2.1. Determinação da carga total no pilar – Teoria da Área Tributária (TAT)

A teoria da área tributária é a mais simplista e conservadora dentre as hipóteses existentes para a determinação da tensão média ou carga atuante no pilar. Baseia-se exclusivamente em noções elementares de equilíbrio estático, originariamente, apenas para a direção vertical (Brady & Brown, 1985).

A tensão média em um pilar para arranjos uniformes de pilares pode ser representada, de uma maneira geral por:

)4 = 5_AA7 89 . ):

(2.5)

Onde )_: é a tensão vertical in situ, perpendicular à seção resistente, At é a área total do jazimento (área lavrada + área dos pilares) e Ap a área dos pilares. Variando-se o arranjo uniforme, variar-se-á apenas a razão entre a área total do jazimento e a área abandonada em pilares.

Observa-se que a tensão média no pilar, sendo uma função da razão entre a área total do jazimento e a área abandonada em pilares, é uma função da própria recuperação, R, como segue (Brady & Brown, 1985):

)4 = _{1 − R}): (2.6)

(31)

2.2.2.2.2. Adaptação da TAT para o método de lavra por Realces Abertos

Quando consideramos o método de lavra Realces Abertos, temos pilares que são carregados segundo três direções diferentes no espaço. O cálculo das cargas desses pilares deve ser adaptado de forma a levar em consideração as tensões atuantes em cada uma dessas três direções. Eventualmente, tais direções podem coincidir com as direções principais. Suponhamos tal coincidência e que as direções principais se alinhem segundo os eixos x, y e z (Figura 2.10). Impondo as condições de equilíbrio de forças nessas direções teremos:

= >?= 0 ⇨ )? ABC+ EF BG+ H = )JJJJ HB?I C+ KBG+ BCBG (2.7a)

= >C = 0 ⇨ )C B?+ K BG+ H = )JJJJ KBCI G+ HB?+ B?BG (2.7b)

= >G= 0 ⇨ )G B?+ K ABC+ EF = )JJJJ EBGI ?+ KBC+ B?BC (2.7c)

onde ) é a tensão in situ segundo a direção i (i = x, y ou z) e )JJJJ_GI é a tensão média no pilar segundo a direção z e assim por diante para as demais direções.

As tensões ₎ das equações (2.7a), (2.7b) e (2.7c) são as tensões principais in situ, supostamente atuantes nas direções x, y e z. Para a direção vertical y, o valor é normalmente estimado pela hipótese litostática usual (Brady & Brown, 2004), ou seja, considerando apenas o peso do maciço rochoso sobrejacente, conforme:

)C = L. M0 (2.8)

onde é o peso específico das rochas sobrejacentes e zp a profundidade.

Para as direções principais relativas ao plano horizontal (x e z), o valor pode ser estimado como

)?= N?. )C e )G = NG. )C (2.9a) e (2.9b)

(32)

Ressalta-se que para a utilização dessa teoria na obtenção da tensão axial no pilar deve-se atentar às diversas limitações implícitas ao procedimento (Brady & Brown, 1985), tais como:

• A tensão média no pilar é puramente uma quantidade conveniente para

representar o estado de carregamento do pilar em uma direção dada;

• A teoria da área tributária se restringe à análise da componente de tensão normal

(pré-lavra) atuante paralelamente ao eixo dos pilares. A suposição, implícita, de que outras componentes do campo de tensões não têm efeito no desempenho dos pilares, geralmente não é verdadeira;

• O efeito da localização do pilar dentro do corpo do minério é ignorado. Assim,

pilares centrais receberiam o mesmo carregamento que pilares próximos aos limites do corpo (abutments), o que não é verdadeiro.

De maneira geral, a teoria da área tributária só é aproximadamente correta quando houver grande extensão de lavra e, portanto, grande número de pilares e a profundidade for pequena em relação àquela extensão.

Ressalta-se que, na adaptação da teoria da área tributária aqui apresentada, consideram-se todas as direções principais e consideram-seus respectivos carregamentos. Da mesma forma, restrições às dimensões dos pilares, conforme as suas resistências e carregamentos, têm que ser impostas. Assim, para as direções x, y e z, podem-se escrevê-las como segue:

)O?ABC, K, HF ≥ >+. )JJJJ E,H, B?I C, BG

)O? BG, K, E ≥ >+. )JJJJ E,H,B?I C, BG

)_OC B?, E, H ≥ >+. )JJJJ K,H, BCI ?, BG

)_OC BG, E, K ≥ >+. )JJJJ K,H,BCI ?, BG

)OG B?, H, E ≥ >+. )JJJJ E,K,BGI ?, BC

)_OG_AB_C_{, H, KF ≥ >+. )}JJJJ E,K,B_GI _?_{, B}_C

(2.10)

(33)

direção i (= x, y e z) e P i

σ é a tensão média no pilar nessa mesma direção.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.10: (a) Arranjo de realces abertos e pilares em 3D; (b) visão segundo o plano xy; (c) visão segundo o plano xz; (d) visão segundo o plano yz.

2.2.2.2.3. Força resultante em pilares inclinados (Câmaras e Pilares)

(34)

Para (1), está representada na Figura 2.11, a distribuição das tensões verticais em uma seção média horizontal. Neste caso, como os pilares estão submetidos à compressão em sua totalidade, se forem suficientemente esbeltos (altura/largura maior que 1,5), os cálculos de resistência se fazem tendo em conta que o pilar trabalha à compressão simples.

Para (2) a distribuição das tensões nos pilares é definida pela soma de duas componentes: a vertical devida ao peso (área tributária) e uma horizontal, devida ao empuxo lateral do terreno, conforme apresentado na Figura 2.12(a).

Para (3) é apresentada uma formulação, devida a Troumbatchev & Melnikov (1964), onde é determinada uma inclinação ótima dos pilares, para que a distribuição de tensões seja o mais uniforme possível, aproveitando, assim, ao máximo, a sua capacidade de suporte. Para tanto, considerando uma inclinação do eixo dos pilares com relação à normal ao depósito, o valor ótimo deste ângulo é obtido fazendo-se a direção da força resultante sobre o pilar tornar-se paralela ao seu eixo (Figura 2.12(b)). O valor da tensão no pilar apresentada é:

) = L . M . AB_B4+ BQF

4 cos U VW3X Y + N X.Z Y

(2.11)

Sendo o mergulho do corpo mineralizado, a inclinação do eixo do pilar com relação à normal ao depósito, B₄ e B_Q a largura do pilar e o vão, respectivamente e K o coeficiente de empuxo lateral das tensões in situ.

(35)

(a)

(b)

Figura 2.12: Forças atuantes em pilares em depósitos inclinados (modificado de Oyangüren, et al. 1984).

2.2.2.2.4. Métodos Empíricos para determinação da resistência do pilar

Um dos principais programas de investigação da resistência de pilares iniciou-se na década de 60, após o desastre de Coalbrook, uma mina de carvão na África do Sul onde 900 pilares entraram em colapso resultando em perda de equipamentos e vidas. Um dos principais objetivos da pesquisa era estabelecer a resistência in situ de pilares de carvão. Utilizando retro-análises, Salamon & Munro (in Martin & Maybee, 2000) analisaram 125 casos históricos envolvendo pilares de carvão colapsados e propuseram que a resistência do pilar poderia ser adequadamente determinada utilizando a fórmula

)4 = (.B [

\] (2.12)

(36)

Desde 1972, diversas tentativas para se estabelecerem fórmulas de resistência no pilar, utilizando retro-análises foram realizadas. Algumas se encontram apresentadas na Tabela 3.1.

Tabela 2.1: Algumas expressões para determinação da resistência do pilar.

Autor Fórmula de resistência do pilar _(MPa) c

(MPa) Maciço rochoso N

o_de

pilares

Hedley & Grant

(1972) 133 .B

_,`

E_,a` 230 Quartzitos 28

Von Kimmelmann

et al. (1984) 65 .B

_,de

E_,ee 94 Metassedimentos 57

Obert & Duvall

(1967) b ( f0,778 + 0,222 B

E j - - -

Krauland & Soder

(1987) 35,4 f0,778 + 0,222 B_{E j} 100 Calcários 14

Potvin et al. (1989) _{0,42 . )}_* B

E - Rochas do Canadá 23

Sjöberg (1992) _{74 f0,778 + 0,222}B

E j 240 Calcários/Escarnitos 9

Lunder & Pakalnis

(1997) 0,44 )* 0,68 + 0,52l - Rochas duras 178a Mark & Chase

(1997) ( m0,64 + 0,54 fB_{K j − 0,18 5}B_KE9n - - - a_{Banco de dados compilados de fontes publicadas incluindo as listadas nesta tabela. Fonte Martin & Maybee (2000) -}

modificado. b_in_{Figueiredo & Curi, 2003.}

As expressões empíricas utilizadas para a determinação da resistência de pilares são amplamente aceitas e, conforme pode ser observado, são função da resistência do próprio minério, da sua forma geométrica (esbeltez) e volume. Não obstante, a imensa maioria dessas expressões é limitada a pilares com seção resistente equidimensional. Pilares com seção não equidimensional (retangulares ou alongadas), como os rib pillars, apenas recentemente tem sido alvo de estudos específicos com o intuito da obtenção de expressões de resistência apropriadas (Mark & Chase,1997).

Como fórmulas de resistência para Câmaras e Pilares, foram utilizadas nesta dissertação fórmulas do tipo daquela proposta por Obert & Duvall (1967), a saber:

)O = ( o/ + p fB_{\ jq}4 (2.13)

(37)

constantes adimensionais (tal que / + p = 1), Wp é a largura e H é a altura do pilar.

Para os pilares retangulares do método de Realces Abertos, duas expressões foram utilizadas, a saber: Lunder & Pakalnis (1997) e Mark & Chase (1997) (ver Tab. 2.1).

A expressão de Lunder & Pakalnis é uma expressão semi-empírica, desenvolvida especificamente para rib pillars. Foi estabelecida empiricamente, com base no registro de casos históricos de minas canadenses e computacionalmente, por elementos de contorno (Brady & Brown, 1985), através de estudos que visavam quantificar o efeito do confinamento decorrente da esbeltez do pilar. Na Tabela 2.1, k é uma função da esbeltez dado por

l = tan u v w

W3Xx

y z z

{1 − 0,46|log|•K€+0,75€ ,d/|‚ƒ €

1 + 0,46 |log |•K€ + 0,75€ ,d/|‚ƒ €„… … †

‡ ˆ ‰

(2.14)

(38)

CAPÍTULO 3 – DIMENSIONAMENTO ÓTIMO

3.1. PROPOSIÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

Considerando o exposto no capítulo precedente, pode-se apresentar o problema de otimização, genericamente, na forma de um problema padrão de Programação Matemática, com as devidas restrições de resistência para pilares e de estabilidade dos vãos, de forma a obter a melhor recuperação possível. Os itens 3.3.1 e 3.3.2, a seguir, apresentam os modelos propostos para a lavra por Realces Abertos e Câmaras e Pilares Inclinados, respectivamente.

3.1.1. Maximização da recuperação em lavra por Realces Abertos

Função objetivo

- Maximize: .WAK, E, H, B_?, B_C, B_GF; Sujeito a:

- Restrições de resistência dos pilares

)_O?_AB_C_{, K, HF ≥ >+. )}JJJJ E,H,B_?I _C_{, B}_G

)O? BG, K, E ≥ >+. )JJJJ E,H,B?I C, BG

)_OC B?, E, H ≥ >+. )JJJJ K,H,BCI ?, BG

)_OC BG, E, K ≥ >+. )JJJJ K,H,BCI ?, BG

)OG B?, H, E ≥ >+. )JJJJ E,K,BGI ?, BC

)OGABC, H, KF ≥ >+. )JJJJ E,K,BGI ?, BC

- Restrição dos vãos máximos dos realces

K. E

2 K + E ≤ \ ?C 2 K + H ≤ \K. H ?G 2 H + E ≤ \H. E GC

Todas as dimensões referidas encontram-se (X, Wx, etc.) apresentadas na Figura 2.10.

O raio hidráulico (HR) máximo é estimado com base no ábaco N’ x HR do Método de Mathews-Potvin apresentado na Figura 2.8.

Considerações sobre a Recuperação na lavra por Realces Abertos

(39)

do corpo mineral.

=Š_Š

‹

(3.1)

Nota-se que a recuperação é a proporção do volume lavrado em relação ao total (comumente expresso em porcentagem).

Considerando uma mina lavrada por realces abertos, temos que os volumes lavrado e total são dados por:

Š = Z?+ 1 AZC + 1F ZG+ 1 KEH (3.2)

Š‹= Œ Z?+ 1 K + Z?B?•ŽAZC+ 1FE + ZCBC•Œ ZG+ 1 H + ZGBG• (3.3)

onde nx é o número de pilares no sentindo transversal ao corpo; ny o número de pilares no sentido vertical; nz o número de pilares no sentido longitudinal (segundo a direção corpo); X, Y e Z as dimensões dos realces, respectivamente, segundo as direções transversal (x), vertical (y) e longitudinal (z); Wx, Wy e Wz são as dimensões dos pilares, respectivamente, segundo as direções transversal (x), vertical (y) e longitudinal (z), conforme apresentado na Figura 2.10.

Portanto, de acordo com as equações (3.1), (3.2) e (3.3), a recuperação será dada por

= _{Œ Z} Z?+ 1 AZC+ 1F ZG+ 1 KEH

?+ 1 K + Z?B?•ŽAZC+ 1FE + ZCBC•Œ ZG+ 1 H + ZGBG• (3.4)

Para o caso particular proposto nesta dissertação, e que será trabalhado posteriormente no estudo de caso (Item 4.1), a espessura do minério será integralmente lavrada, não existindo, portanto, o rib-pillar transversal (cuja largura é Wx). Nesse caso, a recuperação pode ser particularizada como

= Š_Š

‹ =

& _CGK &‹ CGK =

& _CG

&‹ CG (3.4a)

onde (Al)yz é a área lavrada no plano yz e (At)yz é a área total no mesmo plano.

(40)

= _&& CG

‹ CG =

AZC+ 1F ZG+ 1 . E. H

ŽAZC+ 1FE + ZCBC•Œ ZG+ 1 H + ZGBG• (3.4b)

A Eq. (3.4b) pode ainda ser obtida diretamente da expressão geral da Eq. (3.4) se, nesta ultima, forem feitos nx e Wx iguais a zero.

3.1.2. Maximização da recuperação em lavra por Câmaras e Pilares (Inclinados)

O problema de programação matemática nesse caso é análogo àquele apresentado por Figueiredo & Curi (2003, 2004). As diferenças ficam por conta da tensão média no pilar expressa pela Eq. (2.11) e dos critérios de estabilidade ao deslizamento e tombamento (Anexo IV).

Maximize: R (Wp, Wo)

Sujeito a:

- Restrições de resistência dos pilares

)OAB4, \F ≥ >+. )JJJJ B4 4, BQ

- Vão mínimo para tráfego dos equipamentos

BQ≥ •‘

- Condição de estabilidade à flexão dos estratos

max B3 ≤ f2. )_L2. 2j 0,5

- Condição da estabilidade dos pilares ao deslizamento

tan U ≤ tan ø

- Condição da estabilidade dos pilares ao tombamento

tan U ≤B_{\ + sin U}4

- Condição para suprimento adequado de ar

(41)

CAPÍTULO 4 – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

A utilização de metodologias de dimensionamento de realces/câmaras e pilares por meio de ferramentas de otimização não são comuns na literatura. As exceções são os trabalhos de Figueiredo & Curi (2003, 2004). Com o objetivo de se comparar tais ferramentas com as comumente utilizadas, optou-se aqui pela sua aplicação em dois estudos distintos: o primeiro, para realces abertos subverticais (estudo de caso I), onde será feita uma comparação entre o dimensionamento convencional e o otimizado, além de análises numéricas de ambos os resultados; e o segundo, para câmaras e pilares inclinados (estudo de caso II), no qual um arranjo de lavra proposto para a mina de Morro Agudo é comparado com os resultados de um dimensionamento otimizado.

4.1. ESTUDO DE CASO I – REALCES ABERTOS SUBVERTICAIS

Neste estudo de caso, será feito o dimensionamento de realces e pilares por meio das duas metodologias de dimensionamento, a convencional e a otimizada. Na metodologia convencional, o método de Mathews-Potvin foi utilizado para o dimensionamento de realces e a teoria da área tributária, juntamente com as fórmulas de Lunder & Pakalnis ou Mark & Chase, foram utilizadas para o dimensionamento de pilares.

No dimensionamento otimizado, os mesmos métodos utilizados no convencional foram adotados. Para tanto, os dados de entrada foram, além dos parâmetros geomecânicos do maciço rochoso (os mesmos utilizados no dimensionamento convencional), as dimensões obtidas no método convencional, que serviram como dimensões iniciais no modelo de otimização. Cabe ressaltar, no entanto, que quaisquer dimensões iniciais arbitrárias, serviriam igualmente.

Ressalta-se ainda que, para os dois tipos de dimensionamento, foram estudadas três profundidades distintas, 150m, 250m e 350m, de forma a permitir a verificação da influência da profundidade nas dimensões dos realces.

(42)

4.1.1. Características do corpo mineral

As principais características do depósito são:

• Espessura média: 10 a 50 metros;

• Forma geométrica: tabular;

• Mergulho: subvertical;

• Profundidade máxima: 350 metros;

• Característica geomecânica do minério: (Q’): 20;

• Característica geomecânica da encaixante (Q’): 40;

• Resistência à compressão simples do mineiro ( cmin): 100 MPa;

• Resistência à compressão simples das encaixantes ( cenc): 120 MPa;

• Tensões in situ (vertical = horizontal): . zp (onde é o peso específico da rocha

- 0,027MN/m3; e zp é a profundidade).

Ressalta-se que essas características foram extraídas de um caso real, do qual a autora tomou conhecimento durante suas atividades profissionais.

4.1.2. Dimensionamento convencional 4.1.2.1. Dimensionamento de realces

(43)

Figura 4.1: Representação da estrutura da mina a ser analisada neste estudo de caso.

Resultados

As tabelas 4.1, 4.2 e 4.3, a seguir, apresentam as dimensões máximas de realces para profundidades de 150m, 250m e 350m, respectivamente. Nas mesmas, dada uma dimensão, no caso a espessura, X, de 10, 30 e 50, obtém-se outra, no caso Z ou Y, a qual está restrita por um raio hidráulico pré-estabelecido (ver Item 3.1.1).

Tabela 4.1: Dimensões “Z” ou “Y”de realces para 150m de profundidade.

Profundidade 150m

Q’ N’ RH Espessura (m)

10 30 50

40 108,7 13,3 (-) 236,5 56,9

(-) dimensão do realce não é limitada pela estabilidade geral da face.

Tabela 4.2: Dimensões “Z” ou “Y” de realces para 250m de profundidade.

10 30 50

40 77,0 11,8 (-) 108,5 44,3

(-) dimensão do realce não é limitada pela estabilidade geral da face.

Tabela 4.3: Dimensões “Z” ou “Y” de realces para 350m de profundidade.

10 30 50

40 51,1 10,1 (-) 62,4 34,1

(44)

Ressalta-se que para todas as profundidades, na espessura de 10m, mesmo quando a dimensão do realce não é limitada pela estabilidade geral da face (isto é, pelo raio hidráulico), instabilidades localizadas podem ocorrer, não representando, entretanto, riscos de rupturas globais.

Como pode ser observado nas tabelas acima, ocorre uma significativa diminuição das dimensões dos realces com o aumento da profundidade, o que pode ser facilmente explicado pelo conseqüente aumento das tensões atuantes no maciço rochoso (in situ e induzidas) com o aumento da profundidade.

4.1.2.2. Dimensionamento de pilares

O dimensionamento de pilares foi realizado utilizando-se a expressão empírica de resistência de Lunder & Pakalnis (1997). Escolheu-se essa expressão, principalmente, pelo fato de ter sido desenvolvida especificamente para rochas duras, caso deste estudo. Para a obtenção da carga atuante no pilar, a adaptação da Teoria da Área Tributária (Brady & Brown, 1985) foi utilizada.

Considerações e Resultados para Cálculo dos Rib Pillars

Para o cálculo da largura dos rib pillars pelo método convencional, assumiu-se que para o conjunto de maciços ocorrentes nos pilares, o valor de Q’ (Barton, 1995) será de aproximadamente 20. A resistência desse maciço, determinada por meio do critério de resistência empírico de Hoek & Brown (Hoek et al.¸ 2002), foi fornecida pelo software

RocLab, da RocScience (www.rocscience.com) e encontra-se apresentado na Figura 4.2. Para entrada de dados neste software, o Q’ foi convertido para o sistema GSI de Hoek & Brown pela expressão (Hoek et al., 1995):

–+— = 9. ™Z + 44 (4.1)

fornecendo um valor de aproximadamente 71 para o maciço.

(45)

Figura 4.2: Determinação da resistência do maciço rochoso pelo software RocLab para Q’= 20 (minério).

Como recomendado por Hoek et al. (2002) utilizou-se no cálculo das dimensões dos pilares a denominada Resistência Global do Maciço, correspondente a

)*‘ = _{1 − X.Zø}2W W3Xø (4.2)

onde c e ø são, respectivamente, a coesão e o ângulo de atrito do maciço rochoso, que equivalem aos parâmetros de Hoek & Brown (Hoek et al.2002). Sendo assim, o valor assumido como resistência do maciço nesses cálculos foi de 25,665 MPa. Ressalta-se que os parâmetros considerados nos dimensionamentos dos pilares foram os correspondentes às características do minério.

As tensões in situ foram consideradas como sendo dadas por um campo gravitacional onde a componente vertical ( v) cresce linearmente com a profundidade z, segundo:

): = γM 4.3

(46)

componente horizontal que carrega o pilar foi assumida como igual à componente vertical, ou seja, tem-se um valor de K (razão das tensões in situ) igual a 1.

O dimensionamento dos rib pillars foi efetuado admitindo-se uma extensão horizontal dos realces (Z) de 50m e 100m, espessura de minério (X) 10, 30 e 50m e profundidades de 150, 250 e 350m. Os resultados obtidos correspondem à largura dos rib pillars (Wz) para fatores de segurança de 1,3, e encontram-se apresentados nas Tabelas 4.4, 4.5 e 4.6. O procedimento de cálculo implementado no software Mathcad está apresentado no Anexo II.

Tabela 4.4: Largura dos rib pillars para profundidade de 150m Espessura do minério

(X) 10 30 50

Altura do realce (Y) 30 40 50 30 40 50 30 40 50

Z = 50m 8,7 8,7 8,7 14,6 14,6 14,6 18,4 18,4 18,4 Z = 100m 13,2 13,2 13,2 21,0 21,0 21,0 26,8 26,8 26,8

Tabela 4.5: Largura dos rib pillars para profundidade de 250m. Espessura do minério

(X) 10 30 50

Z = 50m _{12,4 12,4 12,4 20,7 20,7 20,7 27,0 27,0 27,0} Z = 100m _{20,0 20,0 20,0 29,5 29,5 29,5 37,7 37,7 37,7}

Tabela 4.6: Largura dos rib pillars para profundidade de 350m. Espessura do minério

(X) 10 30 50

Z = 50m _{16,4 16,4 16,4 26,3 26,3 26,3 34,6 34,6 34,6} Z = 100m _{28,3 28,3 28,3 38,1 38,1 38,1 48,0 48,0 48,0}

(47)

Considerações e Resultados para Cálculo dos Sill Pillars

Para o dimensionamento dos sill pillars utilizou-se a teoria da área tributária para cálculo da carga no pilar e a fórmula de Lunder & Pakalnis (1997) para a determinação da resistência.

As combinações analisadas foram: espessura do minério (X) igual a 10m, 20m e 30m; comprimento (Z) variável conforme extensão dos realces (Tabelas 4.1, 4.2 e 4.3) e profundidades de 150, 250 e 350m. As alturas consideradas foram de 50, 70 e 90m. Os resultados encontram-se na Tabela 4.7, a seguir. Para as extensões de realces (Z) ilimitadas ou maiores que 200m, considerou-se, nesses cálculos, a dimensão máxima de 200m.

Tabela 4.7: Espessuras mínimas de sill pillars para espessura de minério de 10, 20 e 30m.

Profundidade (m) Espessura mínima do sill pillar

Altura (Y) X = 10m X = 30m X = 50

150

50 8,7* 14,6* 18,5

70 10,6* 17,4* 22,3

90 12,3* 19,9* 25,4

250

50 12,4* 20,7* 27,0

70 15,4* 24,5* 31,7

90 18,5* 28,0* 35,8

350

50 16,4* 26,3 34,6

70 21,0* 31,2 40,3

90 25,8* 35,9 45,6

* Z máximo de 200m.

Com relação às dimensões obtidas percebe-se que, além do aumento progressivo das dimensões dos pilares com o aumento da profundidade, para um pequeno aumento na espessura considerada, a uma mesma profundidade, há um aumento relativamente pequeno na espessura do sill pillar. Por exemplo, um aumento na espessura (X) do vão, de 10 para 30 metros, a uma profundidade de 250m e altura de 70m, resulta em um aumento de apenas 9 metros na espessura do sill pillar.

4.1.3. Dimensionamento Otimizado

(48)

programação matemática não-linear foi codificado para resolução com o software Mathcad 15.0, tendo em vista a otimização das dimensões de realces e pilares. No Anexo II estão apresentados os arquivos codificados em Mathcad para as fórmulas de resistência de Lunder & Pakalnis (1997) e Mark & Chase (1997).

Foram feitas 30 análises de otimização, sendo 15 com a fórmula de Lunder & Pakalnis e 15 com a fórmula de Mark & Chase. Os resultados encontram-se nas fichas apresentadas na Tabela 4.8, a seguir.

Nas fichas de número 01 a 07 foram analisadas dimensões para a profundidade de 150 metros, com raio hidráulico igual a 13. Nas fichas 08 a 10 os resultados são para profundidades de 250 metros, utilizando raio hidráulico igual a 12 e, nas fichas de 11 a 15, raio hidráulico igual a 10 e profundidade de 350 metros.

Nas análises optou-se pela utilização do comprimento horizontal máximo de realces (Z) de 100 metros como dado de entrada, o que não impede que o resultado otimizado aumente esta dimensão.

Ressalta-se que a utilização desta ferramenta permite diversas respostas, sendo necessária uma análise crítica das dimensões iniciais (dados de entrada), bem como das restrições impostas, de forma a se encontrar o melhor resultado dentro das diversas possibilidades existentes.

Nas fichas 01, 11 e 13 foram analisados os mesmos dados de entrada que as fichas 02, 12 e 14, adicionando-se uma restrição de altura do realce (Y) maior que 40 metros, devido às baixas alturas obtidas (alturas entre 20 e 30 metros). Entretanto, nestes casos, mesmo com aumento das restrições impostas, o resultado da recuperação a partir das dimensões otimizadas forneceu recuperações melhores que o resultado pelo método de dimensionamento tradicional.

(49)

Tabela 4.8: Fichas Respostas das análises de otimização obtidas pelo software Mathcad.

01 02

Dados de entrada: Dados de entrada:

C: 25,665 Mpa nx: 0 C: 25,665 Mpa nx: 0

FS: 1,3 ny: 1 FS: 1,3 ny: 1

Kx: 1 nz: 100 Kx: 1 nz: 100

Kz: 1 z: 150m Kz: 1 z: 150m

Convencional: Otimizado: Convencional: Otimizado:

LP* MC* LP MC

X: 10,0 X: 10,0 10,0 X: 10,0 X: 10,0 10,0

Y: 50,0 Y: 40 40 Y: 50,0 Y: 26 26